Penyelesaian kalkulator fungsi eksponen dalam talian. Menyelesaikan persamaan eksponen dalam matematik

Dalam kursus matematik gred 7, mereka pertama kali bertemu dengan persamaan dengan dua pembolehubah, tetapi ia hanya dikaji dalam konteks sistem persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Itulah sebabnya beberapa masalah tidak dapat dilihat, di mana syarat-syarat tertentu diperkenalkan pada pekali persamaan yang mengehadkannya. Selain itu, kaedah untuk menyelesaikan masalah seperti "Selesaikan persamaan dalam nombor asli atau integer" juga diabaikan, walaupun masalah seperti ini semakin kerap ditemui dalam bahan USE dan pada peperiksaan kemasukan.

Persamaan yang manakah akan dipanggil persamaan dengan dua pembolehubah?

Jadi, sebagai contoh, persamaan 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, atau xy = 12 ialah persamaan dua pembolehubah.

Pertimbangkan persamaan 2x - y = 1. Ia bertukar menjadi kesamaan sebenar pada x = 2 dan y = 3, jadi pasangan nilai pembolehubah ini ialah penyelesaian kepada persamaan yang sedang dipertimbangkan.

Oleh itu, penyelesaian mana-mana persamaan dengan dua pembolehubah ialah set pasangan tertib (x; y), nilai-nilai pembolehubah yang persamaan ini bertukar menjadi kesamaan berangka sebenar.

Persamaan dengan dua tidak diketahui boleh:

A) mempunyai satu penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + 5y 2 = 0 mempunyai penyelesaian unik (0; 0);

b) mempunyai pelbagai penyelesaian. Contohnya, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 mempunyai 4 penyelesaian: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) tiada penyelesaian. Contohnya, persamaan x 2 + y 2 + 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian;

G) mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga. Contohnya, x + y = 3. Penyelesaian kepada persamaan ini ialah nombor yang hasil tambahnya ialah 3. Set penyelesaian kepada persamaan ini boleh ditulis sebagai (k; 3 - k), dengan k ialah sebarang nombor nyata.

Kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah ialah kaedah berdasarkan ungkapan pemfaktoran, menyerlahkan kuasa dua penuh, menggunakan sifat persamaan kuadratik, ungkapan terikat, dan kaedah penilaian. Persamaan, sebagai peraturan, diubah menjadi bentuk dari mana sistem untuk mencari yang tidak diketahui boleh diperolehi.

Pemfaktoran

Contoh 1

Selesaikan persamaan: xy - 2 = 2x - y.

Penyelesaian.

Kami mengumpulkan syarat untuk tujuan pemfaktoran:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Keluarkan faktor sepunya daripada setiap kurungan:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Kami ada:

y = 2, x ialah sebarang nombor nyata atau x = -1, y ialah sebarang nombor nyata.

Oleh itu, jawapannya ialah semua pasangan bentuk (x; 2), x € R dan (-1; y), y € R.

Kesamaan kepada sifar nombor bukan negatif

Contoh 2

Selesaikan persamaan: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Penyelesaian.

Pengelompokan:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Kini setiap kurungan boleh diruntuhkan menggunakan formula perbezaan kuasa dua.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Jumlah dua ungkapan bukan negatif adalah sifar hanya jika 3x - 2 = 0 dan 2y - 3 = 0.

Jadi x = 2/3 dan y = 3/2.

Jawapan: (2/3; 3/2).

Kaedah Penilaian

Contoh 3

Selesaikan persamaan: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Penyelesaian.

Dalam setiap kurungan, pilih petak penuh:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Anggaran maksud ungkapan dalam kurungan.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dan (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, maka bahagian kiri persamaan sentiasa sekurang-kurangnya 2. Kesamaan adalah mungkin jika:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dan (y - 2) 2 + 2 = 2, jadi x = -1, y = 2.

Jawapan: (-1; 2).

Mari kita berkenalan dengan kaedah lain untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah darjah kedua. Kaedah ini ialah persamaan dianggap sebagai segi empat sama berkenaan dengan beberapa pembolehubah.

Contoh 4

Selesaikan persamaan: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Penyelesaian.

Mari kita selesaikan persamaan sebagai satu kuadratik berkenaan dengan x. Mari cari yang membezakannya:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Persamaan akan mempunyai penyelesaian hanya apabila D = 0, iaitu, jika y = 4. Kami menggantikan nilai y ke dalam persamaan asal dan mendapati bahawa x = 3.

