Parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dviju varijabli i razmotriti možda najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Izvanredni studenti se u pravilu susreću s parcijalnim izvedenicama na 1. godini u 2. semestru. Štoviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih derivacija se gotovo uvijek pojavljuje na ispitu.

Za učinkovito proučavanje materijala u nastavku, vi potrebno moći više ili manje pouzdano pronaći “obične” derivacije funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno postupati s izvedenicama Kako pronaći izvedenicu? I Derivacija složene funkcije. Trebat će nam i tablica izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferenciranja, najprikladnije je ako je pri ruci u tiskanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tablice.

Brzo ponovimo koncept funkcije dviju varijabli, pokušat ću se ograničiti na minimum. Funkcija dviju varijabli obično se piše kao , a varijable se pozivaju nezavisne varijable ili argumenti.

Primjer: – funkcija dviju varijabli.

Ponekad se koristi notacija. Ima i zadataka gdje se umjesto slova koristi slovo.

S geometrijskog gledišta, funkcija dviju varijabli najčešće predstavlja plohu u trodimenzionalnom prostoru (ravnina, valjak, sfera, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, zapravo, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi ​​moj sveučilišni profesor nikad nije dopustio da otpišem i moja je "jača strana".

Prijeđimo na pitanje nalaženja parcijalnih izvodnica prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šalica kave i nastavljaju s nekim nevjerojatno teškim materijalom: parcijalne derivacije su gotovo iste kao i “obične” derivacije funkcije jedne varijable.

Za parcijalne derivacije vrijede sva pravila diferenciranja i tablica derivacija elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika s kojima ćemo se sada upoznati:

...da, usput, za ovu temu koju sam napravio mala pdf knjiga, koji će vam omogućiti da “uhvatite zube” u samo par sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporije:

Primjer 1

Nađite parcijalne derivacije prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne derivacije prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:
ili – parcijalna derivacija u odnosu na “x”
ili – djelomična derivacija u odnosu na "y"

Počnimo s . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na "x", varijabla se smatra konstantom (konstantan broj).

Komentari o izvršenim radnjama:

(1) Prvo što radimo kada nalazimo parcijalnu derivaciju je da zaključimo svi funkcija u zagradi ispod prim s indeksom.

Pažnja, važno! NE GUBIMO indekse tijekom procesa rješavanja. U ovom slučaju, ako negdje nacrtate "crtu" bez , tada je učitelj, barem, može staviti pored zadatka (odmah odgrizite dio boda zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferenciranja , . Za jednostavan primjer poput ovog, oba se pravila mogu lako primijeniti u jednom koraku. Obratite pozornost na prvi pojam: budući da smatra se konstantom, a svaka se konstanta može izuzeti iz predznaka izvedenice, onda smo to izbacili iz zagrade. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Sada pogledajmo treći pojam: ovdje se, naprotiv, nema što izvaditi. Budući da je konstanta, također je konstanta, iu tom smislu nije ništa bolji od posljednjeg izraza - "sedam".

(3) Koristimo tablične izvedenice i .

(4) Pojednostavimo, ili, kako ja volim reći, "dotjerajmo" odgovor.

Sada . Kada nađemo parcijalnu derivaciju u odnosu na "y", tada varijablasmatra se konstantom (konstantan broj).

(1) Koristimo ista pravila diferenciranja , . U prvom članu izuzimamo konstantu iz predznaka izvoda, u drugom članu ne možemo ništa izbaciti jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu derivacija elementarnih funkcija. Promijenimo mentalno sve "X" u tablici u "I". To jest, ova tablica jednako vrijedi za (i zapravo za gotovo svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Što znače parcijalne derivacije?

U biti, parcijalne derivacije 1. reda sliče "obična" izvedenica:

- Ovo funkcije, koji karakteriziraju stopa promjene funkcionira u smjeru osi i . Tako npr. funkcija karakterizira strminu "uspona" i "padina" površine u smjeru osi apscisa, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru osi ordinata.

! Bilješka : ovdje mislimo na smjerove koji paralelno koordinatne osi.

Radi boljeg razumijevanja, uzmimo u obzir određenu točku na ravnini i izračunajmo vrijednost funkcije ("visina") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA POVRŠINI).

Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u danoj točki:

Negativan predznak izvedenice "X" nam govori o smanjujući se funkcionira u točki u smjeru apscisne osi. Drugim riječima, ako napravimo malo, malo (infinitezimalno) korak prema vrhu osi (paralelno s ovom osi), zatim ćemo se spustiti niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne osi:

Derivacija u odnosu na "y" je pozitivna, dakle, u točki u smjeru osi funkcija povećava se. Jednostavno rečeno, ovdje nas čeka uzbrdica.

Osim toga, parcijalna derivacija u točki karakterizira stopa promjene funkcionira u odgovarajućem smjeru. Što je veća rezultirajuća vrijednost modulo– što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, "nagib" u smjeru apscisne osi je strmiji od "planine" u smjeru ordinatne osi.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da s točke na kojoj se nalazimo, (i općenito s bilo koje točke na određenoj površini) možemo krenuti u nekom drugom smjeru. Dakle, postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "krajoliku" površine ako je moguće u svakoj točki domena definiranja ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo tehničkoj strani problema.

Sistematizirajmo osnovna primijenjena pravila:

1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija provodi prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tablica derivacija elementarnih funkcija vrijede i vrijede za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) po kojoj se provodi diferenciranje.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne derivacije drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:
ili – druga derivacija u odnosu na “x”
ili – drugi izvod u odnosu na "y"
ili - mješoviti izvedenica "x by igr"
ili - mješoviti izvedenica "Y"

S drugom derivacijom nema problema. Jednostavno rečeno, druga derivacija je derivacija prve derivacije.

Radi praktičnosti, prepisat ću već pronađene parcijalne derivacije prvog reda:

Prvo, pronađimo mješovite izvedenice:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalnu derivaciju i ponovno je diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".

Također:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovite derivacije drugog reda vrlo je zgodno provjeriti jesmo li ispravno pronašli parcijalne derivacije prvog reda.

Pronađite drugu derivaciju u odnosu na "x".
Bez izuma, uzmimo i ponovno ga razlikujemo s "x":

Također:

Treba napomenuti da prilikom pronalaska morate pokazati povećana pozornost, jer ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih potvrdile.

Druge derivacije također nalaze široku praktičnu primjenu, posebice se koriste u problemu nalaženja ekstremi funkcije dviju varijabli. Ali sve ima svoje vrijeme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne derivacije prvog reda funkcije u točki. Pronađite derivacije drugog reda.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći izvedenicu? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".

Usavršimo se u složenijim primjerima:

Primjer 3

Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Pronađite parcijalne derivacije prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: , uz “X” nije zabranjeno napisati u zagradi da je to konstanta. Ova bilješka može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snalazili u rješenju.

Dodatni komentari:

(1) Uzimamo sve konstante izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i stoga se njihov umnožak smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije; u ovom slučaju konstanta je .

(2) Ispod prabroja nam je ostao umnožak dviju funkcija, stoga trebamo koristiti pravilo za diferenciranje umnoška .

(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivacije drugog reda:

To znači da su svi izračuni izvedeni ispravno.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji razmatramo, nema smisla govoriti koliki je ukupni diferencijal funkcije dviju varijabli. Važno je da upravo taj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim zadacima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcija dviju varijabli ima oblik:

U ovom slučaju:

To jest, samo trebate glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivacije prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je u brojnicima pisati predznake razlike:

I prema opetovanim zahtjevima čitatelja, potpuni diferencijal drugog reda.

Ovako izgleda:

Pronađimo PAŽLJIVO “jednoslovne” izvedenice 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravite udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto čini teškim; uvijek se možete vratiti izvedenicama kasnije, nakon što svladate tehniku ​​razlikovanja:

Primjer 4

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije . Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Pogledajmo niz primjera sa složenim funkcijama:

Primjer 5

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije.

Riješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati potpuno rješenje jer je vrlo jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo diferenciranja zbroja

(2) Prvi član u ovom slučaju smatra se konstantom, budući da u izrazu ne postoji ništa što ovisi o “x” - samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi član primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, ništa se u tom smislu ne bi promijenilo ni da je umjesto toga dana funkcija - bitno je to ovdje proizvod dviju funkcija, SVAKI od kojih ovisi o "X", stoga morate koristiti pravilo razlikovanja proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferenciranja složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži "Y", stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje kvocijenata: . Drugi član ovisi SAMO o "x", što znači da se smatra konstantom i pretvara se u nulu. Za treći član koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije.

