Positiivsete funktsioonide omaduste ja graafikute tabel. Toitefunktsioon

Funktsioon kus X – muutuv kogus, A– helistatakse etteantud numbrile Toitefunktsioon .

Kui then on lineaarfunktsioon, on selle graafik sirgjoon (vt lõik 4.3, joonis 4.7).

Kui siis - ruutfunktsioon, selle graafik on parabool (vt lõik 4.3, joonis 4.8).

Kui siis selle graafik on kuupparabool (vt lõik 4.3, joonis 4.9).

Toitefunktsioon

See pöördfunktsioon Sest

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on veider.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid: X= 0 – ainus null.

6. Funktsioonil ei ole maksimaalset ega minimaalset väärtust.

7.

8. Funktsiooni graafik Sümmeetriline kuupparabooli graafiku suhtes sirge suhtes Y=X ja on näidatud joonisel fig. 5.1.

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on ühtlane.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid:üksik null X = 0.

6. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused: võtab väikseima väärtuse X= 0, see on võrdne 0-ga.

7. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon intervallil kahaneb ja intervallil suureneb

8. Funktsiooni graafik(igaühe jaoks N Î N) on graafikuga "sarnane". ruutparabool(funktsiooni graafikud on näidatud joonisel 5.2).

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on veider.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid: X= 0 – ainus null.

6. Kõrgeimad ja madalaimad väärtused:

7. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon kasvab kogu määratluspiirkonna ulatuses.

8. Funktsiooni graafik(iga ) on "sarnane" kuupparabooli graafikuga (funktsiooni graafikud on näidatud joonisel 5.3).

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on veider.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid: nulle pole.

6. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused: funktsioonil pole ühegi jaoks suurimaid ja väikseimaid väärtusi

7. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon väheneb oma määratluspiirkonnas.

8. Asümptoodid:(telg Oh) – vertikaalne asümptoot;

(telg Oh) – horisontaalne asümptoot.

9. Funktsiooni graafik(ükskõik millise N) on “sarnane” hüperbooli graafikule (funktsiooni graafikud on näidatud joonisel 5.4).

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on ühtlane.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused: funktsioonil pole ühegi jaoks suurimaid ja väikseimaid väärtusi

6. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon suureneb ja väheneb

7. Asümptoodid: X= 0 (telg Oh) – vertikaalne asümptoot;

Y= 0 (telg Oh) – horisontaalne asümptoot.

8. Funktsioonigraafikud Need on ruuthüperboolid (joonis 5.5).

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioonil pole paaris ja paaritu omadust.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid: X= 0 – ainus null.

6. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused: funktsioon võtab punktis väikseima väärtuse, mis on võrdne 0-ga X= 0; kõrgeim väärtus ei oma.

7. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon kasvab kogu määratluspiirkonna ulatuses.

8. Iga selline teatud astendaja funktsioon on esitatud funktsiooni pöördväärtus

9. Funktsiooni graafik"sarnastab" mis tahes funktsiooni graafikut N ja on näidatud joonisel fig. 5.6.

Toitefunktsioon

1. Ulatus:

2. Mitu tähendust:

3. Paaris ja paaritu: funktsioon on veider.

4. Funktsiooni sagedus: mitteperioodiline.

5. Funktsiooni nullid: X= 0 – ainus null.

6. Funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused: funktsioonil pole ühegi jaoks suurimaid ja väikseimaid väärtusi

7. Suurenemise ja kahanemise intervallid: funktsioon kasvab kogu määratluspiirkonna ulatuses.

8. Funktsiooni graafik Joonisel fig. 5.7.

Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik Demo materjal Tund-loeng Funktsiooni mõiste. Funktsiooni omadused. Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik. Hinne 10 Kõik õigused kaitstud. Autoriõigus koos autoriõigusega

Tunni käik: kordamine. Funktsioon. Funktsioonide omadused. Uue materjali õppimine. 1. Võimsusfunktsiooni definitsioon. Võimsusfunktsiooni definitsioon. 2. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud. Õpitud materjali koondamine. Suuline loendamine. Suuline loendamine. Tunni kokkuvõte. Kodune ülesanne.

