Relativ feil for ith-perioden. Absolutte og relative målefeil

Målefeil- vurdering av avviket til den målte verdien av en mengde fra dens sanne verdi. Målefeil er en karakteristikk (mål) for målenøyaktighet.

For å finne ut med absolutt presisjon sann verdi ingen verdi er mulig, da er det også umulig å indikere størrelsen på avviket til den målte verdien fra den sanne verdien. (Dette avviket kalles vanligvis målefeilen. I en rekke kilder, for eksempel i Bolshoi Sovjetisk leksikon, vilkår målefeil Og målefeil brukes som synonymer, men ifølge RMG 29-99 begrepet målefeil anbefales ikke som mindre vellykket). Det er bare mulig å estimere størrelsen på dette avviket, for eksempel ved å bruke statistiske metoder. I praksis bruker vi i stedet for den sanne verdien Faktisk verdi x d, det vil si verdien av en fysisk mengde oppnådd eksperimentelt og så nær den sanne verdien at den kan brukes i stedet for den i den angitte måleoppgaven. Denne verdien beregnes vanligvis som gjennomsnittsverdien hentet fra statistisk behandling resultater av en serie målinger. Denne oppnådde verdien er ikke nøyaktig, men bare den mest sannsynlige. Derfor er det nødvendig å angi i målingene hva deres nøyaktighet er. For å gjøre dette, sammen med det oppnådde resultatet, er målefeilen indikert. For eksempel oppføringen T=2,8±0,1 c. betyr at den sanne verdien av mengden T ligger i intervallet fra 2,7 s før 2,9 s med en viss sannsynlighet

I 2004 internasjonalt nivå ble akseptert nytt dokument, diktere betingelsene for å utføre målinger og etablere nye regler for sammenligning av statlige standarder. Konseptet "feil" ble foreldet, begrepet "måleusikkerhet" ble introdusert i stedet, men GOST R 50.2.038-2004 tillater bruk av begrepet feil for dokumenter brukt i Russland.

Det er følgende typer feil:

Den absolutte feilen

Relativ feil

den reduserte feilen;

Hovedfeilen

Ytterligere feil

· systematisk feil;

Tilfeldig feil

Instrumentell feil

· metodisk feil;

· personlig feil;

· statisk feil;

dynamisk feil.

Målefeil klassifiseres etter følgende kriterier.

· Ifølge metoden for matematisk uttrykk deles feilene inn i absolutte feil og relative feil.

· I henhold til samspillet mellom endringer i tid og inngangsverdi, er feilene delt inn i statiske feil og dynamiske feil.

Av arten av forekomsten av feil er delt inn i systematiske feil og tilfeldige feil.

· I henhold til arten av feilens avhengighet av påvirkningsverdiene, deles feilene inn i grunnleggende og tillegg.

· I henhold til arten av feilens avhengighet av inngangsverdien, deles feilene inn i additive og multiplikative.

Absolutt feil er verdien beregnet som differansen mellom verdien av mengden oppnådd under måleprosessen og den reelle (faktiske) verdien av den gitte mengden. Den absolutte feilen beregnes ved å bruke følgende formel:

AQ n =Q n /Q 0 , hvor AQ n er den absolutte feilen; Qn- verdien av en viss mengde oppnådd i måleprosessen; Q0- verdien av samme mengde, tatt som sammenligningsgrunnlag (reell verdi).

Absolutt målefeil er verdien beregnet som differansen mellom tallet, som er den nominelle verdien av tiltaket, og den reelle (faktiske) verdien av mengden som reproduseres av tiltaket.

Relativ feil er et tall som gjenspeiler graden av nøyaktighet av målingen. Den relative feilen beregnes ved å bruke følgende formel:

Hvor ∆Q er den absolutte feilen; Q0 er den virkelige (faktiske) verdien av den målte mengden. Relativ feil er uttrykt i prosent.

Redusert feil er verdien beregnet som forholdet mellom den absolutte feilverdien og normaliseringsverdien.

Normaliseringsverdien er definert som følger:

For måleinstrumenter der det er godkjent nominell verdi, tas denne nominelle verdien som en normaliserende verdi;

for måleinstrumenter med null verdi er plassert på kanten av måleskalaen eller utenfor skalaen, tas normaliseringsverdien lik sluttverdien fra måleområdet. Unntaket er måleinstrumenter med betydelig ujevn måleskala;

· for måleinstrumenter der nullmerket er plassert innenfor måleområdet, tas normaliseringsverdien lik summen av de endelige numeriske verdiene i måleområdet;

For måleinstrumenter (måleinstrumenter) med ujevn skala tas normaliseringsverdien lik hele lengden av måleskalaen eller lengden på den delen av den som tilsvarer måleområdet. Den absolutte feilen uttrykkes da i lengdeenheter.

Målefeil inkluderer instrumentell feil, metodisk feil og lesefeil. Dessuten oppstår lesefeilen på grunn av unøyaktigheten i å bestemme divisjonsbrøkene av måleskalaen.

Instrumentell feil- dette er feilen som oppstår på grunn av feilene som er gjort i produksjonsprosessen til de funksjonelle delene av feilmåleinstrumentene.

Metodisk feil er en feil på grunn av følgende årsaker:

unøyaktighet ved å bygge en modell fysisk prosess som måleinstrumentet er basert på;

Feil bruk av måleinstrumenter.

Subjektiv feil- dette er en feil som oppstår på grunn av den lave kvalifikasjonsgraden til operatøren av måleinstrumentet, så vel som på grunn av feilen til de menneskelige visuelle organene, dvs. den menneskelige faktoren er årsaken til den subjektive feilen.

Feil i samspillet mellom endringer i tid og inngangsverdi er delt inn i statiske og dynamiske feil.

Statisk feil- dette er feilen som oppstår i prosessen med å måle en konstant (ikke endres i tid) verdi.

Dynamisk feil- dette er en feil, hvis numeriske verdi beregnes som forskjellen mellom feilen som oppstår ved måling av en ikke-konstant (variabel i tid) mengde, og en statisk feil (feilen i verdien av den målte mengden ved en et bestemt tidspunkt).

I henhold til arten av feilens avhengighet av de påvirkende mengdene, er feilene delt inn i grunnleggende og tillegg.

