Kako pronaći najmanji pozitivni korijen trigonometrijske jednadžbe. Trigonometrijske jednadžbe

Trigonometrijske jednadžbe. U sklopu ispita iz matematike u prvom dijelu nalazi se zadatak koji se odnosi na rješavanje jednadžbe - ovaj jednostavne jednadžbe, koji se rješavaju u nekoliko minuta, mnoge vrste mogu se riješiti usmeno. Uključuje: linearne, kvadratne, racionalne, iracionalne, eksponencijalne, logaritamske i trigonometrijske jednadžbe.

U ovom ćemo članku razmotriti trigonometrijske jednadžbe. Njihovo se rješenje razlikuje i po obujmu izračuna i po složenosti od ostalih problema u ovom dijelu. Nemojte se uznemiriti, riječ "teškoća" odnosi se na njihovu relativnu težinu u usporedbi s drugim zadacima.

Osim pronalaženja samih korijena jednadžbe, potrebno je odrediti najveći negativni ili najmanji pozitivni korijen. Vjerojatnost da ćete na ispitu dobiti trigonometrijsku jednadžbu je, naravno, mala.

U ovom dijelu Jedinstvenog državnog ispita ima ih manje od 7%. Ali to ne znači da ih treba ignorirati. U dijelu C također trebate riješiti trigonometrijsku jednadžbu, tako da je jednostavno potrebno dobro razumijevanje tehnike rješavanja i razumijevanje teorije.

Razumijevanje trigonometrijskog dijela matematike uvelike će odrediti vaš uspjeh u rješavanju mnogih problema. Podsjećam vas da je odgovor cijeli ili konačan broj decimal. Nakon što dobijete korijene jednadžbe, OBAVEZNO provjerite. Neće oduzeti puno vremena, a spasit će vas od pogrešaka.

U budućnosti ćemo pogledati i druge jednadžbe, ne propustite! Prisjetimo se formula za korijene trigonometrijskih jednadžbi, morate ih znati:

Poznavanje ovih vrijednosti je neophodno; ovo je "ABC", bez kojeg je nemoguće nositi se s mnogim zadacima. Super, ako vam je pamćenje dobro, lako ste naučili i zapamtili ove vrijednosti. Što učiniti ako to ne možete učiniti, zbrka vam je u glavi, ali samo ste se zbunili na polaganju ispita. Šteta bi bilo izgubiti bod jer ste u svojim izračunima upisali krivu vrijednost.

Ove vrijednosti su jednostavne, također su navedene u teoriji koju ste dobili u drugom pismu nakon pretplate na newsletter. Ako se još niste pretplatili, učinite to! U budućnosti ćemo također razmotriti kako se te vrijednosti mogu odrediti trigonometrijski krug. Nije uzalud nazvan "Zlatnim srcem trigonometrije".

Dopustite mi da odmah objasnim, kako bismo izbjegli zabunu, da su u jednadžbama koje se razmatraju u nastavku dane definicije arkusina, arkkosinusa, arktangensa koji koriste kut x Za odgovarajuće jednadžbe: cosx=a, sinx=a, tgx=a, gdje je x može biti i izraz. U primjerima u nastavku, naš argument je točno određen izrazom.

Dakle, razmotrimo sljedeće zadatke:

Pronađite korijen jednadžbe:

Zapišite najveći negativni korijen u svoj odgovor.

Odlukom cos jednadžbe x = a su dva korijena:

Definicija: Neka broj a u modulu nije veći od jedinice. Arkus kosinus broja je kut x koji leži u rasponu od 0 do Pi, čiji je kosinus jednak a.

Sredstva

Izrazimo se x:

Pronađimo najveći negativni korijen. Kako to učiniti? Zamijenimo različita značenja n u dobivene korijene, izračunajte i odaberite najveći negativni.

Računamo:

S n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4,5 = – 10,5 x 2 = 3 (– 2) – 5,5 = – 11,5

S n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4,5 = – 7,5 x 2 = 3 (– 1) – 5,5 = – 8,5

S n = 0 x 1 = 3∙0 – 4,5 = – 4,5 x 2 = 3∙0 – 5,5 = – 5,5

S n = 1 x 1 = 3∙1 – 4,5 = – 1,5 x 2 = 3∙1 – 5,5 = – 2,5

S n = 2 x 1 = 3∙2 – 4,5 = 1,5 x 2 = 3∙2 – 5,5 = 0,5

Otkrili smo da je najveći negativni korijen –1,5

Odgovor: –1.5

Odlučite sami:

Riješite jednadžbu:

Odlukom sin jednadžbe x = a su dva korijena:

Bilo (kombinira oba gorenavedena):

Definicija: Neka broj a u modulu nije veći od jedinice. Arkusinus broja je kut x koji leži u rasponu od – 90° do 90°, čiji je sinus jednak a.

Sredstva

Izrazite x (pomnožite obje strane jednadžbe s 4 i podijelite s Pi):

Pronađimo najmanji pozitivni korijen. Ovdje je odmah jasno da kod zamjene negativne vrijednosti n dobivamo negativne korijene. Stoga ćemo zamijeniti n = 0,1,2...

Kada je n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Kada je n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

S n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Provjerimo s n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Dakle, najmanji pozitivni korijen je 4.

Odgovor: 4

Odlučite sami:

Riješite jednadžbu:

U svoj odgovor upiši najmanji pozitivni korijen.

