Grafer av en kropp kastet i vinkel mot horisontalen. Kroppsbevegelse i vinkel mot horisonten: formler, beregning av flyrekkevidde og maksimal starthøyde

Bevegelse av en kropp kastet i vinkel til horisontalen

Grunnleggende formler for krumlinjede bevegelser

1 . Bevegelseshastighet for et materialpunkt

$\vec V=\frac(d\vec r)(dt)$ ,

hvor $\vec r$ er radiusvektoren til punktet.

2 . Akselerasjon av et materialpunkt

$\vec a=\frac(d\vec V)(dt)=\frac(d^2\vec r)(dt^2)$,

$a=\sqrt(a^2_(\tau)+a^2_n)$ ,

der $a_(\tau)$ er tangentiell akselerasjon, $a_n$ er normal akselerasjon.

3 . Tangentiell akselerasjon

$a_(\tau)=\frac(dV)(dt)=\frac(d^2s)(dt^2)$

4 . Normal akselerasjon

$a_n=\frac(V^2)(R)$ ,

der $R$ er krumningsradiusen til banen.

5 . for jevn bevegelse

$S=V_0t+\frac(at^2)(2)$

$V=V_0+at$

Ved å uttrykke $t$ fra den andre likheten og erstatte den med den første, får vi den nyttige formelen

$2aS=V^2-V_0^2$

Eksempler på problemløsning

I problemer om bevegelse av et legeme i et gravitasjonsfelt vil vi anta $a=g=9,8$ m/s 2 .

Oppgave 1.

Prosjektilet flyr ut av pistolen med en starthastighet på 490 m/s i en vinkel på 30 0 mot horisontalen. Finn høyden, rekkevidden og flytiden til prosjektilet, uten å ta hensyn til dets rotasjon og luftmotstand.

Løsningen på problemet

Finn: $h, S, t$

$V_0=490$ m/s

$\alpha=30^0$

La oss koble ISO med pistolen.

Hastighetskomponentene langs Ox- og Oy-aksene ved det første tidspunktet er like:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ - forblir uendret gjennom hele prosjektilets flukt,

$V_(0y)=V_0\sin\alpha$ - endres i henhold til ligningen for jevn bevegelse

$V_y=V_0\sin\alpha-gt$ .

På det høyeste punktet $V_y=V_0\sin\alpha-gt_1=0$ , hvorfra

$t_1=\frac(V_0\sin\alpha)(g)$

Total prosjektilflyvetid

$t=2t_1=\frac(2V_0\sin\alpha)(g)=50$ c.

Vi bestemmer høyden på prosjektilet fra formelen for banen med like sakte film

$h=V_(0y)t_1-\frac(gt_1^2)(2)=\frac(V_0^2\sin^2\alpha)(2g)=3060$ m.

La oss definere flyrekkevidden som

$S=V_(0x)t=\frac(V_0^2\sin(2\alpha))(g)=21000$ m.

Oppgave 2.

En kropp faller fritt fra punkt A. Samtidig kastes et annet legeme fra punkt B i en vinkel $\alpha$ mot horisonten slik at begge kropper kolliderer i luften. Vis at vinkelen $\alpha$ ikke avhenger av starthastigheten $V_0$ til kroppen kastet fra punkt B, og bestem denne vinkelen hvis $\frac(H)(S)=\sqrt3$ . Forsømmelse av luftmotstand.

Løsningen på problemet.

Finn: $\alpha$

Gitt: $\frac(H)(S)=\sqrt3$

La oss koble ISO med punkt B.

Begge legemer kan møtes på linje OA (se figur) ved punkt C. La oss dekomponere hastigheten $V_0$ til et legeme som kastes fra punkt B til horisontale og vertikale komponenter:

$V_(0x)=V_0\cos\alpha$ ; $V_(0y)=V_0\sin\alpha$ .

La tiden gå fra starten av bevegelsen til møteøyeblikket

$t=\frac(S)(V_(0x))=\frac(S)(V_0\cos\alpha)$.

I løpet av denne tiden vil kroppen fra punkt A falle med en mengde

$H-h=\frac(gt^2)(2)$ ,

og kroppen fra punkt B vil stige til en høyde

$h=V_(0y)t-\frac(gt^2)(2)=V_0\sin\alpha(t)-\frac(gt^2)(2)$.

