Berapakah bilangan asimtot yang boleh dimiliki oleh graf fungsi?

Tiada, satu, dua, tiga... atau nombor yang tidak terhingga. Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh, kami akan ingat fungsi asas. Parabola, parabola padu, sinusoid tidak mempunyai asimtot sama sekali. carta eksponen, fungsi logaritma mempunyai asimtot yang unik. Arkotangen, arccotangent mempunyai dua daripadanya, dan tangen, kotangen mempunyai nombor tak terhingga. Ia bukan sesuatu yang luar biasa untuk graf mempunyai kedua-dua asimtot mendatar dan menegak. Hiperbola, akan sentiasa menyayangi anda.

Apakah yang dimaksudkan untuk mencari asimtot bagi graf fungsi?

Ini bermakna mengetahui persamaan mereka, dan melukis garis lurus jika keadaan masalah memerlukannya. Proses ini melibatkan mencari had fungsi.

Asimtot menegak bagi graf fungsi

Asimtot menegak graf, sebagai peraturan, berada pada titik ketakselanjaran tak terhingga bagi fungsi tersebut. Ia mudah: jika fungsi mengalami pemecahan tak terhingga pada satu titik, maka garis lurus, diberikan oleh persamaan ialah asimtot menegak graf.

Nota: ambil perhatian bahawa notasi digunakan untuk merujuk kepada dua sepenuhnya konsep yang berbeza. Titik tersirat atau persamaan garis lurus - bergantung pada konteks.

Oleh itu, untuk mewujudkan kehadiran asymptot menegak pada satu titik, ia memadai untuk menunjukkan bahawa sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah adalah tidak terhingga. Selalunya, ini adalah titik di mana penyebut fungsi adalah sama dengan sifar. Pada dasarnya, kami telah menemui asimtot menegak dalam contoh terkini pengajaran tentang kesinambungan fungsi. Tetapi dalam beberapa kes terdapat hanya satu had berat sebelah, dan jika ia tidak terhingga, sekali lagi - suka dan memihak kepada asymptot menegak. Ilustrasi paling mudah: dan paksi-y.

Ia juga mengikuti daripada yang di atas fakta yang jelas: jika fungsi berterusan, maka tiada asimtot menegak. Atas sebab tertentu, parabola muncul di fikiran. Sesungguhnya, di mana anda boleh "melekat" garis lurus di sini? ... ya ... saya faham ... pengikut Uncle Freud berborak histeria =)

Pernyataan sebaliknya dalam kes am tidak betul: sebagai contoh, fungsi tidak ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor, tetapi ia dilucutkan sepenuhnya daripada asimtot.

Asimtot serong bagi graf fungsi

serong (seperti kes istimewa- mendatar) asimtot boleh dilukis jika hujah fungsi cenderung kepada "tambah infiniti" atau "tolak infiniti". Oleh itu, graf fungsi tidak boleh mempunyai lebih daripada 2 asimtot serong. Sebagai contoh, graf bagi fungsi eksponen mempunyai asimtot mendatar tunggal pada, dan graf arktangen at mempunyai dua asimtot sedemikian, dan yang berbeza.

Definisi . Asimtot bagi graf fungsi ialah garis yang mempunyai sifat bahawa jarak dari titik graf fungsi ke garis ini cenderung kepada sifar dengan jarak tidak terhad dari asal titik graf..

Mengikut kaedah mencarinya, tiga jenis asimtot dibezakan: menegak, mendatar, serong.

Jelas sekali, yang mendatar ialah kes khas yang cenderung (untuk ).

Mencari asimtot bagi graf fungsi adalah berdasarkan pernyataan berikut.

Teorem 1 . Biarkan fungsi ditakrifkan sekurang-kurangnya dalam beberapa separa kejiranan titik dan biarkan sekurang-kurangnya satu daripada had sebelahnya menjadi tak terhingga pada ketika ini, i.e. sama rata. Kemudian garis lurus ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.

Oleh itu, asimtot menegak graf fungsi perlu dicari pada titik ketakselanjaran fungsi atau di hujung domain definisinya (jika ini adalah nombor terhingga).

Teorem 2 . Biarkan fungsi ditakrifkan untuk nilai hujah yang cukup besar dalam nilai mutlak, dan terdapat had terhingga fungsi . Kemudian garis itu ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi.

Ia mungkin berlaku begitu , A , dan ialah nombor terhingga, maka graf mempunyai dua asimtot mendatar yang berbeza: tangan kiri dan tangan kanan. Jika hanya satu daripada had terhingga atau wujud, maka graf mempunyai sama ada satu asimtot mendatar tangan kiri atau satu asimtot mendatar tangan kanan.

