Kahe muutuja funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused suletud piirkonnas. Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus

Olgu funktsioon $z=f(x,y)$ defineeritud ja pidev mingis piiratud suletud domeenis $D$. Olgu antud funktsioonil selles piirkonnas esimest järku lõplikud osatuletised (v.a lõplik arv punkte). Kahe muutuja funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks antud suletud piirkonnas on vaja lihtsa algoritmi kolme sammu.

Algoritm funktsiooni $z=f(x,y)$ suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks suletud domeenis $D$.

1. Leia funktsiooni $z=f(x,y)$ kriitilised punktid, mis kuuluvad piirkonda $D$. Arvutage funktsiooni väärtused kriitilistes punktides.
2. Uurige funktsiooni $z=f(x,y)$ käitumist domeeni $D$ piiril, leides võimalike maksimum- ja miinimumväärtuste punktid. Arvutage funktsiooni väärtused saadud punktides.
3. Valige kahes eelmises lõigus saadud funktsiooni väärtustest suurim ja väikseim.

Mis on kriitilised punktid? Näita Peida

Under kriitilised punktid viitavad punktidele, kus mõlemad esimest järku osatuletised on võrdsed nulliga (st $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ja $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) või vähemalt üks osatuletis puudub.

Sageli nimetatakse punkte, kus esimest järku osatuletised on võrdsed nulliga statsionaarsed punktid. Seega on statsionaarsed punktid kriitiliste punktide alamhulk.

Näide nr 1

Leia funktsiooni $z=x^2+2xy-y^2-4x$ maksimaalne ja minimaalne väärtus suletud piirkonnas, mis on piiratud joontega $x=3$, $y=0$ ja $y=x +1 $.

Lähtume ülaltoodust, kuid esmalt tegeleme etteantud ala joonistamisega, mida tähistame tähega $D$. Meile on antud kolme sirge võrrandid, mis seda ala piiravad. Sirge $x=3$ läbib punkti $(3;0)$ paralleelselt y-teljega (telg Oy). Sirge $y=0$ on abstsisstelje (Ox-telje) võrrand. Noh, sirge $y=x+1$ konstrueerimiseks leiame kaks punkti, mille kaudu me selle sirge tõmbame. Muidugi saate $x$ asemel asendada paar suvalist väärtust. Näiteks asendades $x=10$, saame: $y=x+1=10+1=11$. Leidsime punkti $(10;11)$, mis asub sirgel $y=x+1$. Siiski on parem leida need punktid, kus sirge $y=x+1$ lõikub sirgetega $x=3$ ja $y=0$. Miks see parem on? Sest paneme paar lindu ühe hoobiga maha: sirge $y=x+1$ konstrueerimise eest saame kaks punkti ja samal ajal saame teada, millistes punktides see sirge lõikub teisi antud sirgeid piiravaid sirgeid. ala. Sirge $y=x+1$ lõikub sirgega $x=3$ punktis $(3;4)$ ja sirgega $y=0$ - punktis $(-1;0)$. Et lahenduskäiku mitte risustada abiselgitustega, panen nende kahe punkti saamise küsimuse märkusse.

Kuidas saadi punktid $(3;4)$ ja $(-1;0)$? Näita Peida

Alustame sirgete $y=x+1$ ja $x=3$ lõikepunktist. Soovitud punkti koordinaadid kuuluvad nii esimesele kui ka teisele reale, nii et tundmatute koordinaatide leidmiseks peate lahendama võrrandisüsteemi:

$$ \left \( \begin (joondatud) & y=x+1;\\ & x=3. \end(joondatud) \right. $$

Sellise süsteemi lahendus on triviaalne: asendades esimeses võrrandis $x=3$, saame: $y=3+1=4$. Punkt $(3;4)$ on sirgete $y=x+1$ ja $x=3$ soovitud lõikepunkt.

Nüüd leiame sirgete $y=x+1$ ja $y=0$ lõikepunkti. Jällegi koostame ja lahendame võrrandisüsteemi:

$$ \left \( \begin (joondatud) & y=x+1;\\ & y=0. \end(joondatud) \right. $$

Asendades esimeses võrrandis $y=0$, saame: $0=x+1$, $x=-1$. Punkt $(-1;0)$ on sirgete $y=x+1$ ja $y=0$ (abstsisstell) soovitud lõikepunkt.