Za one čitatelje koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, ispričat ću vam stari Mehmatovljev vic za olakšanje:

Jednog se dana u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela sve razlikovati. Sve su funkcije razbacane na sve strane, nitko se ne želi transformirati! A samo jedna funkcija ne bježi. Prilazi joj izvedenica i pita:

- Zašto ne pobjegneš od mene?

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na potenciju X" i nećete mi ništa!

Na što zla izvedenica s podmuklim osmijehom odgovara:

- Tu se varate, ja ću vas razlikovati po Y, pa bi trebali biti nula.

Tko je shvatio vic, savladao je izvedenice, barem do razine “C”).

Primjer 8

Pronađite parcijalne derivacije prvog reda funkcije .

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Cjelovito rješenje i primjer zadatka nalaze se na kraju lekcije.

Pa to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem ljubitelje matematike još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svatko ima drugačiju razinu matematičke pripremljenosti – postoje ljudi (i ne tako rijetki) koji se vole natjecati s težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko složen koliko je glomazan s računalne točke gledišta.

Predavanje 3 FNP, parcijalne derivacije, diferencijal

Što smo glavno naučili na prošlom predavanju?

Naučili smo što je funkcija više varijabli s argumentom iz Euklidskog prostora. Proučavali smo što su granica i kontinuitet za takvu funkciju

Što ćemo naučiti na ovom predavanju?

Nastavljajući naše proučavanje FNP-ova, proučavat ćemo parcijalne derivacije i diferencijale za te funkcije. Naučimo kako napisati jednadžbu tangentne ravnine i normale na površinu.

Parcijalna derivacija, potpuni diferencijal FNP. Povezanost diferencijabilnosti funkcije s postojanjem parcijalnih derivacija

Za funkciju jedne realne varijable, nakon obrađenih tema “Limits” i “Continuity” (Uvod u račun), proučavane su derivacije i diferencijali funkcije. Prijeđimo na razmatranje sličnih pitanja za funkcije nekoliko varijabli. Imajte na umu da ako su svi argumenti osim jednog fiksni u FNP-u, tada FNP generira funkciju jednog argumenta, za koju se mogu uzeti u obzir prirast, diferencijal i derivacija. Zvat ćemo ih parcijalni priraštaj, parcijalni diferencijal i parcijalni izvod. Prijeđimo na precizne definicije.

Definicija 10. Neka je zadana funkcija varijabli gdje je - element euklidskog prostora i odgovarajući prirast argumenata , ,…, . Kada se vrijednosti nazivaju djelomični prirast funkcije. Ukupni prirast funkcije je količina.

Na primjer, za funkciju dviju varijabli, gdje je točka na ravnini i , odgovarajući prirast argumenata, djelomični prirast će biti , . U ovom slučaju vrijednost je ukupni priraštaj funkcije dviju varijabli.

Definicija 11. Parcijalni izvod funkcije varijabli preko varijable je granica omjera djelomičnog prirasta funkcije nad ovom varijablom prema prirastu odgovarajućeg argumenta kada teži 0.

Napišimo definiciju 11 kao formulu ili u proširenom obliku. (2) Za funkciju dviju varijabli definicija 11 bit će zapisana u obliku formula , . S praktičnog gledišta, ova definicija znači da su pri izračunavanju parcijalnog izvoda u odnosu na jednu varijablu sve ostale varijable fiksne i tu funkciju smatramo funkcijom jedne odabrane varijable. Uzeta je obična derivacija u odnosu na ovu varijablu.

Primjer 4. Za funkciju gdje pronađite parcijalne derivacije i točku u kojoj su obje parcijalne derivacije jednake 0.

Riješenje . Izračunajmo parcijalne derivacije i napišimo sustav u obliku Rješenje ovog sustava su dvije točke i .

