T. Kosjakova,
Kool nr 80, Krasnodar

Parameetreid sisaldavate ruut- ja murdratsionaalvõrrandite lahendamine

4. õppetund

Tunni teema:

Tunni eesmärk: arendada oskust lahendada parameetreid sisaldavaid murdratsionaalvõrrandeid.

Tunni tüüp: uue materjali tutvustamine.

1. (Suuline.) Lahendage võrrandid:

Näide 1. Lahenda võrrand

Lahendus.

Leiame kehtetud väärtused a:

Vastus. Kui Kui a = – 19 , siis pole juuri.

Näide 2. Lahenda võrrand

Lahendus.

Leiame valede parameetrite väärtused a :

10 – a = 5, a = 5;

10 – a = a, a = 5.

Vastus. Kui a = 5 a № 5 , See x=10– a .

Näide 3. Milliste parameetrite väärtustel b võrrand Sellel on:

a) kaks juurt; b) ainus juur?

Lahendus.

1) Leidke kehtetud parameetrite väärtused b :

x = b, b 2 (b 2 – 1) – 2b 3 + b 2 = 0, b 4 – 2b 3 = 0,
b= 0 või b = 2;
x = 2, 4( b 2 – 1) – 4b 2 + b 2 = 0, b 2 – 4 = 0, (b – 2)(b + 2) = 0,
b= 2 või b = – 2.

2) Lahenda võrrand x 2 ( b 2 – 1) – 2b 2x+ b 2 = 0:

D=4 b 4 – 4b 2 (b 2–1), D = 4 b 2 .

A)

Välja arvatud kehtetud parameetriväärtused b , leiame, et võrrandil on kaks juurt, kui b № – 2, b № – 1, b № 0, b № 1, b № 2 .

b) 4b 2 = 0, b = 0, kuid see on vale parameetri väärtus b ; Kui b 2 –1=0 , st. b=1 või.

Vastus: a) kui b № –2 , b № –1, b № 0, b № 1, b № 2 , siis kaks juurt; b) kui b=1 või b=–1 , siis ainus juur.

Iseseisev töö

valik 1

Lahendage võrrandid:

2. võimalus

Lahendage võrrandid:

Vastused

IN 1. ja kui a=3 , siis pole juuri; Kui b) kui kui a № 2 , siis pole juuri.

AT 2. Kui a=2 , siis pole juuri; Kui a=0 , siis pole juuri; Kui
b) kui a=– 1 , siis muutub võrrand mõttetuks; kui juured puuduvad;
Kui

Kodutöö ülesanne.

Lahendage võrrandid:

Vastused: a) Kui a № –2 , See x= a ; Kui a=–2 , siis pole lahendusi; b) kui a № –2 , See x=2; Kui a=–2 , siis pole lahendusi; c) kui a=–2 , See x– suvaline number, välja arvatud 3 ; Kui a № –2 , See x=2; d) kui a=–8 , siis pole juuri; Kui a=2 , siis pole juuri; Kui

5. õppetund

Tunni teema:"Parameetreid sisaldavate murdratsionaalvõrrandite lahendamine."

Tunni eesmärgid:

ebastandardsete tingimustega võrrandite lahendamise koolitus;
algebraliste mõistete ja nendevaheliste seoste teadlik assimilatsioon õpilaste poolt.

Tunni tüüp: süstematiseerimine ja üldistamine.

Kodutööde kontrollimine.

Näide 1. Lahenda võrrand

a) x suhtes; b) y suhtes.

Lahendus.

a) Leidke kehtetud väärtused y: y=0, x=y, y 2 =y 2 –2y,

y=0– vale parameetri väärtus y.

Kui y№ 0 , See x=y–2; Kui y=0, siis muutub võrrand mõttetuks.

b) Leidke kehtetud parameetrite väärtused x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0– vale parameetri väärtus x; y(2+x–y)=0, y=0 või y=2+x;

y=0 tingimust ei rahulda y(y-x)№ 0 .

Vastus: a) kui y=0, siis muutub võrrand mõttetuks; Kui y№ 0 , See x=y–2; b) kui x=0 x№ 0 , See y=2+x .

Näide 2. Milliste parameetri a täisarvude väärtused on võrrandi juured kuuluvad intervalli

D = (3 a + 2) 2 – 4a(a+ 1) 2 = 9 a 2 + 12a + 4 – 8a 2 – 8a,

D = ( a + 2) 2 .

