Tema 6 aritmetički polinomi. Zadaci za samostalno rješavanje

Dopisna škola 7. razred. Zadatak broj 2.

Metodički priručnik br.2.

Teme:

Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma;

Rješavanje jednadžbi i zadataka;

Faktorizacija polinoma;

Skraćene formule za množenje;

Zadaci za samostalno rješavanje.

Polinomi. Zbroj, razlika i umnožak polinoma.

Definicija. polinom naziva se zbroj monoma.

Definicija. Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma.

Množenje monoma polinomom .

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je ovaj monom pomnožiti sa svakim članom polinoma i zbrojiti dobivene produkte.

Množenje polinoma polinomom .

Za množenje polinoma s polinomom, potrebno je pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog polinoma i zbrojiti dobivene produkte.

Primjeri rješavanja zadataka:

Pojednostavite izraz:

Odluka.

Odluka:

Budući da je prema uvjetu koeficijent at onda bi trebao biti nula

Odgovor: -1.

Rješenje jednadžbi i zadataka.

Definicija . Jednakost koja sadrži varijablu naziva se jedna varijabla jednadžba ili jednadžba s jednom nepoznatom.

Definicija . Korijen jednadžbe (rješenje jednadžbe) je vrijednost varijable pri kojoj jednadžba postaje prava jednakost.

Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje skupa korijena.

Definicija. Jednadžba tipa
, gdje x varijabla, a i b - neki brojevi se nazivaju linearna jednadžba s jednom varijablom.

Definicija.

Gomila korijeni linearne jednadžbe mogu:

Primjeri rješavanja problema:

Je li dati broj 7 korijen jednadžbe:

Odluka:

Dakle, x=7 je korijen jednadžbe.

Odgovor: Da.

Riješite jednadžbe:

Odluka:

Odgovor: -12

Odgovor: -0,4

S pristaništa je prema gradu krenuo čamac brzinom od 12 km/h, a nakon pola sata u ovom smjeru krenuo je i parobrod brzinom od 20 km/h. Kolika je udaljenost od pristaništa do grada ako je parobrod stigao u grad 1,5 sat ranije od broda?

Odluka:

Neka je x udaljenost od luke do grada.

	Ubrzati (km/h)	Vrijeme (h)	put (km)
Brod
parobrod

Prema stanju problema, brod je proveo 2 sata više vremena od parobroda (budući da je parobrod napustio pristanište pola sata kasnije i stigao u grad 1,5 sat ranije od broda).

Napravimo i riješimo jednadžbu:

60 km - udaljenost od pristaništa do grada.

Odgovor: 60 km.

Duljina pravokutnika se smanjuje za 4 cm i dobiva se kvadrat čija je površina manja od površine pravokutnika za 12 cm². Pronađite površinu pravokutnika.

Odluka:

Neka je x stranica pravokutnika.

	Duljina	Širina	Kvadrat
Pravokutnik			x(x-4)
Kvadrat			(x-4)(x-4)

Prema uvjetu zadatka, površina kvadrata je manja od površine pravokutnika za 12 cm².

Napravimo i riješimo jednadžbu:

7 cm je duljina pravokutnika.

(cm²) je površina pravokutnika.

Odgovor: 21 cm².

Turisti su planiranom rutom prošli tri dana. Prvog dana prešli su 35% planirane rute, drugog - 3 km više nego prvog, a trećeg - preostalih 21 km. Kolika je duljina rute?

Odluka:

Neka je x duljina cijele rute.

	1 dan	2 dan	3 dan
Dužina puta		0,35x+3
Ukupna duljina puta iznosila je x km.

Dakle, sastavljamo i rješavamo jednadžbu:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km dužine cijele rute.

Odgovor: 70 km.

Faktorizacija polinoma.

Definicija . Predstavljanje polinoma kao produkta dva ili više polinoma naziva se faktorizacija.

Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada .

Primjer :

Metoda grupiranja .

Grupiranje se mora izvršiti tako da svaka grupa ima zajednički faktor, osim toga, nakon što se zajednički faktor izvuče iz zagrada u svakoj skupini, rezultirajući izrazi također moraju imati zajednički faktor.

Primjer :

Skraćene formule za množenje.

