Likevektsposisjon av en fjærpendel. Svingninger av en fjærpendel

En fjærpendel er en materialspiss med en masse festet til en absolutt elastisk vektløs fjær med en stivhet . Det er to enkleste tilfeller: horisontal (fig. 15, EN) og vertikal (fig. 15, b) pendler.

EN) Horisontal pendel(Fig. 15,a). Når lasten beveger seg
fra likevektsposisjonen etter beløpet virker på den i horisontal retning tilbake elastisk kraft
(Hookes lov).

Det antas at den horisontale støtten som lasten glir langs
under vibrasjonene er den helt jevn (ingen friksjon).

b) Vertikal pendel(fig. 15, b). Likevektsposisjonen i dette tilfellet er preget av tilstanden:

Hvor - størrelsen på den elastiske kraften som virker på lasten
når fjæren er statisk strukket av under påvirkning av tyngdekraften til lasten
.

Fig. 15. Fjærpendel: EN– horisontal og b– vertikal

Hvis du strekker fjæren og slipper lasten, vil den begynne å svinge vertikalt. Hvis forskyvningen på et tidspunkt er
, da vil den elastiske kraften nå skrives som
.

I begge betraktede tilfeller utfører fjærpendelen harmoniske svingninger med en periode

(27)

og syklisk frekvens

. (28)

Ved å bruke eksempelet på omtanke fjærpendel vi kan konkludere med at harmoniske vibrasjoner er bevegelse forårsaket av en kraft som øker proporsjonalt med forskyvningen . Dermed, hvis gjenopprettingskraften ligner Hookes lov
(hun fikk navnetkvasi-elastisk kraft ), så må systemet utføre harmoniske svingninger. I det øyeblikket likevektsposisjonen passeres, virker ingen gjenopprettingskraft på kroppen, men kroppen passerer ved treghet likevektsposisjonen og gjenopprettingskraften endrer retning til det motsatte.

Matematikkpendel

Fig. 16. Matematikkpendel

Matematikkpendel er et idealisert system i form av en materiell spiss hengt opp på en vektløs uutvidelig tråd av lengde

, som lager små svingninger under påvirkning av tyngdekraften (fig. 16).

Oscillasjoner av en slik pendel ved små avbøyningsvinkler
(ikke over 5º) kan betraktes som harmonisk, og den sykliske frekvensen matematisk pendel:

, (29)

og periode:

. (30)

2.3. Kroppsenergi under harmoniske svingninger

Energien som gis til det oscillerende systemet under det første skyvet vil periodisk bli transformert: den potensielle energien til den deformerte fjæren vil transformeres til den kinetiske energien til den bevegelige lasten og tilbake.

La fjærpendelen utføre harmoniske svingninger med startfasen
, dvs.
(Fig. 17).

Fig. 17. Fredningsloven mekanisk energi

når en fjærpendel svinger

Ved maksimalt avvik fra belastningen fra likevektsposisjonen, den totale mekaniske energien til pendelen (energien til en deformert fjær med en stivhet ) er lik
. Når du passerer likevektsposisjonen (
) potensiell energi våren vil bli lik null, og den totale mekaniske energien til oscillerende systemet vil bli bestemt som
.

Figur 18 viser grafer over avhengighetene til kinetisk, potensiell og total energi i tilfeller hvor harmoniske vibrasjoner er beskrevet av trigonometriske funksjoner av sinus (stiplet linje) eller cosinus (heltrukken linje).

Fig. 18. Grafer over tidsavhengighet av kinetikk

og potensiell energi under harmoniske svingninger

Fra grafene (fig. 18) følger det at endringsfrekvensen i kinetisk og potensiell energi er dobbelt så høy som egenfrekvensen til harmoniske svingninger.

Enhver periodisk repeterende bevegelse kalles oscillerende. Derfor er avhengigheten av koordinatene og hastigheten til en kropp på tid under svingninger beskrevet av periodiske funksjoner av tid. I skolekurs fysikere vurderer slike vibrasjoner der kroppens avhengigheter og hastigheter er trigonometriske funksjoner , eller en kombinasjon av disse, hvor er et visst tall. Slike oscillasjoner kalles harmoniske (funksjoner Og ofte kalt harmoniske funksjoner). For å løse vibrasjonsproblemer inkludert i programmet til en enkelt statlig eksamen i fysikk må du kjenne til definisjonene av hovedegenskapene oscillerende bevegelse: amplitude, periode, frekvens, sirkulær (eller syklisk) frekvens og fase av svingninger. La oss gi disse definisjonene og koble de oppførte mengdene med parametrene for avhengigheten av kroppskoordinatene på tid, som i tilfelle av harmoniske svingninger alltid kan representeres i formen

hvor , og er noen tall.

Amplituden til oscillasjoner er det maksimale avviket til et oscillerende legeme fra dets likevektsposisjon. Siden maksimums- og minimumsverdiene til cosinus i (11.1) er lik ±1, er amplituden til svingningene til kroppen som oscillerer (11.1) lik . Oscillasjonsperioden er minimumstiden som bevegelsen til en kropp gjentas etter. For avhengighet (11.1) kan perioden settes ut fra følgende betraktninger. Cosinus - periodisk funksjon med periode. Derfor gjentas bevegelsen fullstendig gjennom en slik verdi at . Herfra får vi

Den sirkulære (eller sykliske) frekvensen til oscillasjoner er antall svingninger utført per tidsenhet. Fra formel (11.3) konkluderer vi med at den sirkulære frekvensen er mengden fra formel (11.1).