Kõik on valmis joonise loomiseks, mis näeb välja selline:

Sedeli küsimus tundub ilmne, sest jooniselt on kõik näha. Siiski tasub meeles pidada, et joonis ei saa olla tõendusmaterjal. Joonis on selguse huvides vaid illustratsioon.

Meie ala määrati seda piiravate joonte võrrandite abil. On ilmne, et need jooned määratlevad kolmnurga, kas pole? Või pole päris ilmne? Või äkki antakse meile erinev ala, mis on piiratud samade joontega:

Muidugi on tingimusel, et ala on suletud, seega on näidatud pilt vale. Kuid selliste ebaselguste vältimiseks on parem määratleda piirkonnad ebavõrdsuse järgi. Oleme huvitatud lennuki osast, mis asub joone $y=x+1$ all? Ok, nii et $y ≤ x+1$. Meie ala peaks asuma joone $y=0$ kohal? Suurepärane, seega $y ≥ 0$. Muide, kaks viimast võrratust on hõlpsasti üheks ühendatavad: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin (joondatud) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end (joondatud) \paremale. $$

Need ebavõrdsused defineerivad domeeni $D$ ja määravad selle üheselt, ilma kahemõttelisuseta. Aga kuidas see meid joonealuse märkuse alguses oleva küsimuse puhul aitab? Aitab ka :) Peame kontrollima, kas punkt $M_1(1;1)$ kuulub piirkonda $D$. Asendame seda piirkonda määratleva ebavõrdsuse süsteemi väärtused $x=1$ ja $y=1$. Kui mõlemad ebavõrdsused on täidetud, asub punkt piirkonna sees. Kui vähemalt üks ebavõrdsustest ei ole täidetud, siis punkt ei kuulu piirkonda. Niisiis:

$$ \left \( \begin (joondatud) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end (joondatud) \paremale. \;\; \left \( \begin (joondatud) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(joondatud) \right.$$

Mõlemad ebavõrdsused on tõesed. Punkt $M_1(1;1)$ kuulub piirkonda $D$.

Nüüd on kord uurida funktsiooni käitumist domeeni piiril, st. minema. Alustame sirgega $y=0$.

Sirge $y=0$ (abstsisstelg) piirab piirkonda $D$ tingimusel $-1 ≤ x ≤ 3$. Asendage $y=0$ antud funktsioonis $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Ühe muutuja $x$ saadud asendusfunktsiooni tähistatakse kui $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Nüüd peame funktsiooni $f_1(x)$ jaoks leidma suurima ja väikseima väärtuse vahemikus $-1 ≤ x ≤ 3$. Leidke selle funktsiooni tuletis ja võrdsustage see nulliga:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Väärtus $x=2$ kuulub segmenti $-1 ≤ x ≤ 3$, seega lisame punktide loendisse ka $M_2(2;0)$. Lisaks arvutame välja funktsiooni $z$ väärtused segmendi $-1 ≤ x ≤ 3$ otstes, s.o. punktides $M_3(-1;0)$ ja $M_4(3;0)$. Muide, kui punkt $M_2$ ei kuuluks vaadeldavasse lõiku, siis loomulikult poleks vaja arvutada selles oleva funktsiooni $z$ väärtust.

Niisiis, arvutame funktsiooni $z$ väärtused punktides $M_2$, $M_3$, $M_4$. Muidugi saab nende punktide koordinaadid algses avaldises $z=x^2+2xy-y^2-4x$ asendada. Näiteks punkti $M_2$ jaoks saame:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Siiski saab arvutusi veidi lihtsustada. Selleks tasub meeles pidada, et segmendil $M_3M_4$ on meil $z(x,y)=f_1(x)$. Ma kirjutan selle üksikasjalikult välja:

\begin(joonatud) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(joondatud)

