Zakoni raspodjele diskretnih slučajnih varijabli. slučajne varijable

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Slučajne varijable".

Zadatak 1 . U lutriji je izdano 100 listića. Odigran je jedan dobitak od 50 USD. i deset dobitaka po 10 dolara. Pronađite zakon raspodjele vrijednosti X - trošak mogućeg dobitka.

Riješenje. Moguće vrijednosti X: x 1 = 0; x 2 = 10 i x 3 = 50. Budući da ima 89 “praznih” listića, str 1 = 0,89, vjerojatnost dobitka je 10 c.u. (10 ulaznica) – str 2 = 0,10 i za dobitak od 50 c.u. –str 3 = 0,01. Tako:


	0,89	0,10	0,01

Jednostavan za upravljanje: .

Zadatak 2. Vjerojatnost da se kupac unaprijed upoznao s reklamom proizvoda iznosi 0,6 (p=0,6). Selektivna kontrola kvalitete oglašavanja provodi se anketiranjem kupaca prije prvog koji je oglas unaprijed proučio. Napravite seriju distribucije broja anketiranih kupaca.

Riješenje. Prema uvjetu zadatka p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Zamjenom ovih vrijednosti dobivamo: i konstruirajte distribucijski niz:


pi		0,24

Zadatak 3. Računalo se sastoji od tri neovisna elementa: sistemske jedinice, monitora i tipkovnice. S jednim oštrim povećanjem napona, vjerojatnost kvara svakog elementa je 0,1. Na temelju Bernoullijeve distribucije izraditi zakon raspodjele broja otkazanih elemenata tijekom strujnog udara u mreži.

Riješenje. Smatrati Bernoullijeva distribucija(ili binom): vjerojatnost da u n testova, događaj A će se pojaviti točno k jednom: , ili:


	q n					str n

U vratimo se zadatku.

Moguće vrijednosti X (broj kvarova):

x 0 =0 - niti jedan element nije zakazao;

x 1 =1 - kvar jednog elementa;

x 2 =2 - kvar dva elementa;

x 3 =3 - kvar svih elemenata.

Kako je prema uvjetu p = 0,1, onda je q = 1 – p = 0,9. Koristeći Bernoullijevu formulu, dobivamo

, ,

, .

Kontrolirati: .

Stoga je željeni zakon raspodjele:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Zadatak 4. Proizvedeno 5000 metaka. Vjerojatnost da je jedan uložak neispravan . Koja je vjerojatnost da će u cijeloj seriji biti točno 3 neispravna patrona?

Riješenje. Primjenjivo Poissonova distribucija: ova se distribucija koristi za određivanje vjerojatnosti da, s obzirom na vrlo veliku

broja pokusa (masovnih pokusa), u svakom od kojih je vjerojatnost događaja A vrlo mala, događaj A će se dogoditi k puta: , Gdje .

Ovdje je n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Nalazimo , zatim željenu vjerojatnost: .

Zadatak 5. Pri pucanju prije prvog pogotka s vjerojatnošću pogotka str = 0,6 za hitac, potrebno je pronaći vjerojatnost da će pogodak biti pri trećem hicu.

Riješenje. Primijenimo geometrijsku distribuciju: neka se izvode neovisni pokusi, u svakom od kojih događaj A ima vjerojatnost pojavljivanja p (i nepojavljivanja q = 1 - p). Probe završavaju čim se dogodi događaj A.

Pod takvim uvjetima, vjerojatnost da će se događaj A dogoditi na k-tom testu određena je formulom: . Ovdje je p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Prema tome, .

Zadatak 6. Neka je dan zakon raspodjele slučajne varijable X:

Nađite matematičko očekivanje.

Riješenje. .

Imajte na umu da je vjerojatnosno značenje matematičkog očekivanja prosječna vrijednost slučajne varijable.

Zadatak 7. Pronađite varijancu slučajne varijable X sa sljedećim zakonom distribucije:

Riješenje. Ovdje .