Teorem 3 . Biarkan fungsi ditakrifkan untuk nilai argumen yang cukup besar dalam nilai mutlak, dan wujud had terhinggaDan . Kemudian garis lurus ialah asimtot serong bagi graf fungsi.

Ambil perhatian bahawa jika sekurang-kurangnya satu daripada had ini adalah tidak terhingga, maka tiada asimtot serong.

Asimtot serong, seperti yang mendatar, boleh menjadi satu sisi.

Contoh. Cari semua asimtot graf fungsi.

Penyelesaian.

Fungsi ditakrifkan dengan . Marilah kita mencari had berat sebelahnya pada titik.

Kerana Dan (dua had satu sisi yang lain tidak dapat ditemui lagi), maka garisan adalah asimtot menegak graf fungsi.

Pengiraan

(gunakan peraturan L'Hopital) = .

Jadi garisan adalah asymptot mendatar.

Memandangkan asimtot mendatar wujud, kami tidak lagi mencari asimtot serong (ia tidak wujud).

Jawab: Graf mempunyai dua asimtot menegak dan satu mendatar.

Kajian Fungsi Amy = f (x ).

Skop fungsi. Cari domainnya D(f). Jika ia tidak terlalu sukar, maka adalah berguna untuk mencari julat juga E(f). (Walau bagaimanapun, dalam banyak kes, persoalan mencari E(f) ditangguhkan sehingga ekstrem fungsi ditemui.)

Ciri khas bagi sesuatu fungsi. Untuk memikirkan sifat umum fungsi: genap, ganjil, berkala, dsb. Tidak setiap fungsi mempunyai sifat seperti genap atau ganjil. Suatu fungsi pastinya tidak genap dan tidak ganjil jika domain definisinya tidak simetri tentang titik 0 pada paksi lembu. Dengan cara yang sama, untuk mana-mana fungsi berkala, domain definisi terdiri sama ada daripada keseluruhan paksi sebenar, atau gabungan sistem jurang yang berulang secara berkala.

Asimtot menegak. Ketahui bagaimana fungsi berfungsi apabila hujah menghampiri titik sempadan domain definisi D(f) jika terdapat titik sempadan tersebut. Dalam kes ini, asimtot menegak mungkin muncul. Jika fungsi mempunyai titik ketakselanjaran yang tidak ditakrifkan, maka titik ini juga diperiksa untuk kehadiran asimtot menegak fungsi tersebut.

Asimtot serong dan mendatar. Jika skop D(f) termasuk sinar bentuk (a;+) atau (−;b), maka kita boleh cuba mencari asimtot serong (atau asimtot mendatar) pada x+ atau x−, masing-masing, i.e. cari limxf(x). Asimtot serong : y = kx + b, di mana k=limx+xf(x) dan b=limx+(f(x)−x). Asimtot mendatar : y = b, di mana limxf(x)=b.

Mencari titik persilangan graf dengan paksi. Mencari titik persilangan graf dengan paksi Oy. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira nilainya f(0). Cari juga titik persilangan graf dengan paksi lembu, mengapa mencari punca persamaan f(x) = 0 (atau pastikan tiada punca). Persamaan selalunya boleh diselesaikan hanya lebih kurang, tetapi pemisahan akar membantu untuk lebih memahami struktur graf. Seterusnya, anda perlu menentukan tanda fungsi pada selang antara akar dan titik putus.

Mencari titik persilangan graf dengan asimtot. Dalam sesetengah kes, mungkin perlu mencari titik ciri graf yang tidak disebut dalam perenggan sebelumnya. Sebagai contoh, jika fungsi mempunyai asimtot serong, maka anda boleh cuba untuk mengetahui sama ada terdapat sebarang titik persilangan graf dengan asimtot ini.

Mencari selang cembung dan cekung. Ini dilakukan dengan memeriksa tanda terbitan kedua f(x). Cari titik infleksi pada persimpangan selang cembung dan cekung. Kira nilai fungsi pada titik infleksi. Jika fungsi mempunyai titik kesinambungan lain (selain daripada titik infleksi) di mana terbitan kedua adalah sama dengan 0 atau tidak wujud, maka pada titik ini ia juga berguna untuk mengira nilai fungsi. Setelah menemui f(x) , kita menyelesaikan ketaksamaan f(x)0. Pada setiap selang penyelesaian, fungsi akan cembung ke bawah. Menyelesaikan ketaksamaan terbalik f(x)0, kita dapati selang di mana fungsi itu cembung ke atas (iaitu, cekung). Kami mentakrifkan titik infleksi sebagai titik di mana fungsi mengubah arah kecembungan (dan berterusan).