Loomulikult pole tavaliselt selliseid üksikasjalikke kandeid vaja ja edaspidi hakkame kõiki arvutusi lühemalt kirja panema:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Nüüd pöörame sirgele $x=3$. See rida piirab domeeni $D$ tingimusel $0 ≤ y ≤ 4$. Asendage $x=3$ antud funktsiooniga $z$. Sellise asendamise tulemusena saame funktsiooni $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Funktsiooni $f_2(y)$ jaoks peate leidma suurima ja väikseima väärtuse vahemikus $0 ≤ y ≤ 4$. Leidke selle funktsiooni tuletis ja võrdsustage see nulliga:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Väärtus $y=3$ kuulub segmenti $0 ≤ y ≤ 4$, seega lisame varem leitud punktidele $M_5(3;3)$. Lisaks on vaja välja arvutada funktsiooni $z$ väärtus lõigu $0 ≤ y ≤ 4$ otste punktides, s.o. punktides $M_4(3;0)$ ja $M_6(3;4)$. Punktis $M_4(3;0)$ oleme juba välja arvutanud $z$ väärtuse. Arvutame funktsiooni $z$ väärtuse punktides $M_5$ ja $M_6$. Tuletan teile meelde, et segmendis $M_4M_6$ on meil $z(x,y)=f_2(y)$, seega:

\begin(joondatud) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(joondatud)

Ja lõpuks võtame arvesse $D$ viimast piiri, st. rida $y=x+1$. See joon piirab piirkonda $D$ tingimusel $-1 ≤ x ≤ 3$. Asendades $y=x+1$ funktsiooni $z$, saame:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Taas on meil ühe muutuja $x$ funktsioon. Ja jällegi peate leidma selle funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused segmendis $-1 ≤ x ≤ 3 $. Leia funktsiooni $f_(3)(x)$ tuletis ja võrdsusta see nulliga:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Väärtus $x=1$ kuulub vahemikku $-1 ≤ x ≤ 3$. Kui $x=1$, siis $y=x+1=2$. Lisame punktide loendisse $M_7(1;2)$ ja uurime, mis on funktsiooni $z$ väärtus antud punktis. Lõigu $-1 ≤ x ≤ 3$ otstes olevad punktid, s.o. punktid $M_3(-1;0)$ ja $M_6(3;4)$ vaadeldi varem, funktsiooni väärtuse oleme neist juba leidnud.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Lahenduse teine ​​etapp on lõpetatud. Saime seitse väärtust:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Pöördume poole. Valides kolmandas lõigus saadud arvude hulgast suurima ja väikseima väärtuse, saame:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Probleem on lahendatud, jääb üle vaid vastus kirja panna.

Vastus: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Näide nr 2

Leidke funktsiooni $z=x^2+y^2-12x+16y$ maksimaalne ja minimaalne väärtus piirkonnas $x^2+y^2 ≤ 25$.

Ehitame kõigepealt joonise. Võrrand $x^2+y^2=25$ (see on antud ala piirjoon) määratleb ringi, mille keskpunkt on lähtepunktis (st punktis $(0;0)$) ja raadius 5. Võrratus $x^2 +y^2 ≤ 25$ rahuldab kõik punktid nimetatud ringi sees ja sellel.

Me tegutseme edasi. Leiame osatuletised ja selgitame välja kriitilised punktid.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Pole ühtegi punkti, kus leitud osatuletisi ei eksisteeriks. Uurime, millistes punktides on mõlemad osatuletised samaaegselt võrdsed nulliga, s.t. leidke statsionaarsed punktid.

$$ \left \( \begin(joonatud) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(joondatud) \parem. \;\; \left \( \begin (joondatud) & x =6;\\ & y=-8.\end(joondatud) \right.$$

Saime statsionaarse punkti $(6;-8)$. Leitud punkt ei kuulu aga piirkonda $D$. Seda on lihtne näidata isegi joonistamist kasutamata. Kontrollime, kas meie domeeni $D$ määratlev ebavõrdsus $x^2+y^2 ≤ 25$ kehtib. Kui $x=6$, $y=-8$, siis $x^2+y^2=36+64=100$, s.o. ebavõrdsus $x^2+y^2 ≤ 25$ ei ole täidetud. Järeldus: punkt $(6;-8)$ ei kuulu piirkonda $D$.

