Enkel iterasjonsmetode med optimal parameter. Iterative metoder for å løse slough

Den enkle iterasjonsmetoden, også kalt suksessiv tilnærming, - Dette matematisk algoritme finne verdien av en ukjent mengde ved gradvis å foredle den. Essensen av denne metoden er at, som navnet antyder, gradvis å uttrykke påfølgende fra den første tilnærmingen, oppnås flere og mer raffinerte resultater. Denne metoden brukes til å finne verdien av en variabel i gitt funksjon, samt ved løsning av ligningssystemer, både lineære og ikke-lineære.

La oss se hvordan denne metoden implementeres ved løsning av SLAE. Den enkle iterasjonsmetoden har følgende algoritme:

1. Kontrollere oppfyllelsen av konvergensbetingelsen i den opprinnelige matrisen. Konvergensteorem: hvis den opprinnelige matrisen til systemet har diagonal dominans (dvs. i hver rad må elementene i hoveddiagonalen være større i absolutt verdi enn summen av elementene til sekundærdiagonalene i absolutt verdi), så metoden enkle iterasjoner- konvergent.

2. Matrisen til det opprinnelige systemet har ikke alltid en diagonal overvekt. I slike tilfeller kan systemet konverteres. Ligninger som tilfredsstiller konvergensbetingelsen blir stående urørt, og det lages lineære kombinasjoner med de som ikke gjør det, dvs. multiplisere, subtrahere, legg til likninger til hverandre til ønsket resultat er oppnådd.

Hvis det i det resulterende systemet er upraktiske koeffisienter på hoveddiagonalen, legges vilkårene til formen med i * x i til begge sider av en slik ligning, hvis tegn må falle sammen med tegnene til de diagonale elementene.

3. Transformasjon av det resulterende systemet til normal form:

x - =β - +α*x -

Dette kan gjøres på mange måter, for eksempel slik: fra den første ligningen, uttrykk x 1 i form av andre ukjente, fra den andre - x 2, fra den tredje - x 3, etc. I dette tilfellet bruker vi formlene:

α ij = -(a ij / a ii)

i = b i /a ii
Du bør igjen sørge for at det resulterende systemet med normal form oppfyller konvergensbetingelsen:

∑ (j=1) |α ij |≤ 1, mens i= 1,2,...n

4. Vi begynner faktisk å bruke selve metoden for suksessive tilnærminger.

x (0) er den første tilnærmingen, vi vil uttrykke x (1) gjennom den, deretter vil vi uttrykke x (2) til x (1). Generell formel EN matriseform ser slik ut:

x (n) = β - +α*x (n-1)

Vi beregner til vi oppnår den nødvendige nøyaktigheten:

max |xi (k)-xi (k+1) ≤ ε

Så la oss bruke den enkle iterasjonsmetoden i praksis. Eksempel:
Løs SLAE:

4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4 med nøyaktighet ε=10 -3

La oss se om diagonale elementer dominerer i modul.

Vi ser at bare den tredje ligningen tilfredsstiller konvergensbetingelsen. La oss transformere den første og andre, og legge den andre til den første ligningen:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3

Fra den tredje trekker vi den første:

2,7x1+4,2x2+1,2x3=2

Vi konverterte det originale systemet til et tilsvarende:

7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4

La oss nå bringe systemet til sin normale form:

x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Vi sjekker konvergensen til den iterative prosessen:

0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, dvs. vilkåret er oppfylt.

0,3947
Innledende gjetning x(0) = 0,4762
0,8511

Ved å erstatte disse verdiene i normalformligningen får vi følgende verdier:

0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639

Ved å erstatte nye verdier får vi:

0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336

Vi fortsetter beregningene til vi nærmer oss verdier som tilfredsstiller den gitte betingelsen.

x (7) = 0,441091

La oss sjekke riktigheten av de oppnådde resultatene:

4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977

Resultatene oppnådd ved å erstatte de funnet verdiene i de opprinnelige ligningene tilfredsstiller vilkårene for ligningen.