Jawapan: (3; 4).

Selalunya dalam persamaan dengan dua yang tidak diketahui menunjukkan sekatan ke atas pembolehubah.

Contoh 5

Selesaikan persamaan dalam integer: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Penyelesaian.

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Bahagian kanan persamaan yang terhasil, apabila dibahagikan dengan 5, memberikan baki 2. Oleh itu, x 2 tidak boleh dibahagikan dengan 5. Tetapi kuasa dua daripada nombor yang tidak boleh dibahagikan dengan 5 memberikan baki 1 atau 4. Oleh itu kesamaan adalah mustahil dan tiada penyelesaian.

Jawapan: tiada akar.

Contoh 6

Selesaikan persamaan: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Penyelesaian.

Mari pilih petak penuh dalam setiap kurungan:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Bahagian kiri persamaan sentiasa lebih besar daripada atau sama dengan 3. Kesamaan adalah mungkin jika |x| – 2 = 0 dan y + 3 = 0. Oleh itu, x = ± 2, y = -3.

Jawapan: (2; -3) dan (-2; -3).

Contoh 7

Bagi setiap pasangan integer negatif (x; y) yang memenuhi persamaan
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, hitung hasil tambah (x + y). Jawab jumlah terkecil.

Penyelesaian.

Pilih petak penuh:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Oleh kerana x dan y ialah integer, kuasa duanya juga adalah integer. Jumlah kuasa dua dua integer, sama dengan 37, kita dapat jika kita menambah 1 + 36. Oleh itu:

(x - y) 2 = 36 dan (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 dan (y + 2) 2 = 36.

Menyelesaikan sistem ini dan mengambil kira bahawa x dan y adalah negatif, kita mencari penyelesaian: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Jawapan: -17.

Jangan putus asa jika anda menghadapi kesukaran semasa menyelesaikan persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Dengan sedikit latihan, anda akan dapat menguasai sebarang persamaan.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan dengan dua pembolehubah?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama adalah percuma!

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Tugasan perkhidmatan. Kalkulator matriks direka bentuk untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dalam cara matriks (lihat contoh penyelesaian masalah yang serupa).

Arahan. Untuk penyelesaian dalam talian, anda mesti memilih jenis persamaan dan menetapkan dimensi matriks yang sepadan.

Jenis persamaan: A X = B X A = B A X B = C
Dimensi matriks A
Dimensi matriks B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Dimensi matriks C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki. Persamaan matriks dalam bentuk (1), (2) dan (3) diselesaikan melalui matriks songsang A -1 . Jika ungkapan A X - B = C diberikan, maka perlu terlebih dahulu menambah matriks C + B dan mencari penyelesaian untuk ungkapan A X = D , di mana D = C + B (). Jika ungkapan A*X = B 2 diberikan, maka matriks B mesti diduakan dahulu. Ia juga disyorkan untuk membiasakan diri dengan operasi asas pada matriks.

Contoh #1. Senaman. Cari penyelesaian kepada persamaan matriks
Penyelesaian. Nyatakan:
Kemudian persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: A·X·B = C.
Penentu matriks A ialah detA=-1
Oleh kerana A ialah matriks bukan tunggal, terdapat matriks songsang A -1 . Darab kedua-dua belah persamaan di sebelah kiri dengan A -1: Darab kedua-dua belah persamaan ini di sebelah kiri dengan A -1 dan di sebelah kanan dengan B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Oleh kerana A A -1 = B B -1 = E dan E X = X E = X, maka X = A -1 C B -1

Matriks songsang A -1:
Cari matriks songsang B -1 .
Transpose matriks B T:
Matriks songsang B -1:
Kami mencari matriks X dengan formula: X = A -1 C B -1

Jawapan:

Contoh #2. Senaman. Selesaikan persamaan matriks
Penyelesaian. Nyatakan:
Kemudian persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: A X = B.
Penentu matriks A ialah detA=0
Oleh kerana A ialah matriks merosot (penentu ialah 0), oleh itu, persamaan tidak mempunyai penyelesaian.

