Pojam jednadžbe linije. Definiranje pravca pomoću uvjeta jednadžbe za paralelnost pravaca

definira krivulju na ravnini. Grupa članova naziva se kvadratni oblik, – linearni oblik. Ako kvadratna forma sadrži samo kvadrate varijabli, tada se ta forma naziva kanonskom, a vektori ortonormirane baze u kojoj kvadratna forma ima kanonski oblik nazivaju se glavnim osima kvadratne forme.
Matrica naziva se matrica kvadratnog oblika. Ovdje je a 1 2 = a 2 1. Da bi se matrica B svela na dijagonalni oblik, potrebno je uzeti svojstvene vektore te matrice kao osnovu, zatim , gdje su λ 1 i λ 2 svojstvene vrijednosti matrice B.
U bazi vlastitih vektora matrice B, kvadratni oblik će imati kanonski oblik: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Ova operacija odgovara rotaciji koordinatnih osi. Tada se ishodište koordinata pomiče, čime se uklanja linearni oblik.
Kanonski oblik krivulje drugog reda: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, i:
a) ako je λ 1 >0; λ 2 >0 je elipsa, posebno, kada je λ 1 =λ 2 to je krug;
b) ako je λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) imamo hiperbolu;
c) ako je λ 1 =0 ili λ 2 =0, tada je krivulja parabola i nakon rotacije koordinatnih osi ima oblik λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (ovdje λ 2 =0). Komplementirajući na potpuni kvadrat, imamo: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Primjer. Jednadžba krivulje 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 dana je u koordinatnom sustavu (0,i,j), gdje je i =(1,0) i j =(0,1) .
1. Odredite vrstu krivulje.
2. Dovedite jednadžbu u kanonski oblik i konstruirajte krivulju u izvornom koordinatnom sustavu.
3. Pronađite odgovarajuće transformacije koordinata.

Riješenje. Kvadratni oblik B=3x 2 +10xy+3y 2 dovodimo na glavne osi, odnosno na kanonski oblik. Matrica ove kvadratne forme je . Nalazimo svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore ove matrice:

Karakteristična jednadžba:
; λ1 =-2, λ2 =8. Vrsta kvadratnog oblika: .
Izvorna jednadžba definira hiperbolu.
Imajte na umu da je oblik kvadratnog oblika dvosmislen. Možete napisati 8x 1 2 -2y 1 2 , ali tip krivulje ostaje isti - hiperbola.
Nađemo glavne osi kvadratne forme, odnosno svojstvene vektore matrice B. .
Vlastiti vektor koji odgovara broju λ=-2 pri x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Kao jedinični svojstveni vektor uzimamo vektor , gdje je duljina vektora x 1 .
Koordinate drugog svojstvenog vektora koji odgovara drugoj svojstvenoj vrijednosti λ=8 nalaze se iz sustava
.
1,j 1).
Prema formulama (5) iz stavka 4.3.3. Prijeđimo na novu osnovu:
ili

; . (*)

Unesemo izraze x i y u izvornu jednadžbu i nakon transformacija dobijemo: .
Odabir kompletnih kvadrata: .
Izvršavamo paralelnu translaciju koordinatnih osi u novo ishodište: , .
Ako ove relacije uvedemo u (*) i riješimo te jednakosti za x 2 i y 2, dobivamo: , . U koordinatnom sustavu (0*, i 1, j 1) ova jednadžba ima oblik: .
Da bismo konstruirali krivulju, konstruiramo novu u starom koordinatnom sustavu: os x 2 =0 određena je u starom koordinatnom sustavu jednadžbom x-y-3=0, a os y 2 =0 jednadžbom x+ y-1=0. Ishodište novog koordinatnog sustava 0 * (2,-1) je sjecište ovih linija.
Da bismo pojednostavili percepciju, podijelit ćemo proces konstruiranja grafikona u 2 faze:
1. Prijelaz na koordinatni sustav s osima x 2 =0, y 2 =0, specificiranim u starom koordinatnom sustavu jednadžbama x-y-3=0 odnosno x+y-1=0.

