Hvordan finne roten til en ligning med en logaritme. Logaritmer: eksempler og løsninger

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.

Logaritmiske ligninger. Vi fortsetter å vurdere problemer fra del B av Unified State Examination i matematikk. Vi har allerede undersøkt løsninger på noen ligninger i artiklene "", "". I denne artikkelen skal vi se på logaritmiske ligninger. Jeg vil si med en gang at det ikke vil være noen komplekse transformasjoner når man løser slike ligninger på Unified State Exam. De er enkle.

Det er nok å kjenne og forstå den grunnleggende logaritmiske identiteten, å kjenne egenskapene til logaritmen. Vær oppmerksom på at etter å ha løst det, MÅ du gjøre en sjekk - sett inn den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen og beregn, til slutt bør du få riktig likhet.

Definisjon:

Logaritmen til et tall til grunntallet b er eksponenten.som b må heves til for å oppnå a.

For eksempel:

Logg 3 9 = 2, siden 3 2 = 9

Egenskaper til logaritmer:

Spesielle tilfeller av logaritmer:

La oss løse problemer. I det første eksemplet vil vi gjøre en sjekk. Sjekk det selv i fremtiden.

Finn roten til ligningen: log 3 (4–x) = 4

Siden log b a = x b x = a, da

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Undersøkelse:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Riktig.

Svar: – 77

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 2 (4 – x) = 7

Finn roten til ligningsloggen 5(4 + x) = 2

Vi bruker den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Siden log a b = x b x = a, da

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Undersøkelse:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Riktig.

Svar: 21

Finn roten til ligningen log 3 (14 – x) = log 3 5.

Følgende egenskap finner sted, dens betydning er som følger: hvis vi på venstre og høyre side av ligningen har logaritmer med samme base, kan vi likestille uttrykkene under fortegnene til logaritmene.

14 – x = 5

x=9

Gjør en sjekk.

Svar: 9

Bestem selv:

Finn roten til ligningen log 5 (5 – x) = log 5 3.

Finn roten til ligningen: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x = 6

Gjør en sjekk.

Svar: 6

Finn roten til ligningen log 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Gjør en sjekk.

Et lite tillegg - eiendommen brukes her

grader ().

Svar: – 51

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 1/7 (7 – x) = – 2

Finn roten til ligningen log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

La oss forvandle høyresiden. La oss bruke egenskapen:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Hvis log c a = log c b, så er a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Gjør en sjekk.

Svar: – 21

Bestem selv:

Finn roten til ligningen: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Løs ligningen log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Hvis log c a = log c b, så er a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Gjør en sjekk.

Svar: 2,75

Bestem selv:

Finn roten til ligningen log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Løs ligningen log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Det er nødvendig å få et uttrykk for formen på høyre side av ligningen:

logg 2 (......)

Vi representerer 1 som en base 2-logaritme:

1 = logg 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Vi får:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Hvis log c a = log c b, så er a = b, da

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Gjør en sjekk.

Svar: 0,4

Bestem selv: Deretter må du løse den andregradsligningen. Forresten,

røttene er 6 og – 4.

Root "-4" er ikke en løsning, siden basen til logaritmen må være større enn null, og med "– 4" er det lik " – 5". Løsningen er rot 6.Gjør en sjekk.

Svar: 6.

R spis selv:

Løs likningsloggen x –5 49 = 2. Hvis likningen har mer enn én rot, svar med den minste.

Som du har sett, ingen kompliserte transformasjoner med logaritmiske ligningerNei. Det er nok å kjenne egenskapene til logaritmen og kunne bruke dem. I USE-problemer knyttet til transformasjon av logaritmiske uttrykk utføres mer seriøse transformasjoner og det kreves mer inngående ferdigheter i løsning. Vi vil se på slike eksempler, ikke gå glipp av dem!Jeg ønsker deg suksess!!!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh.

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b *a c = a b+c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallseksponenter. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finner du nesten overalt hvor du trenger å forenkle tungvint multiplikasjon med enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. I et enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

En logaritme er et uttrykk for følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til ethvert ikke-negativt tall (det vil si ethvert positivt) "b" til grunntallet "a" anses å være potensen "c" " som grunntallet "a" må heves til for til slutt å få verdien "b". La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en potens slik at fra 2 til den nødvendige effekten får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i hodet ditt, får vi tallet 3! Og det er sant, fordi 2 i potens av 3 gir svaret som 8.

Typer logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre separate typer logaritmiske uttrykk:

Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
Desimal a, der grunntallet er 10.
Logaritme av et hvilket som helst tall b til grunntall a>1.

Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til en enkelt logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør du huske egenskapene deres og handlingssekvensen når du løser dem.

Regler og noen restriksjoner

I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sannheten. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut den partallsroten av negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære å jobbe selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

Grunnlaget "a" må alltid være større enn null, og ikke lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" til enhver grad alltid er lik verdiene deres;
hvis a > 0, så a b >0, viser det seg at "c" også må være større enn null.

Hvordan løse logaritmer?