Oscillasjonsfasen er argumentet til en trigonometrisk funksjon som beskriver koordinatens avhengighet av tid. Fra formel (11.1) ser vi at fasen av svingninger i kroppen, hvis bevegelse er beskrevet av avhengighet (11.1), er lik . Verdien av oscillasjonsfasen ved tiden = 0 kalles startfasen. For avhengighet (11.1) er startfasen av svingninger lik . Åpenbart avhenger startfasen av svingninger av valget av tidsreferansepunktet (moment = 0), som alltid er betinget. Ved å endre opprinnelsen til tid, kan den innledende fasen av svingninger alltid "gjøres" lik null, og sinusen i formel (11.1) kan "gjøres" til en cosinus eller omvendt.

Programmet for den enhetlige statseksamenen inkluderer også kunnskap om formler for frekvensen av svingninger av fjær og matematiske pendler. En fjærpendel kalles vanligvis en kropp som kan svinge på en jevn horisontal overflate under påvirkning av en fjær, hvis andre ende er fast (venstre figur). En matematisk pendel er en massiv kropp, hvis dimensjoner kan neglisjeres, oscillerende på en lang, vektløs og uutvidelig tråd (høyre figur). Navnet på dette systemet, "matematisk pendel," skyldes det faktum at det representerer et abstrakt matematisk modell av ekte ( fysisk) pendel. Det er nødvendig å huske formlene for perioden (eller frekvensen) av svingninger av fjær og matematiske pendler. For en fjærpendel

hvor er lengden på tråden, er akselerasjonen fritt fall. La oss vurdere anvendelsen av disse definisjonene og lovene ved å bruke eksempelet på problemløsning.

For å finne den sykliske frekvensen av oscillasjoner av lasten i oppgave 11.1.1 La oss først finne svingningsperioden, og deretter bruke formel (11.2). Siden 10 m 28 s er 628 s, og i løpet av denne tiden svinger lasten 100 ganger, er svingningsperioden for lasten 6,28 s. Derfor er den sykliske frekvensen til svingninger 1 s -1 (svar 2 ). I problem 11.1.2 lasten gjorde 60 svingninger på 600 s, så oscillasjonsfrekvensen er 0,1 s -1 (svar 1 ).

For å forstå hvilken stien vil passere last i 2,5 perioder ( problem 11.1.3), la oss følge hans bevegelse. Etter en periode vil lasten gå tilbake til punktet for maksimal avbøyning, og fullføre en fullstendig svingning. Derfor, i løpet av denne tiden lasten vil gå avstanden, lik fire amplituder: til likevektsposisjonen - en amplitude, fra likevektsposisjonen til punktet med maksimalt avvik i den andre retningen - den andre, tilbake til likevektsposisjonen - den tredje, fra likevektsposisjonen til startpunktet - Den fjerde. I løpet av den andre perioden vil belastningen igjen gå gjennom fire amplituder, og i løpet av den resterende halvdelen av perioden - to amplituder. Derfor er avstanden tilbakelagt lik ti amplituder (svar 4 ).

Mengden av bevegelse av kroppen er avstanden fra startpunktet til sluttpunktet. Over 2,5 perioder i oppgave 11.1.4 kroppen vil ha tid til å fullføre to hele og en halv hel oscillasjon, dvs. vil være på maksimalt avvik, men på den andre siden av likevektsposisjonen. Derfor er størrelsen på forskyvningen lik to amplituder (svar 3 ).

Per definisjon er oscillasjonsfasen argumentet til en trigonometrisk funksjon som beskriver avhengigheten av koordinatene til et oscillerende legeme på tid. Derfor er det riktige svaret problem 11.1.5 - 3 .

En periode er tidspunktet for fullstendig svingning. Dette betyr at returen av en kropp tilbake til det samme punktet som kroppen begynte å bevege seg fra, betyr ikke at en periode har gått: kroppen må tilbake til samme punkt med samme hastighet. For eksempel vil en kropp, som har startet svingninger fra en likevektsposisjon, ha tid til å avvike maksimalt i én retning, gå tilbake, avvike maksimalt i den andre retningen og gå tilbake igjen. Derfor vil kroppen i løpet av perioden ha tid til å avvike maksimalt fra likevektsposisjonen to ganger og gå tilbake. Følgelig vil overgangen fra likevektsposisjonen til punktet med maksimalt avvik ( problem 11.1.6) kroppen bruker en fjerdedel av perioden (svar 3 ).

Harmoniske oscillasjoner er de der avhengigheten av koordinatene til det oscillerende legemet på tid er beskrevet av en trigonometrisk (sinus eller cosinus) funksjon av tid. I oppgave 11.1.7 disse er funksjonene og , til tross for at parametrene som er inkludert i dem er utpekt som 2 og 2 . Funksjonen er en trigonometrisk funksjon av kvadratet av tid. Derfor er vibrasjoner av bare mengder og er harmoniske (svar 4 ).

