Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi svođenjem na kvadratne jednadžbe. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri

Kratak pregled teorijske problematike diferenciranog kredita

Za studente 1. godine

Specijalnost 02.23.03 “Održavanje i popravak motornih vozila”

Jednadžba. Korijen jednadžbe. Što znači "riješiti jednadžbu"?

Jednadžba je jednakost koja sadrži varijablu.

Korijen jednadžbe je vrijednost varijable koja, kada se zamijeni u jednadžbu, pretvara je u pravu numeričku jednakost.

Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da korijena nema.

Sustav jednadžbi je skup dviju ili više jednadžbi s dvije ili više nepoznanica; Štoviše, rješenje jedne od jednadžbi istovremeno je i rješenje svih ostalih.

Vrste jednadžbi i njihova rješenja: linearne, kvadratne.

Linearne jednadžbe su jednadžbe oblika: ax + b = 0, gdje su a i b neke konstante. Ako a nije jednako nuli, onda jednadžba ima jedan korijen: x = - b: a. Ako je a jednako nuli, a b jednako nuli, tada je korijen jednadžbe ax + b = 0 bilo koji broj. Ako je a jednako nuli, a b nije jednako nuli, tada jednadžba ax + b = 0 nema korijena.

Metode rješavanja linearnih jednadžbi

1) transformacije identiteta

2) grafička metoda.

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika sjekira 2 + bx + c= 0, gdje su koeficijenti a, b I c- proizvoljni brojevi, s a ≠ 0.

Neka je dana kvadratna jednadžba sjekira 2 + bx + c= 0. Tada je diskriminant broj D = b 2 − 4ak.

1. Ako D < 0, корней нет;

2. Ako D= 0, postoji točno jedan korijen;

3. Ako D> 0, bit će dva korijena.

Ako je diskriminant D > 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula: Korijeni kvadratne jednadžbe. Sada prijeđimo na samo rješenje. Ako diskriminant D> 0, korijeni se mogu pronaći pomoću formula:

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi

Opći oblik rješenja jednadžbe cos x = a, gdje je | a | ≤ 1, određeno formulom:

x = ± arccos(a) + 2πk, k ∈ Z (cijeli brojevi), s | a | > 1 jednadžba cos x = a nema rješenja među realnim brojevima.

Opći oblik rješenja jednadžbe sin x = a, gdje je | a | ≤ 1, određeno formulom:

x = (- 1)k · arcsin(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi), s | a | > 1 jednadžba sin x = a nema rješenja među realnim brojevima.

Opći oblik rješenja jednadžbe tg x = a određen je formulom:

x = arctan(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi).

Opći oblik rješenja jednadžbe cot x = a određen je formulom:

x = arcctg(a) + πk, k ∈ Z (cijeli brojevi).

Rješavanje linearnih trigonometrijskih jednadžbi

Linearne trigonometrijske jednadžbe imaju oblik k*f(x) + b = 0, gdje je f(x) trigonometrijska funkcija, a k i b realni brojevi.

Da bi se riješila jednadžba, ona se reducira na najjednostavniji oblik pomoću identičnih transformacija

Rješavanje linearno kombiniranih trigonometrijskih jednadžbi

Linearne kombinirane trigonometrijske jednadžbe imaju oblik f(kx + b) = a, gdje je f(x) trigonometrijska funkcija, a, k i b realni brojevi.

Za rješavanje jednadžbe uvodi se nova varijabla y = kx + b. Dobivena najjednostavnija trigonometrijska jednadžba rješava se za y i vrši se obrnuta zamjena.

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi pomoću redukcijskih formula

Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi pomoću trigonometrijskih identiteta

Kod rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje nisu najjednostavnije izvode se identične transformacije pomoću sljedećih formula:

Rješavanje kvadratnih trigonometrijskih jednadžbi

Posebnosti jednadžbi koje se svode na kvadratne:

Jednadžba sadrži trigonometrijske funkcije jednog argumenta ili se lako svode na jedan argument.

U jednadžbi postoji samo jedna trigonometrijska funkcija ili se sve funkcije mogu svesti na jednu.

Algoritam rješenja:

Zamjena u tijeku.

Izraz se pretvara.

Unesite oznaku (na primjer, sinx = y).

Rješava se kvadratna jednadžba.

Zamjenjuje se vrijednost navedene veličine i rješava trigonometrijska jednadžba

Glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (pomoću trigonometrijskih formula), uvođenje novih varijabli i rastavljanje na faktore. Pogledajmo njihovu upotrebu s primjerima. Obratiti pozornost na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednadžbi.