Seega pole $D$ sees kriitilisi punkte. Liigume edasi, juurde. Peame uurima funktsiooni käitumist antud ala piiril, s.t. ringil $x^2+y^2=25$. Muidugi saate väljendada $y$ kujul $x$ ja seejärel asendada saadud avaldise meie funktsiooniga $z$. Ringvõrrandist saame: $y=\sqrt(25-x^2)$ või $y=-\sqrt(25-x^2)$. Asendades antud funktsiooniga näiteks $y=\sqrt(25-x^2)$, saame:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Edasine lahendus on täiesti identne eelmises näites nr 1 piirkonna piiril oleva funktsiooni käitumise uurimisega. Siiski tundub mulle selles olukorras mõistlikum rakendada Lagrange'i meetodit. Meid huvitab ainult selle meetodi esimene osa. Pärast Lagrange'i meetodi esimese osa rakendamist saame punktid, kus ja uurime funktsiooni $z$ miinimum- ja maksimumväärtuste jaoks.

Koostame Lagrange'i funktsiooni:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Leiame Lagrange'i funktsiooni osatuletised ja koostame vastava võrrandisüsteemi:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2a+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (joondatud) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(joondatud) \ paremale. \;\; \left \( \begin(joondatud) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( joondatud)\right.$$

Selle süsteemi lahendamiseks märgime kohe, et $\lambda\neq -1$. Miks $\lambda\neq -1$? Proovime esimeses võrrandis asendada $\lambda=-1$:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Saadud vastuolu $0=6$ ütleb, et väärtus $\lambda=-1$ on kehtetu. Väljund: $\lambda\neq -1$. Väljendame $x$ ja $y$ väärtusega $\lambda$:

\begin(joondatud) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(joondatud)

Usun, et siin saab selgeks, miks me seadsime konkreetselt tingimuse $\lambda\neq -1$. Seda tehti selleks, et sobitada avaldis $1+\lambda$ nimetajatesse segamatult. See tähendab, et olla kindel, et nimetaja on $1+\lambda\neq 0$.

Asendame saadud avaldised $x$ ja $y$ süsteemi kolmanda võrrandiga, st. $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Saadud võrdsusest järeldub, et $1+\lambda=2$ või $1+\lambda=-2$. Seega on meil kaks parameetri $\lambda$ väärtust, nimelt: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Sellest lähtuvalt saame kaks paari väärtusi $x$ ja $y$:

\begin(joondatud) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(joondatud)

Seega saime võimaliku tingimusliku ekstreemumi kaks punkti, s.o. $M_1(3;-4)$ ja $M_2(-3;4)$. Leidke funktsiooni $z$ väärtused punktides $M_1$ ja $M_2$:

\begin(joondatud) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(joondatud)

Peaksime valima suurimad ja väikseimad väärtused nendest, mis saime esimeses ja teises etapis. Aga sel juhul on valik väike :) Meil ​​on:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Vastus: $z_(min) = -75; \; z_(max)=125 $.

Õppetund teemal: "Lõigul pideva funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmine"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, tagasisidet, ettepanekuid! Kõiki materjale kontrollib viirusetõrjeprogramm.

Käsiraamatud ja simulaatorid veebipoes "Integral" 10. klassile alates 1C
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ehitusülesanded 7.-10. klassile
Lahendame ülesandeid geomeetrias. Interaktiivsed ülesanded ruumi ehitamiseks

Mida me uurime:

1. Suurima ja väikseima väärtuse leidmine funktsiooni graafiku järgi.
2. Suurima ja väikseima väärtuse leidmine tuletise abil.
3. Algoritm pideva funktsiooni y=f(x) suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks lõigul .
4. Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus avatud intervallil.
5. Näited.

Funktsiooni graafikult suurima ja väikseima väärtuse leidmine

Poisid, oleme varem leidnud funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused. Vaatasime funktsiooni graafikut ja jõudsime järeldusele, kus funktsioon saavutab oma maksimaalse väärtuse ja kus saavutab minimaalse väärtuse.
Kordame:

Meie funktsiooni graafik näitab, et suurim väärtus saavutatakse punktis x= 1, see on võrdne 2-ga. Väikseim väärtus saavutatakse punktis x= -1 ja see võrdub -2-ga. Nii on üsna lihtne leida suurimaid ja väikseimaid väärtusi, kuid funktsioonigraafikut pole alati võimalik joonistada.