Under harmoniske vibrasjoner endres kroppens hastighet i henhold til loven , hvor er amplituden til hastighetssvingningene (tidsreferansepunktet er valgt slik at startfasen av svingningene er lik null). Herfra finner vi avhengigheten kinetisk energi kropper fra tid til annen
(problem 11.1.8). Bruker ytterligere kjent trigonometrisk formel, vi får

Fra denne formelen følger det at den kinetiske energien til et legeme endres under harmoniske svingninger også i henhold til den harmoniske loven, men med dobbel frekvens (svar 2 ).

Bak forholdet mellom den kinetiske energien til lasten og den potensielle energien til fjæren ( problem 11.1.9) er lett å følge ut fra følgende betraktninger. Når kroppen avbøyes maksimalt fra likevektsposisjonen, er kroppens hastighet null, og derfor er den potensielle energien til fjæren større enn den kinetiske energien til lasten. Tvert imot, når kroppen passerer gjennom likevektsposisjonen, er den potensielle energien til fjæren null, og derfor er den kinetiske energien større enn den potensielle energien. Derfor, mellom passering av likevektsposisjonen og maksimal avbøyning, sammenlignes kinetisk og potensiell energi én gang. Og siden kroppen i løpet av en periode går fire ganger fra likevektsposisjonen til maksimal avbøyning eller tilbake, sammenlignes i løpet av perioden den kinetiske energien til lasten og den potensielle energien til fjæren med hverandre fire ganger (svar 2 ).

Amplitude av hastighetssvingninger ( oppgave 11.1.10) er lettest å finne ved å bruke loven om bevaring av energi. Ved punktet med maksimal avbøyning er energien til det oscillerende systemet lik den potensielle energien til fjæren , hvor er fjærstivhetskoeffisienten, er vibrasjonsamplituden. Når man passerer gjennom likevektsposisjonen, er kroppens energi lik den kinetiske energien , hvor er kroppens masse, er kroppens hastighet når den passerer gjennom likevektsposisjonen, som er topphastighet kroppen i svingningsprosessen og representerer derfor amplituden til hastighetssvingningene. Å sette likhetstegn mellom disse energiene finner vi

(svar 4 ).

Fra formel (11.5) konkluderer vi ( problem 11.2.2), at perioden ikke avhenger av massen til en matematisk pendel, og med en økning i lengden med 4 ganger, øker svingningsperioden med 2 ganger (svar 1 ).

Klokken er oscillerende prosess, som brukes til å måle tidsintervaller ( problem 11.2.3). Ordene "klokken haster" betyr at perioden for denne prosessen mindre enn det hva det skal være. Derfor, for å avklare fremdriften til disse klokkene, er det nødvendig å øke prosessens periode. I henhold til formel (11.5), for å øke svingningsperioden til en matematisk pendel, er det nødvendig å øke lengden (svar 3 ).

For å finne amplituden til svingninger i problem 11.2.4, er det nødvendig å representere avhengigheten av kroppens koordinater på tid i form av en enkelt trigonometrisk funksjon. For funksjonen gitt i betingelsen kan dette gjøres ved å innføre en ekstra vinkel. Multiplisere og dividere denne funksjonen med og bruke addisjonsformelen trigonometriske funksjoner, vi får

hvor er vinkelen slik at . Fra denne formelen følger det at amplituden til kroppssvingninger er (svar 4 ).

God ettermiddag

Det er ganske enkelt. Nå kan jeg si noen få vanskelige ord, men så skal jeg prøve å forklare betydningen deres. For enkelhets skyld vil vi snakke om det endimensjonale tilfellet; alt kan lett generaliseres til tilfellet med mange frihetsgrader.

Så, hovedoppgaven mekanikk --- finne avhengigheten av kroppens koordinater på tid, det vil si, faktisk finne en funksjon som knytter en viss koordinatverdi til hvert øyeblikk i tid. Vi beskriver enhver bevegelse ved å bruke Newtons andre lov. Denne loven inkluderer akselerasjon, som er den andre deriverte av kroppens koordinat med hensyn til tid, og kraft, som vanligvis avhenger av selve koordinaten. Kraften kan også avhenge av kroppens hastighet, det vil si den første deriverte av koordinaten med hensyn til tid. Altså med matematisk poeng Fra et perspektiv representerer Newtons andre lov et visst forhold mellom en koordinat og dens første og andre deriverte. Dette forholdet kalles i matematikk differensial ligning. Den høyeste deriverte inkludert i en slik ligning er den andre. Matematikk sier at løsningen på en slik likning, dvs. generell form funksjon som tilfredsstiller vår relasjon avhenger av to vilkårlige konstanter som ikke kan bestemmes fra ligningen. Disse vilkårlige konstantene bestemmes for hvert enkelt tilfelle, for eksempel ved å bruke de såkalte startbetingelsene. Det vil si at for å forstå nøyaktig hvordan en kropp vil bevege seg, må du vite ikke bare hvilke krefter som virker på den, men også hva dens opprinnelige koordinat og hastighet er. To vilkårlige konstanter i løsningen er valgt på en slik måte at funksjonen vi får og dens deriverte (det vil si hastighet) i startøyeblikk tiden hadde de angitte verdiene.