Contoh #3. Senaman. Cari penyelesaian kepada persamaan matriks
Penyelesaian. Nyatakan:
Kemudian persamaan matriks akan ditulis dalam bentuk: X·A = B.
Penentu matriks A ialah detA=-60
Oleh kerana A ialah matriks bukan tunggal, terdapat matriks songsang A -1 . Darab di sebelah kanan kedua-dua belah persamaan dengan A -1: X A A -1 = B A -1 , dari mana kita dapati bahawa X = B A -1
Cari matriks songsang A -1 .
Matriks tertukar A T:
Matriks songsang A -1:
Kami mencari matriks X dengan formula: X = B A -1


Jawapan: >

Pada peringkat persediaan untuk ujian akhir, pelajar sekolah menengah perlu meningkatkan pengetahuan mereka mengenai topik "Persamaan Eksponen". Pengalaman tahun-tahun lepas menunjukkan bahawa tugas-tugas sedemikian menyebabkan kesukaran tertentu untuk pelajar sekolah. Oleh itu, pelajar sekolah menengah, tanpa mengira tahap persediaan mereka, perlu menguasai teori dengan teliti, menghafal formula dan memahami prinsip menyelesaikan persamaan tersebut. Setelah belajar untuk menangani jenis tugas ini, graduan akan dapat mengira markah yang tinggi apabila lulus peperiksaan dalam matematik.

Bersedia untuk ujian peperiksaan bersama-sama dengan Shkolkovo!

Apabila mengulangi bahan yang dibincangkan, ramai pelajar berhadapan dengan masalah mencari formula yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan. Buku teks sekolah tidak selalu ada, dan pemilihan maklumat yang diperlukan mengenai topik di Internet mengambil masa yang lama.

Portal pendidikan Shkolkovo menjemput pelajar untuk menggunakan pangkalan pengetahuan kami. Kami sedang melaksanakan kaedah yang sama sekali baru untuk persediaan untuk ujian akhir. Belajar di laman web kami, anda akan dapat mengenal pasti jurang dalam pengetahuan dan memberi perhatian kepada tugas-tugas yang menyebabkan kesukaran yang paling besar.

Guru-guru "Shkolkovo" mengumpul, menyusun dan membentangkan semua bahan yang diperlukan untuk berjaya lulus peperiksaan dalam bentuk yang paling mudah dan paling mudah diakses.

Takrif dan formula utama dibentangkan dalam bahagian "Rujukan Teori".

Untuk asimilasi bahan yang lebih baik, kami mengesyorkan agar anda mempraktikkan tugasan. Semak dengan teliti contoh persamaan eksponen dengan penyelesaian yang dibentangkan pada halaman ini untuk memahami algoritma pengiraan. Selepas itu, teruskan dengan tugasan dalam bahagian "Katalog". Anda boleh mulakan dengan tugas yang paling mudah atau pergi terus ke menyelesaikan persamaan eksponen kompleks dengan beberapa yang tidak diketahui atau . Pangkalan data latihan di laman web kami sentiasa ditambah dan dikemas kini.

Contoh-contoh dengan penunjuk yang menyebabkan anda mengalami kesukaran boleh ditambah pada "Kegemaran". Jadi anda boleh mencari mereka dengan cepat dan membincangkan penyelesaiannya dengan guru.

Untuk berjaya lulus peperiksaan, belajar di portal Shkolkovo setiap hari!

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Kuasa atau persamaan eksponen dipanggil persamaan di mana pembolehubah berada dalam kuasa, dan asasnya ialah nombor. Sebagai contoh:

Menyelesaikan persamaan eksponen turun kepada 2 langkah yang agak mudah:

1. Adalah perlu untuk menyemak sama ada asas persamaan di sebelah kanan dan di sebelah kiri adalah sama. Jika asasnya tidak sama, kami sedang mencari pilihan untuk menyelesaikan contoh ini.

2. Selepas asas menjadi sama, kita samakan darjah dan selesaikan persamaan baharu yang terhasil.

Katakan kita diberi persamaan eksponen dalam bentuk berikut:

Ia patut memulakan penyelesaian persamaan ini dengan analisis asas. Asasnya berbeza - 2 dan 4, dan untuk penyelesaiannya kita memerlukannya supaya sama, jadi kita mengubah 4 mengikut formula berikut - \ [ (a ^ n) ^ m = a ^ (nm): \]

Tambahkan pada persamaan asal:

Mari kita keluarkan kurungan \

Ekspres \

Oleh kerana darjah adalah sama, kami membuangnya:

Jawapan: \

Di manakah saya boleh menyelesaikan persamaan eksponen dalam talian dengan penyelesai?

