Bagaimana untuk mencari luas trapezoid melengkung? Luas trapezoid melengkung secara berangka sama dengan kamiran tertentu.

Topik: Mengira luas rajah rata menggunakan kamiran pasti

Tugasan: pelajari definisi dan formula untuk mencari kawasan trapezoid melengkung;

pertimbangkan pelbagai majlis mencari luas trapezium melengkung;

Dapat mengira luas trapezium melengkung.

Pelan:

Trapezoid lengkung.

Formula untuk mengira luas trapezoid melengkung.

Trapezoid lengkung angka dipanggil, yang dihadkan oleh graf fungsi berterusan, bukan negatif f (x) pada selang , segmen garis x=a dan x=b, serta segmen paksi-x antara titik a dan b.

Imej trapezoid melengkung:

Sekarang mari kita beralih kepada pilihan lokasi angka yang luasnya mesti dikira pada satah koordinat.

Pertama akan ada pilihan yang paling mudah (gambar pertama), yang biasa trapezoid melengkung, seperti dalam definisi. Tidak perlu mencipta apa-apa di sini, hanya ambil integral dari a sebelum ini b daripada fungsi f(x). Kami mencari integral - kami akan mengetahui luas trapezoid ini.


Dalam kedua pilihan, angka kita akan dihadkan bukan oleh paksi-x, tetapi oleh fungsi lain g(x). Oleh itu, untuk mencari kawasan CEFD, kita perlu mencari kawasan itu dahulu AEFB(menggunakan kamiran bagi f(x)), kemudian cari kawasan itu ACDB(menggunakan kamiran bagi g(x)). Dan kawasan yang dikehendaki dari angka itu CEFD, akan menjadi perbezaan antara kawasan pertama dan kedua trapezium lengkung. Oleh kerana sempadan penyepaduan adalah sama di sini, semua ini boleh ditulis di bawah satu kamiran (lihat formula di bawah rajah) semuanya bergantung pada kerumitan fungsi, dalam hal ini lebih mudah untuk mencari kamiran.



Ketiga sangat serupa dengan yang pertama, tetapi hanya trapezoid kami diletakkan, tidak berakhir paksi-x, dan di bawahnya. Oleh itu, di sini kita mesti mengambil kamiran yang sama, hanya dengan tanda tolak, kerana nilai kamiran akan menjadi negatif, dan nilai kawasan mestilah positif. Jika bukan fungsi f(x) mengambil satu fungsi -f(x), maka grafnya akan sama hanya dipaparkan secara simetri berbanding paksi-x.


DAN keempat pilihan apabila sebahagian daripada rajah kita berada di atas paksi-x, dan sebahagiannya berada di bawahnya. Oleh itu, kita mesti terlebih dahulu mencari luas angka itu AEFB, seperti dalam versi pertama, dan kemudian kawasan angka itu ABCD, seperti dalam pilihan ketiga dan kemudian tambahkannya. Akibatnya, kita mendapat luas angka itu DEFC. Oleh kerana sempadan penyepaduan adalah sama di sini, semua ini boleh ditulis di bawah satu kamiran (lihat formula di bawah rajah) semuanya bergantung pada kerumitan fungsi, dalam hal ini lebih mudah untuk mencari kamiran.

Soalan untuk pemeriksaan diri:

Apakah bentuk yang dipanggil trapezoid lengkung?

Bagaimana untuk mencari luas trapezoid melengkung?

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili tahap penuh pembentangan. Jika anda berminat kerja ini sila muat turun versi penuh.

Kata kunci: integral, trapezium melengkung, luas angka yang dibatasi oleh teratai

peralatan: papan putih, komputer, projektor multimedia

Jenis pelajaran: pelajaran-kuliah

Objektif Pelajaran:

• pendidikan: membentuk budaya kerja mental, mewujudkan situasi kejayaan bagi setiap pelajar, membentuk motivasi positif untuk belajar; membangunkan keupayaan untuk bercakap dan mendengar orang lain.
• membangun: pembentukan pemikiran bebas pelajar terhadap aplikasi pengetahuan dalam situasi yang berbeza kebolehan menganalisis dan membuat kesimpulan perkembangan logik membangunkan keupayaan untuk bertanya soalan dengan betul dan mencari jawapan kepada mereka. Meningkatkan pembentukan kemahiran pengiraan, pengiraan, membangunkan pemikiran pelajar semasa melaksanakan tugas yang dicadangkan, membangunkan budaya algoritma.
• pendidikan: untuk membentuk konsep tentang trapezoid melengkung, tentang kamiran, untuk menguasai kemahiran mengira luas angka rata

Kaedah pengajaran: penerangan dan ilustrasi.