Dette er absolutt generell situasjon. Husk når vi snakker om kroppsbevegelse med konstant akselerasjon, for å spesifisere bevegelsen nøyaktig, trenger vi nøyaktig to tall, den innledende koordinaten og starthastighet.

Det samme gjelder for nøling. Svingningen til en bestemt pendel (det vil si en pendel med en gitt egenfrekvens) bestemmes også av to tall. Vanligvis er løsningen til ligningen for en pendel hentet fra Newtons andre lov skrevet i formen.

Her spiller rollen til vilkårlige konstanter, som må bestemmes ut fra startforholdene. La oss beregne hastigheten: . Gi oss beskjed om det null øyeblikk tid, koordinatene og hastigheten til pendelen var lik og . Etter å ha løst et system med ordinære ligninger, kan man finne spesifikke uttrykk for og gjennom og.

Jeg vil ikke gi svaret inn generell sak, hvis du vil, kan du enkelt gjøre det selv. Jeg vil bare fortelle deg om spesifikke tilfeller. La det for eksempel være kjent at kroppen på nulltidspunktet er i likevektsposisjon (det vil si), og hastigheten er lik maksimumsverdien (det vil si). Da får vi for vårt konkrete tilfelle at ligningssystemet har formen: . Fra den første ligningen er det umiddelbart klart at (den første ligningen er selvfølgelig også tilfredsstilt av betingelsen, men da vil vår løsning vise seg å være null, og dette passer ikke oss). Den andre har da formen: , hvorfra . Dermed har vi funnet uttrykk for begge konstantene. Som et resultat har vi: . I dette tilfellet, for akselerasjon viser det seg . Hvis vi nå betegner amplitude gjennom et mer kjent uttrykk, får vi mer kjente formler.

La oss se på et annet eksempel. La nå lasten være inne nødsituasjon, det vil si at hastigheten er null. Vi vil anta at det avvek fra negativ side akse, det vil si at dens koordinat er lik . Deretter ligningene for Innledende forhold ta på seg formen: . Fra den andre ligningen. Fra den første:. For koordinaten har den således: (andre likhet ved bruk av reduksjonsformelen). For hastighet:. Å øke farten: .

Spesifikke formler avhenger av de første dataene. Tar hensyn til periodisiteten til sinus og cosinus, ved hjelp av forskjellige formler reduksjoner kan du fjerne tegn fra formler, legge til faser osv.

Når det gjelder formelen i problemet, er det ingen frekvens, siden dens spesifikke verdi erstattes:

Gratis vibrasjoner er begått under påvirkning indre krefter systemet etter at systemet er fjernet fra sin likevektsposisjon.

For å frie vibrasjoner oppstår i henhold til den harmoniske loven, er det nødvendig at kraften som har en tendens til å returnere kroppen til likevektsposisjonen er proporsjonal med forskyvningen av kroppen fra likevektsposisjonen og rettes i retning motsatt av forskyvningen (se §2.1 ):

Enhver annen styrke fysisk natur, som tilfredsstiller denne betingelsen kalles kvasi-elastisk .

Altså en belastning på noe masse m, festet til avstivningsfjæren k, hvis andre ende er fast festet (fig. 2.2.1), utgjør et system som er i stand til å utføre frie harmoniske oscillasjoner i fravær av friksjon. En belastning på en fjær kalles lineær harmonisk oscillator.

Sirkulær frekvens ω 0 frie vibrasjoner belastningen på fjæren er funnet fra Newtons andre lov:

Når fjærbelastningssystemet er plassert horisontalt, kompenseres tyngdekraften som påføres lasten av støttereaksjonskraften. Hvis lasten er opphengt på en fjær, blir tyngdekraften rettet langs lastens bevegelseslinje. I likevektsposisjonen strekkes fjæren en mengde x 0 lik

Derfor kan Newtons andre lov for en belastning på en fjær skrives som

Ligning (*) kalles ligning av frie vibrasjoner . Det er verdt å merke seg at fysiske egenskaper oscillerende system bestemme bare egenfrekvensen til svingninger ω 0 eller perioden T . Parametre for oscillasjonsprosessen som amplitude x m og startfasen φ 0 bestemmes av måten systemet ble brakt ut av likevekt på i det første øyeblikket.

Hvis for eksempel lasten ble forskjøvet fra likevektsposisjonen med en avstand Δ l og deretter på et tidspunkt t= 0 frigitt uten starthastighet, da x m = Δ l, φ 0 = 0.

Hvis lasten, som var i likevektsposisjon, ble gitt en starthastighet ± υ 0 ved hjelp av et skarpt trykk, så

Altså amplituden x m frie oscillasjoner og dens startfase φ 0 bestemmes Innledende forhold .

