Hoe vergelijking b op te lossen. Hoe vergelijkingen met breuken op te lossen

Instructies

Opmerking:π wordt geschreven als pi; vierkantswortel als sqrt().

Stap 1. Voer een gegeven voorbeeld in dat uit breuken bestaat.

Stap 2. Klik op de knop "Oplossen".

Stap 3. Ontvang gedetailleerde resultaten.

Om er zeker van te zijn dat de rekenmachine breuken correct berekent, voert u de breuk in, gescheiden door het “/”-teken. Bijvoorbeeld: . De rekenmachine berekent de vergelijking en laat in de grafiek zelfs zien waarom dit resultaat werd verkregen.

Wat is een vergelijking met breuken

Een fractionele vergelijking is een vergelijking waarin de coëfficiënten fractionele getallen zijn. Lineaire vergelijkingen met breuken worden opgelost volgens het standaardschema: de onbekenden worden naar de ene kant overgebracht en de bekende naar de andere.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld:

Breuken met onbekenden worden naar links overgebracht en andere breuken naar rechts. Wanneer getallen voorbij het gelijkteken worden overgedragen, verandert het teken van de getallen in het tegenovergestelde:

Nu hoef je alleen maar de acties van beide kanten van de gelijkheid uit te voeren:

Het resultaat is een gewone lineaire vergelijking. Nu moet je de linker- en rechterkant delen door de coëfficiënt van de variabele.

Los vergelijkingen met breuken online op bijgewerkt: 7 oktober 2018 door: Wetenschappelijke artikelen.Ru

Laten we twee soorten oplossingen voor stelsels vergelijkingen analyseren:

1. Het systeem oplossen met behulp van de substitutiemethode.
2. Het systeem oplossen door de systeemvergelijkingen term voor term op te tellen (aftrekken).

Om het stelsel vergelijkingen op te lossen via substitutiemethode je moet een eenvoudig algoritme volgen:
1. Express. Uit elke vergelijking drukken we één variabele uit.
2. Vervanger. We vervangen de resulterende waarde in een andere vergelijking in plaats van de uitgedrukte variabele.
3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

Oplossen systeem door term-voor-term optellen (aftrekken) methode nodig hebben:
1. Selecteer een variabele waarvoor we identieke coëfficiënten gaan maken.
2. We voegen vergelijkingen toe of trekken ze af, wat resulteert in een vergelijking met één variabele.
3. Los de resulterende lineaire vergelijking op. Wij vinden een oplossing voor het systeem.

De oplossing voor het systeem zijn de snijpunten van de functiegrafieken.

Laten we de oplossing van systemen in detail bekijken met behulp van voorbeelden.

Voorbeeld 1:

Laten we het oplossen via de substitutiemethode

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de substitutiemethode

2x+5y=1 (1 vergelijking)
x-10y=3 (2e vergelijking)

1. Express
Het is te zien dat er in de tweede vergelijking een variabele x is met een coëfficiënt van 1, wat betekent dat het het gemakkelijkst is om de variabele x uit de tweede vergelijking uit te drukken.
x=3+10y

2. Nadat we het hebben uitgedrukt, vervangen we 3+10y in de eerste vergelijking in plaats van de variabele x.
2(3+10j)+5j=1

3. Los de resulterende vergelijking op met één variabele.
2(3+10y)+5y=1 (open de haakjes)
6+20j+5j=1
25j=1-6
25j=-5 |: (25)
j=-5:25
y=-0,2

De oplossing voor het vergelijkingssysteem zijn de snijpunten van de grafieken, daarom moeten we x en y vinden, omdat het snijpunt bestaat uit x en y. Laten we x vinden, in het eerste punt waar we het uitdrukten, vervangen we y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Het is gebruikelijk om punten te schrijven, in de eerste plaats schrijven we de variabele x, en in de tweede plaats de variabele y.
Antwoord: (1; -0,2)

Voorbeeld #2:

Laten we het oplossen met behulp van de term-voor-term optelling (aftrekking) methode.