Razmotrimo sada kako se koncept diferencijala generalizira na FNP. Podsjetimo se da se funkcija jedne varijable naziva diferencijabilnom ako je njezin priraštaj predstavljen u obliku , a veličina je glavni dio prirasta funkcije i naziva se njezin diferencijal. Količina je funkcija od , ima svojstvo da , to jest, to je funkcija infinitezimalna u usporedbi s . Funkcija jedne varijable diferencijabilna je u točki ako i samo ako ima derivaciju u toj točki. Štoviše, konstanta i jednaka je ovoj derivaciji, tj. formula vrijedi za diferencijal.

Ako se razmatra djelomično povećanje FNP-a, tada se mijenja samo jedan od argumenata, a taj se djelomični prirast može smatrati povećanjem funkcije jedne varijable, tj. ista teorija radi. Dakle, uvjet diferencijabilnosti vrijedi ako i samo ako parcijalna derivacija postoji, u kojem slučaju je parcijalni diferencijal dan s .

Koliki je ukupni diferencijal funkcije nekoliko varijabli?

Definicija 12. Funkcija varijable koji se naziva diferencijabilnim u točki , ako je njegov prirast predstavljen u obliku . U ovom slučaju, glavni dio prirasta naziva se FNP diferencijal.

Dakle, razlika FNP-a je vrijednost. Pojasnimo što mislimo pod količinom , koje ćemo nazvati infinitezimalnim u usporedbi s priraštajima argumenata . Ovo je funkcija koja ima svojstvo da ako su svi inkrementi osim jednog jednaki 0, tada je jednakost točna . U suštini to znači = = + +…+ .

Kako su međusobno povezani uvjeti diferencijabilnosti FNP i uvjeti postojanja parcijalnih derivacija te funkcije?

Teorem 1. Ako je funkcija varijabli diferencijabilna u točki , tada ima parcijalne derivacije u odnosu na sve varijable u ovoj točki iu isto vrijeme.

Dokaz. Jednakost za i zapisujemo u obliku a obje strane dobivene jednakosti podijelite s . U dobivenoj jednakosti idemo do granice na . Kao rezultat toga, dobivamo traženu jednakost. Teorem je dokazan.

Posljedica. Diferencijal funkcije varijabli izračunava se pomoću formule . (3)

U primjeru 4, diferencijal funkcije bio je jednak . Imajte na umu da je isti diferencijal u točki jednak . Ali ako ga izračunamo u točki s priraštajima , , tada će diferencijal biti jednak . Imajte na umu da je točna vrijednost zadane funkcije u točki jednaka , ali je ista vrijednost, približno izračunata pomoću 1. diferencijala, jednaka . Vidimo da zamjenom prirasta funkcije s njezinim diferencijalom možemo približno izračunati vrijednosti funkcije.

Hoće li funkcija nekoliko varijabli biti diferencijabilna u točki ako u toj točki ima parcijalne derivacije? Za razliku od funkcije jedne varijable, odgovor na ovo pitanje je negativan. Točnu formulaciju odnosa daje sljedeći teorem.

Teorem 2. Ako je funkcija varijabli u točki postoje kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na sve varijable, tada je funkcija diferencijabilna u ovoj točki.

kao . Samo se jedna varijabla mijenja u svakoj zagradi, tako da možemo primijeniti Lagrangeovu formulu konačnog prirasta u obje. Bit ove formule je da je za kontinuirano diferencijabilnu funkciju jedne varijable razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke jednaka vrijednosti derivacije u nekoj međutočki, pomnoženoj s udaljenošću između točaka. Primjenjujući ovu formulu na svaku od zagrada, dobivamo . Zbog kontinuiteta parcijalnih derivacija, derivacija u točki i derivacija u točki razlikuju se od derivacija u točki za količine i , težeći 0 kao , težeći 0. Ali onda, očito, . Teorem je dokazan. , i koordinata. Provjerite pripada li ta točka površini. Napišite jednadžbu tangentne ravnine i jednadžbu normale na plohu u naznačenoj točki.

Riješenje. Stvarno,. U prošlom predavanju već smo izračunali diferencijal ove funkcije u proizvoljnoj točki; u danoj točki on je jednak . Prema tome, jednadžba tangentne ravnine bit će zapisana u obliku ili , a jednadžba normale - u obliku .

Razmotrimo promjenu funkcije kada specificiramo inkrement samo jednom od njenih argumenata - x i, i nazovimo ga .

Definicija 1.7.Parcijalna derivacija funkcije po argumentu x i nazvao .

