Finne en aritmetisk progresjon. Aritmetisk progresjon – tallrekke

Problemer med aritmetisk progresjon eksisterte allerede i antikken. De dukket opp og krevde en løsning fordi de hadde et praktisk behov.

Således inneholder en av papyriene i det gamle Egypt som har matematisk innhold, Rhind-papyrusen (1800-tallet f.Kr.), følgende oppgave: del ti mål brød mellom ti personer, forutsatt at forskjellen mellom hver av dem er en åttendedel av måle."

Og i de matematiske verkene til de gamle grekerne er det elegante teoremer knyttet til aritmetisk progresjon. Således formulerte Hypsicles of Alexandria (2. århundre, som kompilerte mange interessante problemer og la den fjortende boken til Euclid's Elements), ideen: "I en aritmetisk progresjon som har et jevnt antall ledd, summen av leddene i 2. halvdel er større enn summen av vilkårene til 1. på kvadratet 1/2 antall medlemmer."

Rekkefølgen er betegnet med en. Tallene til en sekvens kalles dens medlemmer og er vanligvis betegnet med bokstaver med indekser som indikerer serienummeret til dette medlemmet (a1, a2, a3 ... les: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" og så videre ).

Rekkefølgen kan være uendelig eller endelig.

Hva er en aritmetisk progresjon? Med det mener vi den som oppnås ved å legge til forrige ledd (n) med samme tall d, som er forskjellen i progresjonen.

Hvis d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, så anses denne progresjonen som økende.

En aritmetisk progresjon kalles endelig hvis bare de første leddene tas i betraktning. Med et veldig stort antall medlemmer er dette allerede en endeløs progresjon.

Enhver aritmetisk progresjon er definert av følgende formel:

an =kn+b, mens b og k er noen tall.

Det motsatte utsagnet er helt sant: hvis en sekvens er gitt av en lignende formel, er det nøyaktig en aritmetisk progresjon som har egenskapene:

1. Hvert ledd i progresjonen er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige ledd og det etterfølgende.
2. Omvendt: hvis, fra den andre, er hvert ledd det aritmetiske gjennomsnittet av det forrige leddet og det påfølgende leddet, dvs. hvis betingelsen er oppfylt, er denne sekvensen en aritmetisk progresjon. Denne likheten er også et tegn på progresjon, og det er derfor det vanligvis kalles en karakteristisk egenskap ved progresjon.
   På samme måte er teoremet som reflekterer denne egenskapen sant: en sekvens er en aritmetisk progresjon bare hvis denne likheten er sann for noen av leddene i sekvensen, og starter med den andre.

Den karakteristiske egenskapen for alle fire tall i en aritmetisk progresjon kan uttrykkes med formelen an + am = ak + al, hvis n + m = k + l (m, n, k er progresjonstall).

I en aritmetisk progresjon kan enhver nødvendig (Nte) term bli funnet ved å bruke følgende formel:

For eksempel: det første leddet (a1) i en aritmetisk progresjon er gitt og lik tre, og forskjellen (d) er lik fire. Du må finne det førtifemte leddet i denne progresjonen. a45 = 1+4(45-1)=177

Formelen an = ak + d(n - k) lar deg bestemme det n'te leddet i en aritmetisk progresjon gjennom et hvilket som helst av dets k'te ledd, forutsatt at det er kjent.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon (som betyr de første n leddene av en endelig progresjon) beregnes som følger:

Sn = (a1+an) n/2.

Hvis det første leddet også er kjent, er en annen formel praktisk for beregning:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Summen av en aritmetisk progresjon som inneholder n ledd, beregnes som følger:

Valget av formler for beregninger avhenger av betingelsene for problemene og de første dataene.

Den naturlige rekken av alle tall, for eksempel 1,2,3,...,n,..., er det enkleste eksemplet på en aritmetisk progresjon.

I tillegg til den aritmetiske progresjonen er det også en geometrisk progresjon, som har sine egne egenskaper og egenskaper.

Før vi begynner å bestemme oss aritmetiske progresjonsproblemer, la oss vurdere hva en tallsekvens er, siden en aritmetisk progresjon er et spesialtilfelle av en tallsekvens.

En tallsekvens er et tallsett, hvor hvert element har sitt eget serienummer. Elementene i dette settet kalles medlemmer av sekvensen. Serienummeret til et sekvenselement er angitt med en indeks:

Det første elementet i sekvensen;

Det femte elementet i sekvensen;

- det "nte" elementet i sekvensen, dvs. element "står i kø" ved nummer n.

Det er en sammenheng mellom verdien av et sekvenselement og dets sekvensnummer. Derfor kan vi betrakte en sekvens som en funksjon hvis argument er ordenstallet til elementet i sekvensen. Det kan vi med andre ord si sekvensen er en funksjon av det naturlige argumentet:

Rekkefølgen kan stilles inn på tre måter:

1 . Rekkefølgen kan spesifiseres ved hjelp av en tabell. I dette tilfellet setter vi ganske enkelt verdien til hvert medlem av sekvensen.

For eksempel bestemte noen seg for å ta opp personlig tidsstyring, og til å begynne med telle hvor mye tid han bruker på VKontakte i løpet av uken. Ved å registrere tiden i tabellen vil han motta en sekvens som består av syv elementer:

Den første linjen i tabellen indikerer nummeret på ukedagen, den andre - tiden i minutter. Vi ser det, det vil si på mandag Noen brukte 125 minutter på VKontakte, det vil si på torsdag - 248 minutter, og det vil si på fredag ​​bare 15.

2 . Sekvensen kan spesifiseres ved å bruke den n-te leddformelen.