Umnožak razlike dvaju izraza i njihovog zbroja jednak je razlici kvadrata tih izraza.

Kvadrat zbroja dvaju izraza jednak je kvadratu prvog izraza, plus dvostruki umnožak prvog i drugog izraza, plus kvadrat drugog izraza. rješenja. 1. Pronađite ostatak prilikom dijeljenja polinom x6 - 4x4 + x3 ... nema odluke, a odluke drugi su parovi (1; 2) i (2; 1). Odgovor: (1; 2) , (2; 1). Zadaci za neovisna rješenja. Riješite sustav...

Uzorni kurikulum iz algebre i počeci analize za 10.-11. razred (profilna razina) Napomena
Program
Svaki odlomak daje traženi broj zadataka za neovisna rješenja prema rastućoj složenosti. ... algoritam dekompozicije polinom u potencijama binoma; polinomi s kompleksnim koeficijentima; polinomi sa pravim...
Izborni predmet “Rješenje nestandardnih zadataka. 9. razred „Završio nastavnik matematike
izborni predmet
Jednadžba je ekvivalentna jednadžbi R(h) = Q(X), gdje su R(h) i Q(x) neki polinomi s jednom varijablom x. Pomicanje Q(x) na lijevu stranu... = . ODGOVOR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. ZADACI ZA NEZAVISNA RJEŠENJA. Riješite sljedeće jednadžbe: x4 - 8x...
Izborni program iz matematike za 8. razred
Program
Teorem algebre, teorem Vieta za kvadratni trinom i za polinom proizvoljni stupanj, racionalni teorem... stvari. Ne samo da je popis zadataka za neovisna rješenja, ali i zadatak napraviti zamašni model ...

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronički udžbenik o udžbeniku Yu.N. Makarychev
Elektronski udžbenik o udžbeniku Sh.A. Alimova

Dečki, već ste proučavali monome u temi: Standardni oblik monoma. Definicije. Primjeri. Rezimirajmo osnovne definicije.

Monom- izraz koji se sastoji od umnoška brojeva i varijabli. Varijable se mogu podići na prirodne moći. Monom ne sadrži nikakve druge operacije, osim množenja.

Standardni oblik monoma- takav oblik kada je na prvom mjestu koeficijent (brojčani faktor), a zatim stupnjevi raznih varijabli.

Slični monomi su ili identični monomi ili monomi koji se međusobno razlikuju po faktoru.

Pojam polinoma

Polinom je, kao i monom, generalizirani naziv za matematičke izraze određene vrste. Već smo se prije susreli s takvim generalizacijama. Na primjer, "zbroj", "proizvod", "eksponencijacija". Kad čujemo “razliku brojeva”, pomisao na množenje ili dijeljenje ni ne pada nam na pamet. Također, polinom je izraz strogo definiranog oblika.

Polinomska definicija

Polinom je zbroj monoma.

Zovu se monomi koji čine polinom članovi polinoma. Ako postoje dva člana, onda imamo posla s binomom, ako su tri, onda s trinomom. Ako se kaže više pojmova – polinom.

Primjeri polinoma.

1) 2ab + 4cd (binom);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinom);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2 .

Pogledajmo pomno zadnji izraz. Po definiciji, polinom je zbroj monoma, ali u posljednjem primjeru ne samo zbrajamo, već i oduzimamo monome.
Da pojasnimo, pogledajmo mali primjer.

Napišimo izraz a + b - c(složimo se s tim a ≥ 0, b ≥ 0 i c ≥ 0) i odgovori na pitanje: je li to zbroj ili razlika? Teško je reći.
Doista, ako prepišemo izraz kao a + b + (-c), dobivamo zbroj dva pozitivna i jednog negativnog člana.
Ako pogledate naš primjer, onda imamo posla upravo sa zbrojem monoma s koeficijentima: 3, - 2, 7, -5. U matematici postoji pojam "algebarski zbroj". Dakle, definicija polinoma znači "algebarski zbroj".

Ali zapis oblika 3a: b + 7 s polinomom nije jer 3a: b nije monom.
Oznaka 3b + 2a * (c 2 + d) također nije polinom, budući da 2a * (c 2 + d) nije monom. Ako otvorite zagrade, onda će rezultirajući izraz biti polinom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Stupanj polinoma je najviši stupanj svojih članova.
Polinom a 3 b 2 + a 4 ima peti stupanj, budući da je stupanj monoma a 3 b 2 2 + 3 \u003d 5, a stupanj monoma a 4 je 4.