Een stelsel vergelijkingen oplossen met behulp van de optelmethode

3x-2y=1 (1 vergelijking)
2x-3y=-10 (2e vergelijking)

1. We kiezen een variabele, laten we zeggen dat we x kiezen. In de eerste vergelijking heeft de variabele x een coëfficiënt van 3, in de tweede - 2. We moeten de coëfficiënten hetzelfde maken, hiervoor hebben we het recht om de vergelijkingen te vermenigvuldigen of te delen door een willekeurig getal. We vermenigvuldigen de eerste vergelijking met 2 en de tweede met 3 en krijgen een totale coëfficiënt van 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trek de tweede van de eerste vergelijking af om de variabele x weg te werken en los de lineaire vergelijking op.
__6x-4y=2

5j=32 | :5
j=6,4

3. Zoek x. We vervangen de gevonden y in een van de vergelijkingen, laten we zeggen in de eerste vergelijking.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Het snijpunt zal x=4,6 zijn; j=6,4
Antwoord: (4,6; 6,4)

Wil jij je gratis voorbereiden op examens? Bijlesdocent online gratis. Geen grapje.

Doel van de dienst. De matrixcalculator is ontworpen om stelsels lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van een matrixmethode (zie voorbeeld van het oplossen van soortgelijke problemen).

Instructies. Om online op te lossen, moet u het type vergelijking selecteren en de dimensie van de overeenkomstige matrices instellen. waar A, B, C de gespecificeerde matrices zijn, is X de gewenste matrix. Matrixvergelijkingen van de vorm (1), (2) en (3) worden opgelost via de inverse matrix A -1. Als de uitdrukking A·X - B = C gegeven is, dan is het noodzakelijk om eerst de matrices C + B op te tellen en een oplossing te vinden voor de uitdrukking A·X = D, waarbij D = C + B. Als de uitdrukking A*X = B 2 wordt gegeven, moet matrix B eerst worden gekwadrateerd.

Het wordt ook aanbevolen om vertrouwd te raken met de basisbewerkingen op matrices.

Voorbeeld nr. 1. Oefening. Vind de oplossing van de matrixvergelijking
Oplossing. Laten we aangeven:
Vervolgens wordt de matrixvergelijking geschreven in de vorm: A·X·B = C.
De determinant van matrix A is gelijk aan detA=-1
Omdat A een niet-singuliere matrix is, bestaat er een inverse matrix A-1. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking aan de linkerkant met A -1: Vermenigvuldig beide zijden van deze vergelijking aan de linkerkant met A -1 en aan de rechterkant met B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Omdat A A -1 = B B -1 = E en E X = X E = X, dan is X = A -1 C B -1

Inverse matrix A -1:
Laten we de inverse matrix B -1 vinden.
Getransponeerde matrix B T:
Inverse matrix B -1:
We zoeken naar matrix X met behulp van de formule: X = A -1 ·C·B -1

Antwoord:

Voorbeeld nr. 2. Oefening. Los de matrixvergelijking op
Oplossing. Laten we aangeven:
Vervolgens wordt de matrixvergelijking geschreven in de vorm: A·X = B.
De determinant van matrix A is detA=0
Omdat A een singuliere matrix is ​​(de determinant is 0), heeft de vergelijking daarom geen oplossing.

Voorbeeld nr. 3. Oefening. Vind de oplossing van de matrixvergelijking
Oplossing. Laten we aangeven:
Vervolgens wordt de matrixvergelijking geschreven in de vorm: X A = B.
De determinant van matrix A is detA=-60
Omdat A een niet-singuliere matrix is, bestaat er een inverse matrix A-1. Laten we beide zijden van de vergelijking aan de rechterkant vermenigvuldigen met A -1: X A A -1 = B A -1, waaruit blijkt dat X = B A -1
Laten we de inverse matrix A -1 vinden.
Getransponeerde matrix AT:
Inverse matrix A -1:
We zoeken naar matrix X met behulp van de formule: X = BA -1


Antwoord: >

In deze video analyseren we een hele reeks lineaire vergelijkingen die met hetzelfde algoritme worden opgelost - daarom worden ze de eenvoudigste genoemd.

Laten we eerst definiëren: wat is een lineaire vergelijking en welke wordt de eenvoudigste genoemd?

Een lineaire vergelijking is een vergelijking waarin er slechts één variabele is, en alleen tot de eerste graad.

De eenvoudigste vergelijking betekent de constructie:

Alle andere lineaire vergelijkingen worden met behulp van het algoritme tot de eenvoudigste teruggebracht:

1. Vouw eventuele haakjes uit;
2. Verplaats termen die een variabele bevatten naar de ene kant van het gelijkteken, en termen zonder variabele naar de andere kant;
3. Geef soortgelijke termen links en rechts van het gelijkteken;
4. Deel de resulterende vergelijking door de coëfficiënt van de variabele $x$.

