Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel. Eksempler på problemløsning
Tilfeldig variabel er en variabel som kan anta visse verdier avhengig av ulike omstendigheter, og i sin tur kalles en tilfeldig variabel diskret , hvis settet med verdiene er begrenset eller tellbart.
I tillegg til diskrete tilfeldige variabler, er det også kontinuerlige tilfeldige variabler.
La oss vurdere mer detaljert konseptet med en tilfeldig variabel. I praksis er det ofte mengder som kan anta visse verdier, men det er umulig å forutsi pålitelig hvilken verdi hver av dem vil ha i opplevelsen, fenomenet eller observasjonen som vurderes. For eksempel kan antallet gutter som blir født i Moskva neste dag variere. Det kan være lik null (ikke en eneste gutt vil bli født: alle jenter vil bli født eller det vil ikke være noen nyfødte i det hele tatt), en, to og så videre til et endelig antall n. Slike verdier inkluderer: massen av sukkerroerøtter på stedet, flyrekkevidden til et artilleriskall, antall defekte deler i en batch, og så videre. Vi vil kalle slike mengder tilfeldige. De karakteriserer alle mulige resultater av erfaring eller observasjon fra et kvantitativt synspunkt.
Eksempler på diskrete tilfeldige variabler med et begrenset antall verdier kan være antall barn født i løpet av dagen i et befolket område, antall busspassasjerer, antall passasjerer som transporteres med Moskva-metroen per dag, etc.
Antall verdier for en diskret tilfeldig variabel kan være et uendelig, men tellbart sett. Men i alle fall kan de nummereres i en eller annen rekkefølge, eller mer presist, en en-til-en-korrespondanse kan etableres mellom verdiene til en tilfeldig variabel og de naturlige tallene 1, 2, 3, ... , n.
Oppmerksomhet: et nytt, veldig viktig konsept i sannsynlighetsteori - distribusjonsloven
. La X kan godta n verdier: . Vi vil anta at de alle er forskjellige (ellers bør de samme kombineres) og ordnes i stigende rekkefølge. Å fullt ut karakterisere en diskret tilfeldig variabel ikke bare alle verdiene må spesifiseres, men også sannsynlighetene
, som den tilfeldige variabelen tar hver av verdiene med, dvs. 
.
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel en hvilken som helst regel (funksjon, tabell) kalles s(x), som lar deg finne sannsynlighetene for alle slags hendelser knyttet til en tilfeldig variabel (for eksempel sannsynligheten for at den er et eksempel på en verdi eller faller inn i et intervall).
Det er mest enkelt og praktisk å sette fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel i form av følgende tabell:
| Betydning | ... | |||
| Sannsynlighet | ... |
Denne tabellen kalles nær fordelingen av en diskret tilfeldig variabel. Den øverste linjen i distribusjonsserien viser i stigende rekkefølge alle mulige verdier av den diskrete tilfeldige variabelen (x), og den nederste linjen viser sannsynlighetene for disse verdiene ( s).
arrangementer 
er inkompatible og de eneste mulige: de danner et komplett system av hendelser. Derfor er summen av sannsynlighetene deres lik én:
.
Eksempel 1. Det ble arrangert loddtrekning i elevgruppen. To gjenstander verdt RUB 1000 er å hente. og en som koster 3000 rubler. Lag en distribusjonslov for mengden nettogevinster for en student som kjøpte en billett for 100 rubler. Totalt ble det solgt 50 billetter.
Løsning. Den tilfeldige variabelen vi er interessert i er X kan ta tre verdier: - 100 gni. (hvis studenten ikke vinner, men faktisk taper 100 rubler betalt for billetten), 900 rubler. og 2900 gni. (de faktiske gevinstene reduseres med 100 rubler - med kostnaden for billetten). Det første resultatet er favorisert 47 ganger av 50, det andre - 2 og det tredje - en. Derfor er sannsynlighetene deres: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel X ser ut som
| Vinnerbeløp | -100 | 900 | 2900 |
| Sannsynlighet | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel: konstruksjon
En distribusjonsserie kan bare konstrueres for en diskret tilfeldig variabel (for en ikke-diskret tilfeldig variabel kan den ikke konstrueres, hvis bare fordi settet med mulige verdier for en slik tilfeldig variabel er utellelig, kan de ikke listes opp øverst rad i tabellen).
Den mest generelle formen for distribusjonsloven, egnet for alle tilfeldige variabler (både diskrete og ikke-diskrete), er fordelingsfunksjonen.
Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel eller integrert funksjon kalt funksjon 
, som bestemmer sannsynligheten for at verdien av den tilfeldige variabelen X mindre enn eller lik grenseverdien X.
Fordelingsfunksjonen til en hvilken som helst diskret tilfeldig variabel er en diskontinuerlig trinnfunksjon, hvis hopp forekommer på punkter som tilsvarer mulige verdier av den tilfeldige variabelen og er lik sannsynlighetene for disse verdiene.
Eksempel 2. Diskret tilfeldig variabel X- antall poeng oppnådd når du kaster en terning. Beregn fordelingsfunksjonen.
Løsning. Distribusjonsrekke av en diskret tilfeldig variabel X har formen:
| Betydning | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Sannsynlighet | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Distribusjonsfunksjon F(x) har 6 hopp like store som 1/6 (i figuren under).
Eksempel 3. Det er 6 hvite kuler og 4 svarte kuler i urnen. 3 kuler trekkes fra urnen. Antall hvite kuler blant de trukket kuler er en diskret tilfeldig variabel X. Lag en distribusjonslov tilsvarende den.
X kan ta på seg verdiene 0, 1, 2, 3. De tilsvarende sannsynlighetene kan lettest beregnes vha. sannsynlighetsmultiplikasjonsregel. Vi får følgende fordelingslov for en diskret tilfeldig variabel:
| Betydning | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Sannsynlighet | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Eksempel 4. Tegn en distribusjonslov for en diskret tilfeldig variabel - antall treff på skiven med fire skudd, hvis sannsynligheten for et treff med ett skudd er 0,1.
Løsning. Diskret tilfeldig variabel X kan ta fem ulike verdier: 1, 2, 3, 4, 5. Vi finner de tilsvarende sannsynlighetene vha. Bernoullis formel
. På
n = 4 ,
s = 1,1 ,
q = 1 - s = 0,9 ,
m = 0, 1, 2, 3, 4
vi får
Følgelig er fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X ser ut som
Hvis sannsynlighetene for verdiene til en diskret tilfeldig variabel kan bestemmes ved hjelp av Bernoulli-formelen, har den tilfeldige variabelen binomial fordeling .