Begitulah perkataannya tugas biasa, dan ia melibatkan mencari SEMUA asimtot graf (menegak, serong/mendatar). Walaupun, untuk menjadi lebih tepat dalam perumusan soalan, kita bercakap tentang kajian untuk kehadiran asimtot (selepas semua, mungkin tidak ada sama sekali).

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah:

Contoh 1

Penyelesaian Adalah mudah untuk memecahkannya kepada dua perkara:

1) Mula-mula kita semak sama ada terdapat asimtot menegak. Penyebutnya hilang pada , dan jelas dengan serta-merta bahawa pada ketika ini fungsi mengalami masalah jurang yang tidak berkesudahan, dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan ialah asimtot menegak bagi graf fungsi itu. Tetapi sebelum membuat kesimpulan sedemikian, adalah perlu untuk mencari had berat sebelah:

Saya mengingatkan anda tentang teknik pengiraan, yang juga saya fikirkan dalam artikel itu kesinambungan fungsi. mata pecah. Dalam ungkapan di bawah tanda had, bukannya "x" kita gantikan . Tiada apa-apa yang menarik dalam pengangka:
.

Tetapi dalam penyebut ternyata sangat kecil nombor negatif :
, ia menentukan nasib had.

Had sebelah kiri adalah tidak terhingga, dan, pada dasarnya, sudah mungkin untuk meluluskan keputusan mengenai kehadiran asimtot menegak. Tetapi had berat sebelah diperlukan bukan sahaja untuk ini - ia MEMBANTU MEMAHAMI BAGAIMANA graf fungsi itu terletak dan plotkannya BETUL. Oleh itu, kita juga mesti mengira had sebelah kanan:

Kesimpulan: had sebelah adalah tidak terhingga, yang bermaksud bahawa garis adalah asimtot menegak bagi graf fungsi pada .

Had pertama terhingga, yang bermaksud bahawa adalah perlu untuk "meneruskan perbualan" dan mencari had kedua:

Had kedua juga terhingga.

Jadi asimtot kami ialah:

Kesimpulan: garis lurus yang diberikan oleh persamaan ialah asimtot mendatar graf fungsi di .

Untuk mencari asimtot mendatar Anda boleh menggunakan formula yang dipermudahkan:

Jika terdapat had terhingga, maka garis itu ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi pada .

Adalah mudah untuk melihat bahawa pengangka dan penyebut fungsi satu urutan pertumbuhan, yang bermaksud bahawa had yang dikehendaki adalah terhad:

Jawab:

Mengikut syarat, lukisan itu tidak perlu disiapkan, tetapi jika dalam keadaan penuh penyelidikan fungsi, kemudian pada draf kami segera membuat lakaran:

Berdasarkan tiga had yang ditemui, cuba fikirkan secara bebas bagaimana graf fungsi itu boleh dikesan. Agak sukar? Cari 5-6-7-8 mata dan tandakannya pada lukisan. Walau bagaimanapun, graf fungsi ini dibina menggunakan transformasi carta fungsi asas , dan pembaca yang telah meneliti Contoh 21 artikel ini dengan teliti akan mudah meneka jenis lengkung itu.

Contoh 2

Cari asimtot bagi graf fungsi

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas. Prosesnya, saya ingatkan anda, dibahagikan dengan mudah kepada dua titik - asimtot menegak dan asimtot serong. Dalam larutan sampel, asimtot mendatar didapati menggunakan skema yang dipermudahkan.

Dalam amalan, fungsi pecahan-rasional paling kerap ditemui, dan selepas latihan mengenai hiperbola, kami akan merumitkan tugas:

Contoh 3

Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian: Satu, dua dan selesai:

1) Asimtot menegak ditemui pada titik-titik ketakselanjaran yang tidak terhingga, jadi anda perlu menyemak sama ada penyebut pergi ke sifar. Kami akan membuat keputusan persamaan kuadratik :

Diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca nyata, dan kerja ditambah dengan ketara =)

Untuk mencari lagi had berat sebelah trinomial segi empat sama mudah untuk difaktorkan:
(untuk tatatanda padat, "tolak" telah diperkenalkan dalam kurungan pertama). Untuk jaringan keselamatan, kami akan melakukan pemeriksaan, secara mental atau pada draf, membuka kurungan.

Mari kita tulis semula fungsi dalam borang

Cari had sebelah pada titik:

Dan pada titik:

Oleh itu, garis lurus ialah asimtot menegak bagi graf fungsi yang sedang dipertimbangkan.

