Zapravo, da biste pronašli površinu figure, ne trebate toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak "izračunaj površinu koristeći određeni integral" uvijek uključuje izradu crteža, pa će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo gorući problem. S tim u vezi, korisno je osvježiti pamćenje grafova osnovnih elementarnih funkcija i, barem, znati konstruirati ravnu liniju i hiperbolu.

Zakrivljeni trapez je ravna figura omeđena osi, ravnim linijama i grafom funkcije kontinuirane na segmentu koji ne mijenja predznak na tom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-os:

Zatim površina krivocrtnog trapeza brojčano je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje.

Sa stajališta geometrije, određeni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrimo određeni integral. Integrand definira krivulju na ravnini koja se nalazi iznad osi (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivocrtnog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija točka odluke je konstrukcija crteža. Štoviše, crtež mora biti konstruiran PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: isprva bolje je konstruirati sve ravne linije (ako postoje) i samo Zatim- parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija točku po točku.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Nacrtajmo crtež (imajte na umu da jednadžba definira os):

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad osi, Zato:

Odgovor:

Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "okom" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Primjer 3

Izračunajte površinu figure omeđene linijama i koordinatnim osima.

Riješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši dana os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

U ovom slučaju:

Pažnja! Te dvije vrste zadataka ne treba brkati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini, pa se s najjednostavnijih školskih zadataka prelazi na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Odredite površinu ravnog lika omeđenog linijama , .

Riješenje: Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole i pravca. To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednadžbu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .

Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

Puno je isplativije i brže konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "same od sebe". Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati ravnu crtu, a tek onda parabolu. Napravimo crtež:

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veći ili jednak neka kontinuirana funkcija , tada se površina figure omeđena grafovima tih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, i, grubo rečeno, bitno je koji je graf VIŠI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Gotovo rješenje može izgledati ovako:

Željena figura ograničena je parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Primjer 4

Izračunaj površinu lika omeđenog linijama , , , .

Riješenje: Prvo, napravimo crtež:

Lik čije područje trebamo pronaći je osjenčan plavom bojom(pažljivo pogledajte stanje - koliko je brojka ograničena!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se dogodi "greška" da treba pronaći područje figure koje je osjenčano zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure pomoću dva određena integrala.

Stvarno:

1) Na segmentu iznad osi nalazi se graf ravne linije;

2) Na segmentu iznad osi nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očito da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

U kartezijskom pravokutnom koordinatnom sustavu xOy dana je figura (vidi sliku) omeđena osi x, ravnim linijama x = a, x = b (a krivocrtnim trapezom. Potrebno je izračunati površinu krivocrtnog trapez.
Riješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina mnogokuta i nekih dijelova kruga (sektor, segment). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, razmišljajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (baza zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova se podjela provodi pomoću točaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Povucimo ravne linije kroz te točke paralelne s y-osi. Tada će zadani krivocrtni trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbroju površina stupova.

Razmotrimo zasebno k-ti stupac, tj. zakrivljeni trapez čija je osnovica segment. Zamijenimo ga pravokutnikom iste baze i visine jednake f(x k) (vidi sliku). Površina pravokutnika jednaka je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), gdje je \(\Delta x_k \) duljina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir rezultirajući proizvod kao približnu vrijednost površine k-tog stupca.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S zadanog krivocrtnog trapeza približno je jednaka površini S n stepenaste figure sastavljene od n pravokutnika (vidi sliku):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Ovdje, radi jednoobraznosti zapisa, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - duljina segmenta, \(\Delta x_1 \) - duljina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se gore dogovorili, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Dakle, \(S \approx S_n \), a ova približna jednakost je točnija što je n veći.
Prema definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivocrtnog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju točke)
Materijalna točka se giba pravocrtno. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Nađite kretanje točke kroz neko vrijeme [a; b].
Riješenje. Kad bi kretanje bilo jednoliko, tada bi se problem riješio vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima se temeljilo rješenje prethodnog problema.
1) Podijelimo vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Promotrimo vremenski period i pretpostavimo da je tijekom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost pomicanja točke u određenom vremenskom razdoblju, označit ćemo tu približnu vrijednost s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Odredite približnu vrijednost pomaka s:
\(s \približno S_n \) gdje
\(S_n = s_0 + \točke + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \točke + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Traženi pomak jednak je granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Sažmimo. Rješenja raznih problema svodila su se na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih područja znanosti i tehnologije vode do istog modela u procesu rješavanja. To znači da se ovaj matematički model mora posebno proučavati.

