Hvilke verdier kan en skalær mengde ta? Masse og tetthet

Vektor− ren matematisk konsept, som kun brukes i fysikk eller annet anvendte vitenskaper og som lar deg forenkle løsningen av noen komplekse problemer.
Vektor− rettet rett segment.
Jeg vet elementær fysikk vi må operere med to kategorier av mengder − skalar og vektor.
Skalar mengder (skalarer) er mengder preget av numerisk verdi og kjent. Skalarene er lengde − l, masse − m, sti - s, tid - t, temperatur − T, elektrisk ladning − q, energi − W, koordinater osv.
Alle algebraiske operasjoner (addisjon, subtraksjon, multiplikasjon osv.) gjelder for skalare størrelser.

Eksempel 1.
Bestem den totale ladningen til systemet, bestående av ladningene som er inkludert i det, hvis q 1 = 2 nC, q 2 = −7 nC, q 3 = 3 nC.
Full systemlading
q = q 1 + q 2 + q 3 = (2 − 7 + 3) nC = −2 nC = −2 × 10 −9 C.

Eksempel 2.
Til kvadratisk ligning snill
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).

Vektor Mengder (vektorer) er mengder, for å bestemme hvilke det er nødvendig å angi, i tillegg til den numeriske verdien, retningen. Vektorer − hastighet v, kraft F, impuls s, Spenninger elektrisk felt E, magnetisk induksjon B og så videre.
Den numeriske verdien til en vektor (modul) er angitt med en bokstav uten et vektorsymbol eller vektoren er innelukket mellom vertikale streker r = |r|.
Grafisk er vektoren representert med en pil (fig. 1),

Lengden som på en gitt skala er lik dens størrelse, og retningen faller sammen med retningen til vektoren.
To vektorer er like hvis deres størrelser og retninger faller sammen.
Vektormengder legges til geometrisk (i henhold til regelen for vektoralgebra).
Å finne en vektorsum fra gitte komponentvektorer kalles vektoraddisjon.
Addisjonen av to vektorer utføres i henhold til parallellogram- eller trekantregelen. Sum vektor
c = a + b
lik diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer en Og b. Moduler det
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (fig. 2).

Ved α = 90°, er c = √(a 2 + b 2 ) Pythagoras teorem.

Den samme vektoren c kan oppnås ved å bruke trekantregelen hvis fra slutten av vektoren en sett til side vektor b. Etterfølgende vektor c (forbinder begynnelsen av vektoren en og slutten av vektoren b) er vektorsummen av ledd (komponentvektorer en Og b).
Den resulterende vektoren er funnet som bakenden av den stiplede linjen hvis lenker er komponentvektorene (fig. 3).

Eksempel 3.
Legg til to krefter F 1 = 3 N og F 2 = 4 N, vektorer F 1 Og F 2 lag vinklene α 1 = 10° og α 2 = 40° med henholdsvis horisonten
F = F 1 + F 2(Fig. 4).

Resultatet av addisjonen av disse to kreftene er en kraft som kalles resultanten. Vektor F rettet langs diagonalen til et parallellogram bygget på vektorer F 1 Og F 2, begge sider, og er lik i modul med lengden.
Vektormodul F finn ved cosinussetningen
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos(α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos(40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Hvis
(α 2 − α 1) = 90°, så F = √(F 1 2 + F 2 2 ).

Vinkel som er vektor F er lik okseaksen, finner vi den ved hjelp av formelen
α = arctan((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2)/(F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
α = arctan((3.0.17 + 4.0.64)/(3.0.98 + 4.0.77)) = arctan0.51, α ≈ 0.47 rad.

Projeksjonen av vektor a på Ox (Oy) aksen er en skalar størrelse avhengig av vinkelen α mellom retningen til vektoren en og Ox (Oy) aksen. (Fig. 5)

Vektorprojeksjoner en på Ox og Oy-aksen rektangulært system koordinater (Fig. 6)

For å unngå feil når du bestemmer tegnet for projeksjonen av en vektor på en akse, er det nyttig å huske følgende regel: hvis retningen til komponenten sammenfaller med retningen til aksen, så projeksjonen av vektoren på denne aksen er positiv, men hvis retningen til komponenten er motsatt av retningen til aksen, er projeksjonen av vektoren negativ. (Fig. 7)

Subtraksjon av vektorer er en addisjon der en vektor legges til den første vektoren, numerisk lik den andre, i motsatt retning
a − b = a + (−b) = d(Fig. 8).

La det være nødvendig fra vektoren en trekke fra vektor b, deres forskjell − d. For å finne forskjellen mellom to vektorer, må du gå til vektoren en legg til vektor ( −b), det vil si en vektor d = a − b vil være en vektor rettet fra begynnelsen av vektoren en til slutten av vektoren ( −b) (Fig. 9).

I et parallellogram bygget på vektorer en Og b begge sider, en diagonal c har betydningen av summen, og den andre d− vektorforskjeller en Og b(Fig. 9).
Produkt av en vektor en ved skalar er k lik vektor b= k en, hvis modul er k ganger større enn modulen til vektoren en, og retningen sammenfaller med retningen en for positiv k og det motsatte for negativ k.

Eksempel 4.
Bestem farten til en kropp som veier 2 kg som beveger seg med en hastighet på 5 m/s. (Fig. 10)

Kroppsimpuls s= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s og rettet mot hastigheten v.

Eksempel 5.
En ladning q = −7,5 nC plasseres i et elektrisk felt med en styrke på E = 400 V/m. Finn størrelsen og retningen til kraften som virker på ladningen.

Kraften er F= q E. Siden ladningen er negativ, er kraftvektoren rettet i motsatt retning av vektoren E. (Fig. 11)

Inndeling vektor en med en skalar tilsvarer k å multiplisere en med 1/k.
Prikk produkt vektorer en Og b kalt skalaren "c", lik produktet av modulene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (fig. 12)

Eksempel 6.
Finn arbeidet utført av en konstant kraft F = 20 N, hvis forskyvningen er S = 7,5 m, og vinkelen α mellom kraften og forskyvningen er α = 120°.

Arbeidet utført med makt er per definisjon likt skalært produkt krefter og bevegelser
A = (F.S) = FScosα = 20 H × 7,5 m × cos120° = −150 × 1/2 = −75 J.

Vektor kunstverk vektorer en Og b kalt en vektor c, numerisk lik produktet av de absolutte verdiene til vektorene a og b multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem:
c = a × b = ,
с = ab × sinα.
Vektor c vinkelrett på planet som vektorene ligger i en Og b, og retningen er relatert til retningen til vektorene en Og b høyre skrueregel (fig. 13).

Eksempel 7.
Bestem kraften som virker på en leder som er 0,2 m lang, plassert i et magnetfelt, hvis induksjon er 5 T, hvis strømstyrken i lederen er 10 A og den danner en vinkel α = 30° med feltets retning .