Anda boleh menyelesaikan persamaan di laman web kami https: // tapak. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Dalam video ini, kami akan menganalisis satu set keseluruhan persamaan linear yang diselesaikan menggunakan algoritma yang sama - itulah sebabnya ia dipanggil yang paling mudah.

Sebagai permulaan, mari kita tentukan: apakah persamaan linear dan yang mana antara mereka harus dipanggil paling mudah?

Persamaan linear ialah persamaan yang hanya terdapat satu pembolehubah, dan hanya dalam darjah pertama.

Persamaan termudah bermaksud pembinaan:

Semua persamaan linear lain dikurangkan kepada yang paling mudah menggunakan algoritma:

1. kurungan terbuka, jika ada;
2. Pindahkan istilah yang mengandungi pembolehubah ke satu sisi tanda sama, dan istilah tanpa pembolehubah ke yang lain;
3. Bawa istilah seperti ke kiri dan kanan tanda sama;
4. Bahagikan persamaan yang terhasil dengan pekali pembolehubah $x$ .

Sudah tentu, algoritma ini tidak selalu membantu. Hakikatnya kadangkala, selepas semua komplot ini, pekali pembolehubah $x$ ternyata sama dengan sifar. Dalam kes ini, dua pilihan adalah mungkin:

1. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Contohnya, apabila anda mendapat sesuatu seperti $0\cdot x=8$, i.e. di sebelah kiri ialah sifar, dan di sebelah kanan ialah nombor bukan sifar. Dalam video di bawah, kita akan melihat beberapa sebab mengapa keadaan ini mungkin.
2. Penyelesaiannya ialah semua nombor. Satu-satunya kes apabila ini mungkin adalah apabila persamaan telah dikurangkan kepada pembinaan $0\cdot x=0$. Adalah agak logik bahawa tidak kira apa yang $x$ kita gantikan, ia tetap akan menjadi "sifar bersamaan dengan sifar", i.e. kesamaan berangka yang betul.

Dan sekarang mari kita lihat bagaimana semuanya berfungsi pada contoh masalah sebenar.

Contoh penyelesaian persamaan

Hari ini kita berurusan dengan persamaan linear, dan hanya yang paling mudah. Secara umum, persamaan linear bermaksud sebarang kesamaan yang mengandungi tepat satu pembolehubah, dan ia hanya pergi ke tahap pertama.

Pembinaan sedemikian diselesaikan dengan cara yang hampir sama:

1. Pertama sekali, anda perlu membuka kurungan, jika ada (seperti dalam contoh terakhir kami);
2. Kemudian bawa yang serupa
3. Akhir sekali, asingkan pembolehubah, i.e. semua yang berkaitan dengan pembolehubah - syarat di mana ia terkandung - dipindahkan ke satu pihak, dan semua yang kekal tanpanya dipindahkan ke sisi lain.

Kemudian, sebagai peraturan, anda perlu membawa sama pada setiap sisi kesamaan yang terhasil, dan selepas itu ia kekal hanya untuk membahagikan dengan pekali pada "x", dan kami akan mendapat jawapan akhir.

Secara teori, ini kelihatan bagus dan mudah, tetapi dalam praktiknya, pelajar sekolah menengah yang berpengalaman pun boleh membuat kesilapan yang menyinggung perasaan dalam persamaan linear yang agak mudah. Biasanya, kesilapan dibuat sama ada semasa membuka kurungan, atau semasa mengira "tambah" dan "tolak".

Di samping itu, ia berlaku bahawa persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau supaya penyelesaiannya ialah keseluruhan garis nombor, i.e. sebarang nombor. Kami akan menganalisis kehalusan ini dalam pelajaran hari ini. Tetapi kami akan mulakan, seperti yang anda sudah faham, dengan tugas yang paling mudah.

Skema untuk menyelesaikan persamaan linear mudah

Sebagai permulaan, izinkan saya menulis sekali lagi keseluruhan skema untuk menyelesaikan persamaan linear yang paling mudah:

1. Kembangkan kurungan, jika ada.
2. Pembolehubah terpencil, i.e. semua yang mengandungi "x" dipindahkan ke satu pihak, dan tanpa "x" - ke yang lain.
3. Kami membentangkan istilah yang serupa.
4. Kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x".

Sudah tentu, skim ini tidak selalu berfungsi, ia mempunyai kehalusan dan helah tertentu, dan sekarang kita akan mengenali mereka.