Suurima ja väikseima väärtuse leidmine tuletise abil

Poisid, mida te arvate, kuidas leiate tuletise abil suurima ja väikseima väärtuse?

Vastuse leiab funktsiooni teemaäärmisest. Seal leidsime sina ja mina maksimum- ja miinimumpunktid, kas pole terminid sarnased. Siiski ei tohiks segi ajada maksimaalset ja minimaalset väärtust funktsiooni maksimumi ja miinimumiga, need on erinevad mõisted.

Tutvustame siis reegleid:
a) Kui funktsioon on intervallil pidev, saavutab see sellel intervallil oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse.
b) Funktsioon võib saavutada maksimaalse ja minimaalse väärtuse nii segmentide otstes kui ka selle sees. Vaatame seda punkti üksikasjalikumalt.

Joonisel a saavutab funktsioon oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse segmentide otstes.
Joonisel b saavutab funktsioon maksimaalse ja minimaalse väärtuse intervalli sees. Joonisel c on minimaalne punkt lõigu sees ja maksimumpunkt lõigu lõpus punktis b.
c) Kui suurimad ja väikseimad väärtused saavutatakse segmendi sees, siis ainult statsionaarsetes või kriitilistes punktides.

Algoritm pideva funktsiooni y= f(x) suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks lõigul

• Leidke tuletis f "(x).
• Leidke lõigu sees statsionaarsed ja kriitilised punktid.
• Arvutage funktsiooni väärtus statsionaarsetes ja kriitilistes punktides, samuti punktides f(a) ja f(b). Valige väikseim ja suurim väärtus, need on funktsiooni väikseima ja suurima väärtuse punktid.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus avatud intervallil

Poisid, kuidas leida avatud intervallil funktsiooni suurim ja väikseim väärtus? Selleks kasutame olulist teoreemi, mis on tõestatud kõrgema matemaatika käigus.

Teoreem. Olgu funktsioon y= f(x) pidev intervallil x ja selle intervalli sees on ainus statsionaarne või kriitiline punkt x= x0, siis:
a) kui x= x0 on maksimumpunkt, siis y on max. = f(x0).
b) kui x= x0 on miinimumpunkt, siis y min. = f(x0).

Näide

Leia lõigul funktsiooni y= $\frac(x^3)(3)$ + 2x 2 + 4x - 5 suurim ja väikseim väärtus
a) [-9;-1], b) [-3; 3], c) .
Lahendus: leidke tuletis: y "= x 2 + 4x + 4.
Tuletis eksisteerib kogu definitsioonipiirkonnas, siis peame leidma statsionaarsed punktid.
y" = 0, kus x = -2.
Vajalike segmentide jaoks tehakse täiendavad arvutused.
a) Leidke funktsiooni väärtused lõigu otstes ja statsionaarses punktis.
Siis y nam. = -122, x = -9; y max. = y = -7$\frac(1)(3)$, kui x= -1.
b) Leidke funktsiooni väärtused lõigu otstes ja statsionaarses punktis. Suurim ja väikseim väärtus saavutatakse segmendi otstes.
Siis y nam. = -8, x = -3 juures, y max. = 34, x = 3 juures.
c) Statsionaarne punkt ei lange meie lõigule, leiame väärtused segmendi otstest.
Siis y nam. = 34, x = 3 juures, y max. = 436, x = 9.

Näide

Leia funktsiooni y= x 2 - 3x + 5 + |1-x| suurim ja väikseim väärtus segmendil.
Lahendus: laiendage moodulit ja muutke meie funktsiooni:
y = x 2 - 3x + 5 + 1 - x, kui x ≤ 1.
y = x 2 - 3x + 5 - 1 + x, kui x ≥ 1.