Kui a № 0 või a № – 1 , See

Vastus: 5 .

Näide 3. Leia suhteliselt x võrrandi täisarvulised lahendid

Vastus. Kui y=0, siis pole võrrandil mõtet; Kui y=–1, See x– mis tahes täisarv, välja arvatud null; Kui y№ 0, y№ – 1, siis pole lahendusi.

Näide 4. Lahenda võrrand parameetritega a Ja b .

Kui a№ –b , See

Vastus. Kui a= 0 või b= 0 , siis muutub võrrand mõttetuks; Kui a№ 0, b№ 0, a=–b , See x– mis tahes arv, välja arvatud null; Kui a№ 0, b№ 0,a№ -b, See x=–a, x=–b .

Näide 5. Tõesta, et parameetri n mis tahes väärtuse korral, mis ei ole null, on võrrand on üks juur, mis on võrdne – n .

Lahendus.

st. x=–n, mida oli vaja tõestada.

Kodutöö ülesanne.

1. Leia võrrandile täisarvulised lahendid

2. Milliste parameetrite väärtustel c võrrand Sellel on:
a) kaks juurt; b) ainus juur?

3. Leia võrrandi kõik täisarvude juured Kui a KOHTA N .

4. Lahenda võrrand 3xy – 5x + 5y = 7: a) suhteliselt y; b) suhteliselt x .

1. Võrrand on täidetud mis tahes täisarvuga, mis on võrdsed x ja y väärtusega, mis ei ole null.
2. a) Millal
b) või
3. – 12; – 9; 0 .
4. a) Kui siis pole juuri; Kui
b) kui siis pole juuri; Kui

Test

valik 1

1. Määrake võrrandi tüüp 7c(c + 3)x2 +(c-2)x-8=0 kui) c=–3; b) c=2; V) c=4 .

2. Lahenda võrrandid: a) x 2 –bx=0 ; b) cx 2 –6x+1=0; V)

3. Lahenda võrrand 3x–xy–2y=1:

a) suhteliselt x ;
b) suhteliselt y .

nx 2 – 26x + n = 0, teades, et parameeter n aktsepteerib ainult täisarvulisi väärtusi.

5. Milliste b väärtuste korral võrrand kehtib Sellel on:

a) kaks juurt;
b) ainus juur?

2. võimalus

1. Määrake võrrandi tüüp 5c(c + 4)x2 +(c–7)x+7=0 kui) c=-4; b) c=7; V) c=1 .

2. Lahenda võrrandid: a) y2 +cy=0; b) ny 2 –8y+2=0; V)

3. Lahenda võrrand 6x–xy+2y=5:

a) suhteliselt x ;
b) suhteliselt y .

4. Leidke võrrandi täisarvulised juured nx 2 –22x+2n=0, teades, et parameeter n aktsepteerib ainult täisarvulisi väärtusi.

5. Milliste parameetri a väärtuste korral võrrand kehtib Sellel on:

a) kaks juurt;
b) ainus juur?

Vastused

IN 1. 1. a) Lineaarvõrrand;
b) mittetäielik ruutvõrrand; c) ruutvõrrand.
2. a) Kui b = 0, See x=0; Kui b№ 0, See x=0, x=b;
b) Kui cО (9;+Ґ ), siis pole juuri;
c) kui a=–4 , siis muutub võrrand mõttetuks; Kui a№ –4 , See x=– a .
3. a) Kui y = 3, siis pole juuri; Kui);
b) a=–3, a=1.

Lisaülesanded

Lahendage võrrandid:

Kirjandus

1. Golubev V.I., Goldman A.M., Dorofejev G.V. Parameetritest algusest peale. – Juhendaja, nr 2/1991, lk. 3–13.
2. Gronshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Vajalikud tingimused probleemides parameetritega. – Kvant, nr 11/1991, lk. 44–49.
3. Dorofejev G.V., Zatakavay V.V. Parameetreid sisaldavate ülesannete lahendamine. 2. osa – M., Perspektiiv, 1990, lk. 2–38.
4. Tynyakin S.A. Viissada neliteist probleemi parameetritega. - Volgograd, 1991.
5. Yastrebinetsky G.A. Probleemid parameetritega. – M., Haridus, 1986.

§ 1 Täis- ja murdratsionaalvõrrandid

Selles õppetükis käsitleme selliseid mõisteid nagu ratsionaalne võrrand, ratsionaalne avaldis, tervikväljend, murdosa avaldis. Vaatleme ratsionaalsete võrrandite lahendamist.