Det finnes mange typer mekaniske oscillerende systemer som bruker elastiske deformasjonskrefter. I fig. Figur 2.2.2 viser vinkelanalogen til en lineær harmonisk oscillator. En horisontalt plassert skive henger på en elastisk tråd festet til massesenteret. Når skiven roteres gjennom en vinkel θ, oppstår et kraftmoment M kontroll av elastisk torsjonsdeformasjon:

Hvor Jeg = Jeg C er treghetsmomentet til skiven i forhold til aksen, som går gjennom massesenteret, ε er vinkelakselerasjonen.

I analogi med en belastning på en fjær kan du få:

Gratis vibrasjoner. Matematikkpendel

Matematisk pendel kalles en liten kropp hengt opp på en tynn uuttrekkbar tråd, hvis masse er ubetydelig sammenlignet med kroppens masse. I likevektsposisjon, når pendelen henger i lodd, balanseres tyngdekraften av trådens spenningskraft. Når pendelen avviker fra likevektsposisjonen med en viss vinkel φ, vises en tangentiell tyngdekraftskomponent F τ = - mg sin φ (Fig. 2.3.1). Minustegnet i denne formelen betyr at den tangentielle komponenten er rettet i retning motsatt av pendelens avbøyning.

Hvis vi betegner med x lineær forskyvning av pendelen fra likevektsposisjonen langs en bue av en sirkel med radius l, da vil dens vinkelforskyvning være lik φ = x / l. Newtons andre lov, skrevet for projeksjonene av akselerasjon og kraftvektorer på retningen til tangenten, gir:

Dette forholdet viser at en matematisk pendel er et kompleks ikke-lineær systemet, siden kraften som har en tendens til å returnere pendelen til likevektsposisjonen ikke er proporsjonal med forskyvningen x, A

Bare i tilfelle små svingninger, når ca kan erstattes av en matematisk pendel er en harmonisk oscillator, det vil si et system som er i stand til å utføre harmoniske svingninger. I praksis er denne tilnærmingen gyldig for vinkler i størrelsesorden 15-20°; i dette tilfellet avviker verdien ikke med mer enn 2 %. Svingningene til en pendel ved store amplituder er ikke harmoniske.

For små svingninger av en matematisk pendel er Newtons andre lov skrevet i formen

Denne formelen uttrykker naturlig frekvens av små svingninger av en matematisk pendel .

Derfor,

Ethvert legeme montert på en horisontal rotasjonsakse er i stand til frie svingninger i et gravitasjonsfelt og er derfor også en pendel. En slik pendel kalles vanligvis fysisk (Fig. 2.3.2). Den skiller seg fra den matematiske bare i fordelingen av masser. I en stabil likevektsposisjon, massesenteret C fysisk pendel er plassert under rotasjonsaksen O på en vertikal som går gjennom aksen. Når pendelen avbøyes med en vinkel φ, oppstår et tyngdemoment som har en tendens til å returnere pendelen til likevektsposisjonen:

og Newtons andre lov for en fysisk pendel har formen (se §1.23)

Her ω 0 - naturlig frekvens av små oscillasjoner av en fysisk pendel .

Derfor,

Derfor kan ligningen som uttrykker Newtons andre lov for en fysisk pendel skrives i formen

Til slutt, for den sirkulære frekvensen ω 0 av frie oscillasjoner av en fysisk pendel, oppnås følgende uttrykk:

Energiomdannelser under frie mekaniske vibrasjoner

Når gratis mekaniske vibrasjoner kinetiske og potensielle energier endres med jevne mellomrom. Ved det maksimale avviket til et legeme fra dets likevektsposisjon, forsvinner dets hastighet, og derfor dens kinetiske energi. I denne posisjonen når den potensielle energien til den oscillerende kroppen maksimal verdi. For en belastning på en fjær er potensiell energi energien til elastisk deformasjon av fjæren. For en matematisk pendel er dette energien i jordens gravitasjonsfelt.

Når et legeme i sin bevegelse passerer gjennom likevektsposisjonen, er hastigheten maksimal. Kroppen overskrider likevektsposisjonen i henhold til treghetsloven. I dette øyeblikket har den maksimal kinetisk og minimal potensiell energi. En økning i kinetisk energi oppstår på grunn av en reduksjon i potensiell energi. Med ytterligere bevegelse begynner potensiell energi å øke på grunn av en reduksjon i kinetisk energi, etc.

Under harmoniske svingninger oppstår således en periodisk transformasjon av kinetisk energi til potensiell energi og omvendt.

Hvis det ikke er friksjon i det oscillerende systemet, forblir den totale mekaniske energien under frie oscillasjoner uendret.

For fjærbelastning(se §2.2):

Under reelle forhold er ethvert oscillerende system under påvirkning av friksjonskrefter (motstand). I dette tilfellet omdannes en del av den mekaniske energien til indre energi termisk bevegelse atomer og molekyler, og vibrasjoner blir falmer (Fig. 2.4.2).

Hastigheten som vibrasjonene avtar med avhenger av størrelsen på friksjonskreftene. Tidsintervall τ hvor amplituden til oscillasjonene avtar i e≈ 2,7 ganger, kalt forfallstid .

Frekvensen av frie oscillasjoner avhenger av hastigheten som oscillasjonene avtar. Når friksjonskreftene øker, avtar egenfrekvensen. Endringen i egenfrekvensen blir imidlertid merkbar bare ved tilstrekkelig store friksjonskrefter, når de naturlige vibrasjonene raskt avtar.