Standardni oblik polinoma

Polinom koji nema slične članove i koji je zapisan silaznim redoslijedom stupnjeva polinomskih članova je polinom standardnog oblika.

Polinom je doveden u standardni oblik kako bi se otklonila prekomjerna glomaznost pisanja i pojednostavile daljnje radnje s njim.

Doista, zašto, na primjer, napisati dugi izraz 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kada se može napisati kraće od 9b 2 + 3a 2 + 8.

Da biste polinom doveli u standardni oblik, trebate:
1. dovesti sve svoje članove u standardni obrazac,
2. dodati slične (iste ili s različitim brojčanim koeficijentom) pojmove. Ovaj postupak se često naziva donoseći slične.

Primjer.
Dovedite polinom aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 u standardni oblik.

Odluka.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Odredimo stupnjeve monoma koji čine izraz i poredajmo ih u silaznom redu.
11a 2 b ima treći stupanj, 3 x 5 y 2 ima sedmi stupanj, 14 ima nulti stupanj.
Dakle, na prvo mjesto stavit ćemo 3 x 5 y 2 (7. stupanj), na drugo - 12a 2 b (3. stupanj) i na treće - 14 (nulti stupanj).
Kao rezultat, dobivamo polinom standardnog oblika 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Primjeri za samostalno rješavanje

Dovedite polinome u standardni oblik.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

U ovom dijelu Algebre 7. razreda možete učiti školske lekcije na temu „Polinomi. Aritmetičke operacije nad polinomima.

Edukativne video lekcije o algebri 7. razred „Polinomi. Aritmetičke operacije nad polinomima” predaje učitelj škole “Logos LV” Tarasov Valentin Aleksejevič. Također možete učiti i druge teme iz algebre

Stupanj kao poseban slučaj polinoma

U ovoj lekciji razmotrit će se osnovni pojmovi i definicije, pripremljena je osnova za proučavanje složene i obimne teme, i to: prisjetit ćemo se teorijskog materijala koji se odnosi na stupnjeve - definicije, svojstva, teoreme, te riješiti nekoliko primjera za konsolidaciju tehnika.

Redukcija polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se glavnih definicija ove teme i razmotriti neke tipične zadatke, naime, dovođenje polinoma u standardni oblik i izračunavanje numeričke vrijednosti za zadane vrijednosti varijabli. Riješit ćemo nekoliko primjera u kojima će se svođenje na standardni oblik primijeniti za rješavanje raznih vrsta problema.

Zbrajanje i oduzimanje polinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji proučavat će se operacije zbrajanja i oduzimanja polinoma, formulirati pravila za zbrajanje i oduzimanje. Razmatraju se primjeri i rješavaju tipični problemi i jednadžbe, fiksiraju vještine izvođenja ovih operacija.

Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

U ovoj lekciji proučavat će se operacija množenja polinoma monomom, što je osnova za proučavanje množenja polinoma. Prisjetimo se distributivnog zakona množenja i formulirajmo pravilo za množenje bilo kojeg polinoma monomom. Prisjećamo se i nekih svojstava stupnjeva. Osim toga, tipične greške će se formulirati prilikom izvođenja različitih primjera.

Množenje binoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s operacijom množenja najjednostavnijih polinoma – binoma, formulirati ćemo pravilo za njihovo množenje. Izvodimo neke formule za skraćeno množenje pomoću ove operacije. Osim toga, riješit ćemo veliki broj primjera i tipičnih problema, odnosno problem pojednostavljenja izraza, računski problem i jednadžbe.

Množenje trinoma. Tipični zadaci

U ovoj lekciji ćemo razmotriti operaciju množenja trinoma, izvesti pravilo za množenje trinoma, zapravo ćemo općenito formulirati pravilo za množenje polinoma. Riješit ćemo nekoliko primjera vezanih uz ovu temu kako bismo detaljnije prešli na množenje polinoma.

Množenje polinoma polinomom

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se svega što smo već naučili o množenju polinoma, sažeti neke rezultate i formulirati opće pravilo. Nakon toga ćemo izvesti niz primjera za konsolidaciju tehnike množenja polinoma.