Hvis antallet forsøk er stort nok, så er sannsynligheten for at i disse forsøkene hendelsen av interesse vil inntreffe m ganger, adlyder loven Giftfordeling .
Fordelingsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel: beregning
For å beregne fordelingsfunksjonen til en diskret tilfeldig variabel F(X), er det nødvendig å legge sammen sannsynlighetene for alle de verdiene som er mindre enn eller lik grenseverdien X.
Eksempel 5. Tabellen viser avhengigheten av antall oppløste ekteskap i løpet av året av ekteskapets varighet. Finn sannsynligheten for at neste skilte ekteskap varte mindre enn eller lik 5 år.
| Ekteskapets varighet (år) | Antall | Sannsynlighet | F(x) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 eller flere | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Total | 6010 | 1 |
Løsning. Sannsynlighetene beregnes ved å dele antall tilsvarende oppløste ekteskap med det totale antallet 6010. Sannsynligheten for at neste oppløste ekteskap varte i 5 år er 0,056. Sannsynligheten for at varigheten av neste skilte ekteskap er mindre enn eller lik 5 år er 0,186. Vi fikk det ved å legge til verdien F(x) for ekteskap med en varighet på 4 år inklusive, sannsynligheten for ekteskap med en varighet på 5 år.
Forholdet mellom fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel og den matematiske forventningen og spredningen
Ofte er ikke alle verdier av en diskret tilfeldig variabel kjent, men noen verdier eller sannsynligheter fra serien er kjent, samt matematisk forventning og (eller) varians av en tilfeldig variabel, som en egen leksjon er viet.
La oss presentere her noen formler fra denne leksjonen som kan hjelpe når du skal utarbeide distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel og se på eksempler på å løse slike problemer.
Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er summen av produktene av alle dens mulige verdier og sannsynlighetene for disse verdiene:
(1)
Formelen for variansen til en diskret tilfeldig variabel per definisjon er:
Ofte er følgende spredningsformel mer praktisk for beregninger:
, (2)
Hvor 
.
Eksempel 6. Diskret tilfeldig variabel X kan bare ta to verdier. Det tar en mindre verdi med sannsynlighet s= 0,6. Finn fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X, hvis det er kjent at dens matematiske forventning og varians er .
Løsning. Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel får en større verdi x2 , er lik 1 − 0,6 = 4. Ved å bruke formel (1) for matematisk forventning, lager vi en ligning der de ukjente er verdiene til vår diskrete tilfeldige variabel:
Ved å bruke dispersjonsformel (2) lager vi en annen ligning der de ukjente også er verdiene til en diskret tilfeldig variabel:
Et system med to oppnådde ligninger
løses ved substitusjonsmetode. Fra den første ligningen får vi
Ved å erstatte dette uttrykket i den andre ligningen, får vi etter enkle transformasjoner kvadratisk ligning
,
som har to røtter: 7/5 og −1. Den første roten oppfyller ikke betingelsene for problemet, siden x2 < x 1 . Dermed verdiene som en diskret tilfeldig variabel kan ta X i henhold til betingelsene i vårt eksempel, er like x1 = −1 Og x2 = 2 .
En distribusjonsserie av en diskret tilfeldig variabel er gitt. Finn den manglende sannsynligheten og plott fordelingsfunksjonen. Beregn den matematiske forventningen og variansen til denne mengden.
Den tilfeldige variabelen X tar bare fire verdier: -4, -3, 1 og 2. Den tar hver av disse verdiene med en viss sannsynlighet. Siden summen av alle sannsynligheter må være lik 1, er den manglende sannsynligheten lik:
0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,
La oss komponere fordelingsfunksjonen til den tilfeldige variabelen X. Det er kjent at fordelingsfunksjonen , da:
Derfor,
La oss plotte funksjonen F(x) .
Den matematiske forventningen til en diskret tilfeldig variabel er lik summen av produktene av verdien av den tilfeldige variabelen og den tilsvarende sannsynligheten, dvs.
Vi finner variansen til en diskret tilfeldig variabel ved å bruke formelen:
APPLIKASJON
Elementer av kombinatorikk Her: - faktorial av et tall |
||||||||||
Handlinger på hendelserEn hendelse er ethvert faktum som kan eller ikke kan skje som et resultat av en opplevelse. Slå sammen hendelser EN Og I- denne hendelsen MED som består av en opptreden eller hendelse EN eller hendelser I, eller begge hendelsene samtidig. Betegnelse: Kryssende hendelser EN Og I- denne hendelsen MED, som består av samtidig forekomst av begge hendelsene. Betegnelse:  |
||||||||||
Klassisk definisjon av sannsynlighetSannsynlighet for hendelse EN er forholdet mellom antall eksperimenter
|
||||||||||
Formel for sannsynlighetsmultiplikasjonSannsynlighet for hendelse
Hvis hendelser A og B er uavhengige (forekomsten av den ene påvirker ikke forekomsten av den andre), så er sannsynligheten for hendelsen lik: |
||||||||||
Formel for å legge til sannsynligheterSannsynlighet for hendelse Sannsynlighet for hendelse EN, Sannsynlighet for hendelse I,
Hvis hendelser A og B er inkompatible (kan ikke skje samtidig), er sannsynligheten for hendelsen lik: |
||||||||||
Total sannsynlighetsformelLa arrangementet EN kan skje samtidig med en av hendelsene |
||||||||||
Bernoulli-oppleggLa det være n uavhengige tester. Sannsynlighet for at en hendelse inntreffer (suksess). EN i hver av dem er konstant og lik s, sannsynligheten for feil (dvs. at hendelsen ikke inntreffer EN) q = 1 - s. Deretter sannsynligheten for forekomst k suksess i n tester kan bli funnet ved å bruke Bernoullis formel:
Mest sannsynlig antall suksesser |
||||||||||
Tilfeldige variablerdiskret kontinuerlig (for eksempel antall jenter i en familie med 5 barn) (for eksempel når vannkokeren fungerer som den skal) Numeriske kjennetegn ved diskrete tilfeldige variablerLa en diskret mengde gis av en distribusjonsserie:
, , …, - verdier av en tilfeldig variabel X; , , …, er de tilsvarende sannsynlighetsverdiene. DistribusjonsfunksjonDistribusjonsfunksjon av en tilfeldig variabel X er en funksjon definert på hele tallinjen og lik sannsynligheten for at X det blir mindre X: |
;
;
, gunstig for forekomsten av en hendelse EN, til det totale antallet eksperimenter 
:
kan bli funnet ved hjelp av formelen:
- sannsynlighet for hendelse EN,
- sannsynlighet for hendelse I,
- sannsynlighet for hendelse I forutsatt at arrangementet EN har allerede skjedd.
kan bli funnet ved hjelp av formelen:
- sannsynlighet for samtidig forekomst av hendelser EN Og I.