Løser vi de to siste ligningene sammen, finner vi

$H=V_0\sin\alpha(t)$ .

Å erstatte den tidligere funnet tiden her, får vi

$\tan\alpha=\frac(H)(S)=\sqrt3$,

de. Kastevinkelen er ikke avhengig av starthastigheten.

$\alpha=60^0$

Oppgave 3.

Et legeme kastes fra et tårn i horisontal retning med en hastighet på 40 m/s. Hva er hastigheten til kroppen 3 s etter bevegelsesstart? Hvilken vinkel danner kroppens hastighetsvektor med horisontalplanet i dette øyeblikket?

Løsningen på problemet.

Finn: $\alpha$

Gitt: $V_0=40$ m/s. $t=3$ c.

La oss koble ISO med tårnet.

Kroppen deltar samtidig i to bevegelser: jevnt i horisontal retning med en hastighet $V_0$ og i fritt fall med en hastighet $V_y=gt$ . Da er kroppens totale hastighet

$V=\sqrt(V_0^2+g^2t^2)=50 m/s.$

Retningen til hastighetsvektoren bestemmes av vinkelen $\alpha$ . Av figuren ser vi det

$\cos\alpha=\frac(V_0)(V)=\frac(V_0)(\sqrt(V_0^2+g^2t^2))=0,8$

$\alpha=37^0$

Oppgave 4.

To kropper kastes vertikalt oppover fra ett punkt, den ene etter den andre, med et tidsintervall lik $\Delta(t)$, med samme hastigheter $V_0$ . Etter hvilken tid $t$ etter å ha kastet den første kroppen vil de møtes?

Løsningen på problemet.

Finn: $t$

Gitt: $V_0$ , $\Delta(t)$

Fra analysen av problemforholdene er det klart at den første kroppen vil stige til maksimal høyde og på nedstigningen møte den andre kroppen. La oss skrive ned bevegelseslovene til legemer:

$h_1=V_0t-\frac(gt^2)(2)$

$h_2=V_0(t-\Delta(t))-\frac(g(t-\Delta(t))^2)(2)$.

I møteøyeblikket $h_1=h_2$, hvorfra vi umiddelbart kommer

$t=\frac(V_0)(g)+\frac(\Delta(t))(2)$

Hvis et legeme kastes i en vinkel mot horisonten, blir det under flukt påvirket av tyngdekraften og luftmotstandskraften. Hvis motstandskraften neglisjeres, er den eneste kraften som er igjen tyngdekraften. Derfor, på grunn av Newtons 2. lov, beveger kroppen seg med akselerasjon lik tyngdeakselerasjonen; projeksjoner av akselerasjon på koordinataksene ax = 0, ay = - g.

Figur 1. Kinematiske egenskaper ved en kropp kastet i vinkel mot horisontalen

Enhver kompleks bevegelse av et materialpunkt kan representeres som en superposisjon av uavhengige bevegelser langs koordinataksene, og i retning av forskjellige akser kan bevegelsestypen variere. I vårt tilfelle kan bevegelsen til et flygende legeme representeres som en superposisjon av to uavhengige bevegelser: jevn bevegelse langs den horisontale aksen (X-aksen) og jevn akselerert bevegelse langs den vertikale aksen (Y-aksen) (fig. 1). .

Kroppens hastighetsprojeksjoner endres derfor med tiden som følger:

der $v_0$ er starthastigheten, $(\mathbf \alpha )$ er kastevinkelen.

Med vårt valg av opprinnelse er startkoordinatene (fig. 1) $x_0=y_0=0$. Da får vi:

(1)

La oss analysere formler (1). La oss bestemme tidspunktet for bevegelsen til den kastede kroppen. For å gjøre dette, la oss sette y-koordinaten lik null, fordi i landingsøyeblikket er høyden på kroppen null. Herfra får vi for flytiden:

Den andre tidsverdien hvor høyden er null er null, som tilsvarer kasteøyeblikket, dvs. denne verdien har også en fysisk betydning.

Vi får flyrekkevidden fra den første formelen (1). Flyrekkevidden er verdien av x-koordinaten ved slutten av flyturen, dvs. på tidspunkt lik $t_0$. Ved å erstatte verdien (2) i den første formelen (1), får vi:

Fra denne formelen kan man se at den største flyrekkevidden oppnås ved en kastevinkel på 45 grader.