For eksempel er oppgaven gitt å finne svaret på ligningen 10 x = 100. Dette er veldig enkelt, du må velge en potens ved å heve tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 = 100.

La oss nå representere dette uttrykket i logaritmisk form. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer praktisk talt alle handlinger for å finne potensen som det er nødvendig å legge inn basisen til logaritmen til for å få et gitt tall.

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har et teknisk sinn og kunnskap om multiplikasjonstabellen. For større verdier trenger du imidlertid et strømbord. Den kan brukes selv av de som ikke vet noe om komplekse matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet inneholder cellene tallverdiene som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest sanne humanist vil forstå!

Ligninger og ulikheter

Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk likhet. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som base 3-logaritmen av 81 lik fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglene de samme: 2 -5 = 1/32 vi skriver det som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi skal se på eksempler og løsninger på ligninger nedenfor, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.

Følgende uttrykk er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under det logaritmiske tegnet. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til ønsket tall til base to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske ligninger og ulikheter er at ligninger med logaritmer (for eksempel logaritmen 2 x = √9) innebærer en eller flere spesifikke numeriske verdier i svaret, mens når du løser en ulikhet, er både området akseptable verdiene og poengene bestemmes ved å bryte denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på en ligning, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, er det ikke sikkert dens egenskaper er kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi vil se på eksempler på ligninger senere; la oss først se på hver egenskap mer detaljert.

Hovedidentiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare når a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er den obligatoriske betingelsen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne logaritmiske formelen, med eksempler og løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2, så a f1 = s 1, a f2 = s 2. Vi får at s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (egenskapene til grader ), og da per definisjon: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som er det som måtte bevises.
Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Teoremet i form av en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritme." Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk er basert på naturlige postulater. La oss se på beviset.

La log a b = t, viser det seg a t =b. Hvis vi hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;

men siden a tn = (a q) nt/q = b n, log derfor a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene problemer på logaritmer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og er også en obligatorisk del av matematikkprøver. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller skjema for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først av alt bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller reduseres til en generell form. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss bli kjent med dem raskt.

Når vi løser logaritmiske ligninger, må vi bestemme hvilken type logaritme vi har: et eksempeluttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at de må bestemme kraften som basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For å løse naturlige logaritmer må du bruke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av de grunnleggende teoremene om logaritmer.

Egenskapen til logaritmen til et produkt kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å dekomponere en stor verdi av tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmepotensen, klarte vi å løse et tilsynelatende komplekst og uløselig uttrykk. Du trenger bare å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.

Oppgaver fra Unified State-eksamenen

Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste prøvedelen av eksamen), men også i del C (de mest komplekse og omfangsrike oppgavene). Eksamen krever nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og løsninger på problemer er hentet fra de offisielle versjonene av Unified State Exam. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

Det er best å redusere alle logaritmer til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og forvirrende.
Alle uttrykk under logaritmetegnet er indikert som positive, og derfor, når eksponenten til et uttrykk som er under logaritmetegnet og som basen er tatt ut som en multiplikator, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.

Logaritmiske uttrykk, løsningseksempler. I denne artikkelen skal vi se på problemer knyttet til å løse logaritmer. Oppgavene stiller spørsmålet om å finne meningen med et uttrykk. Det skal bemerkes at begrepet logaritme brukes i mange oppgaver, og det er ekstremt viktig å forstå betydningen. Når det gjelder Unified State Exam, brukes logaritmen ved løsning av ligninger, i anvendte problemer, og også i oppgaver knyttet til studiet av funksjoner.

La oss gi eksempler for å forstå selve betydningen av logaritmen:

Grunnleggende logaritmisk identitet:

Egenskaper til logaritmer som alltid må huskes:

*Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritmen til en kvotient (brøk) er lik forskjellen mellom logaritmene til faktorene.

* * *

*Logaritmen til en eksponent er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.

* * *

*Overgang til ny stiftelse

* * *

Flere eiendommer:

* * *

Beregningen av logaritmer er nært knyttet til bruken av egenskaper til eksponenter.

La oss liste noen av dem:

Essensen av denne egenskapen er at når telleren overføres til nevneren og omvendt, endres eksponentens fortegn til det motsatte. For eksempel:

En konsekvens av denne egenskapen:

* * *

Når du hever en potens til en potens, forblir basen den samme, men eksponentene multipliseres.

* * *

Som du har sett, er selve konseptet med en logaritme enkelt. Hovedsaken er at du trenger god øvelse, som gir deg en viss ferdighet. Det kreves selvfølgelig kunnskap om formler. Hvis ferdighetene i å konvertere elementære logaritmer ikke er utviklet, kan du lett gjøre en feil når du løser enkle oppgaver.

Øv deg, løs de enkleste eksemplene fra matematikkkurset først, fortsett så til mer komplekse. I fremtiden vil jeg definitivt vise hvordan "stygge" logaritmer løses; det vil ikke være noen av disse på Unified State Exam, men de er av interesse, ikke gå glipp av det!

Det er alt! Lykke til!

Med vennlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være takknemlig hvis du forteller meg om nettstedet på sosiale nettverk.