Pojam određenog integrala

Dajmo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kako se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) razdvojite segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) sastavite zbroj $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

Tijekom matematičke analize dokazano je da ta granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je pozvan određeni integral funkcije y = f(x) po segmentu [a; b] i označava se na sljedeći način:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Brojeve a i b nazivamo granicama integracije (donja odnosno gornja).

Vratimo se zadacima o kojima smo govorili gore. Definicija površine dana u problemu 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
ovdje je S područje krivuljastog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s točke koja se kreće pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b, dana u problemu 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Najprije odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivacije?

Odgovor se može pronaći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s točke koja se giba pravocrtno brzinom v = v(t) tijekom vremenskog razdoblja od t = a do t = b izračunava se pomoću formula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

S druge strane, koordinata pokretne točke je antiderivacija za brzinu - označimo je s(t); to znači da se pomak s izražava formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobivamo:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
gdje je s(t) antiderivacija od v(t).

Sljedeći teorem je dokazan tijekom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) neprekidna na intervalu [a; b], tada je formula valjana
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
gdje je F(x) antiderivacija od f(x).

Zadana formula se obično zove Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643.-1727.) i njemačkog filozofa Gottfrieda Leibniza (1646.-1716.), koji su je dobili neovisno jedan o drugome i gotovo istovremeno.

U praksi se umjesto pisanja F(b) - F(a) koristi oznaka \(\lijevo. F(x)\desno|_a^b \) (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, prema tome, prepišite Newton-Leibnizovu formulu u ovom obliku:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b \)

Pri računanju određenog integrala najprije pronađite antiderivaciju, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na temelju Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Svojstvo 1. Integral zbroja funkcija jednak je zbroju integrala:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Svojstvo 2. Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka integrala:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Izračunavanje površina ravnih likova pomoću određenog integrala

Pomoću integrala možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapezoida, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Lik P ograničen je ravnim linijama x = a, x = b i grafovima neprekidnih funkcija y = f(x), y = g(x), te na odsječku [a; b] vrijedi nejednakost \(g(x) \leq f(x) \). Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Dakle, površina S lika omeđenog ravnim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranih na segmentu i takvih da za bilo koji x iz segmenta [a; b] nejednakost \(g(x) \leq f(x) \) je zadovoljena, izračunata formulom
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tablica neodređenih integrala (antiderivacija) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

Primjena integrala na rješavanje primijenjenih problema

Izračun površine

Određeni integral kontinuirane nenegativne funkcije f(x) brojčano je jednak površina krivocrtnog trapeza omeđenog krivuljom y = f(x), osi O x i pravim linijama x = a i x = b. U skladu s tim, formula površine se piše na sljedeći način:

Pogledajmo neke primjere izračunavanja površina ravnih figura.

Zadatak br. 1. Izračunajte površinu omeđenu pravcima y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Riješenje. Konstruirajmo lik čiju ćemo površinu morati izračunati.

y = x 2 + 1 je parabola čiji su ogranci usmjereni prema gore, a parabola je pomaknuta prema gore za jednu jedinicu u odnosu na os O y (slika 1).

Slika 1. Graf funkcije y = x 2 + 1

Zadatak br. 2. Izračunajte površinu omeđenu linijama y = x 2 – 1, y = 0 u rasponu od 0 do 1.

Riješenje. Graf ove funkcije je parabola grana koje su usmjerene prema gore, a parabola je pomaknuta u odnosu na Oy os za jednu jedinicu prema dolje (slika 2).

Slika 2. Graf funkcije y = x 2 – 1

Zadatak br. 3. Napravite crtež i izračunajte površinu figure ograničene linijama

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Riješenje. Prva od ove dvije linije je parabola s granama usmjerenim prema dolje, jer je koeficijent x 2 negativan, a druga linija je pravac koji siječe obje koordinatne osi.

Da bismo konstruirali parabolu, nalazimo koordinate njenog vrha: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – apscisa tjemena; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je njegova ordinata, N(1;9) je vrh.

Nađimo sad sjecišta parabole i pravca rješavanjem sustava jednadžbi:

Izjednačavanje desnih strana jednadžbe čije su lijeve strane jednake.

Dobivamo 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 ili x 2 – 12 = 0, odakle .

Dakle, točke su sjecišta parabole i pravca (slika 1).

Slika 3. Grafikoni funkcija y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruirajmo ravnu liniju y = 2x – 4. Ona prolazi kroz točke (0;-4), (2;0) na koordinatnim osima.

