Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, morate odrediti površinu zemljišne čestice trokutastog oblika ili je došao red na sljedeći popravak u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate brinuti o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči dugo neiskorišteno znanje prebaciti negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali patiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje željenog područja trokuta.

Poznato je da je trokut vrsta mnogokuta koji je ograničen najmanjim mogućim brojem stranica. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova pravi, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje čine pravi kut između njih.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotnu stranu, i duljinu te stranice, koja se naziva baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, budući da će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to svakako dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možete koristiti kut zgrade, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi objekt pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutastu parcelu? U tom slučaju postupite na sljedeći način: od vrha navodnog pravog kuta na jednoj od stranica mjeri se višekratnik udaljenosti 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani udaljenost višekratnik 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada se može tvrditi da je kut pravi.

Ako je poznata vrijednost duljine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Kako bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluopseg. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi određivati ​​područje pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takav lik na dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je kut između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najlakši i najčešće korišteni je množenje visine s duljinom baze, a zatim dijeljenje rezultata s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo razmotriti metode za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalni načini za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

• a, b, c su duljine triju strana figure koju razmatramo;
• r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
• R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
• α - vrijednost kuta koji čine stranice b i c;
• β je kut između a i c;
• γ - vrijednost kuta koji čine stranice a i b;
• h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
• p je polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako dovršava do paralelograma, u kojem će jedna strana trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta treba biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji tvore. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, množenjem duljine stranice a sa sinusom kuta γ dobivamo visinu trokuta, odnosno h.

Područje figure koja se razmatra nalazi se množenjem polovice polumjera kruga, koji se u njega može upisati, s njegovim perimetrom. Drugim riječima, nalazimo umnožak poluperimetra i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjernog, jednakokračnog, jednakostraničnog, pravokutnog). To se može učiniti uz pomoć složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Značajka ove figure je da su dvije strane istovremeno njene visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada se površina nalazi na sljedeći način:

Kako pronaći površinu jednakokračnog trokuta? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Stoga se njegova površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a i sinusa kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica a, a vrijednost svih kutova α. Njegova je visina pola umnoška duljine stranice a puta kvadratnog korijena iz 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, trebate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom iz 3 i podijeliti s 4.

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili dimenzije. Formule su prikazane u obliku slike, a ovdje su objašnjenja za primjenu ili obrazloženje njihove ispravnosti. Također, posebna slika prikazuje korespondenciju slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti donje formule, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formule za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer opisane kružnice oko trokuta
h- visina trokuta, spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta, spuštena na stranicu a, b, c

Imajte na umu da navedena oznaka odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema u geometriji bilo vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice na koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika s dimenzijama b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog s nas, što će nam dati prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga upisanog u njega zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (lakše je zapamtiti na ovaj način)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu duljina njegovih stranica i njegovog poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Površina proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga opisanog oko njega i sinusa svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznati duljina jedne stranice i veličina dvaju kutova uz nju, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice, podijeljen s dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutovi (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao po Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su dane kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličan onom koji nije ovdje - pišite o tome na forumu. U rješenjima se funkcija sqrt() može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz naveden je u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz tvrdnje problema:
S=1/2*5*6*sin60

U tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija nalazimo i zamjenjujemo u izrazu vrijednost sinusa od 60 stupnjeva. Bit će jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima nastavnika, vjerojatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta će imati oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetverostruče?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica redom jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je prikazano u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta dane su varijablama a, b, c.
Ako se strane povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade iz sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 savršeno je izvučen kvadratni korijen pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte petu liniju donje slike)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, dovoljno nam je podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Omjere površina određujemo tako da izraze podijelimo jedan u drugi i smanjimo dobiveni razlomak.

Trokut je takva geometrijska figura koja se sastoji od tri ravne linije koje se povezuju u točkama koje ne leže na jednoj ravnoj liniji. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Postoje sljedeće vrste trokuta:

• Pravokutan.
• tupi.
• Oštrokutni.
• Svestran.
• Jednakostraničan.
• Jednakokračan.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula površine trokuta za duljinu i visinu

S=a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.

Heronova formula

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluperimetar trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta u smislu kuta i duljine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.

Formula za površinu trokuta s obzirom na polumjer upisane kružnice i tri stranice

S=p*r,
gdje je p poluperimetar trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom kruga opisanog oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer opisane kružnice oko trokuta.

Formula za površinu trokuta u kartezijanskim koordinatama točaka

Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, a y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini zovemo međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkom referentnom točkom u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini dane u obliku A (x1, y1), B (x2, y2) i C (x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz križnog umnoška dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut je trokut koji ima jedan kut od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije noge

S=a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge se nazivaju strane uz pravi kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta s hipotenuzom i oštrim kutom

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.

Formula za površinu pravokutnog trokuta prema kraku i suprotnom kutu

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tg(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta

Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga strana je baza. Možete koristiti jednu od sljedećih formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.

Formula jednakokračnog trokuta na pobočnoj stranici i osnovici

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je vrijednost jedne od stranica jednakokračnog trokuta.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da se za izračun razmaka trokuta mora uzeti u obzir vrsta trokuta i dostupni podaci koji se mogu koristiti za izračun.

Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Za cjelovitost, prisjećamo se dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrite primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika kojemu je jedna stranica duljine $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15 dolara.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i područje jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine povučene na tu stranicu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ gdje je $AC=α$. Na ovu stranicu povučena je visina $BH$ i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta je $9$ (jer je $9$ $9$ ćelija). Visina je također $9$. Tada prema teoremu 1 dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, po Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$