Darjah yang sama. Ukuran darjah lengkok bulatan

Sudut ialah rajah yang terdiri daripada satu titik - puncak sudut dan dua garis separuh berbeza yang terpancar dari titik ini - sisi sudut (Rajah 14). Jika sisi suatu sudut adalah pelengkap setengah garis, maka sudut itu disebut sudut lurus.

Sudut ditunjukkan sama ada dengan menunjukkan bucunya, atau dengan menunjukkan sisinya, atau dengan menunjukkan tiga titik: bucu dan dua titik pada sisi sudut. Perkataan "sudut" kadangkala diganti

Sudut dalam Rajah 14 boleh diwakili dalam tiga cara:

Sinar c dikatakan melalui antara sisi sudut jika ia datang dari bucunya dan memotong beberapa ruas dengan hujung di sisi sudut itu.

Dalam rajah 15, sinar c melepasi antara sisi sudut kerana ia bersilang dengan ruas

Dalam kes sudut lurus, sebarang sinar yang terpancar dari bucunya dan berbeza dari sisinya melepasi antara sisi sudut itu.

Sudut diukur dalam darjah. Jika kita mengambil sudut lurus dan membahagikannya dengan 180 sudut yang sama Itu ukuran darjah setiap sudut ini dipanggil darjah.

Sifat utama mengukur sudut dinyatakan dalam aksiom berikut:

Setiap sudut mempunyai ukuran darjah tertentu, sifar besar. Sudut yang dibangunkan ialah 180°. Ukuran darjah sudut adalah sama dengan jumlah ukuran darjah sudut yang mana ia dibahagikan dengan mana-mana sinar yang melalui antara sisinya.

Ini bermakna jika sinar c melalui antara sisi sudut, maka sudut itu sama dengan jumlah sudut

Ukuran darjah sudut didapati menggunakan protraktor.

Sudut yang sama dengan 90° dipanggil sudut tegak. Sudut kurang daripada 90° dipanggil sudut akut. Sudut yang lebih besar daripada 90° dan kurang daripada 180° dipanggil sudut tumpul.

Mari kita rumuskan sifat utama memberhentikan sudut.

Dari mana-mana garis separuh ke separuh satah tertentu, seseorang boleh meletakkan sudut dengan ukuran darjah tertentu kurang daripada 180 °, dan hanya satu.

Pertimbangkan separuh garis a. Kami memanjangkannya melepasi titik permulaan A. Garis lurus yang terhasil membahagikan satah kepada dua satah separuh. Rajah 16 menunjukkan cara menggunakan protraktor untuk mengetepikan sudut dengan ukuran darjah 60 ° daripada garis separuh a ke separuh satah atas.

T. 1. 2. Jika dua sudut diketepikan daripada setengah garis yang diberikan dalam satu separuh satah, maka sisi sudut yang lebih kecil, yang berbeza daripada garis separuh yang diberikan, melalui antara sisi sudut yang lebih besar. .

Biarkan sudut daripada setengah garis a yang diberi menjadi satu setengah satah, dan biarkan sudut kurang daripada sudut . Teorem 1.2 menyatakan bahawa sinar melalui antara sisi sudut (Rajah 17).

Pembahagi dua sudut ialah sinar yang datang dari bucunya, melepasi antara sisi dan membahagikan sudut itu kepada separuh. Dalam rajah 18, sinar ialah pembahagi dua sudut

Dalam geometri, terdapat konsep sudut satah. Sudut satah ialah bahagian satah yang dibatasi oleh dua sinar berbeza yang terpancar dari titik yang sama. Sinar ini dipanggil sisi sudut. Terdapat dua sudut rata dengan sisi yang diberikan. Mereka dipanggil tambahan. Dalam Rajah 19, salah satu bucu rata dengan sisi a dan

Nota PENTING!
1. Jika bukannya formula anda melihat abracadabra, kosongkan cache anda. Bagaimana untuk melakukannya dalam penyemak imbas anda ditulis di sini:
2. Sebelum anda mula membaca artikel itu, perhatikan pelayar kami sepenuhnya sumber yang berguna Untuk

Terma asas.

Sejauh manakah anda mengingati semua nama yang dikaitkan dengan kalangan itu? Untuk berjaga-jaga, kami ingat - lihat gambar - segarkan pengetahuan anda.

pertama - Pusat bulatan ialah titik di mana semua titik pada bulatan adalah jarak yang sama.

Kedua - jejari - segmen garis yang menghubungkan pusat dan titik pada bulatan.

Terdapat banyak jejari (sebanyak mana terdapat titik pada bulatan), tetapi semua jejari mempunyai panjang yang sama.

Kadang-kadang pendek jejari mereka memanggilnya panjang segmen"pusat ialah titik pada bulatan", dan bukan segmen itu sendiri.

Dan inilah yang berlaku jika anda menyambung dua titik pada bulatan? Juga potongan?

Jadi, segmen ini dipanggil "chord".

Sama seperti dalam kes jejari, diameter sering dipanggil panjang segmen yang menghubungkan dua titik pada bulatan dan melalui pusat. By the way, bagaimanakah diameter dan jejari berkaitan? Lihat dengan teliti. Sudah tentu, jejari ialah separuh diameter.

Selain kord, ada juga sekan.

Adakah anda ingat yang paling mudah?

Sudut pusat ialah sudut antara dua jejari.

Dan kini sudut yang tertulis

Sudut tersurat ialah sudut antara dua kord yang bersilang pada satu titik pada bulatan.

Dalam kes ini, mereka mengatakan bahawa sudut yang tertulis bergantung pada arka (atau pada kord).

Tengok gambar:

Mengukur lengkok dan sudut.