,
,
…,
– la oss kalle dem hypoteser. Også kjent 
- sannsynlighet for henrettelse Jeg-th hypotese og 
- sannsynlighet for forekomst av hendelse A ved utførelse Jeg-te hypotese. Deretter sannsynligheten for hendelsen EN kan bli funnet med formelen:
i Bernoulli-skjemaet er dette antallet forekomster av en bestemt hendelse som har høyest sannsynlighet. Kan bli funnet ved hjelp av formelen:
Spørsmål til eksamen
Begivenhet. Operasjoner på tilfeldige hendelser.
Konseptet med sannsynlighet for en hendelse.
Regler for å addere og multiplisere sannsynligheter. Betingede sannsynligheter.
Total sannsynlighetsformel. Bayes formel.
Bernoulli-opplegg.
Tilfeldig variabel, dens fordelingsfunksjon og distribusjonsserie.
Grunnleggende egenskaper ved distribusjonsfunksjonen.
Forventet verdi. Egenskaper for matematisk forventning.
Spredning. Egenskaper for spredning.
Sannsynlighetsfordelingstetthet av en endimensjonal tilfeldig variabel.
Typer fordelinger: uniform, eksponentiell, normal, binomial og Poisson-fordeling.
Lokale og integrerte teoremer fra Moivre-Laplace.
Lov og fordelingsfunksjon til et system med to tilfeldige variabler.
Distribusjonstetthet av et system med to tilfeldige variabler.
Betingede distribusjonslover, betinget matematisk forventning.
Avhengige og uavhengige tilfeldige variabler. Korrelasjonskoeffisient.
Prøve. Prøvebehandling. Polygon- og frekvenshistogram. Empirisk distribusjonsfunksjon.
Konseptet med å estimere distribusjonsparametere. Krav til vurdering. Konfidensintervall. Konstruksjon av intervaller for å estimere matematisk forventning og standardavvik.
Statistiske hypoteser. Samtykkekriterier.
Eksempler på å løse problemer om temaet "Tilfeldige variabler".
Oppgave 1 . Det er utstedt 100 lodd til lotteriet. En gevinst på 50 USD ble trukket. og ti gevinster på 10 USD hver. Finn fordelingsloven av verdien X - kostnaden for mulige gevinster.
Løsning. Mulige verdier for X: x 1 = 0; x 2 = 10 og x 3 = 50. Siden det er 89 "tomme" billetter, så s 1 = 0,89, sannsynlighet for å vinne $10. (10 billetter) – s 2 = 0,10 og for å vinne 50 USD -s 3 = 0,01. Dermed:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Enkel å kontrollere:.
Oppgave 2. Sannsynligheten for at kjøper har lest produktannonsen på forhånd er 0,6 (p = 0,6). Selektiv kontroll av kvaliteten på annonseringen utføres ved å kartlegge kjøpere før den første som har studert reklamen på forhånd. Lag en distribusjonsserie for antall undersøkte kjøpere.
Løsning. I henhold til forholdene for problemet, p = 0,6. Fra: q=1 -p = 0,4. Ved å erstatte disse verdiene får vi: og konstruer en distribusjonsserie:
|
p i |
0,24 |
Oppgave 3. En datamaskin består av tre uavhengig fungerende elementer: systemenheten, skjermen og tastaturet. Med en enkelt kraftig økning i spenningen er sannsynligheten for feil på hvert element 0,1. Basert på Bernoulli-fordelingen, utarbeide en distribusjonslov for antall feilede elementer under en strømstøt i nettverket.
Løsning. La oss vurdere Bernoulli distribusjon(eller binomial): sannsynligheten for at n tester, vil hendelse A vises nøyaktig k en gang: 
, eller:
|
q n |
s n |
I La oss gå tilbake til oppgaven.
Mulige verdier for X (antall feil):
x 0 =0 – ingen av elementene mislyktes;
x 1 =1 – svikt i ett element;
x 2 =2 – svikt i to elementer;
x 3 =3 – svikt i alle elementer.
Siden, etter betingelse, p = 0,1, så er q = 1 – p = 0,9. Ved å bruke Bernoullis formel får vi
, ,
, .
Kontroll: .
Derfor er den påkrevde distribusjonsloven:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Oppgave 4. 5000 runder produsert. Sannsynlighet for at en patron er defekt 
. Hva er sannsynligheten for at det vil være nøyaktig 3 defekte patroner i hele batchen?
Løsning. Aktuelt Giftfordeling: Denne fordelingen brukes til å bestemme sannsynligheten for at for veldig stor
antall tester (massetester), i hver av disse er sannsynligheten for hendelse A svært liten, hendelse A vil inntreffe k ganger: 
, Hvor .
Her er n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Vi finner da ønsket sannsynlighet: 
.
Oppgave 5. Ved avfyring til første treff med treffsannsynlighet s = 0,6 når du skyter, må du finne sannsynligheten for at et treff vil skje på det tredje skuddet.
Løsning. La oss bruke en geometrisk fordeling: la uavhengige forsøk utføres, der hver hendelse A har en sannsynlighet for forekomst p (og ikke-forekomst q = 1 – p). Testen avsluttes så snart hendelse A inntreffer.
Under slike forhold bestemmes sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe på den kth prøven av formelen: . Her er p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Derfor, .
Oppgave 6. La fordelingsloven til en tilfeldig variabel X gis:
Finn den matematiske forventningen.
Løsning. .
Merk at den sannsynlige betydningen av den matematiske forventningen er gjennomsnittsverdien av en tilfeldig variabel.
Oppgave 7. Finn variansen til den tilfeldige variabelen X med følgende distribusjonslov:
Løsning. Her .
Fordelingslov for kvadratverdien av X 2 :
|
X 2 |
|||
Nødvendig avvik: .
Dispersjon karakteriserer målet for avvik (spredning) til en tilfeldig variabel fra dens matematiske forventning.
Oppgave 8. La en tilfeldig variabel gis ved fordelingen:
|
10m |
|||
Finn dens numeriske egenskaper.
Løsning: m, m 2 ,
M 2 , m.
Om tilfeldig variabel X kan vi si enten: dens matematiske forventning er 6,4 m med en varians på 13,04 m 2 , eller – dens matematiske forventning er 6,4 m med et avvik på m. Den andre formuleringen er åpenbart klarere.
Oppgave 9.
Tilfeldig verdi X gitt av distribusjonsfunksjonen: 
.
Finn sannsynligheten for at verdien X som et resultat av testen vil ta verdien i intervallet 
.