2. Konstrukcija grafa funkcije u rezultirajućem koordinatnom sustavu.

Konačna verzija grafikona izgleda ovako (vidi. Riješenje:Preuzmi rješenje

Vježbajte. Utvrdite da svaka od sljedećih jednadžbi definira elipsu, te pronađite koordinate njezina središta C, poluosi, ekscentricitet, jednadžbe direktrise. Na crtežu nacrtajte elipsu s osi simetrije, žarištima i direktrisama.
Riješenje.

Razmotrimo odnos oblika F(x, y)=0, povezivanje varijabli x I na. Jednakost ćemo nazvati (1) jednadžba s dvije varijable x, y, ako ova jednakost ne vrijedi za sve parove brojeva x I na. Primjeri jednadžbi: 2x + 3y = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0,

sin x + sin y – 1 = 0.

Ako (1) vrijedi za sve parove brojeva x i y, tada se zove identitet. Primjeri identiteta: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y)(x - y) - x 2 + y 2 = 0.

Nazvat ćemo jednadžbu (1) jednadžba skupa točaka (x; y), ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate x I na bilo koje točke skupa i nisu zadovoljene koordinatama bilo koje točke koja ne pripada ovom skupu.

Važan koncept u analitičkoj geometriji je koncept jednadžbe pravca. Neka je na ravnini zadan pravokutni koordinatni sustav i neki pravac α.

Definicija. Jednadžba (1) naziva se jednadžba linije α (u stvorenom koordinatnom sustavu), ako ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate x I na bilo koje točke koja leži na liniji α , i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje točke koja ne leži na ovoj liniji.

Ako je (1) jednadžba pravca α, onda ćemo reći da jednadžba (1) definira (postavlja) crta α.

Crta α može se odrediti ne samo jednadžbom oblika (1), već i jednadžbom oblika

F (P, φ) = 0 koji sadrži polarne koordinate.

• jednadžba pravca s kutnim koeficijentom;

Neka je dana neka ravna linija, koja nije okomita, na os OH. Nazovimo kut nagiba dana ravna linija na os OH kutak α , na koju treba rotirati os OH tako da se pozitivni smjer poklapa s jednim od pravaca pravca. Tangens kuta nagiba pravca prema osi OH nazvao nagib ovaj redak i označava se slovom DO.

	K=tg α
		(1)

Izvedimo jednadžbu ovog pravca ako ga znamo DO i vrijednost u segmentu OB, koju odsijeca na osi OU.

(2)

y=kx+b

Označimo sa M"ravninska točka (x; y). Ako crtamo ravno BN I N.M., paralelno s osima, dakle r BNM – pravokutan. T. MC C BM <=>, kada su vrijednosti N.M. I BN zadovoljiti uvjet: . Ali NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> uzimajući u obzir (1), dobivamo da je točka M(x;y)C na ovoj liniji<=>, kada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu: =>

Jednadžba (2) naziva se jednadžba pravca s kutnim koeficijentom. Ako K=0, tada je pravac paralelan s osi OH a njegova jednadžba je y = b.

• jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke;

(4)

Neka se daju dvije točke M 1 (x 1; y 1) I M2 (x 2; y 2). Uzimanje u točki (3). M(x;y) iza M 2 (x 2; y 2), dobivamo y 2 -y 1 =k(x 2 - x 1). Definiranje k iz posljednje jednakosti i njezinom zamjenom u jednadžbu (3) dobivamo željenu jednadžbu pravca: . Ovo je jednadžba ako y 1 ≠ y 2, može se napisati kao:

Ako y 1 = y 2, tada jednadžba tražene linije ima oblik y = y 1. U ovom slučaju, pravac je paralelan s osi OH. Ako x 1 = x 2, zatim pravac koji prolazi kroz točke M 1 I M 2, paralelno s osi OU, njegova jednadžba ima oblik x = x 1.

• jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku sa zadanim nagibom;

(3)

Ax + Vy + S = 0

Teorema. U pravokutnom koordinatnom sustavu Ohoo svaka ravna linija dana je jednadžbom prvog stupnja:

i, obrnuto, jednadžba (5) za proizvoljne koeficijente A, B, C (A I B ≠ 0 simultano) definira određenu ravnu liniju u pravokutnom koordinatnom sustavu ooh

Dokaz.