Ukur lilit. Lengkok dan sudut diukur dalam darjah dan radian. Pertama, tentang darjah. Tiada masalah untuk sudut - anda perlu belajar cara mengukur lengkok dalam darjah.

Ukuran darjah (nilai lengkok) ialah nilai (dalam darjah) sudut pusat yang sepadan

Apakah maksud perkataan "sesuai" di sini? Mari lihat dengan teliti:

Lihat dua lengkok dan dua sudut pusat? Nah, lengkok yang lebih besar sepadan dengan sudut yang lebih besar (dan tidak mengapa ia lebih besar), dan lengkok yang lebih kecil sepadan dengan sudut yang lebih kecil.

Jadi, kami bersetuju: lengkok mengandungi bilangan darjah yang sama dengan sudut pusat yang sepadan.

Dan sekarang tentang yang dahsyat - tentang radian!

Apakah jenis haiwan "radian" ini?

Bayangkan ini: radian ialah satu cara untuk mengukur sudut... dalam jejari!

Sudut radian ialah sudut tengah, yang panjang lengkoknya adalah sama dengan jejari bulatan.

Kemudian timbul persoalan - berapa banyak radian dalam sudut lurus?

Dalam erti kata lain: berapa banyak jejari "muat" dalam separuh bulatan? Atau dengan cara lain: berapa kali panjang separuh bulatan lebih besar daripada jejari?

Soalan ini ditanya oleh saintis di Greece purba.

Oleh itu, selepas pencarian yang panjang, mereka mendapati bahawa nisbah lilitan kepada jejari tidak mahu dinyatakan dalam nombor "manusia", seperti, dsb.

Dan tidak mungkin untuk menyatakan sikap ini melalui akarnya. Iaitu, ternyata seseorang tidak boleh mengatakan bahawa separuh daripada bulatan adalah dua kali atau kali jejari! Bolehkah anda bayangkan betapa menakjubkannya apabila menemui orang buat kali pertama?! Untuk nisbah panjang separuh bulatan kepada jejari, nombor "normal" sudah memadai. Saya terpaksa memasukkan surat.

Jadi, ialah nombor yang menyatakan nisbah panjang separuh bulatan kepada jejari.

Sekarang kita boleh menjawab soalan: berapa banyak radian dalam sudut lurus? Ia mempunyai radian. Tepat kerana separuh daripada bulatan ialah dua kali jejari.

Orang purba (dan tidak begitu) sepanjang zaman (!) mereka cuba mengira nombor misteri ini dengan lebih tepat, untuk menyatakannya dengan lebih baik (sekurang-kurangnya lebih kurang) melalui nombor "biasa". Dan sekarang kita sangat malas - dua tanda selepas sibuk sudah cukup untuk kita, kita sudah biasa

Fikirkanlah, ini bermakna, sebagai contoh, bahawa y bulatan dengan jejari satu adalah lebih kurang sama panjangnya, dan adalah mustahil untuk menulis panjang ini dengan nombor "manusia" - anda memerlukan surat. Dan kemudian lilitan ini akan sama. Dan sudah tentu, lilitan jejari adalah sama.

Mari kita kembali kepada radian.

Kita telah pun mengetahui bahawa sudut lurus mengandungi radian.

Apa yang kita ada:

Sangat gembira, itu gembira. Dengan cara yang sama, plat dengan sudut yang paling popular diperolehi.

Nisbah antara nilai sudut tersurat dan pusat.

Terdapat fakta yang menakjubkan:

Nilai sudut tersurat ialah separuh daripada sudut pusat yang sepadan.

Lihat bagaimana kenyataan ini kelihatan dalam gambar. Sudut pusat "sepadan" ialah sudut di mana hujungnya bertepatan dengan hujung sudut bertulis, dan bucu berada di tengah. Dan pada masa yang sama, sudut pusat "sepadan" mesti "melihat" pada kord () yang sama dengan sudut tertera.

Kenapa begitu? Mari kita lihat dahulu kes mudah. Biarkan salah satu kord melepasi pusat. Lagipun, itu berlaku kadang-kadang, bukan?

Apa yang berlaku disini? Pertimbangkan. Ia adalah isosceles - selepas semua, dan adalah jejari. Jadi, (ditandakan mereka).

Sekarang mari kita lihat. Ini sudut luar! Kami ingat bahawa sudut luaran adalah sama dengan jumlah dua sudut dalaman yang tidak bersebelahan dengannya, dan tulis:

Itu dia! Kesan yang tidak dijangka. Tetapi terdapat juga sudut tengah untuk yang tertulis.

Jadi, untuk kes ini, kami membuktikan bahawa sudut pusat adalah dua kali ganda sudut tersurat. Tetapi ia menyakitkan kes istimewa: adakah benar kord tidak selalu melalui pusat? Tetapi tiada apa, kini kes khas ini akan banyak membantu kita. Lihat: kes kedua: biarkan bahagian tengah terletak di dalam.

Mari kita lakukan ini: lukis diameter. Dan kemudian ... kita melihat dua gambar yang telah dianalisis dalam kes pertama. Oleh itu, kita sudah ada

Jadi (pada lukisan itu, a)

Nah, dan tinggal kes terakhir: Pusat di luar sudut.

Kami melakukan perkara yang sama: lukis diameter melalui titik. Segala-galanya adalah sama, tetapi bukannya jumlah - perbezaan.

Itu sahaja!

Sekarang mari kita bentuk dua akibat utama dan sangat penting dari pernyataan bahawa sudut tertulis adalah separuh dari pusat.

Akibat 1

Semua sudut tersurat yang bersilang dengan lengkok yang sama adalah sama.