Oznake: .

Dakle, parcijalna derivacija funkcije više varijabli zapravo je definirana kao derivacija funkcije jedna varijabla – x ​​i. Dakle, sva svojstva derivacija dokazana za funkciju jedne varijable vrijede za nju.

Komentar. U praktičnom izračunu parcijalnih derivacija koristimo se uobičajenim pravilima za diferenciranje funkcije jedne varijable, uz pretpostavku da je argument po kojem se provodi diferenciranje varijabilan, a da su ostali argumenti konstantni.

1. z = 2x² + 3 xy –12g² + 5 x – 4g +2,

2. z = xy,

Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija funkcije dviju varijabli.

Razmotrimo jednadžbu površine z = f(x,y) i nacrtati ravninu x = konst. Odaberimo točku na liniji presjeka ravnine i plohe M(x,y). Ako navedete argument na prirast Δ na i razmotrimo točku T na krivulji s koordinatama ( x, y+Δ y, z+Δy z), zatim tangens kuta koji čini sekansa MT s pozitivnim smjerom osi O na, bit će jednako . Prelaskom na granicu na , nalazimo da je parcijalna derivacija jednaka tangensu kuta koji tvori tangenta na rezultirajuću krivulju u točki M s pozitivnim smjerom O osi u. Prema tome, parcijalna derivacija jednaka je tangensu kuta s O osi x tangenta na krivulju dobivenu kao rezultat presjeka površine z = f(x,y) avion y = konst.

Definicija 2.1. Potpuni prirast funkcije u = f(x, y, z) naziva se

Definicija 2.2. Ako se prirast funkcije u = f (x, y, z) u točki (x 0 , y 0 , z 0) može prikazati u obliku (2.3), (2.4), tada se funkcija naziva diferencijabilnom na ovu točku, a izraz se naziva glavnim linearnim dijelom prirasta ili ukupnog diferencijala dotične funkcije.

Oznake: du, df (x 0, y 0, z 0).

Baš kao u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijali nezavisnih varijabli se smatraju njihovim proizvoljnim priraštajima, dakle

Primjedba 1. Dakle, izjava "funkcija je diferencijabilna" nije ekvivalentna izjavi "funkcija ima parcijalne derivacije" - za diferencijabilnost je također potreban kontinuitet ovih derivacija u dotičnoj točki.

4. Tangentna ravnina i normala na plohu. Geometrijsko značenje diferencijala.

Neka funkcija z = f (x, y) je diferencijabilan u okolini točke M (x 0, y 0). Tada su njegove parcijalne derivacije kutni koeficijenti tangenti na presječne linije plohe z = f (x, y) s avionima y = y 0 I x = x 0, koja će biti tangenta na samu površinu z = f (x, y). Napravimo jednadžbu za ravninu koja prolazi kroz te pravce. Vektori smjera tangente imaju oblik (1; 0; ) i (0; 1; ), pa se normala na ravninu može prikazati kao njihov vektorski produkt: n = (- ,- , 1). Stoga se jednadžba ravnine može napisati na sljedeći način:

Gdje z 0 = .

Definicija 4.1. Ravnina određena jednadžbom (4.1) naziva se tangentna ravnina na graf funkcije z = f (x, y) u točki s koordinatama (x 0, y 0, z 0).

Iz formule (2.3) za slučaj dviju varijabli proizlazi da je prirast funkcije f u blizini točke M može se predstaviti kao:

Posljedično, razlika između primjena grafa funkcije i tangentne ravnine infinitezimalna je višeg reda od ρ, na ρ→ 0.

U ovom slučaju, diferencijal funkcije f ima oblik:

što odgovara Povećanje primjena tangentne ravnine na graf funkcije. Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

Definicija 4.2. Vektor različit od nule okomit na tangentnu ravninu u točki M (x 0, y 0) površine z = f (x, y), nazvao normalan na površinu u ovom trenutku.

Pogodno je uzeti vektor -- n = { , ,-1}.

Neka je funkcija definirana u nekoj (otvorenoj) domeni D bodova
dimenzionalni prostor, i
– točka u ovom području, tj.
D.