Ratsionaalne võrrand on võrrand, mille vasak ja parem pool on ratsionaalsed avaldised.

Ratsionaalsed väljendid on järgmised:

Murdosaline.

Täisarvuline avaldis koosneb arvudest, muutujatest ja täisarvu astmetest, kasutades liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise toiminguid.

Näiteks:

Murdlaused hõlmavad jagamist muutujaga või avaldist muutujaga. Näiteks:

Murdlausel pole kõigi selles sisalduvate muutujate väärtuste puhul mõtet. Näiteks väljend

x = -9 korral pole sellel mõtet, kuna x = -9 korral läheb nimetaja nulli.

See tähendab, et ratsionaalne võrrand võib olla täis- või murdosa.

Terve ratsionaalne võrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak ja parem pool on terved avaldised.

Näiteks:

Murdratsionaalvõrrand on ratsionaalne võrrand, mille vasak või parem pool on murdosa avaldised.

Näiteks:

§ 2 Terve ratsionaalvõrrandi lahendamine

Vaatleme terve ratsionaalvõrrandi lahendust.

Näiteks:

Korrutame võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.

Selle jaoks:

1. leidke nimetajate 2, 3, 6 ühine nimetaja. See võrdub 6;

2. leida igale murrule lisategur. Selleks jagage ühisnimetaja 6 iga nimetajaga

murru lisategur

murru lisategur

3. korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega. Seega saame võrrandi

mis on võrdne antud võrrandiga

Avame vasakpoolsed sulud, nihutame parempoolset osa vasakule, muutes termini märki, kui teisaldatakse vastupidisele.

Toome polünoomi sarnased liikmed ja saame

Näeme, et võrrand on lineaarne.

Olles selle lahendanud, leiame, et x = 0,5.

§ 3 Murdratsionaalvõrrandi lahendamine

Vaatleme murdosa ratsionaalvõrrandi lahendamist.

Näiteks:

1.Korruta võrrandi mõlemad pooled selles sisalduvate ratsionaalsete murdude nimetajate väikseima ühisnimetajaga.

Leiame nimetajate x + 7 ja x - 1 ühisnimetaja.

See on võrdne nende korrutisega (x + 7) (x - 1).

2. Leiame igale ratsionaalsele murrule lisateguri.

Selleks jagage ühisnimetaja (x + 7)(x - 1) iga nimetajaga. Murdude lisategur

võrdne x - 1,

murru lisategur

võrdub x+7.

3.Korrutage murdude lugejad neile vastavate lisateguritega.

Saame võrrandi (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), mis on samaväärne selle võrrandiga

4. Korrutage binoom vasakul ja paremal oleva binoomiga ning saate järgmise võrrandi

5. Liigume parema külje vasakule, muutes iga termini märki, kui liigume vastupidisele:

6. Esitame polünoomi sarnased liikmed:

7. Mõlemad pooled saab jagada -1-ga. Saame ruutvõrrandi:

8. Olles selle lahendanud, leiame juured

Kuna Eq.

vasak ja parem pool on murdavaldised ning murdosa avaldistes võib muutujate mõne väärtuse puhul nimetaja muutuda nulliks, siis tuleb kontrollida, kas ühisnimetaja ei lähe x1 ja x2 leidmisel nulli. .

Kui x = -27, ühisnimetaja (x + 7)(x - 1) ei kao, kui x = -1, ühisnimetaja ei ole samuti null.

Seetõttu on nii juured -27 kui ka -1 võrrandi juured.

Murdratsionaalvõrrandi lahendamisel on parem kohe näidata vastuvõetavate väärtuste vahemik. Kõrvaldage need väärtused, mille puhul ühisnimetaja läheb nulli.

Vaatleme veel ühte näidet murdarvulise ratsionaalvõrrandi lahendamisest.

Näiteks lahendame võrrandi

Arvutame võrrandi paremal küljel oleva murdosa nimetaja

Saame võrrandi

Leiame nimetajate (x - 5), x, x(x - 5) ühisnimetaja.

See on avaldis x(x - 5).

Nüüd leiame võrrandi vastuvõetavate väärtuste vahemiku

Selleks võrdsustame ühisnimetaja väärtusega null x(x - 5) = 0.

Saame võrrandi, mille lahendamisel leiame, et x = 0 või x = 5 korral läheb ühisnimetaja nulli.