Funktsiooni definitsioonipiirkond ja väärtuste valdkond Kõik sõltumatu muutuja väärtused moodustavad funktsiooni x y=f(x) definitsioonipiirkonna. Funktsiooni määratluspiirkond Funktsiooni väärtuste valdkond Kõik väärtused, mille sõltuv muutuja moodustab funktsiooni Funktsioon väärtuste domeeni. Funktsiooni omadused

Funktsiooni graafik Olgu antud funktsioon, kus xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Funktsiooni graafik on kõigi punktide hulk koordinaattasand, mille abstsissid on võrdsed argumendi väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega. Funktsioon. Funktsiooni omadused

Y x Funktsiooni 4 definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik y=f(x) Funktsiooni määratluspiirkond: Funktsiooni väärtuste valdkond: Funktsioon. Funktsiooni omadused

Paarisfunktsioon y x y=f(x) Graafik ühtlane funktsioon on sümmeetriline operatsioonivõimendi telje suhtes. Funktsioon y=f(x) kutsutakse välja ka siis, kui f(-x) = f(x) funktsiooni Function definitsioonipiirkonnast. Funktsiooni omadused

Paaritu funktsioon y x y=f(x) Graafik paaritu funktsioon sümmeetriline koordinaatide O(0;0) alguspunkti suhtes Funktsiooni y=f(x) nimetatakse paarituks, kui f(-x) = -f(x) mis tahes x jaoks funktsiooni Funktsioon definitsioonipiirkonnast. Funktsiooni omadused

Astumusfunktsiooni definitsioon Funktsiooni, kus p on antud reaalarv, nimetatakse astmefunktsiooniks. p y=x p P=x y 0 Tunni edenemine

Võimsusfunktsioon x y 1. Vormi astmefunktsioonide definitsioonipiirkond ja väärtuste vahemik, kus n – naturaalarv, on kõik reaalarvud. 2. Need funktsioonid on veidrad. Nende graafik on sümmeetriline päritolu suhtes. Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud

Ratsionaalse positiivse eksponendiga astmefunktsioonid Definitsioonipiirkonnaks on kõik positiivsed arvud ja arv 0. Sellise eksponendiga funktsioonide väärtuste vahemik on samuti kõik positiivsed arvud ja arv 0. Need funktsioonid ei ole paaris ega paaritud. . y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud

Võimsusfunktsioon ratsionaalsega negatiivne näitaja. Selliste funktsioonide määratluspiirkond ja väärtuste vahemik on kõik positiivsed arvud. Funktsioonid pole paaris ega paaritud. Sellised funktsioonid vähenevad kogu nende määratluspiirkonnas. y x Võimsusfunktsioonide omadused ja graafikud Tunni käik

Tuletame meelde negatiivse täisarvulise astendajaga astmefunktsioonide omadusi ja graafikuid.

Isegi n jaoks:

Funktsiooni näide:

Kõik selliste funktsioonide graafikud läbivad kahte fikseeritud punkti: (1;1), (-1;1). Seda tüüpi funktsioonide eripära on nende paarsus, graafikud on op-amp telje suhtes sümmeetrilised.

Riis. 1. Funktsiooni graafik

paaritu n puhul:

Funktsiooni näide:

Kõik selliste funktsioonide graafikud läbivad kahte fikseeritud punkti: (1;1), (-1;-1). Seda tüüpi funktsioonide eripära on see, et graafikud on lähtekoha suhtes sümmeetrilised.

Riis. 2. Funktsiooni graafik

Tuletagem meelde põhimääratlust.

Ratsionaalse positiivse eksponendiga mittenegatiivse arvu a võimsust nimetatakse arvuks.

Kraad positiivne arv ja ratsionaalse negatiivse eksponendiga nimetatakse arvuks.

Võrdsuse nimel:

Näiteks: ; - väljendit ei eksisteeri negatiivse võimsusega definitsiooni järgi ratsionaalne näitaja; on olemas, kuna eksponent on täisarv,

Liigume edasi ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsioonide käsitlemise juurde.

