Модуль из 6. Объяснение нового материала

Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?

Рассмотрим пример:

Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.

А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.

Свойства модуля.

Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа – это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.

Записывается модуль так:

1. Модуль положительного числа равно самому числу.
| a|= a

2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|- a|= a

3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0

4. Модули противоположных чисел равны.
| a|=|- a|= a

Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.

Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.

Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.

У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.

У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.

Пример №1:
Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?

Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7

Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?

Решение:
|10|=10
|-10|=10

Модули противоположных чисел равны.

Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?

Решение:
|9|=9
|-9|=9

Ответ: 9 и -9.

Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|

Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3

Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:

а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2

б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6

в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8

г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1

д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0

Отрицательные целые числа

Термометр, изображенный на рис. 3.1, показывает температуру 7° тепла. Если температура понизится на 4°, то термометр будет показывать 3° тепла. Уменьшению температуры соответствует действие с натуральными числами: 7-4 = 3.

Если температура понизится на 7°, то термометр покажет 0°: 7-7 = 0.

Если же температура понизится на 9°, то термометр покажет -2° (2° мороза). Но результат вычитания 7-9 не выражается целым неотрицательным числом, хотя он имеет реальный смысл.

Проиллюстрируем вычитание на ряде целых неотрицательных чисел.

1) От числа 7 отсчитаем влево 4 числа и получим 3:

2) От числа 7 отсчитаем влево 7 чисел и получим 0:

Отсчитать же в ряду неотрицательных чисел от числа 7 влево 9 чисел нельзя. Чтобы действие 7-9 стало выполнимым, расширим ряд неотрицательных чисел. Для этого запишем влево от нуля по порядку числа 1, 2, 3, добавляя к каждому из них знак минус (-), который будет показывать, что число стоит слева от нуля. Эти числа читаются так: «минус один», «минус два»,- «минус три» и т. д.:

Справа от числа 0 расположены натуральные числа, которые еще называют целыми положительными числами .

Слева от числа 0 расположены целые отрицательные числа .

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом. Оно разделяет положительные и отрицательные числа.

Полученный нами ряд чисел называется рядом целых чисел . Таким образом, натуральные, целые отрицательные числа и нуль образуют ряд целых чисел. Вправо и влево этот ряд можно продолжать неограниченно.

Правила знаков. Модуль числа

Считают, что если перед целым числом поставить знак плюс (+), то это не изменяет самого числа. Например; 5 = +5, -5 = +(-5).

Ряд целых чисел можно записать так:

Целые числа, которые отличаются только знаком, называются противоположными.

Например, 1 и -1, -5 и 5, 10 и--10 являются противоположными числами.

Если перед целым числом поставить знак минус (-), то получается число, ему противоположное: -(+1) =-1, - (-2) =+2.

Единственным числом, которое не изменяется, если перед ним поставить знак «-», является число 0; 0 = -0 = +0. Нуль считается противоположным самому себе.

Число, противоположное числу а, обозначается -а. Заметим, что -а может быть положительным, отрицательным числом и нулем. Например, если а = + 2, то -а=-2, так как-(+2) =-2; если а=-3, то-а = +3, так как - (-3) = +3; если а - 0, то-а= 0, так как -0 = 0.

Введем новое понятие-модуль числа .

Модулем положительного числа называется само это число .

Например, модулем числа +3 является +3. Пишут: |+3| = +3.

Модулем числа 0 является число 0 . Пишут:

Модулем отрицательного числа называется противоположное ему число . Например, модулем числа -4 является число +4. Пишут:

Таким образом, модуль целого числа-положительное число или нуль.

Модуль положительного или отрицательного числа показывает, на каком месте от нуля (справа или слева) стоит это число в ряду целых чисел. Противоположные числа имеют одинаковый модуль .

Цель урока:

• Ввести определение модуля числа, обозначение модуля числа. Учить находить модуль числа.
• Формирование у учащихся общеучебных умений, умения организовать себя, осуществлять самоконтроль, взаимоконтроль, самооценку.
• Развитие и обогащение речи учащихся.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Математический диктант.

Учащиеся пишут ответы на двух листах проложенных копиркой. Один лист сдают учителю на проверку, по второму листу сравнивают свои ответы с ответами учителя, заранее написанными на доске. Выставляют себе "+" за каждое верно выполненное задание. Подсчитывают количество "+" и выставляют себе оценку. За пять "+" оценка "5", за четыре "+" оценка "4" и т.д.

Данные для второго варианта даны в квадратных скобках.

3. Объяснение нового материала.

Построим координатную прямую; что нужно, чтобы такая прямая существовала? (начало отсчета, положительное направление, единичный отрезок).

Задание 1. Отметим на координатной прямой точки А(4), В(2), С(-6), К(-4). Найдем расстояние от начала отсчета до каждой из точки.