Løsning. Sannsynligheten for at X vil ta en verdi fra et gitt intervall er lik inkrementet til integralfunksjonen i dette intervallet, dvs. . I vårt tilfelle og derfor
.
Oppgave 10. Diskret tilfeldig variabel X er gitt av distribusjonsloven:
Finn fordelingsfunksjonen F(x ) og plott det.
Løsning. Siden distribusjonsfunksjonen,
Til 
, Det
kl ;
kl ;
kl ;
kl ;
Relevant diagram:
Oppgave 11. Kontinuerlig tilfeldig variabel X gitt av: 
.
Finn treffsannsynligheten X per intervall
Løsning. Merk at dette er et spesialtilfelle av eksponentialfordelingsloven.
La oss bruke formelen: 
.
Oppgave 12. Finn de numeriske egenskapene til en diskret tilfeldig variabel X spesifisert av distribusjonsloven:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
– Laplace-funksjon.På denne siden har vi samlet eksempler på pedagogiske løsninger problemer med diskrete tilfeldige variabler. Dette er et ganske omfattende avsnitt: forskjellige distribusjonslover (binomial, geometrisk, hypergeometrisk, Poisson og andre), egenskaper og numeriske egenskaper studeres; for hver distribusjonsserie kan grafiske representasjoner bygges: polygon (polygon) av sannsynligheter, fordelingsfunksjon.
Nedenfor finner du eksempler på avgjørelser om diskrete tilfeldige variabler, der du må anvende kunnskap fra tidligere seksjoner av sannsynlighetsteori for å utarbeide en fordelingslov, og deretter beregne matematisk forventning, spredning, standardavvik, konstruere en fordelingsfunksjon, svare spørsmål om DSV osv. P.
Eksempler på populære lover om sannsynlighetsfordeling:
Kalkulatorer for DSV-egenskaper
- Beregning av matematisk forventning, spredning og standardavvik for DSV.
Løste problemer om DSV
Fordelinger nær geometriske
Oppgave 1. Det er 4 trafikklys langs kjøretøyets bane, som hver forbyr ytterligere bevegelse av kjøretøyet med en sannsynlighet på 0,5. Finn fordelingsserien for antall trafikklys som passerte bilen før første stopp. Hva er den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen?
Oppgave 2. Jegeren skyter på viltet til første treff, men klarer ikke å skyte mer enn fire skudd. Lag en fordelingslov for antall bom hvis sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,7. Finn variansen til denne tilfeldige variabelen.
Oppgave 3. Skytteren, som har 3 patroner, skyter mot målet til det første treffet. Treffsannsynlighetene for det første, andre og tredje skuddet er henholdsvis 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $\xi$ - antall gjenværende kassetter. Kompiler en distribusjonsserie av en tilfeldig variabel, finn den matematiske forventningen, variansen, standardavviket til den tilfeldige variabelen, konstruer fordelingsfunksjonen til den tilfeldige variabelen, finn $P(|\xi-m| \le \sigma$.
Oppgave 4. Esken inneholder 7 standard og 3 defekte deler. De tar ut delene sekvensielt til standarden dukker opp, uten å returnere dem. $\xi$ er antall defekte deler som er hentet.
Tegn en distribusjonslov for en diskret tilfeldig variabel $\xi$, beregn dens matematiske forventning, varians, standardavvik, tegn en fordelingspolygon og en graf over fordelingsfunksjonen.
Oppgaver med selvstendige arrangementer
Oppgave 5. 3 studenter møtte til reeksamen i sannsynlighetsteori. Sannsynligheten for at den første personen vil bestå eksamen er 0,8, den andre - 0,7 og den tredje - 0,9. Finn fordelingsserien til den tilfeldige variabelen $\xi$ av antall studenter som besto eksamen, plott fordelingsfunksjonen, finn $M(\xi), D(\xi)$.
Oppgave 6. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,8 og avtar for hvert skudd med 0,1. Lag en fordelingslov for antall treff på en skive hvis tre skudd avfyres. Finn forventet verdi, varians og S.K.O. denne tilfeldige variabelen. Tegn en graf over fordelingsfunksjonen.
Oppgave 7. Det avfyres 4 skudd mot skiven. Sannsynligheten for et treff øker som følger: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Finn fordelingsloven til den tilfeldige variabelen $X$ - antall treff. Finn sannsynligheten for at $X \ge 1$.
Oppgave 8. To symmetriske mynter kastes og antall våpenskjold på begge oversider av myntene telles. Vi vurderer en diskret tilfeldig variabel $X$ - antall våpenskjold på begge myntene. Skriv ned fordelingsloven til den tilfeldige variabelen $X$, finn dens matematiske forventning.
Andre problemer og distribusjonslover for DSV
Oppgave 9. To basketballspillere slår tre skudd inn i kurven. Sannsynligheten for å treffe for den første basketballspilleren er 0,6, for den andre - 0,7. La $X$ være forskjellen mellom antall vellykkede skudd til første og andre basketballspiller. Finn distribusjonsserien, modusen og distribusjonsfunksjonen til den tilfeldige variabelen $X$. Konstruer en fordelingspolygon og en graf av fordelingsfunksjonen. Beregn forventet verdi, varians og standardavvik. Finn sannsynligheten for hendelsen $(-2 \lt X \le 1)$.
Oppgave 10. Antall ikke-residente skip som ankommer daglig for lasting i en bestemt havn er en tilfeldig variabel $X$, gitt som følger:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) sørg for at distribusjonsserien er spesifisert,
B) finn fordelingsfunksjonen til den tilfeldige variabelen $X$,
C) hvis mer enn tre skip ankommer på en gitt dag, påtar havnen ansvar for kostnader som følge av behov for å ansette flere sjåfører og lastere. Hva er sannsynligheten for at havnen får merkostnader?
D) finn den matematiske forventningen, variansen og standardavviket til den tilfeldige variabelen $X$.
Oppgave 11. Det kastes 4 terninger. Finn den matematiske forventningen til summen av antall poeng som vil vises på alle sider.
Oppgave 12. De to bytter på å kaste en mynt til våpenskjoldet først dukker opp. Spilleren som fikk våpenskjoldet mottar 1 rubel fra den andre spilleren. Finn den matematiske forventningen om å vinne for hver spiller.
Kapittel 1. Diskret tilfeldig variabel
§ 1. Begreper av en tilfeldig variabel.
Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel.
Definisjon : Tilfeldig er en størrelse som, som et resultat av testing, tar bare én verdi ut av et mulig sett med verdiene, ukjent på forhånd og avhengig av tilfeldige årsaker.
Det finnes to typer tilfeldige variabler: diskrete og kontinuerlige.