Natuurlijk helpt dit algoritme niet altijd. Feit is dat na al deze machinaties soms de coëfficiënt van de variabele $x$ gelijk aan nul blijkt te zijn. In dit geval zijn er twee opties mogelijk:

1. De vergelijking heeft helemaal geen oplossingen. Wanneer bijvoorbeeld zoiets als $0\cdot x=8$ uitkomt, d.w.z. aan de linkerkant is nul en aan de rechterkant is een ander getal dan nul. In de onderstaande video bekijken we verschillende redenen waarom deze situatie mogelijk is.
2. De oplossing bestaat uit alle getallen. Het enige geval waarin dit mogelijk is, is wanneer de vergelijking is teruggebracht tot de constructie $0\cdot x=0$. Het is heel logisch dat, ongeacht hoeveel $x$ we vervangen, het nog steeds zal blijken dat “nul gelijk is aan nul”, d.w.z. correcte numerieke gelijkheid.

Laten we nu eens kijken hoe dit allemaal werkt aan de hand van voorbeelden uit de praktijk.

Voorbeelden van het oplossen van vergelijkingen

Tegenwoordig hebben we te maken met lineaire vergelijkingen, en alleen met de eenvoudigste. Over het algemeen betekent een lineaire vergelijking elke gelijkheid die precies één variabele bevat, en deze gaat alleen tot de eerste graad.

Dergelijke constructies worden op ongeveer dezelfde manier opgelost:

1. Allereerst moet je de haakjes uitvouwen, als die er zijn (zoals in ons laatste voorbeeld);
2. Combineer dan vergelijkbaar
3. Isoleer ten slotte de variabele, d.w.z. verplaats alles wat verband houdt met de variabele (de termen waarin deze is vervat) naar de ene kant, en verplaats alles wat er zonder blijft naar de andere kant.

Dan moet je in de regel soortgelijke waarden aan elke kant van de resulterende gelijkheid brengen, en daarna hoef je alleen nog maar te delen door de coëfficiënt van "x", en dan krijgen we het definitieve antwoord.

In theorie ziet dit er mooi en eenvoudig uit, maar in de praktijk kunnen zelfs ervaren middelbare scholieren aanstootgevende fouten maken in vrij eenvoudige lineaire vergelijkingen. Meestal worden er fouten gemaakt bij het openen van haakjes of bij het berekenen van de “plus- en minpunten”.

Bovendien komt het voor dat een lineaire vergelijking helemaal geen oplossingen heeft, of dat de oplossing de gehele getallenlijn is, d.w.z. elk nummer. We zullen deze subtiliteiten in de les van vandaag bekijken. Maar we zullen, zoals je al begreep, beginnen met de eenvoudigste taken.

Schema voor het oplossen van eenvoudige lineaire vergelijkingen

Laat me eerst nogmaals het hele schema voor het oplossen van de eenvoudigste lineaire vergelijkingen schrijven:

1. Vouw de haakjes uit, indien aanwezig.
2. We isoleren de variabelen, d.w.z. We verplaatsen alles dat “X’s” bevat naar de ene kant, en alles zonder “X’s” naar de andere kant.
3. We presenteren vergelijkbare termen.
4. We delen alles door de coëfficiënt van “x”.

Natuurlijk werkt dit schema niet altijd: er zitten bepaalde subtiliteiten en trucs in, en nu zullen we ze leren kennen.

Echte voorbeelden van eenvoudige lineaire vergelijkingen oplossen

Taak nr. 1

Voor de eerste stap moeten we de haakjes openen. Maar ze staan ​​niet in dit voorbeeld, dus we slaan deze stap over. In de tweede stap moeten we de variabelen isoleren. Let op: we hebben het alleen over individuele voorwaarden. Laten we het opschrijven:

We presenteren links en rechts vergelijkbare termen, maar dit is hier al gedaan. Daarom gaan we verder met de vierde stap: delen door de coëfficiënt:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Dus we hebben het antwoord.