En viktig egenskap ved et oscillerende system som gjør fri dempet svingninger, er kvalitetsfaktor Q. Denne parameteren er definert som et tall N totale oscillasjoner utført av systemet i løpet av dempingstiden τ, multiplisert med π:

Kvalitetsfaktoren karakteriserer således det relative tapet av energi i oscillasjonssystemet på grunn av tilstedeværelsen av friksjon over et tidsintervall lik en svingeperiode.

Tvungede vibrasjoner. Resonans. Selvsvingninger

Oscillasjoner som oppstår under påvirkning av en ekstern periodisk kraft kalles tvunget.

Ekstern kraft utfører positivt arbeid og gir energiflyt til oscillerende systemet. Den tillater ikke vibrasjoner å dø ut, til tross for virkningen av friksjonskrefter.

En periodisk ytre kraft kan endres over tid i henhold til ulike lover. Av spesiell interesse er tilfellet når en ytre kraft, som varierer i henhold til en harmonisk lov med en frekvens ω, virker på et oscillerende system som er i stand til å utføre sine egne svingninger ved en viss frekvens ω 0.

Hvis frie oscillasjoner oppstår ved en frekvens ω 0, som bestemmes av parametrene til systemet, så oppstår alltid jevne tvangssvingninger kl. frekvens ω ytre kraft.

Etter at den ytre kraften begynner å virke på det oscillerende systemet, en tid Δ tå etablere tvangssvingninger. Etableringstiden er i størrelsesorden lik dempetiden τ for frie svingninger i oscilleringssystemet.

I det første øyeblikket er begge prosessene begeistret i det oscillerende systemet - tvangssvingninger ved frekvens ω og frie oscillasjoner ved egenfrekvens ω 0. Men frie vibrasjoner dempes på grunn av den uunngåelige tilstedeværelsen av friksjonskrefter. Derfor er det etter en tid bare stasjonære svingninger med frekvensen ω til den eksterne drivkraften igjen i svingesystemet.

La oss se på, som et eksempel, tvungne oscillasjoner av et legeme på en fjær (fig. 2.5.1). En ytre kraft påføres den frie enden av fjæren. Den tvinger den frie (venstre i fig. 2.5.1) enden av fjæren til å bevege seg i henhold til loven

Hvis venstre ende av fjæren er forskjøvet et stykke y, og den rette - på avstand x fra sin opprinnelige posisjon, når fjæren var udeformert, deretter forlengelsen av fjæren Δ l er lik:

I denne ligningen er kraften som virker på et legeme representert som to ledd. Det første leddet på høyre side er den elastiske kraften som har en tendens til å returnere kroppen til likevektsposisjon ( x= 0). Den andre termen er den eksterne periodiske effekten på kroppen. Dette begrepet kalles tvangskraft.

Ligningen som uttrykker Newtons andre lov for et legeme på en fjær i nærvær av en ekstern periodisk påvirkning kan gis en streng matematisk form, hvis vi tar i betraktning sammenhengen mellom kroppens akselerasjon og dens koordinat: Da vil bli skrevet i skjemaet

Ligning (**) tar ikke hensyn til virkningen av friksjonskrefter. I motsetning til ligninger av frie vibrasjoner(*) (se §2.2) tvangssvingningsligning(**) inneholder to frekvenser - frekvensen ω 0 av frie oscillasjoner og frekvensen ω til drivkraften.

Steady-state tvangssvingninger av en last på en fjær forekommer med en frekvens ytre påvirkning i lov

x(t) = x mcos(ω t + θ).

Amplitude av tvungne oscillasjoner x m og startfasen θ avhenger av forholdet mellom frekvensene ω 0 og ω og av amplituden y m ytre kraft.

Ved svært lave frekvenser, når ω<< ω 0 , движение тела массой m, festet til høyre ende av fjæren, gjentar bevegelsen til venstre ende av fjæren. Hvori x(t) = y(t), og fjæren forblir praktisk talt udeformert. En ytre kraft påført venstre ende av fjæren fungerer ikke, siden modulen til denne kraften ved ω<< ω 0 стремится к нулю.

Hvis frekvensen ω til den ytre kraften nærmer seg egenfrekvensen ω 0, oppstår en kraftig økning i amplituden til tvangssvingninger. Dette fenomenet kalles resonans . Amplitudeavhengighet x m tvangssvingninger fra frekvensen ω av drivkraften kalles resonanskarakteristikk eller resonanskurve(Fig. 2.5.2).

Ved resonans, amplituden x m svingninger av lasten kan være mange ganger større enn amplituden y m vibrasjoner av den frie (venstre) enden av fjæren forårsaket av ytre påvirkning. I fravær av friksjon bør amplituden til tvungne oscillasjoner under resonans øke uten grense. Under reelle forhold bestemmes amplituden til tvangssvingninger i stabil tilstand av tilstanden: arbeidet til en ekstern kraft under oscillasjonsperioden må være lik tapet av mekanisk energi i løpet av samme tid på grunn av friksjon. Jo mindre friksjon (dvs. jo høyere kvalitetsfaktor Q oscillerende system), jo større amplitude av tvungne oscillasjoner ved resonans.