Zakon raspodjele kvadrata X 2 :

x 2

Zahtijevana varijanca: .

Disperzija karakterizira stupanj odstupanja (raspršenja) slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.

Zadatak 8. Neka je slučajna varijabla dana distribucijom:

			10m

Pronađite njegove numeričke karakteristike.

Rješenje: m, m 2 ,

M 2 , m.

Za slučajnu varijablu X može se reći bilo koje - njeno matematičko očekivanje je 6,4 m s varijancom od 13,04 m 2 , odnosno - njegovo matematičko očekivanje je 6,4 m s odstupanjem od m. Druga je formulacija očito jasnija.

Zadatak 9. Slučajna vrijednost x dana distribucijskom funkcijom:
.

Nađite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, vrijednost X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu .

Riješenje. Vjerojatnost da će X uzeti vrijednost iz zadanog intervala jednaka je prirastu integralne funkcije u tom intervalu, tj. . U našem slučaju i, dakle

Zadatak 10. Diskretna slučajna varijabla x dano zakonom raspodjele:

Nađi funkciju distribucije F(x ) i izgraditi njegov graf.

Riješenje. Budući da funkcija distribucije

Za , To

u ;

Relevantni grafikon:

Zadatak 11. Kontinuirana slučajna varijabla x dana funkcijom diferencijalne distribucije: .

Pronađite vjerojatnost pogotka X za interval

Riješenje. Imajte na umu da je ovo poseban slučaj zakona eksponencijalne distribucije.

Upotrijebimo formulu: .

Zadatak 12. Pronađite numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable X zadane zakonom distribucije:

–5

X 2 :

. , Gdje je Laplaceova funkcija.

Vrijednosti ove funkcije nalaze se pomoću tablice.

U našem slučaju: .

Prema tablici nalazimo:, dakle:

x; značenje F(5); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

Poznata je funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable x:

Navedite zakon raspodjele slučajne varijable x u obliku tablice.

S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

x	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

Vjerojatnost da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri trgovine u kotaru. Napravite zakon raspodjele, izračunajte matematičko očekivanje i varijancu broja prodavaonica u kojima prilikom provjere nisu pronađeni certifikati kvalitete.

Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih žarulja u seriji od 350 identičnih kutija, iz svake kutije uzeta je za ispitivanje po jedna električna žarulja. Odozdo procijenite vjerojatnost da se prosječno vrijeme gorenja odabranih električnih žarulja razlikuje od prosječnog vremena gorenja cijele serije za apsolutnu vrijednost manju od 7 sati, ako je poznato da je standardna devijacija vremena gorenja električnih žarulja u svakoj kutiji je manje od 9 sati.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 500 veza biti:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Nacrtajte funkcije i . Izračunajte srednju vrijednost, varijancu, modus i medijan slučajne varijable x.

Automatski stroj izrađuje valjke. Smatra se da je njihov promjer normalno raspoređena slučajna varijabla s prosječnom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako se s vjerojatnošću od 0,99 promjer nalazi u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

Među 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Odredite vjerojatnost da su dva slučajno odabrana dijela standardna.

Baci tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj točaka na ispuštenim plohama višekratnik broja 9.

Riječ "AVANTURA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da slova izvađena redoslijedom pojavljivanja tvore riječ: a) AVANTURA; b) HVATANJE.

Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

2 bijele kuglice;
manje od 2 bijele kuglice;
barem jednu crnu kuglu.

A u jednom testu je 0,4. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

događaj A pojavit će se 3 puta u seriji od 7 neovisnih ispitivanja;
događaj A pojavit će se najmanje 220 i ne više od 235 puta u nizu od 400 izazova.

Tvornica je poslala 5000 visokokvalitetnih proizvoda u bazu. Vjerojatnost oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Nađite vjerojatnost da se na putu ne oštete više od 3 proizvoda.

Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično su izvučene 3 kuglice, a iz druge 4. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

U kutiji je 10 olovaka. Nasumično su izvučene 4 olovke. Slučajna vrijednost x je broj plavih olovaka među odabranima. Nađite zakon njegove raspodjele, početni i središnji moment 2. i 3. reda.

Odjel tehničkog nadzora provjerava neispravnost 475 proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod neispravan je 0,05. Nađite s vjerojatnošću 0,95 granice koje će sadržavati broj neispravnih proizvoda među testiranim.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,003. Odredite vjerojatnost da će među 1000 veza biti:

najmanje 4 neispravna spoja;
više od dva pogrešna povezivanja.

Slučajna varijabla dana je funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Nacrtajte funkcije i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

Slučajna varijabla dana je funkcijom distribucije:

Po uzorku A riješiti sljedeće zadatke:

napraviti varijacijsku seriju;

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

Od 10 listića 2 su dobitna. Odredite vjerojatnost da će jedna od pet nasumično izvučenih listića biti dobitna.

Baci tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bačenih bodova veći od 15.

Riječ "PERIMETAR" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) OPSEG; b) METAR.

Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

4 bijele kuglice;
manje od 2 bijele kuglice;
barem jednu crnu kuglu.

Vjerojatnost događaja A u jednom testu je 0,55. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
događaj A pojavit će se najmanje 130 i ne više od 200 puta u nizu od 300 izazova.

Vjerojatnost curenja u konzervi konzervirane hrane je 0,0005. Nađite vjerojatnost da dvije od 2000 staklenki cure.

Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. 2 kuglice su nasumično izvučene iz prve urne i 3 kuglice su nasumično izvučene iz druge urne. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

Među dijelovima koji stižu na montažu, s prvog stroja 0,1% je neispravno, s drugog - 0,2%, s trećeg - 0,25%, s četvrtog - 0,5%. Produktivnost strojeva se prema tome odnosi kao 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Nađite vjerojatnost da je predmet napravljen na prvom stroju.

S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

Električar ima tri žarulje od kojih svaka ima kvar s vjerojatnošću 0,1 .. Žarulje se zavrnu u grlo i pusti se struja. Kada se struja uključi, neispravna žarulja odmah pregori i zamijeni se drugom. Odredite zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijancu broja ispitanih žarulja.

Vjerojatnost pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 neovisnih hitaca. Koristeći Chebyshevljevu nejednadžbu, procijenite vjerojatnost da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 800 veza biti:

najmanje tri neispravna spoja;
više od četiri netočna povezivanja.

Slučajna varijabla dana je funkcijom gustoće distribucije:

Nađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte srednju vrijednost, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

Slučajna varijabla dana je funkcijom distribucije:

Po uzorku A riješiti sljedeće zadatke:

napraviti varijacijsku seriju;
izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
sastaviti empirijsku funkciju distribucije i izgraditi njezin graf;
izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

Za uzorak B riješite sljedeće probleme:

napraviti grupiranu varijacijsku seriju;
izgraditi histogram i poligon frekvencija;
izračunati numeričke karakteristike varijacijskog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su nasumično odabrane prema broju osoblja. Nađite vjerojatnost da su sve odabrane osobe muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerojatnost da će samo dva novčića imati grb.

3. Riječ "PSIHOLOGIJA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. barem jednu bijelu kuglu.

5. Vjerojatnost događaja A u jednom testu je 0,5. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a. događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 neovisnih ispitivanja;

b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u nizu od 50 izazova.

6. Postoji 100 strojeva iste snage, koji rade neovisno jedan o drugom u istom režimu, pri čemu im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Koja je vjerojatnost da će u bilo kojem trenutku između 70 i 86 strojeva biti uključeno?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. 4 kuglice se nasumično izvlače iz prve urne i 1 kuglica iz druge urne. Odredite vjerojatnost da među izvučenim kuglicama budu samo 4 crne kuglice.