Definisjon : Den tilfeldige variabelen X kalles diskret (diskontinuerlig) hvis settet med verdiene er endelig eller uendelig, men tellbar.
Med andre ord, de mulige verdiene til en diskret tilfeldig variabel kan omnummereres.
En tilfeldig variabel kan beskrives ved hjelp av dens fordelingslov.
Definisjon : Fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel kall samsvaret mellom mulige verdier av en tilfeldig variabel og deres sannsynligheter.
Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X kan spesifiseres i form av en tabell, i den første raden hvor alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen er angitt i stigende rekkefølge, og i den andre raden de tilsvarende sannsynlighetene for disse verdier, dvs.
hvor р1+ р2+...+ рn=1
En slik tabell kalles en distribusjonsserie av en diskret tilfeldig variabel.
Hvis settet med mulige verdier for en tilfeldig variabel er uendelig, konvergerer serien p1+ p2+…+ pn+… og summen er lik 1.
Fordelingsloven til en diskret tilfeldig variabel X kan avbildes grafisk, for hvilken en brutt linje er konstruert i et rektangulært koordinatsystem, som forbinder sekvensielt punkter med koordinater (xi; pi), i=1,2,...n. Den resulterende linjen kalles distribusjonspolygon (Figur 1).
Organisk kjemi" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organisk kjemi er henholdsvis 0,7 og 0,8. Lag en fordelingslov for tilfeldig variabel X - antall eksamener som studenten skal bestå.
Løsning. Den betraktede tilfeldige variabelen X som et resultat av eksamen kan ha en av følgende verdier: x1=0, x2=1, x3=2.
La oss finne sannsynligheten for disse verdiene. La oss betegne hendelsene:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Så fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X er gitt av tabellen:
Kontroll: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Fordelingsfunksjon
En fullstendig beskrivelse av en tilfeldig variabel er også gitt av fordelingsfunksjonen.
Definisjon: Distribusjonsfunksjon av en diskret tilfeldig variabel X kalles en funksjon F(x), som bestemmer for hver verdi x sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ha en verdi mindre enn x:
F(x)=P(X<х)
Geometrisk tolkes fordelingsfunksjonen som sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen X vil ta verdien som er representert på tallinjen av et punkt som ligger til venstre for punkt x.
1)0≤ F(x)≤1;
2) F(x) er en ikke-avtagende funksjon på (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuerlig til venstre ved punktene x= xi (i=1,2,...n) og kontinuerlig ved alle andre punkter;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Hvis distribusjonsloven til en diskret tilfeldig variabel X er gitt i form av en tabell:
da bestemmes fordelingsfunksjonen F(x) av formelen:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 for x≤ x1,
р1 ved x1< х≤ x2,
F(x)= р1 + р2 ved x2< х≤ х3
1 for x>xn.
Grafen er vist i fig. 2:
§ 3. Numeriske kjennetegn ved en diskret tilfeldig variabel.
En av de viktige numeriske egenskapene er den matematiske forventningen.
Definisjon: Matematisk forventning M(X) diskret tilfeldig variabel X er summen av produktene av alle dens verdier og deres tilsvarende sannsynligheter:
M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+...+ xnрn
Den matematiske forventningen fungerer som en karakteristikk av gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel.
Egenskaper for matematisk forventning:
1)M(C)=C, hvor C er en konstant verdi;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), hvor X, Y er uavhengige stokastiske variabler;
5)M(X±C)=M(X)±C, hvor C er en konstant verdi;
For å karakterisere spredningsgraden av mulige verdier av en diskret tilfeldig variabel rundt middelverdien, brukes spredning.
Definisjon: Forskjell D ( X ) tilfeldig variabel X er den matematiske forventningen til det kvadrerte avviket til den tilfeldige variabelen fra dens matematiske forventning:
Dispersjonsegenskaper:
1)D(C)=0, hvor C er en konstant verdi;
2)D(X)>0, hvor X er en tilfeldig variabel;
3)D(C X)=C2D(X), hvor C er en konstant verdi;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), hvor X, Y er uavhengige tilfeldige variabler;
For å beregne varians er det ofte praktisk å bruke formelen:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
hvor M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
Variansen D(X) har dimensjonen til en kvadratisk tilfeldig variabel, noe som ikke alltid er praktisk. Derfor brukes verdien √D(X) også som en indikator på spredningen av mulige verdier av en tilfeldig variabel.
Definisjon: Standardavvik σ(X) tilfeldig variabel X kalles kvadratroten av variansen:
Oppgave nr. 2. Den diskrete tilfeldige variabelen X er spesifisert av distribusjonsloven:
Finn P2, fordelingsfunksjonen F(x) og plott grafen, samt M(X), D(X), σ(X).
Løsning: Siden summen av sannsynlighetene for mulige verdier av den tilfeldige variabelen X er lik 1, da
Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
La oss finne fordelingsfunksjonen F(x)=P(X Geometrisk kan denne likheten tolkes slik: F(x) er sannsynligheten for at den tilfeldige variabelen vil ta verdien som er representert på tallaksen ved punktet som ligger til venstre for punktet x. Hvis x≤-1, så F(x)=0, siden det ikke er en eneste verdi av denne tilfeldige variabelen på (-∞;x); Hvis -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Hvis 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) det er to verdier x1=-1 og x2=0; Hvis 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Hvis 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Hvis x>3, så F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, fordi fire verdier x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 faller inn i intervallet (-∞;x) og x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 ved x≤-1, 0,1 ved -1<х≤0, 0,2 ved 0<х≤1, F(x)= 0,5 ved 1<х≤2, 0,7 på 2<х≤3, 1 ved x>3 La oss representere funksjonen F(x) grafisk (fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. Binomialfordelingslov diskret tilfeldig variabel, Poissons lov. Definisjon: Binomial
kalles fordelingsloven for en diskret tilfeldig variabel X - antall forekomster av hendelse A i n uavhengige gjentatte forsøk, i hver av disse kan hendelse A inntreffe med sannsynlighet p eller ikke forekomme med sannsynlighet q = 1-p. Deretter beregnes P(X=m) - sannsynligheten for forekomst av hendelse A nøyaktig m ganger i n forsøk ved å bruke Bernoulli-formelen: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m Den matematiske forventningen, spredningen og standardavviket til en tilfeldig variabel X fordelt i henhold til en binær lov finnes henholdsvis ved å bruke formlene: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Sannsynligheten for hendelse A - "ruller ut en femmer" i hver prøveversjon er den samme og lik 1/6 , dvs. P(A)=p=1/6, så P(A)=1-p=q=5/6, hvor - "unnlatelse av å få A." Den tilfeldige variabelen X kan ha følgende verdier: 0;1;2;3. Vi finner sannsynligheten for hver av de mulige verdiene av X ved å bruke Bernoullis formel: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. At. fordelingsloven til den tilfeldige variabelen X har formen: Kontroll: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. La oss finne de numeriske egenskapene til den tilfeldige variabelen X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Oppgave nr. 4. En automatisk maskin stempler deler. Sannsynligheten for at en produsert del vil være defekt er 0,002. Finn sannsynligheten for at det blant 1000 utvalgte deler vil være: a) 5 defekte; b) minst én er defekt. Løsning:
Tallet n=1000 er stort, sannsynligheten for å produsere en defekt del p=0,002 er liten, og hendelsene som vurderes (delen viser seg å være defekt) er uavhengige, derfor holder Poisson-formelen: Рn(m)= e-
λ
λm La oss finne λ=np=1000 0,002=2. a) Finn sannsynligheten for at det vil være 5 defekte deler (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Finn sannsynligheten for at det vil være minst én defekt del. Hendelse A - "minst én av de valgte delene er defekt" er det motsatte av hendelsen - "alle valgte deler er ikke defekte." Derfor er P(A) = 1-P(). Derfor er den ønskede sannsynligheten lik: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1-e-2=1-0,13534≈0,865. Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid.