Ampere kraft
dF = I = Idl × B eller F = I(l)∫(dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.

Vurder problemløsning.
1. Hvordan styres to vektorer, hvis moduler er identiske og lik a, hvis modulen til summen deres er lik: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?

Løsning.
a) To vektorer er rettet langs en rett linje inn motsatte sider. Summen av disse vektorene er null.

b) To vektorer er rettet langs en rett linje i samme retning. Summen av disse vektorene er 2a.

c) To vektorer er rettet i en vinkel på 120° til hverandre. Summen av vektorene er a. Den resulterende vektoren er funnet ved å bruke cosinussetningen:

a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = −1/2 og α = 120°.
d) To vektorer er rettet i en vinkel på 90° til hverandre. Modulen til summen er lik
a 2 + a 2 + 2aacosα = 2a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°.

e) To vektorer er rettet i en vinkel på 60° til hverandre. Modulen til summen er lik
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosα = 1/2 og α = 60°.
Svar: Vinkelen α mellom vektorene er lik: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.

2. Hvis a = a 1 + a 2 orientering av vektorer, hva kan sies om gjensidig orientering av vektorer en 1 Og en 2 hvis: a) a = a1 + a2; b) a2 = a12 + a22; c) a 1 + a 2 = a 1 − a 2?

Løsning.
a) Hvis summen av vektorer er funnet som summen av modulene til disse vektorene, er vektorene rettet langs en rett linje, parallelt med hverandre a 1 ||a 2.
b) Hvis vektorene er rettet i en vinkel til hverandre, blir summen deres funnet ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 og α = 90°.
vektorer er vinkelrett på hverandre a 1 ⊥ a 2.
c) Tilstand a 1 + a 2 = a 1 − a 2 kan utføres hvis en 2− nullvektor, så a 1 + a 2 = a 1 .
Svar. EN) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) en 2− nullvektor.

3. To krefter på 1,42 N hver påføres ett punkt på kroppen i en vinkel på 60° i forhold til hverandre. I hvilken vinkel bør to krefter på 1,75 N hver påføres på samme punkt på kroppen slik at deres virkning balanserer virkningen av de to første kreftene?

Løsning.
I henhold til betingelsene for problemet balanserer to krefter på 1,75 N hver to krefter på hver 1,42 N. Dette er mulig hvis modulene til de resulterende vektorene av kraftpar er like. Vi bestemmer den resulterende vektoren ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram. For det første kraftparet:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 ,
for det andre kraftparet
F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ = F 2.
Sette likhetstegn mellom venstre side av ligningene
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
La oss finne den nødvendige vinkelen β mellom vektorene
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Etter beregninger,
cosβ = (2.1.422 + 2.1.422.cos60° - 2.1.752)/(2.1.752) = -0.0124,
β ≈ 90,7°.

Andre løsning.
La oss vurdere projeksjonen av vektorer på koordinataksen OX (fig.).

Ved å bruke forholdet mellom partene i høyre trekant, vi får
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
hvor
cos(β/2) = (F 1 /F 2)cos(α/2) = (1,42/1,75) × cos(60/2) og β ≈ 90,7°.

4. Vektor a = 3i − 4j. Hva må være skalarmengden c for |c en| = 7,5?
Løsning.
c en= c( 3i − 4j) = 7,5
Vektormodul en vil være lik
a 2 = 3 2 + 4 2, og a = ±5,
deretter fra
c.(±5) = 7,5,
la oss finne det
c = ±1,5.

5. Vektorer en 1 Og en 2 forlate opprinnelsen og har Kartesiske koordinater ender (6, 0) og (1, 4), henholdsvis. Finn vektoren en 3 slik at: a) en 1 + en 2 + en 3= 0; b) en 1 − en 2 + en 3 = 0.

Løsning.
La oss representere vektorene i Kartesisk system koordinater (fig.)

a) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er
a x = 6 + 1 = 7.
Den resulterende vektoren langs Oy-aksen er
a y = 4 + 0 = 4.
For at summen av vektorer skal være lik null, er det nødvendig at betingelsen er oppfylt
en 1 + en 2 = −en 3.
Vektor en 3 modulo vil være lik den totale vektoren en 1 + en 2, men rettet i motsatt retning. Vektor endekoordinat en 3 er lik (−7, −4), og modulen
a 3 = √(7 2 + 4 2) = 8,1.

B) Den resulterende vektoren langs Ox-aksen er lik
a x = 6 − 1 = 5,
og den resulterende vektoren langs Oy-aksen
a y = 4 − 0 = 4.
Når vilkåret er oppfylt
en 1 − en 2 = −en 3,
vektor en 3 vil ha koordinatene til enden av vektoren a x = –5 og a y = −4, og dens modul er lik
a 3 = √(5 2 + 4 2) = 6,4.

6. En budbringer går 30 m mot nord, 25 m mot øst, 12 m mot sør, og tar deretter en heis til en høyde på 36 m i en bygning. Hva er avstanden L tilbakelagt av ham og forskyvningen S ?

Løsning.
La oss skildre situasjonen beskrevet i problemet på et plan i en vilkårlig skala (fig.).

Slutt på vektor O.A. har koordinater 25 m mot øst, 18 m mot nord og 36 opp (25; 18; 36). Avstanden tilbakelagt av en person er lik
L = 30 m + 25 m + 12 m +36 m = 103 m.
Størrelsen på forskyvningsvektoren kan bli funnet ved hjelp av formelen
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
hvor x o = 0, y o = 0, z o = 0.
S = √(25 2 + 18 2 + 36 2) = 47,4 (m).
Svar: L = 103 m, S = 47,4 m.

7. Vinkel α mellom to vektorer en Og b tilsvarer 60°. Bestem lengden på vektoren c = a + b og vinkel β mellom vektorer en Og c. Størrelsen på vektorene er a = 3,0 og b = 2,0.

Løsning.
Vektorlengde, lik beløpet vektorer en Og b La oss bestemme ved å bruke cosinussetningen for et parallellogram (fig.).

с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Etter bytte
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2.cos60°) = 4,4.
For å bestemme vinkelen β bruker vi sinussetningen for trekant ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Samtidig bør du vite det
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Løse en enkel trigonometrisk ligning, kommer vi til uttrykket
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
derfor,
β = arctan(bsina/(a + bcosα)),
β = arctan(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
La oss sjekke ved å bruke cosinussetningen for en trekant:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2 ,
hvor
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
Og
β = arccos((a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)) = arccos((3 2 + 4,4 2 − 2 2)/(2.3.4.4)) = 23°.
Svar: c = 4,4; β ≈ 23°.

Løse problemer.
8. For vektorer en Og b definert i eksempel 7, finn lengden på vektoren d = a − b hjørne γ mellom en Og d.

9. Finn projeksjonen av vektoren a = 4,0i + 7,0j til en rett linje, hvis retning gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen. Vektor en og den rette linjen ligger i xOy-planet.

10. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med rett linje AB, a = 3,0. I hvilken vinkel β til rett linje AB skal vektoren rettes? b(b = √(3)) slik at vektoren c = a + b var parallell med AB? Finn lengden på vektoren c.

11. Tre vektorer er gitt: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; с = i + 3j. Finn en) a+b; b) a+c; V) (a, b); G) (a, c)b − (a, b)c.

12. Vinkel mellom vektorer en Og b er lik α = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Finn lengdene på vektorene c = (a, b)a + b Og d = 2b − a/2.

13. Bevis at vektorene en Og b er vinkelrett hvis a = (2, 1, −5) og b = (5, −5, 1).

14. Finn vinkelen α mellom vektorene en Og b, hvis a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).

15. Vektor en gjør en vinkel α = 30° med Ox-aksen, er projeksjonen av denne vektoren på Oy-aksen lik a y = 2,0. Vektor b vinkelrett på vektoren en og b = 3,0 (se figur).

Vektor c = a + b. Finn: a) projeksjoner av vektoren b på Ox and Oy-aksen; b) verdien av c og vinkelen β mellom vektoren c og okseaksen; drosje); d) (a, c).

Svar:
9. a 1 = a x cosα + a y sinα ≈ 7,0.
10. p = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9 k.
12. c = 2,6; d = 1,7.
14. a = 44,4°.
15. a) b x = −1,5; b y = 2,6; b) c = 5; β ≈ 67°; c) 0; d) 16,0.
Ved å studere fysikk har du store muligheter fortsette utdannelsen i teknisk universitet. Dette vil kreve en parallell fordypning av kunnskap i matematikk, kjemi, språk og sjeldnere andre fag. Vinneren av den republikanske olympiaden, Savich Egor, er uteksaminert fra et av fakultetene til MIPT, hvor det stilles store krav til kunnskap i kjemi. Hvis du trenger hjelp ved Statens vitenskapsakademi i kjemi, ta kontakt med fagfolkene; du vil definitivt motta kvalifisert og rettidig assistanse.

Se også:

Vektor mengde

Vektor mengde- fysisk mengde, som er en vektor (tensor av rang 1). På den ene siden kontrasteres det med skalære størrelser (tensorer av rang 0), og på den andre med tensormengder (strengt tatt, med tensorer av rang 2 eller mer). Det kan også kontrasteres med visse objekter av en helt annen matematisk karakter.

I de fleste tilfeller brukes begrepet vektor i fysikk for å betegne en vektor i det såkalte "fysiske rommet", dvs. i vanlig tredimensjonalt rom i klassisk fysikk eller i firedimensjonalt rom-tid i moderne fysikk(V sistnevnte tilfelle begrepet en vektor og en vektormengde sammenfaller med begrepet en 4-vektor og en 4-vektor mengde).

Bruken av uttrykket "vektormengde" er praktisk talt oppbrukt av dette. Når det gjelder bruken av begrepet "vektor", til tross for standard tilbøyelighet til det samme anvendelsesområdet, i store mengder saker går fortsatt langt utover slike grenser. Se nedenfor for detaljer.

Bruk av begreper vektor Og vektor mengde i fysikk

Generelt, i fysikk faller konseptet med en vektor nesten helt sammen med det i matematikk. Det er imidlertid en terminologisk spesifisitet knyttet til det faktum at i moderne matematikk er dette konseptet noe for abstrakt (i forhold til fysikkens behov).

I matematikk, når man uttaler "vektor", mener man snarere en vektor generelt, dvs. enhver vektor av et hvilket som helst vilkårlig abstrakt lineært rom av enhver dimensjon og natur, som, med mindre spesielle anstrengelser gjøres, til og med kan føre til forvirring (ikke så mye, selvfølgelig, i hovedsak, men når det gjelder brukervennlighet). Hvis det er nødvendig å være mer spesifikk, må man i den matematiske stilen enten snakke ganske lenge ("vektor av et slikt og slikt rom"), eller huske på hva som antydes av den eksplisitt beskrevne konteksten.

I fysikk snakker vi imidlertid nesten alltid ikke om matematiske objekter (som har visse formelle egenskaper) generelt, men om deres spesifikke («fysiske») sammenheng. Ved å ta disse spesifisitetsbetraktningene i betraktning med hensyn til korthet og bekvemmelighet, kan det forstås at terminologisk praksis i fysikk skiller seg markant fra matematikk. Det er imidlertid ikke i åpenbar motsetning til sistnevnte. Dette kan oppnås med noen få enkle "triks". For det første inkluderer disse avtalen om bruk av begrepet som standard (når konteksten ikke er spesifikt spesifisert). I fysikk, i motsetning til matematikk, betyr ordet vektor uten ytterligere avklaring vanligvis ikke "en eller annen vektor av et lineært rom generelt", men først og fremst en vektor assosiert med "vanlig fysisk rom" ( tredimensjonalt rom klassisk fysikk eller firedimensjonal rom-tid i relativistisk fysikk). For vektorer av rom som ikke er direkte og direkte relatert til "fysisk rom" eller "rom-tid", brukes spesielle navn (noen ganger inkludert ordet "vektor", men med forklaring). Hvis en vektor av et rom som ikke er direkte og direkte relatert til "fysisk rom" eller "rom-tid" (og som er vanskelig å karakterisere umiddelbart på en eller annen måte definitivt) blir introdusert i teorien, blir den ofte spesifikt beskrevet som en "abstrakt vektor ".

Alt som er sagt i i større grad, enn til begrepet "vektor", refererer til begrepet "vektormengde". Stillheten innebærer i dette tilfellet enda strengere en kobling til «vanlig rom» eller rom-tid, og bruk av abstrakte elementer ift. vektorrom snarere forekommer det praktisk talt ikke, i det minste ser en slik søknad ut til å være det sjeldneste unntaket (om ikke et forbehold i det hele tatt).

I fysikk kalles vektorer oftest, og vektormengder - nesten alltid - vektorer av to klasser som ligner hverandre:

Eksempler på vektor fysiske mengder: hastighet, kraft, varmestrøm.

Opprinnelse av vektormengder

Hvordan er fysiske "vektormengder" relatert til rommet? For det første er det slående at dimensjonen til vektormengder (i den vanlige betydningen av bruken av dette begrepet, som er forklart ovenfor) sammenfaller med dimensjonen til det samme "fysiske" (og "geometriske") rommet, for for eksempel et tredimensjonalt rom og et elektrisk vektorfelt er tredimensjonale. Intuitivt kan man også legge merke til at enhver fysisk vektorstørrelse, uansett hvilken vage sammenheng den har med vanlig romlig utvidelse, likevel har en veldig bestemt retning i dette vanlige rommet.

