Garis manakah yang dipanggil ekuipotensi. Permukaan equipotential

Hubungan antara ketegangan dan potensi.

Untuk medan berpotensi, terdapat hubungan antara daya potensi (konservatif) dan tenaga potensi

di mana ("nabla") ialah pengendali Hamilton.

Kerana ia Itu

Tanda tolak menunjukkan bahawa vektor E diarahkan ke arah potensi menurun.

Untuk perwakilan grafik taburan potensi, permukaan ekuipotensi digunakan - permukaan di semua titik yang potensinya mempunyai nilai yang sama.

Permukaan ekuipotensi biasanya dijalankan supaya beza keupayaan antara dua permukaan ekuipotensi yang bersebelahan adalah sama. Kemudian ketumpatan permukaan ekuipotensi jelas mencirikan kekuatan medan pada titik yang berbeza. Di mana permukaan ini lebih tumpat, kekuatan medan lebih besar. Garis putus-putus dalam rajah menunjukkan garis-garis daya, garis pepejal menunjukkan bahagian-bahagian permukaan yang sama untuk: cas titik positif (a), satu dipol (b), dua cas dengan nama yang sama (c), logam bercas konduktor konfigurasi kompleks (d).

Untuk caj mata, potensi oleh itu permukaan ekuipotensi ialah sfera sepusat. Sebaliknya, garis tegangan adalah garis lurus jejari. Oleh itu, garisan tegangan adalah berserenjang dengan permukaan ekuipotensi.

Ia boleh ditunjukkan bahawa dalam semua kes vektor E adalah berserenjang dengan permukaan ekuipotensi dan sentiasa diarahkan ke arah potensi berkurangan.

Contoh pengiraan medan elektrostatik simetri yang paling penting dalam vakum.

1. Medan elektrostatik bagi dipol elektrik dalam vakum.

Dipol elektrik (atau tiang elektrik berganda) ialah sistem dua cas titik bertentangan nilai mutlak yang sama (+q, -q), jarak l antara yang jauh lebih kecil daripada jarak ke titik yang dipertimbangkan medan (l<< r).

Lengan dipol l ialah vektor yang diarahkan sepanjang paksi dipol dari cas negatif kepada positif dan sama dengan jarak antara mereka.

Momen elektrik bagi dipol semula ialah vektor yang bertepatan dalam arah dengan lengan dipol dan sama dengan hasil darab modulus cas |q| bahu saya:

Biarkan r ialah jarak ke titik A dari tengah paksi dipol. Kemudian, memandangkan itu

2) Kekuatan medan pada titik B pada serenjang dipulihkan kepada paksi dipol dari tengahnya pada

Titik B adalah sama jarak dari cas +q dan -q dipol, jadi potensi medan pada titik B ialah sifar. Vektor Yb diarahkan bertentangan dengan vektor l.

3) Dalam medan elektrik luaran, sepasang daya bertindak pada hujung dipol, yang cenderung untuk memutarkan dipol sedemikian rupa sehingga momen elektrik dipol berputar sepanjang arah medan E (Gamb. (a). )).

Dalam medan seragam luar, momen sepasang daya adalah sama dengan M = qElsin a atau Dalam medan luar yang tidak homogen (Gamb. (c)) daya yang bertindak pada hujung dipol adalah tidak sama dan paduannya cenderung untuk menggerakkan dipol ke kawasan medan dengan keamatan yang lebih besar - dipol ditarik ke kawasan medan yang lebih kuat.

2. Medan satah tak terhingga bercas seragam.

Satah tak terhingga dicas dengan ketumpatan permukaan malar Garis ketegangan adalah berserenjang dengan satah yang dipertimbangkan dan diarahkan daripadanya dalam kedua-dua arah.

Sebagai permukaan Gaussian, kita mengambil permukaan silinder, penjananya berserenjang dengan satah bercas, dan tapaknya selari dengan satah bercas dan terletak pada sisi bertentangan dengannya pada jarak yang sama.

Oleh kerana penjanaan silinder adalah selari dengan garis tegangan, aliran vektor tegangan melalui permukaan sisi silinder adalah sama dengan sifar, dan jumlah aliran melalui silinder adalah sama dengan jumlah aliran melalui tapaknya. 2ES. Caj di dalam silinder ialah . Mengikut teorem Gauss di mana:

E tidak bergantung pada panjang silinder, i.e. kekuatan medan pada sebarang jarak adalah sama dalam nilai mutlak. Medan sedemikian dipanggil homogen.