точка	координата	отрезок	расстояние (в единичных отрезках)
А	4	ОА	4
В	2	ОВ	2
С	- 6	ОС	6
К	- 4	ОК	4

Для такого расстояния придумано специальное название - модуль .

Модулем числа a называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(a).

Пишут: =4; =2,=6, =4. Читают: "Модуль числа 4 равен 4. Модуль числа -6 равен 6 и т.д. ".

Задание 2. С помощью шаблона координатной прямой найдите модули чисел 3; 2,5; 8.

, .

Числа 3; 2,5; 8 - какие? А их модули? Сделайте вывод. (Модуль положительного числа равен самому этому числу, т.е. если a - положительное, то =а).

Задание 3. С помощью шаблона координатной прямой найдите модули чисел -2;

Числа -2; -3; -4,2 - какие? А их модули? Сделайте вывод. (Модуль отрицательного числа равен числу ему противоположному, т.е. если a - отрицательное, то = - а).

А чему равен модуль нуля? =0. (Модуль нуля равен нулю.)

Задание 4. Для каждого числа из строки найдите модуль этого числа в столбце. Проведите стрелку от числа к модулю.

Числа 4 и -4; 3 и -3; 2 и -2; 1 и -1 - какие? А модули каждой пары чисел? Сделайте вывод. (Модули противоположных чисел равны. Модуль любого числа есть число неотрицательное).

Определение модуля можно записать так:

4. Закрепление нового материала.

"Проверь себя".

Выполните задание и сделайте взаимопроверку.

	-10		0	-1,28

Выполнить письменно.№ 934; 937(1 столбик); 938.

5. Итог урока.

• Что такое модуль числа?
• Может ли модуль быть отрицательным числом?
• Чему равен модуль нуля?
• Задумано отрицательное число, модуль которого равен 5. Какое число задумано?
• Задумано положительное число, модуль которого равен 8. Какое число задумано?

С учетом работы в течение всего урока комментируются и оцениваются ответы учащихся.

Литература.

1. Виленкин Н.Я. и др. Учебник. Математика. 6 класс.
2. Методические рекомендации для учителей и учащихся по теме "Положительные и отрицательные числа", ТГПИ, 1988 г.
3. Шеврин Л.Н., А.Г. Гейн и др. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 кл.

На этом уроке мы поговорим о том, что число состоит из знака и количества. Кроме того, введём понятие модуля числа, которое будет обозначать количество, без учёта знака числа. Также обсудим свойства модуля и как с ним работать.

Положительные числа, натуральные, а затем и дробные мы ввели для указания количества: дерева, литра молока (рис. 1).

Рис. 1. Пример использования положительных чисел

Затем мы ввели отрицательные числа: например, . Теперь число, кроме количества, содержит еще и знак, который указывает, что нужно делать с этим количеством - добавить или отнять. То есть после того, как были введены отрицательные числа, мы можем сказать, что любое число состоит из количества (реально существующего) и знака (придуманного нами для упрощения записи арифметических действий).

Но иногда бывает важна только одна характеристика - количество, а знак нас не интересует.

Рассмотрим такой пример. Для таксиста важно, какой длины путь он преодолевает с пассажиром (рис. 2).

Рис. 2. Километраж

Ведь, если в конце поездки пассажира привозят обратно домой, это не означает, что он ничего таксисту не должен, так как он проехал какое-то расстояние с начала поездки (рис. 3).

Рис 3. Путь, проделанный такси

Пусть теперь такси может ездить только вдоль прямой (вправо или влево). У нас уже есть подходящая модель - координатная прямая (рис. 4).

Рис. 4. Аналогия с координатной прямой

Предположим, клиенты проехали км влево, затем км вправо, затем ещё км вправо, затем ещё км влево. В результате автомобиль отъехал на км влево от исходной точки: (рис. 5).

Рис. 5. Сколько проехала машина (считаем с помощью числовой прямой)

Но ведь путь, который проделало такси, значительно больше: км.

Для подсчёта пути мы складывали только количества, без учёта знака.

Ту часть числа, которая указывает на количество, называют абсолютным значением (или модулем числа) . То есть можно сказать и так: любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля). Если знак плюс, то для краткости его обычно не пишут.

Например, у числа знак минус и модуль , у числа , знак плюс и модуль (рис. 6).

Рис. 6. Из чего состоят противоположные числа

Пример: машина проехала км по дороге. Используем для этой ситуации математическую модель - числовую прямую. Машина из точки могла двигаться вправо или влево. Можно так и говорить: перемещение на км вправо, перемещение на км влево. Но у нас есть удобный инструмент, отрицательные числа. Поэтому короче мы можем говорить так: перемещение или перемещение (рис. 7).

Рис. 7. Возможные движения машины

Перемещение было разное, но удалился автомобиль от начальной точки (от ) на одно и то же расстояние - на км. Но - это и есть модуль (как для числа , так и для ).