See tähendab, et x = 0 või x = 5 ei saa olla meie võrrandi juured.

Nüüd on võimalik leida täiendavaid kordajaid.

Ratsionaalsete murdude lisategur

murru lisategur

on (x - 5),

ja murru lisategur

Korrutame lugejad vastavate lisateguritega.

Saame võrrandi x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Avame sulud vasakul ja paremal, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Liigume tingimused paremalt vasakule, muutes ülekantud tingimuste märki:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ja pärast sarnaste terminite toomist saame ruutvõrrandi x2 - 3x - 10 = 0. Olles selle lahendanud, leiame juured x1 = -2; x2 = 5.

Kuid oleme juba avastanud, et x = 5 korral läheb ühisnimetaja x(x - 5) nulli. Seetõttu on meie võrrandi juur

on x = -2.

§ 4 Õppetunni lühikokkuvõte

Oluline on meeles pidada:

Murdratsionaalvõrrandite lahendamisel toimige järgmiselt:

1. Leia võrrandis sisalduvate murdude ühisnimetaja. Veelgi enam, kui murdude nimetajaid saab faktoreerida, siis faktoritage need ja seejärel leidke ühine nimetaja.

2.Korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga: leidke lisategurid, korrutage lugejad lisateguritega.

3.Lahendage saadud koguvõrrand.

4. Likvideerige selle juurtest need, mis panevad ühisnimetaja kaduma.

Kasutatud kirjanduse loetelu:

1. Makarychev Yu.N., N.G ​​Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Toimetanud Telyakovsky S.A. Algebra: õpik. 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid. - M.: Haridus, 2013.
2. Mordkovich A.G. Algebra. 8. klass: Kahes osas. 1. osa: Õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid. - M.: Mnemosüüne.
3. Rurukin A.N. Algebra tunniarendused: 8. klass - M.: VAKO, 2010.a.
4. Algebra 8. klass: tunniplaanid Yu.N. õpiku põhjal. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Aut.-koost. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgograd: õpetaja, 2005.

Selle võrrandi lihtsustamiseks kasutatakse väikseimat ühisnimetajat. Seda meetodit kasutatakse juhul, kui te ei saa kirjutada antud võrrandit ühe ratsionaalse avaldisega võrrandi mõlemal küljel (ja kasutada ristkorrutamise meetodit). Seda meetodit kasutatakse siis, kui teile antakse 3 või enama murruga ratsionaalne võrrand (kahe murru puhul on parem kasutada ristkorrutamist).

Leidke murdude väikseim ühisnimetaja (või vähim ühiskordne). NOZ on väikseim arv, mis jagub ühtlaselt iga nimetajaga.

• Mõnikord on NPD ilmne number. Näiteks kui anda võrrand: x/3 + 1/2 = (3x +1)/6, siis on ilmne, et arvude 3, 2 ja 6 vähim ühiskordne on 6.
• Kui NCD ei ole ilmne, kirjutage üles suurima nimetaja kordsed ja leidke nende hulgast üks, mis on teiste nimetajate kordne. Sageli saab NOD-i leida lihtsalt kahe nimetaja korrutamisega. Näiteks kui võrrand on antud x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, siis NOS = 8*9 = 72.
• Kui üks või mitu nimetajat sisaldavad muutujat, muutub protsess mõnevõrra keerulisemaks (kuid mitte võimatuks). Sel juhul on NOC avaldis (sisaldab muutujat), mis jagatakse iga nimetajaga. Näiteks võrrandis 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x) NOZ = 3x(x-1), kuna see avaldis jagatakse iga nimetajaga: 3x(x-1)/(x -1 ) = 3x; 3x(x-1)/3x = (x-1); 3x(x-1)/x = 3(x-1).

Korrutage nii iga murru lugeja kui ka nimetaja arvuga, mis on võrdne NOC jagamise tulemusega iga murru vastava nimetajaga. Kuna korrutate nii lugeja kui ka nimetaja sama arvuga, korrutate murdosa 1-ga (näiteks 2/2 = 1 või 3/3 = 1).

• Nii et meie näites korrutage x/3 2/2-ga, et saada 2x/6, ja 1/2 korrutage 3/3-ga, et saada 3/6 (murru 3x +1/6 ei pea korrutama, kuna see nimetaja on 6).
• Kui muutuja on nimetajas, toimige samamoodi. Meie teises näites NOZ = 3x(x-1), seega korrutage 5/(x-1) väärtusega (3x)/(3x), et saada 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x korrutatuna 3(x-1)/3(x-1) ja saad 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) korrutatakse (x-1)/(x-1) ja saad 2(x-1)/3x(x-1).