Često u zadacima povećana složenost sastati se trigonometrijske jednadžbe koje sadrže modul. Većina njih zahtijeva heuristički pristup rješavanju, što je većini školaraca potpuno nepoznato.

Dolje predloženi problemi imaju za cilj da vas upoznaju s najtipičnijim tehnikama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje sadrže modul.

Zadatak 1. Nađite razliku (u stupnjevima) najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog korijena jednadžbe 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Riješenje.

Proširimo modul:

1) Ako je cos x ≥ 0, tada će izvorna jednadžba imati oblik 1 + 2sin x · cos x = 0.

Upotrijebimo formulu sinusa dvostruki kut, dobivamo:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Kako je cos x ≥ 0, onda je x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Ako je cos x< 0, то dana jednadžba ima oblik 1 – 2sin x cos x = 0. Koristeći formulu sinusa dvostrukog kuta, imamo:

1 – sin 2x = 0; sin 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Budući da je cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Najveći negativni korijen jednadžbe: -π/4; najmanji pozitivni korijen jednadžbe: 5π/4.

Tražena razlika: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Odgovor: 270°.

Zadatak 2. Nađite (u stupnjevima) najmanji pozitivni korijen jednadžbe |tg x| + 1/cos x = tan x.

Riješenje.

Proširimo modul:

1) Ako je tan x ≥ 0, tada

tan x + 1/cos x = tan x;

Rezultirajuća jednadžba nema korijena.

2) Ako je tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 i cos x ≠ 0.

Koristeći sliku 1 i uvjet tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Najmanji pozitivni korijen jednadžbe je 5π/6. Pretvorimo ovu vrijednost u stupnjeve:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Odgovor: 150°.

Zadatak 3. Odredi količinu različiti korijeni jednadžbe sin |2x| = cos 2x na intervalu [-π/2; π/2].

Riješenje.

Napišimo jednadžbu u obliku sin|2x| – cos 2x = 0 i razmotrimo funkciju y = sin |2x| – jer 2x. Budući da je funkcija parna, pronaći ćemo njezine nule za x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; Podijelimo obje strane jednadžbe s cos 2x ≠ 0, dobivamo:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Koristeći parnost funkcije, nalazimo da su korijeni izvorne jednadžbe brojevi oblika

± (π/8 + πn/2), gdje je n € Z.

Interval [-π/2; π/2] pripadaju brojevima: -π/8; π/8.

Dakle, dva korijena jednadžbe pripadaju zadanom intervalu.

Odgovor: 2.

Ova se jednadžba također može riješiti otvaranjem modula.

Zadatak 4. Odredite broj korijena jednadžbe sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x na intervalu [-π; 2π].

Riješenje.

1) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1 > 0, tj. cos x > 1/2, tada jednadžba ima oblik:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 ili 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 ili sin x = 1/2.

Koristeći sliku 2 i uvjet cos x > 1/2, nalazimo korijene jednadžbe:

x = π/6 + 2πn ili x = 2πn, n € Z.

2) Razmotrimo slučaj kada je 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Koristeći sliku 2 i uvjet cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Kombinirajući ova dva slučaja, dobivamo:

x = π/6 + 2πn ili x = πn.

3) Interval [-π; 2π] pripadaju korijenima: π/6; -π; 0; π; 2π.

Dakle, zadani interval sadrži pet korijena jednadžbe.

Odgovor: 5.

Zadatak 5. Odredite broj korijena jednadžbe (x – 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na intervalu [-π; 2π].

Riješenje.

1) Ako je sin x ≥ 0, tada izvorna jednadžba ima oblik (x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Nakon uzimanja zajedničkog faktora sin x iz zagrada, dobivamo:

sin x((x – 0,7) 2 + 1) = 0; budući da je (x – 0,7) 2 + 1 > 0 za sve realne x, tada je sinx = 0, tj. x = πn, n € Z.

2) Ako je sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0,7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 ili (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Budući da je sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Korijen s lijeve strane i desni dijelovi posljednje jednadžbe dobivamo:

x – 0,7 = 1 ili x – 0,7 = -1, što znači x = 1,7 ili x = -0,3.

Uzimajući u obzir uvjet sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, što znači da je samo broj -0,3 korijen izvorne jednadžbe.

3) Interval [-π; 2π] pripadaju brojevima: -π; 0; π; 2π; -0,3.

Dakle, jednadžba ima pet korijena na danom intervalu.

Odgovor: 5.

Možete se pripremiti za lekcije ili ispite koristeći različite obrazovni resursi, koji se nalaze na internetu. Trenutno bilo tko osoba samo treba koristiti nove informacijska tehnologija, jer će njihova ispravna, i što je najvažnije prikladna uporaba pomoći povećati motivaciju u proučavanju predmeta, povećati interes i pomoći u boljoj asimilaciji potrebnog materijala. Ali ne zaboravite da vas računalo ne uči razmišljanju; primljene informacije morate obraditi, razumjeti i zapamtiti. Stoga se možete obratiti našim online tutori, koji će vam pomoći u rješavanju problema koji vas zanimaju.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Dobiti pomoć od učitelja -.
Prvi sat je besplatan!

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Sakupili mi osobne informacije omogućuje nam da Vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događanjima i nadolazećim događanjima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi, u skladu sa zakonom, sudski postupak, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih upita ili zahtjeva od strane vladine agencije na području Ruske Federacije - otkrijte svoje osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.