Taak nr. 2

We kunnen de haakjes in dit probleem zien, dus laten we ze uitbreiden:

Zowel links als rechts zien we ongeveer hetzelfde ontwerp, maar laten we handelen volgens het algoritme, d.w.z. het scheiden van de variabelen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Bij welke wortels werkt dit? Antwoord: voor iedereen. Daarom kunnen we schrijven dat $x$ een willekeurig getal is.

Taak nr. 3

De derde lineaire vergelijking is interessanter:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Er zijn hier verschillende haakjes, maar deze worden nergens mee vermenigvuldigd, ze worden eenvoudigweg voorafgegaan door verschillende tekens. Laten we ze opsplitsen:

We voeren de tweede stap uit die ons al bekend is:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Laten we de wiskunde doen:

We voeren de laatste stap uit: deel alles door de coëfficiënt van "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Dingen om te onthouden bij het oplossen van lineaire vergelijkingen

Als we te eenvoudige taken negeren, zou ik het volgende willen zeggen:

• Zoals ik hierboven al zei, heeft niet elke lineaire vergelijking een oplossing - soms zijn er gewoon geen wortels;
• Zelfs als er wortels zijn, kunnen er nul zijn - daar is niets mis mee.

Nul is hetzelfde getal als de anderen; je mag er op geen enkele manier tegen discrimineren of ervan uitgaan dat als je nul krijgt, je iets verkeerd hebt gedaan.

Een ander kenmerk houdt verband met het openen van haakjes. Let op: als er een “min” voor staat, verwijderen we deze, maar tussen haakjes veranderen we de tekens in tegenovergestelde. En dan kunnen we het openen met behulp van standaardalgoritmen: we krijgen wat we in de bovenstaande berekeningen zagen.

Als je dit simpele feit begrijpt, kun je voorkomen dat je domme en kwetsende fouten maakt op de middelbare school, terwijl zulke dingen als vanzelfsprekend worden beschouwd.

Complexe lineaire vergelijkingen oplossen

Laten we verder gaan met complexere vergelijkingen. Nu zullen de constructies complexer worden en bij het uitvoeren van verschillende transformaties zal een kwadratische functie verschijnen. We moeten hier echter niet bang voor zijn, want als we, volgens het plan van de auteur, een lineaire vergelijking oplossen, dan zullen tijdens het transformatieproces alle monomialen die een kwadratische functie bevatten zeker worden geannuleerd.

Voorbeeld nr. 1

Uiteraard is de eerste stap het openen van de haakjes. Laten we dit heel voorzichtig doen:

Laten we nu eens kijken naar privacy:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze vergelijking geen oplossingen heeft, dus we zullen dit in het antwoord schrijven:

\[\varniets\]

of er zijn geen wortels.

Voorbeeld nr. 2

Wij voeren dezelfde acties uit. Eerste stap:

Laten we alles met een variabele naar links verplaatsen, en zonder variabele naar rechts:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Het is duidelijk dat deze lineaire vergelijking geen oplossing heeft, dus schrijven we deze op deze manier:

\[\varniets\],

of er zijn geen wortels.

Nuances van de oplossing

Beide vergelijkingen zijn volledig opgelost. Met deze twee uitdrukkingen als voorbeeld waren we er opnieuw van overtuigd dat zelfs in de eenvoudigste lineaire vergelijkingen alles misschien niet zo eenvoudig is: er kan één zijn, of geen, of oneindig veel wortels. In ons geval hebben we twee vergelijkingen overwogen, beide hebben eenvoudigweg geen wortels.

Maar ik zou uw aandacht willen vestigen op een ander feit: hoe u met haakjes werkt en hoe u ze opent als er een minteken voor staat. Beschouw deze uitdrukking:

Voordat je het opent, moet je alles met "X" vermenigvuldigen. Let op: vermenigvuldigt elke afzonderlijke term. Binnenin zijn er twee termen - respectievelijk twee termen en vermenigvuldigd.

En pas nadat deze ogenschijnlijk elementaire, maar zeer belangrijke en gevaarlijke transformaties zijn voltooid, kun je het haakje openen vanuit het oogpunt van het feit dat er een minteken achter staat. Ja, ja: pas nu, wanneer de transformaties zijn voltooid, herinneren we ons dat er een minteken voor de haakjes staat, wat betekent dat alles daaronder eenvoudigweg van teken verandert. Tegelijkertijd verdwijnen de haakjes zelf en, belangrijker nog, ook de voorste “minus” verdwijnt.