Leia x. Nüüd, kui olete murded ühiseks nimetajaks taandanud, saate nimetajast lahti saada. Selleks korrutage võrrandi mõlemad pooled ühise nimetajaga. Seejärel lahendage saadud võrrand, st leidke "x". Selleks eraldage muutuja võrrandi ühel küljel.

• Meie näites: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Saate lisada 2 sama nimetajaga murdosa, seega kirjutage võrrand järgmiselt: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Korrutage võrrandi mõlemad pooled 6-ga ja vabanege nimetajatest: 2x+3 = 3x +1. Lahenda ja saad x = 2.
• Meie teises näites (nimetajas muutujaga) näeb võrrand välja (pärast ühiseks nimetajaks taandamist): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x) -1) + 2 (x-1)/3x (x-1). Korrutades võrrandi mõlemad pooled N3-ga, vabanete nimetajast ja saate: 5(3x) = 3(x-1) + 2(x-1) või 15x = 3x - 3 + 2x -2 või 15x = x - 5 Lahendage ja saage: x = -5/14.

Tunni eesmärgid:

Hariduslik:

• murdratsionaalvõrrandite mõiste moodustamine;
• kaaluda erinevaid võimalusi murdratsionaalvõrrandite lahendamiseks;
• kaaluda murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi, sealhulgas tingimust, et murd on võrdne nulliga;
• õpetada murdratsionaalvõrrandite lahendamist algoritmi abil;
• teema valdamise taseme kontrollimine testi läbiviimisega.

Arenguline:

• omandatud teadmistega õigesti opereerimise ja loogilise mõtlemise oskuse arendamine;
• intellektuaalsete oskuste ja vaimsete operatsioonide arendamine - analüüs, süntees, võrdlemine ja üldistamine;
• algatusvõime, otsustusvõime arendamine ja mitte sellega peatuda;
• kriitilise mõtlemise arendamine;
• uurimisoskuste arendamine.

Harivad:

• kognitiivse huvi edendamine aine vastu;
• iseseisvuse edendamine haridusprobleemide lahendamisel;
• tahte ja visaduse kasvatamine lõpptulemuste saavutamiseks.

Tunni tüüp: õppetund - uue materjali selgitus.

Tundide ajal

1. Organisatsioonimoment.

Tere kutid! Tahvlile on kirjutatud võrrandid, vaadake neid hoolikalt. Kas saate kõik need võrrandid lahendada? Millised ei ole ja miks?

Võrratusi, mille vasak ja parem pool on murdarvulised ratsionaalavaldised, nimetatakse murdratsionaalvõrranditeks. Mis te arvate, mida me täna tunnis uurime? Sõnastage tunni teema. Niisiis, avage märkmikud ja kirjutage üles tunni teema "Murdratsionaalvõrrandite lahendamine".

2. Teadmiste uuendamine. Frontaalküsitlus, suuline töö klassiga.

Ja nüüd kordame peamist teoreetilist materjali, mida vajame uue teema uurimiseks. Palun vastake järgmistele küsimustele:

1. Mis on võrrand? ( Võrdsus muutuja või muutujatega.)
2. Mis on võrrandi number 1 nimi? ( Lineaarne.) Meetod lineaarvõrrandite lahendamiseks. ( Liigutage kõik, kus on tundmatu, võrrandist vasakule, kõik numbrid paremale. Esitage sarnased terminid. Leidke tundmatu tegur).
3. Mis on võrrandi number 3 nimi? ( Ruut.) Ruutvõrrandite lahendamise meetodid. ( Täieliku ruudu eraldamine valemite abil, kasutades Vieta teoreemi ja selle tagajärgi.)
4. Mis on proportsioon? ( Kahe suhte võrdsus.) Proportsiooni põhiomadus. ( Kui proportsioon on õige, siis on selle äärmiste liikmete korrutis võrdne keskmiste liikmete korrutisega.)
5. Milliseid omadusi kasutatakse võrrandite lahendamisel? ( 1. Kui liigutada võrrandis liige ühest osast teise, muutes selle märki, saad võrrandi, mis on samaväärne antud võrrandiga. 2. Kui võrrandi mõlemad pooled korrutatakse või jagatakse sama nullist erineva arvuga, saate võrrandi, mis on samaväärne antud arvuga.)
6. Millal võrdub murd nulliga? ( Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on null ja nimetaja ei ole null..)