Som vi kan se, gir den enkle iterasjonsmetoden ganske nøyaktige resultater, men for å løse denne ligningen måtte vi bruke mye tid og gjøre tungvinte beregninger.

La oss vurdere system av lineært algebraiske ligninger

La oss bruke noen få tilsvarende transformasjoner. La oss multiplisere begge deler av systemet med samme skalarfaktor, og deretter legge til en vektor til høyre og venstre del av systemet. Ligningssystemet kan nå skrives i en form som er praktisk for iterasjoner:

(2.15)

Nå skal vi konstruere en sekvens av tilnærminger til løsningen av systemet. La oss velge en vilkårlig vektor - en innledende tilnærming til løsningen. Oftest antas det ganske enkelt å være nullvektoren. Mest sannsynlig tilfredsstiller ikke den første tilnærmingen (2.15) og derfor det opprinnelige systemet. Når den erstattes med den opprinnelige ligningen, oppstår det et avvik. Etter å ha beregnet avviket ved å bruke (2.15) kan vi avgrense tilnærmingen til løsningen, forutsatt at

Ved å bruke en første tilnærming beregnes avviket igjen, og prosessen fortsetter. Under iterasjonen får vi en tilsvarende formulering av metoden kalt ved enkel iterasjonsmetode, er som følgende. Løsningen (2.15) finnes som grensen for sekvensen tilnærminger, hvis vilkår er knyttet til en gjentakelsesrelasjon (det tilsvarer den som er gitt ovenfor, restvektoren er ekskludert fra notasjonen):

(2.16)

(eller hvem som helst vilkårlig vektor). Hvis grensen for en slik sekvens eksisterer, så snakker vi om konvergens iterativ prosess for å løse SLAE.

Det finnes andre former for å skrive iterasjonsmetoden, for eksempel

Når , tilsvarer den siste formelen den én-parameter iterative prosessen diskutert ovenfor enkel iterasjonsmetode. For , - n-trinns eksplisitt iterativ prosess, for , - enkel iterasjonsmetode uten iterasjonsparameter. I tilfelle når iterativ metode kalt implisitt- for beregning neste tilnærming For å løse det, må du løse et (vanligvis enklere enn det opprinnelige) system av lineære ligninger.

Teorem ( tilstrekkelig tilstand konvergens enkel iterasjonsmetode). Den iterative prosessen (2.16) konvergerer til løsningen av SLAE med hastigheten geometrisk progresjon når vilkåret er oppfylt:

Bevis.

La være den nøyaktige løsningen av system (2). Ved å trekke fra (2.16)-(2.15), får vi , eller angir feilen , får vi ligningen for utviklingen av feil Kjeden av ulikheter er gyldig: , hvor

Det følger at når

Fra ulikhet det er mulig å få et estimat på antall iterasjoner som kreves for å oppnå nøyaktighet, dvs. for å tilfredsstille betingelsen Dette anslaget har formen

Teorem (konvergenskriterium enkel iterasjonsmetode (ingen bevis)). La SLAE (2.15) ha en unik løsning. Så for konvergensen av den iterative prosessen (2.16) er det nødvendig og tilstrekkelig at alle egenverdier matriser etter absolutt verdi var mindre enn én.

La oss sammenligne etter mengde aritmetiske operasjoner rett og iterative metoder. Gaussisk metode uten å velge hovedelementet når det kreves

Aritmetiske operasjoner; enkel iterasjonsmetode (2.16) , hvor i er antall tilnærminger som kreves for å oppnå en gitt nøyaktighet. Dette betyr at for meg< n/3 метод итераций становится предпочтительнее. В reelle problemer, i utgangspunktet, i tillegg, iterative metoder kan gjøres mer effektiv ved å endre iterasjonsparameterne. I noen tilfeller iterative metoder viser seg å være mer motstandsdyktig mot akkumulering av avrundingsfeil enn rette linjer.