Nužan uvjet za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednadžbu

Riješenje:

Odgovor:

2) Pronađite korijene jednadžbe

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.

Riješenje:

Odgovor:

2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Riješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobivamo

Odgovor:

2) Riješite jednadžbu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Riješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobivamo

Odgovor:

3) Riješite jednadžbu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Riješenje:

Odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači da je cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx. Dobivamo

Odgovor:

2) Riješite jednadžbu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Riješenje:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobivamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i možemo podijeliti jednadžbu s cos 2 x . Dobivamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k

4. Jednadžbe oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Odgovor:

5. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem.

1) Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (x) = φ ( x) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je istinita.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

Odgovor: 0.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u pravnim postupcima i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako je |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Riješenje:

A) Označimo 3x=t, pa ćemo prepisati našu jednadžbu u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj varijabli: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na potenciju n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednadžbe: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riješenje:

A) Ovaj put prijeđimo odmah na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Riješenje:

Riješimo našu jednadžbu u općem obliku: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Pri k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu.
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ponovno smo pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliko k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Razmotrili smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, no postoje i one složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Riješimo jednadžbu:

Riješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo se metodom uvođenja nove varijable, koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, hajmo pronaći njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riješenje:

Upotrijebimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može poprimiti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednadžbe oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelite je s cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobivamo kontradikciju, tako da možemo sigurno dijeliti nulom.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riješenje:

Izbacimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a=0 onda će naša jednadžba imati oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), primjer rješenja je na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada obje strane jednadžbe trebate podijeliti kosinusom na kvadrat, dobivamo:

Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer br.:3

Riješite jednadžbu:
Riješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Zatim: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer br.:4

Riješite jednadžbu:

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer br.:5

Riješite jednadžbu:

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:

Uvedimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednadžbu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: krevetić 2 (x) + 2 krevetić (x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Tema lekcije: Trigonometrijske jednadžbe koje se mogu svesti na kvadratne, homogene trigonometrijske jednadžbe.

Vrsta lekcije: Kombinirani sat.

Ciljevi lekcije:

Uvesti pojam homogene trigonometrijske jednadžbe svodljive na kvadratne;
Uvesti pojam trigonometrijskih jednadžbi 1. i 2. stupnja;
Razviti kod učenika sposobnost rješavanja razmatranih jednadžbi na osnovnoj razini.

Razvijati sposobnost analize i zaključivanja;
Razvijati vještine samoanalize i kontrole.

Poticati osjećaj odgovornosti;
Razviti vještine za rad u timu.
Oprema za nastavu: plakati, kartice, samoprocjene, set kartica za samostalan rad, signalne kartice.

Struktura lekcije:

1. Organizacijska faza.

2. Faza provjere domaće zadaće.

3. Faza pripreme učenika za aktivno i svjesno usvajanje novog materijala. Uvod u temu lekcije. Postavljanje ciljeva i zadataka.

4. Faza asimilacije novih znanja.

5. Faza provjere razumijevanja novog gradiva od strane učenika.

6. Faza učvršćivanja novog gradiva.

7. Etapa informiranja učenika o domaćoj zadaći.

8. Etapa sveobuhvatne provjere znanja.

9. Sažimanje. Odraz.

1. Organizacijska faza .

pripremiti učenike za rad u nastavi.

2. Faza provjere domaće zadaće .

utvrditi prisutnost i ispravnost domaćih zadaća od strane svih učenika.

3. Faza pripreme učenika za aktivno i svjesno usvajanje novog materijala.

stvaranjem problemske situacije dovesti učenike do novih vrsta trigonometrijskih jednadžbi. Nastavnik učenicima skreće pozornost na magnetsku ploču na kojoj se nalaze kartice s nekoliko trigonometrijskih jednadžbi i traži od njih da pokažu kako ih riješiti.

1) cos (4x-2)=2

3) cos 2 x-2cosx=0

5) 8 sin 2 x-6 sin x-5=0

6)8 cos 2 2x+6 sin 2x-3=0

7)2sin x- 3 cos x=0

9)3 sin 2 x- 4sin x cos x +cos 2 x=0

Učenici pažljivo promatraju magnetsku ploču i objašnjavaju kako riješiti ovu ili onu jednadžbu. Ako nastavnik nema primjedbi, kartica s gornjom jednadžbom uklanja se s magnetske ploče.