Grunnleggende feil er feilen som er oppnådd under normale driftsforhold for måleinstrumentet (ved normale verdier av påvirkningsmengdene).

Ytterligere feil- dette er feilen som oppstår i betingelsene for avvik mellom verdiene til de påvirkningsmengdene av deres normale verdier, eller hvis påvirkningsmengden går utover grensene for området for normale verdier.

Normale forhold er forholdene der alle verdiene for de påvirkende mengdene er normale eller ikke går utover grensene for normalverdiområdet.

Arbeidsforhold- dette er forhold der endringen i de påvirkende mengdene har et bredere spekter (verdiene til de som påvirker de går ikke utover grensene for arbeidsområdet for verdier).

Arbeidsområde for verdier for den påvirkende mengden er området av verdier der verdiene til tilleggsfeilen er normalisert.

I henhold til arten av feilens avhengighet av inngangsverdien, deles feilene inn i additiv og multiplikativ.

Additiv feil- dette er feilen som oppstår på grunn av summeringen av numeriske verdier og er ikke avhengig av verdien av den målte mengden, tatt modulo (absolutt).

Multiplikativ feil - dette er en feil som endres sammen med en endring i verdiene for mengden som måles.

Det skal bemerkes at verdien av den absolutte additive feilen ikke er relatert til verdien av den målte mengden og følsomheten til måleinstrumentet. Absolutte additive feil er uendret over hele måleområdet.

Verdien av den absolutte additive feilen bestemmer minimumsverdi mengde som kan måles med et måleinstrument.

Verdiene av multiplikative feil endres proporsjonalt med endringer i verdiene til den målte mengden. Verdiene av multiplikative feil er også proporsjonale med følsomheten til måleinstrumentet. Den multiplikative feilen oppstår på grunn av påvirkningen av påvirkende størrelser på de parametriske egenskapene til instrumentelementene.

Feil som kan oppstå under måleprosessen klassifiseres i henhold til arten av deres forekomst. Tildele:

systematiske feil;

tilfeldige feil.

Grove feil og mangler kan også dukke opp i måleprosessen.

Systematisk feil- Dette komponent hele feilen i måleresultatet, som ikke endres eller endres naturlig ved gjentatte målinger av samme verdi. Vanligvis blir systematisk feil forsøkt eliminert. mulige måter(for eksempel ved å bruke målemetoder som reduserer sannsynligheten for at den inntreffer), men hvis en systematisk feil ikke kan utelukkes, beregnes den før målingene starter og passende korrigeringer foretas i måleresultatet. I ferd med å normalisere den systematiske feilen, grensene for dens tillatte verdier. Den systematiske feilen bestemmer riktigheten av målinger av måleinstrumenter (metrologisk egenskap). Systematiske feil i noen tilfeller kan bestemmes eksperimentelt. Måleresultatet kan deretter foredles ved å innføre en korreksjon.

Metoder for å eliminere systematiske feil er delt inn i fire typer:

eliminering av årsaker og kilder til feil før målingene starter;

· Eliminering av feil i prosessen med allerede påbegynt måling ved substitusjonsmetoder, kompensasjon for feil i tegn, motsetninger, symmetriske observasjoner;

Korrigering av måleresultater ved å gjøre en endring (eliminering av feil ved beregninger);

Bestemme grensene for systematisk feil i tilfelle den ikke kan elimineres.

Eliminering av årsaker og kilder til feil før målingene starter. Denne metoden Er mest det beste alternativet, siden bruken forenkler videre trekk målinger (det er ikke nødvendig å eliminere feil i prosessen med en allerede påbegynt måling eller å foreta korrigeringer av resultatet).

For å eliminere systematiske feil i prosessen med en allerede startet måling, bruk ulike måter

Endringsmetode er basert på kunnskap om den systematiske feilen og gjeldende endringsmønstre. Ved bruk av denne metoden er måleresultatet oppnådd med systematiske feil gjenstand for korrigeringer som er like store som disse feilene, men motsatt i fortegn.

substitusjonsmetode består i at den målte verdien erstattes av et mål plassert under de samme forholdene som måleobjektet befant seg i. Substitusjonsmetoden brukes ved måling av følgende elektriske parametere: motstand, kapasitans og induktans.

Tegnfeilkompensasjonsmetode består i at målingene utføres to ganger på en slik måte at feilen, ukjent i størrelsesorden, inngår i måleresultatene med motsatt fortegn.

Kontrasterende metode ligner på skiltbasert kompensasjon. Denne metoden består i at målinger utføres to ganger på en slik måte at feilkilden i den første målingen har motsatt effekt på resultatet av den andre målingen.

tilfeldig feil- dette er en komponent av feilen i måleresultatet, som endres tilfeldig, uregelmessig under gjentatte målinger av samme verdi. Forekomsten av en tilfeldig feil kan ikke forutses og forutsies. Tilfeldig feil kan ikke elimineres fullstendig; det forvrenger alltid de endelige måleresultatene til en viss grad. Men du kan gjøre måleresultatet mer nøyaktig ved å ta gjentatte målinger. Årsaken til en tilfeldig feil kan for eksempel være en tilfeldig endring eksterne faktorer påvirker måleprosessen. En tilfeldig feil under flere målinger med tilstrekkelig høy grad av nøyaktighet fører til spredning av resultatene.

Savner og tabber er feil som er mye større enn de systematiske og tilfeldige feilene som forventes under de gitte måleforholdene. Utglidninger og grove feil kan oppstå pga tabber under måleprosessen, en teknisk feil på måleinstrumentet, en uventet endring i ytre forhold.

La en tilfeldig variabel en målt n ganger under samme forhold. Måleresultatene ga et sett n ulike tall

Absolutt feil- dimensjonsverdi. Blant n verdier av absolutte feil oppfyller nødvendigvis både positive og negative.

For den mest sannsynlige verdien av mengden EN tar vanligvis gjennomsnitt betydningen av måleresultatene

Jo større antall målinger, desto nærmere er middelverdien den sanne verdien.

Absolutt feilJeg

Relativ feilJeg dimensjonen kalles mengden

Relativ feil er en dimensjonsløs størrelse. Vanligvis er den relative feilen uttrykt i prosent for dette e i multipliser med 100 %. Verdien av den relative feilen karakteriserer målenøyaktigheten.