I dette tilfellet uttrykkes avhengigheten av verdien til et sekvenselement på nummeret direkte i form av en formel.

For eksempel hvis , da

For å finne verdien av et sekvenselement med et gitt tall, erstatter vi elementnummeret i formelen til det n-te leddet.

Vi gjør det samme hvis vi trenger å finne verdien av en funksjon hvis verdien av argumentet er kjent. Vi erstatter verdien av argumentet i funksjonslikningen:

Hvis f.eks. , Det

La meg merke igjen at i en sekvens, i motsetning til en vilkårlig numerisk funksjon, kan argumentet bare være et naturlig tall.

3 . Sekvensen kan spesifiseres ved hjelp av en formel som uttrykker avhengigheten av verdien til sekvensmedlemsnummeret n av verdiene til de tidligere medlemmene. I dette tilfellet er det ikke nok for oss å bare vite nummeret til sekvensmedlemmet for å finne verdien. Vi må spesifisere det første medlemmet eller de første medlemmene av sekvensen.

Tenk for eksempel på sekvensen ,

Vi kan finne verdiene til sekvensmedlemmer i rekkefølge, fra og med den tredje:

Det vil si at hver gang, for å finne verdien av det n'te leddet i sekvensen, går vi tilbake til de to foregående. Denne metoden for å spesifisere en sekvens kalles tilbakevendende, fra det latinske ordet recurro- kom tilbake.

Nå kan vi definere en aritmetisk progresjon. En aritmetisk progresjon er et enkelt spesialtilfelle av en tallsekvens.

Aritmetisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige lagt til det samme tallet.

Nummeret ringes opp forskjell i aritmetisk progresjon. Forskjellen til en aritmetisk progresjon kan være positiv, negativ eller lik null.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} økende.

For eksempel, 2; 5; 8; elleve;...

Hvis , så er hvert ledd i en aritmetisk progresjon mindre enn den forrige, og progresjonen er minkende.

For eksempel, 2; -1; -4; -7;...

Hvis , så er alle ledd i progresjonen like med samme tall, og progresjonen er stasjonær.

For eksempel, 2;2;2;2;...

Hovedegenskapen til en aritmetisk progresjon:

La oss se på bildet.

Det ser vi

, og samtidig

Ved å legge til disse to likhetene får vi:

.

La oss dele begge sider av likheten med 2:

Så hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to naboene:

Dessuten siden

, og samtidig

, Det

, og derfor

Hvert ledd i en aritmetisk progresjon, starter med title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Formel for begrepet.

Vi ser at vilkårene for den aritmetiske progresjonen tilfredsstiller følgende relasjoner:

og endelig

Vi fikk formel for det n-te leddet.

VIKTIG! Ethvert medlem av en aritmetisk progresjon kan uttrykkes gjennom og. Når du kjenner det første leddet og forskjellen på en aritmetisk progresjon, kan du finne hvilken som helst av termene.

Summen av n ledd av en aritmetisk progresjon.

I en vilkårlig aritmetisk progresjon er summene av termer like langt fra de ekstreme lik hverandre:

Tenk på en aritmetisk progresjon med n ledd. La summen av n ledd av denne progresjonen være lik .

La oss ordne vilkårene for progresjonen først i stigende rekkefølge av tall, og deretter i synkende rekkefølge:

La oss legge til i par:

Summen i hver parentes er , antall par er n.

Vi får:

Så, summen av n ledd av en aritmetisk progresjon kan bli funnet ved å bruke formlene:

La oss vurdere løse aritmetiske progresjonsproblemer.

1 . Sekvensen er gitt av formelen til det n-te leddet: . Bevis at denne sekvensen er en aritmetisk progresjon.

La oss bevise at forskjellen mellom to tilstøtende ledd i sekvensen er lik samme tall.

Vi fant at forskjellen mellom to tilstøtende medlemmer av sekvensen ikke avhenger av antallet og er en konstant. Derfor er denne sekvensen per definisjon en aritmetisk progresjon.

2 . Gitt en aritmetisk progresjon -31; -27;...

a) Finn 31 ledd i progresjonen.

b) Bestem om tallet 41 er inkludert i denne progresjonen.

EN) Vi ser det;

La oss skrive ned formelen for det n-te leddet for progresjonen vår.

Generelt

I vårt tilfelle , Derfor

Noen mennesker behandler ordet "progresjon" med forsiktighet, som et veldig komplekst begrep fra grenene av høyere matematikk. I mellomtiden er den enkleste aritmetiske progresjonen arbeidet til taksameteret (hvor de fortsatt eksisterer). Og å forstå essensen (og i matematikk er det ingenting viktigere enn å "forstå essensen") av en aritmetisk sekvens er ikke så vanskelig, etter å ha analysert noen få elementære konsepter.

Matematisk tallrekkefølge

En numerisk sekvens kalles vanligvis en serie med tall, som hver har sitt eget nummer.

a 1 er det første medlemmet av sekvensen;

og 2 er det andre leddet i sekvensen;

og 7 er det syvende medlem av sekvensen;

og n er det n'te medlem av sekvensen;

Imidlertid er det ikke noe vilkårlig sett med tall og tall som interesserer oss. Vi vil fokusere vår oppmerksomhet på en numerisk sekvens der verdien av det n-te leddet er relatert til dets ordenstall ved en sammenheng som kan formuleres klart matematisk. Med andre ord: den numeriske verdien av det n-te tallet er en funksjon av n.

a er verdien av et medlem av en numerisk sekvens;

n er serienummeret;

f(n) er en funksjon, der ordenstallet i den numeriske rekkefølgen n er argumentet.