Hetzelfde doen we met de tweede vergelijking:

Het is geen toeval dat ik aandacht besteed aan deze kleine, ogenschijnlijk onbelangrijke feiten. Omdat het oplossen van vergelijkingen altijd een opeenvolging van elementaire transformaties is, waarbij het onvermogen om eenvoudige handelingen duidelijk en competent uit te voeren ertoe leidt dat middelbare scholieren naar mij toe komen en opnieuw leren zulke eenvoudige vergelijkingen op te lossen.

Natuurlijk zal er een dag komen waarop je deze vaardigheden zult aanscherpen tot het punt van automatisme. Je hoeft niet meer elke keer zoveel transformaties uit te voeren; je schrijft alles op één regel. Maar terwijl je net aan het leren bent, moet je elke actie afzonderlijk schrijven.

Nog complexere lineaire vergelijkingen oplossen

Wat we nu gaan oplossen kan nauwelijks de eenvoudigste opgave worden genoemd, maar de betekenis blijft hetzelfde.

Taak nr. 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Laten we alle elementen in het eerste deel vermenigvuldigen:

Laten we wat privacy doen:

Hier zijn enkele soortgelijke:

Laten we de laatste stap voltooien:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Hier is ons definitieve antwoord. En ondanks het feit dat we tijdens het oplossen coëfficiënten met een kwadratische functie hadden, heffen ze elkaar op, wat de vergelijking lineair maakt en niet kwadratisch.

Taak nr. 2

\[\links(1-4x \rechts)\links(1-3x \rechts)=6x\links(2x-1 \rechts)\]

Laten we de eerste stap zorgvuldig uitvoeren: vermenigvuldig elk element uit de eerste haak met elk element uit de tweede. Er zouden in totaal vier nieuwe termen moeten zijn na de transformaties:

Laten we nu zorgvuldig de vermenigvuldiging in elke term uitvoeren:

Laten we de termen met “X” naar links verplaatsen, en die zonder – naar rechts:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Hier zijn vergelijkbare termen:

We hebben wederom het definitieve antwoord ontvangen.

Nuances van de oplossing

De belangrijkste opmerking over deze twee vergelijkingen is de volgende: zodra we haakjes beginnen te vermenigvuldigen die meer dan één term bevatten, gebeurt dit volgens de volgende regel: we nemen de eerste term van de eerste en vermenigvuldigen met elk element van de seconde; dan nemen we het tweede element uit het eerste en vermenigvuldigen we op dezelfde manier met elk element uit het tweede. Als gevolg hiervan zullen we vier termijnen hebben.

Over de algebraïsche som

Met dit laatste voorbeeld wil ik de leerlingen eraan herinneren wat een algebraïsche som is. In de klassieke wiskunde bedoelen we met $1-7$ een eenvoudige constructie: trek zeven van één af. In de algebra bedoelen we hiermee het volgende: aan het getal “één” voegen we nog een getal toe, namelijk “min zeven”. Dit is hoe een algebraïsche som verschilt van een gewone rekenkundige som.

Zodra je bij het uitvoeren van alle transformaties, elke optelling en vermenigvuldiging constructies begint te zien die lijken op de hierboven beschreven, zul je eenvoudigweg geen problemen ondervinden in de algebra als je met polynomen en vergelijkingen werkt.

Laten we tot slot nog een paar voorbeelden bekijken die nog complexer zullen zijn dan de voorbeelden waar we zojuist naar hebben gekeken, en om ze op te lossen zullen we ons standaardalgoritme iets moeten uitbreiden.

Vergelijkingen met breuken oplossen

Om dergelijke taken op te lossen, zullen we nog een stap aan ons algoritme moeten toevoegen. Maar laat me u eerst herinneren aan ons algoritme:

1. Open de beugels.
2. Afzonderlijke variabelen.
3. Neem soortgelijke mee.
4. Deel door de verhouding.

Helaas blijkt dit prachtige algoritme, ondanks al zijn effectiviteit, niet helemaal geschikt te zijn als we breuken voor ons hebben. En in wat we hieronder zullen zien, hebben we in beide vergelijkingen zowel links als rechts een breuk.