8. Svakodnevno se autosalonu isporučuju tri marke automobila u količinama: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima marke Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Nađite vjerojatnost da automobil odveden na ispitivanje ima protuprovalni uređaj.

9. Na segmentu se slučajno biraju brojevi i . Odredite vjerojatnost da ti brojevi zadovoljavaju nejednakosti.

10. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x; značenje F(2); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

Možemo izdvojiti najčešće zakone raspodjele diskretnih slučajnih varijabli:

Binomni zakon distribucije
Poissonov zakon distribucije
Geometrijski zakon raspodjele
Hipergeometrijski zakon raspodjele

Za zadane distribucije diskretnih slučajnih varijabli izračunavanje vjerojatnosti njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijanca itd.) provodi se prema određenim "formulama". Stoga je vrlo važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.

1. Binomni zakon raspodjele.

Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe binomnoj distribuciji vjerojatnosti ako poprima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\lijevo(1-p\desno))^(n-k)$. Zapravo, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ neovisnih pokušaja. Zakon distribucije vjerojatnosti za slučajnu varijablu $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \točke & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \točke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijanca je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Primjer . U obitelji je dvoje djece. Pretpostavljajući da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice jednake $0,5$, pronađite zakon distribucije slučajne varijable $\xi $ - broja dječaka u obitelji.

Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u obitelji. Vrijednosti koje $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ može poprimiti. Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći formulom $P\lijevo(\xi =k\desno)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\lijevo(1-p\desno))^(n-k )$, gdje je $n =2$ - broj neovisnih pokušaja, $p=0,5$ - vjerojatnost pojavljivanja događaja u nizu od $n$ pokušaja. Dobivamo:

$P\lijevo(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\lijevo(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\lijevo(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Tada je zakon distribucije slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerojatnosti, tj.:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$

Zbroj vjerojatnosti u zakonu distribucije mora biti jednak $1$, tj. $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = $1.

Očekivanje $M\lijevo(\xi \desno)=np=2\cdot 0,5=1$, varijanca $D\lijevo(\xi \desno)=np\lijevo(1-p\desno)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardna devijacija $\sigma \lijevo(\xi \desno)=\sqrt(D\lijevo(\xi \desno))=\sqrt(0,5 )\približno 0,707 $.

2. Poissonov zakon distribucije.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može poprimiti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Komentar. Osobitost ove distribucije je da, na temelju eksperimentalnih podataka, nalazimo procjene $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, ako su dobivene procjene bliske jedna drugoj, tada ćemo imaju razloga tvrditi da slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu distribucije.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koji će sutra biti servisiran na benzinskoj postaji; broj neispravnih artikala u proizvedenom proizvodu.

Primjer . Tvornica je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerojatnost oštećenja proizvoda u transportu je 0,002 $. Odredite zakon raspodjele slučajne varijable $X$ koja je jednaka broju oštećenih proizvoda; što je jednako $M\lijevo(X\desno),\ D\lijevo(X\desno)$.

Neka diskretna slučajna varijabla $X$ bude broj oštećenih predmeta. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu distribucije s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Vjerojatnosti vrijednosti su $P\lijevo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\lijevo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Zakon distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$

Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijanca su međusobno jednaki i jednaki parametru $\lambda $, tj. $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1 $.

3. Geometrijski zakon raspodjele.

Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može poprimiti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, tada kažemo da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerojatnosti. Zapravo, čini se da je geometrijska distribucija Bernoullijev pokušaj prvog uspjeha.

Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku raspodjelu mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testova uređaja prije prvog kvara; broj bacanja novčića prije prvog heads up-a, i tako dalje.

Matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable podložne geometrijskoj distribuciji su $M\lijevo(X\desno)=1/p$, $D\lijevo(X\desno)=\lijevo(1-p\desno) /p^ 2$.