Množenje polinoma u riječnim zadacima

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se metode matematičkog modeliranja i pomoću nje rješavati probleme. Naučit ćemo sastaviti polinome i izraze s njima iz uvjeta tekstualnog zadatka i riješiti te zadatke, što znači primijeniti stečeno znanje o polinomima u složenijim vrstama rada.

Množenje polinoma u zadacima s elementima geometrije

U ovoj lekciji naučit ćemo rješavati tekstualne zadatke s elementima geometrije metodom matematičkog modeliranja. Da bismo to učinili, prvo se prisjetimo osnovnih geometrijskih činjenica i faza rješavanja problema.

Skraćene formule za množenje. Kvadrat zbroja i kvadrat razlike

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s formulama za kvadrat zbroja i kvadrat razlike te ih izvesti. Dokažimo formulu za kvadrat zbroja geometrijski. Osim toga, pomoću ovih formula riješit ćemo mnogo različitih primjera.

Skraćene formule za množenje. Razlika kvadrata

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se prethodno naučenih formula za skraćeno množenje, a to su kvadrat zbroja i kvadrat razlike. Izvodimo formulu za razliku kvadrata i rješavamo mnoge različite tipične probleme za primjenu ove formule. Osim toga, rješavat ćemo probleme za složenu primjenu nekoliko formula.

Skraćene formule za množenje. Razlika kocki i zbroja kocaka

U ovoj lekciji nastavit ćemo proučavati formule za skraćeno množenje, naime, razmotrit ćemo formule za razliku i zbroj kocki. Osim toga, rješavat ćemo različite tipične zadatke za primjenu ovih formula.

Zajednička primjena skraćenih formula za množenje

Ovaj video tutorial će biti koristan svima onima koji žele samostalno proći kroz temu "Zajednička primjena skraćenih formula za množenje". Uz pomoć ovog video predavanja moći ćete sažeti, produbiti i sistematizirati znanja stečena na prethodnim lekcijama. Učitelj će vas naučiti kako zajedno koristiti skraćene formule za množenje.

Skraćene formule množenja u problemima povećane složenosti. 1. dio

U ovoj lekciji primijenit ćemo naše znanje o polinomima i skraćenim formulama za množenje kako bismo riješili prilično složen geometrijski problem. To će nam omogućiti da učvrstimo vještine rada s polinomima.

Skraćene formule množenja u problemima povećane složenosti. 2. dio

U ovoj lekciji razmatrat ćemo komplicirane zadatke o primjeni skraćenih formula za množenje, izvodit ćemo mnogo različitih primjera za konsolidaciju tehnike.

Geometrijski problem na paralelepipedu pomoću skraćene formule za množenje

U ovom video tutorialu svatko će moći proučiti temu "Geometrijski problem na paralelepipedu pomoću skraćene formule za množenje." U ovoj aktivnosti učenici će vježbati korištenje skraćene formule za množenje kutije. Konkretno, učitelj će dati geometrijski zadatak na paralelepipedu, koji se mora rastaviti i riješiti.

Dijeljenje polinoma monomom

U ovoj lekciji prisjetit ćemo se pravila za dijeljenje monoma monomom i formulirati glavne popratne činjenice. Već poznatima dodajmo neke teorijske podatke i izvedemo pravilo za dijeljenje polinoma monomom. Nakon toga ćemo izvesti niz primjera različite složenosti kako bismo svladali tehniku dijeljenja polinoma monomom.

Tema lekcije:

Polinomi u jednoj varijabli.

11. razred

Učiteljica matematike

Kazantseva M.V.

MBOU "Srednja škola br. 110"

Razmotrimo polinome:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

x 6 + 11

Ovi polinomi su zapisani u standardnom obliku.

Polinom standardnog oblika ne sadrži takve pojmove i piše se u silaznom redoslijedu u odnosu na potencije njegovih članova.