Forelesning Iterative metoder for å løse et system av algebraiske lineære ligninger.

Betingelse for konvergens av den iterative prosessen Jacobi-metoden Seidel-metoden

Enkel iterasjonsmetode

Et system med lineære algebraiske ligninger vurderes

For å anvende iterative metoder må systemet reduseres til en tilsvarende form

Deretter velges en innledende tilnærming til løsningen av ligningssystemet og en sekvens av tilnærminger til roten blir funnet.

For at den iterative prosessen skal konvergere, er det tilstrekkelig at betingelsen er oppfylt
(matrisenorm). Kriteriet for å avslutte iterasjoner avhenger av den iterative metoden som brukes.

Jacobi metode .

Den enkleste måten å bringe systemet inn i en form som er praktisk for iterasjon, er som følger:

Fra den første ligningen i systemet uttrykker vi det ukjente x 1, fra den andre ligningen til systemet vi uttrykker x 2 osv.

Som et resultat får vi et ligningssystem med matrise B, der null elementer er på hoveddiagonalen, og de resterende elementene beregnes ved å bruke formlene:

Komponentene til vektor d beregnes ved å bruke formlene:

Beregningsformelen for den enkle iterasjonsmetoden er:

eller i koordinatnotasjon ser det slik ut:

Kriteriet for å fullføre iterasjoner i Jacobi-metoden har formen:

Hvis
, så kan vi bruke et enklere kriterium for å avslutte iterasjoner

Eksempel 1. Løse et system med lineære ligninger ved hjelp av Jacobi-metoden.

La ligningssystemet gis:

Det kreves å finne en løsning på systemet med nøyaktighet

La oss redusere systemet til en form som er praktisk for iterasjon:

La oss velge en innledende tilnærming, for eksempel,

- vektor av høyre side.

Da ser den første iterasjonen slik ut:

Følgende tilnærminger til løsningen oppnås på samme måte.

La oss finne normen til matrise B.

Vi vil bruke normen

Siden summen av modulene til elementene i hver rad er 0,2, da
, så kriteriet for å avslutte iterasjoner i dette problemet er

La oss beregne normene for vektorforskjeller:

Fordi
den spesifiserte nøyaktigheten ble oppnådd ved den fjerde iterasjonen.

Svar: x 1 = 1.102, x 2 = 0.991, x 3 = 1.0 1 1

Seidel metode .

Metoden kan betraktes som en modifikasjon av Jacobi-metoden. Hovedideen er at når du beregner den neste (n+1)-th tilnærming til det ukjente x Jeg på jeg >1 bruk allerede funnet (n+1)- e nærmer seg det ukjente x 1 ,x 2 , ...,x i - 1 og ikke n tilnærming, som i Jacobi-metoden.

Beregningsformelen til metoden i koordinatnotasjon ser slik ut:

Konvergensbetingelsene og kriteriet for å avslutte iterasjoner kan tas på samme måte som i Jacobi-metoden.

Eksempel 2. Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Seidel-metoden.

La oss vurdere parallelt løsningen av 3 ligningssystemer:

La oss redusere systemene til en form som er praktisk for iterasjoner:

Merk at konvergensbetingelsen
gjøres kun for det første systemet. La oss beregne 3 første tilnærminger til løsningen i hvert tilfelle.

1. system:

Den nøyaktige løsningen vil være følgende verdier: x 1 = 1.4, x 2 = 0.2 . Den iterative prosessen konvergerer.

2. system:

Det kan sees at iterasjonsprosessen divergerer.

Nøyaktig løsning x 1 = 1, x 2 = 0.2 .

3. system:

Det kan sees at den iterative prosessen har gått i sykluser.

Nøyaktig løsning x 1 = 1, x 2 = 2 .

La matrisen til ligningssystemet A være symmetrisk og positiv bestemt. Deretter, for ethvert valg av innledende tilnærming, konvergerer Seidel-metoden. Ingen tilleggsbetingelser er pålagt for litenheten til normen til en viss matrise.