2) Jika dilihat pada fungsinya , maka agak jelas bahawa hadnya adalah terhingga dan kita mempunyai asimtot mendatar. Mari tunjukkan secara ringkas:

Oleh itu, garis lurus (abscissa) ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi ini.

Jawab:

Had dan asimtot yang ditemui memberikan banyak maklumat tentang graf fungsi. Cuba bayangkan lukisan itu secara mental, dengan mengambil kira fakta berikut:

Lakarkan versi graf anda pada draf.

Sudah tentu, had yang ditemui tidak menentukan jenis graf secara jelas, dan anda mungkin membuat kesilapan, tetapi latihan itu sendiri akan membantu yang tidak ternilai semasa kajian penuh fungsi. Gambar yang betul adalah pada akhir pelajaran.

Contoh 4

Cari asimtot bagi graf fungsi

Contoh 5

Cari asimtot bagi graf fungsi

Ini adalah tugas untuk membuat keputusan bebas. Kedua-dua graf sekali lagi mempunyai asimtot mendatar, yang dikesan serta-merta oleh ciri berikut: dalam Contoh 4 susunan pertumbuhan penyebut lebih besar daripada susunan pertumbuhan pengangka, dan dalam Contoh 5 pengangka dan penyebut satu urutan pertumbuhan. Dalam penyelesaian sampel, fungsi pertama disiasat untuk kehadiran asimtot serong secara penuh, dan yang kedua - melalui had .

Asimtot mendatar, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih biasa daripada yang "benar-benar senget". Kes umum yang telah lama ditunggu-tunggu:

Contoh 6

Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian: klasik genre:

1) Oleh kerana penyebutnya adalah positif, fungsinya berterusan pada keseluruhan garis nombor, dan tiada asimtot menegak. …Ia adalah baik? Bukan perkataan yang tepat - sangat baik! Item #1 ditutup.

2) Semak kehadiran asimtot serong:

Had pertama terhingga, jadi mari kita teruskan. Semasa pengiraan had kedua untuk menghapuskan ketidakpastian "infiniti tolak infiniti" kami membawa ungkapan kepada penyebut biasa:

Had kedua juga terhingga, oleh itu, graf bagi fungsi yang sedang dipertimbangkan mempunyai asimtot serong:

Kesimpulan:

Oleh itu, untuk graf fungsi dekat tak terhingga menghampiri garis lurus:

Ambil perhatian bahawa ia bersilang asimtot serongnya pada asal, dan titik persimpangan sedemikian agak boleh diterima - adalah penting bahawa "semuanya normal" pada infiniti (sebenarnya, di sanalah perbincangan tentang asimtot muncul).

Contoh 7

Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian: tiada banyak yang perlu diulas, jadi saya akan merangka sampel anggaran penyelesaian akhir:

1) Asimtot menegak. Mari kita terokai perkara itu.

Garis lurus ialah asimtot menegak untuk plot di .

2) Asimtot serong:

Garis lurus ialah asimptot serong bagi graf pada .

Jawab:

Had berat sebelah dan asimtot yang ditemui membolehkan kita mengandaikan dengan pasti rupa graf fungsi ini. Lukisan yang betul pada akhir pelajaran.

Contoh 8

Cari asimtot bagi graf fungsi

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas, untuk kemudahan mengira beberapa had, anda boleh membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan. Dan sekali lagi, menganalisis keputusan, cuba lukis graf fungsi ini.

Jelas sekali, pemilik asimtot serong "sebenar" adalah graf bagi fungsi rasional pecahan, yang kuasa tertinggi pengangkanya satu lagi darjah tertinggi penyebut. Jika lebih, tidak akan ada asimtot serong (contohnya, ).

Tetapi keajaiban lain berlaku dalam kehidupan:

Contoh 9

Penyelesaian: fungsi berterusan pada keseluruhan garis nombor, yang bermaksud tiada asimtot menegak. Tetapi mungkin terdapat cerun. Kami menyemak:

Saya masih ingat bagaimana saya menemui fungsi yang sama di universiti dan tidak percaya bahawa ia mempunyai asimtot serong. Sehingga saya mengira had kedua:

Tegasnya, terdapat dua ketidakpastian di sini: dan , tetapi satu cara atau yang lain, anda perlu menggunakan kaedah penyelesaian, yang dibincangkan dalam Contoh 5-6 artikel tentang had peningkatan kerumitan . Darab dan bahagi dengan ungkapan konjugat untuk menggunakan formula:

Jawab:

Mungkin asimtot serong yang paling popular.