Primjer . Na putu kretanja ribe do mjesta mrijesta nalazi se prevodnica od 4$. Vjerojatnost da riba prođe kroz svaku bravu je $p=3/5$. Konstruirajte niz distribucije slučajne varijable $X$ - broj prevoja koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja u preklopu. Pronađite $M\lijevo(X\desno),\ D\lijevo(X\desno),\ \sigma \lijevo(X\desno)$.

Neka slučajna varijabla $X$ bude broj otvora koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na otvoru. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerojatnosti. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može poprimiti su: 1, 2, 3, 4. Vjerojatnosti ovih vrijednosti izračunavaju se po formuli: $P\lijevo(X=k\desno)=pq^( k-1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerojatnost da riba bude ulovljena kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerojatnost da riba prođe kroz prevodnicu, $k=1, \ 2,\ 3,\ 4$.

$P\lijevo(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko(5))=0,4;$

$P\lijevo(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24; $

$P\lijevo(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$

$P\lijevo(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^3+(\lijevo(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$

Očekivana vrijednost:

$M\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Disperzija:

$D\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2=)0,4\cdot (\ lijevo(1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\lijevo(2-2,176\desno))^2+0,144\cdot (\lijevo(3-2,176\desno))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\lijevo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$

Standardna devijacija:

$\sigma \lijevo(X\desno)=\sqrt(D\lijevo(X\desno))=\sqrt(1377)\približno 1173.$

4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.

Ako postoji $N$ objekata među kojima $m$ objekata ima zadano svojstvo. Nasumično, bez zamjene, izdvaja se $n$ objekata, među kojima ima $k$ objekata koji imaju zadano svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućuje procjenu vjerojatnosti da točno $k$ objekata u uzorku ima određeno svojstvo. Neka je slučajna varijabla $X$ broj objekata u uzorku koji imaju određeno svojstvo. Tada su vjerojatnosti vrijednosti slučajne varijable $X$:

$P\lijevo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$

Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za $f_x$ funkcije programa Excel omogućuje vam određivanje vjerojatnosti da će određeni broj pokušaja biti uspješan.

$f_x\u $ statistički$\do$ HIPERGEOMET$\do$ u redu. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate ispuniti. U grafikonu Broj_uspjeha_u_uzorku odredite vrijednost $k$. veličina uzorka jednako $n$. U grafikonu Broj_uspjeha_u_populaciji odredite vrijednost $m$. Veličina_populacije jednako $N$.

Matematičko očekivanje i varijanca diskretne slučajne varijable $X$ podložne geometrijskom zakonu raspodjele su $M\lijevo(X\desno)=nm/N$, $D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo) (1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.

Primjer . Kreditni odjel banke zapošljava 5 stručnjaka s višom financijskom naobrazbom i 3 stručnjaka s višom pravnom naobrazbom. Uprava banke odlučila je poslati 3 stručnjaka na usavršavanje, odabirući ih nasumično.

a) Napraviti distribucijsku seriju broja stručnjaka s visokim financijskim obrazovanjem koji se mogu usmjeriti na usavršavanje;

b) Odredite numeričke karakteristike ove distribucije.

Neka je slučajna varijabla $X$ broj stručnjaka s višim financijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ mogu poprimiti. Ova slučajna varijabla $X$ raspoređena je prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerojatnosti $P\lijevo(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. Imamo:

$P\lijevo(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$

$P\lijevo(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$

$P\lijevo(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$

$P\lijevo(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$

Tada niz distribucije slučajne varijable $X$:

$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$

Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ pomoću općih formula hipergeometrijske distribucije.

$M\lijevo(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$

$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \preko (N-1))=((3\cdot 5\cdot \lijevo(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \lijevo(1-((3)\preko (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\približno 0,502.$

$\sigma \lijevo(X\desno)=\sqrt(D\lijevo(X\desno))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$

Definicija 2.3. Slučajna varijabla označena s X naziva se diskretnom ako ima konačan ili prebrojiv skup vrijednosti, tj. skup je konačan ili prebrojiv skup.

