Rang matrice. Koncept ranga matrice Kako izračunati rang kvadratne matrice

§3. Rang matrice

Određivanje ranga matrice

Linearno ovisni nizovi

Elementarne matrične transformacije

Ekvivalentne matrice

Algoritam za pronalaženje ranga matrice pomoću elementarnih transformacija

§4. Odrednice prvog, drugog i trećeg reda

Odrednica prvog reda

Odrednica drugog reda

Odrednica trećeg reda

Sarrusovo pravilo

§5. Izračun determinanti velikih naloga

Algebarski komplement

Laplaceov teorem

Determinanta trokutaste matrice

Primjena. Pojam determinante P-th red općenito.

§ 3. Rang matrice

Svaku matricu karakterizira određeni broj koji je važan pri rješavanju sustava linearnih jednadžbi. Ovaj broj se zove rang matrice.

Rang matrice jednak je broju njegovih linearno nezavisnih redaka (stupaca), kroz koje se linearno izražavaju svi njegovi drugi redovi (stupci).

Redovi (stupci) matrice se nazivaju linearno ovisna, ako su im odgovarajući elementi proporcionalni.

Drugim riječima, elementi jednog od linearno zavisnih redaka jednaki su elementima drugog, pomnoženi s istim brojem. Na primjer, redovi 1 i 2 matrice A su linearno ovisni ako je , gdje je (λ neki broj).

Primjer. Odredite rang matrice

Riješenje.

Drugi red dobiva se iz prvog ako se njegovi elementi pomnože s -3, treći se dobiva iz prvog ako se njegovi elementi pomnože s 0, a četvrti se red ne može izraziti kroz prvi. Ispada da matrica ima dva linearno neovisna retka, jer Prvi i četvrti red nisu proporcionalni, stoga je rang matrice 2.

Rang matrice A označen sa rang A ili r(A).

Iz definicije ranga matrice slijedi:

1. Rang matrice ne prelazi najmanju njezinu dimenziju, tj. za matricu A m × n .

2. Rang matrice je nula samo ako je nula matrica.

U općem slučaju, određivanje ranga matrice prilično je naporno. Da bi se olakšao ovaj zadatak, koriste se transformacije koje čuvaju rang matrice, a koje se nazivaju elementarne transformacije:

1) odbacivanje nultog retka (stupca);

2) množenje svih elemenata retka (stupca) brojem različitim od nule;

3) mijenjanje redoslijeda redaka (kolona);

4) dodavanje elementima jednog retka (stupca) odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca), pomnoženih bilo kojim brojem;

5) transpozicija matrice.

Dvije matrice su tzv ekvivalent, ako se jedno dobije iz drugog korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija.

Ekvivalencija matrica označena je znakom “~” (ekvivalent).

Korištenjem elementarnih transformacija, bilo koja matrica se može svesti na trokutasti oblik, a izračunavanje njenog ranga nije teško.

Proces izračunavanja ranga matrice pomoću elementarnih transformacija Pogledajmo primjer.

Primjer. Odredite rang matrice

A =

Riješenje.

Naš zadatak je dovesti matricu u trokutasti oblik, tj. Pomoću elementarnih transformacija osigurajte da ispod glavne dijagonale u matrici budu samo nule.

1. Razmotrite prvi redak. Ako element A 11 = 0, onda kada preuređujemo retke ili stupce to osiguravamo A 11 ¹ 0. U našem primjeru, zamijenimo mjesta, na primjer, prvi i drugi redak matrice:

A =

Sada element A 11 ¹ 0. Množenjem prvog reda odgovarajućim brojevima i zbrajanjem s ostalim redovima osigurat ćemo da svi elementi prvog stupca (osim A 11) bile jednake nuli.

2. Sada razmotrite drugu liniju. Ako element A 22 = 0, onda kada preuređujemo retke ili stupce to osiguravamo A 22 ¹ 0. Ako je element A 22 ¹ 0 (i imamo A 22 = –1 ¹ 0), tada ćemo množenjem drugog retka s odgovarajućim brojevima i zbrajanjem s ostalim redovima osigurati da svi elementi drugog stupca (osim A 22) bile jednake nuli.