Kami menggambarkan:

Sudut tertulis berdasarkan lengkok yang sama (kami mempunyai lengkok ini) - tak terkira, ia mungkin kelihatan sangat berbeza, tetapi kesemuanya mempunyai sudut pusat yang sama (), yang bermaksud bahawa semua sudut yang tertera ini adalah sama antara satu sama lain.

Akibat 2

Sudut berdasarkan diameter ialah sudut tegak.

Lihat: sudut mana yang berpusat?

Pastinya, . Tetapi dia sama! Nah, itulah sebabnya (serta banyak sudut tertulis berdasarkan) dan sama dengan.

Sudut antara dua kord dan sekan

Tetapi bagaimana jika sudut yang kita minati BUKAN tertulis dan BUKAN pusat, tetapi, sebagai contoh, seperti ini:

atau macam ni?

Adakah mungkin untuk menyatakannya melalui beberapa sudut pusat? Ternyata anda boleh. Lihat, kami berminat.

a) (sebagai sudut luar untuk). Tetapi - tertulis, berdasarkan arka - . - tertulis, berdasarkan arka - .

Untuk kecantikan mereka berkata:

Sudut antara kord adalah sama dengan separuh jumlah nilai sudut lengkok yang termasuk dalam sudut ini.

Ini ditulis untuk ringkas, tetapi sudah tentu, apabila menggunakan formula ini, anda perlu mengingati sudut pusat

b) Dan sekarang - "di luar"! Bagaimana untuk menjadi? Ya, hampir sama! Hanya sekarang (sekali lagi gunakan sifat sudut luar untuk). Itulah sekarang.

Dan itu bermakna. Mari kita bawa keindahan dan ringkasan dalam rekod dan formulasi:

Sudut antara secan adalah sama dengan separuh perbezaan dalam nilai sudut lengkok yang disertakan dalam sudut ini.

Nah, kini anda dilengkapi dengan semua pengetahuan asas tentang sudut yang berkaitan dengan bulatan. Maju, kepada serangan tugas!

BULATAN DAN SUDUT TERMASUK. TAHAP PURATA

Apa itu bulatan, kanak-kanak berumur lima tahun pun tahu kan? Ahli matematik, seperti biasa, mempunyai definisi yang tidak jelas mengenai subjek ini, tetapi kami tidak akan memberikannya (lihat), sebaliknya ingat apa nama titik, garis dan sudut yang berkaitan dengan bulatan.

Syarat Penting

pertama:

pusat bulatan- titik yang jarak darinya ke semua titik bulatan adalah sama.

Kedua:

Terdapat satu lagi ungkapan yang diterima di sini: "kord mengecutkan arka." Di sini, di sini dalam rajah, sebagai contoh, kord menguncup lengkok. Dan jika kord tiba-tiba melepasi pusat, maka ia mempunyai nama khas: "diameter".

By the way, bagaimanakah diameter dan jejari berkaitan? Lihat dengan teliti. Sudah tentu,

Dan sekarang - nama untuk sudut.

Sememangnya, bukan? Sisi sudut keluar dari tengah, yang bermaksud sudut itu adalah tengah.

Di sinilah kesusahan kadangkala timbul. Beri perhatian - TIADA mana-mana sudut di dalam bulatan yang tertulis, tetapi hanya satu yang bucunya "duduk" pada bulatan itu sendiri.

Jom lihat perbezaan dalam gambar:

Mereka juga berkata secara berbeza:

Terdapat satu perkara yang rumit di sini. Apakah sudut pusat "sepadan" atau "sendiri"? Hanya sudut dengan bucu di tengah bulatan dan berakhir di hujung lengkok? Tidak pasti dengan cara itu. Tengok gambar.

Salah satu daripadanya, bagaimanapun, tidak kelihatan seperti sudut - ia lebih besar. Tetapi dalam segi tiga tidak boleh ada lebih banyak sudut, tetapi dalam bulatan - boleh jadi! Jadi: lengkok AB yang lebih kecil sepadan dengan sudut yang lebih kecil (oren), dan yang lebih besar kepada yang lebih besar. Sama seperti, bukan?

Hubungan antara sudut tersurat dan sudut pusat

Ingat kenyataan yang sangat penting:

Dalam buku teks, mereka suka menulis fakta yang sama seperti ini:

Benar, dengan sudut pusat, rumusannya lebih mudah?

Tetapi, mari kita cari korespondensi antara kedua-dua rumusan, dan pada masa yang sama belajar cara mencari sudut pusat "bersesuaian" dan lengkok di mana sudut yang tertulis "bersandar" pada angka.

Lihat, ini adalah bulatan dan sudut bertulis:

Di manakah sudut pusat "sepadan"nya?

Mari lihat lagi:

Apakah peraturannya?

Tetapi! Dalam kes ini, adalah penting bahawa sudut bertulis dan pusat "melihat" pada sisi yang sama dari arka. Sebagai contoh:

Peliknya, biru! Kerana lengkok itu panjang, lebih panjang daripada separuh bulatan! Jadi jangan sesekali keliru!

Apakah akibat yang boleh disimpulkan daripada "separuh" sudut yang tertulis?

Dan di sini, sebagai contoh:

Sudut Berdasarkan Diameter

Anda telah perasan bahawa ahli matematik sangat gemar bercakap tentang perkara yang sama. perkataan yang berbeza? Mengapa ia untuk mereka? Anda lihat, bahasa matematik, walaupun formal, masih hidup, dan oleh itu, seperti dalam bahasa biasa, setiap kali saya ingin mengatakan caranya lebih mudah. Nah, kita telah melihat apa itu "sudut terletak pada arka". Dan bayangkan, gambar yang sama dipanggil "sudut terletak pada kord." Atas apa? Ya, sudah tentu, pada yang menarik arka ini!