Definisjon

En aritmetisk progresjon kalles vanligvis en numerisk sekvens der hvert påfølgende ledd er større (mindre) enn den forrige med samme tall. Formelen for det n-te leddet i en aritmetisk sekvens er som følger:

a n - verdien av gjeldende medlem av den aritmetiske progresjonen;

en n+1 - formel for neste tall;

d - forskjell (bestemt antall).

Det er lett å fastslå at hvis forskjellen er positiv (d>0), så vil hvert påfølgende medlem av serien som vurderes være større enn den forrige, og en slik aritmetisk progresjon vil øke.

I grafen under er det lett å se hvorfor tallsekvensen kalles «økende».

I tilfeller der forskjellen er negativ (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Spesifisert medlemsverdi

Noen ganger er det nødvendig å bestemme verdien av et hvilket som helst vilkårlig ledd a n av en aritmetisk progresjon. Dette kan gjøres ved å sekvensielt beregne verdiene til alle medlemmer av den aritmetiske progresjonen, fra den første til den ønskede. Denne veien er imidlertid ikke alltid akseptabel hvis det for eksempel er nødvendig å finne verdien av femtusendel eller åttemilliontedel. Tradisjonelle beregninger vil ta mye tid. Imidlertid kan en spesifikk aritmetisk progresjon studeres ved hjelp av visse formler. Det er også en formel for det n-te leddet: verdien av et hvilket som helst ledd i en aritmetisk progresjon kan bestemmes som summen av det første leddet i progresjonen med forskjellen av progresjonen, multiplisert med tallet på ønsket ledd, redusert med en.

Formelen er universell for å øke og redusere progresjon.

Et eksempel på beregning av verdien av et gitt begrep

La oss løse følgende problem med å finne verdien av det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Betingelse: det er en aritmetisk progresjon med parametere:

Det første leddet i sekvensen er 3;

Forskjellen i tallserien er 1,2.

Oppgave: du må finne verdien av 214 ledd

Løsning: For å bestemme verdien av et gitt begrep bruker vi formelen:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ved å erstatte dataene fra problemformuleringen med uttrykket har vi:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Svar: Det 214. leddet i sekvensen er lik 258,6.

Fordelene med denne beregningsmetoden er åpenbare - hele løsningen tar ikke mer enn 2 linjer.

Summen av et gitt antall ledd

Svært ofte, i en gitt aritmetisk serie, er det nødvendig å bestemme summen av verdiene til noen av segmentene. For å gjøre dette er det heller ikke nødvendig å beregne verdiene for hvert begrep og deretter legge dem sammen. Denne metoden er aktuelt hvis antallet termer som må finne summen er lite. I andre tilfeller er det mer praktisk å bruke følgende formel.

Summen av leddene til en aritmetisk progresjon fra 1 til n er lik summen av første og n-te ledd, multiplisert med tallet på leddet n og delt på to. Hvis verdien av det n-te leddet i formelen erstattes av uttrykket fra forrige avsnitt i artikkelen, får vi:

Regneeksempel

La oss for eksempel løse et problem med følgende forhold:

Det første leddet i sekvensen er null;

Forskjellen er 0,5.

Problemet krever å bestemme summen av vilkårene i serien fra 56 til 101.

Løsning. La oss bruke formelen for å bestemme mengden av progresjon:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Først bestemmer vi summen av verdiene av 101 vilkår for progresjonen ved å erstatte de gitte betingelsene for problemet vårt i formelen:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Åpenbart, for å finne ut summen av betingelsene for progresjonen fra 56. til 101., er det nødvendig å trekke S 55 fra S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dermed er summen av den aritmetiske progresjonen for dette eksemplet:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Eksempel på praktisk anvendelse av aritmetisk progresjon

På slutten av artikkelen, la oss gå tilbake til eksemplet på en aritmetisk sekvens gitt i første ledd - et taksameter (taxibilmåler). La oss vurdere dette eksemplet.

Å gå ombord i en taxi (som inkluderer 3 km reise) koster 50 rubler. Hver påfølgende kilometer betales med en hastighet på 22 rubler/km. Reiseavstanden er 30 km. Beregn kostnadene for reisen.

1. La oss forkaste de første 3 km, hvis pris er inkludert i landingskostnadene.

30 - 3 = 27 km.

2. Videre beregning er ikke annet enn å analysere en aritmetisk tallserie.

Medlemsnummer - antall tilbakelagte kilometer (minus de tre første).

Verdien av medlemmet er summen.

Det første leddet i dette problemet vil være lik en 1 = 50 rubler.

Progresjonsforskjell d = 22 r.

tallet vi er interessert i er verdien av (27+1) ledd i den aritmetiske progresjonen - målerstanden på slutten av den 27. kilometeren er 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Kalenderdataberegninger for en vilkårlig lang periode er basert på formler som beskriver visse numeriske sekvenser. I astronomi er lengden på banen geometrisk avhengig av avstanden mellom himmellegemet og stjernen. I tillegg brukes forskjellige tallserier med hell i statistikk og andre anvendte matematikkområder.

En annen type tallsekvens er geometrisk

Geometrisk progresjon er preget av større endringshastigheter sammenlignet med aritmetisk progresjon. Det er ingen tilfeldighet at i politikk, sosiologi og medisin, for å vise den høye spredningshastigheten til et bestemt fenomen, for eksempel en sykdom under en epidemi, sier de at prosessen utvikler seg i geometrisk progresjon.

Det N-te leddet i den geometriske tallserien skiller seg fra det forrige ved at det multipliseres med et konstant tall - nevneren, for eksempel, den første ledd er 1, nevneren er tilsvarende lik 2, deretter:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - verdien av gjeldende term for den geometriske progresjonen;

b n+1 - formel for neste ledd i den geometriske progresjonen;

q er nevneren for den geometriske progresjonen (et konstant tall).