3. Ako proces transformacije rezultira redovima (stupcima) koji se u potpunosti sastoje od nula, tada ih odbacite. U našem primjeru odbacit ćemo retke 3 i 4:

Posljednja matrica ima stepenasti oblik i sadrži dva reda. Oni su linearno neovisni, stoga je rang matrice 2.

§ 4. Odrednice prvog, drugog i trećeg reda

Među raznim matricama, kvadratne matrice se razlikuju zasebno. Ova vrsta matrice je dobra jer:

1. Jedinične matrice su kvadratne.

2. Možete množiti i zbrajati bilo koje kvadratne matrice istog reda, što rezultira matricom istog reda.

3. Kvadratne matrice mogu se podići na potencije.

Osim toga, samo za kvadratne matrice može se izračunati determinanta.

Matrična determinanta je poseban broj izračunat prema nekom pravilu. Matrična determinanta A označen sa:

Ili ravne zagrade: ,

Ili s velikim grčkim slovom delta: Δ( A),

Ili simbol "odrednice": det ( A).

Determinanta matrice prvog reda A= (A 11) ili determinanta prvog reda, je broj jednak elementu matrice:

Δ 1 = =A 11

Determinanta matrice drugog reda ili determinanta drugog reda

Primjer:

Determinanta matrice trećeg reda ili determinanta trećeg reda, je broj koji se izračunava po formuli:

Determinanta trećeg reda može se izračunati pomoću Sarrusovo pravilo .

Sarrusovo pravilo. Do determinante trećeg reda s desne strane potpišite prva dva stupca i znakom plus (+) uzmite zbroj umnožaka tri elementa koji se nalaze na glavnoj dijagonali determinante i na "pravcima" paralelnim s glavnim dijagonala, sa znakom minus (–) uzimaju zbroj umnožaka elemenata koji se nalaze na drugoj dijagonali i na "ravnim crtama" paralelnim s njom.

Primjer:

Lako je vidjeti da se broj članova u determinanti povećava s njezinim redoslijedom. Općenito, u odrednici P th reda broj članova je 1·2·3·…· P = P!.

Provjerimo: za Δ 1 broj članova je 1! = 1,

za Δ 2 broj članova je 2! = 1 2 = 2,

za Δ 3 broj članova je 3! = 1·2·3 = 6.

Slijedi da je za determinantu 4. reda broj članova 4! = 1·2·3·4 = 24, što znači da je izračunavanje takve determinante prilično zahtjevno, a o determinantama višeg reda da i ne govorimo. Uzimajući to u obzir, pokušavaju svesti izračun determinanti velikih redova na izračun determinanti drugog ili trećeg reda.

§ 5. Izračun determinanti velikih naloga

Uvedimo nekoliko pojmova.

Neka je dana kvadratna matrica A n-ti red:

Minor M element ij a ij se naziva determinanta ( P– 1. red dobiven iz matrice A precrtavanjem ja-th line i j th stupac.

Na primjer, sporedni element A 12 matrica trećeg reda bit će:

Algebarski komplement A element ij a ij je njegov minor, uzet sa predznakom (−1) ja + j:

A ij = (−1) ja + j M i J

Drugim riječima, A ij = M ij ako ja+j Parni broj,

A ij = − M ij ako ja+j neparan broj.

Primjer. Nađite algebarske komplemente elemenata drugog retka matrice

Riješenje.

Koristeći algebarske adicije, moguće je izračunati determinante velikih redova, na temelju Laplaceovog teorema.

Laplaceov teorem. Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg od njegovih redaka (stupaca) i njihovih algebarskih komplemenata:

– proširenje duž i-tog reda;

( – proširenje u j-tom stupcu).

Primjer. Izračunajte determinantu matrice proširenje duž prvog reda.

Riješenje.

Dakle, determinanta bilo kojeg reda može se svesti na izračun nekoliko determinanti nižeg reda. Očito, za dekompoziciju je zgodno odabrati redak ili stupac koji sadrži što više nula.

Pogledajmo još jedan primjer.

Primjer. Izračunajte determinantu trokutaste matrice

Riješenje.

Kužim to determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata njezine glavne dijagonale .

Ova važna derivacija olakšava izračunavanje determinante bilo koje trokutaste matrice. Ovo je tim korisnije jer se po potrebi svaka determinanta može svesti na trokutasti oblik. U ovom slučaju koriste se neka svojstva determinanti.