Enkel iterasjonsmetode.

Hvis A er en symmetrisk og positiv bestemt matrise, reduseres likningssystemet ofte til ekvivalent form:

x=x-τ (A x- b), τ – iterasjonsparameter.

Beregningsformelen for den enkle iterasjonsmetoden har i dette tilfellet formen:

x (n+1) =x n- τ (A x (n) - b).

og parameteren τ > 0 er valgt for å minimere, hvis mulig, verdien

La λ min og λ maks være minimum og maksimum egenverdier til matrise A. Det optimale valget av parameter er

I dette tilfellet
godtar minimumsverdi lik:

Eksempel 3. Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av den enkle iterasjonsmetoden. (i MathCAD)

La ligningssystemet Ax = b gis

Å bygge en iterativ prosess la oss finne vår egen tall for matrise A:

- bruker en innebygd funksjon for å finne egenverdier.

La oss beregne iterasjonsparameteren og sjekke konvergensbetingelsen

Konvergensbetingelsen er oppfylt.

La oss ta den første tilnærmingen - vektor x0, sette nøyaktigheten til 0,001 og finne de innledende tilnærmingene ved å bruke programmet nedenfor:

Nøyaktig løsning

Kommentar. Hvis programmet returnerer rez-matrisen, kan du se alle iterasjonene som er funnet.

1. La et segment bli kjent som inneholder én rot av ligningen f(x) = 0. Funksjonen f er en kontinuerlig differensierbar funksjon på dette segmentet (f(x)ОC 1 ). Hvis disse betingelsene er oppfylt, kan den enkle iterasjonsmetoden brukes.

2. Ved å bruke funksjonen f(x) konstrueres en funksjon j(x) som tilfredsstiller tre betingelser: den må være kontinuerlig differensierbar (j(x)ОC 1 ), slik at ligningen x = j(x) er ekvivalent med ligningen f(x)=0; bør også oversette et segment inn i deg selv.

Vi vil si at funksjonen j ( x ) oversetter segmentet [ en , b ] inn i deg selv, om for noen x Î [ en , b ], y = j ( x ) hører også til[ en , b ] ( y Î [ en , b ]).

Den tredje betingelsen er pålagt funksjonen j(x):

Metodeformel: x n +1 = j(xn).

3. Hvis disse tre betingelsene er oppfylt for en innledende tilnærming x 0 О sekvens av iterasjoner x n +1 = j(x n) konvergerer til roten av ligningen: x = j(x) på segmentet ().

Som regel som x 0 en av endene er valgt.

,

hvor e er den angitte nøyaktigheten

Tall x n +1 når betingelsen for å stoppe den iterative prosessen er oppfylt, er den det omtrentlig verdi av roten av ligningen f(x) = 0 på segmentet , funnet ved enkel iterasjonsmetode med nøyaktighet e .

Konstruer en algoritme for å klargjøre roten til ligningen: x 3 + 5x – 1 = 0 på et segment ved å bruke metoden for enkel iterasjon med nøyaktighet e .

1. Funksjon f(x) = x 3 +5x-1 er kontinuerlig differensierbar på intervallet som inneholder én rot av ligningen.

2. Den største vanskeligheten i den enkle iterasjonsmetoden er konstruksjonen av en funksjon j(x) som tilfredsstiller alle betingelsene:

Ta i betraktning: .

Ligning x = j 1 (x) er ekvivalent med ligningen f(x) = 0, men funksjonen j 1 (x) er ikke kontinuerlig differensierbar på intervallet.

Ris. 2.4. Graf for funksjon j 2 (x)

På den annen side, derfor. Derfor: er en kontinuerlig differensierbar funksjon. Merk at ligningen: x = j 2 (x) er ekvivalent med ligningen f(x) = 0 . Fra grafen (fig. 2.4) er det tydelig at funksjonen j 2 (x) transformerer segmentet til seg selv.