Siis on meie funktsioon järgmisel kujul:
\begin(võrrand*)f(x)= \begin(cases) x^2 - 4x + 6,\quad if\quad x ≤ 1 \\ x^2 - 2x + 4,\quad if\quad x ≥ 1 \end(juhud) \end(võrrand*) Otsige kriitilised punktid: \begin(võrrand*)f"(x)= \begin(cases) 2x - 4,\quad for \quad x ≤ 1 \\ 2x - 2, \quad when\quad x ≥ 1 \end(cases) \end(võrrand*) \begin(võrrand*)f"(x)=0,\quad when\quad x= \begin(cases) 2,\quad when \quad x ≤ 1 \\ 1,\quad for \quad x ≥ 1 \end(juhud) \end(võrrand*) Niisiis, meil on kaks statsionaarset punkti ja ärgem unustagem, et meie funktsioon koosneb kahest erineva x funktsioonist.
Leiame funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused, selleks arvutame funktsiooni väärtused statsionaarsetes punktides ja segmendi otstes:
Vastus: Funktsioon saavutab oma minimaalse väärtuse statsionaarses punktis x= 1, y vähemalt. = 3. Funktsioon saavutab maksimaalse väärtuse lõigu lõpus punktis x= 4, y max. = 12.

Näide

Leia funktsiooni y= $\frac(3x)(x^2 + 3)$ maksimaalne väärtus kiirelt: , b) , c) [-4;7].
b) Leia funktsiooni y= x 2 - 6x + 8 + |x - 2| suurim ja väikseim väärtus. intervallil [-1;5].
c) Leia kiirel (0;+∞) funktsiooni y= $-2x-\frac(1)(2x)$ suurim ja väikseim väärtus.

Praktilisest vaatenurgast on kõige huvitavam tuletise kasutamine funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks. Millega see seotud on? Kasumi maksimeerimine, kulude minimeerimine, seadmete optimaalse koormuse määramine... Ehk siis paljudes eluvaldkondades tuleb lahendada mõne parameetri optimeerimise probleem. Ja see on funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmise probleem.

Tuleb märkida, et funktsiooni suurimat ja väikseimat väärtust otsitakse tavaliselt mingil intervallil X , mis on kas funktsiooni kogu domeen või osa domeenist. Intervall X ise võib olla sirglõik, avatud intervall , lõpmatu intervall .

Selles artiklis räägime ühe muutuja y=f(x) selgesõnaliselt antud funktsiooni suurimate ja väiksemate väärtuste leidmisest.

Leheküljel navigeerimine.

Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus – definitsioonid, illustratsioonid.

Peatugem lühidalt peamistel määratlustel.

Funktsiooni suurim väärtus , mis mis tahes ebavõrdsus on tõsi.

Funktsiooni väikseim väärtus y=f(x) intervallil X nimetatakse selliseks väärtuseks , mis mis tahes ebavõrdsus on tõsi.

Need definitsioonid on intuitiivsed: funktsiooni suurim (väikseim) väärtus on suurim (väikseim) väärtus, mis on aktsepteeritud vaadeldavas intervallis abstsissiga.

Statsionaarsed punktid on argumendi väärtused, mille juures funktsiooni tuletis kaob.

Miks on suurimate ja väiksemate väärtuste leidmisel vaja statsionaarseid punkte? Vastuse sellele küsimusele annab Fermat' teoreem. Sellest teoreemist järeldub, et kui diferentseeruval funktsioonil on mingis punktis ekstreemum (lokaalne miinimum või lokaalne maksimum), siis see punkt on statsionaarne. Seega võtab funktsioon sellest intervallist sageli oma maksimaalse (väikseima) väärtuse intervallil X ühes statsionaarses punktis.

Samuti võib funktsioon sageli võtta suurima ja väikseima väärtuse kohtades, kus selle funktsiooni esimest tuletist ei eksisteeri ja funktsioon ise on määratletud.

Vastame kohe ühele enamlevinud küsimusele sellel teemal: "Kas funktsiooni suurimat (väiksemat) väärtust on alati võimalik määrata"? Ei mitte alati. Mõnikord langevad intervalli X piirid kokku funktsiooni valdkonna piiridega või on intervall X lõpmatu. Ja mõned funktsioonid lõpmatuses ja määratluspiirkonna piiridel võivad võtta nii lõpmatult suuri kui ka lõpmatult väikseid väärtusi. Nendel juhtudel ei saa funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse kohta midagi öelda.

Selguse huvides toome graafilise illustratsiooni. Vaadake pilte - ja palju selgub.

Segmendil

Esimesel joonisel võtab funktsioon suurima (max y ) ja väikseima (min y ) väärtuse lõigu [-6;6] statsionaarsetes punktides.