Den maksimale løftehøyden til den kastede kroppen kan fås fra den andre formelen (1). For å gjøre dette, må du erstatte en tidsverdi lik halvparten av flytiden (2) i denne formelen, fordi Det er ved midtpunktet av banen at flyhøyden er maksimal. Å utføre beregninger, får vi

Fra ligning (1) kan man få ligningen for kroppens bane, dvs. en ligning som relaterer x- og y-koordinatene til et legeme under bevegelse. For å gjøre dette, må du uttrykke tiden fra den første ligningen (1):

og sett den inn i den andre ligningen. Da får vi:

Denne ligningen er bevegelsesbaneligningen. Det kan sees at dette er ligningen til en parabel med grenene ned, som indikert med "-"-tegnet foran kvadratleddet. Man bør huske på at kastevinkelen $\alpha $ og dens funksjoner ganske enkelt er konstanter her, dvs. konstante tall.

En kropp kastes med hastighet v0 i en vinkel $(\mathbf \alpha )$ mot horisontalen. Flytid $t = 2 s$. Til hvilken høyde Hmax vil kroppen stige?

$$t_B = 2 s$$ $$H_max - ?$$

Loven om kroppsbevegelse har formen:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_(0x)t \\ y=v_(0y)t-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.$ $

Starthastighetsvektoren danner en vinkel $(\mathbf \alpha )$ med OX-aksen. Derfor,

\ \ \

En stein kastes fra toppen av et fjell i en vinkel = 30$()^\circ$ mot horisonten med en starthastighet på $v_0 = 6 m/s$. Skrått plan vinkel = 30$()^\circ$. I hvilken avstand fra kastepunktet vil steinen falle?

$$ \alpha =30()^\circ$$ $$v_0=6\ m/s$$ $$S - ?$$

La oss plassere opprinnelsen til koordinatene ved kastepunktet, OX - langs skråplanet nedover, OY - vinkelrett på skråplanet oppover. Kinematiske egenskaper ved bevegelse:

Lov om bevegelse:

$$\left\( \begin(array)(c) x=v_0t(cos 2\alpha +g\frac(t^2)(2)(sin \alpha \ )\ ) \\ y=v_0t(sin 2 \alpha \ )-\frac(gt^2)(2)(cos \alpha \ ) \end(array) \right.$$ \

Ved å erstatte den resulterende verdien $t_В$, finner vi $S$:

La kroppen kastes på skrå α mot horisonten med fart $~\vec \upsilon_0$. Som i tidligere tilfeller vil vi neglisjere luftmotstanden. For å beskrive bevegelsen, er det nødvendig å velge to koordinatakser - Okse Og Oy(Figur 1). Referansepunktet er kompatibelt med utgangsposisjonen til kroppen. Projeksjoner av starthastighet på aksen Oy Og Okse\[~\upsilon_(0y) = \upsilon_0 \sin \alpha; \ \upsilon_(0x) = \upsilon_0 \cos \alpha\]. Akselerasjonsprognoser: g x = 0; g y = - g.

Deretter vil kroppens bevegelse beskrives ved ligningene:

$~x = \upsilon_0 \cos \alpha t; \qquad (1)$ $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha; \qquad (2)$ $~y = \upsilon_0 \sin \ alpha t - \frac(gt^2)(2); \qquad (3)$ $~\upsilon_y = \upsilon_0 \sin \alpha - gt. \qquad (4)$

Fra disse formlene følger det at i horisontal retning beveger kroppen seg jevnt med en hastighet $~\upsilon_x = \upsilon_0 \cos \alpha$, og i vertikal retning - jevnt akselerert.

Kroppens bane vil være en parabel. Med tanke på det på toppen av parabelen υ y = 0, du kan finne tiden t 1 kroppsløft til topppunktet på parabelen:

$~0 = \upsilon_0 \sin \alpha - gt_1 \Høyrepil t_1 = \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g). \qquad (5)$

Erstatter verdien t 1 i ligning (3), finner vi kroppens maksimale løftehøyde:

$~h_(max) = y_1 = \upsilon_0 \sin \alpha \frac(\upsilon_0 \sin \alpha)(g) - \frac(g)(2) \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \ alpha)(g^2),$ $~h_(max) = \frac(\upsilon^2_0 \sin^2 \alpha)(2g)$ - maksimal kroppsløftehøyde.