Betingelsen om at funksjonen j(x) tar segmentet inn i seg selv kan omformuleres som følger: la være definisjonsdomenet til funksjonen j(x), og la være variasjonsdomenet til j(x).

Hvis segmentet tilhører segmentet, tar funksjonen j(x) segmentet til seg selv.

, .

Alle betingelser for funksjonen j(x) er oppfylt.

Iterativ prosessformel: x n +1 = j 2(xn).

3. Innledende tilnærming: x 0 = 0.

4. Betingelse for å stoppe den iterative prosessen:

Ris. 2.5. Geometrisk betydning enkel iterasjonsmetode

.

Hvis denne betingelsen er oppfylt x n +1 – omtrentlig verdi av roten på segmentet, funnet ved enkel iterasjon med nøyaktighet e. I fig. 2.5. Anvendelsen av den enkle iterasjonsmetoden er illustrert.

Konvergensteorem og feilestimat

La segmentet inneholder én rot av ligningen x = j(x), funksjon j(x ) er kontinuerlig differensierbar på intervallet , oversetter segmentet i seg selv, og vilkåret er oppfylt:

.

Deretter for enhver innledende tilnærming x 0 О etterfølge konvergerer til roten av ligningen y = j(x ) på segmentet og feilestimatet er rettferdig:

.

Stabilitet av den enkle iterasjonsmetoden. Når betingelsene for konvergensteoremet er oppfylt, er algoritmen til den enkle iterasjonsmetoden stabil.

Kompleksiteten til den enkle iterasjonsmetoden. Mengden dataminne som kreves for å implementere den enkle iterasjonsmetoden er ubetydelig. Ved hvert trinn må du lagre x n , x n +1 , q Og e.

La oss estimere antall aritmetiske operasjoner som kreves for å implementere den enkle iterasjonsmetoden. La oss skrive ned et estimat for tallet n 0 = n 0 (e) slik at for alle n ³ n 0 gjelder ulikheten:

Fra dette anslaget følger det at jo nærmere q er én, jo langsommere konvergerer metoden.

Kommentar. Eksisterer ikke generell regel konstruere j(x) fra f(x) slik at alle betingelsene i konvergensteoremet er oppfylt. Følgende tilnærming brukes ofte: funksjonen j(x) = x + k× f(x) er valgt som funksjonen j, hvor k – konstant.

Når du programmerer den enkle iterasjonsmetoden, krever å stoppe den iterative prosessen ofte samtidig oppfyllelse av to betingelser:

Og .

Alle andre iterative metoder som vi vil vurdere er spesielle tilfeller av den enkle iterasjonsmetoden. For eksempel når Newtons metode er et spesialtilfelle av den enkle iterasjonsmetoden.

I denne delen vil vi vurdere en stasjonær iterativ prosess når matrisen og iterasjonsparameteren ikke avhengig av indeksen , og bevis følgende teorem om tilstrekkelige betingelser for dens konvergens.

Samarskys teorem

La - selvadjoint positiv bestemt matrise:

,
,

- positiv bestemt matrise, - positivt tall:

,
.

Deretter, for ethvert valg av null tilnærming iterativ prosess, som bestemmes av den tilbakevendende formelen , konvergerer til løsningen til det opprinnelige systemet.

Før vi går videre til beviset for teoremet, la oss diskutere mer detaljert hovedkravet - den positive bestemtheten til matrisen
. Dette kravet kan skrives om som:

,
,
.

det vil si at det spesielt antar at matrisen er positivt bestemt. I tillegg bestemmer ulikheten i hvilket intervall parameteren kan endres :

.

Etter disse bemerkningene går vi videre til beviset for teoremet. La oss uttrykke fra forholdet gjennom :

og erstatte det med den tilbakevendende formelen for iterasjonssekvensen. Som et resultat får vi:

.

Forskjellen mellom den iterative formelen og er at den er homogen.