Da biste konstruirali parabolu, također možete koristiti njezine sjecišne točke s osi 0x, odnosno korijene jednadžbe 8 + 2x – x 2 = 0 ili x 2 – 2x – 8 = 0. Koristeći Vietin teorem, lako je pronaći njegove korijene: x 1 = 2, x 2 = 4.

Slika 3 prikazuje lik (parabolični segment M 1 N M 2) omeđen ovim linijama.

Drugi dio problema je pronaći površinu ove figure. Njegovo područje može se pronaći pomoću određenog integrala prema formuli .

U odnosu na ovaj uvjet dobivamo integral:

2 Izračunavanje obujma rotacijskog tijela

Volumen tijela dobiven rotacijom krivulje y = f(x) oko osi O x izračunava se po formuli:

Kod rotacije oko O y osi formula izgleda ovako:

Zadatak br. 4. Odredi obujam tijela dobivenog rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog ravnim linijama x = 0 x = 3 i krivuljom y = oko osi O x.

Riješenje. Nacrtajmo sliku (slika 4).

Slika 4. Grafik funkcije y =

Potreban volumen je

Zadatak br. 5. Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom zakrivljenog trapeza omeđenog krivuljom y = x 2 i ravnim linijama y = 0 i y = 4 oko osi O y.

Riješenje. Imamo:

Pregled pitanja

A)

Riješenje.

Prva i najvažnija točka odluke je konstrukcija crteža.

Napravimo crtež:

Jednadžba y=0 postavlja os "x";

- x=-2 I x=1 - ravno, paralelno s osi OU;

- y=x 2 +2 - parabola, čiji su krakovi usmjereni prema gore, s vrhom u točki (0;2).

Komentar. Za konstrukciju parabole dovoljno je pronaći točke njezina sjecišta s koordinatnim osima, tj. stavljanje x=0 pronađite sjecište s osi OU i rješavajući odgovarajuću kvadratnu jednadžbu, pronađite sjecište s osi Oh .

Vrh parabole se može pronaći pomoću formula:

Također možete graditi linije točku po točku.

Na intervalu [-2;1] graf funkcije y=x 2 +2 nalazi se iznad osi Vol , Zato:

Odgovor: S =9 kvadratnih jedinica

Nakon obavljenog zadatka uvijek je korisno pogledati crtež i ustanoviti je li odgovor stvaran. U ovom slučaju, "okom" brojimo broj ćelija na crtežu - pa, bit će oko 9, čini se da je istina. Posve je jasno da ako smo dobili, recimo, odgovor: 20 četvornih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena pogreška - 20 ćelija očito ne stane u dotičnu brojku, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak netočno riješen.

Što učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine Oh?

b) Izračunajte površinu figure omeđene linijama y=-e x , x=1 i koordinatne osi.

Riješenje.

Napravimo crtež.

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod osi Oh , tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:

Odgovor: S=(e-1) četvornih jedinica" 1,72 četvornih jedinica

Pažnja! Te dvije vrste zadataka ne treba brkati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure koristeći određeni integral, tada je površina uvijek pozitivna! Zbog toga se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće lik nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravnini.

S) Odredite površinu ravne figure omeđene linijama y=2x-x 2, y=-x.

Riješenje.

Prvo morate dovršiti crtež. Općenito govoreći, kod konstruiranja crteža u problemima površina najviše nas zanimaju točke sjecišta linija. Nađimo sjecišne točke parabole i ravno To se može učiniti na dva načina. Prva metoda je analitička.

Rješavamo jednadžbu:

To znači da je donja granica integracije a=0 , gornja granica integracije b=3 .

Gradimo zadane pravce: 1. Parabola - vrh u točki (1;1); sjecište osi Oh - točke (0;0) i (0;2). 2. Ravnica - simetrala 2. i 4. koordinatnog kuta. A sada Pažnja! Ako na segmentu [ a;b] neka kontinuirana funkcija f(x) veća ili jednaka nekoj kontinuiranoj funkciji g(x), tada se područje odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule: . I nije bitno gdje se figura nalazi - iznad osi ili ispod osi, već je bitno koji je graf VIŠI (u odnosu na drugi graf), a koji ISPOD. U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad ravne linije, pa je potrebno oduzeti od

Možete konstruirati linije točku po točku, a granice integracije postaju jasne "sama od sebe". Unatoč tome, analitička metoda pronalaženja granica ipak se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (one mogu biti frakcijske ili iracionalne).

