ដូច្នេះប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានគណនាជាឫសការ៉េនៃផលបូកនៃការ៉េនៃកូអរដោនេរបស់វា។
. ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ n-dimensional ត្រូវបានគណនាស្រដៀងគ្នា
. ប្រសិនបើយើងចងចាំថាកូអរដោនេនីមួយៗនៃវ៉ិចទ័រគឺជាភាពខុសគ្នារវាងកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់និងការចាប់ផ្តើមនោះយើងទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់ប្រវែងនៃចម្រៀក i.e. ចម្ងាយរវាងចំណុច Euclidean ។

ផលិតផល Scalarវ៉ិចទ័រពីរនៅលើយន្តហោះគឺជាផលគុណនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖
. វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរ = (x 1, x 2) និង = (y 1 , y 2) គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផលិតផលនៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ៖
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 ។

នៅក្នុងលំហ n-dimensional ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ X = (x 1, x 2, ..., x n) និង Y = (y 1, y 2, ..., y n) ត្រូវបានកំណត់ជាផលបូកនៃផលិតផល នៃកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នារបស់ពួកគេ៖ X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n ។

ប្រតិបត្តិការនៃការគុណវ៉ិចទ័រដោយគ្នាទៅវិញទៅមកគឺស្រដៀងនឹងការគុណម៉ាទ្រីសជួរដេកដោយម៉ាទ្រីសជួរឈរ។ យើងសង្កត់ធ្ងន់ថាលទ្ធផលនឹងជាលេខ មិនមែនវ៉ិចទ័រទេ។

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោម (axioms)៖

1) ទ្រព្យសម្បត្តិផ្លាស់ប្តូរ៖ X*Y=Y*X។

2) ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយទាក់ទងនឹងការបន្ថែម: X (Y + Z) = X * Y + X * Z ។

3) សម្រាប់ចំនួនពិតណាមួយ 
.

4)
, ifX មិនមែនជាវ៉ិចទ័រសូន្យ;
ifX គឺជាវ៉ិចទ័រសូន្យ។

ចន្លោះវ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរដែលផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យដែលបំពេញនូវ axioms ដែលត្រូវគ្នាទាំងបួនត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រលីនេអ៊ែរ អ៊ីគ្លីដលំហ.

វាងាយមើលឃើញថានៅពេលដែលយើងគុណវ៉ិចទ័រណាមួយដោយខ្លួនវាយើងទទួលបានការ៉េនៃប្រវែងរបស់វា។ ដូច្នេះវាខុសគ្នា ប្រវែងវ៉ិចទ័រ​អាច​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ជា​ឫស​ការ៉េ​នៃ​ការ​ការ៉េ​របស់​វា៖ ។

ប្រវែងវ៉ិចទ័រមានលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

១) |X| = 0Х = 0;

២) |X| = ||*|X| ដែល ជាចំនួនពិត;

៣) |X*Y||X|*|Y| ( វិសមភាព Cauchy-Bunyakovsky);

៤) |X+Y||X|+|Y| ( វិសមភាពត្រីកោណ).

មុំ  រវាងវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ n-dimensional ត្រូវបានកំណត់ដោយផ្អែកលើគោលគំនិតនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ តាមពិតប្រសិនបើ
, នោះ។
. ប្រភាគនេះមិនធំជាងមួយទេ (យោងទៅតាមវិសមភាព Cauchy-Bunyakovsky) ដូច្នេះពីទីនេះយើងអាចរកឃើញ  ។

វ៉ិចទ័រទាំងពីរត្រូវបានគេហៅថា រាងមូលឬ កាត់កែងប្រសិនបើផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេស្មើនឹងសូន្យ។ ពីនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន វាដូចខាងក្រោមថាវ៉ិចទ័រសូន្យគឺអ័រតូហ្គោនទៅនឹងវ៉ិចទ័រណាមួយ។ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ orthogonal ទាំងពីរមិនសូន្យ នោះ cos= 0, i.e.=/2 = 90 o ។

សូមក្រឡេកមើលរូបភាព 7.4 ម្តងទៀត។ វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីតួលេខដែលកូស៊ីនុសនៃមុំ  នៃទំនោរនៃវ៉ិចទ័រទៅអ័ក្សផ្ដេកអាចត្រូវបានគណនាជា
ហើយកូស៊ីនុសនៃមុំទំនោរនៃវ៉ិចទ័រទៅអ័ក្សបញ្ឈរគឺដូច
. លេខទាំងនេះត្រូវបានហៅជាធម្មតា កូស៊ីនុសទិសដៅ. វាងាយស្រួលក្នុងការផ្ទៀងផ្ទាត់ថាផលបូកនៃការ៉េនៃកូស៊ីនុសទិសគឺតែងតែស្មើនឹងមួយ៖ cos 2 +cos 2 = 1. ស្រដៀងគ្នានេះដែរ គំនិតនៃកូស៊ីនុសទិសអាចត្រូវបានណែនាំសម្រាប់ចន្លោះនៃវិមាត្រខ្ពស់ជាង។

មូលដ្ឋានវ៉ិចទ័រ

សម្រាប់វ៉ិចទ័រ យើងអាចកំណត់គោលគំនិតបាន។ ការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរ,ការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនិង ឯករាជ្យស្រដៀងទៅនឹងរបៀបដែលគំនិតទាំងនេះត្រូវបានណែនាំសម្រាប់ជួរម៉ាទ្រីស។ វាក៏ជាការពិតផងដែរដែលថា ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ នោះយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកវាអាចត្រូវបានបង្ហាញជាលីនេអ៊ែរក្នុងលក្ខខណ្ឌផ្សេងទៀត (ឧ. វាគឺជាការរួមបញ្ចូលគ្នារវាងពួកវា)។ វិចារណកថាក៏ពិតដែរ៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែររបស់ផ្សេងទៀត នោះវ៉ិចទ័រទាំងអស់នេះរួមគ្នាគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ចំណាំថាប្រសិនបើក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រ a l , a 2 ,...a m មានវ៉ិចទ័រសូន្យ នោះសំណុំនៃវ៉ិចទ័រនេះគឺចាំបាច់លីនេអ៊ែរអាស្រ័យ។ តាមការពិត យើងទទួលបាន l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ប្រសិនបើឧទាហរណ៍ យើងយកមេគុណ j នៅវ៉ិចទ័រសូន្យទៅមួយ ហើយមេគុណផ្សេងទៀតទាំងអស់ទៅសូន្យ។ ក្នុងករណីនេះ មិនមែនមេគុណទាំងអស់នឹងស្មើនឹងសូន្យទេ ( j ≠ 0) ។

លើសពីនេះទៀត ប្រសិនបើផ្នែកខ្លះនៃវ៉ិចទ័រពីសំណុំនៃវ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ នោះវ៉ិចទ័រទាំងអស់នេះគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ តាមពិត ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រខ្លះផ្តល់វ៉ិចទ័រសូន្យក្នុងបន្សំលីនេអ៊ែរជាមួយមេគុណដែលមិនមែនជាសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រដែលនៅសល់ដែលគុណដោយមេគុណសូន្យអាចត្រូវបានបន្ថែមទៅផលបូកនេះ ហើយវានឹងនៅតែជាវ៉ិចទ័រសូន្យ។

តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីកំណត់ថាតើវ៉ិចទ័រពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ?