Matrise - positiv definitivt. Derfor er den ikke-degenerert og har en invers
. Med hennes hjelp gjentakelsesforhold kan løses relativt
:

, Så
.

Multiplisere begge sider av likheten til venstre med matrisen , får vi en annen gjentakelsesrelasjon

.

Vurder sekvensen av positive funksjoner:

.

La oss lage et lignende uttrykk for
og transformer den ved å bruke tilbakevendende formler og:

Fra selvtilknytningen til matrisen og formelen følger

Som et resultat tar formelen formen:

Dermed sekvensen av funksjoner underlagt vilkår
danner en monotont ikke-økende sekvens avgrenset under av null

.

,

Hvor
er en strengt positiv konstant. Som et resultat, i henhold til og vi vil ha

Fra denne ulikheten og konvergensen av sekvensen av funksjonaler følger det
på
. I sin tur
, Så

Teoremet er bevist.

1. Enkel iterasjonsmetode.

Dette navnet ble gitt til metoden der, som en matrise, identitetsmatrisen er valgt:
, og iterasjonsparameteren antas å være uavhengig av iterasjonsnummeret . Med andre ord, den enkle iterasjonsmetoden er en eksplisitt stasjonær metode, når neste iterasjon
beregnet ved hjelp av den tilbakevendende formelen

Vi vil anta at matrisen tilfredsstiller betingelsene i Samarskys teorem,
, deretter formelen som bestemmer grensen for konvergensintervallet med hensyn til den iterative parameteren , tar formen

.

La
- ortonormal basis av egenvektorer til operatøren som tilsvarer matrisen . I kraft av positiv bestemthet er alle dens egenverdier positive. Vi vil vurdere dem nummerert i synkende rekkefølge:

La oss utvide vektoren
basert på egenvektorer

Som et resultat følger det av formelen at den enkle iterasjonsmetoden konvergerer for enhver som hører til intervallet

.

Vi vil basere vår videre studie av den enkle iterasjonsmetoden på en spesifikk analyse av den tilbakevendende formelen. La oss introdusere matrisen til overgangsoperatoren

,

og skriv om formelen i skjemaet

.

I dette tilfellet er feilen
vil tilfredsstille en lignende gjentakelsesrelasjon, bare homogen

.

La oss bevise to lemmaer som lar oss utforske betingelsene for konvergensen av den enkle iterasjonsmetoden mer fullstendig.

Lemma 1

La operatøren som matrisen genererer , har en egenvektor med egenverdi , deretter overgangsoperatoren, som genereres av matrisen , har også en egenvektor , men med egenverdi

.

Beviset er elementært. Det utføres ved direkte verifisering

For en selvtilpasset matrise matrise er også selvtilknyttet. Følgelig bestemmes normen av den største absolutte egenverdien
:

.

Lemma 2

For at den enkle iterasjonsmetoden skal konvergere til en løsning av systemet for ethvert valg av innledende tilnærming, er det nødvendig og tilstrekkelig at alle egenverdier til overgangsoperatoren var mindre enn én i absolutt verdi:

,

Tilstrekkelighet. Tilstanden betyr at normen til matrisen , ifølge, vil være mindre enn én:
. Som et resultat får vi

På
.

Nødvendighet. La oss anta at blant egenverdiene det var minst en , som ikke tilfredsstiller vilkårene i lemmaet, dvs.

.

La oss velge nullleddet for iterasjonssekvensen i skjemaet
, Hvor løsning av systemet, så vil nullleddet til feilsekvensen falle sammen med egenvektoren overgangsoperatør :
. Som et resultat gjentakelsesformel for følgende termer i feilsekvensen vil ta formen:

,
.

dvs.
. Behovet for å tilfredsstille ulikheten for alle egenverdier for konvergensen av den enkle iterasjonsmetoden har blitt bevist.