Hvis grafen til en aritmetisk progresjon er en rett linje, maler en geometrisk progresjon et litt annet bilde:

Som i tilfellet med aritmetikk, har geometrisk progresjon en formel for verdien av et vilkårlig ledd. Ethvert n'te ledd i en geometrisk progresjon er lik produktet av det første leddet og nevneren for progresjonen i potensen n redusert med én:

Eksempel. Vi har en geometrisk progresjon med det første leddet lik 3 og nevneren for progresjonen lik 1,5. La oss finne 5. ledd i progresjonen

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15.1875

Summen av et gitt antall ledd beregnes også ved hjelp av en spesiell formel. Summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er lik differansen mellom produktet av progresjonens n. ledd og dens nevner og den første leddet av progresjonen, delt på nevneren redusert med én:

Hvis b n erstattes ved hjelp av formelen diskutert ovenfor, vil verdien av summen av de første n leddene i tallserien under vurdering ha formen:

Eksempel. Den geometriske progresjonen starter med det første leddet lik 1. Nevneren settes til 3. La oss finne summen av de åtte første leddene.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Hva er hovedessensen i formelen?

Denne formelen lar deg finne noen VED HANS NUMMER " n" .

Du må selvfølgelig også kunne første termin en 1 og progresjonsforskjell d, vel, uten disse parameterne kan du ikke skrive ned en spesifikk progresjon.

Å memorere (eller skrive) denne formelen er ikke nok. Du må forstå essensen og bruke formelen i forskjellige problemer. Og heller ikke å glemme i rett øyeblikk, ja...) Hvordan ikke glem- Jeg vet ikke. Og her hvordan huske Om nødvendig vil jeg definitivt gi deg råd. For de som fullfører leksjonen til slutten.)

Så, la oss se på formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon.

Hva er en formel generelt? Ta forresten en titt hvis du ikke har lest den. Alt er enkelt der. Det gjenstår å finne ut hva det er nte termin.

Progresjon generelt kan skrives som en serie tall:

en 1, en 2, en 3, en 4, en 5, .....

en 1- betegner det første leddet i en aritmetisk progresjon, en 3- tredje medlem, en 4- den fjerde, og så videre. Hvis vi er interessert i den femte perioden, la oss si at vi jobber med en 5, hvis ett hundre og tjuende - s en 120.

Hvordan kan vi definere det i generelle termer? noen ledd av en aritmetisk progresjon, med noen Antall? Veldig enkelt! Som dette:

en n

Det er det det er n. ledd i en aritmetisk progresjon. Bokstaven n skjuler alle medlemsnumrene på en gang: 1, 2, 3, 4, og så videre.

Og hva gir en slik plate oss? Bare tenk, i stedet for et tall skrev de ned en bokstav...

Denne notasjonen gir oss et kraftig verktøy for å jobbe med aritmetisk progresjon. Bruke notasjonen en n, kan vi raskt finne noen medlem noen aritmetisk progresjon. Og løse en haug med andre progresjonsproblemer. Du vil se selv videre.

I formelen for det n-te leddet i en aritmetisk progresjon:

a n = a 1 + (n-1)d

en 1- det første leddet i en aritmetisk progresjon;

n- medlemsnummer.

Formelen kobler sammen nøkkelparametrene for enhver progresjon: a n ; a 1; d Og n. Alle progresjonsproblemer dreier seg om disse parameterne.

Den n-te leddformelen kan også brukes til å skrive en bestemt progresjon. For eksempel kan problemet si at progresjonen er spesifisert av tilstanden:

a n = 5 + (n-1) 2.

Et slikt problem kan være en blindvei... Det er verken en serie eller en forskjell... Men sammenligner man tilstanden med formelen, er det lett å forstå at i denne progresjonen a 1 = 5, og d = 2.

Og det kan bli enda verre!) Hvis vi tar samme betingelse: a n = 5 + (n-1) 2, Ja, åpne parentesen og ta med lignende? Vi får en ny formel:

a n = 3 + 2n.

Dette Bare ikke generelt, men for en spesifikk progresjon. Det er her fallgruven lurer. Noen tror at første termin er en treer. Selv om første ledd i realiteten er fem... Litt lavere skal vi jobbe med en slik modifisert formel.

I progresjonsproblemer er det en annen notasjon - en n+1. Dette er, som du gjettet, "n pluss først"-leddet for progresjonen. Betydningen er enkel og harmløs.) Dette er et medlem av progresjonen hvis antall er større enn nummer n med én. For eksempel, hvis i et problem vi tar en n femte termin da en n+1 blir det sjette medlemmet. Etc.

Oftest betegnelsen en n+1 finnes i gjentakelsesformler. Ikke vær redd for dette skumle ordet!) Dette er bare en måte å uttrykke et medlem av en aritmetisk progresjon på gjennom den forrige. La oss si at vi får en aritmetisk progresjon i denne formen, ved å bruke en tilbakevendende formel:

a n+1 = a n+3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Den fjerde - gjennom den tredje, den femte - gjennom den fjerde, og så videre. Hvordan kan vi umiddelbart telle for eksempel det tjuende begrepet? en 20? Men det er ingen måte!) Før vi finner ut den 19. termin, kan vi ikke telle den 20.. Dette er den grunnleggende forskjellen mellom den tilbakevendende formelen og formelen til det n-te leddet. Tilbakevendende virker bare gjennom tidligere ledd, og formelen til det n-te leddet er gjennom først og tillater med en gang finn et medlem etter nummeret. Uten å regne ut hele tallrekken i rekkefølge.