Bilakah lebih mudah untuk bergantung pada kord daripada pada arka?

Nah, khususnya, apabila kord ini adalah diameter.

Terdapat kenyataan yang sangat mudah, cantik dan berguna untuk situasi sedemikian!

Lihat: berikut ialah bulatan, diameter dan sudut yang terletak di atasnya.

BULATAN DAN SUDUT TERMASUK. SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

1. Konsep asas.

3. Ukuran lengkok dan sudut.

Sudut radian ialah sudut pusat yang panjang lengkoknya sama dengan jejari bulatan.

Ini ialah nombor yang menyatakan nisbah panjang separuh bulatan kepada jejari.

Lilitan jejari adalah sama dengan.

4. Nisbah antara nilai sudut tersurat dan pusat.

Nah, topik itu sudah tamat. Jika anda membaca baris ini, maka anda sangat keren.

Kerana hanya 5% orang mampu menguasai sesuatu dengan sendiri. Dan jika anda telah membaca sehingga habis, maka anda berada dalam 5%!

Sekarang perkara yang paling penting.

Anda telah mengetahui teori mengenai topik ini. Dan, saya ulangi, ia ... ia sangat hebat! Anda sudah lebih baik daripada kebanyakan rakan sebaya anda.

Masalahnya ialah ini mungkin tidak mencukupi ...

Untuk apa?

Untuk penghantaran berjaya Peperiksaan Negeri Bersatu, untuk kemasukan ke institut mengikut bajet dan, PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan anda tentang apa-apa, saya hanya akan mengatakan satu perkara ...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, memperoleh lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tetapi ini bukan perkara utama.

Perkara utama ialah mereka LEBIH BAHAGIA (ada kajian sedemikian). Mungkin kerana banyak yang terbuka di hadapan mereka. lebih banyak kemungkinan dan hidup menjadi lebih cerah? tidak tahu...

Tapi fikir sendiri...

Apakah yang diperlukan untuk memastikan anda menjadi lebih baik daripada orang lain dalam peperiksaan dan akhirnya ... lebih gembira?

LENGKAPKAN TANGAN ANDA, SELESAIKAN MASALAH MENGENAI TOPIK INI.

Pada peperiksaan, anda tidak akan ditanya teori.

Anda perlu menyelesaikan masalah tepat pada masanya.

Dan, jika anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), anda pasti akan membuat kesilapan bodoh di suatu tempat atau tidak akan berjaya tepat pada masanya.

Ia seperti dalam sukan - anda perlu mengulang banyak kali untuk menang pasti.

Cari koleksi di mana sahaja anda mahu semestinya dengan penyelesaian analisis terperinci dan tentukan, tentukan, tentukan!

Anda boleh menggunakan tugas kami (tidak perlu) dan kami pasti mengesyorkannya.

Untuk mendapatkan bantuan dengan bantuan tugasan kami, anda perlu membantu memanjangkan hayat buku teks YouClever yang sedang anda baca.

Bagaimana? Terdapat dua pilihan:

Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam artikel ini -
Buka kunci akses kepada semua tugas tersembunyi dalam semua 99 artikel tutorial - Beli buku teks - 499 rubel

Ya, kami mempunyai 99 artikel sedemikian dalam buku teks dan akses kepada semua tugasan dan semua teks tersembunyi di dalamnya boleh dibuka serta-merta.

Akses kepada semua tugas tersembunyi disediakan untuk sepanjang hayat tapak.

Kesimpulannya...

Jika anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Cuma jangan berhenti dengan teori.

"Difahamkan" dan "Saya tahu bagaimana untuk menyelesaikan" adalah kemahiran yang sama sekali berbeza. Anda perlukan kedua-duanya.

Cari masalah dan selesaikan!

Arahan

Lengkok ialah sebahagian daripada bulatan yang tertutup di antara dua titik yang terletak pada bulatan ini. Mana-mana arka boleh dinyatakan dalam bentuk nilai berangka. dia ciri utama bersama-sama dengan panjang ialah nilai ukuran darjah.

Tetapi apabila satu lengkok dipilih pada bulatan, satu lagi terbentuk. Oleh itu, untuk memahami dengan jelas jenis arka yang kita bicarakan, tandakan satu lagi titik pada arka yang dipilih, sebagai contoh, C. Kemudian ia akan mengambil bentuk ABC.

Segmen garisan yang dibentuk oleh dua titik yang mengikat lengkok ialah kord.

Ukuran darjah lengkok boleh didapati melalui nilai sudut tersurat, yang, mempunyai titik bucu pada bulatan itu sendiri, adalah berdasarkan arka ini. Sudut sedemikian dipanggil sudut tersurat, dan ukuran darjahnya adalah sama dengan separuh lengkok di mana ia terletak.

Terdapat juga sudut pusat dalam bulatan. Ia juga terletak pada arka yang dikehendaki, dan puncaknya tidak lagi pada bulatan, tetapi di tengah. Dan dia nilai berangka tidak lagi sama dengan separuh ukuran darjah lengkok, tetapi dengan nilai integernya.

Setelah memahami bagaimana arka dikira melalui sudut berdasarkannya, anda boleh menggunakan undang-undang ini arah terbalik dan terbitkan peraturan bahawa sudut tersurat yang bergantung pada diameter ialah sudut tegak. Oleh kerana diameter membahagikan bulatan kepada dua bahagian yang sama, ini bermakna mana-mana lengkok mempunyai nilai 180 darjah. Oleh itu, sudut yang ditulis ialah 90 darjah.