Sehingga kini, infiniti telah berjaya "dipotong dengan berus yang sama", tetapi ia berlaku bahawa graf fungsi dua berbeza asimtot serong untuk dan untuk:

Contoh 10

Periksa graf fungsi untuk asimtot

Penyelesaian: ungkapan akar adalah positif, yang bermaksud domain- sebarang nombor nyata, dan tidak boleh ada kayu menegak.

Mari kita semak sama ada asimtot serong wujud.

Jika "x" cenderung kepada "tolak infiniti", maka:
(apabila menambah "X" di bawah Punca kuasa dua anda perlu menambah tanda tolak supaya tidak kehilangan penyebut negatif)

Ia kelihatan luar biasa, tetapi di sini ketidakpastian ialah "infiniti tolak infiniti." Darabkan pengangka dan penyebut dengan ungkapan bersebelahan:

Oleh itu, garis lurus ialah asimtot serong bagi graf pada .

Dengan "tambah infiniti" semuanya lebih remeh:

Dan garis lurus - di .

Jawab:

Jika ;
, Jika .

Saya tidak boleh menolak imej grafik:


Ini adalah salah satu cabang hiperbola .

Ia bukan sesuatu yang luar biasa apabila potensi kehadiran asimtot pada mulanya terhad skop fungsi:

Contoh 11

Periksa graf fungsi untuk asimtot

Penyelesaian: jelas sekali , oleh itu, kami menganggap hanya separuh satah kanan, di mana terdapat graf fungsi.

1) Fungsi berterusan pada selang , yang bermaksud bahawa jika asimtot menegak wujud, maka ia hanya boleh menjadi paksi-y. Kami mengkaji kelakuan fungsi berhampiran titik di sebelah kanan:

Catatan, TIDAK ada kekaburan di sini(pada kes sedemikian, perhatian tertumpu pada permulaan artikel Hadkan kaedah penyelesaian).

Oleh itu, garis lurus (paksi-y) ialah asimtot menegak untuk graf fungsi pada .

2) Kajian asimtot serong boleh dijalankan mengikut skema penuh, tetapi dalam artikel Peraturan Lopital kami mendapati bahawa fungsi linear lebih perintah tinggi pertumbuhan daripada logaritma, oleh itu: (lihat contoh 1 pelajaran yang sama).

Kesimpulan: paksi absis ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi pada .

Jawab:

Jika ;
, Jika .

Lukisan untuk kejelasan:

Menariknya, fungsi yang kelihatan serupa tidak mempunyai asimtot sama sekali (mereka yang ingin menyemak ini).

Dua contoh akhir kajian kendiri:

Contoh 12

Periksa graf fungsi untuk asimtot

Untuk menguji asimtot menegak, kita perlu mencari terlebih dahulu skop fungsi, dan kemudian hitung sepasang had berat sebelah pada titik "mencurigakan". Asimtot serong juga tidak dikecualikan, kerana fungsi ditakrifkan kepada infiniti "tambah" dan "tolak".

Contoh 13

Periksa graf fungsi untuk asimtot

Dan di sini hanya boleh ada asimtot serong, dan arah , harus dipertimbangkan secara berasingan.

Saya harap anda menemui asimtot yang betul =)

Semoga anda berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2:Penyelesaian :
. Mari cari had berat sebelah:

Lurus ialah asimtot menegak bagi graf fungsi di .
2) Asimtot serong.

Lurus .
Jawab:

Melukis kepada Contoh 3:

Contoh 4:Penyelesaian :
1) Asimtot menegak. Fungsi mengalami rehat yang tidak terhingga pada satu titik . Mari kita hitung had berat sebelah:

Catatan: nombor negatif tak terhingga dalam walaupun ijazah sama dengan infinitesimal nombor positif: .

Lurus ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
2) Asimtot serong.


Lurus (abscissa) ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi di .
Jawab:

Dalam kebanyakan kes, memplot fungsi adalah lebih mudah jika anda mula-mula memplot asimtot lengkung.

Definisi 1. Asimtot dipanggil garis sedemikian, yang mana graf fungsi menghampiri sehampir yang dikehendaki apabila pembolehubah cenderung kepada tambah infiniti atau tolak infiniti.

Definisi 2. Garis lurus dipanggil asimtot graf fungsi jika jarak dari titik berubah. M graf fungsi sehingga garis ini cenderung kepada sifar apabila titik bergerak menjauh selama-lamanya M daripada asal koordinat di sepanjang mana-mana cabang graf fungsi.

Terdapat tiga jenis asimtot: menegak, mendatar dan serong.

Asimtot menegak

Definisi. Lurus x = a ialah asymptot menegak graf fungsi jika titik x = a ialah titik pecah jenis kedua untuk ciri ini.