ឧទាហរណ៍ ចូរយើងយកវ៉ិចទ័រចំនួនបី៖ a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, −2) និង a 3 = (3, 1, 4, 3)។ ចូរបង្កើតម៉ាទ្រីសពីពួកវា ដែលពួកវានឹងជាជួរឈរ៖

បន្ទាប់មកសំណួរនៃការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយដើម្បីកំណត់ចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសនេះ។ ប្រសិនបើវាប្រែថាស្មើបី នោះជួរឈរទាំងបីគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ហើយប្រសិនបើវាប្រែជាតិច នោះវានឹងបង្ហាញពីការពឹងផ្អែកលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ។

ដោយសារចំណាត់ថ្នាក់គឺ 2 វ៉ិចទ័រគឺអាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។

ចំណាំថាដំណោះស្រាយចំពោះបញ្ហាក៏អាចចាប់ផ្តើមដោយការវែកញែកដែលផ្អែកលើនិយមន័យនៃឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ មានន័យថា បង្កើតសមីការវ៉ិចទ័រ  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0 ដែលនឹងយកទម្រង់ l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0) ។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបានប្រព័ន្ធសមីការ៖

ការដោះស្រាយប្រព័ន្ធនេះដោយប្រើវិធីសាស្ត្រ Gaussian នឹងត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាការទទួលបានម៉ាទ្រីសជំហានដូចគ្នា មានតែវាទេដែលនឹងមានជួរឈរមួយបន្ថែមទៀត - លក្ខខណ្ឌឥតគិតថ្លៃ។ ពួកវាទាំងអស់នឹងជាសូន្យ ព្រោះការបំប្លែងលីនេអ៊ែរនៃសូន្យមិនអាចនាំទៅរកលទ្ធផលផ្សេងបានទេ។ ប្រព័ន្ធសមីការដែលបានផ្លាស់ប្តូរនឹងមានទម្រង់៖

ដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធនេះនឹងមាន (-с;-с; с) ដែល с ជាលេខបំពាន។ ឧទាហរណ៍ (-1;-1;1) ។ មានន័យថា ប្រសិនបើយើងយក  l = −1; 2 =-1 និង  3 = 1 បន្ទាប់មក l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, i.e. វ៉ិចទ័រ​គឺ​ពិត​ជា​អាស្រ័យ​លើ​បន្ទាត់។

ពីឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយ វាច្បាស់ថាប្រសិនបើយើងយកចំនួនវ៉ិចទ័រធំជាងវិមាត្រនៃលំហ នោះពួកវានឹងចាំបាច់អាស្រ័យតាមលីនេអ៊ែរ។ តាមពិតប្រសិនបើយើងយកវ៉ិចទ័រប្រាំក្នុងឧទាហរណ៍នេះ យើងនឹងទទួលបានម៉ាទ្រីស 4 x 5 ដែលចំណាត់ថ្នាក់មិនអាចធំជាងបួនបានទេ។ ទាំងនោះ។ ចំនួនអតិបរមានៃជួរឈរឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនឹងនៅតែមិនលើសពីបួន។ វ៉ិចទ័រពីរ បី ឬបួនបួនវិមាត្រអាចឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ប៉ុន្តែប្រាំ ឬច្រើនមិនអាច។ អាស្រ័យហេតុនេះ វ៉ិចទ័រមិនលើសពីពីរអាចឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៅលើយន្តហោះ។ វ៉ិចទ័របីណាមួយនៅក្នុងលំហរពីរវិមាត្រគឺអាស្រ័យលីនេអ៊ែរ។ នៅក្នុងលំហបីវិមាត្រ វ៉ិចទ័រទាំងបួន (ឬច្រើន) តែងតែពឹងផ្អែកលើលីនេអ៊ែរ។ ល​ល។

នោះ​ហើយ​ជា​មូល​ហេតុ​ដែល វិមាត្រចន្លោះអាចត្រូវបានកំណត់ថាជាចំនួនអតិបរមានៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ ដែលអាចស្ថិតនៅក្នុងវា។

សំណុំនៃវ៉ិចទ័រឯករាជ្យ n លីនេអ៊ែរនៃលំហ n-dimensional R ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋានចន្លោះនេះ។

ទ្រឹស្តីបទ។ វ៉ិចទ័រនីមួយៗនៃលំហលីនេអ៊ែរអាចត្រូវបានតំណាងថាជាការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន និងតាមរបៀបតែមួយគត់។

ភស្តុតាង។ អនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រ e l , e 2 ,...e n បង្កើតជាលំហវិមាត្រមូលដ្ឋាន R. ចូរយើងបង្ហាញថាវ៉ិចទ័រ X ណាមួយគឺជាបន្សំលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ។ ចាប់តាំងពី រួមជាមួយនឹងវ៉ិចទ័រ X ចំនួនវ៉ិចទ័រនឹងក្លាយជា (n +1) វ៉ិចទ័រ (n +1) ទាំងនេះនឹងអាស្រ័យលើលីនេអ៊ែរ ពោលគឺឧ។ មានលេខ  l ,  2 , ... ,  n ,  មិនមែនដំណាលគ្នាស្មើសូន្យទេ ដូចនេះ

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

ក្នុងករណីនេះ 0 ពីព្រោះ បើមិនដូច្នេះទេ យើងនឹងទទួលបាន l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ដែលមិនមែនមេគុណទាំងអស់  l , 2 , ... , n ស្មើសូន្យ។ នេះមានន័យថា វ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាននឹងពឹងផ្អែកជាលីនេអ៊ែរ។ ដូច្នេះយើងអាចបែងចែកភាគីទាំងពីរនៃសមីការទីមួយដោយ៖

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - (  2 /)e 2 --...- (  n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

ដែល x j = -(  j / ),
.

ឥឡូវនេះយើងបង្ហាញថាការតំណាងបែបនេះនៅក្នុងទម្រង់នៃការរួមបញ្ចូលគ្នាលីនេអ៊ែរគឺមានតែមួយគត់។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ, i.e. ថាមានតំណាងមួយទៀត៖

X = y l e l + y 2 e 2 +...+y n e n

ចូរ​យើង​ដក​ឃ្លា​ពី​វា​តាម​ពាក្យ​កន្សោម​ដែល​បាន​ទទួល​ពី​មុន៖

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

ដោយសារវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋានគឺឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ យើងទទួលបាននោះ (y j - x j) = 0,
, ឧ. y j ​​= x j ។ ដូច្នេះការបញ្ចេញមតិបានប្រែទៅជាដូចគ្នា។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

កន្សោម X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n ត្រូវបានហៅ ការរលួយវ៉ិចទ័រ X ផ្អែកលើ e l, e 2,...e n, និងលេខ x l, x 2,...x n - កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ x ទាក់ទងទៅនឹងមូលដ្ឋាននេះ ឬនៅក្នុងមូលដ្ឋាននេះ។

វាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់ថា ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ nnonzero នៃលំហអឺគ្លីឌាន n-dimensional មានលក្ខណៈជាគូ ឬរាងពងក្រពើ នោះពួកវាបង្កើតជាមូលដ្ឋានមួយ។ តាមការពិត ចូរយើងគុណភាគីទាំងពីរនៃសមភាព l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 ដោយវ៉ិចទ័រណាមួយ e i ។ យើងទទួលបាន  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n*е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 សម្រាប់  i.

វ៉ិចទ័រ e l , e 2 ,...e n នៃ n-dimensional Euclidean space form មូលដ្ឋានអ័រគីដេប្រសិនបើវ៉ិចទ័រទាំងនេះមានលក្ខណៈជាគូ ឬរាងពងក្រពើ ហើយបទដ្ឋាននៃពួកវានីមួយៗគឺស្មើនឹងមួយ ពោលគឺឧ។ ប្រសិនបើ e i * e j = 0 សម្រាប់ i≠j и |е i | = 1 សម្រាប់i។

ទ្រឹស្តីបទ (គ្មានភស្តុតាង) ។ នៅគ្រប់លំហអឺគ្លីឌាន n-dimensional មានមូលដ្ឋានអ័រថូនិក។

ឧទាហរណ៏នៃមូលដ្ឋាន orthonormal គឺជាប្រព័ន្ធនៃ n ឯកតាវ៉ិចទ័រ e i ដែលសមាសធាតុ i-th ស្មើនឹងមួយ ហើយសមាសធាតុដែលនៅសល់គឺស្មើសូន្យ។ វ៉ិចទ័របែបនេះនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ort. ឧទាហរណ៍ វ៉ិចទ័រវ៉ិចទ័រ (1, 0, 0), (0, 1, 0) និង (0, 0, 1) បង្កើតជាមូលដ្ឋាននៃលំហបីវិមាត្រ។

ការបង្រៀន៖ កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ; ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ; មុំរវាងវ៉ិចទ័រ

កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ

ដូច្នេះ ដូចដែលបានរៀបរាប់ខាងលើ វ៉ិចទ័រគឺជាផ្នែកដឹកនាំដែលមានការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់របស់វា។ ប្រសិនបើការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់ត្រូវបានតំណាងដោយចំណុចជាក់លាក់ នោះពួកគេមានកូអរដោនេផ្ទាល់ខ្លួនរបស់ពួកគេនៅលើយន្តហោះ ឬក្នុងលំហ។

ប្រសិនបើចំនុចនីមួយៗមានកូអរដោណេផ្ទាល់ខ្លួន នោះយើងអាចទទួលបានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រទាំងមូល។

ឧបមាថាយើងមានវ៉ិចទ័រដែលការចាប់ផ្តើម និងចុងបញ្ចប់មានការរចនា និងកូអរដោនេដូចខាងក្រោមៈ A(A x ; Ay) និង B(B x ; By)

ដើម្បីទទួលបានកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាចាំបាច់ក្នុងការដកកូអរដោនេដែលត្រូវគ្នានៃការចាប់ផ្តើមពីកូអរដោនេនៃចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ:

ដើម្បីកំណត់កូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រក្នុងលំហ សូមប្រើរូបមន្តខាងក្រោម៖

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

មានវិធីពីរយ៉ាងដើម្បីកំណត់គោលគំនិតនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

• វិធីសាស្រ្តធរណីមាត្រ។ យោងទៅតាមវាផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃតម្លៃនៃម៉ូឌុលទាំងនេះនិងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកគេ។

• អត្ថន័យពិជគណិត។ តាមទស្សនៈនៃពិជគណិតផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរគឺជាបរិមាណជាក់លាក់មួយដែលត្រូវបានទទួលជាលទ្ធផលនៃផលបូកនៃផលិតផលនៃវ៉ិចទ័រដែលត្រូវគ្នា។

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានផ្តល់ឱ្យក្នុងលំហ នោះអ្នកគួរតែប្រើរូបមន្តស្រដៀងគ្នា៖

លក្ខណៈសម្បត្តិ៖

• ប្រសិនបើអ្នកគុណវ៉ិចទ័រដូចគ្នាទាំងពីរជាមាត្រដ្ឋាន នោះផលិតផលធ្វើមាត្រដ្ឋានរបស់ពួកគេនឹងមិនអវិជ្ជមានទេ៖

• ប្រសិនបើផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រដូចគ្នាបេះបិទពីរ ប្រែជាស្មើសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រទាំងនេះត្រូវបានចាត់ទុកជាសូន្យ៖

• ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រជាក់លាក់មួយត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា នោះផលិតផលមាត្រដ្ឋាននឹងស្មើនឹងការេនៃម៉ូឌុលរបស់វា៖

• ផលិតផលមាត្រដ្ឋានមានទ្រព្យសម្បត្តិទំនាក់ទំនង ពោលគឺផលិតផលមាត្រដ្ឋាននឹងមិនផ្លាស់ប្តូរទេ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានរៀបចំឡើងវិញ៖

• ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យអាចស្មើនឹងសូន្យបានលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រកាត់កែងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក៖

• សម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ច្បាប់បំប្លែងមានសុពលភាពក្នុងករណីដែលគុណវ៉ិចទ័រមួយក្នុងចំណោមវ៉ិចទ័រដោយចំនួនមួយ៖

• ជាមួយនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋាន អ្នកក៏អាចប្រើទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃគុណ៖

មុំរវាងវ៉ិចទ័រ

ក្នុង​ករណី​នៃ​បញ្ហា​យន្តហោះ ផល​គុណ​នៃ​មាត្រដ្ឋាន​វ៉ិចទ័រ a = (a x; a y) និង b = (b x; b y) អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

a b = a x b x + a y b y

រូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាលំហ

ក្នុង​ករណី​នៃ​បញ្ហា​លំហ​មួយ ផលិតផល​មាត្រដ្ឋាន​នៃ​វ៉ិចទ័រ a = (a x; a y; a z) និង b = (b x; b y; b z) អាច​ត្រូវ​បាន​រក​ឃើញ​ដោយ​ប្រើ​រូបមន្ត​ដូច​ខាង​ក្រោម៖

a b = a x b x + a y b y + a z b z

រូបមន្តសម្រាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ n-វិមាត្រ

ក្នុងករណី n-dimensional space ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a = (a 1; a 2; ...; a n) និង b = (b 1; b 2; ...; b n) អាចត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើ រូបមន្តខាងក្រោម៖

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ

1. ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវាតែងតែធំជាង ឬស្មើសូន្យ៖

2. ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវាស្មើនឹងសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រស្មើនឹងសូន្យវ៉ិចទ័រ៖

a · a = 0<=>a = 0

3. ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រជាមួយខ្លួនវាស្មើនឹងការេនៃម៉ូឌុលរបស់វា៖

4. ប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានគឺទំនាក់ទំនង៖

5. ប្រសិនបើផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រមិនសូន្យពីរគឺស្មើនឹងសូន្យ នោះវ៉ិចទ័រទាំងនេះជាអ័រតូហ្គោន៖

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>ក ┴ ខ

6. (αa) b = α(a b)

7. ប្រតិបត្តិការនៃការគុណមាត្រដ្ឋានគឺចែកចាយ៖

(a + b) c = a c + b គ

ឧទាហរណ៍នៃបញ្ហាសម្រាប់ការគណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាយន្តហោះ

រកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2) និង b = (4; 8) ។

ដំណោះស្រាយ៖ a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20 ។

ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a និង b ប្រសិនបើប្រវែងរបស់វា |a| = 3, |b| = 6 ហើយមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺ60˚។

ដំណោះស្រាយ៖ a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9 ។

រកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ p = a + 3b និង q = 5a − 3 b ប្រសិនបើប្រវែងរបស់វា |a| = 3, |b| = 2 ហើយមុំរវាងវ៉ិចទ័រ a និង b គឺ60˚។

ដំណោះស្រាយ៖

p q = (a + 3b) (5a − 3b) = 5 a a − 3 a b + 15 b a − 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b − 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ − 9 2 2 = 45 +36 −36 = 45 ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រសម្រាប់បញ្ហាលំហ

រកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2; −5) និង b = (4; 8; 1) ។

ដំណោះស្រាយ៖ a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (−5) · 1 = 4 + 16 − 5 = 15 ។

ឧទាហរណ៍នៃការគណនាផលិតផលចំនុចសម្រាប់វ៉ិចទ័រ n-dimensional

រកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a = (1; 2; −5; 2) និង b = (4; 8; 1; −2) ។

ដំណោះស្រាយ៖ a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (−5) · 1 + 2 · (−2) = 4 + 16 − 5 −4 = 11 ។

13. ផលិតផលឆ្លងកាត់នៃវ៉ិចទ័រ និងវ៉ិចទ័រត្រូវបានគេហៅថា វ៉ិចទ័រទីបី កំណត់ដូចខាងក្រោមៈ

2) កាត់កែង, កាត់កែង។ (1"")

3) វ៉ិចទ័រត្រូវបានតម្រង់ទិសតាមរបៀបដូចគ្នានឹងមូលដ្ឋាននៃលំហទាំងមូល (វិជ្ជមានឬអវិជ្ជមាន) ។

ចាត់តាំង៖ ។

អត្ថន័យរូបវន្តនៃផលិតផលវ៉ិចទ័រ

- ពេលនៃកម្លាំងធៀបនឹងចំណុច O; - កាំ - វ៉ិចទ័រនៃចំណុចនៃការអនុវត្តកម្លាំងបន្ទាប់មក

លើសពីនេះទៅទៀតប្រសិនបើយើងផ្លាស់ទីវាទៅចំណុច O នោះបីដងគួរតែត្រូវបានតម្រង់ទិសជាវ៉ិចទ័រមូលដ្ឋាន។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ

យើងបន្តដោះស្រាយជាមួយវ៉ិចទ័រ។ នៅមេរៀនដំបូង វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះយើងបានពិនិត្យមើលគោលគំនិតនៃវ៉ិចទ័រ សកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រ កូអរដោនេវ៉ិចទ័រ និងបញ្ហាសាមញ្ញបំផុតជាមួយវ៉ិចទ័រ។ ប្រសិនបើអ្នកមកទំព័រនេះជាលើកដំបូងពីម៉ាស៊ីនស្វែងរក ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យអានអត្ថបទណែនាំខាងលើ ព្រោះដើម្បីធ្វើជាម្ចាស់លើសម្ភារៈ អ្នកត្រូវស្គាល់ពាក្យ និងសញ្ញាណដែលខ្ញុំប្រើ មានចំណេះដឹងជាមូលដ្ឋានអំពីវ៉ិចទ័រ និង អាចដោះស្រាយបញ្ហាមូលដ្ឋាន។ មេរៀននេះគឺជាការបន្តតក្កវិជ្ជានៃប្រធានបទ ហើយនៅក្នុងនោះខ្ញុំនឹងវិភាគលម្អិតអំពីកិច្ចការធម្មតាដែលប្រើផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។ នេះជាសកម្មភាពសំខាន់ណាស់។. ព្យាយាមមិនឱ្យរំលងឧទាហរណ៍ ពួកវាមកជាមួយនឹងប្រាក់រង្វាន់ដ៏មានប្រយោជន៍ - ការអនុវត្តនឹងជួយអ្នកក្នុងការបង្រួបបង្រួមសម្ភារៈដែលអ្នកបានគ្របដណ្តប់ និងទទួលបានភាពប្រសើរឡើងក្នុងការដោះស្រាយបញ្ហាទូទៅនៅក្នុងធរណីមាត្រវិភាគ។

ការបូកវ៉ិចទ័រ ការគុណវ៉ិចទ័រដោយចំនួន.... វា​ជា​រឿង​ឆោតល្ងង់​ដែល​គិត​ថា​អ្នក​គណិត​វិទូ​មិន​បាន​មក​រក​អ្វី​ផ្សេង​ទៀត។ បន្ថែមពីលើសកម្មភាពដែលបានពិភាក្សារួចហើយ មានប្រតិបត្តិការមួយចំនួនទៀតជាមួយវ៉ិចទ័រគឺ៖ ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ, ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រនិង ផលិតផលចម្រុះនៃវ៉ិចទ័រ. ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺស៊ាំនឹងយើងពីសាលា ហើយផលិតផលពីរផ្សេងទៀតជាប្រពៃណីរបស់វគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាខ្ពស់។ ប្រធានបទគឺសាមញ្ញ ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាជាច្រើនគឺត្រង់ និងអាចយល់បាន។ រឿង​តែ​មួយ​គត់។ មាន​ចំនួន​ព័ត៌មាន​សមរម្យ ដូច្នេះ​វា​មិន​គួរ​ឱ្យ​ព្យាយាម​ធ្វើ​ជាម្ចាស់​និង​ដោះស្រាយ​គ្រប់​យ៉ាង​ក្នុង​ពេល​តែ​មួយ​នោះ​ទេ។ នេះជាការពិតជាពិសេសសម្រាប់អត់ចេះសោះ ជឿខ្ញុំ អ្នកនិពន្ធពិតជាមិនចង់មានអារម្មណ៍ដូច Chikatilo ពីគណិតវិទ្យាទេ។ ជាការប្រសើរណាស់ មិនមែនមកពីគណិតវិទ្យាទេ ទាំង =) សិស្សដែលត្រៀមរួចជាស្រេចអាចប្រើប្រាស់សម្ភារៈជ្រើសរើសបាន ក្នុងន័យជាក់លាក់មួយ "ទទួលបាន" ចំណេះដឹងដែលបាត់សម្រាប់អ្នក ខ្ញុំនឹងក្លាយជា Count Dracula ដែលមិនបង្កគ្រោះថ្នាក់ =)

តោះបើកទ្វារចូលមើលទាំងអស់គ្នាថាមានអ្វីកើតឡើង ពេលវ៉ិចទ័រពីរជួបគ្នា...

និយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ។
លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ ភារកិច្ចធម្មតា។

គំនិតនៃផលិតផលចំណុច

ដំបូងអំពី មុំរវាងវ៉ិចទ័រ. ខ្ញុំ​គិត​ថា អ្នក​រាល់​គ្នា​យល់​ច្បាស់​ពី​អ្វី​ដែល​មុំ​រវាង​វ៉ិចទ័រ​គឺ ប៉ុន្តែ​គ្រាន់​តែ​ជា​ករណី​លម្អិត​បន្តិច​បន្តួច។ ចូរយើងពិចារណាវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យឥតគិតថ្លៃ និង . ប្រសិនបើអ្នកគូររូបវ៉ិចទ័រទាំងនេះពីចំណុចដែលបំពាន អ្នកនឹងទទួលបានរូបភាពដែលមនុស្សជាច្រើនបានស្រមៃរួចហើយដោយស្មារតី៖

ខ្ញុំទទួលស្គាល់ថា នៅទីនេះខ្ញុំបានពណ៌នាអំពីស្ថានភាពត្រឹមតែកម្រិតនៃការយល់ដឹងប៉ុណ្ណោះ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវការនិយមន័យដ៏តឹងរឹងនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ សូមយោងទៅសៀវភៅសិក្សា សម្រាប់បញ្ហាជាក់ស្តែង ជាគោលការណ៍ វាមិនមានប្រយោជន៍សម្រាប់យើងទេ។ នៅទីនេះ និងនៅទីនេះផងដែរ ខ្ញុំនឹងមិនអើពើសូន្យវ៉ិចទ័រនៅក្នុងកន្លែងដោយសារតែសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងទាបរបស់ពួកគេ។ ខ្ញុំបានធ្វើការកក់ទុកជាពិសេសសម្រាប់អ្នកចូលមើលគេហទំព័រកម្រិតខ្ពស់ដែលអាចជេរខ្ញុំចំពោះភាពមិនពេញលេញនៃទ្រឹស្តីនៃសេចក្តីថ្លែងការណ៍ជាបន្តបន្ទាប់មួយចំនួន។

អាចយកតម្លៃពី 0 ទៅ 180 ដឺក្រេ (0 ទៅរ៉ាដ្យង់) រួមបញ្ចូល។ តាមការវិភាគ ការពិតនេះត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់នៃវិសមភាពទ្វេ៖ ឬ (គិតជារ៉ាដ្យង់)។

នៅក្នុងអក្សរសិល្ប៍ និមិត្តសញ្ញាមុំជារឿយៗត្រូវបានរំលង ហើយសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញ។

និយមន័យ៖ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរគឺ NUMBER ស្មើនឹងផលិតផលនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រទាំងនេះ និងកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងពួកវា៖

ឥឡូវនេះនេះគឺជានិយមន័យដ៏តឹងរ៉ឹង។

យើងផ្តោតលើព័ត៌មានសំខាន់ៗ៖

ការកំណត់:ផលិតផលមាត្រដ្ឋានត្រូវបានតំណាងដោយឬសាមញ្ញ។

លទ្ធផលនៃប្រតិបត្តិការគឺ NUMBER៖ វ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណនឹងវ៉ិចទ័រ ហើយលទ្ធផលគឺជាលេខ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រជាលេខ កូស៊ីនុសនៃមុំគឺជាលេខ នោះផលិតផលរបស់វា នឹងក្លាយជាលេខផងដែរ។

គ្រាន់តែជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃការឡើងកំដៅផែនដី៖

ឧទាហរណ៍ ១

ដំណោះស្រាយ៖យើងប្រើរូបមន្ត . ក្នុងករណី​នេះ:

ចម្លើយ៖

តម្លៃកូស៊ីនុសអាចរកបាននៅក្នុង តារាងត្រីកោណមាត្រ. ខ្ញុំសូមណែនាំឱ្យបោះពុម្ពវាចេញ - វានឹងត្រូវការនៅស្ទើរតែគ្រប់ផ្នែកនៃប៉ម ហើយនឹងត្រូវការច្រើនដង។

តាមទស្សនៈគណិតវិទ្យាសុទ្ធសាធ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺគ្មានវិមាត្រ ពោលគឺលទ្ធផល ក្នុងករណីនេះគ្រាន់តែជាលេខប៉ុណ្ណោះ ហើយនោះជាវា។ តាមទស្សនៈនៃបញ្ហារូបវិទ្យា ផលិតផលមាត្រដ្ឋានតែងតែមានអត្ថន័យរូបវន្តជាក់លាក់ ពោលគឺបន្ទាប់ពីលទ្ធផលមួយ ឬឯកតារូបវន្តផ្សេងទៀតត្រូវតែចង្អុលបង្ហាញ។ ឧទាហរណ៍ Canonical នៃការគណនាការងាររបស់កម្លាំងអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងសៀវភៅសិក្សាណាមួយ (រូបមន្តគឺពិតជាផលិតផលមាត្រដ្ឋាន) ។ ការងាររបស់កម្លាំងត្រូវបានវាស់ជា Joules ដូច្នេះចម្លើយនឹងត្រូវបានសរសេរយ៉ាងជាក់លាក់ ឧទាហរណ៍ .