Najprije dokažimo prvu tvrdnju. Ako pravac nije okomit Oh, tada je određena jednadžbom prvog stupnja: y = kx + b, tj. jednadžba oblika (5), gdje je

A = k, B = -1 I C = b. Ako je pravac okomit Oh, tada sve njegove točke imaju istu apscisu, jednaku vrijednosti α segment odsječen ravnom linijom na osi Oh.

Jednadžba ovog pravca ima oblik x = α, oni. je također jednadžba prvog stupnja oblika (5), gdje je A = 1, B = 0, C = - α. Ovo dokazuje prvu tvrdnju.

Dokažimo obrnutu tvrdnju. Neka je dana jednadžba (5) i barem jedan od koeficijenata A I B ≠ 0.

Ako B ≠ 0, tada se (5) može napisati u obliku . Ravan , dobivamo jednadžbu y = kx + b, tj. jednadžba oblika (2) koja definira ravnu liniju.

Ako B = 0, To A ≠ 0 i (5) ima oblik . Označavajući pomoću α, dobivamo

x = α, tj. jednadžba pravca okomitog Oh.

Pravci definirani u pravokutnom koordinatnom sustavu jednadžbom prvog stupnja nazivaju se linije prvog reda.

Jednadžba oblika Ax + Wu + C = 0 je nepotpuna, tj. Neki od koeficijenata su jednaki nuli.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 i definira ravnu liniju koja prolazi kroz ishodište.

2) B = 0 (A ≠ 0); jednadžba Ax + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 a definira ravnu liniju paralelnu Oh.

Jednadžba (6) se naziva jednadžba pravca "u segmentima". Brojke A I b su vrijednosti segmenata koje ravna linija odsijeca na koordinatnim osima. Ovaj oblik jednadžbe pogodan je za geometrijsku konstrukciju pravca.

• normalna jednadžba pravca;

Ax + Vy + S = 0 je opća jednadžba određenog pravca, a (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

njegova normalna jednadžba.

Budući da jednadžbe (5) i (7) definiraju istu ravnu liniju, tada ( A 1x + B 1y + C 1 = 0 I

A 2x + B 2y + C 2 = 0 => ) koeficijenti ovih jednadžbi su proporcionalni. To znači da množenjem svih članova jednadžbe (5) s određenim faktorom M dobivamo jednadžbu MA x + MV y + MS = 0, koja se podudara s jednadžbom (7) tj.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

Da bismo pronašli faktor M, kvadriramo prve dvije od ovih jednakosti i dodamo:

M 2 (A 2 + B 2) = cos 2 α + sin 2 α = 1

(9)

§ 9. Pojam jednadžbe pravca.

Definiranje pravca pomoću jednadžbe

Jednakost oblika F (x, y) = 0 naziva jednadžba u dvije varijable x, y, ako ne vrijedi za sve parove brojeva x, y. Kažu dva broja x = x 0 , y=y 0, zadovoljiti neku jednadžbu oblika F(x, y)=0, ako pri zamjeni ovih brojeva umjesto varijabli x I na u jednadžbi njegova lijeva strana nestaje.

Jednadžba zadanog pravca (u određenom koordinatnom sustavu) je jednadžba s dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake točke koja leži na tom pravcu, a ne zadovoljavaju koordinate svake točke koja ne leži na njemu.

U nastavku je umjesto izraza “dana jednadžba pravca F(x, y) = 0" često ćemo reći ukratko: dana linija F (x, y) = 0.

Ako su zadane jednadžbe dvaju pravaca F(x, y) = 0 I F(x, y) = Q, zatim zajedničko rješenje sustava

Daje sve njihove sjecišne točke. Točnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rješenje ovog sustava određuje jednu od točaka presjeka.

1)x 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) x 2 +y 2 -16x+4na+18 = 0, x + y= 0;

3) x 2 +y 2 -2x+4na -3 = 0, x 2 + g 2 = 25;

4) x 2 +y 2 -8x+10u+40 = 0, x 2 + g 2 = 4.

163. Točke su dane u polarnom koordinatnom sustavu

Odredi koje od ovih točaka leže na pravcu određenom jednadžbom u polarnim koordinatama  = 2 cos , a koje ne leže na njemu. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Nacrtaj na crtežu :)

164. Na pravcu određenom jednadžbom  =
, Pronađite točke čiji su polarni kutovi jednaki sljedećim brojevima: a) ,b) - ,c) 0, d) . Koja je linija određena ovom jednadžbom?