Ia mengikuti dari definisi bahawa baris x = a ialah asimtot menegak bagi graf fungsi f(x) jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat berikut dipenuhi:

Pada masa yang sama, fungsi f(x) mungkin tidak ditakrifkan sama sekali, masing-masing, untuk x ≥ a Dan x ≤ a .

Ulasan:

Contoh 1 Graf Fungsi y=ln x mempunyai asimtot menegak x= 0 (iaitu, bertepatan dengan paksi Oy) pada sempadan domain definisi, kerana had fungsi sebagai x cenderung kepada sifar di sebelah kanan adalah sama dengan tolak infiniti:

(rajah di atas).

sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 2 Cari asimtot bagi graf fungsi itu.

Contoh 3 Cari asimtot bagi graf fungsi

Asimtot mendatar

Jika (had fungsi apabila argumen cenderung kepada tambah atau tolak infiniti adalah sama dengan beberapa nilai b), Itu y = b – asimtot mendatar bengkok y = f(x ) (kanan apabila x cenderung kepada tambah infiniti, kiri apabila x cenderung kepada tolak infiniti, dan dua belah jika had apabila x cenderung kepada tambah atau tolak infiniti adalah sama).

Contoh 5 Graf Fungsi

di a> 1 mempunyai asimtot mendatar kiri y= 0 (iaitu, bertepatan dengan paksi lembu), kerana had fungsi apabila "x" cenderung tolak infiniti adalah sama dengan sifar:

Lengkung tidak mempunyai asymptot mendatar yang betul, kerana had fungsi sebagai x cenderung kepada tambah infiniti adalah sama dengan infiniti:

Asimtot serong

Asimtot menegak dan mendatar yang kami pertimbangkan di atas adalah selari dengan paksi koordinat, oleh itu, untuk membinanya, kami hanya memerlukan nombor tertentu - titik pada paksi absis atau ordinat yang melaluinya asimtot. Lebih banyak diperlukan untuk asimtot serong - cerun k, yang menunjukkan sudut kecondongan garis lurus, dan pintasan b, yang menunjukkan jumlah garisan di atas atau di bawah asalan. Mereka yang tidak mempunyai masa untuk melupakan geometri analitik, dan daripadanya - persamaan garis lurus, akan menyedari bahawa untuk asimtot serong yang mereka dapati persamaan cerun. Kewujudan asimtot oblik ditentukan oleh teorem berikut, berdasarkan pekali yang baru dinamakan ditemui.

Teorem. Untuk membuat lengkung y = f(x) mempunyai asimtot y = kx + b , adalah perlu dan mencukupi bahawa terdapat had terhingga k Dan b fungsi yang dipertimbangkan sebagai pembolehubah cenderung x kepada tambah infiniti dan tolak infiniti:

(1)

(2)

Nombor yang ditemui k Dan b dan ialah pekali bagi asimtot serong.

Dalam kes pertama (apabila x cenderung kepada tambah infiniti), asimtot serong kanan diperolehi, dalam kes kedua (apabila x cenderung tolak infiniti), ia ditinggalkan. Asimtot serong kanan ditunjukkan dalam Rajah. dari bawah.

Apabila mencari persamaan asymptot oblik, adalah perlu untuk mengambil kira kecenderungan x kepada kedua-dua tambah infiniti dan tolak infiniti. Untuk sesetengah fungsi, contohnya, untuk rasional pecahan, had ini bertepatan, tetapi untuk banyak fungsi had ini berbeza, dan hanya satu daripadanya boleh wujud.

Apabila had bertepatan dengan x cenderung kepada tambah infiniti dan tolak infiniti, garis lurus y = kx + b ialah asimptot dua sisi bagi lengkung.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada had yang menentukan asimtot y = kx + b , tidak wujud, maka graf fungsi tidak mempunyai asimtot serong (tetapi mungkin mempunyai satu menegak).

Ia adalah mudah untuk melihat bahawa asimtot mendatar y = b adalah kes khas serong y = kx + b di k = 0 .

Oleh itu, jika lengkung mempunyai asimtot mendatar dalam mana-mana arah, maka tiada asimtot serong ke arah itu, dan sebaliknya.

Contoh 6 Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian. Fungsi ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor kecuali x= 0 , i.e.

Oleh itu, pada titik pecah x= 0 lengkung mungkin mempunyai asimtot menegak. Sesungguhnya, had fungsi sebagai x cenderung kepada sifar dari kiri ialah tambah infiniti:

Oleh itu, x= 0 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi ini.