Semasa kelas

Dalam kelas sebelumnya, kami belajar cara mengira kawasan angka yang sempadannya adalah garis putus. Dalam matematik, terdapat kaedah yang membolehkan anda mengira luas angka yang dibatasi oleh lengkung. Angka sedemikian dipanggil trapezoid curvilinear, dan kawasannya dikira menggunakan antiderivatif.

Trapezoid lengkung ( slaid 1)

Trapezoid melengkung ialah rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, ( w.m.), lurus x = a Dan x = b dan absis

Pelbagai jenis trapezium melengkung ( slaid 2)

Kami sedang mempertimbangkan jenis lain trapezoid melengkung dan perhatikan bahawa salah satu garisan merosot ke satu titik, peranan fungsi pengehad dimainkan oleh garis

Luas trapezoid melengkung (slaid 3)

Betulkan hujung kiri selang A, dan betul X kita akan menukar, iaitu, kita menggerakkan dinding kanan trapezoid curvilinear dan mendapatkan angka yang berubah. Luas trapezium lengkung berubah yang dibatasi oleh graf fungsi ialah antiterbitan F untuk fungsi f

Dan pada segmen [ a; b] luas trapezoid lengkung yang dibentuk oleh fungsi f, adalah sama dengan kenaikan antiterbitan fungsi ini:

Latihan 1:

Cari luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh graf fungsi: f(x) = x 2 dan langsung y=0, x=1, x=2.

Penyelesaian: ( mengikut algoritma slaid 3)

Lukiskan graf bagi fungsi dan garis

Mari cari salah satu fungsi antiderivatif f(x) = x 2 :

Semakan Kendiri Slaid

kamiran

Pertimbangkan trapezium lengkung yang diberikan oleh fungsi f pada segmen [ a; b]. Mari pecahkan segmen ini kepada beberapa bahagian. Luas keseluruhan trapezoid akan dibahagikan kepada jumlah kawasan trapezoid melengkung yang lebih kecil. ( slaid 5). Setiap trapezoid tersebut boleh dianggap sebagai segi empat tepat. Jumlah kawasan segi empat tepat ini memberikan gambaran anggaran keseluruhan kawasan trapezoid lengkung. Semakin kecil kita memecahkan segmen [ a; b], lebih tepat kita mengira luas.

Kami menulis pertimbangan ini dalam bentuk formula.

Bahagikan segmen [ a; b] kepada n bahagian dengan titik x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Panjang k- ke menandakan dengan xk = xk - xk-1. Mari kita ringkaskan

Secara geometri, jumlah ini ialah luas rajah yang berlorek dalam rajah ( sh.m.)

Jumlah bentuk dipanggil jumlah kamiran untuk fungsi f. (sch.m.)

Jumlah kamiran memberikan nilai anggaran kawasan. Nilai tepat diperoleh dengan melepasi had. Bayangkan bahawa kami memperhalusi partition segmen [ a; b] supaya panjang semua segmen kecil cenderung kepada sifar. Kemudian luas rajah yang digubah akan menghampiri kawasan trapezoid lengkung. Kita boleh mengatakan bahawa luas trapezoid melengkung adalah sama dengan had jumlah kamiran, Sk.t. (sch.m.) atau integral, iaitu,

Definisi:

fungsi integral f(x) daripada a sebelum ini b dipanggil had jumlah kamiran

= (sch.m.)

Formula Newton-Leibniz.

Ingat bahawa had jumlah kamiran adalah sama dengan luas trapezoid melengkung, jadi kita boleh menulis:

Sk.t. = (sch.m.)

Sebaliknya, luas trapezoid melengkung dikira dengan formula

S kepada. t. (sch.m.)

Membandingkan formula ini, kami mendapat:

= (sch.m.)

Kesamaan ini dipanggil formula Newton-Leibniz.

Untuk kemudahan pengiraan, formula ditulis sebagai:

= = (sch.m.)

Tugasan: (sch.m.)

1. Kira kamiran menggunakan formula Newton-Leibniz: ( semak slaid 5)

2. Susun kamiran mengikut lukisan ( semak pada slaid 6)

3. Cari luas rajah itu, dibatasi oleh garisan: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Slaid 7)

Mencari luas rajah satah ( slaid 8)

Bagaimana untuk mencari kawasan angka yang bukan trapezoid lengkung?