Primjena

Pojam determinante P-th red općenito.

Općenito, moguće je dati strogu definiciju za determinantu matrice P-red, ali za to je potrebno uvesti niz pojmova.

Preuređenje brojevi 1, 2, ..., n Svaki raspored ovih brojeva u određenom redoslijedu naziva se. U elementarnoj algebri je dokazano da je broj svih permutacija od kojih se može formirati n brojevi jednaki 12...n = n!. Na primjer, od tri broja 1, 2, 3 možete sastaviti 3! = 6 permutacija: 123, 132, 312, 321, 231, 213.

Kažu da u ovoj permutaciji brojevi ja I jšminka inverzija(nered) ako ja> j, Ali ja dolazi ranije u ovoj permutaciji j, odnosno ako je veći broj lijevo od manjeg.

Permutacija se zove čak(ili neparan), ako ima paran (neparan) ukupan broj inverzija.

Operacija kojom se prelazi s jedne permutacije na drugu sastavljenu od istih n zove se brojevi zamjena n ti stupanj.

Zamjena koja pretvara jednu permutaciju u drugu piše se u dva retka u zajedničkim zagradama, a brojevi koji zauzimaju ista mjesta u permutacijama koje se razmatraju nazivaju se odgovarajućima i pišu se jedan ispod drugog. Na primjer, simbol

označava zamjenu u kojoj 3 ide u 4, 1 ide u 2, 2 ide u 1, 4 ide u 3. Zamjena se naziva parnom (ili neparnom) ako je ukupni broj inverzija u oba reda zamjene paran (neparan ). Svaka zamjena n-ta snaga se može napisati kao

oni. s prirodnim brojevima u gornjem redu.

Neka nam je dana kvadratna matrica reda n

Razmotrimo sve moguće proizvode prema n elementi ove matrice, uzeti jedan i samo jedan iz svakog retka i svakog stupca, tj. djela oblika:

gdje su indeksi q 1 , q 2 ,..., qn napraviti neku permutaciju brojeva
1, 2,..., n. Broj takvih proizvoda jednak je broju različitih permutacija iz n likovi, tj. jednaki n!. Radna oznaka , jednako (–1) q, Gdje q– broj inverzija u permutaciji drugih indeksa elemenata.

Determinanta n-ti red je algebarski zbroj svih mogućih proizvoda s obzirom na n elementi matrice uzeti jedan i samo jedan iz svakog retka i svakog stupca, tj. djela oblika: . U ovom slučaju, znak proizvoda jednako (–1) q, Gdje q– broj inverzija u permutaciji drugih indeksa elemenata.

Linearna algebra

Prethodno za kvadratnu matricu tog reda uveden je pojam maloljetnika
element . Podsjetimo, tako se naziva odrednica reda
, dobiven iz determinante
precrtavanjem th linija i th stupac.

Uvedimo sada opći pojam mol. Razmotrimo neke ne nužno četvrtast matrica . Izaberimo neke brojevi redaka
I brojevi stupaca
.

Definicija. Manja narudžba matrice (odgovara odabranim redcima i stupcima) naziva se determinanta reda , koju čine elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih redaka i stupaca, tj. broj

Svaka matrica ima onoliko minora određenog reda , na koliko načina možete odabrati brojeve redaka
i stupci
.

Definicija. U matrici veličine
manji red nazvao Osnovni, temeljni, ako je različit od nule i svi minori su reda
jednak nuli ili manji red
kod matrice apsolutno ne.

Jasno je da matrica može imati nekoliko različitih baznih minora, ali svi bazni minori imaju isti redoslijed. Doista, ako su svi maloljetnici reda
jednaki nuli, tada su svi minori reda jednaki nuli
, a time i svi viši redovi.

Definicija. Rang matrice Red baznog minora naziva se ili, drugim riječima, najveći red za koji postoje minori različiti od nule. Ako su svi elementi matrice jednaki nuli, tada se rang takve matrice, po definiciji, smatra nulom.

Rang matrice označit ćemo simbolom
. Iz definicije ranga proizlazi da za matricu veličine
omjer je točan.