Graf fungsi ini tidak mempunyai asimtot mendatar, kerana had fungsi apabila x cenderung kepada tambah infiniti adalah sama dengan tambah infiniti:

Mari kita ketahui kehadiran asimtot serong:

Mendapat had yang terhad k= 2 dan b= 0 . Lurus y = 2x ialah asimtot serong dua sisi bagi graf fungsi ini (rajah di dalam contoh).

Contoh 7 Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian. Fungsi mempunyai satu titik putus x= −1 . Mari kita mengira had sebelah dan tentukan jenis ketakselanjaran:

Kesimpulan: x= −1 ialah titik ketakselanjaran jenis kedua, jadi garis x= −1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi ini.

Mencari asimtot serong. Kerana fungsi yang diberikan- pecahan-rasional, had sesuka hati dan sesuka hati bertepatan. Oleh itu, kita mencari pekali untuk menggantikan garis lurus - asimtot serong ke dalam persamaan:

Menggantikan pekali yang ditemui ke dalam persamaan garis lurus dengan faktor cerun, kita memperoleh persamaan asimtot serong:

y = −3x + 5 .

Dalam rajah, graf fungsi ditunjukkan warna burgundy, dan asimtot adalah hitam.

Contoh 8 Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian. Oleh kerana fungsi ini berterusan, grafnya tidak mempunyai asimtot menegak. Kami sedang mencari asimtot serong:

.

Oleh itu, graf fungsi ini mempunyai asimtot y= 0 pada dan tidak mempunyai asimtot pada .

Contoh 9 Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian. Pertama, kita mencari asimtot menegak. Untuk melakukan ini, kami mencari domain fungsi. Fungsi ditakrifkan apabila ketaksamaan kekal dan . tanda berubah-ubah x sepadan dengan tanda. Oleh itu, pertimbangkan ketaksamaan setara. Daripada ini kita mendapat skop fungsi: . Asimtot menegak hanya boleh berada di sempadan domain fungsi. Tetapi x= 0 tidak boleh menjadi asymptot menegak, kerana fungsi ditakrifkan untuk x = 0 .

Pertimbangkan had sebelah kanan pada (had sebelah kiri tidak wujud):

.

titik x= 2 ialah titik ketakselanjaran jenis kedua, jadi garisan x= 2 - asimtot menegak graf fungsi ini.

Kami sedang mencari asimtot serong:

Jadi, y = x+ 1 - asimtot serong bagi graf fungsi ini pada . Kami sedang mencari asymptot serong untuk:

Jadi, y = −x − 1 - asimtot serong di .

Contoh 10 Cari asimtot bagi graf fungsi

Penyelesaian. Fungsi mempunyai skop . Memandangkan asimtot menegak graf fungsi ini hanya boleh berada pada sempadan domain definisi, kita akan menemui had satu sisi bagi fungsi di .

Asimtot bagi graf fungsi y \u003d f (x) dipanggil garis yang mempunyai sifat bahawa jarak dari titik (x, f (x)) ke garis ini cenderung kepada sifar dengan penyingkiran tanpa had titik graf dari asal.

Rajah 3.10. diberi contoh grafik menegak, mendatar Dan serong asimtot.

Mencari asimtot graf adalah berdasarkan tiga teorem berikut.

Teorem asymptot menegak. Biarkan fungsi y \u003d f (x) ditakrifkan dalam beberapa kejiranan titik x 0 (mungkin tidak termasuk titik ini sendiri) dan sekurang-kurangnya satu daripada had sebelah bahagian fungsi adalah sama dengan infiniti, i.e. Kemudian garis x \u003d x 0 ialah asimtot menegak graf fungsi y \u003d f (x).

Jelas sekali, garis x \u003d x 0 tidak boleh menjadi asimtot menegak jika fungsi itu berterusan pada titik x 0, kerana dalam kes ini . Oleh itu, asimtot menegak harus dicari di titik ketakselanjaran fungsi atau di hujung domainnya.

Teorem pada asymptot mendatar. Biarkan fungsi y \u003d f (x) ditakrifkan untuk x yang cukup besar dan terdapat had terhingga bagi fungsi . Maka garis y = b ialah asimtot mendatar bagi graf fungsi itu.

Komen. Jika hanya satu daripada had yang terhingga, maka fungsi tersebut mempunyai, masing-masing, sebelah kiri atau sebelah kanan asimtot mendatar.

Sekiranya , fungsi mungkin mempunyai asimtot serong.

Teorem asimtot serong. Biarkan fungsi y = f(x) ditakrifkan untuk x yang cukup besar dan terdapat had terhingga . Maka garis y = kx + b ialah asimtot serong bagi graf fungsi itu.

Tanpa bukti.