Hoe te werk te gaan in dit geval? Ja, het is heel eenvoudig! Om dit te doen, moet je nog een stap aan het algoritme toevoegen, wat zowel voor als na de eerste actie kan worden gedaan, namelijk het wegwerken van breuken. Het algoritme zal dus als volgt zijn:

1. Weg met breuken.
2. Open de beugels.
3. Afzonderlijke variabelen.
4. Neem soortgelijke mee.
5. Deel door de verhouding.

Wat betekent het om ‘breuken weg te werken’? En waarom kan dit zowel na als vóór de eerste standaardstap? In ons geval zijn alle breuken in feite numeriek in hun noemer, d.w.z. Overal is de noemer slechts een getal. Als we dus beide kanten van de vergelijking met dit getal vermenigvuldigen, zullen we breuken wegwerken.

Voorbeeld nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Laten we de breuken in deze vergelijking wegwerken:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Let op: alles wordt één keer met “vier” vermenigvuldigd, d.w.z. Het feit dat je twee haakjes hebt, betekent niet dat je ze allemaal met 'vier' moet vermenigvuldigen. Laten we opschrijven:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Laten we nu uitbreiden:

We scheiden de variabele:

We voeren de reductie van vergelijkbare termen uit:

\[-4x=-1\links| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

We hebben de uiteindelijke oplossing ontvangen, laten we verder gaan met de tweede vergelijking.

Voorbeeld nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Hier voeren we allemaal dezelfde acties uit:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Het probleem is opgelost.

Dat is eigenlijk alles wat ik je vandaag wilde vertellen.

Belangrijkste punten

De belangrijkste bevindingen zijn:

• Ken het algoritme voor het oplossen van lineaire vergelijkingen.
• Mogelijkheid om haakjes te openen.
• Maak je geen zorgen als je ergens kwadratische functies hebt; hoogstwaarschijnlijk zullen ze worden verminderd tijdens het proces van verdere transformaties.
• Er zijn drie soorten wortels in lineaire vergelijkingen, zelfs de eenvoudigste: één enkele wortel, de hele getallenlijn is een wortel en helemaal geen wortels.

Ik hoop dat deze les je zal helpen een eenvoudig, maar zeer belangrijk onderwerp onder de knie te krijgen voor een beter begrip van alle wiskunde. Als iets niet duidelijk is, ga dan naar de site en los de daar gepresenteerde voorbeelden op. Houd ons in de gaten, er staan ​​je nog veel meer interessante dingen te wachten!

Kwadratische vergelijkingen worden bestudeerd in groep 8, dus er is hier niets ingewikkelds. Het vermogen om ze op te lossen is absoluut noodzakelijk.

Een kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij de coëfficiënten a, b en c willekeurige getallen zijn, en a ≠ 0.

Voordat u specifieke oplossingsmethoden bestudeert, moet u er rekening mee houden dat alle kwadratische vergelijkingen in drie klassen kunnen worden verdeeld:

1. Heb geen wortels;
2. Heb precies één wortel;
3. Ze hebben twee verschillende wortels.

Dit is een belangrijk verschil tussen kwadratische vergelijkingen en lineaire vergelijkingen, waarbij de wortel altijd bestaat en uniek is. Hoe bepaal je hoeveel wortels een vergelijking heeft? Er is iets geweldigs hiervoor - discriminerend.

Discriminerend

Geef de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0. Dan is de discriminant eenvoudigweg het getal D = b 2 − 4ac.

Je moet deze formule uit je hoofd kennen. Waar het vandaan komt, is nu niet belangrijk. Nog iets is belangrijk: aan de hand van het teken van de discriminant kun je bepalen hoeveel wortels een kwadratische vergelijking heeft. Namelijk:

1. Als D< 0, корней нет;
2. Als D = 0, is er precies één wortel;
3. Als D > 0, zijn er twee wortels.

Let op: de discriminant geeft het aantal wortels aan, en helemaal niet hun tekens, zoals veel mensen om de een of andere reden geloven. Bekijk de voorbeelden en je zult alles zelf begrijpen:

Taak. Hoeveel wortels hebben kwadratische vergelijkingen:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Laten we de coëfficiënten voor de eerste vergelijking opschrijven en de discriminant vinden:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

De discriminant is dus positief, dus de vergelijking heeft twee verschillende wortels. We analyseren de tweede vergelijking op een vergelijkbare manier:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

De discriminant is negatief, er zijn geen wortels. De laatste vergelijking die overblijft is:
een = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

De discriminant is nul - de wortel zal één zijn.