Imidlertid viser det seg at mye mer kan oppnås ved å direkte "redusere" hele settet med vektormengder av fysikk til de enkleste "geometriske" vektorene, eller rettere sagt til en vektor - vektoren for elementær forskyvning, og det ville være mer riktig å si - ved å utlede dem alle fra det.

Denne prosedyren har to forskjellige (selv om de i det vesentlige gjentar hverandre i detalj) implementeringer for det tredimensjonale tilfellet av klassisk fysikk og for den firedimensjonale rom-tid-formuleringen som er vanlig for moderne fysikk.

Klassisk 3D-deksel

Vi vil ta utgangspunkt i det vanlige tredimensjonale "geometriske" rommet vi bor i og kan bevege oss i.

La oss ta vektoren for infinitesimal forskyvning som initial- og referansevektoren. Det er ganske åpenbart at dette er en vanlig "geometrisk" vektor (akkurat som en endelig forskyvningsvektor).

La oss nå umiddelbart merke seg at å multiplisere en vektor med en skalar alltid produserer en ny vektor. Det samme kan sies om summen og forskjellen av vektorer. I dette kapittelet skal vi ikke gjøre forskjell på polare og aksiale vektorer, så vi legger merke til at kryssproduktet av to vektorer også gir en ny vektor.

Den nye vektoren gir også differensieringen av vektoren med hensyn til skalaren (siden en slik derivat er grensen for forholdet mellom forskjellen mellom vektorer og skalaren). Dette kan sies videre om derivater av alle høyere ordener. Det samme gjelder for integrasjon over skalarer (tid, volum).

Legg nå merke til det, basert på radiusvektoren r eller fra elementær forskyvning d r, forstår vi lett at vektorer er (siden tid er en skalar) slike kinematiske størrelser som

Fra hastighet og akselerasjon, multiplisert med en skalar (masse), får vi

Siden vi nå er interessert i pseudovektorer, merker vi det

Ved å bruke Lorentz-kraftformelen er den elektriske feltstyrken og den magnetiske induksjonsvektoren knyttet til kraft- og hastighetsvektorene.

Ved å fortsette denne prosedyren oppdager vi at alle vektormengder kjent for oss nå ikke bare intuitivt, men også formelt, er knyttet til det opprinnelige rommet. Nemlig alle av dem, på en måte, er dens elementer, fordi uttrykkes hovedsakelig som lineære kombinasjoner av andre vektorer (med skalare faktorer, kanskje dimensjonale, men skalære, og derfor formelt sett ganske lovlige).

Moderne firedimensjonal kasse

Den samme prosedyren kan gjøres basert på firedimensjonal bevegelse. Det viser seg at alle 4-vektorstørrelser "kommer" fra 4-forskyvning, og er derfor på en måte de samme vektorene av rom-tid som selve 4-forskyvningen.

Typer vektorer i forhold til fysikk

En polar eller sann vektor er en vanlig vektor.
Aksialvektor (pseudovektor) - er faktisk ikke en reell vektor, men formelt sett er den nesten ikke forskjellig fra sistnevnte, bortsett fra at den endrer retning til motsatt når orienteringen til koordinatsystemet endres (for eksempel når speilbilde koordinatsystemer). Eksempler på pseudovektorer: alle mengder definert gjennom kryssproduktet av to polare vektorer.
Det finnes flere forskjellige ekvivalensklasser for krefter.

Notater

Wikimedia Foundation. 2010.

Se hva "Vektormengde" er i andre ordbøker:

vektor mengde- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Engelsk-russisk ordbok for elektroteknikk og kraftteknikk, Moskva, 1999] Emner innen elektroteknikk, grunnleggende konsepter EN vektormengde ... Teknisk oversetterveiledning

vektor mengde- vektorinis dydis statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. vektor mengde vektormengde vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektormengde, f pranc. grandeur vectorielle, f … Automatiske terminų žodynas

vektor mengde- vektorinis dydis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. vektor mengde vektormengde vok. Vektorgröße, f; vektorielle Größe, f rus. vektormengde, f pranc. grandeur vectorielle, f … Fizikos terminų žodynas

Grafisk representasjon av størrelser som endrer seg i henhold til sinusloven (cosinus) og relasjonene mellom dem ved å bruke rettede segmenter av vektorer. Vektordiagrammer mye brukt i elektroteknikk, akustikk, optikk, vibrasjonsteori, og så videre.... ... Wikipedia

Spørsmålet "styrke" omdirigerer hit; se også andre betydninger. Kraftdimensjon LMT−2 SI-enheter ... Wikipedia

Denne artikkelen eller delen trenger revisjon. Vennligst forbedre artikkelen i samsvar med reglene for å skrive artikler. Fysisk... Wikipedia

Dette er en størrelse som, som et resultat av eksperimentet, antar en av mange verdier, og utseendet til en eller annen verdi av denne mengden kan ikke forutsies nøyaktig før måling. Formell matematisk definisjon følgende: la det være sannsynlighet... ... Wikipedia

Vektor- og skalarfunksjoner av koordinater og tid, som er kjennetegn elektro magnetfelt. Vektor P.e. kalt vektormengde A, rotor til sverme lik vektoren I magnetfeltinduksjon; rotA V. Skalar P. e. kalt skalær mengde f, … … Big Encyclopedic Polytechnic Dictionary

Verdien som karakteriserer rotasjonen. effekten av kraft når den virker på TV. kropp. Det er M. s. i forhold til sentrum (punkt) og i forhold til hoved. M. s. i forhold til sentrum O (fig. a) vektormengde, numerisk lik produktet tvinge modul F på... ... Naturvitenskap. encyklopedisk ordbok

En vektormengde som karakteriserer endringshastigheten i hastigheten til et punkt når det gjelder dets numeriske verdi og retning. På rett bevegelse punkter når hastigheten υ øker (eller avtar) jevnt, numerisk U. i tid: ... ... Stor sovjetisk leksikon

Fysikk og matematikk kan ikke klare seg uten konseptet "vektormengde". Du må kjenne og gjenkjenne den, og også kunne operere med den. Dette bør du definitivt lære deg for ikke å bli forvirret og gjøre dumme feil.

Hvordan skille en skalar mengde fra en vektormengde?

Den første har alltid bare én egenskap. Dette er dens numeriske verdi. De fleste skalære mengder kan ha både positive og negative verdier. Eksempler på disse er elektrisk ladning, arbeid eller temperatur. Men det finnes skalarer som ikke kan være negative, for eksempel lengde og masse.

Vektormengde unntatt numerisk verdi, som alltid tas modulo, er også preget av retning. Derfor kan den avbildes grafisk, det vil si i form av en pil, hvis lengde er lik den absolutte verdien rettet i en bestemt retning.

Når du skriver, er hver vektormengde angitt med et piltegn på bokstaven. Hvis vi snakker om om en numerisk verdi, så skrives ikke pilen eller den er tatt modulo.

Hvilke handlinger utføres oftest med vektorer?