3. Uue materjali selgitus.

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 2.

Vastus: 10.

Millist murdratsionaalvõrrandit saate proportsiooni põhiomaduse abil lahendada? (nr 5).

(x-2) (x-4) = (x+2) (x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Lahendage oma vihikutes ja tahvlil võrrand nr 4.

Vastus: 1,5.

Millist murdosa ratsionaalvõrrandit saate proovida lahendada, korrutades võrrandi mõlemad pooled nimetajaga? (nr 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Vastus: 3;4.

Nüüd proovige võrrandit number 7 lahendada, kasutades ühte järgmistest meetoditest.

(x 2-2x-5)x(x-5)=x(x-5) (x+5)
(x 2-2x-5)x(x-5)-x (x-5) (x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 = 0 x 2 = 5 D = 49
x 3 = 5 x 4 = -2			x 3 = 5 x 4 = -2
Vastus: 0;5;-2.			Vastus: 5;-2.

Selgitage, miks see juhtus? Miks on ühel juhul kolm juurt ja teisel kaks? Millised arvud on selle murdarvulise ratsionaalvõrrandi juured?

Siiani pole õpilased kõrvalise juure mõistega kokku puutunud, neil on tõepoolest väga raske mõista, miks see juhtus. Kui keegi klassis ei oska antud olukorrale selget selgitust anda, esitab õpetaja suunavaid küsimusi.

• Mille poolest võrrandid nr 2 ja 4 erinevad võrranditest nr 5,6,7? ( Valemites nr 2 ja 4 on nimetajas numbrid, nr 5-7 on muutujaga avaldised.)
• Mis on võrrandi juur? ( Muutuja väärtus, mille juures võrrand muutub tõeseks.)
• Kuidas teada saada, kas arv on võrrandi juur? ( Tehke kontroll.)

Testimisel märkab mõni õpilane, et peab jagama nulliga. Nad järeldavad, et arvud 0 ja 5 ei ole selle võrrandi juured. Tekib küsimus: kas on olemas viis murdartsionaalvõrrandite lahendamiseks, mis võimaldab meil selle vea kõrvaldada? Jah, see meetod põhineb tingimusel, et murdosa on võrdne nulliga.

x 2 -3x-10 = 0, D = 49, x 1 = 5, x 2 = -2.

Kui x=5, siis x(x-5)=0, mis tähendab, et 5 on kõrvaline juur.

Kui x=-2, siis x(x-5)≠0.

Vastus: -2.

Proovime sõnastada sellisel viisil murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi. Lapsed koostavad algoritmi ise.

Murdratsionaalvõrrandite lahendamise algoritm:

1. Liigutage kõik vasakule küljele.
2. Vähendage murrud ühise nimetajani.
3. Loo süsteem: murd on võrdne nulliga, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga.
4. Lahenda võrrand.
5. Kontrollige ebavõrdsust, et välistada kõrvalised juured.
6. Kirjutage vastus üles.

Arutelu: kuidas vormistada lahendus, kui kasutada proportsiooni põhiomadust ja võrrandi mõlema poole korrutamist ühise nimetajaga. (Lisage lahendusele: jäta selle juurtest välja need, mis panevad ühisnimetaja kaduma).

4. Uue materjali esmane mõistmine.

Paaris töötama. Õpilased valivad võrrandi lahendamise viisi ise olenevalt võrrandi tüübist. Ülesanded õpikust “Algebra 8”, Yu.N. Makarychev, 2007: nr 600(b,c,i); nr 601(a,e,g). Õpetaja jälgib ülesande täitmist, vastab tekkivatele küsimustele ja osutab abi vähestest tulemustest õpilastele. Enesekontroll: vastused kirjutatakse tahvlile.

b) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 3.

c) 2 – kõrvaljuur. Vastus: 1.5.

a) Vastus: -12,5.

g) Vastus: 1;1,5.

5. Kodutööde seadmine.

1. Lugege õpikust lõiget 25, analüüsige näiteid 1-3.
2. Õppige murdartsionaalvõrrandite lahendamise algoritmi.
3. Lahenda vihikutes nr 600 (a, d, e); 601(g,h).
4. Proovige lahendada nr 696(a) (valikuline).