Djelomično povećanje funkcije mnogo varijabli za bilo koju varijablu je prirast koji će funkcija dobiti ako damo priraštaj ovoj varijabli, pod pretpostavkom da sve ostale varijable imaju konstantne vrijednosti.

Na primjer, djelomično povećanje funkcije po varijabli htjeti

Parcijalna derivacija u odnosu na nezavisnu varijablu u točki
funkcije naziva se granica (ako postoji) parcijalnog omjera prirasta
funkcije za povećanje
varijabla dok se trudi
na nulu:

Parcijalna derivacija se označava jednim od simbola:

;
.

Komentar. Indeks dolje u ovim oznakama samo označava koja je od varijabli derivacija uzeta, a nije povezana s kojom točkom
ovaj izvod se izračunava.

Izračun parcijalnih derivacija nije ništa novo u usporedbi s izračunom običnih derivacija; samo trebate zapamtiti da se pri diferenciranju funkcije s obzirom na bilo koju varijablu sve ostale varijable uzimaju kao konstante. Pokažimo to primjerima.

Primjer 1.Naći parcijalne derivacije funkcije
.

Riješenje. Pri računanju parcijalnog izvoda funkcije
argumentacijom razmislite o funkciji kao funkcija samo jedne varijable , tj. vjerujemo da ima fiksnu vrijednost. Na fiksnom funkcija
je funkcija snage argumenta . Koristeći formulu za diferenciranje funkcije snage, dobivamo:

Slično, kada se računa parcijalna derivacija pretpostavljamo da je vrijednost fiksna , i razmotrite funkciju
kao eksponencijalna funkcija argumenta . Kao rezultat dobivamo:

Primjer 2. NIT parcijalne derivacije I funkcije
.

Riješenje. Pri računanju parcijalne derivacije u odnosu na dana funkcija smatrat ćemo ga kao funkciju jedne varijable , i izrazi koji sadrže , bit će konstantni faktori, tj.
djeluje kao konstantni koeficijent s funkcijom snage (
). Razlikujući ovaj izraz po , dobivamo:

.

Sada, naprotiv, funkcija smatrati funkcijom jedne varijable , dok izrazi sadrže , djeluju kao koeficijent
(
).Razlikovanje prema pravilima diferenciranja trigonometrijskih funkcija dobivamo:

Primjer 3. Izračunati parcijalne derivacije funkcija
u točki
.

Riješenje. Prvo nalazimo parcijalne derivacije ove funkcije u proizvoljnoj točki
svoju domenu definicije. Pri računanju parcijalne derivacije u odnosu na vjerujemo da
su trajni.

pri razlikovanju po bit će trajno
:

te pri računanju parcijalnih derivacija u odnosu na i po , slično će biti konstantan, odnosno,
I
, tj.:

Izračunajmo sada vrijednosti ovih derivata u točki
, zamjenjujući određene vrijednosti varijable u njihove izraze. Kao rezultat dobivamo:

11. Parcijalne i potpune diferencijalne funkcije

Ako sada do djelomičnog prirasta
primijeniti Lagrangeov teorem o konačnim priraštajima varijable , zatim, s obzirom kontinuirano, dobivamo sljedeće relacije:

Gdje
,
– infinitezimalna vrijednost.

Parcijalna diferencijalna funkcija po varijabli naziva se glavni linearni dio parcijalnog prirasta
, jednak umnošku djelomične derivacije s obzirom na ovu varijablu i prirasta ove varijable, a označava se

Očito je da se parcijalni diferencijal razlikuje od parcijalnog prirasta za infinitezimal višeg reda.

Povećanje pune funkcije mnogih varijabli naziva se prirast koji će dobiti kada damo priraštaj svim nezavisnim varijablama, tj.

gdje su svi
, ovise i zajedno s njima teže nuli.

Pod, ispod diferencijali nezavisnih varijabli pristao implicirati proizvoljan prirasta
i odredite ih
. Stoga će izraz za parcijalni diferencijal imati oblik:

Na primjer, parcijalni diferencijal Po definira se ovako:

.

Puni diferencijal
funkcija više varijabli naziva se glavni linearni dio ukupnog prirasta
, jednako, tj. zbroj svih njegovih parcijalnih diferencijala:

Ako funkcija
ima neprekidne parcijalne derivacije

u točki
tada ona diferencijabilan u datoj točki.