(Napravite ga na crtežu.)

165. Na pravcu određenom jednadžbom  =
, pronađite točke čiji su polarni polumjeri jednaki sljedećim brojevima: a) 1, b) 2, c)
. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Napravite ga na crtežu.)

166. Utvrdite koje su linije određene u polarnim koordinatama pomoću sljedećih jednadžbi (konstruirajte ih na crtežu):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) grijeh  =

Razmotrimo funkciju danu formulom (jednadžbom)

Ova funkcija, a time i jednadžba (11), odgovara dobro definiranoj liniji na ravnini, koja je graf ove funkcije (vidi sliku 20). Iz definicije grafa funkcije proizlazi da se taj pravac sastoji od onih i samo onih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (11).

Neka sada

Pravac koji je graf ove funkcije sastoji se od onih i samo onih točaka ravnine čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (12). To znači da ako točka leži na navedenoj liniji, tada njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu (12). Ako točka ne leži na tom pravcu, tada njezine koordinate ne zadovoljavaju jednadžbu (12).

Jednadžba (12) se rješava s obzirom na y. Razmotrite jednadžbu koja sadrži x i y i nije riješena za y, kao što je jednadžba

Pokažimo da ova jednadžba u ravnini također odgovara liniji, točnije kružnici sa središtem u ishodištu i polumjerom jednakim 2. Prepišimo jednadžbu u obliku

Njegova lijeva strana je kvadrat udaljenosti točke od ishodišta (vidi § 2, stavak 2, formula 3). Iz jednakosti (14) slijedi da je kvadrat te udaljenosti jednak 4.

To znači da se svaka točka čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu (14), a time i jednadžbu (13), nalazi na udaljenosti 2 od ishodišta.

Geometrijski položaj takvih točaka je kružnica sa središtem u ishodištu i radijusom 2. Ta će kružnica biti pravac koji odgovara jednadžbi (13). Koordinate bilo koje njegove točke očito zadovoljavaju jednadžbu (13). Ako točka ne leži na kružnici koju smo pronašli, tada će kvadrat njezine udaljenosti od ishodišta biti veći ili manji od 4, što znači da koordinate takve točke ne zadovoljavaju jednadžbu (13).

Neka je sada, u općem slučaju, dana jednadžba

na čijoj se lijevoj strani nalazi izraz koji sadrži x i y.

Definicija. Pravac definiran jednadžbom (15) je geometrijsko mjesto točaka u ravnini čije koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu.

To znači da ako je pravac L određen jednadžbom, tada koordinate bilo koje točke L zadovoljavaju ovu jednadžbu, ali koordinate bilo koje točke u ravnini koja leži izvan L ne zadovoljavaju jednadžbu (15).

Jednadžba (15) naziva se jednadžba linije

Komentar. Ne treba misliti da bilo koja jednadžba određuje bilo koju liniju. Na primjer, jednadžba ne definira nikakvu liniju. Zapravo, za bilo koju stvarnu vrijednost i y, lijeva strana ove jednadžbe je pozitivna, a desna strana jednaka nuli, i stoga ovu jednadžbu ne mogu zadovoljiti koordinate bilo koje točke u ravnini

Pravac se može definirati na ravnini ne samo jednadžbom koja sadrži kartezijeve koordinate, već i jednadžbom u polarnim koordinatama. Pravac definiran jednadžbom u polarnim koordinatama je geometrijsko mjesto točaka u ravnini čije polarne koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu.

Primjer 1. Konstruirajte Arhimedovu spiralu na .

Riješenje. Napravimo tablicu za neke vrijednosti polarnog kuta i odgovarajuće vrijednosti polarnog radijusa.

Konstruiramo točku u polarnom koordinatnom sustavu, koja se očito poklapa s polom; zatim crtanjem osi pod kutom prema polarnoj osi konstruiramo točku s pozitivnom koordinatom na ovoj osi, nakon čega na sličan način konstruiramo točke s pozitivnim vrijednostima polarnog kuta i polarnog radijusa (osi za te točke su nije naznačeno na slici 30).

Spajanjem točaka dobivamo jednu granu krivulje, prikazanu na sl. 30 podebljanom linijom. Pri promjeni od 0 do ove grane krivulje sastoji se od beskonačnog broja zavoja.