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

gdje a 0 , a 1 , a 2 …. a P – neki brojevi, i a P  0, str 

a P x P – stariji član polinoma

a P – koeficijent na stariji

član

P – polinomski stupanj

a 0 – slobodni član polinoma

P(x)= a P x P +a n–1 x n–1 +a n–2 x n–2 +

+… + a 2 x 2 + a 1 x + a 0

Ako je a

a P =1 ,

zatim polinom P (x) - smanjeno

Primjer: x+3; x 5 +3x 2 -4

a P ≠1 ,

zatim polinom P (x) - nereduciran

Primjer: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorem 1:

dva polinoma ( standardni pogled) identično su jednaki ako su im potencije jednake i koeficijenti jednaki pri istim potencijama x.

Zadatak #1

Pronađite brojeve a i b ako su polinomi x 3 + 6x 2 + sjekira + b jednaka kocki binoma x + 2

Operacije nad polinomima:

1. Zbrajanje i oduzimanje.

Prilikom zbrajanja (oduzimanja) dva polinoma različitih stupnjeva, dobiva se polinom čiji je stupanj jednak najvećem od dostupnih stupnjeva.

Zadatak #2

Nađi zbroj polinoma

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

1. Zbrajanje i oduzimanje.

Prilikom zbrajanja (oduzimanja) dva polinoma istog stupnja dobiva se polinom istog ili manjeg stupnja.

Zadatak #3

Pronađite zbroj i razliku polinomi

2x 3 +3x 2 -x i -2x 3 +3x-4

Operacije nad polinomima:

2. Umjetničko djelo.

Ako polinom p(x) ima najviši stupanj m, a polinom s(x) ima stupanj n, tada je njihov umnožak p(x)∙ s(x) ima stupanj m+n.

Zadatak #4

Pronađite komad polinomi

x+3 i -0,5x 5 +3x 2 -4

Operacije nad polinomima:

3. Eksponencijacija.

Ako se polinom p(x) stupnja m podigne na stupanj n, tada se dobije polinom stupnja mn.

Zadatak #5

Povisiti polinom

-0,5x 5 +3x 2 -4 na kvadrat

Operacije nad polinomima:

4. Dijeljenje polinoma je polinom.

Ako je polinom p(x) djeljiv polinomom koji nije nula s(x), ako postoji takav polinom q(x) da vrijedi identitet:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) – djeljivo (ili višestruko)

s(x) - djelitelj

q(x) -kvocijent

Metoda dijeljenja po kutu

Podijeli polinom 8x 2 +10x–3 na polinom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10x–3

–

8x 2 +12x

– 1

– 2x

–

– 2x–3

Zadatak #6

Podijeli polinom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 na polinom 3x -1

Zadatak #7

Podijeli polinom x 3 – 3x 2 + 5x - 15 na polinom x - 3

Zadatak #8

Podijeli polinom x 4 + 4 na polinom x 2 + 2x + 2

MBOU "Otvorena (smjena) škola br. 2" grada Smolenska

Samostalan rad

na temu: "Polinomi"

7. razred

Izvedena

nastavnik matematike

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Usmeni samostalni rad br. 1 (pripremni)

(provodi se u cilju pripreme učenika za učenje novih znanja na temu: "Polinom i njegov standardni oblik")

Opcija 1.

a) 1.4a + 1-a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) a 3 – 3a +b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 ba – x.

Obrazložite odgovor.

a) 2 a – 3 a +7 a;

b) 3x - 1 + 2x + 7;

c) 2x - 3y + 3x+2 y.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

b) 10 nmm;d)5p 2 * 2p;

u 3aab; e) – 3 str * 1,5 str 3 .

Opcija 2

1. Imenujte slične pojmove u sljedećim izrazima:

a) 8,3x - 7 - x 2 + 4 + y 2 ;

b)b 4 - 6 a +5 b 2 +2 a – 3 b 4 :

u 3xy + y – 2 xy – y.

Obrazložite odgovor.

2. Donesite slične pojmove u izraze:

a) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x - 8 + 4x + 12;

c) 2x - 4y + 7x + 3y.

3. Dovedite monome u standardni oblik i navedite stupanj monoma:

a) 10aaa;

b) 7mn ;

u) 3 cca;

d) - 5x 2 yx;

e) 8q 2 * 3 q;

f) - 7str * 0>5 q 4 .

Uvjet usmenog samostalnog rada nudi se na ekranu ili na ploči, ali se tekst drži zatvoren do početka samostalnog rada.