Først en sammenligning. De kan være like eller ikke. I det første tilfellet er modulene deres de samme. Men dette er ikke den eneste betingelsen. De må også ha samme eller motsatte retninger. I det første tilfellet bør de ringes opp like vektorer. I den andre viser de seg å være motsatt. Hvis minst en av de spesifiserte betingelsene ikke er oppfylt, er ikke vektorene like.

Så kommer tillegg. Det kan lages i henhold til to regler: en trekant eller et parallellogram. Den første foreskriver å først legge av en vektor, deretter fra slutten den andre. Resultatet av tillegget vil være det som må tegnes fra begynnelsen av den første til slutten av den andre.

Parallellogramregelen kan brukes når man legger til vektormengder i fysikk. I motsetning til den første regelen, her bør de utsettes fra ett punkt. Bygg dem deretter opp til et parallellogram. Resultatet av handlingen bør betraktes som diagonalen til parallellogrammet trukket fra samme punkt.

Hvis en vektormengde trekkes fra en annen, plottes de igjen fra ett punkt. Bare resultatet vil være en vektor som sammenfaller med det som er plottet fra slutten av den andre til slutten av den første.

Hvilke vektorer studeres i fysikk?

Det er like mange av dem som det er skalarer. Du kan ganske enkelt huske hvilke vektormengder som finnes i fysikk. Eller kjenn tegnene de kan beregnes etter. For de som foretrekker det første alternativet, vil denne tabellen være nyttig. Den presenterer hovedvektorens fysiske størrelser.

Nå litt mer om noen av disse mengdene.

Den første størrelsen er hastighet

Det er verdt å starte med eksempler på vektormengder. Dette skyldes at det er blant de første som blir studert.

Hastighet er definert som en egenskap ved bevegelsen til en kropp i rommet. Den angir den numeriske verdien og retningen. Derfor er hastighet en vektormengde. I tillegg er det vanlig å dele det inn i typer. Den første er lineær hastighet. Det introduseres når man vurderer en rettlinjet jevn bevegelse. I dette tilfellet viser det seg å være lik forholdet mellom banen som kroppen har kjørt til bevegelsestidspunktet.

Den samme formelen kan brukes for ujevn bevegelse. Først da blir det gjennomsnittlig. Dessuten må tidsintervallet som må velges være så kort som mulig. Ettersom tidsintervallet har en tendens til null, er hastighetsverdien allerede øyeblikkelig.

Hvis vilkårlig bevegelse vurderes, er hastighet alltid en vektormengde. Tross alt må det dekomponeres i komponenter rettet langs hver vektor som dirigerer koordinatlinjene. I tillegg er det definert som den deriverte av radiusvektoren tatt med hensyn til tid.

Den andre mengden er styrke

Det bestemmer målet for intensiteten av påvirkningen som utøves på kroppen av andre kropper eller felt. Siden kraft er en vektormengde, har den nødvendigvis sin egen størrelse og retning. Siden det virker på kroppen, er punktet som kraften påføres også viktig. For å oppnå visuell representasjon om kraftvektorer, kan du referere til følgende tabell.

Også en annen vektormengde er den resulterende kraften. Det er definert som summen av alle krefter som virker på kroppen mekaniske krefter. For å bestemme det, er det nødvendig å utføre tillegg i henhold til prinsippet om trekantregelen. Du trenger bare å legge vekk vektorene en etter en fra slutten av den forrige. Resultatet vil være det som forbinder begynnelsen av den første til slutten av den siste.

Den tredje størrelsen er forskyvning

Under bevegelse beskriver kroppen en bestemt linje. Det kalles en bane. Denne linjen kan være helt annerledes. Det viser seg at det ikke er hun som er viktigere utseende, og start- og sluttpunktene for bevegelsen. De er forbundet med et segment som kalles en oversettelse. Dette er også en vektormengde. Dessuten er den alltid rettet fra begynnelsen av bevegelsen til punktet der bevegelsen ble stoppet. Det er vanlig å betegne det latinsk bokstav r.

Her kan følgende spørsmål oppstå: "Er banen en vektormengde?" I generell sak denne uttalelsen er ikke sann. Sti lik lengde bane og har ingen spesifikk retning. Et unntak er situasjonen når rettlinjet bevegelse i én retning vurderes. Da faller størrelsen på forskyvningsvektoren sammen i verdi med banen, og retningen deres viser seg å være den samme. Derfor, når man vurderer bevegelse langs en rett linje uten å endre bevegelsesretningen, kan banen inkluderes i eksempler på vektormengder.

Den fjerde størrelsen er akselerasjon

Det er en karakteristikk av hastigheten på endring av hastighet. Dessuten kan akselerasjonen være både positiv og negativ betydning. Når du beveger deg i en rett linje, er den rettet mot høyere hastighet. Hvis bevegelsen skjer langs krumlinjet bane, deretter dekomponeres akselerasjonsvektoren i to komponenter, hvorav den ene er rettet mot krumningssenteret langs radien.

De gjennomsnittlige og øyeblikkelige akselerasjonsverdiene skilles. Den første skal beregnes som forholdet mellom hastighetsendringen over en viss tidsperiode og denne tiden. Når tidsintervallet som vurderes har en tendens til null, snakker vi om øyeblikkelig akselerasjon.

Femte verdi - impuls

På en annen måte kalles det også bevegelsesmengde. Momentum er en vektormengde fordi den er direkte relatert til hastigheten og kraften som påføres kroppen. Begge har en retning og gir den til impulsen.

Per definisjon den siste lik produktet kroppsvekt til hastighet. Ved å bruke begrepet momentum til en kropp kan vi skrive Newtons velkjente lov annerledes. Det viser seg at endringen i momentum er lik produktet av kraft og en tidsperiode.

I fysikk viktig rolle har loven om bevaring av momentum, som sier at i et lukket system av kropper er dets totale momentum konstant.

Vi har veldig kort listet opp hvilke størrelser (vektor) som studeres i fysikkkurset.

Uelastisk påvirkningsproblem

Betingelse. Det er en stasjonær plattform på skinnene. En vogn nærmer seg den med en hastighet på 4 m/s. Massene til plattformen og bilen er henholdsvis 10 og 40 tonn. Bilen treffer plattformen og automatisk kobling oppstår. Det er nødvendig å beregne hastigheten til "bilplattform"-systemet etter sammenstøtet.

Løsning. Først må du angi følgende betegnelser: bilens hastighet før sammenstøtet er v1, hastigheten til bilen med plattformen etter kobling er v, bilens masse er m1, massen til plattformen er m2. I henhold til betingelsene for problemet, er det nødvendig å finne ut verdien av hastigheten v.

Reglene for å løse slike oppgaver krever en skjematisk fremstilling av systemet før og etter interaksjon. Det er rimelig å rette OX-aksen langs skinnene i den retningen bilen beveger seg.