ឧទាហរណ៍ ២

ស្វែងរកប្រសិនបើ ហើយមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹង .

នេះជាឧទាហរណ៍មួយសម្រាប់អ្នកដោះស្រាយដោយខ្លួនឯង ចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

មុំរវាងវ៉ិចទ័រ និងតម្លៃផលិតផលចំនុច

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ទី 1 ផលិតផលមាត្រដ្ឋានបានប្រែទៅជាវិជ្ជមាន ហើយក្នុងឧទាហរណ៍ទី 2 វាប្រែទៅជាអវិជ្ជមាន។ ចូរយើងស្វែងយល់ថាតើសញ្ញានៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានអាស្រ័យលើអ្វី។ តោះមើលរូបមន្តរបស់យើង៖ . ប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យគឺតែងតែវិជ្ជមាន៖ ដូច្នេះសញ្ញាអាចអាស្រ័យតែលើតម្លៃនៃកូស៊ីនុសប៉ុណ្ណោះ។

ចំណាំ៖ ដើម្បីយល់កាន់តែច្បាស់អំពីព័ត៌មានខាងក្រោម វាជាការប្រសើរជាងក្នុងការសិក្សាក្រាហ្វកូស៊ីនុសនៅក្នុងសៀវភៅណែនាំ ក្រាហ្វិកមុខងារ និងលក្ខណៈសម្បត្តិ. មើលរបៀបដែលកូស៊ីនុសមានឥរិយាបទនៅលើផ្នែក។

ដូចដែលបានកត់សម្គាល់រួចមកហើយ មុំរវាងវ៉ិចទ័រអាចប្រែប្រួលនៅខាងក្នុង ហើយករណីខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

1) ប្រសិនបើ ជ្រុងរវាងវ៉ិចទ័រ ហឹរ: (ពី ០ ដល់ ៩០ ដឺក្រេ) បន្ទាប់មក , និង ផលិតផលចំនុចនឹងមានភាពវិជ្ជមាន សហការដឹកនាំបន្ទាប់មកមុំរវាងពួកវាត្រូវបានចាត់ទុកថាជាសូន្យ ហើយផលិតផលមាត្រដ្ឋានក៏នឹងមានភាពវិជ្ជមានផងដែរ។ ចាប់តាំងពី រូបមន្តធ្វើឱ្យសាមញ្ញ៖ .

2) ប្រសិនបើ ជ្រុងរវាងវ៉ិចទ័រ ត្រង់: (ពី 90 ទៅ 180 ដឺក្រេ) បន្ទាប់មក , និង​ត្រូវ​គ្នា​, ផលិតផលចំនុចគឺអវិជ្ជមាន:. ករណីពិសេស៖ ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ ទិសដៅផ្ទុយបន្ទាប់មកមុំរវាងពួកវាត្រូវបានពិចារណា បានពង្រីក: (180 ដឺក្រេ) ។ ផលិតផលមាត្រដ្ឋានក៏អវិជ្ជមានផងដែរចាប់តាំងពី

សេចក្តីថ្លែងការសន្ទនាក៏ពិតដែរ៖

1) ប្រសិនបើ នោះមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺស្រួច។ ម៉្យាងទៀត វ៉ិចទ័រមានទិសដៅរួម។

2) ប្រសិនបើ នោះមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះគឺ obtuse ។ ម៉្យាងទៀត វ៉ិចទ័រមានទិសដៅផ្ទុយ។

ប៉ុន្តែករណីទីបីមានការចាប់អារម្មណ៍ជាពិសេស៖

3) ប្រសិនបើ ជ្រុងរវាងវ៉ិចទ័រ ត្រង់: (90 ដឺក្រេ), បន្ទាប់មក ផលិតផលមាត្រដ្ឋានគឺសូន្យ:. ការសន្ទនាក៏ជាការពិតផងដែរ៖ ប្រសិនបើ , បន្ទាប់មក . សេចក្តីថ្លែងការណ៍អាចត្រូវបានបង្កើតជាបង្រួមដូចខាងក្រោមៈ ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រពីរគឺសូន្យប្រសិនបើ និងលុះត្រាតែវ៉ិចទ័រមានរាងមូល. កំណត់ចំណាំគណិតវិទ្យាខ្លី៖

! ចំណាំ ៖ ចូរយើងនិយាយឡើងវិញ មូលដ្ឋានគ្រឹះនៃតក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យា៖ រូបតំណាងលទ្ធផលឡូជីខលទ្វេភាគីជាធម្មតាត្រូវបានអានថា "ប្រសិនបើ និងបានតែប្រសិនបើ", "ប្រសិនបើ និងតែប៉ុណ្ណោះប្រសិនបើ" ។ ដូចដែលអ្នកអាចឃើញព្រួញត្រូវបានតម្រង់ទិសទាំងពីរ - "ពីនេះតាមនេះនិងច្រាសមកវិញ - ពីនោះតាមនេះ" ។ តើអ្វីជាភាពខុសគ្នាពីរូបតំណាងដើរតាមផ្លូវមួយ? រូបតំណាងបញ្ជាក់ តែប៉ុណ្ណោះថា "ពីនេះធ្វើតាមនេះ" ហើយវាមិនមែនជាការពិតដែលផ្ទុយពីនេះជាការពិតនោះទេ។ ឧទាហរណ៍៖ ប៉ុន្តែមិនមែនសត្វទាំងអស់សុទ្ធតែជាខ្លារខិនទេ ដូច្នេះក្នុងករណីនេះ អ្នកមិនអាចប្រើរូបតំណាងបានទេ។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នាជំនួសឱ្យរូបតំណាង អាចប្រើរូបតំណាងម្ខាង។ ជាឧទាហរណ៍ ខណៈពេលកំពុងដោះស្រាយបញ្ហា យើងបានរកឃើញថាយើងសន្និដ្ឋានថាវ៉ិចទ័រមានរាងមូល៖ - ធាតុបែបនេះនឹងត្រឹមត្រូវ ហើយថែមទាំងសមរម្យជាង .

ករណីទីបីមានសារៈសំខាន់ជាក់ស្តែងចាប់តាំងពីវាអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកពិនិត្យមើលថាតើវ៉ិចទ័រមានរាងមូលឬអត់។ យើងនឹងដោះស្រាយបញ្ហានេះនៅក្នុងផ្នែកទីពីរនៃមេរៀន។

លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលចំណុច

ចូរយើងត្រលប់ទៅស្ថានភាពនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រពីរ សហការដឹកនាំ. ក្នុង​ករណី​នេះ មុំ​រវាង​ពួកវា​គឺ​សូន្យ , និង​រូបមន្ត​ផលិតផល​មាត្រដ្ឋាន​ត្រូវ​យក​ទម្រង់៖ .

តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើវ៉ិចទ័រត្រូវបានគុណដោយខ្លួនវា? វាច្បាស់ណាស់ថាវ៉ិចទ័រត្រូវបានតម្រឹមជាមួយខ្លួនវា ដូច្នេះយើងប្រើរូបមន្តសាមញ្ញខាងលើ៖

លេខត្រូវបានហៅ ការ៉េមាត្រដ្ឋានវ៉ិចទ័រ និងត្រូវបានតំណាងថាជា .