Gjennomsnittlig absolutt feil er definert slik:

Vi understreker nødvendigheten av summering absolutte verdier(moduler) verdier D og jeg . Ellers vil det identiske nullresultatet oppnås.

Gjennomsnittlig relativ feil kalles mengden

På store tall målinger.

Relativ feil kan betraktes som verdien av feilen per enhet av målt mengde.

Nøyaktigheten av målinger bedømmes på grunnlag av en sammenligning av feilene i måleresultatene. Derfor er målefeilene uttrykt på en slik form at det for å vurdere nøyaktigheten vil være tilstrekkelig å sammenligne bare feilene i resultatene, uten å sammenligne størrelsene på de målte objektene eller kjenne disse størrelsene veldig tilnærmet. Det er kjent fra praksis at den absolutte feilen ved å måle vinkelen ikke avhenger av verdien av vinkelen, og den absolutte feilen ved å måle lengden avhenger av lengdens verdi. Hvordan mer verdi lengde, den denne metoden og måleforhold, vil den absolutte feilen være større. Derfor, i henhold til den absolutte feilen til resultatet, er det mulig å bedømme nøyaktigheten av vinkelmålingen, men det er umulig å bedømme nøyaktigheten til lengdemålingen. Uttrykk for feil i relativ form gjør det mulig å sammenligne, i kjente tilfeller, nøyaktigheten av vinkel- og lineære målinger.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori. Tilfeldig feil.

Tilfeldig feil kalt komponenten av målefeilen, som endres tilfeldig ved gjentatte målinger av samme mengde.

Når gjentatte målinger av samme konstante, uforanderlige mengde utføres med samme forsiktighet og under samme forhold, får vi måleresultater - noen av dem skiller seg fra hverandre, og noen av dem er sammenfallende. Slike avvik i måleresultatene indikerer tilstedeværelsen av tilfeldige feilkomponenter i dem.

Tilfeldig feil oppstår ved samtidig handling av mange kilder, som hver i seg selv har en umerkelig effekt på måleresultatet, men den totale effekten av alle kilder kan være ganske sterk.

Tilfeldige feil er en uunngåelig konsekvens av eventuelle målinger og skyldes:

a) unøyaktige avlesninger på skalaen til instrumenter og verktøy;

b) ikke identiske forhold for gjentatte målinger;

c) tilfeldige endringer i ytre forhold (temperatur, trykk, kraftfelt etc.) som ikke kan kontrolleres;

d) all annen påvirkning på målinger, hvis årsaker er ukjente for oss. Størrelsen på den tilfeldige feilen kan minimeres ved gjentatt repetisjon av eksperimentet og det tilsvarende matematisk prosessering de oppnådde resultatene.

En tilfeldig feil kan få forskjellige absolutte verdier, som ikke kan forutsies for en gitt målehandling. Denne feilen i likt kan være både positiv og negativ. Tilfeldige feil er alltid tilstede i et eksperiment. I fravær av systematiske feil forårsaker de at gjentatte målinger sprer seg rundt den sanne verdien.

La oss anta at vi ved hjelp av en stoppeklokke måler pendelens oscillasjonsperiode, og målingen gjentas mange ganger. Feil ved start og stopp av stoppeklokken, en feil i verdien av referansen, en liten ujevn bevegelse av pendelen - alt dette forårsaker en spredning i resultatene av gjentatte målinger og kan derfor klassifiseres som tilfeldige feil.

Hvis det ikke er andre feil, vil noen resultater være noe overvurdert, mens andre vil bli litt undervurdert. Men hvis klokken i tillegg til dette også er bak, vil alle resultatene bli undervurdert. Dette er allerede en systematisk feil.

Noen faktorer kan forårsake både systematiske og tilfeldige feil på samme tid. Så, ved å slå stoppeklokken av og på, kan vi skape en liten uregelmessig spredning i øyeblikkene for start og stopp av klokken i forhold til pendelens bevegelse og derved introdusere en tilfeldig feil. Men hvis i tillegg hver gang vi skynder oss å slå på stoppeklokken og er noe sene med å slå den av, vil dette føre til en systematisk feil.

Tilfeldige feil er forårsaket av en parallaksefeil ved lesing av inndelingene til instrumentskalaen, risting av bygningsfundamentet, påvirkning av svak luftbevegelse, etc.

Selv om det er umulig å utelukke tilfeldige feil ved individuelle målinger, matematisk teori tilfeldige fenomener lar oss redusere innflytelsen av disse feilene på det endelige måleresultatet. Det vil bli vist nedenfor at for dette er det nødvendig å gjøre ikke én, men flere målinger, og jo mindre feilverdien vi ønsker å oppnå, flere dimensjoner må gjennomføres.

På grunn av det faktum at forekomsten av tilfeldige feil er uunngåelig og uunngåelig, er hovedoppgaven til enhver måleprosess å bringe feilene til et minimum.

Teorien om feil er basert på to hovedantakelser, bekreftet av erfaring:

1. Med et stort antall målinger, tilfeldige feil samme størrelse, Men annet tegn, dvs. feil i retning av å øke og redusere resultatet er ganske vanlig.

2. Store absolutte feil er mindre vanlige enn små, så sannsynligheten for en feil avtar når verdien øker.

Oppførselen til tilfeldige variabler er beskrevet av statistiske regulariteter, som er gjenstand for sannsynlighetsteori. Statistisk definisjon sannsynligheter w i arrangementer Jeg er holdningen

Hvor n- totalt antall eksperimenter, n i- antall eksperimenter der hendelsen Jeg skjedde. I dette tilfellet bør det totale antallet eksperimenter være veldig stort ( n®¥). Med et stort antall målinger følger tilfeldige feil en normalfordeling (gaussisk fordeling), hvis hovedtrekk er følgende:

1. Jo større avviket er av verdien av den målte verdien fra den sanne verdien, desto mindre er sannsynligheten for et slikt resultat.

2. Avvik i begge retninger fra den sanne verdien er like sannsynlige.

Fra de ovennevnte forutsetningene følger det at for å redusere påvirkningen av tilfeldige feil, er det nødvendig å måle denne mengden flere ganger. Anta at vi måler en verdi x. La produsert n målinger: x 1, x 2, ... x n- med samme metode og med samme forsiktighet. Det kan forventes at antallet dn oppnådde resultater, som ligger i et ganske smalt intervall fra x før x + dx, skal være proporsjonal med:

Verdien av det tatt intervallet dx;

Totalt antall målinger n.