1.1
1.2.
Den spredte tilfeldige variabelen X er spesifisert av distribusjonsloven: Finn p4, fordelingsfunksjonen F(X) og plott grafen, samt M(X), D(X), σ(X). 1.3.
Det er 9 markører i boksen, hvorav 2 ikke lenger skriver. Ta 3 markører tilfeldig. Tilfeldig variabel X er antall skrivemarkører blant de som er tatt. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel. 1.4.
Det er 6 lærebøker tilfeldig ordnet på en bibliotekshylle, hvorav 4 er innbundet. Bibliotekaren tar 4 lærebøker tilfeldig. Tilfeldig variabel X er antall innbundne lærebøker blant de som er tatt. Tegn en fordelingslov for en tilfeldig variabel. 1.5.
Det er to oppgaver på billetten. Sannsynligheten for å løse det første problemet er 0,9, det andre er 0,7. Tilfeldig variabel X er antall riktig løste problemer i billetten. Tegn en fordelingslov, beregn den matematiske forventningen og variansen til denne tilfeldige variabelen, og finn også fordelingsfunksjonen F(x) og bygg dens graf. 1.6.
Tre skyttere skyter mot et mål. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd er 0,5 for den første skytteren, 0,8 for den andre og 0,7 for den tredje. Tilfeldig variabel X er antall treff på skiven hvis skytterne skyter ett skudd om gangen. Finn fordelingsloven, M(X),D(X). 1.7.
En basketballspiller kaster ballen i kurven med en sannsynlighet for å treffe hvert skudd på 0,8. For hvert treff får han 10 poeng, og hvis han bommer, tildeles han ingen poeng. Lag en distribusjonslov for den tilfeldige variabelen X - antall poeng en basketballspiller får i 3 skudd. Finn M(X),D(X), samt sannsynligheten for at han får mer enn 10 poeng. 1.8.
Det skrives bokstaver på kortene, totalt 5 vokaler og 3 konsonanter. 3 kort velges tilfeldig, og hver gang det tatte kortet returneres. Tilfeldig variabel X er antall vokaler blant de som tas. Tegn en fordelingslov og finn M(X),D(X),σ(X). 1.9.
I gjennomsnitt, under 60 % av kontraktene, betaler forsikringsselskapet forsikringsbeløp i forbindelse med at en forsikringstilfelle inntreffer. Lag en fordelingslov for tilfeldig variabel X - antall kontrakter som forsikringsbeløpet ble betalt for blant fire tilfeldig utvalgte kontrakter. Finn de numeriske egenskapene til denne mengden. 1.10.
Radiostasjonen sender kallesignaler (ikke mer enn fire) med bestemte intervaller inntil toveiskommunikasjon er etablert. Sannsynligheten for å motta et svar på et kallesignal er 0,3. Tilfeldig variabel X er antallet kallesignaler som sendes. Tegn en fordelingslov og finn F(x). 1.11.
Det er 3 nøkler, hvorav kun en passer til låsen. Lag en lov for fordeling av tilfeldig variabel X-antall forsøk på å åpne låsen, dersom den prøvede nøkkelen ikke deltar i etterfølgende forsøk. Finn M(X),D(X). 1.12.
Påfølgende uavhengige tester av tre enheter utføres for pålitelighet. Hver påfølgende enhet testes bare hvis den forrige viste seg å være pålitelig. Sannsynligheten for å bestå testen for hver enhet er 0,9. Lag en distribusjonslov for den tilfeldige variabelen X-antall testede enheter. 1.13
.Diskret tilfeldig variabel X har tre mulige verdier: x1=1, x2, x3 og x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Den elektroniske enhetsblokken inneholder 100 identiske elementer. Sannsynligheten for svikt for hvert element i løpet av tiden T er 0,002. Elementene fungerer selvstendig. Finn sannsynligheten for at ikke mer enn to elementer vil svikte i løpet av tiden T. 1.15.
Læreboken ble utgitt i et opplag på 50 000 eksemplarer. Sannsynligheten for at læreboken er innbundet feil er 0,0002. Finn sannsynligheten for at opplaget inneholder: a) fire defekte bøker, b) mindre enn to defekte bøker. 1
.16.
Antall samtaler som ankommer PBX hvert minutt er fordelt i henhold til Poissons lov med parameteren λ=1,5. Finn sannsynligheten for at følgende kommer om et minutt: a) to samtaler; b) minst én samtale. 1.17.
Finn M(Z),D(Z) hvis Z=3X+Y. 1.18.