ដូច្នេះ ការ៉េមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងការេនៃប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រដែលបានផ្តល់ឱ្យ៖

ពីសមភាពនេះ យើងអាចទទួលបានរូបមន្តសម្រាប់គណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖

រហូតមកដល់ពេលនេះ វាហាក់ដូចជាមិនច្បាស់លាស់ ប៉ុន្តែគោលបំណងនៃមេរៀននឹងដាក់អ្វីៗគ្រប់យ៉ាងជំនួសវិញ។ ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហាដែលយើងត្រូវការផងដែរ។ លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលចំណុច.

សម្រាប់វ៉ិចទ័របំពាន និងលេខណាមួយ លក្ខណៈសម្បត្តិខាងក្រោមគឺពិត៖

1) - ការផ្លាស់ប្តូរឬ ផ្លាស់ប្តូរច្បាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។

2) - ការចែកចាយឬ ចែកចាយច្បាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ ដោយសាមញ្ញអ្នកអាចបើកតង្កៀប។

3) - សមាគម ឬ សមាគមច្បាប់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។ ថេរអាចមកពីផលិតផលមាត្រដ្ឋាន។

ជាញឹកញាប់ ទ្រព្យសម្បត្តិគ្រប់ប្រភេទ (ដែលត្រូវបញ្ជាក់ផងដែរ!) ត្រូវបានសិស្សយល់ថាជាសំរាមដែលមិនចាំបាច់ ដែលគ្រាន់តែត្រូវចងចាំ និងបំភ្លេចចោលដោយសុវត្ថិភាពភ្លាមៗបន្ទាប់ពីការប្រឡង។ វានឹងហាក់បីដូចជាអ្វីដែលសំខាន់នៅទីនេះ អ្នករាល់គ្នាដឹងរួចហើយពីថ្នាក់ដំបូងថាការរៀបចំឡើងវិញនូវកត្តាមិនផ្លាស់ប្តូរផលិតផល: . ខ្ញុំត្រូវតែដាស់តឿនអ្នកថា ក្នុងគណិតវិទ្យាខ្ពស់ វាងាយស្រួលក្នុងការរញ៉េរញ៉ៃជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តបែបនេះ។ ដូច្នេះ ជាឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិផ្លាស់ប្តូរគឺមិនពិតសម្រាប់ ម៉ាទ្រីសពិជគណិត. វាក៏មិនពិតសម្រាប់ ផលិតផលវ៉ិចទ័រនៃវ៉ិចទ័រ. ដូច្នេះ យ៉ាងហោចណាស់ វាជាការប្រសើរក្នុងការស្វែងយល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិណាមួយដែលអ្នកបានឆ្លងកាត់ក្នុងវគ្គសិក្សាគណិតវិទ្យាកម្រិតខ្ពស់ ដើម្បីយល់ពីអ្វីដែលអ្នកអាចធ្វើបាន និងអ្វីដែលអ្នកមិនអាចធ្វើបាន។

ឧទាហរណ៍ ៣

.

ដំណោះស្រាយ៖ជាដំបូង ចូរយើងបញ្ជាក់ពីស្ថានភាពជាមួយវ៉ិចទ័រ។ តើនេះជាអ្វីទៅ? ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រគឺជាវ៉ិចទ័រដែលបានកំណត់យ៉ាងល្អ ដែលត្រូវបានតំណាងដោយ . ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃសកម្មភាពជាមួយវ៉ិចទ័រអាចរកបាននៅក្នុងអត្ថបទ វ៉ិចទ័រសម្រាប់អត់ចេះសោះ. parsley ដូចគ្នាជាមួយវ៉ិចទ័រគឺជាផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ និង .

ដូច្នេះ​តាម​លក្ខខណ្ឌ​តម្រូវ​ឱ្យ​រក​ផលិតផល​ធ្វើ​មាត្រដ្ឋាន។ តាមទ្រឹស្តី អ្នកត្រូវអនុវត្តរូបមន្តការងារ ប៉ុន្តែបញ្ហានោះគឺថាយើងមិនដឹងពីប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងមុំរវាងពួកវា។ ប៉ុន្តែលក្ខខណ្ឌផ្តល់ប៉ារ៉ាម៉ែត្រស្រដៀងគ្នាសម្រាប់វ៉ិចទ័រ ដូច្នេះយើងនឹងយកផ្លូវផ្សេង៖

(1) ជំនួសកន្សោមនៃវ៉ិចទ័រ។

(2) យើងបើកតង្កៀបដោយយោងទៅតាមច្បាប់សម្រាប់គុណពហុនាម អណ្ដាតមិនសមរម្យអាចត្រូវបានរកឃើញនៅក្នុងអត្ថបទ លេខស្មុគស្មាញឬ ការរួមបញ្ចូលអនុគមន៍ប្រភាគ-សនិទាន. ខ្ញុំនឹងមិននិយាយឡើងវិញដោយខ្លួនឯង =) ដោយវិធីនេះ ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានអនុញ្ញាតឱ្យយើងបើកតង្កៀប។ យើង​មាន​សិទ្ធិ។

(3) នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ដំបូង និង​ចុង​ក្រោយ យើង​សរសេរ​ការ​ការ៉េ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​បង្រួម​តូច៖ . នៅក្នុងពាក្យទីពីរ យើងប្រើភាពអាចផ្លាស់ប្តូរបាននៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖ .

(4) យើងបង្ហាញពាក្យស្រដៀងគ្នា: .

(5) នៅ​ក្នុង​ពាក្យ​ដំបូង​យើង​ប្រើ​រូបមន្ត​ការ​ការ៉េ​ដែល​ត្រូវ​បាន​គេ​លើក​ឡើង​មិន​យូរ​មក​ហើយ​។ នៅ​ក្នុង​រយៈ​ពេល​ចុង​ក្រោយ​នេះ, ស្រប​តាម, រឿង​ដដែល​នេះ​ធ្វើ​ការ: . យើងពង្រីកពាក្យទីពីរតាមរូបមន្តស្តង់ដារ .

(6) ជំនួសលក្ខខណ្ឌទាំងនេះ ហើយអនុវត្តការគណនាចុងក្រោយដោយប្រុងប្រយ័ត្ន។

ចម្លើយ៖

តម្លៃអវិជ្ជមាននៃផលិតផលមាត្រដ្ឋានបង្ហាញពីការពិតដែលថាមុំរវាងវ៉ិចទ័រគឺ obtuse ។

បញ្ហាគឺជារឿងធម្មតា នេះជាឧទាហរណ៍សម្រាប់ដោះស្រាយវាដោយខ្លួនឯង៖

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ .

ឥឡូវនេះ កិច្ចការទូទៅមួយទៀតគឺសម្រាប់រូបមន្តថ្មីសម្រាប់ប្រវែងវ៉ិចទ័រ។ ការសម្គាល់នៅទីនេះនឹងមានភាពត្រួតស៊ីគ្នាបន្តិច ដូច្នេះសម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់ ខ្ញុំនឹងសរសេរវាឡើងវិញដោយអក្សរផ្សេង៖

ឧទាហរណ៍ 5

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ .

ដំណោះស្រាយនឹងមានដូចខាងក្រោម៖

(1) យើងផ្គត់ផ្គង់កន្សោមសម្រាប់វ៉ិចទ័រ។

(2) យើងប្រើរូបមន្តប្រវែង៖ ហើយកន្សោមទាំងមូល ve ដើរតួជាវ៉ិចទ័រ “ve”។

(3) យើងប្រើរូបមន្តសាលាសម្រាប់ការ៉េនៃផលបូក។ សូមកត់សម្គាល់ពីរបៀបដែលវាដំណើរការនៅទីនេះតាមរបៀបដែលចង់ដឹងចង់ឃើញ៖ - តាមពិតវាគឺជាការ៉េនៃភាពខុសគ្នា ហើយតាមពិត នោះហើយជារបៀបដែលវាគឺ។ អ្នក​ដែល​ប្រាថ្នា​អាច​រៀបចំ​វ៉ិចទ័រ​ឡើង​វិញ៖ - រឿង​ដដែល​កើត​ឡើង​រហូត​ដល់​ការ​រៀបចំ​ពាក្យ​ឡើង​វិញ។

(4) អ្វី​ដែល​បន្ទាប់​មក​គឺ​បាន​ដឹង​រួច​ទៅ​ហើយ​ពី​បញ្ហា​ពីរ​មុន​។

ចម្លើយ៖

ចាប់តាំងពីយើងកំពុងនិយាយអំពីប្រវែងកុំភ្លេចចង្អុលបង្ហាញវិមាត្រ - "ឯកតា" ។

ឧទាហរណ៍ ៦

រកប្រវែងវ៉ិចទ័រប្រសិនបើ .