Flytiden til kroppen finner vi fra tilstanden som kl t = t 2. koordinat y 2 = 0. Derfor er $~\upsilon_0 \sin \alpha t_2 - \frac(gt^2_2)(2) = 0$. Derfor er $~t_1 = \frac(2 \upsilon_0 \sin \alpha)(g)$ kroppens flytid. Ved å sammenligne denne formelen med formel (5), ser vi det t 2 = 2 t 1 . Tidspunkt for kroppsbevegelse fra maksimal høyde t 3 = t 2 - t 1 = 2t 1 - t 1 = t 1 . Følgelig er tiden det tar en kropp å stige til sin maksimale høyde den samme tiden det tar å gå ned fra denne høyden. Sette inn koordinater i ligningen x(1) tidsverdi t 2 finner vi:

$~l = \frac(2 \upsilon_0 \cos \alpha \upsilon_0 \sin \alpha)(g) = \frac(\upsilon^2_0 \sin 2\alpha)(g)$ - flyrekkevidde for kroppen .

Den øyeblikkelige hastigheten på ethvert punkt av banen er rettet tangentielt til banen (se fig. 1). Hastighetsmodulen bestemmes av formelen

$~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 \cos^2 \alpha + (\upsilon_0 \sin \alpha - gt^2)) = \sqrt (\upsilon^2_0 - 2 \upsilon_0 gt \sin \alpha + g^2t^2) .$

Dermed kan bevegelsen av et legeme kastet i en vinkel mot horisonten eller i horisontal retning betraktes som et resultat av to uavhengige bevegelser - horisontal jevn og vertikal jevnt akselerert (fritt fall uten starthastighet eller bevegelsen til en kropp kastet vertikalt oppover).

Litteratur

Aksenovich L. A. Fysikk i ungdomsskolen: Teori. Oppgaver. Tester: Lærebok. godtgjørelse for institusjoner som tilbyr allmennutdanning. miljø, utdanning / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K.S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - S. 16-17.

La oss vurdere bevegelsen til et legeme i jordens gravitasjonsfelt; vi vil ikke ta hensyn til luftmotstand. La starthastigheten til det kastede legemet rettes i en vinkel mot horisonten $\alpha $ (fig. 1). En kropp kastes fra en høyde $(y=h)_0$; $x_0=0$.

Så i det første øyeblikket har kroppen horisontale ($v_x$) og vertikale ($v_y$) hastighetskomponenter. Projeksjoner av hastighet på koordinataksene ved $t=0$ er lik:

\[\venstre\( \begin(array)(c) v_(0x)=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_(0y)=v_0(\sin \alpha .\ ) \end(array) \ høyre.\venstre(1\høyre).\]

Akselerasjonen til kroppen er lik akselerasjonen av fri skyting og er alltid rettet nedover:

\[\overline(a)=\overline(g)\venstre(2\høyre).\]

Dette betyr at projeksjonen av akselerasjon på X-aksen er lik null, og på Y-aksen er lik $a_y=g.$

Siden akselerasjonskomponenten langs X-aksen er null, er hastigheten til kroppen i denne retningen en konstant verdi og er lik projeksjonen av starthastigheten på X-aksen (se (1)). Bevegelsen av kroppen langs X-aksen er jevn.

I situasjonen vist i fig. 1 vil legemet langs Y-aksen bevege seg først oppover, og deretter ned. I dette tilfellet er akselerasjonen til kroppen i begge tilfeller lik akselerasjonen $\overline(g).$ Kroppen bruker like mye tid på å reise oppover fra en vilkårlig høyde $(y=h)_0$ til maksimum løftehøyde ($h$) som fall ned fra $h$ til $(y=h)_0$. Følgelig ligger symmetriske punkter i forhold til toppen av kroppens stigning i samme høyde. Det viser seg at kroppens bane er symmetrisk i forhold til toppen av løftet - og dette er en parabel.