Lovene for distribusjon av to uavhengige tilfeldige variabler er gitt: Finn M(Z),D(Z) hvis Z=X+2Y. Svar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 ved x≤-2, 0,3 ved -2<х≤0, F(x)= 0,5 ved 0<х≤2, 0,9 på 2<х≤5, 1 ved x>5 0,3 ved -1<х≤0, 0,4 ved 0<х≤1, F(x)= 0,6 ved 1<х≤2, 0,7 på 2<х≤3, 1 ved x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 ved x≤0, 0,03 ved 0<х≤1, F(x)= 0,37 ved 1<х≤2, 1 for x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a)0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Kapittel 2. Kontinuerlig tilfeldig variabel
Definisjon: Kontinuerlige
er en mengde hvis alle mulige verdier fullstendig fyller et begrenset eller uendelig spenn av tallinjen. Åpenbart er antallet mulige verdier for en kontinuerlig tilfeldig variabel uendelig. En kontinuerlig tilfeldig variabel kan spesifiseres ved hjelp av en distribusjonsfunksjon. Definisjon: F distribusjonsfunksjon
en kontinuerlig tilfeldig variabel X kalles en funksjon F(x), som bestemmer for hver verdi xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Fordelingsfunksjonen kalles noen ganger den kumulative fordelingsfunksjonen. Egenskaper for distribusjonsfunksjonen:
1)1≤ F(x) ≤1 2) For en kontinuerlig tilfeldig variabel er fordelingsfunksjonen kontinuerlig på et hvilket som helst punkt og differensierbar overalt, unntatt kanskje på individuelle punkter. 3) Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel X faller inn i et av intervallene (a;b), [a;b], [a;b], er lik forskjellen mellom verdiene til funksjonen F(x) på punktene a og b, dvs. R(a)<Х 4) Sannsynligheten for at en kontinuerlig tilfeldig variabel X tar én separat verdi er 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Å spesifisere en kontinuerlig tilfeldig variabel ved hjelp av en distribusjonsfunksjon er ikke den eneste måten. La oss introdusere begrepet sannsynlighetsfordelingstetthet (fordelingstetthet). Definisjon
:
Sannsynlighetsfordelingstetthet
f
(
x
)
av en kontinuerlig tilfeldig variabel X er den deriverte av dens fordelingsfunksjon, dvs.: Sannsynlighetstetthetsfunksjonen kalles noen ganger eller differensialfordelingsloven. Grafen for sf(x) kalles sannsynlighetsfordelingskurve
.
Egenskaper for sannsynlighetstetthetsfordeling:
1) f(x) ≥0, på xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" høyde ="62 src="> 0 ved x≤2, f(x)= c(x-2) ved 2<х≤6, 0 for x>6. Finn: a) verdien av c; b) fordelingsfunksjon F(x) og plott den; c) P(3≤x<5) Løsning:
+
∞ a) Vi finner verdien av c fra normaliseringsbetingelsen: ∫ f(x)dx=1. Derfor -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x hvis 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 ved x≤2, F(x)= (x-2)2/16 ved 2<х≤6, 1 for x>6. Grafen til funksjonen F(x) er vist i fig. 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 ved x≤0, F(x)= (3 arktan x)/π ved 0<х≤√3, 1 for x>√3. Finn f(x) Løsning:
Siden f(x)= F’(x), så https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Alle egenskaper ved matematisk forventning og spredning, diskutert tidligere for spredte tilfeldige variabler, er også gyldige for kontinuerlige. Oppgave nr. 3. Den tilfeldige variabelen X er spesifisert av differensialfunksjonen f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemer for uavhengig løsning.
2.1.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert av fordelingsfunksjonen: 0 ved x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤ π/6, F(x)= - cos 3x ved π/6<х≤ π/3, 1 for x> π/3. Finn f(x), og også Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 ved x≤2, f(x)= c x ved 2<х≤4, 0 for x>4. 2.4.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert av distribusjonstettheten: 0 ved x≤0, f(x)= c √x ved 0<х≤1, 0 for x>1. Finn: a) tall c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> ved x, 0 på x. Finn: a) F(x) og konstruer grafen; b) M(X),D(X), o(X); c) sannsynligheten for at i fire uavhengige forsøk vil verdien av X ta nøyaktig 2 ganger verdien som tilhører intervallet (1;4). 2.6.
Stil en kontinuerlig tilfeldig variabel X er gitt: f(x)= 2(x-2) ved x, 0 på x. Finn: a) F(x) og konstruer grafen; b) M(X),D(X), o(X); c) sannsynligheten for at verdien av X i tre uavhengige forsøk vil ta nøyaktig 2 ganger verdien som tilhører segmentet. 2.7.
Funksjonen f(x) er gitt som: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funksjonen f(x) er gitt som: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Finn: a) verdien av konstanten c der funksjonen vil være sannsynlighetstettheten til en tilfeldig variabel X; b) fordelingsfunksjon F(x). 2.9.
Den stokastiske variabelen X, konsentrert om intervallet (3;7), er spesifisert av fordelingsfunksjonen F(x)= . Finn sannsynligheten for at tilfeldig variabel X vil ha verdien: a) mindre enn 5, b) ikke mindre enn 7. 2.10.
Tilfeldig variabel X, konsentrert om intervallet (-1;4), er gitt av fordelingsfunksjonen F(x)= . Finn sannsynligheten for at tilfeldig variabel X vil ha verdien: a) mindre enn 2, b) ikke mindre enn 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Finn: a) tall c; b) M(X); c) sannsynlighet P(X> M(X)). 2.12.
Den tilfeldige variabelen er spesifisert av: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Finn: a) M(X); b) sannsynlighet P(X≤M(X)) 2.13.
Rem-fordelingen er gitt av sannsynlighetstettheten: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> for x ≥0. Bevis at f(x) faktisk er en sannsynlighetstetthetsfunksjon. 2.14.
Stil en kontinuerlig tilfeldig variabel X er gitt: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(fig. 4) 2.16.