Samostalni rad izvodi se na početku sata. Nakon završenog rada koristi se samotestiranje pomoću računala ili ploče.

Samostalni rad br.2

(provodi se u cilju konsolidacije vještina i sposobnosti učenika za dovođenje polinoma u standardni oblik i određivanje stupnja polinoma)

opcija 1

1. Dovedite polinom u standardni oblik:

a) x 2 y+yxy;

b) 3x 2 6g 2 – 5x 2 7g;

u 11a 5 – 8 a 5 +3 a 5 + a 5 ;

d) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b) x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x - 13.

4 x 2 – 1 ux = 2.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto * zapišite takav pojam da dobijete polinom petog stupnja.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Opcija 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8g 2 +7x 2 3g;

u 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

d) - 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Navedite slične pojmove i navedite stupanj polinoma:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3h 2 +5hc - 7c 2 + 12h 2 – 6hc.

3. Pronađite vrijednost polinoma:

2 x 3 + 4 atx=1.

4. Dodatni zadatak.

Umjesto* zapišite takav pojam da dobijete polinom šestog stupnja.

x 3 – x 2 + x + * .

Opcija 3

1. Dovedite polinome u standardni oblik:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4g;

u 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Navedite slične pojmove i navedite stupanj polinoma:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

b)4b 2 + a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Pronađite vrijednost polinoma:

– 4 y 5 – 3 uy= –1.

4. Dodatni zadatak.

Napišite polinom trećeg stupnja koji sadrži jednu varijablu.

Usmeni samostalni rad br.3 (pripremni)

(provodi se radi pripreme učenika za učenje novih znanja na temu: "Zbrajanje i oduzimanje polinoma")

opcija 1

a) zbroj dvaju izraza 3a+ 1 ia – 4;

b) razlika dvaju izraza 5x– 2 i 2x + 4.

3. Proširite zagrade:

a) y – ( y+ z);

b) (x – y) + ( y+ z);

u) (a – b) – ( c – a).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 13,4 + (8 – 13,4);

b) - 1,5 - (4 - 1,5);

u) (a – b) – ( c – a).

Opcija 2

1. Napiši kao izraz:

a) zbroj dvaju izraza 5a– 3 ia + 2;

b) razlika dvaju izraza 8y– 1 i 7y + 1.

2. Formulirajte pravilo otvaranja zagrada kojem prethode znakovi "+" ili "-".

3. Otkritizagrade:

a) a - (b + c);

b) (a – b) + (b+a);

u) (x – y) – ( y – z).

4. Pronađite vrijednost izraza:

a) 12,8 + (11 – 12,8);

b) - 8,1 - (4 - 8,1);

c) 10,4 + 3x – ( x+10,4) ux=0,3.

Nakon završenog rada koristi se samotestiranje pomoću računala ili ploče.

Samostalni rad br.4

(provodi se radi konsolidacije vještina i sposobnosti zbrajanja i oduzimanja polinoma)

opcija 1

a) 5 x- 15 godina i 8y – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 i 7x 2 – 5 x.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 a + 5 b) + (8 a – 11 b) – (9 b – 5 a);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Dodatni zadatak.

Zapiši takav polinom da je njegov zbroj s polinomom 3x + 1 jednak

9x - 4.

Opcija 2

1. Sastavite zbroj i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 21y-7xi8x-4y;

b) 3a 2 + 7a - 5i3a 2 + 1.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Dodatni zadatak.

Zapiši takav polinom tako da njegov zbroj s polinomom 4x - 5 bude jednak

9x - 12.

Opcija 3

1. Sastavite zbroj i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 0,5 x+ 6y i 3x – 6 y;

b) 2y 2 +8 y– 11 i 3y 2 – 6 y + 3.

2. Pojednostavite izraz:

a) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* b) (a 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 a 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Zapiši takav polinom da je njegov zbroj s polinomom 7x + 3 jednakx 2 + 7 x – 15.

Opcija 4

1. Sastavite zbroj i razliku polinoma i dovedite ih u standardni oblik:

a) 0,3 x + 2 bi 4x – 2 b;

b) 5y 2 – 3 yi 8y 2 + 2 y – 11.

2. Pojednostavite izraz:

a) (3x - 5y - 8z) - (2x + 7y) + (5z - 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) - (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Dodatni zadatak.