I en aritmetisk progresjon er det lett å gjøre en tilbakevendende formel til en vanlig. Tell et par påfølgende ledd, beregn differansen d, finn om nødvendig første ledd en 1, skriv formelen i sin vanlige form, og jobb med den. Slike oppgaver møter man ofte i Statens vitenskapsakademi.

Anvendelse av formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon.

La oss først se på den direkte anvendelsen av formelen. På slutten av forrige leksjon var det et problem:

En aritmetisk progresjon (a n) er gitt. Finn en 121 hvis a 1 =3 og d=1/6.

Dette problemet kan løses uten formler, bare basert på betydningen av en aritmetisk progresjon. Legg til og legg til... En time eller to.)

Og i henhold til formelen vil løsningen ta mindre enn et minutt. Du kan time det.) La oss bestemme.

Betingelsene gir alle data for bruk av formelen: a 1 = 3, d = 1/6. Det gjenstår å finne ut hva som er likt n. Ikke noe problem! Vi må finne en 121. Så vi skriver:

Vær så snill, følg med! I stedet for en indeks n et spesifikt tall dukket opp: 121. Noe som er ganske logisk.) Vi er interessert i medlemmet av den aritmetiske progresjonen nummer hundre og tjueen. Dette blir vårt n. Dette er meningen n= 121 vil vi erstatte videre inn i formelen, i parentes. Vi erstatter alle tallene i formelen og regner ut:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Det er det. Like raskt kunne man finne det fem hundre og tiende leddet, og det tusen og tredje, hvilken som helst. Vi setter i stedet nønsket nummer i indeksen til bokstaven " en" og i parentes, og vi teller.

La meg minne deg på poenget: denne formelen lar deg finne noen aritmetisk progresjonsledd VED HANS NUMMER " n" .

La oss løse problemet på en mer utspekulert måte. La oss komme over følgende problem:

Finn det første leddet i den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 17 =-2; d=-0,5.

Hvis du har noen problemer, vil jeg fortelle deg det første trinnet. Skriv ned formelen for det n. leddet i en aritmetisk progresjon! Ja Ja. Skriv ned med hendene, rett i notatboken:

a n = a 1 + (n-1)d

Og nå, når vi ser på bokstavene i formelen, forstår vi hvilke data vi har og hva som mangler? Tilgjengelig d=-0,5, det er et syttende medlem... Er det det? Hvis du tror det er det, vil du ikke løse problemet, ja...

Vi har fortsatt et nummer n! I stand a 17 =-2 skjult to parametere. Dette er både verdien av det syttende leddet (-2) og tallet (17). De. n=17. Denne "bagatellen" glir ofte forbi hodet, og uten den, (uten "bagatellen", ikke hodet!) kan ikke problemet løses. Skjønt ... og uten hode også.)

Nå kan vi ganske enkelt dumt erstatte dataene våre med formelen:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Å ja, en 17 vi vet det er -2. Ok, la oss erstatte:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Det er i grunnen alt. Det gjenstår å uttrykke det første leddet i den aritmetiske progresjonen fra formelen og beregne den. Svaret vil være: a 1 = 6.

Denne teknikken - å skrive ned en formel og ganske enkelt erstatte kjente data - er til stor hjelp i enkle oppgaver. Vel, selvfølgelig må du kunne uttrykke en variabel fra en formel, men hva skal du gjøre!? Uten denne ferdigheten kan det hende at matematikk ikke studeres i det hele tatt...

Et annet populært puslespill:

Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen (a n), hvis a 1 =2; a 15 = 12.

Hva gjør vi? Du vil bli overrasket, vi skriver formelen!)

a n = a 1 + (n-1)d

La oss vurdere hva vi vet: a1=2; a15=12; og (jeg vil spesielt fremheve!) n=15. Bytt gjerne dette inn i formelen:

12=2 + (15-1)d

Vi regner.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Dette er det riktige svaret.

Så, oppgavene for en n, en 1 Og d besluttet. Alt som gjenstår er å lære hvordan du finner nummeret:

Tallet 99 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n), hvor a 1 =12; d=3. Finn dette medlemmets nummer.

Vi erstatter mengdene som er kjent for oss med formelen til det n-te leddet:

a n = 12 + (n-1) 3

Ved første øyekast er det to ukjente mengder her: a n og n. Men en n- dette er et medlem av progresjonen med et nummer n...Og vi kjenner dette medlemmet av progresjonen! Det er 99. Vi vet ikke nummeret. n, Så dette nummeret er det du trenger å finne. Vi erstatter termen for progresjonen 99 med formelen:

99 = 12 + (n-1) 3

Vi uttrykker fra formelen n, vi tror. Vi får svaret: n=30.

Og nå et problem om samme emne, men mer kreativt):

Bestem om tallet 117 er et medlem av den aritmetiske progresjonen (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

La oss skrive formelen på nytt. Hva, det er ingen parametere? Hm... Hvorfor får vi øyne?) Ser vi første ledd i progresjonen? Vi ser. Dette er -3,6. Du kan trygt skrive: a 1 = -3,6. Forskjell d Kan du fortelle fra serien? Det er enkelt hvis du vet hva forskjellen på en aritmetisk progresjon er:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Så vi gjorde det enkleste. Det gjenstår å forholde seg til det ukjente antallet n og det uforståelige tallet 117. I forrige oppgave var det i hvert fall kjent at det var terminen for progresjonen som ble gitt. Men her vet vi ikke engang ... Hva skal vi gjøre!? Vel, hvordan være, hvordan være... Slå på dine kreative evner!)

