Описание графика квадратичной функции. I случай, классическая парабола

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.

Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.

Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.

Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.

Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.

Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

В данном случае а = 0,5

А теперь для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В данном случае а = - 0,5

Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.

с > 0:

y = x 2 + 4x + 3

с < 0

y = x 2 + 4x - 3

Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:

y = x 2 + 4x

Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.

Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .

Рассмотрим пример:

Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

• Например, дана функция f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 {\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4} . Сложите члены с переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} и члены с переменной x {\displaystyle x} , чтобы записать уравнение в стандартном виде:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}

1. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2}
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} . Здесь , поэтому парабола направлена вниз.
   • f (x) = x 2 + 6 {\displaystyle f(x)=x^{2}+6} . Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , поэтому парабола направлена вверх.
   • Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.

2. Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:

   • В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 10 {\displaystyle b=10}
     • x = − 10 (2) (1) {\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
     • x = − 10 2 {\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
   • В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} и b = 6 {\displaystyle b=6} . Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
     • x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
     • x = − 6 (2) (− 3) {\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
     • x = − 6 − 6 {\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
     • x = − (− 1) {\displaystyle x=-(-1)}
     • x = 1 {\displaystyle x=1}

3. Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте − 5 {\displaystyle -5}
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 {\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
     • f (x) = 25 − 50 − 1 {\displaystyle f(x)=25-50-1}
     • f (x) = − 26 {\displaystyle f(x)=-26}
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте 1 {\displaystyle 1} , чтобы найти ее максимальное значение:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 {\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 {\displaystyle f(x)=-3+6-4}
     • f (x) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1}

4. Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} значение a {\displaystyle a} положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (− 5 , − 26) {\displaystyle (-5,-26)} , а минимальное значение функции равно − 26 {\displaystyle -26} .
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} значение a {\displaystyle a} отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (1 , − 1) {\displaystyle (1,-1)} , а максимальное значение функции равно − 1 {\displaystyle -1} .

5. Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

   • . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2} , то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
   • . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} , то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
   • Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.

6. Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь k = − 4 {\displaystyle k=-4} . Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь k = 2 {\displaystyle k=2} . Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.

7. Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, h = − 1 {\displaystyle h=-1} . Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны (− 1 , − 4) {\displaystyle (-1,-4)} .
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, h = 2 {\displaystyle h=2} . Координаты вершины равны (2,2).

Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

1. Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

   • Например: .

2. Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} . Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 {\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}

3. Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере.

Как построить параболу? Существует несколько способов построения графика квадратичной функции. Каждый из них имеет свои плюсы и минусы. Рассмотрим два способа.

Начнём с построения графика квадратичной функции вида y=x²+bx+c и y= -x²+bx+c.

Пример.

Построить график функции y=x²+2x-3.

Решение:

y=x²+2x-3 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

От вершины (-1;-4) строим график параболы y=x²(как от начала координат. Вместо (0;0) — вершина (-1;-4). От (-1;-4) идём вправо на 1 единицу и вверх на 1 единицу, затем влево на 1 и вверх на 1; далее: 2 — вправо, 4 — вверх, 2- влево, 4 — вверх; 3 — вправо, 9 — вверх, 3 — влево, 9 — вверх. Если этих 7 точек недостаточно, далее — 4 вправо, 16 — вверх и т. д.).

График квадратичной функции y= -x²+bx+c — парабола, ветви которой направлены вниз. Для построения графика ищем координаты вершины и от неё строим параболу y= -x².

Пример.

Построить график функции y= -x²+2x+8.

Решение:

y= -x²+2x+8 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

От вершины строим параболу y= -x² (1 — вправо, 1- вниз; 1 — влево, 1 — вниз; 2 — вправо, 4 — вниз; 2 — влево, 4 — вниз и т. д.):

Этот способ позволяет построить параболу быстро и не вызывает затруднений, если вы умеете строить графики функций y=x² и y= -x². Недостаток: если координаты вершины — дробные числа, строить график не очень удобно. Если требуется знать точные значения точек пересечения графика с осью Ох, придется дополнительно решить уравнение x²+bx+c=0 (или —x²+bx+c=0), даже если эти точки непосредственно можно определить по рисунку.

Другой способ построения параболы — по точкам, то есть можно найти несколько точек графика и через них провести параболу (с учетом того, что прямая x=хₒ является её осью симметрии). Обычно для этого берут вершину параболы, точки пересечения графика с осями координат и 1-2 дополнительные точки.

Построить график функции y=x²+5x+4.

Решение:

y=x²+5x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Координаты вершины параболы

то есть вершина параболы — точка (-2,5; -2,25).

Ищем . В точке пересечения с осью Ох y=0: x²+5x+4=0. Корни квадратного уравнения х1=-1, х2=-4, то есть получили две точки графике (-1; 0) и (-4; 0).

В точке пересечения графика с осью Оy х=0: y=0²+5∙0+4=4. Получили точку (0; 4).