Menyelesaikan contoh sebenar persamaan linear mudah

Tugasan #1

Pada langkah pertama, kita dikehendaki membuka kurungan. Tetapi mereka tiada dalam contoh ini, jadi kami melangkau langkah ini. Dalam langkah kedua, kita perlu mengasingkan pembolehubah. Sila ambil perhatian: kami hanya bercakap tentang istilah individu. Mari menulis:

Kami memberikan istilah yang sama di sebelah kiri dan di sebelah kanan, tetapi ini telah dilakukan di sini. Oleh itu, kami meneruskan ke langkah keempat: bahagikan dengan faktor:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Di sini kami mendapat jawapannya.

Tugasan #2

Dalam tugasan ini, kita boleh melihat kurungan, jadi mari kita kembangkannya:

Kedua-dua di sebelah kiri dan di sebelah kanan, kita melihat kira-kira pembinaan yang sama, tetapi mari kita bertindak mengikut algoritma, i.e. pemboleh ubah sequester:

Berikut adalah beberapa seperti:

Pada akar apakah ini berfungsi? Jawapan: untuk mana-mana. Oleh itu, kita boleh menulis bahawa $x$ ialah sebarang nombor.

Tugasan #3

Persamaan linear ketiga sudah lebih menarik:

\[\kiri(6-x \kanan)+\kiri(12+x \kanan)-\kiri(3-2x \kanan)=15\]

Terdapat beberapa kurungan di sini, tetapi ia tidak didarab dengan apa-apa, ia hanya mempunyai tanda yang berbeza di hadapannya. Mari pecahkan mereka:

Kami melakukan langkah kedua yang telah kami ketahui:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Mari kita kira:

Kami melakukan langkah terakhir - kami membahagikan semuanya dengan pekali pada "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Perkara yang Perlu Diingati Semasa Menyelesaikan Persamaan Linear

Jika kita mengabaikan tugas yang terlalu mudah, maka saya ingin mengatakan perkara berikut:

• Seperti yang saya katakan di atas, tidak setiap persamaan linear mempunyai penyelesaian - kadangkala tiada punca;
• Walaupun terdapat akar, sifar boleh masuk di antara mereka - tidak ada yang salah dengan itu.

Sifar adalah nombor yang sama dengan yang lain, anda tidak sepatutnya mendiskriminasikannya atau menganggap bahawa jika anda mendapat sifar, maka anda melakukan sesuatu yang salah.

Ciri lain adalah berkaitan dengan pengembangan kurungan. Sila ambil perhatian: apabila terdapat "tolak" di hadapannya, kami mengeluarkannya, tetapi dalam kurungan kami menukar tanda itu kepada bertentangan. Dan kemudian kita boleh membukanya mengikut algoritma standard: kita akan mendapat apa yang kita lihat dalam pengiraan di atas.

Memahami fakta mudah ini akan membantu anda mengelak daripada membuat kesilapan bodoh dan menyakitkan di sekolah menengah, apabila melakukan tindakan sedemikian dianggap remeh.

Menyelesaikan persamaan linear kompleks

Mari kita beralih kepada persamaan yang lebih kompleks. Kini pembinaan akan menjadi lebih rumit dan fungsi kuadratik akan muncul apabila melakukan pelbagai transformasi. Walau bagaimanapun, anda tidak perlu takut tentang ini, kerana jika, mengikut niat pengarang, kami menyelesaikan persamaan linear, maka dalam proses transformasi semua monomial yang mengandungi fungsi kuadratik semestinya akan dikurangkan.

Contoh #1

Jelas sekali, langkah pertama ialah membuka kurungan. Mari lakukan ini dengan berhati-hati:

Sekarang mari ambil privasi:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi dalam jawapan kami menulis seperti berikut:

\[\pelbagai \]

atau tiada akar.

Contoh #2

Kami melakukan langkah yang sama. Langkah pertama:

Mari kita gerakkan segala-galanya dengan pembolehubah ke kiri, dan tanpanya - ke kanan:

Berikut adalah beberapa seperti:

Jelas sekali, persamaan linear ini tidak mempunyai penyelesaian, jadi kami menulisnya seperti ini:

\[\varnothing\],

atau tiada akar.