Razmotrimo primjere diskretnih slučajnih varijabli.

1. Dva novčića se bacaju jednom. Broj grbova u ovom eksperimentu je slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti su 0,1,2, tj. je konačan skup.

2. Bilježi se broj poziva hitne pomoći u određenom vremenskom razdoblju. Slučajna vrijednost x– broj poziva. Njegove moguće vrijednosti su 0, 1, 2, 3, ..., tj. =(0,1,2,3,...) je prebrojiv skup.

3. U grupi ima 25 učenika. Neki dan se bilježi broj učenika koji su došli na nastavu – slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti su: 0, 1, 2, 3, ..., 25 tj. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Iako svih 25 ljudi u primjeru 3 ne može propustiti nastavu, ali slučajna varijabla x može uzeti ovu vrijednost. To znači da vrijednosti slučajne varijable imaju različite vjerojatnosti.

Razmotrimo matematički model diskretne slučajne varijable.

Neka se izvede slučajni eksperiment koji odgovara konačnom ili prebrojivom prostoru elementarnih događaja. Razmotrimo preslikavanje ovog prostora na skup realnih brojeva, tj. svakom elementarnom događaju pridružujemo neki realni broj , . Skup brojeva u ovom slučaju može biti konačan ili prebrojiv, tj. ili

Sustav podskupova, koji uključuje bilo koji podskup, uključujući i onaj s jednom točkom, tvori -algebru numeričkog skupa (-konačno ili prebrojivo).

Budući da je svaki elementarni događaj povezan s određenim vjerojatnostima p i(u slučaju konačnih svih ), i , tada možemo dodijeliti određenu vjerojatnost svakoj vrijednosti slučajne varijable p i, tako da .

Neka x je proizvoljan realan broj. Označiti R X (x) vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimilo vrijednost jednaku x, tj. P X (x) \u003d P (X \u003d x). Zatim funkcija R X (x) može uzeti pozitivne vrijednosti samo za te vrijednosti x, koji pripadaju konačnom ili prebrojivom skupu , a za sve ostale vrijednosti, vjerojatnost te vrijednosti P X (x)=0.

Dakle, definirali smo skup vrijednosti, -algebru kao sustav bilo kojih podskupova i za svaki događaj ( X=x) usporedio je vjerojatnost za bilo koji, tj. izgradio prostor vjerojatnosti.

Na primjer, prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od dva puta bacanja simetričnog novčića sastoji se od četiri elementarna događaja: , gdje

Kad je novčić bačen dvaput, ispale su dvije rešetke; pri dva puta bačenom novčiću ispala su dva grba;

Pri prvom bacanju novčića ispala je rešetka, a pri drugom grb;

Pri prvom bacanju novčića ispao je grb, a pri drugom rešetka.

Neka je slučajna varijabla x je broj ispadanja rešetke. Definiran je na i skupu njegovih vrijednosti . Svi mogući podskupovi, uključujući one s jednom točkom, čine - algebru, tj. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Vjerojatnost događaja ( X=x i}, і = 1,2,3 , definiramo ga kao vjerojatnost pojavljivanja događaja koji je njegov prototip:

Dakle, na elementarne događaje ( X = x i) postavite numeričku funkciju R X, Dakle .

Definicija 2.4. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je skup parova brojeva (x i , p i), gdje su x i moguće vrijednosti slučajne varijable, a p i su vjerojatnosti s kojima ona poprima te vrijednosti, i .

Najjednostavniji oblik određivanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti:

			…		…
			…		…

Takva se tablica naziva distribucijskim redom. Da bi serija distribucije bila zornija, prikazana je grafički: na osi Oh staviti točkice x i te iz njih povući okomice duljina p i. Rezultirajuće točke se spajaju i dobiva se poligon, koji je jedan od oblika zakona raspodjele (sl. 2.1).

Stoga, da biste postavili diskretnu slučajnu varijablu, trebate postaviti njezine vrijednosti i odgovarajuće vjerojatnosti.

Primjer 2.2. Prihvatnik gotovine u stroju se aktivira svaki put kada padne novčić s vjerojatnošću R. Nakon što proradi, novčići se ne spuštaju. Neka x- broj kovanica koje se moraju spustiti prije nego što se aktivira prihvatnik gotovine automata. Konstruirajte niz distribucije diskretne slučajne varijable x.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable x: x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ..., x k \u003d k, ... Nađimo vjerojatnosti ovih vrijednosti: str 1 je vjerojatnost da će ladica s novcem proraditi pri prvom spuštanju, i p 1 =p; p 2 - vjerojatnost da će biti napravljena dva pokušaja. Da biste to učinili, potrebno je da: 1) pri prvom pokušaju prijemnik novca ne radi; 2) u drugom pokušaju - uspjelo je. Vjerojatnost ovog događaja je (1–r)r. Na sličan način i tako dalje, . Raspon distribucije x poprimit će oblik

	1	2	3	…	Do	…
	R	qp	q 2 str		q r -1 str

Imajte na umu da su vjerojatnosti r do oblikuju geometrijsku progresiju s nazivnikom: 1–p=q, q<1, pa se ova distribucija vjerojatnosti naziva geometrijski.

Nadalje pretpostavimo da je matematički model konstruiran eksperiment opisan diskretnom slučajnom varijablom x, te razmotriti izračun vjerojatnosti pojavljivanja proizvoljnih događaja .

Neka proizvoljni događaj sadrži konačan ili prebrojiv skup vrijednosti x i: A= {x 1 , x 2 ,..., x i , ...) .Događaj A može se prikazati kao unija nekompatibilnih događaja oblika : . Zatim, primjenjujući Kolmogorovljev aksiom 3 , dobivamo

budući da smo vjerojatnosti pojavljivanja događaja odredili jednakima vjerojatnostima događanja događaja koji su njihovi prototipovi. To znači da vjerojatnost bilo kojeg događaja , , može se izračunati formulom , jer se ovaj događaj može prikazati kao unija događaja , gdje .

Zatim funkcija distribucije F(h) = R(–<Х<х) nalazi se prema formuli. Slijedi da funkcija distribucije diskretne slučajne varijable x je diskontinuirana i skokovito raste, tj. to je stepenasta funkcija (sl. 2.2):

Ako je skup konačan, tada je i broj članova u formuli konačan; ako je prebrojiv, tada je i broj članova prebrojiv.

Primjer 2.3. Tehnički uređaj sastoji se od dva elementa koji rade neovisno jedan o drugom. Vjerojatnost kvara prvog elementa u vremenu T je 0,2, a vjerojatnost kvara drugog elementa je 0,1. Slučajna vrijednost x- broj neuspješnih elemenata u vremenu T. Naći funkciju distribucije slučajne varijable i izgraditi njen graf.

Riješenje. Prostor elementarnih događaja eksperimenta, koji se sastoji u proučavanju pouzdanosti dvaju elemenata tehničkog uređaja, određen je s četiri elementarna događaja , , , : – oba su elementa u dobrom stanju; - prvi element je ispravan, drugi je neispravan; - prvi element je neispravan, drugi je ispravan; – oba elementa su neispravna. Svaki od elementarnih događaja može se izraziti elementarnim događajima prostora I , gdje je – prvi element ispravan; - prvi element nije u redu; – drugi element je upotrebljiv; - Drugi element nije u funkciji. Tada , a budući da elementi tehničkog uređaja rade neovisno jedan o drugom, tada

8. Kolika je vjerojatnost da vrijednosti diskretne slučajne varijable pripadaju intervalu?

Definicija 1

Slučajna varijabla $X$ naziva se diskretnom (diskontinuiranom) ako je skup njezinih vrijednosti beskonačan ili konačan, ali prebrojiv.

Drugim riječima, veličina se naziva diskretnom ako se njene vrijednosti mogu nabrojati.

Možete opisati slučajnu varijablu pomoću zakona distribucije.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ može se dati u obliku tablice, u čijem su prvom retku sve moguće vrijednosti slučajne varijable naznačene rastućim redoslijedom, au drugom redu odgovarajuće vjerojatnosti od ovih vrijednosti:

Slika 1.

gdje je $p1+ p2+ ... + pn = 1$.

Ova tablica je blizu distribucije diskretne slučajne varijable.

Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz $p1+ p2+ ... + pn+ ...$ konvergira i njegov zbroj je jednak $1$.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ može se prikazati grafički, za što se u koordinatnom sustavu (pravokutnik) gradi isprekidana linija koja sekvencijalno povezuje točke s koordinatama $(xi;pi), i=1,2, ... n$. Linija koja je pozvana distribucijski poligon.

Slika 2.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable $X$ može se prikazati i analitički (pomoću formule):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Djelovanje na diskretne vjerojatnosti

Pri rješavanju mnogih problema teorije vjerojatnosti potrebno je izvesti operacije množenja diskretne slučajne varijable s konstantom, zbrajanja dviju slučajnih varijabli, njihovog množenja i dovođenja na potenciju. U tim slučajevima potrebno je pridržavati se sljedećih pravila za slučajne diskretne varijable:

Definicija 3

Množenjem diskretna slučajna varijabla $X$ na konstantu $K$ je diskretna slučajna varijabla $Y=KX,$ koja je posljedica jednakosti: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\left (x_i\desno)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Definicija 4

Pozivaju se dvije slučajne varijable $x$ i $y$ nezavisna, ako zakon distribucije jednog od njih ne ovisi o tome koje je moguće vrijednosti stekla druga vrijednost.

Definicija 5

iznos dvije nezavisne diskretne slučajne varijable $X$ i $Y$ nazivaju se slučajna varijabla $Z=X+Y, $ je zbog jednakosti: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij )\desno)= P\lijevo(x_i\desno)P\lijevo(y_j\desno)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\lijevo (x_i\desno)=p_i$, $P\lijevo(y_j\desno)=p"_j$.

Definicija 6

Množenjem dvije neovisne diskretne slučajne varijable $X$ i $Y$ nazivaju se slučajna varijabla $Z=XY, $ je zbog jednakosti: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\lijevo(z_(ij)\desno) =P\lijevo( x_i\desno)P\lijevo(y_j\desno)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ lijevo(x_i\desno )=p_i$, $P\lijevo(y_j\desno)=p"_j$.

Uzmimo u obzir da neki umnošci $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ mogu biti međusobno jednaki. U tom je slučaju vjerojatnost zbrajanja umnoška jednaka zbroju odgovarajućih vjerojatnosti.

Na primjer, ako je $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $tada će vjerojatnost $x_2y_3$ (ili istog $x_5y_7$) biti jednaka $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Gore navedeno vrijedi i za iznos. Ako je $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ tada će vjerojatnost $x_1+\ y_2$ (ili istog $x_4+\ y_6$) biti $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Neka su slučajne varijable $X$ i $Y$ zadane zakonima distribucije:

Slika 3

Gdje je $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Tada će zakon distribucije za zbroj $X+Y$ izgledati ovako

Slika 4

A zakon raspodjele umnoška $XY$ imat će oblik

Slika 5

distribucijska funkcija

Potpuni opis slučajne varijable također daje funkcija distribucije.

Geometrijski, funkcija distribucije se objašnjava kao vjerojatnost da slučajna varijabla $X$ poprimi vrijednost koju na realnom pravcu predstavlja točka koja leži lijevo od točke $x$.