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​អ្នក​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

យើងបន្តច្របាច់អ្វីដែលមានប្រយោជន៍ចេញពីផលិតផលចំនុច។ សូមក្រឡេកមើលរូបមន្តរបស់យើងម្តងទៀត . ដោយប្រើក្បួនសមាមាត្រ យើងកំណត់ប្រវែងវ៉ិចទ័រឡើងវិញទៅភាគបែងនៃផ្នែកខាងឆ្វេង៖

តោះផ្លាស់ប្តូរផ្នែក៖

តើរូបមន្តនេះមានន័យដូចម្តេច? ប្រសិនបើប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រពីរ និងផលិតផលមាត្រដ្ឋានរបស់វាត្រូវបានគេស្គាល់ នោះយើងអាចគណនាកូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រទាំងនេះ ហើយជាលទ្ធផលមុំដោយខ្លួនឯង។

តើផលិតផលចំនុចជាលេខមែនទេ? ចំនួន។ តើប្រវែងវ៉ិចទ័រជាលេខ? លេខ។ នេះមានន័យថាប្រភាគក៏ជាលេខផងដែរ។ ហើយប្រសិនបើកូស៊ីនុសនៃមុំត្រូវបានគេដឹង៖ បន្ទាប់មកដោយប្រើមុខងារបញ្ច្រាស វាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកមុំដោយខ្លួនឯង៖ .

ឧទាហរណ៍ ៧

រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ហើយប្រសិនបើវាត្រូវបានគេស្គាល់ថា .

ដំណោះស្រាយ៖យើងប្រើរូបមន្ត៖

នៅដំណាក់កាលចុងក្រោយនៃការគណនាបច្ចេកទេសបច្ចេកទេសមួយត្រូវបានគេប្រើ - ការលុបបំបាត់ភាពមិនសមហេតុផលនៅក្នុងភាគបែង។ ដើម្បីលុបបំបាត់ភាពមិនសមហេតុផល ខ្ញុំបានគុណលេខភាគ និងភាគបែងដោយ .

អញ្ចឹង​បើ , នោះ៖

តម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសអាចត្រូវបានរកឃើញដោយ តារាងត្រីកោណមាត្រ. ទោះបីជារឿងនេះកើតឡើងកម្រណាស់។ នៅក្នុងបញ្ហានៃធរណីមាត្រវិភាគ ជាញឹកញាប់សត្វខ្លាឃ្មុំដែលច្របូកច្របល់ដូចជា ហើយតម្លៃនៃមុំត្រូវរកឃើញប្រហែលដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។ តាមពិតយើងនឹងឃើញរូបភាពបែបនេះច្រើនជាងម្តង។

ចម្លើយ៖

ជាថ្មីម្តងទៀតកុំភ្លេចចង្អុលបង្ហាញវិមាត្រ - រ៉ាដ្យង់និងដឺក្រេ។ ដោយផ្ទាល់ ដើម្បី "ដោះស្រាយសំណួរទាំងអស់" ជាក់ស្តែង ខ្ញុំចូលចិត្តបង្ហាញទាំងពីរ (ជាការពិតណាស់ លុះត្រាតែលក្ខខណ្ឌតម្រូវឱ្យបង្ហាញចម្លើយតែជារ៉ាដ្យង់ ឬត្រឹមដឺក្រេប៉ុណ្ណោះ)។

ឥឡូវនេះអ្នកអាចដោះស្រាយដោយឯករាជ្យជាមួយនឹងកិច្ចការស្មុគស្មាញជាងនេះ៖

ឧទាហរណ៍ 7*

ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រនិងមុំរវាងពួកវា។ រកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ .

កិច្ចការមិនពិបាកច្រើនទេ ព្រោះវាមានច្រើនជំហាន។
តោះមើលក្បួនដោះស្រាយ៖

1) យោងតាមលក្ខខណ្ឌ អ្នកត្រូវស្វែងរកមុំរវាងវ៉ិចទ័រ និង ដូច្នេះអ្នកត្រូវប្រើរូបមន្ត .

2) ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាន (សូមមើលឧទាហរណ៍លេខ 3, 4) ។

3) រកប្រវែងវ៉ិចទ័រ និងប្រវែងវ៉ិចទ័រ (សូមមើលឧទាហរណ៍ លេខ 5, 6)។

4) ការបញ្ចប់នៃដំណោះស្រាយស្របគ្នានឹងឧទាហរណ៍លេខ 7 - យើងដឹងពីចំនួនដែលមានន័យថាវាងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកមុំដោយខ្លួនឯង:

ដំណោះស្រាយខ្លីៗ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

ផ្នែកទីពីរនៃមេរៀនត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ផលិតផលមាត្រដ្ឋានដូចគ្នា។ កូអរដោនេ។ វានឹងកាន់តែងាយស្រួលជាងនៅក្នុងផ្នែកដំបូង។

ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ,
ផ្តល់ដោយកូអរដោណេក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal

ចម្លើយ៖

មិនចាំបាច់និយាយទេ ការដោះស្រាយជាមួយកូអរដោនេគឺរីករាយជាង។

ឧទាហរណ៍ 14

ស្វែងរកផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ ហើយប្រសិនបើ

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​អ្នក​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ នៅទីនេះអ្នកអាចប្រើភាពពាក់ព័ន្ធនៃប្រតិបត្តិការ ពោលគឺមិនត្រូវរាប់ ប៉ុន្តែភ្លាមៗត្រូវយកបីដងនៅខាងក្រៅផលិតផលមាត្រដ្ឋាន ហើយគុណវាដោយចុងក្រោយ។ ដំណោះស្រាយ និងចម្លើយគឺនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន។

នៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក ជាឧទាហរណ៍បង្កហេតុអំពីការគណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖

ឧទាហរណ៍ 15

ស្វែងរកប្រវែងវ៉ិចទ័រ , ប្រសិនបើ

ដំណោះស្រាយ៖វិធីសាស្រ្តនៃផ្នែកមុនណែនាំខ្លួនវាម្តងទៀត: ប៉ុន្តែមានវិធីមួយផ្សេងទៀត:

ចូរយើងស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

និងប្រវែងរបស់វាយោងទៅតាមរូបមន្តមិនសំខាន់ :

ផលិតផល dot មិនពាក់ព័ន្ធនៅទីនេះទាល់តែសោះ!

វាក៏មិនមានប្រយោជន៍ដែរនៅពេលគណនាប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖
ឈប់។ តើយើងមិនគួរទាញយកប្រយោជន៍ពីលក្ខណៈជាក់ស្តែងនៃប្រវែងវ៉ិចទ័រទេ? តើអ្នកអាចនិយាយអ្វីខ្លះអំពីប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រ? វ៉ិចទ័រនេះវែងជាងវ៉ិចទ័រ 5 ដង។ ទិសដៅគឺផ្ទុយគ្នាប៉ុន្តែនេះមិនសំខាន់ទេព្រោះយើងកំពុងនិយាយអំពីប្រវែង។ ជាក់ស្តែងប្រវែងនៃវ៉ិចទ័រគឺស្មើនឹងផលិតផល ម៉ូឌុលលេខតាមប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖
- សញ្ញាម៉ូឌុល "បរិភោគ" ដកដែលអាចធ្វើបាននៃចំនួន។

ដូចនេះ៖

ចម្លើយ៖

រូបមន្តសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រដែលត្រូវបានបញ្ជាក់ដោយកូអរដោនេ

ឥឡូវនេះយើងមានព័ត៌មានពេញលេញដើម្បីប្រើរូបមន្តដែលបានមកពីពីមុនសម្រាប់កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រ បង្ហាញតាមរយៈកូអរដោនេវ៉ិចទ័រ៖

កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រយន្តហោះនិង, បានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal, បង្ហាញដោយរូបមន្ត:
.