Vi anta at 117 tross alt er et medlem av vår progresjon. Med ukjent nummer n. Og, akkurat som i forrige oppgave, la oss prøve å finne dette nummeret. De. vi skriver formelen (ja, ja!)) og erstatter tallene våre:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Igjen uttrykker vi fra formelenn, vi teller og får:

Oops! Tallet viste seg brøkdel! Hundre og en og en halv. Og brøktall i progresjoner Kan ikke være. Hvilken konklusjon kan vi trekke? Ja! Nummer 117 er ikke medlem av vår progresjon. Det er et sted mellom ett hundre og første og hundre og andre ledd. Dersom antallet viste seg naturlig, dvs. er et positivt heltall, vil tallet være et medlem av progresjonen med tallet funnet. Og i vårt tilfelle vil svaret på problemet være: Nei.

En oppgave basert på en ekte versjon av GIA:

En aritmetisk progresjon er gitt av betingelsen:

a n = -4 + 6,8n

Finn første og tiende ledd i progresjonen.

Her er progresjonen satt på en uvanlig måte. En slags formel... Det skjer.) Men denne formelen (som jeg skrev ovenfor) - også formelen for n'te ledd i en aritmetisk progresjon! Hun tillater også finn et medlem av progresjonen etter nummeret.

Vi ser etter det første medlemmet. Den som tenker. at første ledd er minus fire er fatalt feil!) Fordi formelen i oppgaven er modifisert. Det første leddet i den aritmetiske progresjonen i den skjult. Det er greit, vi finner det nå.)

Akkurat som i tidligere problemer, erstatter vi n=1 inn i denne formelen:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Her! Første ledd er 2,8, ikke -4!

Vi ser etter tiende termin på samme måte:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Det er det.

Og nå, for de som har lest til disse linjene, den lovede bonusen.)

Anta at du i en vanskelig kampsituasjon med statseksamen eller enhetlig statseksamen har glemt den nyttige formelen for den n. terminen i en aritmetisk progresjon. Jeg husker noe, men på en eller annen måte usikker... Eller n der, eller n+1, eller n-1... Hvordan være!?

Rolig! Denne formelen er lett å utlede. Det er ikke veldig strengt, men det er definitivt nok for selvtillit og den riktige avgjørelsen!) For å konkludere er det nok å huske den grunnleggende betydningen av en aritmetisk progresjon og ha et par minutter med tid. Du trenger bare å tegne et bilde. For klarhet.

Tegn en talllinje og merk den første på den. andre, tredje osv. medlemmer. Og vi merker forskjellen d mellom medlemmene. Som dette:

Vi ser på bildet og tenker: hva er det andre leddet lik? Sekund en d:

en 2 =a 1 + 1 d

Hva er det tredje begrepet? Tredje termin er lik første termin pluss to d.

en 3 =a 1 + 2 d

Forstår du det? Det er ikke for ingenting at jeg fremhever noen ord med fet skrift. Ok, ett trinn til).

Hva er fjerde termin? Fjerde termin er lik første termin pluss tre d.

en 4 =a 1 + 3 d

Det er på tide å innse at antall hull, dvs. d, Alltid ett mindre enn antallet til medlemmet du leter etter n. Altså til tallet n, antall mellomrom vil n-1. Derfor vil formelen være (uten variasjoner!):

a n = a 1 + (n-1)d

Generelt er visuelle bilder svært nyttige for å løse mange problemer i matematikk. Ikke overse bildene. Men hvis det er vanskelig å tegne et bilde, så ... bare en formel!) I tillegg lar formelen til det n-te begrepet deg koble hele det kraftige arsenalet av matematikk til løsningen - likninger, ulikheter, systemer, etc. Du kan ikke sette inn et bilde i ligningen...

Oppgaver for selvstendig løsning.

Å varme opp:

1. I aritmetisk progresjon (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Finn en 3.

Hint: ifølge bildet kan problemet løses på 20 sekunder... Ifølge formelen viser det seg vanskeligere. Men for å mestre formelen er den mer nyttig.) I seksjon 555 er dette problemet løst ved å bruke både bildet og formelen. Føl forskjellen!)

Og dette er ikke lenger en oppvarming.)

2. I aritmetisk progresjon (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Finn en 3 .

Hva, du vil ikke tegne et bilde?) Selvfølgelig! Bedre ifølge formelen, ja...

3. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen:a1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn det hundre og tjuefemte leddet i denne progresjonen.

I denne oppgaven spesifiseres progresjonen på en tilbakevendende måte. Men å telle til det hundre og tjuefemte ledd... Ikke alle er i stand til en slik bragd.) Men formelen til det n-te leddet er innenfor makten til alle!

4. Gitt en aritmetisk progresjon (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Finn tallet på det minste positive leddet i progresjonen.

5. I henhold til betingelsene i oppgave 4, finn summen av de minste positive og største negative leddene i progresjonen.

6. Produktet av femte og tolvte ledd av en økende aritmetisk progresjon er lik -2,5, og summen av tredje og ellevte ledd er lik null. Finn en 14.

Ikke den enkleste oppgaven, ja...) "fingerspissen"-metoden vil ikke fungere her. Du må skrive formler og løse ligninger.

Svar (i uorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Skjedd? Det er fint!)

Ikke alt ordner seg? Skjer. Det er forresten ett subtilt poeng i den siste oppgaven. Forsiktighet vil være nødvendig når du leser problemet. Og logikk.

Løsningen på alle disse problemene er diskutert i detalj i seksjon 555. Og fantasielementet for det fjerde, og det subtile punktet for det sjette, og generelle tilnærminger for å løse eventuelle problemer som involverer formelen til det n-te begrepet - alt er beskrevet. Jeg anbefaler.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

Summen av en aritmetisk progresjon.