Nuansa penyelesaian

Kedua-dua persamaan diselesaikan sepenuhnya. Pada contoh kedua-dua ungkapan ini, kami sekali lagi memastikan bahawa walaupun dalam persamaan linear yang paling mudah, semuanya boleh menjadi tidak begitu mudah: boleh ada sama ada satu, atau tiada, atau banyak tak terhingga. Dalam kes kami, kami mempertimbangkan dua persamaan, dalam kedua-duanya tiada punca.

Tetapi saya ingin menarik perhatian anda kepada fakta lain: cara bekerja dengan kurungan dan cara mengembangkannya jika terdapat tanda tolak di hadapannya. Pertimbangkan ungkapan ini:

Sebelum membuka, anda perlu mendarabkan semuanya dengan "x". Sila ambil perhatian: darab setiap istilah individu. Di dalamnya terdapat dua sebutan - masing-masing, dua sebutan dan didarab.

Dan hanya selepas transformasi yang kelihatan asas, tetapi sangat penting dan berbahaya ini telah selesai, kurungan boleh dibuka dari sudut pandangan bahawa terdapat tanda tolak selepasnya. Ya, ya: hanya sekarang, apabila transformasi dilakukan, kami ingat bahawa terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, yang bermaksud bahawa semua di bawah hanya menukar tanda. Pada masa yang sama, kurungan itu sendiri hilang dan, yang paling penting, "tolak" depan juga hilang.

Kami melakukan perkara yang sama dengan persamaan kedua:

Bukan kebetulan saya memberi perhatian kepada fakta-fakta kecil yang kelihatan tidak penting ini. Kerana menyelesaikan persamaan sentiasa merupakan urutan transformasi asas, di mana ketidakupayaan untuk melakukan tindakan mudah dengan jelas dan cekap membawa kepada fakta bahawa pelajar sekolah menengah datang kepada saya dan belajar menyelesaikan persamaan mudah itu semula.

Sudah tentu, harinya akan tiba apabila anda akan mengasah kemahiran ini kepada automatisme. Anda tidak lagi perlu melakukan begitu banyak transformasi setiap kali, anda akan menulis semuanya dalam satu baris. Tetapi semasa anda baru belajar, anda perlu menulis setiap tindakan secara berasingan.

Menyelesaikan persamaan linear yang lebih kompleks

Apa yang akan kita selesaikan sekarang hampir tidak boleh dipanggil tugas yang paling mudah, tetapi maknanya tetap sama.

Tugasan #1

\[\kiri(7x+1 \kanan)\kiri(3x-1 \kanan)-21((x)^(2))=3\]

Mari kita darabkan semua unsur dalam bahagian pertama:

Mari lakukan retret:

Berikut adalah beberapa seperti:

Mari lakukan langkah terakhir:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Inilah jawapan terakhir kami. Dan, walaupun fakta bahawa dalam proses penyelesaian kita mempunyai pekali dengan fungsi kuadratik, bagaimanapun, ia saling membatalkan, yang menjadikan persamaan itu betul-betul linear, bukan persegi.

Tugasan #2

\[\kiri(1-4x \kanan)\kiri(1-3x \kanan)=6x\kiri(2x-1 \kanan)\]

Mari lakukan langkah pertama dengan berhati-hati: darab setiap elemen dalam kurungan pertama dengan setiap elemen dalam kedua. Secara keseluruhan, empat istilah baharu perlu diperolehi selepas transformasi:

Dan kini berhati-hati melakukan pendaraban dalam setiap sebutan:

Mari alihkan istilah dengan "x" ke kiri, dan tanpa - ke kanan:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Berikut adalah istilah yang serupa:

Kami telah menerima jawapan yang pasti.

Nuansa penyelesaian

Kenyataan yang paling penting mengenai kedua-dua persamaan ini ialah ini: sebaik sahaja kita mula mendarab kurungan yang terdapat lebih daripada satu sebutan, maka ini dilakukan mengikut peraturan berikut: kita mengambil sebutan pertama daripada yang pertama dan mendarab dengan setiap elemen dari yang kedua; kemudian kita mengambil elemen kedua dari yang pertama dan sama darab dengan setiap elemen dari yang kedua. Hasilnya, kita mendapat empat penggal.

Pada jumlah algebra

Dengan contoh terakhir, saya ingin mengingatkan pelajar apa itu jumlah algebra. Dalam matematik klasik, dengan $1-7$ kita maksudkan pembinaan mudah: kita tolak tujuh daripada satu. Dalam algebra, kami maksudkan perkara berikut: kepada nombor "satu" kami menambah nombor lain, iaitu "tolak tujuh." Jumlah algebra ini berbeza daripada jumlah aritmetik biasa.