Biarkan dua fungsi diberikan, graf yang anda lihat pada slaid . (sch.m.) Cari luas rajah berlorek . (sch.m.). Adakah rajah yang dimaksudkan ialah trapezium lengkung? Dan bagaimana anda boleh mencari kawasannya, menggunakan sifat aditiviti kawasan itu? Pertimbangkan dua trapezium lengkung dan tolak luas yang satu lagi daripada luas salah satu daripadanya ( w.m.)

Mari kita buat algoritma untuk mencari kawasan daripada animasi pada slaid:

1. Fungsi Plot
2. Unjurkan titik persilangan graf pada paksi-x
3. Lorekkan rajah yang diperoleh dengan menyilang graf
4. Cari trapezium lengkung yang persilangan atau kesatuannya ialah rajah yang diberi.
5. Kira luas setiap satu
6. Cari beza atau hasil tambah luas

Tugas lisan: Bagaimana untuk mendapatkan kawasan angka berlorek (beritahu menggunakan animasi, slaid 8 dan 9)

Kerja rumah: Kerjakan abstrak, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografi

1. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 9-11 petang (shift) sekolah / ed. G.D. Glazer. - M: Pencerahan, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 10-11 sekolah menengah / Bashmakov M.I. - M: Pencerahan, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematik: buku teks untuk institusi bermula. dan purata prof. pendidikan / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk 10-11 sel. institusi pendidikan / A.N. Kolmogorov. - M: Pencerahan, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Bagaimana untuk membuat pembentangan untuk pelajaran? / S.L. Ostrovsky. – M.: Pertama bulan September, 2010.

Biarkan fungsi itu bukan negatif dan berterusan pada selang . Kemudian, menurut deria geometri daripada kamiran pasti, luas trapezium melengkung yang dibatasi dari atas oleh graf fungsi ini, dari bawah oleh paksi, dari kiri dan kanan dengan garis lurus dan (lihat Rajah 2) dikira dengan formula

Contoh 9 Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis dan paksi.

Penyelesaian. Graf Fungsi ialah parabola yang cabangnya menghala ke bawah. Mari kita bina (Gamb. 3). Untuk menentukan had penyepaduan, kita mencari titik persilangan garis (parabola) dengan paksi (garis lurus). Untuk melakukan ini, kami menyelesaikan sistem persamaan

Kita mendapatkan: , di mana , ; oleh itu, , .

nasi. 3

Luas rajah ditemui oleh formula (5):

Jika fungsi itu tidak positif dan berterusan pada segmen , maka luas trapezium lengkung, disempadani dari bawah oleh graf fungsi ini, dari atas oleh paksi, dari kiri dan kanan oleh garis lurus dan , ialah dikira dengan formula

. (6)

Jika fungsi berterusan pada selang dan perubahan log masuk nombor akhir mata, maka luas angka berlorek (Rajah 4) adalah sama dengan jumlah algebra kamiran pasti sepadan:

nasi. 4

Contoh 10 Kira luas rajah yang dibatasi oleh paksi dan graf fungsi untuk .

nasi. 5

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 5). Luas yang dikehendaki ialah jumlah kawasan dan . Mari cari setiap kawasan ini. Pertama, kita menentukan had penyepaduan dengan menyelesaikan sistem Kita mendapatkan , . Oleh itu:

;

.

Oleh itu, luas rajah berlorek ialah

(unit persegi).

nasi. 6

Biarkan, akhirnya, trapezium lengkung disempadani dari atas dan bawah oleh graf fungsi selanjar pada segmen dan ,
dan di kiri dan kanan - lurus dan (Rajah 6). Kemudian luasnya dikira dengan formula

. (8)

Contoh 11. Cari luas rajah yang dikelilingi oleh garis dan .

Penyelesaian. Angka ini ditunjukkan dalam Rajah. 7. Kami mengira luasnya menggunakan formula (8). Menyelesaikan sistem persamaan, kita dapati , ; oleh itu, , . Pada segmen kami ada: . Oleh itu, dalam formula (8) kita ambil sebagai x, dan sebagai - . Kita mendapatkan:

(unit persegi).

Lagi tugasan yang mencabar pengiraan kawasan diselesaikan dengan membahagikan rajah kepada bahagian yang tidak bersilang dan mengira luas keseluruhan rajah sebagai jumlah kawasan bahagian ini.

nasi. 7

Contoh 12. Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis , , .

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 8). Angka ini boleh dianggap sebagai trapezium lengkung yang dibatasi dari bawah oleh paksi, dari kiri dan kanan - dengan garis lurus dan , dari atas - dengan graf fungsi dan . Oleh kerana rajah itu dibatasi dari atas oleh graf dua fungsi, untuk mengira luasnya, kita bahagikan rajah lurus ini kepada dua bahagian (1 ialah absis titik persilangan garis dan). Luas setiap bahagian ini didapati dengan formula (4):

(unit persegi); (unit persegi). Oleh itu:

(unit persegi).

nasi. 8

X= j ( di)

nasi. 9

Kesimpulannya, kita ambil perhatian bahawa jika trapezoid lengkung dibatasi oleh garis lurus dan , paksi dan selanjar pada lengkung (Rajah 9), maka luasnya ditemui oleh formula

Isipadu badan revolusi

Biarkan trapezium melengkung dibatasi oleh graf fungsi berterusan pada segmen, paksi, garis lurus dan berputar mengelilingi paksi (Rajah 10). Kemudian isipadu badan revolusi yang terhasil dikira dengan formula

. (9)

Contoh 13 Kira isipadu jasad yang diperolehi dengan berputar mengelilingi paksi trapezium lengkung yang dibatasi oleh hiperbola , garis lurus dan paksi .

Penyelesaian. Mari buat lukisan (Gamb. 11).

Ia berikutan daripada keadaan masalah yang , . Dengan formula (9) kita perolehi

.

nasi. 10

nasi. sebelas

Isipadu jasad yang diperoleh melalui putaran mengelilingi paksi OU trapezoid lengkung yang dibatasi oleh garis lurus y = c Dan y = d, paksi OU dan graf bagi fungsi selanjar pada segmen (Rajah 12), ditentukan oleh formula

. (10)

X= j ( di)

nasi. 12

Contoh 14. Hitung isipadu jasad yang diperoleh melalui putaran mengelilingi paksi OU trapezoid melengkung yang dibatasi oleh garisan X 2 = 4di, y= 4, x = 0 (Gamb. 13).

Penyelesaian. Selaras dengan keadaan masalah, kita dapati had integrasi: , . Dengan formula (10) kita memperoleh:

nasi. 13

Panjang lengkok lengkung rata

Biarkan melengkung diberikan oleh persamaan, di mana , terletak dalam satah (Rajah 14).

nasi. 14

Definisi. Panjang lengkok difahamkan sebagai had panjang garis poli yang tertera dalam arka ini cenderung apabila bilangan pautan garis poli cenderung kepada infiniti, dan panjang pautan terbesar cenderung kepada sifar.

Jika fungsi dan terbitannya adalah selanjar pada segmen itu, maka panjang lengkok lengkung dikira dengan formula

. (11)

Contoh 15. Hitung panjang lengkok lengkok yang tertutup di antara titik-titik yang mana .

Penyelesaian. Dari keadaan masalah yang kita ada . Dengan formula (11) kita memperoleh:

.

4. Kamiran tak wajar
dengan had penyepaduan yang tidak terhingga

Apabila memperkenalkan konsep kamiran pasti, diandaikan bahawa dua syarat berikut dipenuhi:

a) had penyepaduan A dan adalah terhad;

b) kamiran dan bersempadan pada segmen .

Jika sekurang-kurangnya satu daripada syarat ini tidak dipenuhi, maka integral dipanggil tidak betul.

Mari kita pertimbangkan dahulu kamiran tak wajar dengan had kamiran tak terhingga.

Definisi. Biarkan fungsi ditakrifkan dan berterusan pada selang , kemudian dan tidak terikat di sebelah kanan (Rajah 15).

Jika kamiran tidak wajar bertumpu, maka kawasan ini adalah terhingga; jika kamiran tak wajar mencapah, maka kawasan ini adalah tak terhingga.

nasi. 15

Kamiran tak wajar dengan had bawah tak terhingga bagi penyepaduan ditakrifkan sama:

. (13)

Kamiran ini menumpu jika had di sebelah kanan kesamaan (13) wujud dan terhingga; jika tidak, kamiran itu dikatakan mencapah.

Kamiran tak wajar dengan dua had penyepaduan tak terhingga ditakrifkan seperti berikut:

, (14)

dengan с ialah sebarang titik selang . Kamiran menumpu hanya jika kedua-dua kamiran menumpu di sebelah kanan kesamaan (14).