Summen av en aritmetisk progresjon er en enkel ting. Både i betydning og i formel. Men det er alle slags oppgaver om dette emnet. Fra grunnleggende til ganske solid.

Først, la oss forstå betydningen og formelen for beløpet. Og så bestemmer vi oss. For din egen fornøyelse.) Betydningen av beløpet er så enkel som en moo. For å finne summen av en aritmetisk progresjon, trenger du bare å legge til alle leddene nøye. Hvis disse begrepene er få, kan du legge til uten formler. Men hvis det er mye, eller mye... tillegg er irriterende.) I dette tilfellet kommer formelen til unnsetning.

Formelen for mengden er enkel:

La oss finne ut hva slags bokstaver som er inkludert i formelen. Dette vil rydde opp mye.

S n - summen av en aritmetisk progresjon. Tilleggsresultat alle medlemmer, med først Av siste. Det er viktig. De summerer seg nøyaktig Alle medlemmer på rad, uten å hoppe eller hoppe. Og, nettopp, med utgangspunkt i først. I problemer som å finne summen av tredje og åttende ledd, eller summen av femte til tjuende ledd, vil direkte anvendelse av formelen skuffe.)

en 1 - først medlem av progresjonen. Alt er klart her, det er enkelt først radnummer.

en n- siste medlem av progresjonen. Det siste nummeret i serien. Ikke et veldig kjent navn, men når det brukes på mengden, er det veldig passende. Da vil du se selv.

n - nummer på siste medlem. Det er viktig å forstå at i formelen dette tallet sammenfaller med antall tilføyde termer.

La oss definere konseptet siste medlem en n. Vanskelig spørsmål: hvilket medlem vil være den siste hvis gitt endeløs aritmetisk progresjon?)

For å svare trygt, må du forstå den grunnleggende betydningen av aritmetisk progresjon og ... lese oppgaven nøye!)

I oppgaven med å finne summen av en aritmetisk progresjon, vises alltid siste ledd (direkte eller indirekte), som bør begrenses. Ellers et endelig, spesifikt beløp eksisterer rett og slett ikke. For løsningen spiller det ingen rolle om progresjonen er gitt: endelig eller uendelig. Det spiller ingen rolle hvordan det er gitt: en serie tall eller en formel for det n-te leddet.

Det viktigste er å forstå at formelen fungerer fra første ledd i progresjonen til leddet med tall n. Faktisk ser det fulle navnet på formelen slik ut: summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon. Antallet av disse aller første medlemmene, dvs. n, bestemmes utelukkende av oppgaven. I en oppgave er all denne verdifulle informasjonen ofte kryptert, ja... Men bry deg ikke, i eksemplene nedenfor avslører vi disse hemmelighetene.)

Eksempler på oppgaver på summen av en aritmetisk progresjon.

Først av alt, nyttig informasjon:

Hovedvanskeligheten i oppgaver som involverer summen av en aritmetisk progresjon ligger i riktig bestemmelse av elementene i formelen.

Oppgaveskriverne krypterer nettopp disse elementene med grenseløs fantasi.) Hovedsaken her er å ikke være redd. For å forstå essensen av elementene, er det nok å bare dechiffrere dem. La oss se på noen få eksempler i detalj. La oss starte med en oppgave basert på en ekte GIA.

1. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a n = 2n-3,5. Finn summen av de første 10 leddene.

Godt jobbet. Enkelt.) Hva trenger vi å vite for å bestemme mengden ved hjelp av formelen? Første medlem en 1, siste termin en n, ja nummeret til det siste medlemmet n.

Hvor kan jeg få det siste medlemsnummeret? n? Ja, akkurat der, på betingelse! Det står: finn summen første 10 medlemmer. Vel, hvilket nummer blir det med? siste, tiende medlem?) Du vil ikke tro det, nummeret hans er tiende!) Derfor, i stedet for en n Vi vil erstatte i formelen en 10, og i stedet n- ti. Jeg gjentar, nummeret på det siste medlemmet faller sammen med antallet medlemmer.

Det gjenstår å fastslå en 1 Og en 10. Dette beregnes enkelt ved hjelp av formelen for det n-te leddet, som er gitt i problemstillingen. Vet du ikke hvordan du gjør dette? Delta på forrige leksjon, uten dette er det ingen vei.

en 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

en 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Vi har funnet ut betydningen av alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon. Alt som gjenstår er å erstatte dem og telle:

Det er det. Svar: 75.

En annen oppgave basert på GIA. Litt mer komplisert:

2. Gitt en aritmetisk progresjon (a n), hvor forskjellen er 3,7; a 1 = 2,3. Finn summen av de første 15 leddene.

Vi skriver umiddelbart sumformelen:

Denne formelen lar oss finne verdien av et hvilket som helst ledd etter tallet. Vi ser etter en enkel erstatning:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Det gjenstår å erstatte alle elementene i formelen for summen av en aritmetisk progresjon og beregne svaret:

Svar: 423.

Forresten, hvis i sumformelen i stedet for en n Vi erstatter ganske enkelt formelen for det n-te leddet og får:

La oss presentere lignende og få en ny formel for summen av ledd i en aritmetisk progresjon:

Som du kan se, kreves ikke det n-te leddet her en n. I noen problemer hjelper denne formelen mye, ja... Du kan huske denne formelen. Eller du kan bare vise den til rett tid, som her. Tross alt må du alltid huske formelen for summen og formelen for n'te ledd.)

Nå oppgaven i form av en kort kryptering):

3. Finn summen av alle positive tosifrede tall som er multipler av tre.

Wow! Verken ditt første medlem, eller ditt siste, eller progresjon i det hele tatt... Hvordan leve!?