Jednakost oblika F(x, y) = 0 naziva se jednadžba s dvije varijable x, y ako ne vrijedi za sve parove brojeva x, y. Kažu da dva broja x = x 0, y = y 0 zadovoljavaju neku jednadžbu oblika F(x, y) = 0 ako pri zamjeni tih brojeva umjesto varijabli x i y u jednadžbu njezina lijeva strana postane nula .

Jednadžba danog pravca (u određenom koordinatnom sustavu) je jednadžba s dvije varijable koju zadovoljavaju koordinate svake točke koja leži na tom pravcu, a ne zadovoljavaju koordinate svake točke koja ne leži na njemu.

U nastavku ćemo umjesto izraza “zadana jednadžba pravca F(x, y) = 0” često reći kraće: zadani pravac F(x, y) = 0.

Ako su zadane jednadžbe dviju linija: F(x, y) = 0 i F(x, y) = 0, tada je zajedničko rješenje sustava

F(x,y) = 0, F(x, y) = 0

daje sve njihove sjecišne točke. Točnije, svaki par brojeva koji je zajedničko rješenje ovog sustava određuje jednu od točaka presjeka, tj.

157. Zadani bodovi *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Odredite koje od zadanih točaka leže na pravcu određenom jednadžbom x + y = 0, a koje ne leže na njemu. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Nacrtaj to na crtežu.)

158. Na pravcu određenom jednadžbom x 2 + y 2 = 25 pronađite točke čije su apscise jednake sljedećim brojevima: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na istoj liniji pronađite točke čije su ordinate jednake sljedećim brojevima: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Nacrtaj to na crtežu.)

159. Odredi koje pravce određuju sljedeće jednadžbe (konstruiraj ih na crtežu): 1)x - y = 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy = 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 = 0; 12) xy = 0; 13) y 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 = 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x 2 + 2y 2 = 0; 30) 2x 2 + 3y 2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Zadani su pravci: l)x + y = 0; 2)x - y = 0; 3)x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y = 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Odredi koje od njih prolaze kroz ishodište.

161. Zadani su pravci: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Odredi njihove sjecišne točke: a) s osi Ox; b) s osi Oy.

162. Nađi sjecište dviju pravaca:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y = 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. U polarnom koordinatnom sustavu točke M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) i M 5 (1; 2/3π). Odredite koje od ovih točaka leže na pravcu određenom u polarnim koordinatama jednadžbom p = 2cosΘ, a koje ne leže na njemu. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Nacrtaj to na crtežu.)

164. Na pravcu određenom jednadžbom p = 3/cosΘ pronađite točke čiji su polarni kutovi jednaki sljedećim brojevima: a) π/3, b) - π/3, c) 0, d) π/6. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Napravite ga na crtežu.)

165. Na pravcu određenom jednadžbom p = 1/sinΘ pronađite točke čiji su polarni polumjeri jednaki sljedećim brojevima: a) 1 6) 2, c) √2. Koja je linija određena ovom jednadžbom? (Napravite ga na crtežu.)

166. Odredite koje su linije određene u polarnim koordinatama pomoću sljedećih jednadžbi (konstruirajte ih na crtežu): 1) p = 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) p cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Na crtežu konstruirajte sljedeće Arhimedove spirale: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p = -Θ/π.

168. Na crtežu konstruirajte sljedeće hiperbolične spirale: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) p = π/Θ; 4) r= - π/Θ

169. Na crtežu konstruirajte sljedeće logaritamske spirale: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ.

170. Odredite duljine odsječaka na koje je Arhimedova spirala p = 3Θ presječena zrakom koja izlazi iz pola i nagnuta je prema polarnoj osi pod kutom Θ = π/6. Napravite crtež.

171. Na Arhimedovoj spirali p = 5/πΘ uzeta je točka C čiji je polarni radijus 47. Odredi na koliko dijelova ta spirala siječe polarni radijus točke C. Nacrtaj.

172. Na hiperboličkoj spirali P = 6/Θ pronađite točku P čiji je polarni radijus 12. Nacrtajte.

173. Na logaritamskoj spirali p = 3 Θ pronađite točku P čiji je polarni radijus 81. Nacrtajte.