Beza keupayaan antara titik yang terletak pada jarak x1 dan x2 dari satah adalah sama dengan

3. Medan dua satah bercas bertentangan tak terhingga selari dengan ketumpatan cas permukaan nilai mutlak yang sama σ>0 dan - σ.

Ia berikutan daripada contoh sebelumnya bahawa vektor keamatan E 1 dan E 2 bagi satah pertama dan kedua adalah sama dalam nilai mutlak dan diarahkan ke mana-mana berserenjang dengan satah. Oleh itu, dalam ruang di luar satah, ia saling mengimbangi, dan dalam ruang antara satah, jumlah ketegangan . Oleh itu, antara pesawat

(dalam dielektrik.).

Medan antara pesawat adalah seragam. Perbezaan potensi antara pesawat.
(dalam dielektrik ).

4. Medan permukaan sfera bercas seragam.

Permukaan sfera jejari R dengan jumlah cas q dicas secara seragam dengan ketumpatan permukaan

Oleh kerana sistem caj dan, akibatnya, medan itu sendiri adalah simetri tengah berkenaan dengan pusat sfera, garisan tegangan diarahkan secara jejari.

Sebagai permukaan Gaussian, kami memilih sfera jejari r, yang mempunyai pusat sepunya dengan sfera bercas. Jika r>R, maka keseluruhan cas q masuk ke dalam permukaan. Dengan teorem Gauss, dari mana

Untuk r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Perbezaan potensi antara dua titik yang terletak pada jarak r 1 dan r 2 dari pusat sfera

(r1 >R,r2 >R), adalah sama dengan

Di luar sfera bercas, medan adalah sama dengan medan cas titik q yang terletak di tengah sfera. Tiada medan di dalam sfera bercas, jadi potensi adalah sama di mana-mana dan sama seperti di permukaan

ASAS TEORI KERJA.

Terdapat hubungan kamiran dan perbezaan antara kekuatan pecahan elektrik dan potensi elektrik:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Medan elektrik boleh diwakili secara grafik dalam dua cara, saling melengkapi: menggunakan permukaan ekuipotensi dan garis tegangan (garis daya).

Permukaan yang kesemua titiknya mempunyai potensi yang sama dipanggil permukaan ekuipotensi. Garis persilangannya dengan satah lukisan dipanggil ekuipotensi. Garis daya - garis, tangen yang pada setiap titik bertepatan dengan arah vektor E . Dalam Rajah 1, garis putus-putus menunjukkan ekuipotensial, garis pepejal menunjukkan garis daya medan elektrik.

Rajah 1

Perbezaan potensi antara titik 1 dan 2 ialah 0, kerana ia berada pada ekuipotensi yang sama. Dalam kes ini, daripada (1):

∫E dl = 0 atau ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Kerana ia E Dan dl dalam ungkapan (3) tidak sama dengan 0, maka cos ( Edl ) = 0 . Oleh itu, sudut antara equipotential dan garis medan ialah p/2.

Ia berikutan daripada hubungan pembezaan (2) bahawa garis-garis daya sentiasa diarahkan ke arah potensi menurun.

Magnitud kekuatan medan elektrik ditentukan oleh "ketebalan" garis daya. Semakin tebal garis daya, semakin kecil jarak antara ekuipotensi, sehingga garis daya dan ekuipotensi membentuk "persegi empat lengkung". Berdasarkan prinsip ini, adalah mungkin untuk membina gambar garis daya, mempunyai gambaran ekuipotensi, dan sebaliknya.

Gambaran ekuipotensi medan yang cukup lengkap membolehkan kita mengira pada titik yang berbeza nilai unjuran vektor keamatan E ke arah yang dipilih X , dipuratakan pada selang koordinat tertentu ∆x :

E rujuk. ∆х = - ∆ j /∆х,

di mana ∆x - menyelaraskan kenaikan apabila bergerak dari satu ekuipotensi ke yang lain,

∆ j - peningkatan yang sepadan dalam potensi,

E rujuk. ∆x - nilai purata E x antara dua potensi.