Lemma 2 definerer programmet for videre studier av konvergensen til den enkle iterasjonsmetoden: det er nødvendig å angi rekkevidden for parametervariasjon der alle egenverdier tilfredsstiller ulikheten. Det er enkelt å gjøre. I fig. 1 viser grafer over avtagende lineære funksjoner
. De kommer alle fra samme punkt
,
og gå ned på grunn av negative koeffisienter kl , og den raskeste synkende funksjonen er
. Når betyr det noe
, betingelsen for at den ikke lenger er oppfylt:

, kl
.

Fant verdi er grensen for konvergensintervallet til den enkle iterasjonsmetoden

.

Vi kjenner allerede denne ulikheten. Det ble hentet tidligere fra Samarskys teorem som en tilstrekkelig betingelse for konvergens. Ytterligere analyse basert på Lemma 2 lar oss avklare resultatet. Nå har vi etablert at medlemskapet av den iterative parameteren intervall er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for konvergens av den enkle iterasjonsmetoden.

La oss gå videre til å studere konvergenshastigheten til metoden. Et estimat av feilen viser at den avtar i henhold til loven om geometrisk progresjon med nevneren

.

La oss se på fig. 2, som vil hjelpe oss med å analysere denne formelen. Den ligner på fig. 1, bare den viser grafer over ikke-funksjoner
, og deres moduler. I det små alle egenverdier
er positive, og den største av dem er
, som avtar med veksten ved laveste hastighet. Men etter å ha passert gjennom punktet
egenverdi
, skifter fortegn, blir negativ. Som et resultat, nå sin modul med økende avtar ikke, men øker med
nærmer seg grenseverdien – enhet.

La oss finne på segmentet
punkt , der den synkende funksjonen
sammenlignet med en økende funksjon
. Det er definert av ligningen

som gir

.

Som et resultat får vi:

Dens minste verdi er normen til matrisen når kl
:

.

Formelen viser det for en dårlig betinget matrise, selv med det optimale valget av iterasjonsparameteren
matrisenorm er nær enhet, så konvergensen av den enkle iterasjonsmetoden i dette tilfellet er langsom.

Avslutningsvis merker vi at formelen som definerer grensen for konvergensintervallet , og formelen for den optimale verdien av iterasjonsparameteren er først og fremst av teoretisk interesse. Vanligvis, når du løser SLAE, de største og minste karakteristiske tallene i matrisen ukjent, så beregn verdiene Og umulig på forhånd. Som et resultat, iterasjonsparameteren Ofte må du velge det direkte i prosessen med beregninger ved prøving og feiling.

Oppgave 2.

Tenk på et system med to ligninger med to ukjente

og konstruer en omtrentlig løsning for det ved å bruke den enkle iterasjonsmetoden.

La oss umiddelbart skrive ned løsningen til systemet

,
,

slik at du deretter kan sammenligne den med medlemmene av iterasjonssekvensen.

La oss gå videre til å løse systemet ved å bruke den enkle iterasjonsmetoden. Systemmatrisen har formen

.

Det er selvtilhørende og positivt bestemt, siden

La oss lage en karakteristisk ligning for matrisen og finne røttene:

,

,

Med deres hjelp kan du bestemme grensen for konvergensintervallet og den optimale verdien av iterasjonsparameteren :

,
.

For å konstruere en iterasjonssekvens velger vi en verdi av iterasjonsparameteren på konvergensintervallet, for eksempel,
. I dette tilfellet har den tilbakevendende formelen for medlemmene av iterasjonssekvensen formen:

, Hvor

La oss ta den enkleste innledende tilnærmingen
og skriv ned de første leddene i iterasjonssekvensen , beregner restverdien for hver av dem
. Som et resultat får vi:

,
,
,

,
,
,

,
,
,

,
,
.

Normen for residuene, men sakte, avtar, noe som indikerer konvergensen av prosessen. Det samme kan sees ved å sammenligne begrepene i iterasjonssekvensen med løsningen av systemet. Langsom konvergens skyldes dårlig matrisekondisjonering :

.