Sebaik sahaja semasa melakukan semua transformasi, setiap penambahan dan pendaraban, anda mula melihat pembinaan yang serupa dengan yang diterangkan di atas, anda tidak akan menghadapi sebarang masalah dalam algebra apabila bekerja dengan polinomial dan persamaan.

Sebagai kesimpulan, mari kita lihat beberapa lagi contoh yang akan menjadi lebih kompleks daripada yang baru kita lihat, dan untuk menyelesaikannya, kita perlu mengembangkan sedikit algoritma standard kami.

Menyelesaikan persamaan dengan pecahan

Untuk menyelesaikan tugasan tersebut, satu langkah lagi perlu ditambahkan pada algoritma kami. Tetapi pertama-tama, saya akan mengingatkan algoritma kami:

1. Buka kurungan.
2. Pembolehubah berasingan.
3. Bawa serupa.
4. Bahagikan dengan faktor.

Malangnya, algoritma yang hebat ini, untuk semua kecekapannya, tidak sepenuhnya sesuai apabila kita mempunyai pecahan di hadapan kita. Dan dalam apa yang akan kita lihat di bawah, kita mempunyai pecahan di sebelah kiri dan di sebelah kanan dalam kedua-dua persamaan.

Bagaimana untuk bekerja dalam kes ini? Ya, ia sangat mudah! Untuk melakukan ini, anda perlu menambah satu lagi langkah pada algoritma, yang boleh dilakukan sebelum tindakan pertama dan selepasnya, iaitu, untuk menyingkirkan pecahan. Oleh itu, algoritma adalah seperti berikut:

1. Buang pecahan.
2. Buka kurungan.
3. Pembolehubah berasingan.
4. Bawa serupa.
5. Bahagikan dengan faktor.

Apakah yang dimaksudkan dengan "menyingkirkan pecahan"? Dan mengapa mungkin untuk melakukan ini selepas dan sebelum langkah standard pertama? Malah, dalam kes kami, semua pecahan adalah berangka dari segi penyebutnya, i.e. di mana-mana penyebutnya hanyalah nombor. Oleh itu, jika kita mendarab kedua-dua bahagian persamaan dengan nombor ini, maka kita akan menyingkirkan pecahan.

Contoh #1

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan))(4)=((x)^(2))-1\]

Mari kita hapuskan pecahan dalam persamaan ini:

\[\frac(\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)\cdot 4)(4)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sila ambil perhatian: semuanya didarab dengan "empat" sekali, i.e. hanya kerana anda mempunyai dua kurungan tidak bermakna anda perlu mendarab setiap satunya dengan "empat". Mari menulis:

\[\kiri(2x+1 \kanan)\kiri(2x-3 \kanan)=\kiri(((x)^(2))-1 \kanan)\cdot 4\]

Sekarang mari buka:

Kami melakukan pengasingan pembolehubah:

Kami melaksanakan pengurangan syarat yang sama:

\[-4x=-1\kiri| :\kiri(-4 \kanan) \kanan.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Kami telah menerima penyelesaian akhir, kami meneruskan ke persamaan kedua.

Contoh #2

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan))(5)+((x)^(2))=1\]

Di sini kami melakukan semua tindakan yang sama:

\[\frac(\kiri(1-x \kanan)\kiri(1+5x \kanan)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Masalah selesai.

Sebenarnya, itu sahaja yang saya ingin beritahu hari ini.

Perkara utama

Penemuan utama adalah seperti berikut:

• Mengetahui algoritma untuk menyelesaikan persamaan linear.
• Keupayaan untuk membuka kurungan.
• Jangan risau jika anda mempunyai fungsi kuadratik di suatu tempat, kemungkinan besar, dalam proses transformasi selanjutnya, ia akan dikurangkan.
• Punca-punca dalam persamaan linear, walaupun yang paling mudah, terdiri daripada tiga jenis: satu punca tunggal, keseluruhan garis nombor ialah punca, tiada punca sama sekali.

Saya harap pelajaran ini akan membantu anda menguasai topik yang mudah tetapi sangat penting untuk pemahaman lanjut tentang semua matematik. Jika ada yang tidak jelas, pergi ke tapak, selesaikan contoh yang dibentangkan di sana. Nantikan, banyak lagi perkara menarik menanti anda!