Under disse forholdene kan bilsystemet anses som lukket. Dette bestemmes av det faktum at eksterne krefter kan neglisjeres. Tyngdekraften og støttereaksjonen er balansert, og det tas ikke hensyn til friksjon på skinnene.

I henhold til loven om bevaring av momentum er vektorsummen deres før interaksjonen mellom bilen og plattformen lik totalen for koblingen etter sammenstøtet. Til å begynne med beveget ikke plattformen seg, så momentumet var null. Bare bilen beveget seg, dens momentum er produktet av m1 og v1.

Siden støtet var uelastisk, det vil si bilen koblet til plattformen, og deretter begynte de å rulle sammen i samme retning, endret ikke systemets impuls retning. Men betydningen har endret seg. Nemlig produktet av summen av bilens masse med plattformen og ønsket hastighet.

Du kan skrive følgende likhet: m1 * v1 = (m1 + m2) * v. Det vil være sant for projeksjonen av impulsvektorer på den valgte aksen. Fra det er det lett å utlede likheten som vil være nødvendig for å beregne nødvendig hastighet: v = m1 * v1 / (m1 + m2).

I henhold til reglene skal verdiene for masse konverteres fra tonn til kilo. Derfor, når du erstatter dem med formelen, må du først multiplisere de kjente mengdene med tusen. Enkle beregninger gir et tall på 0,75 m/s.

Svar. Hastigheten på bilen med plattform er 0,75 m/s.

Problem med å dele kroppen i deler

Betingelse. Hastigheten til en flygende granat er 20 m/s. Den brytes i to deler. Vekten på den første er 1,8 kg. Den fortsetter å bevege seg i retningen som granaten fløy med en hastighet på 50 m/s. Det andre fragmentet har en masse på 1,2 kg. Hva er hastigheten?

Løsning. La massene til fragmentene betegnes med bokstavene m1 og m2. Hastighetene deres vil være henholdsvis v1 og v2. starthastighet granater - v. Problemet krever beregning av verdien av v2.

For at det større fragmentet skal fortsette å bevege seg i samme retning som hele granaten, må det andre fly inn motsatt side. Hvis vi velger som retning på aksen den som var innledende impuls, så etter en pause flyr det store fragmentet langs aksen, og det lille flyr mot aksen.

I dette problemet er det tillatt å bruke loven om bevaring av momentum på grunn av det faktum at granaten eksploderer umiddelbart. Derfor, til tross for at tyngdekraften virker på granaten og dens deler, har den ikke tid til å handle og endre retningen til impulsvektoren med dens absolutte verdi.

Summen av vektorstørrelsene til impulsen etter granateksplosjonen er lik den som var før den. Hvis vi skriver ned loven om bevaring av momentum til et legeme i projeksjon på OX-aksen, vil det se slik ut: (m1 + m2) * v = m1 * v1 - m2 * v2. Fra den er det enkelt å uttrykke ønsket hastighet. Det vil bli bestemt av formelen: v2 = ((m1 + m2) * v - m1 * v1) / m2. Etter å ha erstattet numeriske verdier og beregninger, får vi 25 m/s.

Svar. Hastigheten til det lille fragmentet er 25 m/s.

Problem med å skyte i vinkel

Betingelse. En pistol er montert på en plattform med masse M. Den avfyrer et prosjektil med masse m. Den flyr ut i en vinkel α mot horisonten med en hastighet v (gitt i forhold til bakken). Du må vite hastigheten på plattformen etter skuddet.

Løsning. I denne oppgaven kan du bruke loven om bevaring av momentum i projeksjon på OX-aksen. Men bare i tilfelle når projeksjonen av eksterne resulterende krefter er lik null.

For retningen til OX-aksen må du velge siden der prosjektilet skal fly, og parallelt med den horisontale linjen. I dette tilfellet vil projeksjonene av gravitasjonskrefter og reaksjonen til støtten på OX være lik null.

Problemet vil bli løst i generelt syn, siden det ikke finnes spesifikke data for kjente mengder. Svaret er en formel.

Systemets momentum før skuddet var null, siden plattformen og prosjektilet sto stille. La ønsket plattformhastighet angis med den latinske bokstaven u. Da vil momentumet etter skuddet bli bestemt som produktet av massen og projeksjonen av hastigheten. Siden plattformen vil rulle tilbake (mot retningen til OX-aksen), vil impulsverdien ha et minustegn.

Momentumet til et prosjektil er produktet av dets masse og projeksjonen av hastighet på OX-aksen. På grunn av det faktum at hastigheten er rettet i en vinkel til horisonten, er dens projeksjon lik hastigheten multiplisert med cosinus til vinkelen. I bokstavelig likhet vil det se slik ut: 0 = - Mu + mv * cos α. Fra den, gjennom enkle transformasjoner, oppnås svarformelen: u = (mv * cos α) / M.

Svar. Plattformhastigheten bestemmes av formelen u = (mv * cos α) / M.

Problem med å krysse elven

Betingelse. Bredden av elven langs hele lengden er den samme og lik l, bredden er parallelle. Hastigheten på vannføringen i elva v1 og båtens egen hastighet v2 er kjent. 1). Ved kryssing er baugen på båten rettet strengt mot motsatt land. Hvor langt vil det bli fraktet nedstrøms? 2). I hvilken vinkel α skal baugen på båten rettes slik at den når motsatt land strengt vinkelrett på utgangspunktet? Hvor lang tid vil det ta for en slik kryssing?

Løsning. 1). Båtens totale hastighet er vektorsummen av to størrelser. Den første av disse er strømmen av elven, som er rettet langs bredden. Den andre er båtens egen hastighet, vinkelrett på kysten. Tegningen viser to ligner på en trekant. Den første er dannet av bredden på elven og avstanden båten driver over. Den andre er av hastighetsvektorer.

Fra dem følger følgende oppføring: s / l = v1 / v2. Etter transformasjonen oppnås formelen for ønsket verdi: s = l * (v1 / v2).

2). I denne versjonen av oppgaven er den totale hastighetsvektoren vinkelrett på kysten. Den er lik vektorsummen av v1 og v2. Sinusen til vinkelen som den naturlige hastighetsvektoren må avvike med er lik forholdet mellom modulene v1 og v2. For å beregne reisetiden må du dele bredden av elven med den beregnede fullhastigheten. Verdien av sistnevnte beregnes ved hjelp av Pythagoras setning.

v = √(v22 – v12), deretter t = l / (√(v22 – v12)).

Svar. 1). s = l * (v1 / v2), 2). sin α = v1 / v2, t = l / (√(v22 – v12)).