Bevegelseshastigheten til en kropp kastet i en vinkel til horisontalen kan uttrykkes med formelen:

\[\overline(v)\left(t\right)=(\overline(v))_0+\overline(g)t\ \left(3\right),\]

hvor $(\overline(v))_0$ er kroppens hastighet i kasteøyeblikket. Formel (3) kan betraktes som et resultat av å legge til hastighetene til to uavhengige bevegelser langs rette linjer som kroppen deltar i.

Uttrykk for projeksjon av hastighet på aksen har formen:

\[\left\( \begin(array)(c) v_x=v_0(\cos \alpha ,\ ) \\ v_y=v_0(\sin \alpha -gt\ ) \end(array) \left(4\right ).\Ikke sant.\]

Ligningen for forskyvningen av et legeme når man beveger seg i et gravitasjonsfelt:

\[\overline(r)\left(t\right)=(\overline(r))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(5) \Ikke sant),\]

der $(\overline(r))_0$ er forskyvningen av kroppen i det første øyeblikket.

Ved å projisere ligning (5) på X- og Y-koordinataksene får vi:

\[\left\( \begin(array)(c) x=v_0(\cos \left(\alpha \right)\cdot t,\ ) \\ y=(h_0+v)_0(\sin \left( \alpha \right)\cdot t-\frac(gt^2)(2)\ ) \end(array) \left(6\right).\right.\]

En kropp, som beveger seg oppover, har i utgangspunktet en jevn langsom bevegelse langs Y-aksen; etter at kroppen når toppen, blir bevegelsen langs Y-aksen jevnt akselerert.

Banen til det materielle punktet er gitt av ligningen:

Fra formen til ligning (7) er det klart at bevegelsesbanen er en parabel.

Tidspunkt for stigning og flukt for en kropp kastet i vinkel mot horisontalen

Tiden kroppen bruker for å nå maksimal løftehøyde er hentet fra ligningssystemet (4). . På toppen av banen har kroppen bare en horisontal komponent, $v_y=0.$ Oppstigningstiden ($t_p$) er lik:

Den totale tiden for kroppens bevegelse (flytid ($t_(pol)))$ er funnet fra den andre ligningen av system (6), vel vitende om at når kroppen faller til jorden $y=0$, har vi:

Flyrekkevidde og løftehøyde for en kropp kastet i vinkel mot horisonten

For å finne kroppens horisontale flyrekkevidde ($s$) under betingelsene vi har spesifisert, bør flytiden ($t_(pol)$) (9) erstattes med koordinatligningen $x$ til ligningssystemet (6). Ved $h=0,$ er flyrekkevidden lik:

Fra uttrykk (9) følger det at for en gitt kastehastighet er flyrekkevidden maksimal ved $\alpha =\frac(\pi )(4)$.

Den maksimale løftehøyden til kroppen ($h_(max)$) er funnet fra den andre ligningen til system (6), og erstatter løftetiden ($t_p$) (8) i den:

Uttrykk (11) viser at kroppens maksimale løftehøyde er direkte proporsjonal med kvadratet på kastehastigheten og øker med økende kastevinkel.

Eksempler på problemer med løsninger

Eksempel 1

Trening. Hvor mange ganger vil flytiden for en kropp som kastes fra en høyde $h$ i horisontal retning endres hvis hastigheten på å kaste kroppen økes $n$ ganger?

Løsning. La oss finne en formel for å beregne flytiden til en kropp hvis den kastes horisontalt (fig. 2).

Som grunnlag for å løse problemet bruker vi uttrykket for jevnt akselerert bevegelse av et legeme i et gravitasjonsfelt:

\[\overline(r)=(\overline(r))_0+(\overline(v))_0t+\frac(\overline(g)t^2)(2)\left(1.1\right).\]

Ved å bruke fig. 2 skriver vi ned projeksjonene til ligning (1.1) på koordinataksene:

\[\left\( \begin(array)(c) X:x=v_0t;; \\ Y:y=h_0-\frac(gt^2)(2) \end(array) \right.\left( 1.2\høyre).\]

Under kroppens fall til bakken $y=0,$ bruker vi dette faktum og uttrykker flytiden fra den andre systemligningen (1.2), vi har:

Som vi ser, avhenger ikke flytiden til en kropp av dens starthastighet, derfor, hvis starthastigheten øker $n$ ganger, vil ikke kroppens flytid endres.