Željena figura ograničena je parabolom iznad i ravnom linijom ispod.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor: S =4,5 četvornih jedinica

U ovom ćete članku naučiti kako pomoću integralnih izračuna pronaći površinu figure omeđene linijama. Prvi put se s formulacijom ovakvog problema susrećemo u srednjoj školi, kada smo tek završili s učenjem određenih integrala i vrijeme je da počnemo s geometrijskom interpretacijom stečenog znanja u praksi.

Dakle, što je potrebno za uspješno rješavanje problema pronalaženja površine figure pomoću integrala:

• Sposobnost izrade kompetentnih crteža;
• Sposobnost rješavanja određenog integrala pomoću poznate Newton-Leibnizove formule;
• Sposobnost da se "vidi" opcija isplativijeg rješenja - tj. razumjeti kako će biti prikladnije provesti integraciju u jednom ili drugom slučaju? Duž x-osi (OX) ili y-osi (OY)?
• Pa, gdje bismo bili bez točnih izračuna?) Ovo uključuje razumijevanje kako riješiti tu drugu vrstu integrala i ispravne numeričke izračune.

Algoritam za rješavanje problema izračunavanja površine figure ograničene linijama:

1. Gradimo crtež. Preporučljivo je to učiniti na kariranom komadu papira, u velikom mjerilu. Naziv ove funkcije potpisujemo olovkom iznad svakog grafa. Potpisivanje grafikona vrši se isključivo radi praktičnosti daljnjih izračuna. Nakon što dobijete grafikon željene brojke, u većini slučajeva bit će odmah jasno koje će se granice integracije koristiti. Dakle, grafički rješavamo problem. Međutim, događa se da su vrijednosti granica frakcijske ili iracionalne. Stoga možete napraviti dodatne izračune, idite na drugi korak.

2. Ako granice integracije nisu eksplicitno navedene, tada pronalazimo točke međusobnog presjeka grafova i vidimo podudara li se naše grafičko rješenje s analitičkim.

3. Zatim morate analizirati crtež. Ovisno o tome kako su raspoređeni grafikoni funkcija, postoje različiti pristupi pronalaženju površine figure. Pogledajmo različite primjere pronalaženja površine figure pomoću integrala.

3.1. Najklasičnija i najjednostavnija verzija problema je kada trebate pronaći područje zakrivljenog trapeza. Što je zakrivljeni trapez? Ovo je ravna figura ograničena x-osom (y = 0), ravno x = a, x = b i svaka krivulja kontinuirana na intervalu od a prije b. Štoviše, ova brojka nije negativna i ne nalazi se ispod x-osi. U ovom slučaju, površina krivuljastog trapeza numerički je jednaka određenom integralu, izračunatom pomoću formule Newton-Leibniz:

Primjer 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Kojim je linijama omeđena figura? Imamo parabolu y = x2 – 3x + 3, koji se nalazi iznad osi OH, nije negativan, jer sve točke ove parabole imaju pozitivne vrijednosti. Dalje, s obzirom na ravne linije x = 1 I x = 3, koji idu paralelno s osi OU, granične su linije figure s lijeve i desne strane. Dobro y = 0, to je također x-os, koja ograničava lik odozdo. Dobivena figura je osjenčana, kao što se može vidjeti na slici lijevo. U tom slučaju možete odmah početi rješavati problem. Pred nama je jednostavan primjer zakrivljenog trapeza, koji zatim rješavamo koristeći Newton-Leibnizovu formulu.

3.2. U prethodnom paragrafu 3.1 ispitali smo slučaj kada se zakrivljeni trapez nalazi iznad x-osi. Sada razmotrite slučaj kada su uvjeti problema isti, osim što funkcija leži ispod x-osi. Standardnoj Newton-Leibnizovoj formuli dodaje se minus. U nastavku ćemo razmotriti kako riješiti takav problem.

Primjer 2 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

U ovom primjeru imamo parabolu y = x2 + 6x + 2, koji potječe od os OH, ravno x = -4, x = -1, y = 0. Ovdje y = 0 ograničava željenu figuru odozgo. Direktno x = -4 I x = -1 to su granice unutar kojih će se izračunati određeni integral. Princip rješavanja problema pronalaženja površine figure gotovo se u potpunosti podudara s primjerom broj 1. Jedina razlika je u tome što navedena funkcija nije pozitivna, a također je kontinuirana na intervalu [-4; -1] . Kako to misliš nije pozitivno? Kao što je vidljivo sa slike, lik koji se nalazi unutar zadanih x-ova ima isključivo “negativne” koordinate, što moramo vidjeti i zapamtiti prilikom rješavanja problema. Područje figure tražimo pomoću formule Newton-Leibniz, samo s znakom minus na početku.

Članak nije dovršen.