;

G) = [pilih dalam penyebut persegi penuh: ] = [penggantian:

] =

Oleh itu, kamiran tak wajar menumpu dan nilainya adalah sama dengan .

Angka yang dibatasi oleh graf fungsi bukan negatif selanjar $f(x)$ pada selang $$ dan garisan $y=0, \ x=a$ dan $x=b$ dipanggil trapezoid lengkung.

Luas trapezoid curvilinear yang sepadan dikira dengan formula:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Masalah mencari luas trapezium melengkung kami akan membahagikan secara bersyarat kepada jenis $4$. Mari kita pertimbangkan setiap jenis dengan lebih terperinci.

Jenis I: trapezium melengkung diberikan secara eksplisit. Kemudian segera gunakan formula (*).

Sebagai contoh, cari luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=4-(x-2)^(2)$ dan garisan $y=0, \ x=1$ dan $x =3$.

Mari kita lukis trapezoid lengkung ini.

Menggunakan formula (*), kita dapati luas trapezoid curvilinear ini.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\kiri(4-(x-2)^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\kanan|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kiri((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kanan)=4 \cdot 2 - \frac (1)(3)\kiri((1)^(3)-(-1)^(3)\kanan) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Jenis II: trapezoid melengkung dinyatakan secara tersirat. Dalam kes ini, garis lurus $x=a, \ x=b$ biasanya tidak dinyatakan atau sebahagiannya ditentukan. Dalam kes ini, anda perlu mencari titik persilangan bagi fungsi $y=f(x)$ dan $y=0$. Mata ini ialah mata $a$ dan $b$.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$.

Mari cari titik persimpangan. Untuk melakukan ini, kami menyamakan bahagian fungsi yang betul.

Jadi $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis trapezoid lengkung ini.

Cari luas trapezoid lengkung ini.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\kanan)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kiri(1^(3)-(-1)^(3)\kanan)=2 – \frac(1)(3) \kiri(1+1\kanan) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Jenis III: luas rajah yang dibatasi oleh persilangan dua fungsi bukan negatif berterusan. Angka ini tidak akan menjadi trapezoid lengkung, yang bermaksud bahawa menggunakan formula (*) anda tidak boleh mengira luasnya. Bagaimana untuk menjadi? Ternyata luas rajah ini boleh didapati sebagai perbezaan antara kawasan trapezium lengkung yang dibatasi oleh fungsi atas dan $y=0$ ($S_(uf)$) dan fungsi bawah dan $y= 0$ ($S_(lf)$), di mana peranan $x=a, \ x=b$ dimainkan oleh $x$ koordinat titik persilangan fungsi ini, i.e.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Perkara yang paling penting apabila mengira kawasan tersebut adalah untuk tidak "terlepas" dengan pilihan fungsi atas dan bawah.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh fungsi $y=x^(2)$ dan $y=x+6$.

Mari cari titik persilangan graf ini:

Menurut teorem Vieta,

$x_(1)=-2, \ x_(2)=3.$

Iaitu, $a=-2, \ b=3$. Mari lukis bentuk:

Jadi fungsi atas ialah $y=x+6$ dan yang bawah ialah $y=x^(2)$. Seterusnya, cari $S_(uf)$ dan $S_(lf)$ menggunakan formula (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kiri.\frac(x^(2))(2)\kanan|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 ,5$ (unit $^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kiri.\frac(x^(3))(3)\kanan|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (unit$^(2)$).

Gantikan terdapat dalam (**) dan dapatkan:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (unit $^(2)$).

Jenis IV: luas angka, fungsi terhad(-s) yang tidak memenuhi syarat bukan negatif. Untuk mencari luas rajah sedemikian, anda perlu simetri tentang paksi $Ox$ ( Dalam kata lain, letakkan "tolak" di hadapan fungsi) paparkan kawasan dan, menggunakan kaedah yang diterangkan dalam jenis I - III, cari kawasan kawasan yang dipaparkan. Kawasan ini akan menjadi kawasan yang diperlukan. Pertama, anda mungkin perlu mencari titik persilangan graf fungsi.

Sebagai contoh, cari luas rajah yang dibatasi oleh graf bagi fungsi $y=x^(2)-1$ dan $y=0$.

Mari cari titik persilangan graf fungsi:

mereka. $a=-1$ dan $b=1$. Mari kita lukis kawasan.