Juga, berdasarkan kaedah mencari nilai darjah lengkok, peraturan adalah benar bahawa sudut berdasarkan satu lengkok mempunyai nilai yang sama.

Nilai ukuran darjah lengkok sering digunakan untuk mengira lilitan bulatan atau lengkok itu sendiri. Untuk melakukan ini, gunakan formula L= π*R*α/180.

Perkataan "" mempunyai pelbagai tafsiran. Dalam geometri, sudut ialah bahagian satah yang dibatasi oleh dua sinar yang keluar dari satu titik - bucu. Bila kita bercakap mengenai sudut kanan, akut, maju, maka ia adalah tepat sudut geometri.

Seperti mana-mana bentuk dalam geometri, sudut boleh dibandingkan. Kesamaan sudut ditentukan oleh pergerakan. Sudut mudah dibahagi kepada dua bahagian yang sama. Membahagikan kepada tiga bahagian adalah sedikit lebih sukar, tetapi ia masih boleh dilakukan dengan pembaris dan kompas. By the way, tugasan ini nampak agak sukar. Secara geometri mudah untuk menerangkan bahawa satu sudut lebih besar atau kurang daripada sudut yang lain.

Unit ukuran untuk sudut ialah 1/180 daripada sudut yang dibesarkan. Nilai sudut ialah nombor yang menunjukkan berapa kali sudut yang dipilih sebagai unit ukuran sesuai dengan rajah yang dimaksudkan.

Setiap sudut mempunyai ukuran darjah lebih besar daripada sifar. Sudut lurus ialah 180 darjah. Ukuran darjah bagi suatu sudut ialah sama dengan jumlah ukuran darjah sudut di mana ia dibahagikan dengan mana-mana sinar pada satah yang dibatasi oleh sisinya.

Dari mana-mana rasuk kapal terbang yang diberi anda boleh mengetepikan sudut dengan ukuran darjah tertentu tidak melebihi 180. Lebih-lebih lagi, hanya akan ada satu sudut sedemikian. Ukuran sudut rata, yang merupakan sebahagian daripada separuh satah, ialah ukuran darjah sudut dengan sisi yang serupa. Ukuran satah sudut yang mengandungi separuh satah ialah nilai 360 – α, di mana α ialah ukuran darjah sudut rata pelengkap.

Ukuran darjah sudut memungkinkan untuk beralih daripada perihalan geometrinya kepada satu berangka. Jadi, sudut tegak ialah sudut sama dengan 90 darjah, sudut tumpul ialah sudut kurang daripada 180 darjah, tetapi lebih daripada 90, sudut tajam tidak melebihi 90 darjah.

Sebagai tambahan kepada darjah, terdapat ukuran radian sudut. Dalam planimetri, panjang ialah L, jejari ialah r, dan sudut pusat yang sepadan ialah α. Selain itu, parameter ini dikaitkan dengan hubungan α = L/r. Ini adalah asas ukuran radian sudut. Jika L=r, maka sudut α akan sama dengan satu radian. Jadi, ukuran radian sudut ialah nisbah panjang lengkok yang dilukis dengan jejari sewenang-wenangnya dan tertutup di antara sisi sudut ini dengan jejari lengkok. Giliran penuh V ukuran darjah(360 darjah) sepadan dengan 2π dalam radian. Satu ialah 57.2958 darjah.

Video-video yang berkaitan

Sumber:

ukuran darjah rumus sudut

Pengukuran nilai rata dalam darjah telah dicipta di Babylon kuno jauh sebelum permulaan era kita. Penduduk negeri ini lebih suka kalkulus sexagesimal, jadi pembahagian sudut kepada 180 atau 360 unit hari ini kelihatan agak pelik. Walau bagaimanapun, ditawarkan dalam sistem moden Unit ukuran SI, gandaan pi, tidak kurang anehnya. Kedua-dua pilihan ini tidak terhad kepada sebutan sudut yang digunakan hari ini, jadi masalah menukar nilainya kepada ukuran darjah timbul agak kerap.

Arahan

Jika anda perlu menukar nilai sudut dalam radian kepada ukuran darjah, teruskan daripada fakta bahawa satu darjah sepadan dengan bilangan radian bersamaan dengan 1/180 nombor pi. Pemalar matematik ini mempunyai bilangan tempat perpuluhan tak terhingga, jadi faktor penukaran juga merupakan pecahan perpuluhan tak terhingga. Ini adalah nilai yang betul-betul tepat dalam format pecahan perpuluhan tidak boleh diperoleh, jadi faktor penukaran mesti dibundarkan. Sebagai contoh, dengan ketepatan satu bilion unit, pekali yang dikira ialah 0.017453293. Selepas membundarkan kepada bilangan tempat perpuluhan yang dikehendaki, bahagikan nombor asal radian dengan faktor ini, dan anda mendapat ukuran darjah sudut.

Ukuran darjah sudut. Ukuran radian bagi suatu sudut. Menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Dalam pelajaran yang lepas, kita telah menguasai pengiraan sudut pada bulatan trigonometri. Mempelajari cara mengira positif dan sudut negatif. Menyedari cara melukis sudut lebih besar daripada 360 darjah. Sudah tiba masanya untuk berurusan dengan ukuran sudut. Terutama dengan nombor "Pi", yang berusaha untuk mengelirukan kita dalam tugas yang rumit, ya ...

Tugas standard dalam trigonometri dengan nombor "Pi" diselesaikan dengan baik. Memori visual membantu. Tetapi apa-apa penyelewengan dari templat - mengetuk di tempat kejadian! Agar tidak jatuh - faham perlu. Apa yang kita akan berjaya lakukan sekarang. Dari satu segi - kami memahami segala-galanya!