Når du studerer ulike grener av fysikk, mekanikk og tekniske vitenskaper det er mengder som er fullstendig bestemt ved å spesifisere deres numeriske verdier, mer presist, som er fullstendig bestemt av antallet oppnådd som et resultat av deres måling homogen størrelse, tatt som en. Slike mengder kalles skalar eller kort sagt skalarer. Skalare mengder, for eksempel, er lengde, areal, volum, tid, masse, kroppstemperatur, tetthet, arbeid, elektrisk kapasitet osv. Siden en skalar mengde bestemmes av et tall (positivt eller negativt), kan det plottes på tilsvarende koordinataksen. For eksempel er aksen for tid, temperatur, lengde (tilbakelagt distanse) og andre ofte konstruert.

I tillegg til skalare mengder, er det i forskjellige problemer mengder som det i tillegg til deres numeriske verdi også er nødvendig å kjenne deres retning i rommet. Slike mengder kalles vektor. Fysiske eksempler på vektormengder inkluderer forskyvning materiell poeng beveger seg i rommet, hastigheten og akselerasjonen til dette punktet, samt kraften som virker på det, styrken til det elektriske eller magnetiske feltet. Vektormengder brukes for eksempel i klimatologi. La oss se på et enkelt eksempel fra klimatologi. Hvis vi sier at vinden blåser med en hastighet på 10 m/s, vil vi introdusere en skalarverdi for vindhastighet, men hvis vi sier at nordavinden blåser med en hastighet på 10 m/s, så i denne i tilfelle vindhastigheten allerede vil være en vektormengde.

Vektormengder er representert ved hjelp av vektorer.

For geometrisk representasjon av vektormengder brukes rettet segmenter, det vil si segmenter som har en fast retning i rommet. I dette tilfellet er lengden på segmentet lik den numeriske verdien av vektormengden, og retningen sammenfaller med retningen til vektormengden. Det rettede segmentet som karakteriserer en gitt vektormengde kalles geometrisk vektor eller bare en vektor.

Konseptet med en vektor spiller en viktig rolle både i matematikk og på mange områder av fysikk og mekanikk. Mange fysiske størrelser kan representeres ved hjelp av vektorer, og denne representasjonen bidrar veldig ofte til generalisering og forenkling av formler og resultater. Ofte identifiseres vektormengder og vektorene som representerer dem med hverandre: for eksempel sier de at kraft (eller hastighet) er en vektor.

Elementer av vektoralgebra brukes i slike disipliner som: 1) elektriske maskiner; 2) automatisert elektrisk drift; 3) elektrisk belysning og bestråling; 4) uforgrenede kjeder vekselstrøm; 5) anvendt mekanikk; 6) teoretisk mekanikk; 7) fysikk; 8) hydraulikk: 9) maskindeler; 10) styrke av materialer; 11) ledelse; 12) kjemi; 13) kinematikk; 14) statikk osv.

2. Definisjon av en vektor. Et rett linjestykke er definert av to like punkter - endene. Men vi kan vurdere et rettet segment definert av et ordnet poengpar. Det er kjent om disse punktene hvilke av dem som er den første (begynnelsen) og hvilken som er den andre (slutten).

Et rettet segment forstås som et ordnet par av punkter, hvorav det første - punkt A - kalles begynnelsen, og det andre - B - slutten.

Så under vektor i det enkleste tilfellet forstås selve det rettede segmentet, og i andre tilfeller er de forskjellige vektorene det ulike klasser ekvivalenser av dirigerte segmenter, bestemt av en spesifikk ekvivalensrelasjon. Dessuten kan ekvivalensrelasjonen være forskjellig, og bestemme typen vektor ("fri", "fast", etc.). Enkelt sagt, innenfor en ekvivalensklasse, blir alle dirigerte segmenter inkludert i den behandlet som fullstendig like, og hver kan representere hele klassen like mye.

Vektorer spiller en viktig rolle i studiet av infinitesimale transformasjoner av rommet.

Definisjon 1. Vi vil kalle et rettet segment (eller, hva er det samme, et ordnet poengpar) vektor. Retningen til segmentet er vanligvis markert med en pil. Når du skriver, plasseres en pil over bokstavbetegnelsen til vektoren, for eksempel: (i dette tilfellet må bokstaven som tilsvarer begynnelsen av vektoren plasseres foran). I bøker er bokstaver som angir en vektor ofte skrevet med fet skrift, for eksempel: EN.

Vi vil også inkludere den såkalte nullvektoren, hvis begynnelse og slutt faller sammen, som vektorer.

En vektor hvis begynnelse sammenfaller med slutten kalles null. Nullvektoren er ganske enkelt betegnet som 0.

Avstanden mellom starten og slutten av en vektor kalles dens lengde(og modul og absolutt verdi). Lengden på vektoren er angitt med | | eller | |. Lengden til en vektor, eller modulen til en vektor, er lengden på det tilsvarende rettede segmentet: | | = .

Vektorene kalles kollineær, hvis de er plassert på samme linje eller på parallelle linjer, kort sagt, hvis det er en linje som de er parallelle med.

Vektorene kalles koplanar, hvis det er et plan som de er parallelle med, kan de representeres av vektorer som ligger på samme plan. Nullvektoren regnes som kollineær til enhver vektor, siden den ikke har noen spesifikk retning. Lengden er selvfølgelig null. Åpenbart er to vektorer koplanare; men selvfølgelig er ikke hver tredje vektor i rommet koplanære. Siden vektorer parallelle med hverandre er parallelle med samme plan, da kollineære vektorer er enda mer koplanære. Selvfølgelig er det motsatte ikke sant: koplanære vektorer er kanskje ikke kollineære. I kraft av betingelsen adoptert ovenfor, er nullvektoren kolineær med en hvilken som helst vektor og koplanar med et hvilket som helst par av vektorer, dvs. hvis blant tre vektorer minst én er null, så er de koplanære.

2) Ordet "coplanar" betyr i hovedsak: "å ha et felles plan", dvs. "plassert i samme plan." Men siden vi her snakker om frie vektorer som kan overføres (uten å endre lengde og retning) på en vilkårlig måte, må vi kalle vektorer parallelle med samme plan koplanare, fordi de i dette tilfellet kan overføres slik at de befinner seg i ett fly.

For å forkorte talen, la oss bli enige i ett begrep: hvis flere frie vektorer er parallelle med samme plan, vil vi si at de er koplanære. Spesielt er to vektorer alltid koplanære; for å bli overbevist om dette, er det nok å utsette dem fra samme punkt. Det er videre klart at retningen til planet der to gitte vektorer er parallelle er fullstendig definert hvis disse to vektorene ikke er parallelle med hverandre. Vi vil ganske enkelt kalle et hvilket som helst plan som disse koplanare vektorene er parallelle med planet til disse vektorene.

Definisjon 2. De to vektorene kalles lik, hvis de er collineære, har samme retning og har like lengder.

Du må alltid huske at likheten mellom lengdene til to vektorer ikke betyr at disse vektorene er like.

Etter selve betydningen av definisjonen er to vektorer som hver for seg er like med den tredje like med hverandre. Det er klart at alle nullvektorer er like med hverandre.