HURAIAN TEKNIK PEMASANGAN DAN PENGUKURAN.

Untuk memodelkan medan elektrik, adalah mudah untuk menggunakan analogi yang wujud antara medan elektrik yang dicipta oleh badan bercas dan medan elektrik arus terus yang mengalir melalui filem konduktif dengan kekonduksian seragam. Dalam kes ini, lokasi garisan daya medan elektrik ternyata serupa dengan lokasi garis arus elektrik.

Pernyataan yang sama adalah benar untuk potensi. Taburan potensi medan dalam filem pengalir adalah sama seperti dalam medan elektrik dalam vakum.

Sebagai filem konduktif, kertas konduktif elektrik dengan kekonduksian yang sama dalam semua arah digunakan dalam kerja.

Elektrod diletakkan di atas kertas supaya terdapat sentuhan yang baik antara setiap elektrod dan kertas konduktif.

Skim pengendalian pemasangan ditunjukkan dalam Rajah 2. Pemasangan terdiri daripada modul II, elemen luaran I, penunjuk III, bekalan kuasa IV. Modul ini digunakan untuk menyambungkan semua peranti yang digunakan. Elemen jauh ialah panel dielektrik 1, di mana helaian kertas putih 2 diletakkan, di atasnya adalah helaian kertas salinan 3, kemudian helaian kertas konduktif 4, di mana elektrod 5 dipasang. Voltan dibekalkan ke elektrod dari modul II menggunakan wayar penyambung. Penunjuk III dan probe 6 digunakan untuk menentukan potensi titik pada permukaan kertas konduktif elektrik.

Wayar dengan palam di hujung digunakan sebagai probe. Potensi j probe adalah sama dengan potensi titik pada permukaan kertas konduktif elektrik, yang disentuhnya. Set titik medan dengan potensi yang sama ialah imej ekuipotensi medan. Unit bekalan kuasa IV digunakan sebagai unit bekalan kuasa TES - 42, yang disambungkan ke modul menggunakan penyambung palam pada dinding belakang modul. Voltmeter V7 - 38 digunakan sebagai penunjuk Ш.

URUTAN PRESTASI KERJA.

1. Letakkan sehelai kertas putih pada panel 1 2. Letakkan kertas karbon 3 dan sehelai kertas konduktif 4 di atasnya (Gamb. 2).

2. Pasang elektrod 5 pada kertas konduktif elektrik dan kencangkan dengan nat.

3. Sambungkan unit bekalan kuasa IV (TEC-42) ke modul menggunakan penyambung palam pada dinding belakang modul.

4. Menggunakan dua wayar, sambungkan penunjuk III (V7-38 voltmeter) ke soket "PV" pada panel hadapan modul. Tekan butang yang sepadan pada voltmeter untuk mengukur voltan DC (Gamb. 2).

5. Dengan menggunakan dua konduktor, sambungkan elektrod 5 ke modul P.

6. Sambungkan probe (wayar dengan dua palam) ke soket pada panel hadapan modul.

7. Sambungkan dirian ke rangkaian 220 V. Hidupkan bekalan kuasa umum pendirian.

Mari kita cari hubungan antara kekuatan medan elektrostatik, yang mana adalah ciri kuasa, dan potensi - ciri tenaga medan. Kerja penempatan semula bujang titik cas positif dari satu titik medan ke titik lain di sepanjang paksi X dengan syarat bahawa titik-titik tersebut adalah hampir tidak terhingga antara satu sama lain dan x 1 – x 2 = dx , sama dengan E x dx . Kerja yang sama adalah sama dengan j 1 -j 2 = dj . Menyamakan kedua-dua ungkapan, kita boleh menulis

di mana simbol terbitan separa menekankan bahawa pembezaan dibuat hanya berkenaan dengan X. Mengulangi penaakulan yang serupa untuk paksi y dan z , kita boleh mencari vektor E:

di mana i, j, k - vektor unit paksi koordinat x, y, z.

Daripada takrifan kecerunan (12.4) dan (12.6). mengikuti itu

iaitu, kekuatan medan E adalah sama dengan kecerunan potensi dengan tanda tolak. Tanda tolak ditentukan oleh fakta bahawa vektor kekuatan medan E diarahkan kepada arah ke bawah potensi.