Jadi, apa adakah sudut dikira? DALAM kursus sekolah trigonometri menggunakan dua ukuran: ukuran darjah sesuatu sudut Dan ukuran radian suatu sudut. Mari kita lihat langkah-langkah ini. Tanpa ini, dalam trigonometri - tiada tempat.

Ukuran darjah sudut.

Kami entah bagaimana sudah biasa dengan darjah. Geometri, sekurang-kurangnya, melalui ... Ya, dan dalam kehidupan kita sering bertemu dengan frasa "berpusing 180 darjah", sebagai contoh. Ijazah, ringkasnya, perkara yang mudah ...

ya? Jawab saya kemudian apa itu ijazah? Apa yang tidak berkesan? Sesuatu...

Ijazah dicipta di Babylon purba. Ia sudah lama dahulu ... 40 abad yang lalu ... Dan mereka baru sahaja menciptanya. Mereka mengambil dan memecahkan bulatan itu kepada 360 bahagian yang sama. 1 darjah ialah 1/360 bulatan. Dan itu sahaja. Boleh dipecahkan kepada 100 keping. Atau dengan 1000. Tetapi mereka memecahkannya kepada 360. By the way, kenapa betul-betul dengan 360? Mengapa 360 lebih baik daripada 100? 100 nampaknya lebih genap... Cuba jawab soalan ini. Atau lemah terhadap Babylon Purba?

Di suatu tempat pada masa yang sama Mesir Purba terseksa dengan isu lain. Berapa kali lebih besar lilitan bulatan daripada panjang diameternya? Jadi mereka mengukur, dan dengan cara itu ... Semuanya ternyata lebih sedikit daripada tiga. Tetapi entah bagaimana ia ternyata berbulu, tidak rata ... Tetapi mereka, orang Mesir, tidak boleh dipersalahkan. Selepas mereka, mereka menderita selama 35 abad lagi. Sehingga mereka akhirnya membuktikan bahawa tidak kira betapa halusnya memotong bulatan menjadi kepingan yang sama, dari kepingan itu untuk dibuat licin panjang diameter adalah mustahil ... Pada dasarnya, ia adalah mustahil. Sudah tentu, berapa kali lilitan lebih besar daripada diameter. lebih kurang. 3.1415926... kali.

Ini ialah nombor "Pi". Itu shaggy, sangat shaggy. Selepas titik perpuluhan - bilangan digit yang tidak terhingga tanpa sebarang susunan ... Nombor sedemikian dipanggil tidak rasional. Ini, dengan cara ini, bermakna bahawa dari kepingan bulatan yang sama, diameternya licin jangan lipat. tidak pernah.

Untuk permohonan praktikal Ia adalah kebiasaan untuk menghafal hanya dua digit selepas titik perpuluhan. Ingat:

Memandangkan kita telah memahami bahawa lilitan bulatan adalah lebih besar daripada diameter dengan kali "Pi", masuk akal untuk mengingati formula untuk lilitan bulatan:

di mana L ialah lilitan, dan d ialah diameternya.

Berguna dalam geometri.

Untuk pendidikan umum Saya akan menambah bahawa nombor "Pi" bukan sahaja terletak dalam geometri ... Dalam bahagian matematik yang paling pelbagai, dan terutamanya dalam teori kebarangkalian, nombor ini muncul secara berterusan! Dengan sendirinya. Di luar keinginan kita. Macam ni.

Tetapi kembali kepada darjah. Pernahkah anda mengetahui mengapa di Babylon purba bulatan dibahagikan kepada 360 bahagian yang sama? Tetapi bukan 100, sebagai contoh? Tidak? OKEY. Saya akan memberi anda versi. Anda tidak boleh bertanya kepada orang Babylon kuno... Untuk pembinaan, atau, katakan, astronomi, adalah mudah untuk membahagikan bulatan kepada bahagian yang sama. Sekarang tentukan nombor yang boleh dibahagi dengan sepenuhnya 100, dan yang mana - 360? Dan dalam versi apa pembahagi ini sepenuhnya- lagi? Bahagian ini sangat mudah untuk orang ramai. Tetapi...

Ternyata lebih lewat daripada Babylon Purba, tidak semua orang menyukai ijazah. Matematik yang lebih tinggi tidak menyukainya... matematik yang lebih tinggi- wanita itu serius, diatur mengikut undang-undang alam. Dan wanita ini mengisytiharkan: "Hari ini anda memecahkan bulatan kepada 360 bahagian, esok anda akan memecahkannya kepada 100 bahagian, lusa menjadi 245 ... Dan apa yang perlu saya lakukan? Tidak benar-benar ... "Saya terpaksa menurut. Anda tidak boleh menipu alam ...

Saya terpaksa memperkenalkan ukuran sudut yang tidak bergantung pada tanggapan manusia. Bertemu - radian!

Ukuran radian bagi suatu sudut.

Apakah radian? Takrifan radian adalah berdasarkan bulatan pula. Sudut 1 radian ialah sudut yang memotong lengkok daripada bulatan yang panjangnya ( L) adalah sama dengan panjang jejari ( R). Kita tengok gambar.

Sudut yang begitu kecil, hampir tiada satu pun ... Kami menggerakkan kursor ke atas gambar (atau menyentuh gambar pada tablet) dan kami melihat kira-kira satu radian. L=R

Rasai kelainannya?

Satu radian adalah lebih besar daripada satu darjah. berapa kali?

Jom tengok gambar seterusnya. Di mana saya melukis separuh bulatan. Sudut yang diperluas, sudah tentu, bersaiz 180 °.