Den stokastiske variabelen X er fordelt i henhold til loven «rettvinklet» i intervallet (0;4) (fig. 5). Finn et analytisk uttrykk for sannsynlighetstettheten f(x) på hele tallinjen. Svar
0 ved x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x ved π/6<х≤ π/3, 0 for x> π/3. En kontinuerlig tilfeldig variabel X har en enhetlig distribusjonslov på et visst intervall (a;b), som inneholder alle mulige verdier av X, hvis sf(x) er konstant på dette intervallet og lik 0 utenfor det. , dvs. 0 for x≤a, f(x)= for a<х 0 for x≥b. Grafen til funksjonen f(x) er vist i fig. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Oppgave nr. 1. Den tilfeldige variabelen X er jevnt fordelt på segmentet. Finne: a) sannsynlighetsfordelingstetthet f(x) og plott den; b) fordelingsfunksjonen F(x) og plott den; c) M(X),D(X), σ(X). Løsning:
Ved å bruke formlene diskutert ovenfor, med a=3, b=7, finner vi: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> ved 3≤х≤7, 0 for x>7 La oss bygge grafen (fig. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 ved x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 ved x<0, f(x)= λе-λх for x≥0. Fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til eksponentiell lov, er gitt av formelen: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Dermed er den matematiske forventningen og standardavviket til eksponentialfordelingen lik hverandre. Sannsynligheten for at X faller inn i intervallet (a;b) beregnes med formelen: P(a<Х Oppgave nr. 2. Den gjennomsnittlige feilfrie driftstiden for enheten er 100 timer. Forutsatt at enhetens feilfrie driftstid har en eksponentiell distribusjonslov, finn: a) sannsynlighetsfordelingstetthet; b) distribusjonsfunksjon; c) sannsynligheten for at enhetens feilfrie driftstid vil overstige 120 timer. Løsning:
I henhold til betingelsen er den matematiske fordelingen M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 ved x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x for x≥0. b) F(x)= 0 ved x<0, 1-e -0,01x ved x≥0. c) Vi finner ønsket sannsynlighet ved å bruke fordelingsfunksjonen: P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3. Normalfordelingslov Definisjon:
En kontinuerlig tilfeldig variabel X har normalfordelingslov (Gauss lov),
hvis distribusjonstettheten har formen: hvor m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normalfordelingskurven kalles normal eller gaussisk kurve
(fig.7) Fordelingsfunksjonen til en tilfeldig variabel X, fordelt i henhold til normalloven, uttrykkes gjennom Laplace-funksjonen Ф (x) i henhold til formelen: hvor er Laplace-funksjonen. Kommentar:
Funksjonen Ф(x) er oddetall (Ф(-х)=-Ф(х)), i tillegg kan vi for x>5 anta Ф(х) ≈1/2. Grafen til fordelingsfunksjonen F(x) er vist i fig. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Sannsynligheten for at den absolutte verdien av avviket er mindre enn et positivt tall δ beregnes med formelen: Spesielt for m=0 gjelder følgende likhet: "Three Sigma Rule"
Hvis en stokastisk variabel X har en normalfordelingslov med parametrene m og σ, så er det nesten sikkert at verdien ligger i intervallet (a-3σ; a+3σ), fordi https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) La oss bruke formelen: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Fra tabellen med funksjonsverdier Ф(х) finner vi Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413. Så ønsket sannsynlighet: P(28 Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid
3.1.
Den stokastiske variabelen X er jevnt fordelt i intervallet (-3;5). Finne: b) fordelingsfunksjon F(x); c) numeriske egenskaper; d) sannsynlighet P(4<х<6). 3.2.
Den tilfeldige variabelen X er jevnt fordelt på segmentet. Finne: a) distribusjonstetthet f(x); b) fordelingsfunksjon F(x); c) numeriske egenskaper; d) sannsynlighet P(3≤х≤6). 3.3.
Det er et automatisk trafikklys på motorveien, der det grønne lyset lyser i 2 minutter, gult i 3 sekunder, rødt i 30 sekunder osv. En bil kjører langs motorveien på et tilfeldig tidspunkt. Finn sannsynligheten for at en bil passerer et lyskryss uten å stoppe. 3.4.
T-banetog kjører regelmessig med intervaller på 2 minutter. En passasjer kommer inn på plattformen på et tilfeldig tidspunkt. Hva er sannsynligheten for at en passasjer må vente mer enn 50 sekunder på et tog? Finn den matematiske forventningen til tilfeldig variabel X - ventetiden på toget. 3.5.
Finn variansen og standardavviket til eksponentialfordelingen gitt av fordelingsfunksjonen: F(x)= 0 ved x<0, 1.-8x for x≥0. 3.6.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er spesifisert avn: f(x)= 0 ved x<0, 0,7 e-0,7x ved x≥0. a) Nevn fordelingsloven til den stokastiske variabelen som vurderes. b) Finn fordelingsfunksjonen F(X) og de numeriske egenskapene til den stokastiske variabelen X. 3.7.
Den tilfeldige variabelen X er fordelt i henhold til den eksponentielle loven spesifisert avn: f(x)= 0 ved x<0, 0,4 e-0,4 x ved x≥0. Finn sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra intervallet (2,5;5). 3.8.
En kontinuerlig tilfeldig variabel X er fordelt i henhold til den eksponentielle loven spesifisert av fordelingsfunksjonen: F(x)= 0 ved x<0, 1.-0,6x ved x≥0 Finn sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra segmentet. 3.9.
Forventet verdi og standardavvik for en normalfordelt tilfeldig variabel er henholdsvis 8 og 2. Finn: a) distribusjonstetthet f(x); b) sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra intervallet (10;14). 3.10.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med en matematisk forventning på 3,5 og en varians på 0,04. Finne: a) distribusjonstetthet f(x); b) sannsynligheten for at X som et resultat av testen vil ta en verdi fra segmentet. 3.11.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og D(X)=1. Hvilken av hendelsene: |X|≤0,6 eller |X|≥0,6 er mest sannsynlig? 3.12.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og D(X)=1. Fra hvilket intervall (-0.5;-0.1) eller (1;2) er det mer sannsynlig å ta en verdi i løpet av en test? 3.13.
Den nåværende prisen per aksje kan modelleres ved å bruke normalfordelingsloven med M(X)=10 den. enheter og σ (X)=0,3 den. enheter Finne: a) sannsynligheten for at dagens aksjekurs vil være fra 9,8 den. enheter opptil 10,4 dager enheter; b) ved å bruke "tre sigma-regelen", finn grensene som gjeldende aksjekurs vil ligge innenfor. 3.14.
Stoffet veies uten systematiske feil. Tilfeldige veiefeil er underlagt normalloven med gjennomsnittlig kvadratforhold σ=5g. Finn sannsynligheten for at det i fire uavhengige eksperimenter ikke vil oppstå en feil i tre veiinger i absolutt verdi 3r. 3.15.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=12,6. Sannsynligheten for at en tilfeldig variabel faller inn i intervallet (11,4;13,8) er 0,6826. Finn standardavviket σ. 3.16.
Den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=12 og D(X)=36. Finn intervallet som den stokastiske variabelen X vil falle inn i som et resultat av testen med en sannsynlighet på 0,9973. 3.17.
En del produsert av en automatisk maskin anses som defekt hvis avviket X av den kontrollerte parameteren fra den nominelle verdien overstiger modulo 2 måleenheter. Det antas at den stokastiske variabelen X er normalfordelt med M(X)=0 og σ(X)=0,7. Hvor mange prosent av defekte deler produserer maskinen? 3.18.
X-parameteren til delen er normalfordelt med en matematisk forventning på 2 lik nominell verdi og et standardavvik på 0,014. Finn sannsynligheten for at avviket til X fra den nominelle verdien ikke vil overstige 1 % av den nominelle verdien. Svar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 for x≤-3, F(x)= venstre"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%.
1.2.
p4=0,1; 0 ved x≤-1,
(Fig.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 for x≤a,
,
Normalkurven er symmetrisk i forhold til den rette linjen x=m, har et maksimum ved x=a, lik .
,
Nettlesing av boken A Hero of Our Time I
Polen i det 10. – tidlige 12. århundre
US Army: styrke, uniform, rekker, levetid, historie og interessante fakta Amerikanske militære rekker