6. Kontrollülesande täitmine õpitud teemal.

Tööd tehakse paberilehtedel.

Näidisülesanne:

A) Millised võrrandid on murdratsionaalsed?

B) Murd on võrdne nulliga, kui lugeja on ______________________ ja nimetaja on _______________________.

K) Kas arv -3 on võrrandi number 6 juur?

D) Lahenda võrrand nr 7.

Ülesande hindamiskriteeriumid:

• “5” antakse, kui õpilane täitis õigesti üle 90% ülesandest.
• "4" – 75%-89%
• "3" – 50%-74%
• “2” saab õpilane, kes on täitnud alla 50% ülesandest.
• Hinnet 2 ajakirjas ei anta, 3 on vabatahtlik.

7. Peegeldus.

Iseseisvatele töölehtedele kirjutage:

• 1 – kui tund oli teile huvitav ja arusaadav;
• 2 – huvitav, kuid ebaselge;
• 3 – mitte huvitav, aga arusaadav;
• 4 – pole huvitav, pole selge.

8. Õppetunni kokkuvõtte tegemine.

Niisiis tutvusime tänases tunnis murdratsionaalvõrranditega, õppisime neid võrrandeid mitmekülgselt lahendama ning iseseisva õppetöö abil oma teadmisi proovile panema. Iseseisva töö tulemused saad teada järgmises tunnis ning kodus on võimalus oma teadmisi kinnistada.

Milline murdratsionaalvõrrandite lahendamise meetod on teie arvates lihtsam, kättesaadavam ja ratsionaalsem? Mida peaksite meeles pidama, olenemata murdosa ratsionaalvõrrandite lahendamise meetodist? Mis on murdratsionaalvõrrandite "kavalus"?

Aitäh kõigile, tund on läbi.

\(\bullet\) Ratsionaalvõrrand on võrrand, mis on esitatud kujul \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\] kus \(P(x), \Q(x)\ ) - polünoomid (erinevate astmetega X-de summa, korrutatuna erinevate arvudega).
Võrrandi vasakul küljel olevat avaldist nimetatakse ratsionaalseks avaldiseks.
Ratsionaalvõrrandi EA (vastuvõetavate väärtuste vahemik) on kõik \(x\) väärtused, mille juures nimetaja EI kao, see tähendab \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Näiteks võrrandid \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] on ratsionaalsed võrrandid.
Esimeses võrrandis on ODZ-d kõik \(x\) nii, et \(x\ne 3\) (kirjuta \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); teises võrrandis – need kõik on \(x\) nii, et \(x\ne -1; x\ne 1\) (kirjutage \(x\in (-\infty;-1)\cup(-1;1)\cup(1;+\infty)\)); ja kolmandas võrrandis pole ODZ-le piiranguid, see tähendab, et ODZ on kõik \(x\) (nad kirjutavad \(x\in\mathbb(R)\)). \(\bullet\) Teoreemid:
1) Kahe teguri korrutis on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui üks neist on võrdne nulliga ja teine ​​ei kaota oma tähendust, mistõttu võrrand \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) on samaväärne süsteemiga \[\begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \right.\\ \ tekst (ODZ võrrandid)\end(juhtumid)\] 2) Murd on võrdne nulliga siis ja ainult siis, kui lugeja on võrdne nulliga ja nimetaja ei ole võrdne nulliga, seega võrrand \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) on samaväärne võrrandisüsteemiga \[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]\(\bullet\) Vaatame mõnda näidet.

1) Lahendage võrrand \(x+1=\dfrac 2x\) . Leiame selle võrrandi ODZ - see on \(x\ne 0\) (kuna \(x\) on nimetajas).
See tähendab, et ODZ saab kirjutada järgmiselt: .
Liigutame kõik terminid ühte ossa ja viime need ühise nimetaja juurde: \[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftrightrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightrow\quad \begin( juhtumid) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(juhtumid)\] Süsteemi esimese võrrandi lahendus on \(x=-2, x=1\) . Näeme, et mõlemad juured on nullist erinevad. Seetõttu on vastus: \(x\in \(-2;1\)\) .