Sannsynlighet dw(x) at noen verdi x ligger i intervallet fra x før x+dx, definert som følger :

(med antall målinger n ®¥).

Funksjon f(X) kalles fordelingsfunksjonen eller sannsynlighetstettheten.

Som et postulat av teorien om feil, antas det at resultatene av direkte målinger og deres tilfeldige feil, med et stort antall av dem, følger loven om normalfordeling.

Fordelingsfunksjonen til en kontinuerlig tilfeldig variabel funnet av Gauss x Det har neste visning:

, hvor mis - distribusjonsparametere .

Parameteren m til normalfordelingen er lik middelverdien á xñ tilfeldig variabel, som for en vilkårlig kjent funksjon fordeling bestemmes av integralet

Dermed, verdien m er den mest sannsynlige verdien av målt verdi x, dvs. hennes beste anslag.

Parameteren s 2 av normalfordelingen er lik variansen D til den tilfeldige variabelen, som i generell sak bestemmes av følgende integral

Kvadratrot fra variansen kalles standardavviket til den tilfeldige variabelen.

Gjennomsnittsavviket (feilen) til den tilfeldige variabelen ásñ bestemmes ved å bruke fordelingsfunksjonen som følger

Den gjennomsnittlige målefeilen ásñ, beregnet fra den Gaussiske fordelingsfunksjonen, er relatert til verdien av standardavviket s som følger:

< s > = 0,8 s.

Parametrene s og m er relatert som følger:

Dette uttrykket lar deg finne gjennomsnittet standardavvik s hvis det er en bjellekurve.

Grafen for Gauss-funksjonen er vist i figurene. Funksjon f(x) er symmetrisk med hensyn til ordinaten tegnet ved punktet x= m; går gjennom maksimum på punktet x= m og har en bøyning i punktene m ±s. Dermed karakteriserer spredningen bredden på distribusjonsfunksjonen, eller viser hvor mye verdiene til en tilfeldig variabel er spredt i forhold til dens sanne verdi. Jo mer nøyaktige målingene er, desto nærmere den sanne verdien blir resultatene av individuelle målinger, dvs. verdien av s er mindre. Figur A viser funksjonen f(x) for tre verdier .

Arealet av en figur avgrenset av en kurve f(x) og vertikale linjer trukket fra punkter x 1 og x 2 (fig. B) , er numerisk lik sannsynligheten for at måleresultatet faller innenfor intervallet D x = x 1 -x 2 , som kalles konfidensnivået. Areal under hele kurven f(x) er lik sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet fra 0 til ¥, dvs.

siden sannsynligheten for en viss hendelse er lik én.

Ved hjelp av normal distribusjon, teorien om feil stiller og løser to hovedproblemer. Den første er en vurdering av nøyaktigheten av målingene. Den andre er et estimat av nøyaktigheten til gjennomsnittet aritmetisk verdi måleresultater.5. Konfidensintervall. Elevens koeffisient.

Sannsynlighetsteori lar deg bestemme størrelsen på intervallet der med en kjent sannsynlighet w er resultatene av individuelle målinger. Denne sannsynligheten kalles selvtillitsnivå, og det tilsvarende intervallet (<x>±D x)w kalt konfidensintervall. Konfidensnivået er også lik den relative andelen resultater som faller innenfor konfidensintervallet.

Hvis antall målinger n er stor nok, så uttrykker konfidenssannsynligheten andelen av totalt antalln de målingene der den målte verdien var innenfor konfidensintervallet. Hver selvtillitsnivå w tilsvarer dens konfidensintervall.w2 80%. Jo bredere konfidensintervall, jo mer sannsynlig er det å få et resultat innenfor det intervallet. I sannsynlighetsteori etableres en kvantitativ sammenheng mellom verdien av konfidensintervallet, konfidenssannsynligheten og antall målinger.

Hvis vi velger intervallet som tilsvarer gjennomsnittsfeilen som konfidensintervall, det vil si D a = AD ENñ, så for et tilstrekkelig stort antall målinger tilsvarer det konfidenssannsynligheten w 60 %. Når antallet målinger avtar, vil konfidenssannsynligheten som tilsvarer et slikt konfidensintervall (á ENñ ± AD ENñ) avtar.

For å estimere konfidensintervallet til en tilfeldig variabel, kan man altså bruke verdien av gjennomsnittsfeilen D ENñ .

For å karakterisere størrelsen på en tilfeldig feil, er det nødvendig å sette to tall, nemlig størrelsen på konfidensintervallet og størrelsen på konfidenssannsynligheten . Å spesifisere bare størrelsen på feilen uten den tilsvarende konfidenssannsynligheten er stort sett meningsløst.

Om kjent gjennomsnittlig feil måling ásñ, konfidensintervall skrevet som (<x> ±asñ) w, bestemt med pålitelig sannsynlighet w= 0,57.

Hvis standardavviket s er kjent fordeling av måleresultater, det angitte intervallet har formen (<x>± tw s) w, Hvor tw- koeffisient avhengig av verdien av konfidenssannsynligheten og beregnet i henhold til Gauss-fordelingen.

De mest brukte mengdene D x er vist i tabell 1.

I fysikk og andre vitenskaper er det veldig ofte nødvendig å måle forskjellige mengder (for eksempel lengde, masse, tid, temperatur, elektrisk motstand etc.).

Mål- prosessen med å finne verdien av en fysisk mengde ved hjelp av spesielle tekniske midler- måleapparater.

Måleverktøy kalt en enhet som en målt mengde sammenlignes med en fysisk mengde av samme type, tatt som en måleenhet.

Det finnes direkte og indirekte målemetoder.

Direkte målemetoder - metoder der verdiene til mengdene som bestemmes, er funnet ved direkte sammenligning av det målte objektet med måleenheten (standard). For eksempel sammenlignes lengden på en kropp målt av en linjal med en lengdeenhet - en meter, massen til en kropp målt med vekter sammenlignes med en masseenhet - et kilo, osv. Som et resultat direkte måling den fastsatte verdien oppnås umiddelbart, umiddelbart.