Zapiši takav polinom da je njegov zbroj s polinomom 2x 2 + x+ 3 i bio je jednak 2 x + 3.

Samostalni rad izvodi se na kraju sata. Učitelj provjerava rad, otkrivajući je li potrebno dodatno učiti ovu temu.

Samostalni rad br.5

(provodi se s ciljem razvijanja vještina i sposobnosti uključivanja polinoma u zagrade)

opcija 1

a , a drugi ga ne sadrži:

a) ax + ay + x + y;

b)sjekira 2 + x + a + 1.

Uzorak rješenja:

m + am + n - an = (m + n) + (am - an).

a) bm - bn - m - n;

b) bx + by + x –y.

Uzorak rješenja:

ab - bc - x - y = (ab - bc) - (x + y).

Opcija 2

1. Predstavite polinom kao zbroj dvaju polinoma, od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) bx + po +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Primjer rješenja:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Predstavite polinom kao razliku dvaju polinoma, od kojih prvi sadrži slovoa , a drugi nije (provjerite rezultat mentalno proširivanjem zagrada):

a) ac - ab - c + b;

b) am + an + m – n;

Uzorak rješenja:

x + ay - y - ax \u003d (ay - ax) - (-x + y) \u003d (ay - ay) - (y - x).

Opcija 3

1. Predstavite polinom kao zbroj dvaju polinoma, od kojih jedan sadrži slovob , a drugi ga ne sadrži:

a) b 3 – b 2 – b + 3y – 1;

b) – b 2 – a 2 – 2ab + 2.

Primjer rješenja:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Predstavite polinom kao razliku dvaju polinoma, od kojih prvi sadrži slovob , a drugi nije (provjerite rezultat mentalno proširivanjem zagrada):

a) ab + ac - b - c;

b) 2b + a 2 – b 2 –1;

Primjer rješenja:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Opcija 4

(za jake studente, dano bez uzorka rješenja)

1. Predstavite polinom kao zbroj dva polinoma s pozitivnim koeficijentima:

a) sjekira + po – c – d;

b) 3x –3 god +z – a.

2. Izraze na neki način izrazite kao razliku binoma i trinoma:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x - 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 -3a+2.

Samostalni rad izvodi se na kraju sata. Nakon završenog rada koristi se samotestiranje po ključu i samoocjenjivanje rada. Učenici koji sami urade zadatak daju bilježnicu učitelju na ovjeru.

C samostalni rad №6

(provodi se u cilju konsolidacije i primjene znanja i vještina množenja monoma polinomom)

opcija 1

1. Učinite množenje:

a) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a(a – 2) – 5a(a+3).

3. Odlučiti jednadžba:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Dodatni zadatak.

(m+ n) * * = mk + nk.

Opcija 2

1. Učinite množenje:

a) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5a (a 2 - 3 a – 4).

2. Pojednostavite izraze:

a) (a–2) – 2(a–2);

b) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Riješite jednadžbu:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

(b+ c – m) * * = ab + ac – prijepodne.

Opcija 3

1. Učinite množenje:

a) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Pojednostavite izraze:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d(c–d).

3. Riješite jednadžbu:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Opcija 4

1. Učinite množenje:

a) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Pojednostavite izraze:

a) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 a – b) – 3 a(5 b+ a).

3. Riješite jednadžbu:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Dodatni zadatak.

Koji monom treba unijeti umjesto znaka * da bi se jednakost ispunila:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C samostalni rad №7

(provodi se u cilju formiranja vještina i sposobnosti rješavanja jednadžbi i zadataka)

opcija 1

Riješite jednadžbu:

+ = 6

Odluka:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Odgovor: 116.

Riješite jednadžbu:

+ = 4

2. Riješite problem:

Na putu od sela do stanice auto je proveo 1 sat manje od biciklista. Pronađite udaljenost od sela do stanice ako ga je automobil prošao prosječnom brzinom od 60 km/h. Biciklist je 20 km/h.

Opcija 2

1. Koristeći rješenje uzorka, dovršite zadatak.

Riješite jednadžbu:

– = 1

Odluka:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Odgovor: 5.