Dan sekarang saya akan memotong separuh bulatan ini kepada radian! Kami melayang di atas gambar dan melihat bahawa 3 radian dengan ekor sesuai dengan 180 °.

Siapa boleh teka apa ekor kuda ini!?

Ya! Ekor ini ialah 0.1415926.... Hello Pi, kami masih belum melupakan anda!

Memang ada 3.1415926 ... radian dalam 180 darjah. Seperti yang anda boleh bayangkan, menulis 3.1415926 sepanjang masa... adalah menyusahkan. Oleh itu, bukannya nombor tak terhingga ini, mereka sentiasa menulis dengan ringkas:

Dan inilah nombor di Internet

ia menyusahkan untuk menulis ... Oleh itu, dalam teks saya menulisnya dengan nama - "Pi". Jangan keliru...

Sekarang, ia agak bermakna untuk menulis kesamaan anggaran:

Atau persamaan tepat:

Tentukan berapa darjah dalam satu radian. Bagaimana? Dengan mudah! Jika terdapat 180 darjah dalam 3.14 radian, maka 1 radian adalah 3.14 kali kurang! Iaitu, kita membahagikan persamaan pertama (rumusnya juga persamaan!) Dengan 3.14:

Nisbah ini berguna untuk diingati. Terdapat lebih kurang 60° dalam satu radian. Dalam trigonometri, anda sering perlu memikirkan, menilai keadaan. Di sinilah ilmu banyak membantu.

Tetapi kemahiran utama topik ini ialah menukar darjah kepada radian dan sebaliknya.

Jika sudut diberikan dalam radian dengan nombor "pi", semuanya sangat mudah. Kita tahu bahawa radian "pi" = 180°. Jadi kami menggantikan radian "Pi" - 180 °. Kami mendapat sudut dalam darjah. Kita kurangkan apa yang dikurangkan, dan jawapannya sudah sedia. Sebagai contoh, kita perlu mengetahui berapa banyak darjah di sudut "Pi"/2 radian? Di sini kami menulis:

Atau, ungkapan yang lebih eksotik:

Mudah, kan?

Terjemahan terbalik adalah sedikit lebih rumit. Tetapi tidak banyak. Jika sudut diberikan dalam darjah, kita mesti memikirkan apakah satu darjah dalam radian dan darabkan nombor itu dengan bilangan darjah. Apakah 1° dalam radian?

Kami melihat formula dan menyedari bahawa jika 180° = "Pi" radian, maka 1° adalah 180 kali lebih kecil. Atau, dengan kata lain, kita bahagikan persamaan (rumusnya juga persamaan!) Dengan 180. Tidak perlu mewakili "Pi" sebagai 3.14, ia sentiasa ditulis dengan huruf pula. Kami mendapat bahawa satu darjah adalah sama dengan:

Itu sahaja. Darabkan bilangan darjah dengan nilai ini untuk mendapatkan sudut dalam radian. Sebagai contoh:

Atau, serupa:

Seperti yang anda lihat, dalam perbualan santai dengan penyelewengan Ternyata radian adalah sangat mudah. Ya, dan terjemahannya tanpa masalah ... Dan "Pi" adalah perkara yang boleh diterima sepenuhnya ... Jadi dari mana kekeliruan itu !?

Saya akan dedahkan rahsianya. Hakikatnya ialah dalam fungsi trigonometri ikon darjah ditulis. Sentiasa. Contohnya, sin35°. Ini sinus 35 darjah . Dan ikon radian ( gembira) tidak ditulis! Dia tersirat. Sama ada kemalasan ahli matematik dirampas, atau sesuatu yang lain ... Tetapi mereka memutuskan untuk tidak menulis. Jika tiada ikon di dalam sinus - kotangen, maka sudut - dalam radian ! Sebagai contoh, cos3 ialah kosinus bagi tiga radian .

Ini membawa kepada salah faham ... Seseorang melihat "Pi" dan percaya bahawa ia adalah 180 °. Bila-bila masa dan di mana sahaja. By the way, ini berfungsi. Buat masa ini, manakala contoh adalah standard. Tetapi Pi adalah nombor! Nombor 3.14 bukan darjah! Itu radian "Pi" = 180°!

Sekali lagi: "Pi" ialah nombor! 3.14. Tidak rasional, tetapi nombor. Sama seperti 5 atau 8. Anda boleh, sebagai contoh, mengambil kira-kira langkah "Pi". Tiga langkah dan sedikit lagi. Atau beli "Pi" kilogram gula-gula. Jika seorang jurujual yang berpendidikan ditangkap...

"Pi" ialah nombor! Apa, saya dapat awak dengan frasa ini? Adakah anda sudah memahami segala-galanya? OKEY. Jom semak. Bolehkah anda beritahu saya nombor mana yang lebih besar?

Atau apa yang kurang?

Ini adalah daripada satu siri soalan yang sedikit tidak standard yang boleh menyebabkan pengsan ...

Jika anda juga terpinga-pinga, ingat ejaan: "Pi" ialah nombor! 3.14. Dalam sinus pertama, jelas menunjukkan bahawa sudut - dalam darjah! Oleh itu, adalah mustahil untuk menggantikan "Pi" sebanyak 180 °! "Pi" darjah adalah kira-kira 3.14 darjah. Oleh itu, kita boleh menulis:

Tiada simbol dalam sinus kedua. Jadi di sana - radian! Di sini, menggantikan "Pi" dengan 180 ° akan berfungsi dengan baik. Menukar radian kepada darjah, seperti yang ditulis di atas, kita dapat:

Ia kekal untuk membandingkan kedua-dua sinus ini. Apa. terlupa bagaimana? Dengan bantuan bulatan trigonometri, sudah tentu! Kami melukis bulatan, melukis sudut anggaran 60° dan 1.05°. Kami melihat sinus sudut ini. Ringkasnya, segala-galanya, seperti pada akhir topik mengenai bulatan trigonometri, dicat. Pada bulatan (walaupun yang bengkok!) ia akan dilihat dengan jelas dosa60° lebih ketara daripada dosa1.05°.