Indirekte målemetoder- metoder der verdiene til mengdene som bestemmes, beregnes fra resultatene av direkte målinger av andre mengder som de er relatert til ved en kjent funksjonell avhengighet. For eksempel å bestemme omkretsen til en sirkel basert på resultatene av å måle diameteren eller å bestemme volumet til en kropp basert på resultatene av å måle dens lineære dimensjoner.

På grunn av ufullkommenhet til måleinstrumenter, påvirker sansene våre ytre påvirkninger på måleutstyret og måleobjektet, samt andre faktorer, kan alle målinger kun utføres med til en viss grad nøyaktighet; derfor gir ikke måleresultatene den sanne verdien av den målte mengden, men bare en omtrentlig. Hvis for eksempel kroppsvekten bestemmes med en nøyaktighet på 0,1 mg, betyr dette at den funnet vekten avviker fra den sanne kroppsvekten med mindre enn 0,1 mg.

Nøyaktighet av målinger - en karakteristikk av kvaliteten på målingene, som gjenspeiler måleresultatenes nærhet til den sanne verdien av den målte mengden.

Jo mindre målefeil, desto større målingsnøyaktighet. Målenøyaktigheten avhenger av instrumentene som brukes i målingene og på vanlige metoder målinger. Det er helt nytteløst å prøve å gå utover denne nøyaktighetsgrensen når man foretar målinger under gitte forhold. Det er mulig å minimere virkningen av årsaker som reduserer nøyaktigheten av målinger, men det er umulig å bli kvitt dem helt, det vil si at det alltid gjøres mer eller mindre betydelige feil (feil) under målinger. For å øke nøyaktigheten endelig resultat noen fysisk dimensjon det er nødvendig å ikke gjøre en, men flere ganger under de samme eksperimentelle forholdene.

Som et resultat av den i-te målingen (i er måletallet) av verdien "X", oppnås et omtrentlig tall X i, som skiller seg fra den sanne verdien Xist med en verdi ∆X i = |X i - X |, som er en feil eller, med andre ord, feil. Den sanne feilen er ikke kjent for oss, siden vi ikke vet den sanne verdien av den målte mengden. Den sanne verdien av den målte fysiske mengden ligger i intervallet

Х i – ∆Х< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

hvor X i er verdien av X-verdien oppnådd under målingen (det vil si den målte verdien); ∆X er den absolutte feilen ved å bestemme verdien av X.

Absolutt feil (feil) av målingen ∆X er absolutt verdi forskjellen mellom den sanne verdien av den målte størrelsen Hist og måleresultatet X i: ∆X = |X ist - X i |.

Relativ feil (feil) måling δ (karakteriserer målenøyaktigheten) er numerisk lik forholdet mellom den absolutte målefeilen ∆X og den sanne verdien av den målte verdien X sist (ofte uttrykt i prosent): δ \u003d (∆X / X søster) 100 %.

Målefeil eller feil kan deles inn i tre klasser: systematisk, tilfeldig og grov (glipp).

Systematisk de kaller en slik feil som forblir konstant eller naturlig (i henhold til noen funksjonell avhengighet) endringer med gjentatte målinger av samme mengde. Slike feil skyldes designfunksjoner måleinstrumenter, mangler ved den aksepterte målemetoden, eventuelle utelatelser fra forsøkslederen, påvirkning av ytre forhold eller en defekt i selve måleobjektet.

I enhver måleenhet er en eller annen systematisk feil iboende, som ikke kan elimineres, men rekkefølgen kan tas i betraktning. Systematiske feil enten øker eller reduserer måleresultatene, det vil si at disse feilene er preget av et konstant fortegn. For eksempel, hvis en av vektene under veiing har en masse på 0,01 g mer enn angitt på den, vil den funnet verdien av kroppsvekten bli overvurdert med denne mengden, uansett hvor mange målinger som gjøres. Noen ganger kan systematiske feil tas i betraktning eller elimineres, noen ganger kan dette ikke gjøres. For eksempel inkluderer fatale feil instrumentfeil, som vi bare kan si at de ikke overstiger en viss verdi.

Tilfeldige feil kalt feil som endrer størrelse og tegn på en uforutsigbar måte fra opplevelse til opplevelse. Utseendet til tilfeldige feil skyldes handlingen av mange forskjellige og ukontrollerbare årsaker.

For eksempel ved veiing med en vekt kan disse årsakene være luftvibrasjoner, satte støvpartikler, ulik friksjon i venstre og høyre oppheng av koppene osv. Tilfeldige feil viser seg ved at man etter å ha målt samme X-verdi under de samme eksperimentelle forholdene, vi forskjellige verdier: X1, X2, X3,..., X i ,..., X n , hvor X i er resultatet av den i-te målingen. Det er ikke mulig å fastslå noen regularitet mellom resultatene, derfor vurderes resultatet av den i-te målingen av X tilfeldig variabel. Tilfeldige feil kan viss innflytelse til en enkelt måling, men med flere målinger adlyder de statistiske lover og deres innflytelse på måleresultatene kan tas i betraktning eller reduseres betydelig.

Savner og tabber– for store feil som tydelig forvrenger måleresultatet. Denne klassen av feil er oftest forårsaket av feil handlinger fra eksperimentatoren (for eksempel på grunn av uoppmerksomhet, i stedet for å lese enheten "212", skrives et helt annet tall - "221"). Målinger som inneholder feil og grove feil bør forkastes.

Målinger kan gjøres når det gjelder deres nøyaktighet ved hjelp av tekniske og laboratoriemetoder.

Ved bruk av tekniske metoder utføres målingen én gang. I dette tilfellet er de fornøyd med en slik nøyaktighet der feilen ikke overstiger en viss forhåndsbestemt angi verdi bestemt av feilen til det anvendte måleutstyret.

På laboratoriemetoder målinger, er det nødvendig å angi verdien av den målte mengden mer nøyaktig enn enkeltmålingen tillater teknisk metode. I dette tilfellet gjøres flere målinger og det aritmetiske gjennomsnittet av de oppnådde verdiene beregnes, som tas som den mest pålitelige (sanne) verdien av den målte verdien. Deretter vurderes nøyaktigheten av måleresultatet (ta hensyn til tilfeldige feil).