Riješite jednadžbu:

+ = 2

2. Riješite problem:

Majstor napravi 8 komada više na sat od šegrta. Šegrt je radio 6 sati, a majstor 8 sati, a zajedno su izradili 232 dijela. Koliko je dijelova na sat izradio učenik?

Upute za rješenje:

a) ispuniti tablicu;

Još 8 artikala

b) napraviti jednadžbu;

c) riješiti jednadžbu;

d) provjeri i zapiši odgovor.

Opcija 3

(Za jake studente, dano bez uzorka)

1. Riješite jednadžbu:

– = 2

2. Riješite problem:

U kantinu je donesen krumpir pakiran u vreće od 3 kg. Da je bio pakiran u vreće od 5 kg, bilo bi potrebno 8 vreća manje. Koliko je kilograma krumpira doneseno u kantinu?

Samostalni rad izvodi se na kraju sata. Nakon obavljenog posla koristi se samotestiranje po ključu.

Kao domaću zadaću učenicima se nudi kreativni samostalni rad:

Zamislite problem koji se može riješiti pomoću jednadžbe

30 x = 60(x– 4) i riješi.

Samostalni rad br.8

(provodi se radi formiranja vještina i sposobnosti uzimanja zajedničkog množitelja iz zagrada)

opcija 1

a)mx + moj; e)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

u) – 4mn + n; *dobro) 2c 3 + 4c 2 +c;

G) 7ab-14a 2 ; * h)sjekira 2 + a 2 .

2. Dodatni zadatak.

2 – 2 18 djeljiv je sa 14.

Opcija 2

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) 10x + 10y;d) a 4 + a 3 ;

b) 4x + 20y;e) 2x 6 – 4x 3 ;

u) 9ab + 3b; *dobro)y 5 + 3g 6 + 4g 2 ;

G) 5xy 2 + 15g; *h) 5pr.n.e 2 +b.c.

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 8 5 – 2 11 djeljiv je sa 17.

Opcija 3

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) 18ay + 8ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e) 5z 4 – 10z 2 ;

u 4mn + 5 n; * g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

d) 3x 2 y– 9 x; *h)xy 2 +4 xy.

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 79 2 + 79 * 11 je djeljivo sa 30.

Opcija 4

1. Izvadite zajednički faktor iz zagrada (provjerite svoje radnje množenjem):

a) - 7xy + 7 y; e)y 7 - y 5 ;

b) 8mn + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

u 20a 2 + 4 sjekira; * g4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

d) 5x 2 y 2 + 10 x; *h)xy +2 xy 2 .

2. Dodatni zadatak.

Dokazati da je vrijednost izraza 313 * 299 – 313 2 je djeljiv sa 7.

Csamostalan rad izvodi se na početku sata. Nakon obavljenog posla koristi se provjera po ključu.

Tema 6 aritmetički polinomi. Zadaci za samostalno rješavanje

Uzorni kurikulum iz algebre i počeci analize za 10.-11. razred (profilna razina) Napomena

Izborni predmet “Rješenje nestandardnih zadataka. 9. razred „Završio nastavnik matematike

Izborni program iz matematike za 8. razred

Lekcija na temu: "Pojam i definicija polinoma. Standardni oblik polinoma"

Pojam polinoma

Polinomska definicija

Standardni oblik polinoma

Primjeri za samostalno rješavanje

Stupanj kao poseban slučaj polinoma

Redukcija polinoma na standardni oblik. Tipični zadaci

Zbrajanje i oduzimanje polinoma. Tipični zadaci

Množenje polinoma monomom. Tipični zadaci

Množenje binoma. Tipični zadaci

Množenje trinoma. Tipični zadaci

Množenje polinoma polinomom

Množenje polinoma u riječnim zadacima

Množenje polinoma u zadacima s elementima geometrije

Skraćene formule za množenje. Kvadrat zbroja i kvadrat razlike

Skraćene formule za množenje. Razlika kvadrata

Skraćene formule za množenje. Razlika kocki i zbroja kocaka

Zajednička primjena skraćenih formula za množenje

Skraćene formule množenja u problemima povećane složenosti. 1. dio

Skraćene formule množenja u problemima povećane složenosti. 2. dio

Geometrijski problem na paralelepipedu pomoću skraćene formule za množenje

Dijeljenje polinoma monomom