Du må tenke med hodet og trekke ut alle elementene i summen av den aritmetiske progresjonen fra tilstanden. Vi vet hva tosifrede tall er. De består av to tall.) Hvilket tosifret tall blir først? 10, antagelig.) A siste ting tosifret tall? 99, selvfølgelig! De tresifrede vil følge ham...

Multipler av tre... Hm... Dette er tall som er delbare med tre, her! Ti er ikke delelig med tre, 11 er ikke delelig... 12... er delelig! Så noe er i ferd med å dukke opp. Du kan allerede skrive ned en serie i henhold til betingelsene for problemet:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Vil denne serien være en aritmetisk progresjon? Sikkert! Hvert begrep skiller seg fra den forrige med strengt tatt tre. Hvis du legger til 2 eller 4 til en term, for eksempel resultatet, dvs. det nye tallet er ikke lenger delelig med 3. Du kan umiddelbart bestemme forskjellen på den aritmetiske progresjonen: d = 3. Det kommer godt med!)

Så vi kan trygt skrive ned noen progresjonsparametere:

Hva blir tallet? n siste medlem? Alle som tror at 99 tar fatalt feil... Tallene går alltid på rekke og rad, men våre medlemmer hopper over tre. De stemmer ikke.

Det er to løsninger her. En måte er for de super hardtarbeidende. Du kan skrive ned progresjonen, hele tallserien, og telle antall medlemmer med fingeren.) Den andre måten er for de gjennomtenkte. Du må huske formelen for det n'te leddet. Hvis vi bruker formelen på problemet vårt, finner vi at 99 er det trettiende leddet i progresjonen. De. n = 30.

La oss se på formelen for summen av en aritmetisk progresjon:

Vi ser og gleder oss.) Vi trakk ut fra problemformuleringen alt som er nødvendig for å beregne beløpet:

en 1= 12.

en 30= 99.

S n = S 30.

Alt som gjenstår er elementær aritmetikk. Vi setter inn tallene i formelen og regner ut:

Svar: 1665

En annen type populær puslespill:

4. Gitt en aritmetisk progresjon:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finn summen av ledd fra tjuende til trettifire.

Vi ser på formelen for beløpet og... vi blir opprørte.) Formelen, la meg minne deg, beregner beløpet fra den første medlem. Og i oppgaven må du beregne summen siden det tjuende... Formelen vil ikke fungere.

Du kan selvfølgelig skrive ut hele progresjonen i en serie, og legge til termer fra 20 til 34. Men... det er liksom dumt og tar lang tid, ikke sant?)

Det finnes en mer elegant løsning. La oss dele serien vår i to deler. Den første delen blir fra første periode til nittende. Andre del - fra tjue til trettifire. Det er klart at hvis vi beregner summen av vilkårene i den første delen S 1-19, la oss legge det til med summen av vilkårene i den andre delen S 20-34, får vi summen av progresjonen fra første ledd til trettifjerde S 1-34. Som dette:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Fra dette kan vi se at finne summen S 20-34 kan gjøres ved enkel subtraksjon

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Begge beløpene på høyre side vurderes fra den første medlem, dvs. standardsumformelen er ganske anvendelig for dem. La oss komme i gang?

Vi trekker ut progresjonsparametrene fra problemformuleringen:

d = 1,5.

en 1= -21,5.

For å beregne summene av de første 19 og første 34 leddene, trenger vi de 19. og 34. leddene. Vi beregner dem ved å bruke formelen for det n-te leddet, som i oppgave 2:

en 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

en 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Det er ingenting igjen. Trekk fra summen av 34 ledd summen av 19 ledd:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Svar: 262,5

En viktig merknad! Det er et veldig nyttig triks for å løse dette problemet. I stedet for direkte beregning det du trenger (S 20-34), vi telte noe som ser ut til å ikke være nødvendig - S 1-19. Og så bestemte de seg S 20-34, forkaster det unødvendige fra det komplette resultatet. Denne typen "finte med ørene" sparer deg ofte for slemme problemer.)

I denne leksjonen så vi på problemer der det er nok å forstå betydningen av summen av en aritmetisk progresjon. Vel, du må kunne et par formler.)

Praktiske råd:

Når du løser ethvert problem som involverer summen av en aritmetisk progresjon, anbefaler jeg umiddelbart å skrive ut de to hovedformlene fra dette emnet.

Formel for n'te termin:

Disse formlene vil umiddelbart fortelle deg hva du skal se etter og i hvilken retning du skal tenke for å løse problemet. Hjelper.

Og nå oppgavene for uavhengig løsning.

5. Finn summen av alle tosifrede tall som ikke er delbare med tre.

Kult?) Hintet er skjult i notatet til oppgave 4. Vel, oppgave 3 vil hjelpe.

6. Den aritmetiske progresjonen er gitt av betingelsen: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finn summen av de første 24 leddene.

Uvanlig?) Dette er en tilbakevendende formel. Du kan lese om det i forrige leksjon. Ikke ignorer koblingen, slike problemer finnes ofte i Statens vitenskapsakademi.

7. Vasya sparte opp penger til ferien. Så mye som 4550 rubler! Og jeg bestemte meg for å gi favorittpersonen min (meg selv) noen dager med lykke). Lev vakkert uten å nekte deg selv noe. Bruk 500 rubler den første dagen, og bruk 50 rubler mer på hver påfølgende dag enn den forrige! Helt til pengene tar slutt. Hvor mange dager med lykke hadde Vasya?

Er det vanskelig?) Tilleggsformelen fra oppgave 2 vil hjelpe.

Svar (i uorden): 7, 3240, 6.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.