То есть про модуль числа можно сказать и так: модуль - это расстояние от числа до нуля (на самом деле это определение более универсальное, но об этом вы узнаете в старших классах).

В физике два этих понятия так и называют:

• перемещение : для него важен результат - где были и где оказались в итоге;
• путь : здесь важно расстояние, которое мы прошли, и не важно, где мы оказались в итоге.

Так, если машина, двигалась из точки вправо км, а потом влево км, то она вернется в начальную точку. Перемещение равно , но путь равен км (рис. 8).

Рис. 8. Перемещение и путь

Перемещение от одной точки до другой изображают отрезком со стрелкой. Называют его вектором (рис. 1).

Рис. 9. Вектор

Здесь ситуация как с числами: есть количественная часть (длина) и есть направление (у числа их было всего два ( и ), а здесь направлений может быть бесконечно много).

Сам вектор обозначают со стрелкой сверху. Длину вектора называют модулем (помните, как и у числа: модуль - это количественная часть) и обозначают с прямыми скобками или просто как отрезок (рис. 2).

Рис. 10. Обозначение вектора и его длины

Если нам нужно попасть из одной точки в другую, мы не всегда можем пройти по прямой. Например, из точки мы движемся в точку , обходя газон, по которому ходить запрещено. То есть мы переместились два раза и. Итоговое перемещение (рис. 3).

Рис. 11. Перемещение

- это сумма двух перемещений : . Для путей это не верно. Длина отрезка меньше суммы длин отрезков и : . Путь по прямой короче, чем в обход.

Все это можно записать одним неравенством: . Оно означает вот что: сумма двух перемещений - это итоговое перемещение. Его длина меньше, чем сумма длин каждого перемещения по отдельности: .

Подумайте, может ли здесь быть равенство, если по-другому будут расположены векторы перемещения? А противоположный знак, то есть знак ?

Рассмотрим такой пример. Человек гуляет с собакой, он движется из точки в точку по прямой, при этом собака движется еще из стороны в сторону, насколько позволяет поводок (рис. 4).

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

(рис. 5).

Рис. 13. Перемещение человека

Перемещение собаки складывается из кусочков и тоже в итоге равно (рис. 6).

Рис. 14. Перемещение собаки

Но если складывать не перемещения, а пути, т.е. не векторы, а их модули, то окажется, что собака пробежала путь, в два или три раза больший. Собака, совершая одинаковое перемещение с хозяином, могла пробежать и в , и в раз больший путь, все ограничивается ее активностью.

Есть такая задача: измерение длины береговой линии. С перемещением от точки до точки вдоль берега все понятно. Это вектор (рис. 7).

Рис. 15. Перемещение

А вот путь складывается из кусочков (рис. 8). Тут вроде бы как с собакой: нужно сложить модули таких перемещений, векторов.

Рис. 16. Кусочки пути

Но если смотреть более точно, каждое такое перемещение складывается из еще более мелких перемещений. Путь сильно возрастает (рис. 9).

Рис. 17. Возрастание пути

Но это еще не все: если смотреть еще более точно, то и они делятся на маленькие перемещения. Береговая линия все более и более изрезана (рис. 10). И это никогда не заканчивается.

Рис. 18. Изрезанная береговая линия

То есть длину береговой линии не получается точно измерить таким образом.

Вот так получается, что, не отходя далеко от общего вектора перемещения, можно получить очень большой (как путь собаки) или даже бесконечный путь (как береговая линия).

Модуль числа договорились обозначать вертикальными скобками. Итак, модуль положительного числа равен самому числу , модуль отрицательного числа тоже равен , то есть противоположному числу: , .

Остался вопрос: чему равен модуль нуля? Расстояние от нуля до нуля равно нулю. Поэтому модуль нуля считать равным нулю: .

Итак, мы уже все знаем, чтобы дать более точное определение, что такое модуль числа.

Модуль числа - это число, равное ему самому, если число положительное, противоположному числу, если оно отрицательное, и все равно какому (самому или противоположному), если число равно нулю. Пусть будет самому: .

Чтобы запись была короче, объединим первую и третью строчки. И определение теперь звучит так: модуль числа равен самому числу, если оно неотрицательное (положительное или ноль), и противоположному числу, если оно отрицательное: .

Это определение не объясняет суть, что такое модуль. Но мы про суть уже поговорили раньше. Оно является удобным инструментом для выполнения арифметических действий. Особенно пригодится это определение, когда мы будем решать уравнения с модулем.

Если отвлечься от задач про путь и перемещение, то нахождения модуля интересно еще вот чем. Раньше мы выполняли операции с двумя или несколькими числами. Например, брали два числа, складывали их, получали новое число, сумму: . Или сравнивали два числа: .