Untuk gambaran grafik taburan potensi medan elektrostatik, seperti dalam kes medan graviti (lihat § 25), permukaan ekuipotensi digunakan - permukaan pada semua titik yang potensi j mempunyai nilai yang sama.

Jika medan dicipta oleh caj titik, maka potensinya, mengikut (84.5),

Oleh itu, permukaan ekuipotensi dalam kes ini ialah sfera sepusat. Sebaliknya, garis tegangan dalam kes cas titik ialah garis lurus jejari. Oleh itu, garis ketegangan dalam kes cas titik berserenjang permukaan yang sama.

Garis ketegangan selalu biasa kepada permukaan yang sama. Sesungguhnya, semua titik permukaan sama mempunyai potensi yang sama, jadi kerja menggerakkan cas sepanjang permukaan ini adalah sifar, iaitu, daya elektrostatik yang bertindak ke atas cas, Sentiasa diarahkan sepanjang normal ke permukaan ekuipotensi. Oleh itu, vektor E sentiasa normal kepada permukaan yang sama, dan oleh itu garisan vektor E adalah ortogon kepada permukaan ini.

Terdapat bilangan permukaan ekuipotensi yang tidak terhingga di sekeliling setiap cas dan setiap sistem cas. Walau bagaimanapun, ia biasanya dijalankan supaya perbezaan potensi antara mana-mana dua permukaan ekuipotensi bersebelahan adalah sama. Kemudian ketumpatan permukaan ekuipotensi jelas mencirikan kekuatan medan pada titik yang berbeza. Di mana permukaan ini lebih tumpat, kekuatan medan lebih besar.

Oleh itu, dengan mengetahui lokasi garisan kekuatan medan elektrostatik, adalah mungkin untuk membina permukaan ekuipotensi dan, sebaliknya, dari lokasi permukaan ekuipotensi yang diketahui, adalah mungkin untuk menentukan modulus dan arah kekuatan medan pada setiap titik. daripada padang. Pada rajah. 133 misalnya menunjukkan pandangan garis tegangan (garis putus-putus) dan permukaan ekuipotensi (garis pepejal) medan cas titik positif (a) dan silinder logam bercas yang mempunyai tonjolan pada satu hujung dan lekukan pada hujung yang lain. (b).

Untuk perwakilan visual medan vektor, corak garis daya digunakan. Garis daya adalah matematik khayalan lengkung di ruang angkasa, arah tangen yang di setiap titik yang dilaluinya bertepatan dengan arah vektor medan pada titik yang sama(Gamb. 1.17).
nasi. 1.17:
Keadaan selari bagi vektor E → dan tangen boleh ditulis sebagai kesamaan kepada sifar hasil vektor E → dan unsur lengkok d r → garis medan:

Equipotential ialah permukaan yang merupakan nilai tetap bagi potensi elektrikφ . Dalam bidang cas titik, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. , permukaan sfera dengan pusat di lokasi cas adalah sama; ini dapat dilihat daripada persamaan ϕ = q ∕ r = const .

Menganalisis geometri garisan elektrik daya dan permukaan sama kuasa, seseorang boleh menunjukkan beberapa sifat umum geometri medan elektrostatik.

Pertama, garisan daya bermula pada caj. Mereka sama ada pergi ke infiniti atau berakhir dengan caj lain, seperti dalam Rajah. .

nasi. 1.19:

Kedua, dalam medan berpotensi garis-garis daya tidak boleh ditutup. Jika tidak, adalah mungkin untuk menunjukkan gelung tertutup sedemikian sehingga kerja medan elektrik apabila menggerakkan cas sepanjang gelung ini tidak sama dengan sifar.

Ketiga, garisan daya bersilang mana-mana ekuipotensi sepanjang garis normal kepadanya. Sesungguhnya, medan elektrik diarahkan ke mana-mana ke arah penurunan terpantas dalam potensi, dan pada permukaan ekuipotensi potensi adalah malar mengikut definisi (Rajah ).
nasi. 1.20 :
Dan akhirnya, garis daya tidak bersilang di mana-mana kecuali untuk titik di mana E → = 0 . Persilangan garis medan bermakna medan di titik persilangan ialah fungsi koordinat yang tidak jelas, dan vektor E → tidak mempunyai arah yang pasti. Satu-satunya vektor yang mempunyai sifat ini ialah vektor nol. Struktur medan elektrik berhampiran titik sifar akan dianalisis dalam masalah ke ?? .