Kao rezultat obavljenog rada, jednadžbe su ostale na magnetskoj ploči, učenici nisu mogli pronaći način da ih riješe. (br. 5, 7)

4. Faza asimilacije novih znanja.

Uvesti pojam “Trigonometrijske jednadžbe svodljive na kvadratne”;

uvesti pojam “trigonometrijske jednadžbe svodljive na kvadratne”;
uvesti pojam homogene trigonometrijske jednadžbe;
analizirati metode rješavanja homogenih trigonometrijskih jednadžbi 1. i 2. stupnja;
postići sposobnost određivanja oblika homogenih trigonometrijskih jednadžbi;
ovladati općim tehnikama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi koje se mogu svesti na kvadratne i homogene trigonometrijske jednadžbe.

Nastavnik imenuje vrste preostalih jednadžbi i poziva učenike da zapišu temu lekcije „Trigonometrijske jednadžbe rješavane redukcijom na kvadratne. Homogene trigonometrijske jednadžbe 1. i 2. stupnja."

Učitelj bilježi na ploču, a učenici u svoje bilježnice:

Trigonometrijske jednadžbe rješavane redukcijom na kvadratne jednadžbe.

1) Jednadžbe oblika A×sin2 t +B×sin t + C = 0, gdje je A ¹ 0, rješavaju se redukcijom na kvadratnu zamjenom sin t = y (jednadžbe s cos t, tg t, stg t su riješeno na sličan način).

2) Jednadžbe oblika A×sin2 t +B×cos t + C = 0. Pri rješavanju se koristi glavni trigonometrijski identitet sin2 t = 1 - cos2 t.

3) sin 2 t = a, a= . 4) cos 2 t = a, a= .

5) tg 2 t = a, a= . 6) krevetić 2 t = a, a=

Detaljno se analizira rješenje jednadžbe broj 5, 4. Rješavanje jednadžbe broj 6 provodi se uz aktivno sudjelovanje razreda. Za rješavanje jednadžbe br. 8 poziva se učenik (po izboru).

Homogene trigonometrijske jednadžbe 1. i 2. stupnja.

Jednadžba u kojoj svaki član ima isti stupanj naziva se homogenom.

1) Jednadžbe oblika A×sin t +B×cos t = 0, gdje je A ¹ 0, B ¹ 0, nazivaju se homogene trigonometrijske jednadžbe 1. stupnja. Rješavaju se dijeljenjem obje strane s cos t ¹ 0. Imamo A× tg t + B = 0.

2) Jednadžbe oblika A×sin2 t +B sin t×cos t + S×cos2 t = 0 nazivaju se homogene trigonometrijske jednadžbe 2. stupnja. Rješavaju se dijeljenjem obje strane s cos2 t ¹ 0. Imamo A× tg2 t + B× tg t + C = 0.

Nastavnik rješava jednadžbu br. 7, uz detaljno objašnjenje. Prilikom rješavanja jednadžbe br. 9, pomoću pitanja povezuje učenike na aktivan rad. Nakon svođenja jednadžbe na oblik 3tg2 t - 4 tg t + 1 = 0, poziva učenike da, ako žele, dođu do ploče i riješe dobivenu jednadžbu.

Faza provjere razumijevanja novog gradiva od strane učenika.

Zadatak: utvrditi jesu li učenici naučili rješavati novu vrstu jednadžbi.

SFZ (samostalni rad na formiranju znanja).

Odredite vrstu jednadžbe i navedite kako je riješiti.

2)5 sin 3x+4cos3x=0 ;

3) sin 2 x+14sinx*cosx-15cos 2 x=0;

4) 1 + 7cos2 x + 3sin2 x = 0;

5)sin2x+sin 2 x=0 .

6. Faza učvršćivanja novog gradiva.

Zadatak: učvrstiti kod učenika znanja i vještine koje su stekli na lekciji.

Učitelj traži od učenika da riješe sljedeće jednadžbe na ploči:

7. Etapa informiranja učenika o domaćoj zadaći.

Zadaci: priopćiti učenicima domaću zadaću, dati kratke upute o izradi iste.

pregledati bilješke u svojoj bilježnici;
analizirati rješenje primjera br. 1 - 6 iz udžbenika, str. 78 - 79.
kompletan br. 167a), b); broj 168 b); broj 169a); br. 170v).
Jači učenici umjesto br. 167, 168 mogu riješiti jednadžbu:

15*(sin 2 x+sin x+ cos 2 2x) 2 +17+31sinx

8. Etapa sveobuhvatne provjere znanja.

Ciljevi: cjelovito provjeriti znanje učenika pri rješavanju jednadžbi sličnih onima obrađenima u lekciji, razvijati vještine samoanalize i kontrole.

SFN (samostalni rad na razvoju vještina).

Riješite jednadžbe.

Opcija 1.

opcija 2

Opcija 3

Opcija 4

9. Sažimajući. Odraz.