I oscillerende systemer med ikke særlig høy kvalitetsfaktor (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.

Resonansfenomenet kan forårsake ødeleggelse av broer, bygninger og andre strukturer hvis de naturlige frekvensene til svingningene deres faller sammen med frekvensen til en periodisk virkende kraft, som for eksempel oppstår på grunn av rotasjonen av en ubalansert motor.

Tvungen vibrasjoner er udempet svingninger. De uunngåelige energitapene på grunn av friksjon kompenseres ved tilførsel av energi fra en ekstern kilde med periodisk virkende kraft. Det er systemer der udempede oscillasjoner ikke oppstår på grunn av periodiske ytre påvirkninger, men som et resultat av slike systemers evne til å regulere tilførselen av energi fra en konstant kilde. Slike systemer kalles selvsvingende, og prosessen med udempede oscillasjoner i slike systemer er selvsvingninger . I et selvoscillerende system kan tre karakteristiske elementer skilles - et oscillerende system, en energikilde og en tilbakemeldingsenhet mellom oscillerende systemet og kilden. Ethvert mekanisk system som er i stand til å utføre sine egne dempede svingninger (for eksempel pendelen til en veggklokke) kan brukes som et oscillerende system.

Energikilden kan være deformasjonsenergien til en fjær eller den potensielle energien til en last i et gravitasjonsfelt. En tilbakemeldingsenhet er en mekanisme som et selvoscillerende system regulerer strømmen av energi fra en kilde. I fig. 2.5.3 viser et diagram over samspillet mellom ulike elementer i et selvoscillerende system.

Et eksempel på et mekanisk selvsvingende system er en klokkemekanisme med anker fremdrift (fig. 2.5.4). Løpehjulet med skrå tenner er stivt festet til en tanntrommel, gjennom hvilken en kjede med en vekt kastes. I den øvre enden av pendelen er festet anker(anker) med to plater av solid materiale, bøyd i en sirkelbue med senter på pendelens akse. I håndklokker erstattes vekten med en fjær, og pendelen erstattes av en balanserer - et håndhjul koblet til en spiralfjær. Balanseren utfører torsjonsvibrasjoner rundt sin akse. Det oscillerende systemet i en klokke er en pendel eller balanserer.

Energikilden er en løftet vekt eller en sårfjær. Enheten som brukes til å gi tilbakemelding, er et anker, som gjør at løpehjulet kan snu en tann i en halv syklus. Tilbakemelding gis av samspillet mellom ankeret og løpehjulet. Med hver oscillasjon av pendelen skyver en tann på løpehjulet ankergaffelen i pendelens bevegelsesretning, og overfører til den en viss del av energien, som kompenserer for energitap på grunn av friksjon. Dermed overføres den potensielle energien til vekten (eller vridd fjær) gradvis, i separate deler, til pendelen.

Mekaniske selvsvingende systemer er utbredt i livet rundt oss og i teknologien. Selvsvingninger forekommer i dampmaskiner, forbrenningsmotorer, elektriske klokker, strenger av bøyde musikkinstrumenter, luftsøyler i rørene til blåseinstrumenter, stemmebånd når man snakker eller synger, etc.

Figur 2.5.4. Klokkemekanisme med pendel.

Når svingninger finner sted i skolen, er de illustrert med to enkleste eksempler: en vekt på en fjær og en matematisk pendel (det vil si en punktvekt på en uuttrekkbar tråd) i et gravitasjonsfelt. I begge tilfeller observeres en viktig regularitet i svingningene: deres periode avhenger ikke av amplituden - i det minste så lenge denne amplituden forblir liten - men bestemmes bare av de mekaniske egenskapene til systemet.

La oss nå kombinere disse to eksemplene og vurdere svingningene til en vekt suspendert på en uttrekkbar fjær i et gravitasjonsfelt (fig. 1).

For enkelhets skyld neglisjerer vi den tredje dimensjonen og antar at denne fjærpendelen svinger strengt i figurens plan. I dette tilfellet kan vekten (som også regnes som en punktvekt) bevege seg i et vertikalt plan i alle retninger, og ikke bare opp-ned eller venstre-høyre, som vist i fig. 2. Men hvis vi igjen begrenser oss til bare små avvik fra likevektsposisjonen, så skjer horisontale og vertikale svingninger nesten uavhengig av hverandre, med sine egne perioder Tx Og T y.

Det ser ut til at siden disse svingningene er bestemt av helt forskjellige krefter og egenskaper til systemet, kan periodene deres være helt vilkårlige, på ingen måte relatert til hverandre. Det viser seg - nei!

Oppgave

Bevise at i en slik pendel er perioden med horisontale oscillasjoner alltid større enn perioden med vertikale: T x > T y.

Clue

Problemet kan til å begynne med overraske deg ved at det virker som ingenting er gitt, men noe må bevises. Men det er ikke noe galt med det. Når en oppgave er formulert på denne måten, betyr det at du kan introdusere for deg selv noen notasjoner du trenger, beregne med dem hva som kreves, og så komme til en konklusjon som allerede er er ikke avhengig fra disse verdiene. Gjør dette for denne oppgaven. Ta formlene for svingeperiodene, tenk på hvilke mengder de inkluderer, og sammenlign de to periodene med hverandre, del på hverandre.