Kada je dovoljno malen za diferencijabilnu funkciju
postoje približne jednakosti

,

s kojima možete napraviti približne izračune.

Primjer 4.Pronađite potpuni diferencijal funkcije
tri varijable
.

Riješenje. Prije svega, nalazimo parcijalne derivacije:

Uočivši da su kontinuirani za sve vrijednosti
, pronašli smo:

Za diferencijale funkcija mnogih varijabli istiniti su svi teoreme o svojstvima diferencijala, dokazani za slučaj funkcija jedne varijable, na primjer: ako I – neprekidne funkcije varijabli
, koji imaju kontinuirane parcijalne derivacije u odnosu na sve varijable, i I su proizvoljne konstante, tada:

(6)

Parcijalne derivacije funkcije, ako ne postoje u jednoj točki, već na određenom skupu, su funkcije definirane na tom skupu. Ove funkcije mogu biti kontinuirane iu nekim slučajevima također mogu imati parcijalne derivacije u različitim točkama svoje domene.

Parcijalne derivacije ovih funkcija nazivaju se parcijalne derivacije drugog reda ili druge parcijalne derivacije.

Parcijalne derivacije drugog reda dijele se u dvije skupine:

· druge parcijalne derivacije varijable;

· mješovite parcijalne derivacije od u odnosu na varijable i.

Naknadnim diferenciranjem mogu se odrediti parcijalne derivacije trećeg reda itd. Sličnim razmišljanjem određuju se i zapisuju parcijalne derivacije viših redova.

Teorema. Ako su sve parcijalne derivacije uključene u izračune, promatrane kao funkcije njihovih nezavisnih varijabli, kontinuirane, tada rezultat parcijalnog diferenciranja ne ovisi o slijedu diferenciranja.

Često se javlja potreba za rješavanjem inverznog problema, koji se sastoji u određivanju je li ukupni diferencijal funkcije izraz oblika, gdje su neprekidne funkcije s neprekidnim derivacijama prvog reda.

Nužni uvjet za totalni diferencijal može se formulirati kao teorem, koji prihvaćamo bez dokaza.

Teorema. Da bi diferencijalni izraz bio u domeni ukupni diferencijal funkcije definirane i diferencijabilne u ovoj domeni, potrebno je da je u ovoj domeni uvjet za bilo koji par nezavisnih varijabli i identično zadovoljen.

Problem izračuna totalnog diferencijala funkcije drugog reda može se riješiti na sljedeći način. Ako je izraz totalnog diferencijala također diferencijabilan, onda se drugi totalni diferencijal (ili totalni diferencijal drugog reda) može smatrati izrazom dobivenim kao rezultat primjene operacije diferenciranja na prvi totalni diferencijal, tj. . Analitički izraz za drugi ukupni diferencijal je:

Uzimajući u obzir činjenicu da mješovite derivacije ne ovise o redoslijedu diferencijacije, formula se može grupirati i prikazati u obliku kvadratnog oblika:

Matrica kvadratnog oblika je:

Neka superpozicija funkcija definiranih u i

Definirano u. pri čemu. Tada, ako i imaju neprekidne parcijalne derivacije do drugog reda u točkama i, tada postoji drugi potpuni diferencijal kompleksne funkcije sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi potpuni diferencijal nema svojstvo nepromjenjivosti oblika. Izraz drugog diferencijala složene funkcije uključuje članove oblika koji nedostaju u formuli drugog diferencijala jednostavne funkcije.

Konstrukcija parcijalnih derivacija funkcije višeg reda može se nastaviti izvođenjem sekvencijalnog diferenciranja ove funkcije:

Gdje indeksi uzimaju vrijednosti od do, tj. derivacija reda se smatra parcijalnom derivacijom prvog reda derivacije reda. Slično, možemo uvesti koncept potpunog diferencijala reda funkcije, kao potpunog diferencijala prvog reda iz diferencijala reda: .

U slučaju jednostavne funkcije dviju varijabli, formula za izračun ukupnog diferencijala reda funkcije ima oblik

Upotreba operatora diferenciranja omogućuje nam dobivanje kompaktnog i lako pamtljivog oblika notacije za izračun ukupnog diferencijala reda funkcije, slično Newtonovoj binomnoj formuli. U dvodimenzionalnom slučaju ima oblik.