Mõelge teisel joonisel näidatud juhtumile. Muutke segmendiks . Selles näites saavutatakse funktsiooni väikseim väärtus statsionaarses punktis ja suurim - punktis, mille abstsiss vastab intervalli paremale piirile.

Joonisel nr 3 on lõigu [-3; 2] piiripunktid funktsiooni suurimale ja väikseimale väärtusele vastavate punktide abstsissid.

Avamaal

Neljandal joonisel võtab funktsioon avatud intervalli (-6;6) statsionaarsetes punktides suurima (max y ) ja väikseima (min y ) väärtuse.

Intervalli kohta ei saa teha järeldusi suurima väärtuse kohta.

Lõpmatuseni

Seitsmendal joonisel kujutatud näites võtab funktsioon suurima väärtuse (max y ) statsionaarses punktis, mille abstsiss on x=1 , ja väikseima väärtuse (min y ) saavutatakse intervalli parempoolsel piiril. Minus lõpmatuse juures lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt väärtusele y=3 .

Intervalli puhul ei saavuta funktsioon ei väikseimat ega suurimat väärtust. Kuna x=2 kaldub paremale, kalduvad funktsiooni väärtused miinus lõpmatuseni (sirge x=2 on vertikaalne asümptoot) ja kuna abstsiss kaldub pluss lõpmatus, lähenevad funktsiooni väärtused asümptootiliselt väärtusele y=3 . Selle näite graafiline illustratsioon on näidatud joonisel 8.

Algoritm pideva funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks segmendis.

Kirjutame algoritmi, mis võimaldab leida segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse.

1. Leiame funktsiooni domeeni ja kontrollime, kas see sisaldab kogu segmenti.
2. Leiame kõik punktid, kus esimest tuletist ei eksisteeri ja mis sisalduvad segmendis (tavaliselt esinevad sellised punktid funktsioonides, mille argumendiks on moodulmärgi all ja astmefunktsioonides, millel on murd-ratsionaalne astendaja). Kui selliseid punkte pole, minge järgmise punkti juurde.
3. Määrame kõik segmenti kuuluvad statsionaarsed punktid. Selleks võrdsustame selle nulliga, lahendame saadud võrrandi ja valime sobivad juured. Kui statsionaarseid punkte pole või ükski neist ei lange segmenti, minge järgmise sammu juurde.
4. Arvutame funktsiooni väärtused valitud statsionaarsetes punktides (kui neid on), punktides, kus esimest tuletist ei eksisteeri (kui see on olemas), samuti x=a ja x=b .
5. Saadud funktsiooni väärtuste hulgast valime suurima ja väikseima – need on vastavalt soovitud funktsiooni maksimaalsed ja väikseimad väärtused.

Analüüsime algoritmi, kui lahendame näite segmendi funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks.

Näide.

Leia funktsiooni suurim ja väikseim väärtus

• segmendil;
• intervallil [-4;-1] .

Otsus.

Funktsiooni domeeniks on kogu reaalarvude komplekt, välja arvatud null, see tähendab . Mõlemad segmendid kuuluvad määratluspiirkonda.

Leiame funktsiooni tuletise järgmise suhtes:

Ilmselt eksisteerib funktsiooni tuletis lõikude kõikides punktides ja [-4;-1] .

Statsionaarsed punktid määratakse võrrandist . Ainus tegelik juur on x=2 . See statsionaarne punkt langeb esimesse segmenti.

Esimesel juhul arvutame funktsiooni väärtused segmendi otstes ja statsionaarses punktis, st x=1 , x=2 ja x=4 korral:

Seetõttu on funktsiooni suurim väärtus saavutatakse x=1 ja väikseima väärtuse juures – x=2 juures.

Teisel juhul arvutame funktsiooni väärtused ainult segmendi [-4;-1] otstes (kuna see ei sisalda statsionaarseid punkte):

Laske funktsioonil y=f(X) pidev intervallil [ a, b]. Nagu teada, saavutab selline funktsioon sellel segmendil oma maksimaalse ja minimaalse väärtuse. Funktsioon võib võtta need väärtused kas segmendi sisepunktis [ a, b] või lõigu piiril.