Mari paparkan kawasan secara simetri:

$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Anda mendapat trapezoid melengkung yang dibatasi oleh graf fungsi $y=1-x^(2)$ dan $y=0$. Ini adalah masalah mencari trapezoid lengkung jenis kedua. Kami sudah menyelesaikannya. Jawapannya ialah: $S= 1\frac(1)(3)$ (unit $^(2)$). Jadi, luas trapezoid curvilinear yang dikehendaki adalah sama dengan:

$S=1\frac(1)(3)$ (unit$^(2)$).

Pertimbangkan trapezoid lengkung yang dibatasi oleh paksi Lembu, lengkung y \u003d f (x) dan dua garis lurus: x \u003d a dan x \u003d b (Rajah 85). Ambil nilai arbitrari x (hanya bukan a dan bukan b). Mari kita berikan kenaikan h = dx dan pertimbangkan jalur yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, oleh paksi Ox, dan oleh lengkok BD kepunyaan lengkung yang sedang dipertimbangkan. Jalur ini akan dipanggil jalur asas. Luas jalur asas berbeza daripada luas segi empat tepat ACQB oleh segi tiga lengkung BQD, dan luas yang terakhir kurang kawasan segi empat tepat BQDM dengan sisi BQ = h=dx) QD=Ay dan luas sama dengan hAy = Ay dx. Apabila sisi h berkurangan, sisi Du juga berkurangan dan, serentak dengan h, cenderung kepada sifar. Oleh itu, luas BQDM adalah sangat kecil daripada susunan kedua. Luas jalur asas ialah pertambahan luas, dan luas segi empat tepat ACQB, sama dengan AB-AC==/(x) dx> ialah pembezaan luas. Oleh itu, kami mencari kawasan itu sendiri dengan menyepadukan pembezaannya. Dalam had rajah yang dipertimbangkan, pembolehubah tidak bersandar l: berubah daripada a kepada b, jadi luas yang diperlukan 5 akan bersamaan dengan 5= \f (x) dx. (I) Contoh 1. Kirakan kawasan yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x *, garis lurus X \u003d - Fj-, x \u003d 1 dan paksi O * (Rajah 86). pada Rajah. 87. Rajah. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, had kamiran a = - dan t = 1, oleh itu 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Hitung luas yang dibatasi oleh sinusoid y = sinXy, paksi Ox dan garis lurus (Gamb. 87). Menggunakan formula (I), kita memperoleh L 2 S= J sinxdx= [-cos x] Q =0 -(-1) = lf dengan paksi Ox (contohnya, antara asalan dan titik dengan absis i). Perhatikan bahawa dari pertimbangan geometri jelas kawasan ini akan digandakan lebih banyak kawasan contoh sebelumnya. Walau bagaimanapun, mari kita lakukan pengiraan: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Sesungguhnya, andaian kami ternyata adil. Contoh 4. Kira luas yang dibatasi oleh sinusoid dan paksi ^ Ox pada satu titik (Rajah 88). Pertimbangan ras-figure awal mencadangkan bahawa kawasan itu akan menjadi empat kali lebih besar daripada dalam ms 2. Walau bagaimanapun, selepas melakukan pengiraan, kita mendapat “i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Keputusan ini memerlukan penjelasan. Untuk menjelaskan intipati perkara itu, kami juga mengira kawasan yang dibatasi oleh sinusoid y \u003d sin l yang sama: dan paksi Lembu antara l hingga 2n. Menggunakan formula (I), kita perolehi Oleh itu, kita melihat bahawa kawasan ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dikira dalam Ex. 3, kita dapati bahawa mereka nilai mutlak sama, tetapi tandanya berbeza. Jika kita menggunakan harta V (lihat Bab XI, § 4), maka kita mendapat secara tidak sengaja. Sentiasa kawasan di bawah paksi-x, dengan syarat pembolehubah bebas berubah dari kiri ke kanan, diperoleh dengan mengira menggunakan kamiran negatif. Dalam kursus ini, kami akan sentiasa mempertimbangkan kawasan yang tidak ditandatangani. Oleh itu, jawapan dalam contoh yang baru dianalisis adalah seperti berikut: kawasan yang diperlukan adalah sama dengan 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan dalam Rajah. 89. Kawasan ini dihadkan oleh paksi Ox, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x + \. Luas trapezoid melengkung Kawasan yang dicari OAB terdiri daripada dua bahagian: OAM dan MAB. Oleh kerana titik A ialah titik persilangan parabola dan garis lurus, kita akan mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y \u003d mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Menyelesaikan sistem, kita dapati l; =~. Oleh itu, kawasan itu perlu dikira dalam bahagian, pertama pl. OAM, dan kemudian pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x )