Fra muligheten for å utføre målinger med to metoder, følger eksistensen av to metoder for å vurdere nøyaktigheten av målinger: teknisk og laboratorie.

En av de mest viktige saker i numerisk analyse er spørsmålet om hvordan en feil som oppstår på et bestemt sted i løpet av beregninger forplanter seg videre, det vil si om dens innflytelse blir større eller mindre når påfølgende operasjoner utføres. Et ekstremtilfelle er subtraksjon av to nesten like tall: selv med svært små feil i begge disse tallene, kan den relative feilen til forskjellen være veldig stor. En slik relativ feil vil forplante seg videre i alle påfølgende aritmetiske operasjoner.

En av kildene til beregningsfeil (feil) er den omtrentlige representasjonen reelle tall i en datamaskin, på grunn av finiteten til bitnettet. Selv om de første dataene presenteres i en datamaskin med høy nøyaktighet, kan akkumulering av avrundingsfeil i prosessen med å telle føre til en betydelig resulterende feil, og noen algoritmer kan vise seg å være helt uegnet for reell databehandling på en datamaskin. Du kan lære mer om representasjonen av reelle tall i en datamaskin.

Forplantning av insekter

Som et første trinn i å håndtere et slikt problem som feilutbredelse, er det nødvendig å finne uttrykk for de absolutte og relative feilene til resultatet av hver av de fire aritmetiske operasjonene som en funksjon av mengdene involvert i operasjonen og deres feil.

Absolutt feil

Addisjon

Det er to tilnærminger og til to mengder og , så vel som de tilsvarende absolutte feilene og . Da, som et resultat av tillegg, har vi

Sumfeilen, som vi betegner med , vil være lik

Subtraksjon

På samme måte får vi

Multiplikasjon

Når multiplisert har vi

Siden feilene vanligvis er mye mindre enn verdiene selv, neglisjerer vi produktet av feilene:

Produktfeilen vil være

Inndeling

Vi transformerer dette uttrykket til formen

Faktoren i parentes kan utvides til en serie

Ved å multiplisere og neglisjere alle termer som inneholder produkter av feil eller grader av feil høyere enn de første, har vi

Derfor,

Det må være klart forstått at tegnet på feilen bare er kjent i svært sjeldne tilfeller. Det er for eksempel ikke et faktum at feilen øker med addisjon og avtar ved subtraksjon fordi det er pluss i formelen for addisjon, og minus for subtraksjon. Hvis for eksempel feilene til to tall har motsatte tegn, da vil situasjonen være akkurat det motsatte, det vil si at feilen vil avta når man legger til og øker når man trekker fra disse tallene.

Relativ feil

Når vi har utledet formlene for utbredelsen av absolutte feil i fire aritmetiske operasjoner, er det ganske enkelt å utlede de tilsvarende formlene for relative feil. For addisjon og subtraksjon ble formlene modifisert for å eksplisitt inkludere den relative feilen til hvert originaltall.

Addisjon

Subtraksjon

Multiplikasjon

Inndeling

Vi starter den aritmetiske operasjonen med to omtrentlige verdier og med de tilsvarende feilene og . Disse feilene kan være av hvilken som helst opprinnelse. Verdiene og kan være eksperimentelle resultater som inneholder feil; de kan være resultatet av en forhåndsberegning i henhold til en uendelig prosess og kan derfor inneholde begrensningsfeil; de kan være resultater av tidligere aritmetiske operasjoner og kan inneholde avrundingsfeil. Naturligvis kan de også inneholde alle tre typer feil i ulike kombinasjoner.

Formlene ovenfor gir et uttrykk for feilen til resultatet av hver av de fire aritmetiske operasjonene som funksjon av ; avrundingsfeil i dette aritmetisk operasjon hvori ikke tatt i betraktning. Hvis det i fremtiden vil være nødvendig å beregne hvordan feilen til dette resultatet forplanter seg i påfølgende aritmetiske operasjoner, er det nødvendig å beregne feilen til resultatet beregnet med en av de fire formlene legg til avrundingsfeil separat.

Grafer over beregningsprosesser

La oss nå vurdere en praktisk måte å beregne feilutbredelsen i en aritmetisk beregning. For dette formål vil vi skildre sekvensen av operasjoner i en beregning ved hjelp av telle og vi vil skrive koeffisienter nær pilene på grafen, noe som vil tillate oss å relativt enkelt bestemme den totale feilen til sluttresultatet. Denne metoden er også praktisk ved at den gjør det enkelt å bestemme bidraget fra eventuelle feil som har oppstått i løpet av beregninger til den totale feilen.

Figur 1. Databehandlingsprosessgraf

På Figur 1 en graf over beregningsprosessen er avbildet. Grafen skal leses fra bunn til topp, ved å følge pilene. Først utføres operasjoner lokalisert på et eller annet horisontalt nivå, deretter operasjoner lokalisert på et høyere nivå osv. Fra fig. 1 er det for eksempel klart at x Og y først lagt til og deretter multiplisert med z. Grafen vist i Figur 1, er bare et bilde av selve beregningsprosessen. For å beregne den totale feilen til resultatet, er det nødvendig å supplere denne grafen med koeffisienter som er skrevet nær pilene i henhold til følgende regler.

Addisjon

La to piler som går inn i addisjonssirkelen gå ut av to sirkler med verdier og . Disse verdiene kan være både initiale og resultater. tidligere beregninger. Da får pilen som leder fra til +-tegnet i sirkelen koeffisienten, mens pilen som leder fra til +-tegnet i sirkelen får koeffisienten.

Subtraksjon

Hvis operasjonen utføres, mottar de tilsvarende pilene koeffisienter og .

Multiplikasjon

Begge pilene som er inkludert i multiplikasjonssirkelen får en faktor på +1.

Inndeling

Hvis det utføres deling, får pilen fra til den innsirklede skråstreken en faktor på +1, og pilen fra til den innsirklede skråstreken får en faktor på −1.

Betydningen av alle disse koeffisientene er som følger: den relative feilen til resultatet av enhver operasjon (sirkel) er inkludert i resultatet av neste operasjon, multiplisert med koeffisientene til pilen som forbinder disse to operasjonene.