Houd er rekening mee dat voor elke vergelijking coëfficiënten zijn opgeschreven. Ja, het is lang, ja, het is vervelend, maar je zult de kansen niet door elkaar halen en domme fouten maken. Kies zelf: snelheid of kwaliteit.

Trouwens, als je het onder de knie hebt, hoef je na een tijdje niet alle coëfficiënten op te schrijven. Dergelijke operaties voer je in je hoofd uit. De meeste mensen beginnen hiermee ergens na 50-70 opgeloste vergelijkingen - over het algemeen niet zo veel.

Wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu verder gaan met de oplossing zelf. Als de discriminant D > 0, kunnen de wortels worden gevonden met behulp van de formules:

Basisformule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Wanneer D = 0, kunt u elk van deze formules gebruiken - u krijgt hetzelfde getal, wat het antwoord zal zijn. Tenslotte, als D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Eerste vergelijking:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ een = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft twee wortels. Laten we ze vinden:

Tweede vergelijking:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ een = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ de vergelijking heeft opnieuw twee wortels. Laten we ze vinden

\[\begin(uitlijnen) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(uitlijnen)\]

Tenslotte de derde vergelijking:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ een = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ de vergelijking heeft één wortel. Elke formule kan worden gebruikt. De eerste bijvoorbeeld:

Zoals je aan de voorbeelden kunt zien, is alles heel eenvoudig. Als je de formules kent en kunt tellen, zijn er geen problemen. Meestal treden er fouten op bij het vervangen van negatieve coëfficiënten in de formule. Ook hier zal de hierboven beschreven techniek helpen: bekijk de formule letterlijk, schrijf elke stap op - en al snel zul je van de fouten afkomen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Het komt voor dat een kwadratische vergelijking enigszins afwijkt van wat in de definitie wordt gegeven. Bijvoorbeeld:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Het is gemakkelijk op te merken dat deze vergelijkingen een van de termen missen. Dergelijke kwadratische vergelijkingen zijn zelfs eenvoudiger op te lossen dan standaardvergelijkingen: je hoeft niet eens de discriminant te berekenen. Laten we daarom een ​​nieuw concept introduceren:

De vergelijking ax 2 + bx + c = 0 wordt een onvolledige kwadratische vergelijking genoemd als b = 0 of c = 0, d.w.z. de coëfficiënt van de variabele x of het vrije element is gelijk aan nul.

Natuurlijk is er een heel moeilijk geval mogelijk als beide coëfficiënten gelijk zijn aan nul: b = c = 0. In dit geval heeft de vergelijking de vorm ax 2 = 0. Het is duidelijk dat zo'n vergelijking één enkele wortel heeft: x = 0.

Laten we de resterende gevallen bekijken. Stel b = 0, dan krijgen we een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0. Laten we deze een beetje transformeren:

Omdat de rekenkundige vierkantswortel alleen uit een niet-negatief getal bestaat, heeft de laatste gelijkheid alleen zin voor (−c /a) ≥ 0. Conclusie:

1. Als in een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 aan de ongelijkheid (−c /a) ≥ 0 wordt voldaan, zullen er twee wortels zijn. De formule staat hierboven;
2. Als (−c /a)< 0, корней нет.

Zoals je ziet was er geen discriminant nodig; er zijn helemaal geen complexe berekeningen in onvolledige kwadratische vergelijkingen. In feite is het niet eens nodig om de ongelijkheid (−c /a) ≥ 0 te onthouden. Het is voldoende om de waarde x 2 uit te drukken en te kijken wat er aan de andere kant van het gelijkteken staat. Als er een positief getal is, zijn er twee wortels. Als het negatief is, zullen er helemaal geen wortels zijn.

Laten we nu eens kijken naar vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx = 0, waarin het vrije element gelijk is aan nul. Alles is hier eenvoudig: er zullen altijd twee wortels zijn. Het is voldoende om de polynoom in factoren te ontbinden:

Haal de gemeenschappelijke factor tussen haakjes

Het product is nul als minstens één van de factoren nul is. Dit is waar de wortels vandaan komen. Laten we tot slot een paar van deze vergelijkingen bekijken:

Taak. Kwadratische vergelijkingen oplossen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Er zijn geen wortels, omdat een kwadraat kan niet gelijk zijn aan een negatief getal.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.