Dva načina za izračunavanje ranga matrice

A) Bordering minor metoda

Neka se u matrici nađe minor
-ti red, različit od nule. Razmotrimo samo te maloljetnike
-th reda, koji sadrže (rub) minor
: ako su svi jednaki nuli, tada je rang matrice . Inače, među rubnim minorima nalazi se minor različit od nule
-tog reda, te se cijeli postupak ponavlja.

Primjer 9 . Odredite rang matrice metodom graničenja minora.

Izaberimo minor drugog reda
. Postoji samo jedan minor trećeg reda koji graniči s odabranim minorom
. Izračunajmo to.

Dakle, minorno je
osnovni, a rang matrice je jednak njenom poretku, tj.

Jasno je da je iteracija kroz minore na ovaj način u potrazi za bazom zadatak povezan s velikim proračunima, ako dimenzije matrice nisu jako male. Postoji, međutim, jednostavniji način za pronalaženje ranga matrice - pomoću elementarnih transformacija.

b) Metoda elementarne transformacije

Definicija. Elementarne matrične transformacije Sljedeće transformacije se nazivaju:

množenje niza brojem koji nije nula;

dodavanje drugog retka jednom retku;

preuređivanje linija;

iste transformacije stupaca.

Transformacije 1 i 2 izvode se element po element.

Kombinacijom transformacija prvog i drugog tipa možemo dodati linearnu kombinaciju preostalih nizova u bilo koji redak.

Teorema. Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.

(Nema dokaza)

Ideja praktične metode za izračunavanje ranga matrice

je da uz pomoć elementarnih transformacija ova matrica dovesti do pojave

, (5)

u kojoj se "dijagonalni" elementi
različiti su od nule, a elementi koji se nalaze ispod “dijagonalnih” jednaki su nuli. Dogovorimo se da nazovemo matricu ova vrsta trokuta (inače se naziva dijagonalno, trapezoidno ili ljestvičasto). Nakon redukcije matrice trokutastoj formi možemo odmah napisati da
.

Doista,
(pošto elementarne transformacije ne mijenjaju rang). Ali matrica postoji manji red različit od nule :

i bilo koji manji reda
sadrži nulti niz i stoga je jednak nuli.

Formulirajmo sada praktično pravilo za izračun ranga matrice pomoću elementarnih transformacija: pronaći rang matrice potrebno ga je elementarnim transformacijama dovesti do trokutastog oblika . Zatim rang matrice bit će jednak broju redaka koji nisu nula u rezultirajućoj matrici .

Primjer 10. Odredite rang matrice metodom elementarnih transformacija

Riješenje.

Zamijenimo prvi i drugi redak (budući da je prvi element drugog retka −1 i s njim će biti zgodno izvoditi transformacije). Kao rezultat, dobivamo matricu ekvivalentnu ovoj.

Označimo -taj red matrice – . Moramo svesti izvornu matricu na trokutasti oblik. Prvu liniju ćemo smatrati vodećom linijom; ona će sudjelovati u svim transformacijama, ali sama ostaje nepromijenjena.

U prvoj fazi izvršit ćemo transformacije koje nam omogućuju dobivanje nula u prvom stupcu, osim prvog elementa. Da biste to učinili, oduzmite prvu liniju od druge linije, pomnoženo s 2
, dodajte prvi u treći red
, a od trećeg oduzimamo prvi, pomnožen sa 3
Dobivamo matricu čiji se rang podudara s rangom te matrice. Označimo ga istim slovom :

Budući da trebamo reducirati matricu na oblik (5), oduzimamo drugi od četvrtog retka. U ovom slučaju imamo:

Dobivena je matrica trokutastog oblika, što možemo zaključiti
, tj. broj linija različitih od nule. Ukratko, rješenje problema može se napisati na sljedeći način:

Neka je dana neka matrica:

Odaberimo u ovoj matrici proizvoljni nizovi i proizvoljni stupci
. Zatim odrednica reda, sastavljen od elemenata matrice
, koji se nalazi na sjecištu odabranih redaka i stupaca, naziva se minor matrica th reda
.

Definicija 1.13. Rang matrice
je najveći red minora koji nije nula ove matrice.

Da bi se izračunao rang matrice, treba uzeti u obzir sve njezine minore najnižeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, prijeći na razmatranje minora najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili metoda graničnih minora).