Kaedah garis daya, sudah tentu, boleh digunakan untuk perwakilan grafik mana-mana medan vektor. Jadi, dalam bab kita akan memenuhi konsep garis daya magnet. Walau bagaimanapun, geometri medan magnet adalah berbeza sama sekali daripada geometri medan elektrik.

nasi. 1.21:
Konsep garis daya berkait rapat dengan konsep tiub daya. Marilah kita mengambil mana-mana gelung tertutup L yang sewenang-wenangnya dan lukis garis daya elektrik melalui setiap titiknya (Gamb. ). Garisan ini membentuk tiub daya. Pertimbangkan bahagian arbitrari tiub oleh permukaan S . Kami melukis normal positif dalam arah yang sama seperti garis daya diarahkan. Biarkan N ialah aliran vektor E → melalui bahagian S . Adalah mudah untuk melihat bahawa jika tiada cas elektrik di dalam tiub, maka fluks N kekal sama di sepanjang keseluruhan panjang tiub. Untuk membuktikannya, kita perlu mengambil satu lagi keratan rentas S '. Menurut teorem Gauss, aliran medan elektrik melalui permukaan tertutup yang dihadkan oleh permukaan sisi tiub dan bahagian S , S ′ adalah sama dengan sifar, kerana tiada cas elektrik di dalam tiub kuasa. Aliran melalui permukaan sisi adalah sifar, kerana vektor E → menyentuh permukaan ini. Oleh itu, aliran melalui bahagian S ′ secara berangka sama dengan N , tetapi bertentangan dalam tanda. Normal luar ke permukaan tertutup pada bahagian ini diarahkan bertentangan n → . Jika kita mengarahkan normal ke arah yang sama, maka aliran melalui bahagian S dan S ' akan bertepatan kedua-dua dalam magnitud dan dalam tanda. Khususnya, jika tiub itu nipis tak terhingga dan bahagian S dan S′ adalah normal untuknya, maka

E S = E′ S′ .

Ternyata analogi lengkap dengan aliran bendalir tidak boleh mampat. Di mana tiub lebih nipis, medan E → lebih kuat. Di tempat yang lebih luas, medan E → lebih kuat. Oleh itu, kekuatan medan elektrik boleh dinilai dari ketumpatan garis daya.

Sebelum penciptaan komputer, untuk pembiakan percubaan garis medan, bekas kaca dengan bahagian bawah rata telah diambil dan cecair tidak konduktif, seperti minyak kastor atau gliserin, dituangkan ke dalamnya. Hablur serbuk gipsum, asbestos atau mana-mana zarah bujur lain dicampur sama rata ke dalam cecair. Elektrod logam telah direndam dalam cecair. Apabila disambungkan kepada sumber elektrik, elektrod mengujakan medan elektrik. Dalam bidang ini, zarah-zarah dielektrikkan dan, tertarik antara satu sama lain oleh hujung elektrik yang bertentangan, disusun dalam bentuk rantai di sepanjang garis daya. Gambar garis medan diherotkan oleh aliran bendalir yang disebabkan oleh daya yang bertindak ke atasnya dalam medan elektrik yang tidak homogen.

Untuk Diselesaikan
nasi. 1.22:
Keputusan terbaik diperoleh dengan kaedah yang digunakan oleh Robert W. Pohl (1884-1976). Elektrod keluli dilekatkan pada plat kaca, di antaranya voltan elektrik dicipta. Kemudian, zarah memanjang, sebagai contoh, kristal gipsum, dituangkan ke atas pinggan, dengan ringan mengetuknya. Mereka terletak di sepanjang garis kekuatan. Pada rajah. ?? gambar garis daya yang diperoleh dengan cara ini antara dua bulatan bingkai yang bercas bertentangan digambarkan.

▸ Tugasan 9.1

Tulis persamaan garis medan dalam ortogonal arbitrari koordinat.

▸ Tugasan 9.2

Tuliskan persamaan garis daya dalam koordinat sfera.