Näiteks:

Selle funktsiooni graafiku joonistamiseks saate luua tabeli. Teeme seda teisiti: kõigepealt koostame ja uurime nimetaja graafikut - see on meile teada (joonis 3).

Riis. 3. Funktsiooni graafik

Nimetaja funktsiooni graafik läbib fikseeritud punkti (1;1). Algfunktsiooni joonistamisel antud punkt jääb, kui juur kipub samuti nulli, kipub funktsioon lõpmatusse. Ja vastupidi, kuna x kaldub lõpmatuseni, kipub funktsioon nulli (joonis 4).

Riis. 4. Funktsioonigraafik

Vaatleme veel üht funktsiooni uuritavast funktsioonide perekonnast.

On oluline, et määratluse järgi

Vaatleme nimetajas oleva funktsiooni graafikut: , selle funktsiooni graafik on meile teada, see kasvab oma definitsioonipiirkonnas ja läbib punkti (1;1) (joonis 5).

Riis. 5. Funktsiooni graafik

Algfunktsiooni graafiku joonistamisel jääb alles punkt (1;1), kusjuures juur kipub samuti nulli, funktsioon lõpmatuseni. Ja vastupidi, kuna x kaldub lõpmatuseni, kaldub funktsioon nulli (joonis 6).

Riis. 6. Funktsiooni graafik

Vaadeldavad näited aitavad mõista, kuidas graafik voolab ja millised on uuritava funktsiooni - negatiivse ratsionaalse astendajaga funktsiooni omadused.

Selle perekonna funktsioonide graafikud läbivad punkti (1;1), funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

Funktsiooni ulatus:

Funktsioon ei ole piiratud ülalt, vaid on piiratud altpoolt. Funktsioonil pole ei suurimat ega madalaim väärtus.

Funktsioon on pidev, aktsepteerib kõike positiivsed väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

Funktsioon on allapoole kumer (joonis 15.7)

Punktid A ja B on võetud kõverale, läbi nende tõmmatakse segment, kogu kõver on lõigust allpool, see tingimus on täidetud suvalise kahe kõvera punkti korral, seetõttu on funktsioon allapoole kumer. Riis. 7.

Riis. 7. Funktsiooni kumerus

Oluline on mõista, et selle perekonna funktsioonid on altpoolt piiratud nulliga, kuid neil pole kõige väiksemat väärtust.

Näide 1 – leidke funktsiooni maksimum- ja miinimumväärtus vahemikus \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graafik (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n)$ graafik

Naturaalse paaritu astendajaga astmefunktsiooni omadused

Määratluspiirkond on kõik reaalarvud.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funktsioon on paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Vahemik on kõik reaalarvud.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ jaoks.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsioon on $x\in (-\infty ,0)$ jaoks nõgus ja $x\in (0,+\infty)$ jaoks kumer.

Graafik (joonis 3).

Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ graafik

Täisarvu astendajaga võimsusfunktsioon

Esiteks tutvustame täisarvulise astendajaga kraadi mõistet.

3. definitsioon

Kraad tegelik arv$a$ täisarvu eksponendiga $n$ määratakse järgmise valemiga:

Joonis 4.

Vaatleme nüüd täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

4. määratlus

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nimetatakse täisarvulise astendajaga astmefunktsiooniks.

Kui kraad suurem kui null, siis jõuame võimsusfunktsiooni juhtumini loomulik näitaja. Oleme seda juba eespool arutanud. $n=0$ eest saame lineaarne funktsioon$y=1$. Selle kaalumise jätame lugeja hooleks. Jääb üle arvestada negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadusi

Negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadused

Määratluse domeen on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui astendaja on paaris, siis on funktsioon paaritu, kui see on paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Ulatus:

Kui astendaja on paaris, siis $(0,+\infty)$, kui see on paaritu, siis $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui mitte ühtlane näitaja funktsioon väheneb kujul $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Ühtlase eksponendi korral väheneb funktsioon väärtusega $x\in (0,+\infty)$. ja suureneb kui $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ kogu määratluspiirkonna ulatuses