Problem 1.4. Metodom obrubljivanja minora odredite rang matrice
.

Razmotrite rubove prvog reda, na primjer,
. Zatim prelazimo na razmatranje rubova drugog reda.

Na primjer,
.

Na kraju, analizirajmo obrub trećeg reda.

Dakle, najviši red minora koji nije nula je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja zadatka 1.4 možete primijetiti da je broj rubnih minora drugog reda različit od nule. U tom smislu vrijedi sljedeći koncept.

Definicija 1.14. Bazni minor matrice je bilo koji minor različit od nule čiji je poredak jednak rangu matrice.

Teorem 1.2.(Manji teorem o bazi). Osnovni redovi (bazni stupci) su linearno neovisni.

Primijetite da su retci (stupci) matrice linearno ovisni ako i samo ako se barem jedan od njih može prikazati kao linearna kombinacija ostalih.

Teorem 1.3. Broj linearno nezavisnih redaka matrice jednak je broju linearno nezavisnih stupaca matrice i jednak je rangu matrice.

Teorem 1.4.(Potreban i dovoljan uvjet da determinanta bude jednaka nuli). Kako bi se za odrednicu -ti red bio jednak nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (stupci) budu linearno ovisni.

Izračunavanje ranga matrice na temelju njene definicije je previše glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice visokog reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na temelju primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i korištenjem koncepata ekvivalencije matrice i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
I nazivaju se ekvivalentnima ako su im rangovi jednaki, tj.
.

Ako matrice
I su ekvivalentni, onda imajte na umu
 .

Teorem 1.5. Rang matrice se ne mijenja zbog elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije ćemo nazvati
bilo koja od sljedećih operacija na matrici:

Zamjena redaka stupcima i stupaca odgovarajućim redovima;

Preuređivanje redaka matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi nula;

Množenje niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elementima jednog retka odgovarajućih elemenata drugog retka pomnoženih s istim brojem
.

Korolar teorema 1.5. Ako je matrica
dobiven iz matrice korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, zatim matrice
I su ekvivalentni.

Kada se izračunava rang matrice, potrebno ju je svesti na trapezoidni oblik pomoću konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Trapezoidnim ćemo nazvati oblik matričnog prikaza kada u rubnom minoru najvišeg reda različitog od nule svi elementi ispod dijagonalnih nestaju. Na primjer:

Ovdje
, matrični elementi
ići na nulu. Tada će oblik prikaza takve matrice biti trapezoidan.

U pravilu se Gaussovim algoritmom matrice svode na trapezoidni oblik. Ideja Gaussovog algoritma je da se množenjem elemenata prvog retka matrice s odgovarajućim faktorima postigne da svi elementi prvog stupca koji se nalaze ispod elementa
, pretvorio bi se u nulu. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca s odgovarajućim faktorima, osiguravamo da svi elementi drugog stupca koji se nalaze ispod elementa
, pretvorio bi se u nulu. Zatim nastavite na isti način.

Problem 1.5. Odredite rang matrice reducirajući je na trapezoidni oblik.

Kako biste olakšali korištenje Gaussovog algoritma, možete zamijeniti prvi i treći red.








.

Očito je da ovdje
. Međutim, kako biste rezultat doveli u elegantniji oblik, možete nastaviti transformirati stupce.










.

Promotrimo matricu A veličine .

A=
Odaberimo k redaka i k stupaca (
).

Definicija 26:Minor K-ti red matrice A je determinanta kvadratne matrice dobivena iz zadane njezinim odabirom.

krows i kcolumns.

Definicija 27:Rang matrice naziva se najveći od nultih redova njezinih minora, r(A).

Definicija 28: Poziva se maloljetnik čiji redoslijed odgovara rangu osnovni mol.

Izjava:

1. Rang se izražava kao cijeli broj.(
)

2. r=0,
, kada je A nula.

Elementarne transformacije matrica.

Elementarne transformacije matrica uključuju sljedeće:

1) množenje svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice istim brojem.

2) dodavanje elementima bilo kojeg retka (stupca) matrice odgovarajućih elemenata drugog retka (stupca) pomnoženih s istim brojem;

3) preuređivanje redaka (kolona) matrice;

4) odbacivanje nultog retka (stupca);

5) zamjena redaka matrice s odgovarajućim stupcima.