កូស៊ីនុសនៃមុំរវាងវ៉ិចទ័រលំហបានបញ្ជាក់នៅក្នុងមូលដ្ឋាន orthonormal, បង្ហាញដោយរូបមន្ត:

ឧទាហរណ៍ 16

បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​បី​បញ្ឈរ​នៃ​ត្រីកោណ​មួយ​។ ស្វែងរក (មុំកំពូល) ។

ដំណោះស្រាយ៖យោងតាមលក្ខខណ្ឌគំនូរមិនត្រូវបានទាមទារទេប៉ុន្តែនៅតែមាន:

មុំដែលត្រូវការត្រូវបានសម្គាល់ដោយធ្នូពណ៌បៃតង។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងចងចាំភ្លាមៗនូវការកំណត់របស់សាលានៃមុំមួយ: - ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសចំពោះ មធ្យមអក្សរ - នេះគឺជាចំនុចកំពូលនៃមុំដែលយើងត្រូវការ។ សម្រាប់ភាពខ្លី អ្នកក៏អាចសរសេរយ៉ាងសាមញ្ញផងដែរ។

ពីគំនូរវាច្បាស់ណាស់ថាមុំនៃត្រីកោណស្របគ្នាជាមួយនឹងមុំរវាងវ៉ិចទ័រហើយនិយាយម្យ៉ាងទៀត: .

គួរតែរៀនពីរបៀបអនុវត្តការវិភាគផ្លូវចិត្ត។

តោះស្វែងរកវ៉ិចទ័រ៖

តោះគណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាន៖

និងប្រវែងវ៉ិចទ័រ៖

កូស៊ីនុសនៃមុំ៖

នេះ​គឺ​ជា​លំដាប់​នៃ​ការ​បញ្ចប់​ភារកិច្ច​ដែល​ខ្ញុំ​ណែនាំ​ឱ្យ​អត់​ចេះ​សោះ។ អ្នកអានកម្រិតខ្ពស់អាចសរសេរការគណនា "ក្នុងមួយជួរ"៖

នេះគឺជាឧទាហរណ៍នៃតម្លៃកូស៊ីនុស "អាក្រក់" ។ តម្លៃលទ្ធផលមិនមែនជាចុងក្រោយទេ ដូច្នេះមានចំណុចតិចតួចក្នុងការកម្ចាត់ភាពមិនសមហេតុផលនៅក្នុងភាគបែង។

ចូរយើងស្វែងរកមុំដោយខ្លួនឯង៖

ប្រសិនបើអ្នកក្រឡេកមើលគំនូរលទ្ធផលគឺពិតជាអាចជឿជាក់បាន។ ដើម្បីពិនិត្យមើលមុំក៏អាចត្រូវបានវាស់ជាមួយ protractor ផងដែរ។ កុំធ្វើឱ្យខូចគម្របម៉ូនីទ័រ =)

ចម្លើយ៖

នៅក្នុងចម្លើយយើងមិនភ្លេចនោះទេ។ បានសួរអំពីមុំនៃត្រីកោណ(ហើយមិនមែនអំពីមុំរវាងវ៉ិចទ័រទេ) កុំភ្លេចបង្ហាញចម្លើយពិតប្រាកដ៖ និងតម្លៃប្រហាក់ប្រហែលនៃមុំ៖ បានរកឃើញដោយប្រើម៉ាស៊ីនគិតលេខ។

អ្នកទាំងឡាយណាដែលរីករាយនឹងដំណើរការអាចគណនាមុំ និងផ្ទៀងផ្ទាត់សុពលភាពនៃសមភាព Canonical

ឧទាហរណ៍ 17

ត្រីកោណ​មួយ​ត្រូវ​បាន​កំណត់​ក្នុង​លំហ​ដោយ​កូអរដោនេ​នៃ​ចំណុច​កំពូល​របស់​វា​។ រកមុំរវាងភាគីនិង

នេះ​ជា​ឧទាហរណ៍​សម្រាប់​អ្នក​ដោះស្រាយ​ដោយ​ខ្លួនឯង។ ដំណោះស្រាយពេញលេញ និងចម្លើយនៅចុងបញ្ចប់នៃមេរៀន

ផ្នែកចុងក្រោយខ្លីៗនឹងត្រូវបានឧទ្ទិសដល់ការព្យាករណ៍ ដែលពាក់ព័ន្ធនឹងផលិតផលមាត្រដ្ឋានផងដែរ៖

ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅវ៉ិចទ័រ។ ការព្យាករនៃវ៉ិចទ័រទៅលើអ័ក្សកូអរដោនេ។
កូស៊ីនុសទិសនៃវ៉ិចទ័រ

ពិចារណាវ៉ិចទ័រនិង៖

ចូរ​ធ្វើ​ការ​ព្យាករ​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ ដើម្បី​ធ្វើ​វា​ពី​ដើម​និង​ចុង​នៃ​វ៉ិចទ័រ យើង​លុប​ចោល កាត់កែងទៅវ៉ិចទ័រ (បន្ទាត់ចំនុចពណ៌បៃតង) ។ ស្រមៃថាកាំរស្មីនៃពន្លឺធ្លាក់កាត់កែងទៅលើវ៉ិចទ័រ។ បន្ទាប់មកផ្នែក (បន្ទាត់ក្រហម) នឹងក្លាយជា "ស្រមោល" នៃវ៉ិចទ័រ។ ក្នុង​ករណី​នេះ ការ​ព្យាករ​នៃ​វ៉ិចទ័រ​ទៅ​លើ​វ៉ិចទ័រ​គឺ​ជា​ប្រវែង​នៃ​ផ្នែក។ នោះគឺ គម្រោងគឺលេខ A ។

NUMBER នេះ​ត្រូវ​បាន​បង្ហាញ​ដូច​ខាង​ក្រោម៖ “វ៉ិចទ័រ​ធំ” តំណាង​វ៉ិចទ័រ ណាគម្រោង "វ៉ិចទ័រអក្សរតូច" តំណាងឱ្យវ៉ិចទ័រ បើកដែលត្រូវបានព្យាករ។

ធាតុខ្លួនវាអានដូចនេះ៖ "ការព្យាករណ៍វ៉ិចទ័រ "a" ទៅលើវ៉ិចទ័រ "be" ។

តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ "be" គឺ "ខ្លីពេក"? យើងគូរបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានវ៉ិចទ័រ "be" ។ ហើយវ៉ិចទ័រ "a" នឹងត្រូវបានព្យាកររួចហើយ ទៅទិសដៅនៃវ៉ិចទ័រ "be"សាមញ្ញ - ទៅបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានវ៉ិចទ័រ "be" ។ រឿងដដែលនឹងកើតឡើងប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ "a" ត្រូវបានពន្យារពេលនៅក្នុងនគរទីសាមសិប - វានឹងនៅតែត្រូវបានព្យាករយ៉ាងងាយស្រួលនៅលើបន្ទាត់ត្រង់ដែលមានវ៉ិចទ័រ "be" ។

ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ហឹរ(ដូចក្នុងរូប)

ប្រសិនបើវ៉ិចទ័រ រាងមូលបន្ទាប់មក (ការព្យាករគឺជាចំណុចដែលវិមាត្រត្រូវបានចាត់ទុកថាសូន្យ)។

ប្រសិនបើមុំរវាងវ៉ិចទ័រ ត្រង់(ក្នុងរូប សូមរៀបចំព្រួញវ៉ិចទ័រឡើងវិញដោយគិតគូរឡើងវិញ) បន្ទាប់មក (ប្រវែងដូចគ្នា ប៉ុន្តែត្រូវបានថតដោយសញ្ញាដក)។

ចូរយើងគូររូបវ៉ិចទ័រទាំងនេះពីចំណុចមួយ៖

ជាក់ស្តែងនៅពេលដែលវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទី ការព្យាករណ៍របស់វាមិនផ្លាស់ប្តូរទេ។