Fra denne definisjonen følger det umiddelbart at ved å velge et hvilket som helst punkt A", kan vi konstruere (og dessuten bare én) vektor A" B", lik noen gitt vektor, eller, som de sier, flytt vektoren til punkt A."

Kommentar. For vektorer er det ingen begreper om "mer" eller "mindre", dvs. de er like eller ikke like.

En vektor hvis lengde er lik én kalles enkelt vektor og er betegnet med e. Enhetsvektor, hvis retning faller sammen med retningen til vektor a, kalles ortom vektor og er betegnet som a.

3. Om en annen definisjon av en vektor. Merk at begrepet likhet av vektorer skiller seg betydelig fra begrepet likhet, for eksempel tall. Hvert tall er bare lik seg selv, med andre ord kan to like tall under alle omstendigheter betraktes som samme tall. Med vektorer, som vi ser, er situasjonen annerledes: per definisjon er det forskjellige, men like vektorer. Selv om vi i de fleste tilfeller ikke trenger å skille mellom dem, kan det godt vise seg at vi på et tidspunkt vil være interessert i vektoren , og ikke en annen lik vektor A "B".

For å forenkle konseptet med likhet av vektorer (og fjerne noen av vanskelighetene forbundet med det), går de noen ganger for å komplisere definisjonen av en vektor. Vi skal ikke bruke denne kompliserte definisjonen, men vi skal formulere den. For å unngå forvirring vil vi skrive "Vektor" (med store bokstaver) for å betegne konseptet definert nedenfor.

Definisjon 3. La et rettet segment bli gitt. Settet med alle dirigerte segmenter lik en gitt i betydningen definisjon 2 kalles Vektor.

Dermed definerer hvert rettet segment en vektor. Det er lett å se at to dirigerte segmenter definerer samme vektor hvis og bare hvis de er like. For vektorer, som for tall, betyr likhet tilfeldighet: to vektorer er like hvis og bare hvis de er samme vektor.

Ved parallell overføring av rom danner et punkt og dets bilde et ordnet par av punkter og definerer et rettet segment, og alle slike rettet segmenter er like i betydningen av definisjon 2. Derfor kan parallell overføring av rom identifiseres med en vektor sammensatt av alle disse regisserte segmentene.

Fra innledende kurs fysikere er godt klar over at kraft kan representeres av et rettet segment. Men det kan ikke representeres av en vektor, siden krefter representert av like rettede segmenter produserer, generelt sett, forskjellige handlinger. (Hvis en kraft virker på en elastisk kropp, kan det rettede segmentet som representerer den ikke overføres selv langs den rette linjen den ligger på.)

Dette er bare en av grunnene til at det, sammen med vektorer, dvs. sett (eller, som de sier, klasser) med like rettede segmenter, er nødvendig å vurdere individuelle representanter for disse klassene. Under disse omstendighetene blir anvendelsen av definisjon 3 vanskeligere et stort antall reservasjoner Vi vil holde oss til Definisjon 1, og i generell forstand vil det alltid være klart om vi snakker om en veldefinert vektor, eller om noen som er lik den kan erstattes i stedet.

I forbindelse med definisjonen av en vektor er det verdt å forklare betydningen av noen ord som finnes i litteraturen.

I fysikk er det flere kategorier av mengder: vektor og skalar.

Hva er en vektormengde?

En vektormengde har to hovedegenskaper: retning og modul. To vektorer vil være like hvis deres absolutte verdi og retning er den samme. For å betegne en vektormengde, brukes oftest bokstaver med en pil over dem. Et eksempel på en vektormengde er kraft, hastighet eller akselerasjon.

For å forstå essensen av en vektormengde, bør man vurdere den fra geometrisk punkt syn. En vektor er et segment som har en retning. Lengden på et slikt segment korrelerer med verdien av dets modul. Fysisk eksempel vektormengde er forskyvningen av et materialpunkt som beveger seg i rommet. Parametere som akselerasjonen til dette punktet, hastigheten og kreftene som virker på det, det elektromagnetiske feltet vil også vises som vektorstørrelser.

Hvis vi vurderer en vektormengde uavhengig av retning, så kan et slikt segment måles. Men det resulterende resultatet vil gjenspeile bare delvise egenskaper ved mengden. For å måle den fullt ut, bør verdien suppleres med andre parametere for retningssegmentet.

I vektor algebra det er et konsept null vektor. Dette konseptet betyr et poeng. Når det gjelder retningen til nullvektoren, anses den som usikker. For å betegne nullvektoren brukes den aritmetiske null, skrevet med fet skrift.

Hvis vi analyserer alt ovenfor, kan vi konkludere med at alle dirigerte segmenter definerer vektorer. To segmenter vil definere en vektor bare hvis de er like. Ved sammenligning av vektorer gjelder samme regel som ved sammenligning av skalare mengder. Likestilling betyr fullstendig enighet i alle henseender.

Hva er en skalar mengde?

I motsetning til en vektor, har en skalar mengde bare én parameter - denne dens numeriske verdi. Det er verdt å merke seg at den analyserte verdien kan ha både en positiv numerisk verdi og en negativ.

Eksempler inkluderer masse, spenning, frekvens eller temperatur. Med slike verdier kan du utføre forskjellige aritmetiske operasjoner: addisjon, divisjon, subtraksjon, multiplikasjon. En skalar mengde har ikke en slik egenskap som retning.

En skalar mengde måles med en numerisk verdi, slik at den kan vises på en koordinatakse. For eksempel konstrueres svært ofte aksen for tilbakelagt avstand, temperatur eller tid.

Hovedforskjeller mellom skalar- og vektormengder

Fra beskrivelsene gitt ovenfor er det klart at hovedforskjellen mellom vektormengder og skalarmengder er deres kjennetegn. En vektormengde har en retning og størrelse, mens en skalarmengde kun har en numerisk verdi. Selvfølgelig kan en vektormengde, som en skalær mengde, måles, men en slik karakteristikk vil ikke være fullstendig, siden det ikke er noen retning.

For å tydeligere forestille seg forskjellen mellom en skalær mengde og en vektormengde, bør det gis et eksempel. For å gjøre dette, la oss ta et slikt kunnskapsområde som klimatologi. Hvis vi sier at vinden blåser med en hastighet på 8 meter per sekund, vil en skalar mengde bli introdusert. Men hvis vi sier at nordavinden blåser med en hastighet på 8 meter i sekundet, da vi vil snakke om vektorverdien.

Vektorer som spiller stor rolle i moderne matematikk, så vel som på mange områder innen mekanikk og fysikk. De fleste fysiske størrelser kan representeres som vektorer. Dette lar oss generalisere og betydelig forenkle formlene og resultatene som brukes. Ofte identifiseres vektorverdier og vektorer med hverandre. For eksempel kan du i fysikk høre at hastighet eller kraft er en vektor.