Definicija 29: Matrice koje proizlaze jedna iz druge pod elementarnim transformacijama nazivaju se ekvivalentne matrice i označavaju se s “~“

Glavno svojstvo ekvivalentnih matrica: Rangovi ekvivalentnih matrica su jednaki.

Primjer 18: Izračunajte r(A),

Riješenje: Pomnožite prvi red korak po korak s (-4)(-2)

(-7), a zatim dodajte u drugi, treći i četvrti redak.

zamijenite drugi i četvrti red
pomnožite drugi redak s (-2) i dodajte ga četvrtom retku; Dodajmo drugi i treći red.

Dodajmo treći i četvrti red.

~
uklonite nultu liniju

~
r(A)=3
rang izvorne matrice

jednako tri.

Definicija 30: Nazovimo matricu A stepenastom ako su svi elementi glavne dijagonale 0, a elementi ispod glavne dijagonale su nula.

Ponuda:

1) rang matrice koraka jednak je broju njezinih redaka;

2) bilo koja se matrica može reducirati u oblik ešalona pomoću elementarnih transformacija.

Primjer 19: Na kojim vrijednostima  matrica
ima rang jednak jedan?

Riješenje: Rang je jednak jedan ako je determinanta drugog reda jednaka nuli, tj.

§6. Sustavi linearnih jednadžbi općeg oblika.

Prikaz sustava
---(9) naziva se sustav općeg oblika.

Definicija 31: Dva sustava nazivamo ekvivalentnima ako je svako rješenje prvog sustava rješenje drugog i obrnuto.

U sustavu (1) matrica A=
nazivamo glavnom matricom sustava, i =
sustav proširene matrice

Teorema. Kronecker-Capelli

Da bi sustav (9) bio kompatibilan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice, tj. r(A)=r( )

Teorem 1. Ako je rang matrice zajedničkog sustava jednak broju nepoznanica, tada sustav ima jedinstveno rješenje.

Teorem 2. Ako je rang matrice zajedničkog sustava manji od broja nepoznanica, tada sustav ima beskonačan broj rješenja.

Pravilo za rješavanje proizvoljnog sustava linearnih jednadžbi:

1) pronaći rangove glavne i proširene matrice sustava. Ako
, tada sustav nije kompatibilan.

2) Ako
=r, tada je sustav konzistentan. Pronađite neki osnovni minor reda r. Minor ćemo nazvati minor na temelju kojeg je određen rang matrice.

Nepoznanice čiji koeficijenti ulaze u osnovni minor zovu se glavne (bazične) i ostavljaju se lijevo, dok se preostale nepoznanice nazivaju slobodnima i prenose se na desnu stranu jednadžbe.

3) Pronađite izraze glavnih nepoznanica pomoću slobodnih. Dobiva se opće rješenje sustava.

Primjer 20: Istražite sustav i, ako je kompatibilan, pronađite jedinstveno ili opće rješenje

Riješenje: 1) prema T. Kronecker-Capelliju, nalazimo rangove proširene i glavne matrice sustava:

~
~

~
~
rang glavne matrice je dva

2) pronaći rang proširene matrice
~
~
~

3) Zaključak:
=2, tada je sustav konzistentan.

Ali

sustav je nesiguran i ima bezbroj rješenja.

4) Osnovne nepoznanice I , budući da pripadaju osnovici manjoj, i - slobodan nepoznat.

Neka =c, gdje je c bilo koji broj.

5) Posljednja matrica odgovara sustavu

6) Odgovor:

7) Provjera: u bilo koju od jednadžbi izvornog sustava, gdje su prisutne sve nepoznanice, zamijenimo pronađene vrijednosti.

Ovaj članak će raspravljati o konceptu kao što je rang matrice i potrebnim dodatnim konceptima. Dat ćemo primjere i dokaze pronalaženja ranga matrice, a također ćemo vam reći što je matrica minor i zašto je toliko važna.

Matrix minor

Da biste razumjeli što je rang matrice, trebate razumjeti koncept manje matrice.

Definicija 1

Minorkred matrice je determinanta kvadratne matrice reda k×k, koja je sastavljena od elemenata matrice A smještenih u unaprijed odabranim k-redcima i k-stupcima, zadržavajući položaj elemenata matrice A.