2) Lahenda võrrand \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\). Leiame selle võrrandi ODZ. Näeme, et \(x\) ainus väärtus, mille vasakpoolsel küljel pole mõtet, on \(x=0\) . Niisiis, ODZ saab kirjutada järgmiselt: \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).
Seega on see võrrand samaväärne süsteemiga:

\[\begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \right. ' 0 \end(joondatud) \lõpp(kogutud) \paremale.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftrightnarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(kogutud)\begin(joondatud) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \end(joondatud) \end(kogutud) \paremal.\\ x\ne 0 \end(juhtumid) \neli \Leftrightnool \quad \left[ \begin(kogutud) \begin(joonatud) &x=2\\ &x=1 \end(joondatud) \end(kogutud) \paremale.\] Tõepoolest, hoolimata tõsiasjast, et \(x=0\) on teise teguri juur, kui asendate algsesse võrrandisse \(x=0\), pole sellel mõtet, sest avaldis \(\dfrac 40\) pole määratletud.
Seega on selle võrrandi lahendus \(x\in \(1;2\)\) .

3) Lahenda võrrand \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Meie võrrandis \(4x^2-1\ne 0\) , millest \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , see tähendab \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Liigutame kõik terminid vasakule ja viime need ühise nimetaja juurde:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Vasakparemnool \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftrightrow \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftparemnool\)

\(\Leftrightnarrow \quad \begin(cases) 2x^2+5x-3=0\\ 4x^2-1\ne 0 \end(cases) \quad \Leftright nool \quad \begin(cases) (2x-1 )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(juhtumid) \quad \Leftrightnarrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(kogutud) \begin( joondatud) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \end(joondatud)\end(kogutud) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ vasakparemnool \quad x=-3\)

Vastus: \(x\in \(-3\)\) .

kommenteerida. Kui vastus koosneb lõplikust arvude hulgast, saab need kirjutada semikooloniga eraldatuna lokkis sulgudes, nagu on näidatud eelmistes näidetes.

Ratsionaalvõrrandite lahendamist nõudvate probleemidega puututakse matemaatika ühtsel riigieksamil igal aastal kokku, seega tuleks atestaadiksami sooritamiseks valmistudes kindlasti selleteemalist teooriat omal käel korrata. Nii põhi- kui ka eritaseme eksami sooritajad peavad selliste ülesannetega toime tulema. Olles omandanud teooria ja tegelenud praktiliste harjutustega teemal "Ratsionaalvõrrandid", saavad õpilased lahendada ülesandeid mis tahes arvu toimingutega ja loota ühtse riigieksami võistlushinnete saamisele.

Kuidas valmistuda eksamiks, kasutades Shkolkovo haridusportaali?

Mõnikord osutub matemaatiliste ülesannete lahendamise põhiteooriat täielikult esitava allika leidmine üsna keeruliseks. Õpik ei pruugi lihtsalt käepärast olla. Ja vajalike valemite leidmine võib mõnikord isegi Internetis olla üsna keeruline.

Shkolkovo haridusportaal vabastab teid vajadusest otsida vajalikku materjali ja aitab teil hästi valmistuda sertifitseerimistesti läbimiseks.

Meie spetsialistid valmistasid ette ja esitasid kogu vajaliku teooria teemal "Ratsionaalvõrrandid" kõige kättesaadavamal kujul. Pärast esitatud teabe uurimist saavad õpilased teadmistes lünki täita.

Ühtse riigieksami edukaks ettevalmistamiseks peavad lõpetajad mitte ainult värskendama oma mälu põhiteoreetilise materjali kohta teemal "Ratsionaalvõrrandid", vaid ka harjutama ülesannete täitmist konkreetsete näidete abil. Suur valik ülesandeid on esitatud jaotises "Kataloog".

Iga saidi harjutuse jaoks on meie eksperdid kirjutanud lahendusalgoritmi ja näidanud õige vastuse. Õpilased saavad harjutada erineva raskusastmega probleemide lahendamist olenevalt nende oskuste tasemest. Vastava jaotise ülesannete loetelu täieneb ja uuendatakse pidevalt.

Internetis saate uurida teoreetilist materjali ja lihvida oma oskusi probleemide lahendamisel teemal "Ratsionaalvõrrandid", mis on sarnased ühtse riigieksami testides sisalduvatele. Vajadusel saab mis tahes esitatud ülesannetest lisada jaotisesse "Lemmikud". Olles veel kord korranud põhiteooriat teemal “Ratsionaalvõrrandid”, saab gümnaasiumiõpilane tulevikus probleemi juurde tagasi pöörduda, et algebratunnis õpetajaga selle lahendamise edenemist arutada.