Løsning

Periode med oscillasjon av en masse bob m på en stivningsfjær k og lengde L 0 er

Denne formelen endres ikke selv om vekten er suspendert i et gravitasjonsfelt med fritt fallakselerasjon g. Selvfølgelig vil likevektsposisjonen til vekten skifte nedover med en høyde Δ L = mg/k- det er med denne forlengelsen av fjæren at den elastiske kraften kompenserer for tyngdekraften. Men perioden med vertikale svingninger i forhold til denne nye likevektsposisjonen med den strakte fjæren vil forbli den samme.

Perioden med horisontale oscillasjoner til en strukket pendel uttrykkes i form av tyngdeakselerasjonen g og ham full lengde L = L 0 +Δ L:

Det er takket være den ekstra strekkingen i gravitasjonsfeltet at vi finner ut det

Det er løsningen.

Etterord

Til tross for sin tilsynelatende enkelhet, er en pendel på en fjær et system ganske rikt på fenomener. Dette er et av de enkleste eksemplene på et fint fenomen - Fermi-resonansen. Dette er hva det koker ned til: Generelt sett, hvis vekten på en eller annen måte trekkes tilbake og slippes, vil den svinge både vertikalt og horisontalt. Disse to typene vibrasjoner vil ganske enkelt overlappe hverandre og ikke forstyrre hverandre. Men hvis periodene med vertikale og horisontale svingninger er relatert av forholdet Tx = 2T y, så vil horisontale og vertikale vibrasjoner, som mot deres vilje, gradvis begynne å forvandle seg til hverandre, som i animasjonen til høyre. Vibrasjonsenergien vil så å si pumpes fra vertikale vibrasjoner til horisontale og omvendt.

Det ser slik ut: du drar vekten ned og slipper den. Først svinger den bare opp og ned, så begynner den av seg selv å svaie sidelengs, et øyeblikk blir svingningen nesten helt horisontal, for så å gå tilbake til vertikal igjen. Overraskende nok viser en strengt vertikal oscillasjon seg å være ustabil.

Forklaring på denne bemerkelsesverdige effekten, samt det magiske forholdet Tx:T y= 2:1, det er det. La oss betegne med x Og y vektens avvik fra likevektsposisjonen (akse y peker oppover). Med et slikt avvik øker den potensielle energien med mengden

Dette er en nøyaktig formel, den passer for alle avvik, store som små. Men hvis x Og y liten, betydelig mindre L, da er uttrykket omtrent lik

pluss andre termer som inneholder enda høyere grader av avvik. Mengder U y Og U x- dette er vanlige potensielle energier som vertikale og horisontale vibrasjoner oppnås fra. Og her er verdien uthevet i blått U xy er et spesielt tilsetningsstoff som genererer interaksjon mellom disse svingningene. Takket være denne lille interaksjonen påvirker vertikale vibrasjoner horisontale vibrasjoner og omvendt. Dette blir helt gjennomsiktig hvis du utfører beregningene videre og skriver vibrasjonsligningen horisontalt og vertikalt:

hvor notasjonen er introdusert

Uten det blå tilsetningsstoffet ville vi ha de vanlige uavhengige vertikale og horisontale oscillasjonene med frekvenser ωy Og ω x. Dette tillegget spiller en rolle tvangskraft, i tillegg rocker vibrasjonene. Hvis frekvensene ωy Og ω x er vilkårlige, så fører ikke denne lille kraften til noen vesentlig effekt. Men hvis forholdet holder ωy = 2ω x, oppstår resonans: drivkraften for begge typer oscillasjoner inneholder en komponent med samme frekvens som selve oscillasjonen. Som et resultat svinger denne kraften sakte men jevnt en type vibrasjon og undertrykker den andre. Slik flyter horisontale og vertikale vibrasjoner inn i hverandre.

Ytterligere skjønnheter oppstår hvis vi ærlig tar hensyn til den tredje dimensjonen i dette eksemplet. Vi vil anta at vekten kan komprimere og dekomprimere fjæren vertikalt og svinge som en pendel i to horisontale retninger. Så, når resonansbetingelsen er oppfylt, sett ovenfra, skriver vekten ut en stjerneformet bane, som for eksempel i fig. 3. Dette skjer fordi oscillasjonsplanet ikke forblir stasjonært, men roterer – men ikke jevnt, men som i hopp. Mens oscillasjonen går fra side til side, holder dette planet mer eller mindre, og rotasjonen skjer i løpet av den korte perioden når svingningen er nesten vertikal. Vi inviterer leserne til å tenke selv hva som er årsakene til denne oppførselen og hva som bestemmer rotasjonsvinkelen til flyet. Og de som ønsker å stupe hodestups inn i dette ganske dype problemet kan se gjennom artikkelen Stepwise Precession of the Resonant Swinging Spring, som ikke bare gir en detaljert analyse av problemet, men også snakker om dets historie og sammenhengen mellom dette problemet med andre grener av fysikk, spesielt med atomfysikk.