Perwakilan grafik medan boleh disusun bukan sahaja dengan garis ketegangan, tetapi juga dengan bantuan perbezaan potensi. Jika kita menggabungkan titik dengan potensi yang sama dalam medan elektrik, maka kita mendapat permukaan yang berpotensi sama, atau kerana ia juga dipanggil permukaan ekuipotensi. Di persimpangan dengan satah lukisan, permukaan ekuipotensi memberikan garisan yang sama. Dengan melukis garisan ekuipotensi yang sepadan dengan nilai potensi yang berbeza, kami mendapat gambaran yang jelas yang mencerminkan bagaimana potensi medan tertentu berubah. Bergerak di sepanjang permukaan equipotential cas tidak memerlukan kerja, kerana semua titik medan sepanjang permukaan sedemikian mempunyai potensi yang sama dan daya yang bertindak pada cas sentiasa berserenjang dengan pergerakan.

Oleh itu, garisan tegangan sentiasa berserenjang dengan permukaan yang mempunyai potensi yang sama.

Gambaran medan yang paling menggambarkan akan ditunjukkan jika garisan ekuipotensi digambarkan dengan perubahan potensi yang sama, contohnya, 10 V, 20 V, 30 V, dsb. Dalam kes ini, kadar perubahan berpotensi akan berkadar songsang dengan jarak antara garis ekuipotensi bersebelahan. Iaitu, ketumpatan garisan ekuipotensi adalah berkadar dengan kekuatan medan (semakin tinggi kekuatan medan, lebih dekat garisan dilukis). Mengetahui garisan ekuipotensi, adalah mungkin untuk membina garisan keamatan medan yang sedang dipertimbangkan dan sebaliknya.

Oleh itu, imej medan dengan bantuan garisan ekuipotensi dan garis tegangan adalah setara.

Penomboran garisan sama potensi dalam lukisan

Selalunya, garisan ekuipotensi dalam lukisan dinomborkan. Untuk menunjukkan perbezaan potensi dalam lukisan, garisan sewenang-wenangnya ditunjukkan oleh nombor 0, nombor 1,2,3, dan lain-lain diletakkan berhampiran semua garisan lain. Nombor-nombor ini menunjukkan perbezaan potensi dalam volt antara garis ekuipotensi yang dipilih dan garis yang dipilih sebagai sifar. Pada masa yang sama, kami perhatikan bahawa pilihan garis sifar tidak penting, kerana hanya beza potensi untuk dua permukaan mempunyai makna fizikal, dan ia tidak bergantung pada pilihan sifar.

Medan cas titik dengan cas positif

Pertimbangkan sebagai contoh medan cas titik, yang mempunyai cas positif. Garisan medan cas titik ialah garis lurus jejari, oleh itu, permukaan ekuipotensi ialah sistem sfera sepusat. Garisan medan berserenjang dengan permukaan sfera pada setiap titik medan. Garisan ekuipotensi ialah bulatan sepusat. Untuk cas positif, Rajah 1 mewakili garis ekuipotensi. Untuk cas negatif, Rajah 2 mewakili garis ekuipotensi.

Yang jelas daripada formula yang menentukan potensi medan cas titik apabila potensi dinormalisasi kepada infiniti ($\varphi \left(\infty \right)=0$):

\[\varphi =\frac(1)(4\pi \varepsilon (\varepsilon )_0)\frac(q)(r)\kiri(1\kanan).\]

Sistem satah selari, yang berada pada jarak yang sama antara satu sama lain, adalah permukaan sama keupayaan bagi medan elektrik seragam.

Contoh 1

Tugas: Potensi medan yang dicipta oleh sistem caj mempunyai bentuk:

\[\varphi =a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,\]

di mana $a,b$ ialah pemalar lebih besar daripada sifar. Apakah bentuk permukaan yang sama kuasa?