Jednostavno rečeno, ako u matrici A izbrišete (p-k) redaka i (n-k) stupaca, a od onih elemenata koji su ostali, stvorite matricu, zadržavajući raspored elemenata matrice A, tada je determinanta rezultirajuće matrice red k minora matrice A.

Iz primjera slijedi da su minori prvog reda matrice A sami elementi matrice.

Možemo dati nekoliko primjera minora 2. reda. Odaberimo dva retka i dva stupca. Na primjer, 1. i 2. red, 3. i 4. stupac.

S ovim izborom elemenata, minor drugog reda bit će - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Drugi minor 2. reda matrice A je 0 0 1 1 = 0

Navedimo ilustracije konstrukcije minora drugog reda matrice A:

Minor 3. reda dobiva se precrtavanjem trećeg stupca matrice A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Ilustracija kako se dobiva minor 3. reda matrice A:

Za datu matricu ne postoje minori viši od 3. reda, jer

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

Koliko ima minora reda k za matricu A reda p×n?

Broj maloljetnika izračunava se prema sljedećoj formuli:

C p k × C n k , gdje je e C p k = p ! k! (p - k) ! i C n k = n ! k! (n - k) ! - broj kombinacija od p do k, odnosno od n do k.

Nakon što smo odredili što su minori matrice A, možemo prijeći na određivanje ranga matrice A.

Rang matrice: metode pronalaženja

Definicija 2

Rang matrice - najviši red matrice različit od nule.

Oznaka 1

rang (A), Rg (A), rang (A).

Iz definicije ranga matrice i minora matrice postaje jasno da je rang nulte matrice jednak nuli, a rang matrice koja nije nula različit od nule.

Određivanje ranga matrice po definiciji

Definicija 3

Metoda popisivanja maloljetnika - metoda koja se temelji na određivanju ranga matrice.

Algoritam radnji pomoću metode nabrajanja maloljetnika :

Potrebno je pronaći rang matrice A reda str× n. Ako postoji barem jedan element koji nije nula, tada je rang matrice barem jednak jedan ( jer postoji minor 1. reda koji nije jednak nuli).

Slijedi nabrajanje minora 2. reda. Ako su svi minori 2. reda jednaki nuli, tada je rang jednak jedan. Ako postoji barem jedan minor 2. reda različit od nule, potrebno je prijeći na nabrajanje minora 3. reda, a rang matrice će u tom slučaju biti jednak najmanje dva.

Isto ćemo učiniti s rangom 3. reda: ako su svi minori matrice jednaki nuli, tada će rang biti jednak dva. Ako postoji barem jedan minor trećeg reda koji nije nula, tada je rang matrice najmanje tri. I tako dalje, po analogiji.

Primjer 2

Pronađite rang matrice:

A = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Pošto je matrica različita od nule, njen minimalni rang je jedan.

Minor 2. reda - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 nije nula. Slijedi da je rang matrice A najmanje dva.

Razvrstavamo minore 3. reda: C 3 3 × C 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3) ! = 10 komada.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Minori 3. reda su jednaki nuli, pa je rang matrice dva.

Odgovor : Rang (A) = 2.

Pronalaženje ranga matrice metodom graničnih minora

Definicija 3

Bordering minor metoda - metoda koja vam omogućuje da dobijete rezultate uz manje računalnog rada.

Edge minor - minor M o k (k + 1) th reda matrice A, koji graniči s minorom M reda k matrice A, ako matrica koja odgovara molu M o k “sadrži” matricu koja odgovara maloljetna M.

Jednostavnije rečeno, matrica koja odgovara rubnom minoru M dobiva se iz matrice koja odgovara rubnom minoru M o k brisanjem elemenata jednog retka i jednog stupca.

Primjer 3

Pronađite rang matrice:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Da bismo pronašli rang, uzimamo minor 2. reda M = 2 - 1 4 1

Zapisujemo sve granične minore:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Kako bismo opravdali metodu rubnih minora, donosimo teorem čija formulacija ne zahtijeva dokaz.

Teorem 1

Ako su svi minori koji graniče s minorom k-tog reda matrice A reda p puta n jednaki nuli, tada su svi minori reda (k+1) matrice A jednaki nuli.