Eksempler

Fig.2. Graf over beregningsprosessen for addisjon , og

La oss nå bruke grafteknikken på eksempler og illustrere hva feilutbredelse betyr i praktiske beregninger.

Eksempel 1

Tenk på problemet med å legge til fire positive tall:

, .

Grafen for denne prosessen er vist i fig.2. La oss anta at alle startverdier er gitt nøyaktig og ikke har noen feil, og la , og være de relative avrundingsfeilene etter hver påfølgende addisjonsoperasjon. Suksessiv anvendelse av regelen for å beregne den totale feilen til sluttresultatet fører til formelen

Ved å redusere summen i første ledd og gange hele uttrykket med , får vi

Gitt at avrundingsfeilen er (i denne saken det antas at ekte nummer i en datamaskin er representert i skjemaet desimalbrøk Med t betydelige tall), har vi endelig

Fysiske mengder er preget av konseptet "feilnøyaktighet". Det er et ordtak som sier at ved å ta målinger kan man komme til kunnskap. Så det vil være mulig å finne ut hva som er høyden på huset eller lengden på gaten, som mange andre.

Introduksjon

La oss forstå betydningen av begrepet «måle verdien». Måleprosessen er å sammenligne med homogene mengder, som tas som en enhet.

Liter brukes til å bestemme volum, gram brukes til å beregne masse. For å gjøre det mer praktisk å gjøre beregninger, introduserte vi SI-systemet for den internasjonale klassifiseringen av enheter.

For å måle lengden på sleden, meter, masse - kilogram, volum - kubikkliter, tid - sekunder, hastighet - meter per sekund.

Ved beregning av fysiske mengder er det ikke alltid nødvendig å bruke tradisjonell måte, er det nok å bruke beregningen ved å bruke formelen. For eksempel å beregne indikatorer som f.eks gjennomsnittshastighet, må du dele den tilbakelagte avstanden med tiden brukt på veien. Slik beregnes gjennomsnittshastigheten.

Ved å bruke måleenheter som er ti, hundre, tusen ganger høyere enn indikatorene for de aksepterte måleenhetene, kalles de multipler.

Navnet på hvert prefiks tilsvarer multiplikatornummeret:

Deca.
Hecto.
Kilo.
Mega.
Giga.
Tera.

I fysisk vitenskap for å skrive slike faktorer brukes potensen 10. For eksempel er en million angitt som 10 6 .

I en enkel linjal har lengden en måleenhet - en centimeter. Den er 100 ganger mindre enn en meter. En linjal på 15 cm er 0,15 m lang.

En linjal er den enkleste typen måleinstrument for å måle lengde. Mer komplekse enheter er representert av et termometer - slik at et hygrometer - for å bestemme fuktighet, et amperemeter - for å måle kraftnivået som en elektrisk strøm forplanter seg med.

Hvor nøyaktige vil målingene være?

Ta en linjal og en enkel blyant. Vår oppgave er å måle lengden på dette brevpapiret.

Først må du bestemme hva som er delingsverdien som er angitt på måleenhetens skala. På de to divisjonene, som er de nærmeste strekene på skalaen, skrives tall, for eksempel "1" og "2".

Det er nødvendig å beregne hvor mange divisjoner som er innelukket i intervallet til disse tallene. Teller du riktig får du "10". Trekk fra tallet som er større, tallet som vil være mindre, og del på tallet som utgjør divisjonene mellom sifrene:

(2-1)/10 = 0,1 (cm)

Så vi bestemmer at prisen som bestemmer inndelingen av skrivesaker er tallet 0,1 cm eller 1 mm. Det er tydelig vist hvordan prisindikatoren for deling bestemmes ved hjelp av et hvilket som helst måleapparat.

Ved å måle en blyant med en lengde som er litt mindre enn 10 cm, vil vi bruke kunnskapen vi har fått. Hvis det ikke var små inndelinger på linjalen, ville konklusjonen følge at objektet har en lengde på 10 cm.Denne omtrentlige verdien kalles målefeilen. Den indikerer nivået av unøyaktighet som kan tolereres i målingen.

Bestemme parametrene for lengden på en blyant med mer høy level presisjon, til en større kostnad divisjon oppnås en større målenøyaktighet, noe som gir en mindre feil.

I dette tilfellet kan absolutt nøyaktige målinger ikke gjøres. Og indikatorene bør ikke overstige størrelsen på divisjonsprisen.

Det er fastslått at dimensjonene til målefeilen er ½ av prisen, som er angitt på inndelingene til instrumentet som brukes til å bestemme dimensjonene.

Etter å ha målt blyanten ved 9,7 cm, bestemmer vi indikatorene på feilen. Dette er et gap på 9,65 - 9,85 cm.

Formelen som måler en slik feil er beregningen:

A = a ± D (a)

A - i form av en mengde for måling av prosesser;

a - verdien av måleresultatet;

D - betegnelsen på den absolutte feilen.

Når du trekker fra eller legger til verdier med en feil, vil resultatet bli er lik summen indikatorer på feilen, som er hver enkelt verdi.

Introduksjon til konseptet

Hvis vi vurderer avhengig av måten det uttrykkes på, kan vi skille mellom følgende varianter:

Absolutt.
Slektning.
Gitt.

Den absolutte målefeilen er angitt med stor bokstav "Delta". Dette konseptet er definert som forskjellen mellom de målte og faktiske verdiene for den fysiske mengden som måles.

Uttrykket for den absolutte målefeilen er enhetene for mengden som skal måles.

Ved måling av masse vil den uttrykkes for eksempel i kilo. Dette er ikke en standard for målenøyaktighet.

Hvordan beregne feilen for direkte målinger?

Det finnes måter å representere og beregne dem på. For dette er det viktig å kunne identifisere fysisk mengde med nødvendig nøyaktighet, for å vite hva den absolutte målefeilen er, at ingen noen gang kan finne den. Du kan bare beregne grenseverdien.

Selv om dette begrepet er betinget brukt, indikerer det nøyaktig grensedataene. Absolutte og relative målefeil er angitt med de samme bokstavene, forskjellen er i stavemåten.

Ved måling av lengde vil den absolutte feilen måles i de enhetene hvor lengden er beregnet. Og den relative feilen beregnes uten dimensjoner, siden det er forholdet mellom den absolutte feilen og måleresultatet. Denne verdien uttrykkes ofte i prosent eller brøker.