Permukaan ekuipotensi, seperti yang kita ketahui, adalah permukaan yang potensinya adalah sama pada sebarang titik. Mengetahui perkara di atas, kita akan mengkaji persamaan yang dicadangkan dalam keadaan masalah. Bahagikan sisi kanan dan kiri persamaan $=a\left(x^2+y^2\right)+bz^2,$ dengan $\varphi $, kita dapat:

\[(\frac(a)(\varphi )x)^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2+\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left( 1.1\kanan).\]

Kami menulis persamaan (1.1) dalam bentuk kanonik:

\[\frac(x^2)((\left(\sqrt(\frac(\varphi )(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\sqrt( \frac(\varphi )(a))\kanan))^2)+\frac(z^2)((\kiri(\sqrt(\frac(\varphi )(b))\kanan))^2) =1\ (1.2)\]

Persamaan $(1.2)\ $ menunjukkan bahawa rajah yang diberi ialah elipsoid revolusi. Aci gandarnya

\[\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi)(b)).\]

Jawapan: Permukaan ekuipotensi bagi medan tertentu ialah elipsoid revolusi dengan separuh paksi ($\sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a)),\ \sqrt (\frac( \varphi )(b))$).

Contoh 2

Tugas: Potensi medan mempunyai bentuk:

\[\varphi =a\kiri(x^2+y^2\kanan)-bz^2,\]

di mana $a,b$ -- $const$ lebih besar daripada sifar. Apakah permukaan ekuipotensi?

Pertimbangkan kes apabila $\varphi >0$. Mari kita bawa persamaan yang diberikan dalam keadaan masalah kepada bentuk kanonik, untuk ini kita bahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan $\varphi ,$ kita dapat:

\[\frac(a)(\varphi )x^2+(\frac(a)(\varphi )y)^2-\frac(b)(\varphi )z^2=1\ \left(2.1\ betul).\]

\[\frac(x^2)(\frac(\varphi )(a))+\frac(y^2)(\frac(\varphi )(a))-\frac(z^2)(\frac (\varphi )(b))=1\ \kiri(2.2\kanan).\]

Dalam (2.2) kita telah memperoleh persamaan kanonik bagi hiperboloid satu helaian. Semipaksinya ialah ($\sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\kanan),\ \sqrt(\frac(\varphi )(a))\left(real\ semiaxis\kanan ),\ \sqrt(\frac(\varphi )(b))(khayalan\ semipaksi)$).

Pertimbangkan kes di mana $\varphi

Mari kita wakili $\varphi =-\left|\varphi \kanan|$ Mari kita bawa persamaan yang diberikan dalam keadaan masalah kepada bentuk kanonik, untuk ini kita bahagikan kedua-dua bahagian persamaan dengan tolak modulus $\varphi ,$ kita mendapatkan:

\[-\frac(a)(\kiri|\varphi \kanan|)x^2-(\frac(a)(\kiri|\varphi \kanan|)y)^2+\frac(b)(\ kiri|\varphi \kanan|)z^2=1\ \kiri(2.3\kanan).\]

Mari kita tulis semula persamaan (1.1) dalam bentuk:

\[-\frac(x^2)(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(a))-\frac(y^2)(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(a ))+\frac(z^2)(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(b))=1\ \kiri(2.4\kanan).\]

Kami telah memperoleh persamaan kanonik hiperboloid dua helaian, separuh paksinya:

($\sqrt(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(a))\kiri(khayalan\ semipaksi\kanan),\ \sqrt(\frac(\kiri|\varphi \kanan|)(a) )\left(khayalan\ semipaksi\kanan),\ \sqrt(\frac(\left|\varphi \right|)(b))(\ real\ semiaxis)$).

Pertimbangkan kes apabila $\varphi =0.$ Kemudian persamaan medan mempunyai bentuk:

Mari kita tulis semula persamaan (2.5) dalam bentuk:

\[\frac(x^2)((\left(\frac(1)(\sqrt(a))\right))^2)+\frac(y^2)((\left(\frac(1 )(\sqrt(a))\kanan))^2)-\frac(z^2)((\kiri(\frac(1)(\sqrt(b))\kanan))^2)=0\ kiri(2.6\kanan).\]

Kami telah memperoleh persamaan kanonik bagi kon bulat tegak berdasarkan elips dengan separuh paksi $(\frac(\sqrt(b))(\sqrt(a))$;$\ \frac(\sqrt(b))(\ sqrt(a ))$).

Jawapan: Sebagai permukaan ekuipotensi untuk persamaan potensi tertentu, kami telah memperoleh: untuk $\varphi >0$, hiperboloid satu helaian, untuk $\varphi