Svar. Vil ikke endre seg.

Eksempel 2

Trening. Hvordan vil kroppens flyrekkevidde endre seg i det forrige problemet hvis starthastigheten økes $n$ ganger?

Løsning. Flyrekkevidde er avstanden som et legeme vil reise langs den horisontale aksen. Dette betyr at vi trenger ligningen:

fra system (1.2) i det første eksemplet. Ved å erstatte flytiden funnet i (1.3) i stedet for $t,$ får vi flyrekkevidden ($s_(pol)$):

Fra formel (2.2) ser vi at under gitte bevegelsesforhold er flyrekkevidden direkte proporsjonal med hastigheten på å kaste kroppen, og derfor, hvor mange ganger vi øker starthastigheten, vil flyrekkevidden til kroppen øke med så mange ganger.

Svar. Kroppens flyrekkevidde vil øke $n$ ganger.

La oss vurdere, som et eksempel på anvendelsen av de avledede formlene, bevegelsen av en kropp kastet i en vinkel mot horisonten i fravær av luftmotstand. La oss si, på et fjell, i en høyde over havet, er det en kanon som vokter kystvannet. La prosjektilet skytes i en vinkel mot horisonten med en starthastighet fra et punkt, hvis posisjon er bestemt av radiusvektoren (fig. 2.16).

Ris. 2.16. Bevegelse av en kropp kastet i vinkel til horisontalen

Addisjon.

Utledning av bevegelseslikningene til et materiell punkt i et gravitasjonsfelt

La oss skrive bevegelsesligningen (ligningen til Newtons andre lov):

dette betyr at legemer - materielle punkter - av en hvilken som helst masse under de samme startforholdene vil bevege seg i et jevnt gravitasjonsfelt på samme måte. La oss prosjektere ligning (2.7.2) på aksen til det kartesiske koordinatsystemet. Horisontal akse ÅH vist i fig. 13 stiplet linje, akse OY la oss trekke gjennom poenget OM vertikalt oppover, og den horisontale aksen OZ, passerer også gjennom punktet OM, rett den vinkelrett på vektoren mot oss. Vi får:

Den vertikale retningen er per definisjon retningen til vektoren, derfor dens projeksjoner på de horisontale aksene OKSE Og OY er lik null. Den andre ligningen tar hensyn til at vektoren er rettet nedover og aksen OY- opp.

Ris. 2.17. Bevegelsen til en kropp kastet i vinkel mot horisontalen.

La oss legge til startbetingelser til bevegelsesligningene, som bestemmer kroppens posisjon og hastighet i det første øyeblikket t 0, la t0 = 0. Deretter, ifølge fig. 2.7.4

Hvis den deriverte av en funksjon er lik null, er funksjonen konstant, henholdsvis fra den første og tredje ligningen (2.7.3) får vi:

I den andre ligningen (2.7.3) er den deriverte lik en konstant, som betyr at funksjonen avhenger lineært av argumentet, dvs.

Ved å kombinere (2.7.7) og (2.7.9), får vi de endelige uttrykkene for avhengighetene av hastighetsprojeksjoner på koordinataksene på tid:

Den tredje ligningen (2.7.11) viser at kroppens bane er flat og ligger helt i planet XOY, er det vertikale planet definert av vektorene og . Det siste utsagnet er åpenbart generelt: uansett hvordan retningene til koordinataksene er valgt, er banen til et legeme kastet i en vinkel mot horisonten flat, den ligger alltid i planet bestemt av starthastighetsvektoren og den frie fallakselerasjonsvektor.

Hvis de tre likningene (2.7.10) multipliseres med enhetsvektorene til aksene , , og og addert, og så gjøres det samme med de tre likningene (2.7.11), så får vi tidsavhengigheten til partikkelhastigheten vektor og dens radievektor. Med tanke på de innledende betingelsene har vi:

Formler (2.7.12) og (2.7.13) kan hentes umiddelbart, direkte fra (2.7.2), hvis vi tar i betraktning at tyngdeakselerasjonen er en konstant vektor. Hvis akselerasjonen - den deriverte av hastighetsvektoren - er konstant, avhenger hastighetsvektoren lineært av tid, og radiusvektoren, hvis tidsderiverte er hastighetsvektoren lineært avhengig av tid, avhenger kvadratisk av tid. Dette er skrevet i relasjoner (2.7.12) og (2.7.13) med konstanter - konstante vektorer - valgt i henhold til startbetingelsene i skjemaet (2.7.4).