Funktsiooni suurima ja väikseima väärtuse leidmiseks segmendis [ a, b] vajalik:

1) leida funktsiooni kriitilised punktid vahemikus ( a, b);

2) arvutab funktsiooni väärtused leitud kriitilistes punktides;

3) arvutage funktsiooni väärtused segmendi otstes, see tähendab jaoks x=a ja x = b;

4) valige funktsiooni kõigist arvutatud väärtustest suurim ja väikseim.

Näide. Leia funktsiooni suurimad ja väikseimad väärtused

segmendil.

Kriitiliste punktide leidmine:

Need punktid asuvad segmendi sees; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

punktis x= 3 ja punktis x= 0.

Kumeruse ja käändepunkti funktsiooni uurimine.

Funktsioon y = f (x) helistas kumer vahel (a, b) , kui selle graafik asub selle intervalli mis tahes punktis tõmmatud puutuja all ja seda nimetatakse allapoole kumer (nõgus) kui selle graafik asub puutuja kohal.

Nimetatakse üleminekupunkti, mille kaudu kumerus asendub nõgususega või vastupidi pöördepunkt.

Algoritm kumeruse ja käändepunkti uurimiseks:

1. Leidke teist tüüpi kriitilised punktid, st punktid, kus teine ​​tuletis on võrdne nulliga või seda ei eksisteeri.

2. Pane arvureale kriitilised punktid, jagades selle intervallideks. Leia igal intervallil teise tuletise märk; kui , siis funktsioon on kumer ülespoole, kui, siis funktsioon on kumer allapoole.

3. Kui teist tüüpi kriitilist punkti läbides muudab see märki ja selles punktis on teine ​​tuletis võrdne nulliga, siis on see punkt käändepunkti abstsiss. Leia selle ordinaat.

Funktsiooni graafiku asümptoodid. Funktsiooni uurimine asümptootideks.

Definitsioon. Funktsiooni graafiku asümptooti nimetatakse otse, millel on omadus, et kaugus graafiku mis tahes punktist selle jooneni kipub olema null, kusjuures graafiku punkt on lähtepunktist piiramatult eemaldatud.

Asümptoote on kolme tüüpi: vertikaalne, horisontaalne ja kaldu.

Definitsioon. Otse kutsutud vertikaalne asümptoot funktsiooni graafik y = f(x), kui selles punktis on vähemalt üks funktsiooni ühekülgsetest piiridest võrdne lõpmatusega,

kus on funktsiooni katkestuspunkt, st see ei kuulu definitsiooni valdkonda.

Näide.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - murdepunkt.

Definitsioon. Otse y=A helistas horisontaalne asümptoot funktsiooni graafik y = f(x) juures , kui

Näide.

x
y

Definitsioon. Otse y=kx +b (k≠ 0) kutsutakse kaldus asümptoot funktsiooni graafik y = f(x) kus

Funktsioonide uurimise ja joonistamise üldskeem.

Funktsiooni uurimise algoritmy = f(x) :

1. Leidke funktsiooni domeen D (y).

2. Leidke (võimalusel) graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega (koos x= 0 ja at y = 0).

3. Uurige paaris- ja paarituid funktsioone ( y (‒ x) = y (x) ‒ võrdsus; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ kummaline).

4. Leia funktsiooni graafiku asümptoodid.

5. Leia funktsiooni monotoonsuse intervallid.

6. Leia funktsiooni ekstreem.

7. Leia funktsiooni graafiku kumeruse (nõgususe) ja käänupunktide intervallid.

8. Koostage läbiviidud uurimistöö põhjal funktsiooni graafik.

Näide. Uurige funktsiooni ja koostage selle graafik.

1) D (y) =

x= 4 - murdepunkt.

2) Millal x = 0,

(0; – 5) – lõikepunkt oi.

Kell y = 0,

3) y(‒ x)= üldfunktsioon (ei paaris ega paaritu).

4) Uurime asümptoote.

a) vertikaalne

b) horisontaalne

c) leida kaldus asümptoote kus

‒kald asümptoodi võrrand

5) Selles võrrandis ei ole vaja leida funktsiooni monotoonsuse intervalle.

6)

Need kriitilised punktid jagavad funktsiooni kogu domeeni intervalliga (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ja (10; +∞). Saadud tulemused on mugav esitada järgmise tabeli kujul.