Kami akan melakukan perkara yang sama dengan kosinus. Pada bulatan kita melukis sudut kira-kira 4 darjah dan 4 radian(ingat, berapakah lebih kurang 1 radian?). Bulatan akan mengatakan segala-galanya! Sudah tentu, cos4 adalah kurang daripada cos4°.

Mari kita berlatih mengendalikan ukuran sudut.

Tukarkan sudut ini daripada darjah kepada radian:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Anda sepatutnya mempunyai nilai ini dalam radian (dalam susunan yang berbeza!)

0

Ngomong-ngomong, saya telah menandakan jawapan secara khas dalam dua baris. Baiklah, mari kita fikirkan apakah sudut pada baris pertama? Sama ada dalam darjah atau radian?

Ya! Ini adalah paksi sistem koordinat! Jika anda melihat bulatan trigonometri, maka sisi bergerak sudut pada nilai ini muat tepat pada gandar. Nilai-nilai ini perlu diketahui secara ironi. Dan saya perhatikan sudut 0 darjah (0 radian) tidak sia-sia. Dan kemudian ada yang tidak dapat mencari sudut ini pada bulatan dalam apa jua cara ... Dan, dengan itu, mereka menjadi keliru dalam fungsi trigonometri sifar ... Satu lagi perkara ialah kedudukan sisi bergerak pada sifar darjah bertepatan dengan kedudukan di 360 °, jadi kebetulan pada bulatan adalah hampir sepanjang masa.

Dalam baris kedua terdapat juga sudut khas... Ini ialah 30°, 45° dan 60°. Dan apa yang istimewa tentang mereka? Tiada apa yang istimewa. Satu-satunya perbezaan antara sudut ini dan semua sudut lain ialah anda harus tahu tentang sudut ini. Semua. Dan di mana mereka terletak, dan apakah sudut-sudut ini fungsi trigonometri. Katakan nilainya dosa100° anda tidak perlu tahu. A dosa45°- tolong jadi baik! Ini adalah pengetahuan wajib, tanpanya tiada apa yang perlu dilakukan dalam trigonometri ... Tetapi lebih lanjut mengenai ini dalam pelajaran seterusnya.

Sehingga itu, mari terus berlatih. Tukarkan sudut-sudut ini daripada radian kepada darjah:

Anda sepatutnya mendapat hasil seperti ini (dalam keadaan huru-hara):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Terjadi? Kemudian kita boleh menganggap itu menukar darjah kepada radian dan sebaliknya- bukan masalah anda lagi.) Tetapi menterjemah sudut adalah langkah pertama untuk memahami trigonometri. Di tempat yang sama, anda masih perlu bekerja dengan sinus-kosinus. Ya, dan dengan tangen, kotangen juga ...

Langkah kedua yang berkuasa ialah keupayaan untuk menentukan kedudukan mana-mana sudut pada bulatan trigonometri. Baik dalam darjah dan radian. Mengenai kemahiran ini, saya akan memberi petunjuk kepada anda dalam semua trigonometri, ya ...) Jika anda tahu segala-galanya (atau fikir anda tahu segala-galanya) tentang bulatan trigonometri, dan pengiraan sudut pada bulatan trigonometri, anda boleh menyemaknya keluar. Selesaikan tugas mudah ini:

1. Suku berapakah sudut jatuh ke dalam:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Dengan mudah? Kami meneruskan:

2. Di suku manakah sudut jatuh:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Juga tiada masalah? Nah, lihat...)

3. Anda boleh meletakkan sudut dalam suku:

Adakah anda mampu? Nah, anda berikan ..)

4. Apakah paksi yang akan jatuh pada sudut:

dan sudut:

Adakah ia mudah juga? Hm...)

5. Sudut manakah jatuh ke dalam suku:

Dan ia berjaya!? Nah, saya benar-benar tidak tahu...)

6. Tentukan suku sudut mana yang jatuh ke dalam:

1, 2, 3 dan 20 radian.

Saya akan memberikan jawapan hanya kepada soalan terakhir (ia adalah sedikit rumit) tugas terakhir. Sudut 20 radian akan jatuh pada suku pertama.

Saya tidak akan memberikan jawapan yang lain kerana tamak.) Hanya jika anda tidak membuat keputusan sesuatu keraguan akibatnya, atau dibelanjakan untuk tugas No. 4 lebih daripada 10 saat anda kurang berorientasikan dalam bulatan. Ini akan menjadi masalah anda dalam semua trigonometri. Adalah lebih baik untuk menyingkirkannya (masalah, bukan trigonometri!) dengan segera. Ini boleh dilakukan dalam topik: Kerja amali dengan bulatan trigonometri di bahagian 555.

Ia memberitahu cara menyelesaikan tugasan sedemikian dengan mudah dan betul. Sudah tentu, tugas-tugas ini diselesaikan. Dan tugas keempat diselesaikan dalam masa 10 saat. Ya, jadi memutuskan bahawa sesiapa sahaja boleh!

Jika anda benar-benar pasti dengan jawapan anda dan anda tidak berminat dengan cara mudah dan bebas masalah untuk bekerja dengan radian, anda tidak boleh melawati 555. Saya tidak mendesak.)

pemahaman yang baik- cukup sebab yang baik untuk meneruskan!)

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.