Spesielt fra (2.7.13) er det klart at radiusvektoren er summen av tre vektorer som summeres etter de vanlige reglene, som tydelig vises i fig. 2.18.

Ris. 2.18. Representasjon av radiusvektoren r(t) på et vilkårlig tidspunkt t som en sum av tre vektorer

Disse vektorene er:

Her prinsippet om uavhengighet av bevegelser, kjent i andre områder av fysikk som superposisjonsprinsipp(overlegg). Generelt sett, i henhold til prinsippet om superposisjon, er den resulterende effekten av flere påvirkninger summen av effektene av hver påvirkning separat. Det er en konsekvens av lineariteten til bevegelseslikningene.

Video 2.3. Uavhengighet av horisontale og vertikale bevegelser når du beveger deg i et tyngdefelt.

La oss plassere origo ved kastepunktet. Nå =0 , vil aksene, som før, roteres slik at aksen 0x var horisontal, aksen 0у- vertikal, og starthastigheten lå i flyet x0y(Fig. 2.19).

Ris. 2.19. Projeksjoner av starthastighet på koordinatakser

La oss projisere på koordinataksene (se (2.7.11)):

Flyrute. Hvis vi ekskluderer tid fra systemet med oppnådde ligninger t, så får vi baneligningen:

Dette er ligningen til en parabel hvis grener er rettet nedover.

Flyrekkevidde ved skyting fra høyde h . I øyeblikket faller kroppen (prosjektilet treffer et mål som ligger på overflaten av havet). Den horisontale avstanden fra pistolen til målet er lik . Erstatter ; inn i baneligningen får vi en kvadratisk ligning for flyrekkevidde:

Den kvadratiske ligningen har to løsninger (i dette tilfellet, positiv og negativ). Vi trenger en positiv løsning. Standarduttrykket for roten til den kvadratiske ligningen til problemet vårt kan reduseres til formen:

oppnås ved , hvis h = 0.

Maksimal flyrekkevidde. Når du skyter fra et fjell høyt, er dette ikke lenger tilfelle. La oss finne vinkelen som maksimal flyrekkevidde oppnås ved. Avhengigheten av flyrekkevidden på vinkelen er ganske kompleks, og i stedet for differensiering for å finne maksimum, vil vi fortsette som følger. La oss tenke oss at vi øker startvinkelen. Først øker flyrekkevidden (se formel (2.7.15)), når en maksimal verdi og begynner å falle igjen (til null når du skyter vertikalt oppover). For hver flyturrekkevidde, bortsett fra maksimum, er det således to retninger for starthastighet.

La oss igjen gå til den kvadratiske ligningen av relativitetsteorien til flyrekkevidden og se på den som en ligning for vinkelen. Vurderer

la oss skrive det om i formen:

Vi har igjen fått en andregradsligning, denne gangen for en ukjent størrelse. Ligningen har to røtter, som tilsvarer to vinkler der flyrekkevidden er lik . Men når , må begge røttene falle sammen. Dette betyr at diskriminanten til den kvadratiske ligningen er lik null:

hvor følger resultatet?

Når dette resultatet gjengir formel (2.7.16)

Vanligvis er høyden mye mindre enn flyrekkevidden på sletten. Når kvadratroten kan tilnærmes med de første leddene i Taylor-seriens utvidelse og vi får det omtrentlige uttrykket

det vil si at skyteområdet øker omtrent med høyden på pistolens høyde.

Når l = lmax, Og a = a maks, som allerede nevnt, er diskriminanten til den kvadratiske ligningen lik null, henholdsvis dens løsning har formen:

Siden tangensen er mindre enn én, er vinkelen som maksimal flyrekkevidde oppnås mindre ved.

Maksimal løftehøyde over startpunktet. Denne verdien kan bestemmes fra likheten til null av den vertikale komponenten av hastighet på toppen av banen

I dette tilfellet er den horisontale komponenten av hastigheten derfor ikke lik null