Asimtot serong, serta yang mendatar, boleh menjadi tangan kanan atau kidal jika asas had yang sepadan ialah infiniti bagi tanda tertentu.

Kajian fungsi dan pembinaan grafnya biasanya merangkumi langkah-langkah berikut:

1. Cari domain bagi fungsi tersebut.

2. Menyiasat fungsi bagi genap-ganjil.

3. Cari asimtot menegak dengan memeriksa titik ketakselanjaran dan kelakuan fungsi pada sempadan domain definisi, jika ia adalah terhingga.

4. Cari asimtot mendatar atau serong dengan memeriksa kelakuan fungsi pada infiniti.

5. Cari keterlaluan dan selang kemonotonan fungsi.

6. Cari selang kecembungan fungsi dan titik infleksi.

7. Cari titik persilangan dengan paksi koordinat dan, mungkin, beberapa titik tambahan yang memperhalusi graf.

Pembezaan fungsi

Ia boleh dibuktikan bahawa jika fungsi mempunyai had untuk beberapa asas yang sama dengan nombor akhir, maka ia boleh diwakili sebagai jumlah nombor ini dan nilai tak terhingga dengan asas yang sama (dan sebaliknya): .

Mari kita gunakan teorem ini kepada fungsi boleh dibezakan: .

Oleh itu, kenaikan fungsi Dy terdiri daripada dua istilah: 1) linear berkenaan dengan Dx, i.e. f`(x)Dx; 2) bukan linear berkenaan dengan Dx, i.e. a(Dx)Dx. Pada masa yang sama, sejak , sebutan kedua ini adalah sangat kecil tertib yang lebih tinggi daripada Dx (kerana Dx cenderung kepada sifar, ia cenderung kepada sifar lebih cepat).

Berbeza fungsi dipanggil utama, linear berkenaan dengan bahagian Dx kenaikan fungsi, sama dengan produk terbitan tambahan bagi pembolehubah bebas dy = f `(x)Dх.

Cari beza bagi fungsi y = x.

Oleh kerana dy = f `(x)Dx = x`Dx = Dx, maka dx = Dx, i.e. pembezaan pembolehubah bebas adalah sama dengan kenaikan pembolehubah ini.

Oleh itu, formula untuk pembezaan fungsi boleh ditulis sebagai dy = f `(x)dх. Itulah sebabnya salah satu simbol untuk terbitan ialah pecahan dy/dх.

deria geometri pembezaan digambarkan
rajah 3.11. Ambil graf fungsi y = f(x) titik sewenang-wenangnya M(x, y). Mari kita berikan hujah x kenaikan Dx. Kemudian fungsi y = f(x) akan menerima kenaikan Dy = f(x + Dх) - f(x). Mari kita lukis tangen kepada graf fungsi pada titik M, yang membentuk sudut a dengan arah positif paksi-x, i.e. f `(x) = tg a. daripada segi tiga tepat MKN
KN \u003d MN * tg a \u003d Dx * tg a \u003d f `(x) Dx \u003d dy.

Oleh itu, pembezaan fungsi ialah kenaikan dalam ordinat tangen yang dilukis pada graf fungsi pada titik tertentu apabila x dinaikkan oleh Dx.

Sifat-sifat pembezaan pada asasnya adalah sama dengan sifat terbitan:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2 .

Namun, ada harta yang penting pembezaan fungsi yang tiada terbitannya ialah invarian bentuk pembezaan.

Daripada takrifan pembezaan bagi fungsi y = f(x), pembezaan ialah dy = f`(x)dх. Jika fungsi y ini kompleks, i.e. y = f(u), dengan u = j(x), kemudian y = f dan f `(x) = f `(u)*u`. Kemudian dy = f`(u)*u`dx. Tetapi untuk fungsi
u = j(x) pembezaan du = u`dx. Oleh itu dy = f `(u)*du.

Membandingkan kesamaan dy = f `(x)dх dan dy = f `(u)*du, kami memastikan bahawa formula pembezaan tidak berubah jika bukannya fungsi pembolehubah bebas x kami mempertimbangkan fungsi bagi pembolehubah bersandar u. Sifat pembezaan ini dipanggil invarian (iaitu, invarian) bentuk (atau formula) pembezaan.

Walau bagaimanapun, masih terdapat perbezaan dalam kedua-dua formula ini: dalam yang pertama, pembezaan pembolehubah bebas adalah sama dengan kenaikan pembolehubah ini, i.e. dx = Dx, manakala dalam detik pembezaan fungsi du hanya mempunyai bahagian linear kenaikan fungsi ini Du dan hanya untuk Dх du » Du.