Algoritam akcija :

Da biste pronašli rang matrice, nije potrebno proći kroz sve minore, samo pogledajte granične.

Ako su rubni minori jednaki nuli, tada je rang matrice jednak nuli. Ako postoji barem jedan minor koji nije jednak nuli, tada smatramo rubne minore.

Ako su sve nula, tada je Rank(A) dva. Ako postoji barem jedan rubni minor različit od nule, tada nastavljamo s razmatranjem njegovih rubnih minora. I tako dalje, na isti način.

Primjer 4

Nađite rang matrice koristeći metodu manjih rubova

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Kako riješiti?

Kako element a 11 matrice A nije jednak nuli, uzimamo minor 1. reda. Počnimo tražiti rubni minor koji je različit od nule:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

Našli smo rubni minor 2. reda koji nije jednak nuli 2 0 4 1 .

Nabrojimo rubne minore - (ima ih (4 - 2) × (5 - 2) = 6 komada).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Odgovor : Rang(A) = 2.

Određivanje ranga matrice Gaussovom metodom (pomoću elementarnih transformacija)

Prisjetimo se što su elementarne transformacije.

Elementarne transformacije:

preuređivanjem redaka (stupaca) matrice;
množenjem svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice proizvoljnim brojem k koji nije nula;

dodavanjem elementima bilo kojeg retka (stupca) elemenata koji odgovaraju drugom retku (stupcu) matrice, a koji se množe s proizvoljnim brojem k.

Definicija 5

Određivanje ranga matrice Gaussovom metodom - metoda koja se temelji na teoriji ekvivalencije matrica: ako se matrica B dobije iz matrice A korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, tada je Rank(A) = Rank(B).

Valjanost ove tvrdnje proizlazi iz definicije matrice:

Ako se redovi ili stupci matrice preurede, njena determinanta mijenja predznak. Ako je jednak nuli, tada kod preuređivanja redaka ili stupaca ostaje jednak nuli;
u slučaju množenja svih elemenata bilo kojeg retka (stupca) matrice s proizvoljnim brojem k koji nije jednak nuli, determinanta dobivene matrice jednaka je determinanti izvorne matrice, koja se množi s k;

u slučaju da se elementima određenog retka ili stupca matrice dodaju odgovarajući elementi drugog retka ili stupca, koji se pomnože s brojem k, ne mijenja se njezina determinanta.

Bit metode elementarnih transformacija : svesti matricu čiji rang treba pronaći na trapezoidnu pomoću elementarnih transformacija.

Za što?

Rang matrica ovog tipa prilično je lako pronaći. Jednak je broju linija koje imaju barem jedan element različit od nule. A budući da se rang ne mijenja prilikom izvođenja elementarnih transformacija, to će biti rang matrice.

Ilustrirajmo ovaj proces:

za pravokutne matrice A reda p puta n, čiji je broj redaka veći od broja stupaca:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k

za pravokutne matrice A reda p puta n, čiji je broj redaka manji od broja stupaca:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , R a n k (A) = str

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

za kvadratne matrice A reda n puta n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k , k< n

Primjer 5

Nađite rang matrice A pomoću elementarnih transformacija:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Kako riješiti?

Kako je element a 11 različit od nule, potrebno je elemente prvog retka matrice A pomnožiti s 1 a 11 = 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Elementima 2. retka pribrajamo odgovarajuće elemente 1. retka koji se množe s (-3). Elementima 3. retka pribrajamo elemente 1. retka koji se množe sa (-1):

~ A (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Element a 22 (2) nije nula, pa elemente 2. retka matrice A množimo s A (2) s 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Elementima 3. retka dobivene matrice pribrajamo odgovarajuće elemente 2. retka koji se množe s 3 2;
na elemente 4. retka - elemente 2. retka, koji se množe s 9 2;
na elemente 5. reda - elemente 2. reda koji se množe s 3 2.

Svi elementi reda su nula. Tako smo elementarnim transformacijama matricu doveli u trapezoidni oblik iz čega se vidi da je R an k (A (4)) = 2. Iz toga slijedi da je rang izvorne matrice također jednak dva.

Komentar

Ako provodite elementarne transformacije, tada približne vrijednosti nisu dopuštene!

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter