Как найти наибольшую медиану треугольника. Медиана

Медиана и высота треугольника – это одна из самых увлекательных и интересных тем геометрии. Термин «Медиана» означает прямую или отрезок, который соединяет вершину треугольника с его противоположной стороной. Другими словами, медиана – это линия, которая проходит из середины одной стороны треугольника в противоположную вершину этого же треугольника. Поскольку у треугольника только три вершины и три стороны, значит и медианы может быть только три.

Свойства медианы треугольника

1. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке и разделяются этой точкой в соотношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, если нарисовать в треугольнике все три медианы, то точка их пересечения будет делить их на две части. Часть, которая располагается ближе в вершине, будет составлять 2/3 всей линии, а часть, которая располагается ближе к стороне треугольника – 1/3 линии. Пересекаются медианы в одной точке.
2. Три медианы, проведенные в одном треугольнике, делят этот треугольник на 6 маленьких треугольников, чья площадь будет равна.
3. Чем больше сторона треугольника, от которой исходит медиана, тем меньше эта медиана. И наоборот, самая короткая сторона имеет самую длинную медиану.
4. Медиана в прямоугольном треугольнике имеет ряд собственных характеристик. Например, если вокруг такого треугольника описать окружность, которая будет проходить через все вершины, то медиана прямого угла, проведенная к гипотенузе, станет радиусом описанной окружности (то есть ее длина будет составлять расстояние от любой точки окружности до ее центра).

Уравнение длины медианы треугольника

Формула медианы исходит из теоремы Стюарта и гласит, что медиана – это квадратный корень из отношения квадратов суммы сторон треугольника, которые образуют вершину, за вычетом квадрата стороны, к которой проведена медиана к четырем. Другими словами, чтобы узнать длину медианы нужно возвести в квадрат показатели длины каждой стороны треугольника, а затем записать это в виде дроби, в числителе которой будет сумма квадратов сторон, которые образуют угол, откуда исходит медиана, минус квадрат третьей стороны. В качестве знаменателя здесь выступает цифра 4. Затем из данной дроби нужно извлечь корень квадратный, и тогда мы получим длину медианы.

Точка пересечения медиан треугольника

Как мы писали выше, всем медианы одного треугольника пересекаются в одной точке. Эту точку называют центром треугольника. Он делит каждую медиану на две части, длина которым соотносится как 2:1. При этом центр треугольника является и центром описанной вокруг него окружности. А другие геометрические фигуры имеют собственные центры.

Координаты точки пересечения медиан треугольника

Чтобы найти координаты пересечения медиан одного треугольника, воспользуемся свойством центроида, согласно которому он делит каждую медиану на отрезки 2:1. Обозначаем вершины как как A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

и вычисляем координаты центра треугольника по формуле: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3)/3; y 0 = (y 1 + y 2 + y 3)/3.

Площадь треугольника через медиану

Все медианы одного треугольника делят этот треугольник на 6 равных треугольников, а центр треугольника делит каждую медиану в соотношении 2:1. Поэтому если известны параметры каждой медианы, можно вычислить и площадь треугольника через площадь одного из маленьких треугольников, а затем увеличить этот показатель в 6 раз.

Инструкция

Чтобы вывести формулу для медианы в произвольном , необходимо обратиться к следствию из теоремы косинусов для параллелограмма, получающегося путем достраивания треугольника . Формулу можно доказать на этом , она очень удобна при решении , если известны все длины сторон или их легко можно найти из других начальных данных задачи.

Фактически теорема косинусов представляет собой обобщение теоремы Пифагора. Она звучит так: для двумерного треугольника с длинами сторон a, b и c и углом α, противолежащим a, справедливо следующее равенство:a² = b² + c² – 2 b c cos α.

Обобщающее следствие из теоремы косинусов определяет одно из важнейших свойств четырехугольника: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Достройте треугольник до параллелограмма ABCD добавлением линий, параллельных a и c. таким образом, со сторонами a и c и диагональю b. Удобнее всего строить так: отложите на прямой, которой принадлежит медиана, отрезок MD той же длины, соедините его вершину с вершинами оставшихся A и C.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения на равные части. Примените следствие из теоремы косинусов, согласно которому сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме удвоенных квадратов его сторон:BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Поскольку BK = 2 BM, а BM – это медиана m, то:(2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², откуда:m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

Вы вывели формулу одной из треугольника для стороны b: mb = m. Аналогично находятся медианы двух других его сторон:ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²);mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Источники:

• формула медианы
• Формулы для медианы треугольника [видео]

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке всегда внутри треугольника . Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1.

Инструкция

Задача по нахождению медианы может быть решена дополнительные построения треугольника до параллелограмма и через теорему о диагоналях параллелограмма.Продлим стороны треугольника и медиану , достроив их до параллелограмма. Таким образом, медиана треугольника будет половине диагонали получившегося параллелограмма, две стороны треугольника - его боковым (a, b), а третья сторона треугольника , к которой была проведена медиана, является второй диагональю получившегося параллелограмма. Согласно теореме, сумма квадратов параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
где
d1, d2 - диагонали получившегося параллелограмма;
отсюда:
d1 = 0.5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника , можно найти его медианы. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника , очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника .

Вам понадобится

• Линейка

Инструкция

Рассмотрим общий случай треугольника ABC с не равными друг сторонами . Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы абсолютно аналогично. Эта выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.

Если ABC - равнобедренный и AB = AC, то медиана AE будет являться одновременно и этого треугольника . Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей длины медианы треугольника , для медиан BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Источники:

• Медианы и бессектрисы треугольника

Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противолежащей стороны. Зная длины всех трех сторон треугольника, можно найти его медианы . В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольника, очевидно, достаточно знания, соответственно, двух (не равных друг другу) и одной стороны треугольника. Медиану также можно найти и по другим данным.

Вам понадобится

• Длины сторон треугольника, углы между сторонами треугольника

Инструкция

Рассмотрим самый общий случай треугольника ABC с тремя не равными друг сторонами. Длину медианы AE этого треугольника можно вычислить по формуле: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Остальные медианы находятся абсолютно аналогично. Эта выводится через теорему Стюарта, либо через достроение треугольника до параллелограмма.

Если ABC - равнобедренный и AB = AC, то AE будет являться одновременно и этого треугольника. Следовательно, треугольник BEA будет прямоугольным. По теореме Пифагора, АЕ = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Из общей длины медианы треугольника, для BO и СP справедливо: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Медиану треугольника можно найти и по другим данным. Например, если заданы длины двух сторон, к одной из проведена медиана, например, длины сторон AB и BC, а также угол x между ними. Тогда длину медианы можно найти через теорему косинусов: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Источники:

• Медианы и биссектрисы треугольника
• как находить длину медианы

1. Что такое медиана?

Это очень просто!

Возьми треугольник:

Отметь на какой-нибудь его стороне середину.

И соедини с противоположной вершиной!

Получившаяся линия и есть медиана .

2. Свойства медианы.

Какие же хорошие свойства есть у медианы?

1) Вот представим, что треугольник - прямоугольный. Бывают же такие, верно?

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на... прямоугольник. Зачем, спросишь?

А вот ты ходишь по Земле - ты видишь, что она круглая? Нет, конечно, для этого на Землю нужно смотреть из космоса. Вот и мы посмотрим на наш прямоугольный треугольник «из космоса».

Проведём диагональ:

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам ? (Если не помнишь, загляни в тему )

Значит, половина второй диагонали - наша медиана . Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике.

Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача :
В стороны; . Из вершины проведена медиана . Найти, если.

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны

Применяем теорему Пифагора:

2) А теперь пусть у нас будет не одна, а целых три медианы ! Как же они себя ведут?

Запомни очень важный факт:

Сложно? Смотри на рисунок:

Медианы, и пересекаются в одной точке.

И….(доказываем это в , а пока запомни !):

• - вдвое больше, чем;
• - вдвое больше, чем;
• - вдвое больше, чем.

Не устал ещё? На следующий пример сил хватит? Сейчас мы применим всё, о чём говорили!

Задача : В треугольнике проведены медианы и, которые пересекаются в точке. Найти, если

Найдём по теореме Пифагора:

А теперь применим знания про точку пересечения медиан.

Давай обозначим. Отрезок, а. Если не все понятно - посмотри на рисунок.

Мы уже нашли, что.

Значит, ; .

В задаче нас спрашивают об отрезке.

В наших обозначениях.

Ответ : .

Понравилось? Старайся теперь сам применять знания про медиану!

МЕДИАНА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

1. Медиана делит сторону пополам.

И все? А может, она ещё что-нибудь делит пополам? Представь себе, что это так!

2. Теорема: медиана делит площадь пополам.

Почему? А давай вспомним самую простую форму площади треугольника.

И применим эту формулу аж два раза!

Посмотри, медиана разделила на два треугольника: и. Но! Высота-то у них одна и та же - ! Только в эта высота опускается на сторону , а в - на продолжение стороны . Удивительно, но вот бывает и так: треугольники разные, а высота - одна. И вот, теперь-то и применим два раза формулу.

Что бы это такое значило? Посмотри на рисунок. На самом деле утверждений в этой теореме целых два. Ты это заметил?

Первое утверждение: медианы пересекаются в одной точке.

Второе утверждение: точкой пересечения медианы делятся в отношении, считая от вершины.

Давай попробуем разгадать секрет этой теоремы:

Соединим точки и. Что получилось?

А теперь проведем ещё одну среднюю линию: отметим середину - поставим точку, отметим середину - поставим точку.

Теперь - средняя линия. То есть

1. параллельна;

Заметил совпадения? И, и - параллельны. И, и.

Что из этого следует?

1. параллельна;

Конечно же, только у параллелограмма!

Значит, - параллелограмм . Ну и что? А давай вспомним свойства параллелограмма. Например, что тебе известно про диагонали параллелограмма? Правильно, они делятся точкой пересечения пополам.

Снова смотрим на рисунок.

То есть - медиана разделена точками и на три равные части. И точно так же.

Значит, точкой обе медианы разделились именно в отношении, то есть и.

Что же будет происходить с третьей медианой? Давай вернемся в начало. О, ужас?! Нет, сейчас будет все гораздо короче. Давай выбросим медиану и проведем медианы и.

А теперь представим, что мы провели точно такие же рассуждения, как для медиан и. Что тогда?

Получится, что медиана разделит медиану абсолютно точно так же: в отношении, считая от точки.

Но сколько же может быть точек на отрезке, которые делят его в отношении, считая от точки?

Конечно же, только одна! И мы её уже видели - это точка.

Что же получилось в итоге?

Медиана точно прошла через! Все три медианы через неё прошли. И все разделились в отношении, считая от вершины.

Вот и разгадали (доказали) теорему. Разгадкой оказался параллелограмм, сидящий внутри треугольника.

4. Формула длины медианы

Как же найти длину медианы, если известны стороны? А ты уверен, что тебе это нужно? Откроем страшную тайну: эта формула не очень полезная. Но всё-таки мы её напишем, а доказывать не будем (если интересно доказательство - смотри следующий уровень).

Как бы понять, отчего так выходит?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на прямоугольник.

Итак, рассмотрим прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник - ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам? (Если не помнишь, загляни в тему )
Но одна из диагоналей - - наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей - середина гипотенузы. Она называлась у нас.

Значит, половина второй диагонали - наша медиана. Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить подумай сам: разве бывает какой - нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника? Нет, конечно! Ну вот, значит, и медиана может равняться половине стороны только в прямоугольном треугольнике. Давай посмотрим, как это свойство помогает решать задачи.

Вот, задача:

В стороны; . Из вершины проведена медиана. Найти, если.

Ура! Можно применить теорему Пифагора! Видишь, как здорово? Если бы мы не знали, что медиана равна половине стороны только в прямоугольном треугольнике , мы никак не могли бы решить эту задачу. А теперь можем!

Применяем теорему Пифагора:

МЕДИАНА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Медиана делит сторону пополам.

2. Теорема: медиана делит площадь пополам

4. Формула длины медианы

Обратная теорема: если медиана равна половине стороны, то треугольник прямоугольный и эта медиана проведена к гипотенузе.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 499 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Медианой именуется отрезок, проведенный из вершины треугольника на середину противоположной стороны, то есть делит ее точкой пересечения пополам. Точка, в которой медиана пересекает противоположную вершине, из которой она выходит, сторону, именуется основанием. Через одну точку, называемую точкой пересечения, проходит каждая медиана треугольника. Формула длины ее может выражаться несколькими способами.

Формулы для выражения длины медианы

• Зачастую в задачах по геометрии ученикам приходится иметь дело с таким отрезком, как медиана треугольника. Формула ее длины выражается через стороны:

где a, b и c - стороны. Причем с является стороной, на которую медиана опускается. Таким образом выглядит самая простая формула. Медианы треугольника иногда требуется проводить для вспомогательных расчетов. Есть и другие формулы.

• Если при расчете известны две стороны треугольника и определенный угол α, находящийся между ними, то длина медианы треугольника, опущенной к третьей стороне, будет выражаться так.

Основные свойства

• Все медианы имеют одну общую точку пересечения O и ею же делятся в отношении два к одному, если вести отсчет от вершины. Такая точка носит название центра тяжести треугольника.
• Медиана разделяет треугольник на два других, площади которых равны. Такие треугольники называются равновеликими.
• Если провести все медианы, то треугольник будет разделен на 6 равновеликих фигур, которые также будут треугольниками.
• Если в треугольнике все три стороны равны, то в нем каждая из медиан будет также высотой и биссектрисой, то есть перпендикулярна той стороне, к которой она проведена, и делит надвое угол, из которого она выходит.
• В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная из вершины, которая находится напротив стороны, не равной никакой другой, будет также высотой и биссектрисой. Медианы, опущенные из других вершин, равны. Это также является необходимым и достаточным условием равнобедренности.
• Если треугольник является основанием правильной пирамиды, то высота, опущенная на данное основание, проецируется в точку пересечения всех медиан.

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к наибольшей стороне, равняется половине ее длины.
• Пусть O - точка пересечения медиан треугольника. Формула, приведенная ниже, будет верная для любой точки M.

• Еще одним свойством обладает медиана треугольника. Формула квадрата ее длины через квадраты сторон представлена ниже.

Свойства сторон, к которым проведена медиана

• Если соединить любые две точки пересечения медиан со сторонами, на которые они опущены, то полученный отрезок будет являться средней линией треугольника и составлять одну вторую от стороны треугольника, с которой она не имеет общих точек.
• Основания высот и медиан в треугольнике, а также середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с точкой пересечения высот, лежат на одной окружности.

В заключение логично сказать, что одним из самых важных отрезков является именно медиана треугольника. Формула ее может использоваться при нахождении длин других его сторон.