Absolutte og relative målefeil har flere forskjellige måter beregninger avhengig av hvilke fysiske mengder.

Konseptet med direkte måling

Den absolutte og relative feilen for direkte målinger avhenger av enhetens nøyaktighetsklasse og evnen til å bestemme veiefeilen.

Før vi snakker om hvordan feilen beregnes, er det nødvendig å avklare definisjonene. En direkte måling er en måling der resultatet leses direkte fra instrumentvekten.

Når vi bruker termometer, linjal, voltmeter eller amperemeter, utfører vi alltid direkte målinger, siden vi bruker et apparat med en skala direkte.

Det er to faktorer som påvirker ytelsen:

Instrumentfeil.
Feilen i referansesystemet.

Den absolutte feilgrensen for direkte målinger vil være lik summen av feilen som enheten viser og feilen som oppstår under leseprosessen.

D = D (pr.) + D (fraværende)

Eksempel på medisinsk termometer

Nøyaktighetsverdier er angitt på selve instrumentet. En feil på 0,1 grader Celsius registreres på et medisinsk termometer. Lesefeilen er halvparten av divisjonsverdien.

D = C/2

Hvis divisjonsverdien er 0,1 grader, kan det gjøres beregninger for et medisinsk termometer:

D \u003d 0,1 o C + 0,1 o C / 2 \u003d 0,15 o C

På baksiden av skalaen til et annet termometer er det en teknisk spesifikasjon og det er indikert at for de riktige målingene er det nødvendig å senke termometeret med hele bakdelen. Målenøyaktigheten er ikke spesifisert. Den eneste gjenværende feilen er tellefeilen.

Hvis delingsverdien på skalaen til dette termometeret er 2 o C, så kan du måle temperaturen med en nøyaktighet på 1 o C. Dette er grensene for den tillatte absolutte målefeilen og beregningen av den absolutte målefeilen.

Et spesielt system for beregning av nøyaktighet brukes i elektriske måleinstrumenter.

Nøyaktighet av elektriske måleinstrumenter

For å spesifisere nøyaktigheten til slike enheter, brukes en verdi kalt nøyaktighetsklassen. For sin betegnelse brukes bokstaven "Gamma". For nøyaktig å bestemme de absolutte og relative målefeilene, må du vite nøyaktighetsklassen til enheten, som er angitt på skalaen.

Ta for eksempel et amperemeter. Skalaen indikerer nøyaktighetsklassen, som viser tallet 0,5. Den egner seg for målinger ved konstant og vekselstrøm, refererer til enhetene i det elektromagnetiske systemet.

Dette er en ganske nøyaktig enhet. Hvis du sammenligner det med et skolevoltmeter, kan du se at det har en nøyaktighetsklasse på 4. Denne verdien må være kjent for videre beregninger.

Anvendelse av kunnskap

Dermed D c \u003d c (maks) X γ / 100

Denne formelen vil bli brukt til konkrete eksempler. La oss bruke et voltmeter og finne feilen ved måling av spenningen som batteriet gir.

La oss koble batteriet direkte til voltmeteret, etter å ha sjekket om pilen er på null. Når enheten ble koblet til, avviket pilen med 4,2 divisjoner. Denne tilstanden kan beskrives som følger:

Det kan sees at den maksimale verdien av U for dette emnet tilsvarer 6.
Nøyaktighetsklasse -(γ) = 4.
U(o) = 4,2 V.
C=0,2 V

Ved å bruke disse formeldataene beregnes de absolutte og relative målefeilene som følger:

D U \u003d DU (eks.) + C / 2

D U (pr.) \u003d U (maks.) X γ / 100

D U (pr.) \u003d 6 V X 4/100 \u003d 0,24 V

Dette er feilen til instrumentet.

Beregningen av den absolutte målefeilen i dette tilfellet vil bli utført som følger:

D U = 0,24 V + 0,1 V = 0,34 V

I henhold til den betraktede formelen kan du enkelt finne ut hvordan du regner absolutt feil målinger.

Det er en regel for avrundingsfeil. Det lar deg finne gjennomsnitt mellom grensen for absolutt feil og relativ feil.

Lære å bestemme veiefeilen

Dette er ett eksempel på direkte målinger. På Spesielt sted verdt å veie. Spakvekter har tross alt ikke vekt. La oss lære hvordan du bestemmer feilen i en slik prosess. Nøyaktigheten av massemåling påvirkes av nøyaktigheten til vektene og perfeksjonen til selve vekten.

Vi bruker en balansevekt med et sett med vekter som skal plasseres nøyaktig på høyre side av vekten. Ta en linjal for veiing.

Før du starter eksperimentet, må du balansere skalaene. Vi legger linjalen på venstre bolle.

Massen vil være lik summen av de installerte vektene. La oss bestemme målefeilen for denne mengden.

D m = D m (vekter) + D m (vekter)

Massemålefeilen består av to termer knyttet til vekter og vekter. For å finne ut hver av disse verdiene, på fabrikkene for produksjon av vekter og vekter, leveres produktene med spesielle dokumenter som lar deg beregne nøyaktigheten.

Bruk av tabeller

La oss bruke en standardtabell. Feilen på skalaen avhenger av hvor mye masse som legges på skalaen. Jo større den er, jo større er henholdsvis feilen.

Selv om du setter en veldig lett kropp, vil det være en feil. Dette skyldes friksjonsprosessen som oppstår i akslene.

Den andre tabellen refererer til et sett med vekter. Det indikerer at hver av dem har sin egen massefeil. 10-grammet har en feil på 1 mg, så vel som 20-grammet. Vi beregner summen av feilene til hver av disse vektene, tatt fra tabellen.

Det er praktisk å skrive massen og massefeilen i to linjer, som er plassert under hverandre. Jo mindre vekt, desto mer nøyaktig er målingen.

Resultater

I løpet av det vurderte materialet ble det fastslått at det er umulig å fastslå den absolutte feilen. Du kan bare angi grenseindikatorene. For dette brukes formlene beskrevet ovenfor i beregningene. Dette materialet foreslått til studie på skolen for elever i 8.-9. Basert på den oppnådde kunnskapen er det mulig å løse problemer for å bestemme de absolutte og relative feilene.