Для уточнения графика можно найти дополнительную точку. Возьмем х=1, тогда y=1²+5∙1+4=10, то есть еще одна точка графика — (1; 10). Отмечаем эти точки на координатной плоскости. С учетом симметрии параболы относительно прямой, проходящей через её вершину, отметим еще две точки: (-5; 6) и (-6; 10) и проведем через них параболу:

Построить график функции y= -x²-3x.

Решение:

y= -x²-3x — квадратичная функция. График — парабола ветвями вниз. Координаты вершины параболы

Вершина (-1,5; 2,25) — первая точка параболы.

В точках пересечения графика с осью абсцисс y=0, то есть решаем уравнение -x²-3x=0. Его корни — х=0 и х=-3, то есть (0;0) и (-3; 0) — еще две точки графика. Точка (о; 0) является также точкой пересечения параболы с осью ординат.

При х=1 y=-1²-3∙1=-4, то есть (1; -4) — дополнительная точка для построения графика.

Построение параболы по точкам — более трудоёмкий, по сравнению с первым, способ. Если парабола не пересекает ось Oх, дополнительных точек потребуется больше.

Прежде чем продолжить построение графиков квадратичных функций вида y=ax²+bx+c, рассмотрим построение графиков функций с помощью геометрических преобразований. Графики функций вида y=x²+c также удобнее всего строить, используя одно из таких преобразований — параллельный перенос.

Рубрика: |

На уроках математики в школе Вы уже познакомились с простейшими свойствами и графиком функции y = x 2 . Давайте расширим знания по квадратичной функции .

Задание 1.

Построить график функции y = x 2 . Масштаб: 1 = 2 см. Отметьте на оси Oy точку F (0; 1/4). Циркулем или полоской бумаги измерьте расстояние от точки F до какой-нибудь точки M параболы. Затем приколите полоску в точке M и поверните ее вокруг этой точки так, чтобы она стала вертикальной. Конец полоски опустится немного ниже оси абсцисс (рис. 1) . Отметьте на полоске, насколько она выйдет за ось абсцисс. Возьмите теперь другую точку на параболе и повторите измерение еще раз. Насколько теперь опустился край полоски за ось абсцисс?

Результат: какую бы точку на параболе y = x 2 вы не взяли, расстояние от этой точки до точки F(0; 1/4) будет больше расстояния от той же точки до оси абсцисс всегда на одно и то же число – на 1/4.

Можно сказать иначе: расстояние от любой точки параболы до точки (0; 1/4) равно расстоянию от той же точки параболы до прямой y = -1/4. Эта замечательная точка F(0; 1/4) называется фокусом параболы y = x 2 , а прямая y = -1/4 – директрисой этой параболы. Директриса и фокус есть у каждой параболы.

Интересные свойства параболы:

1. Любая точка параболы равноудалена от некоторой точки, называемой фокусом параболы, и некоторой прямой, называемой ее директрисой.

2. Если вращать параболу вокруг оси симметрии (например, параболу y = x 2 вокруг оси Oy), то получится очень интересная поверхность, которая называется параболоидом вращения.

Поверхность жидкости во вращающемся сосуде имеет форму параболоида вращения. Вы можете увидеть эту поверхность, если сильно помешаете ложечкой в неполном стакане чая, а потом вынете ложечку.

3. Если в пустоте бросить камень под некоторым углом к горизонту, то он полетит по параболе (рис. 2).

4. Если пересечь поверхность конуса плоскостью, параллельной какой-либо одной его образующей, то в сечении получится парабола (рис. 3) .

5. В парках развлечений иногда устраивают забавный аттракцион «Параболоид чудес». Каждому, из стоящих внутри вращающегося параболоида, кажется, что он стоит на полу, а остальные люди каким-то чудом держаться на стенках.

6. В зеркальных телескопах также применяют параболические зеркала: свет далекой звезды, идущий параллельным пучком, упав на зеркало телескопа, собирается в фокус.

7. У прожекторов зеркало обычно делается в форме параболоида. Если поместить источник света в фокусе параболоида, то лучи, отразившись от параболического зеркала, образуют параллельный пучок.

Построение графика квадратичной функции

На уроках математики вы изучали получение из графика функции y = x 2 графиков функций вида:

1) y = ax 2 – растяжение графика y = x 2 вдоль оси Oy в |a| раз (при |a| < 0 – это сжатие в 1/|a| раз, рис. 4 ).

2) y = x 2 + n – сдвиг графика на n единиц вдоль оси Oy, причем, если n > 0, то сдвиг вверх, а если n < 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2 – сдвиг графика на m единиц вдоль оси Ox: если m < 0, то вправо, а если m > 0, то влево, (рис. 5) .

4) y = -x 2 – симметричное отображение относительно оси Ox графика y = x 2 .

Подробнее остановимся на построении графика функции y = a(x – m) 2 + n .

Квадратичную функцию вида y = ax 2 + bx + c всегда можно привести к виду

y = a(x – m) 2 + n, где m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Докажем это.

Действительно,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Введем новые обозначения.

Пусть m = -b/(2a) , а n = -(b 2 – 4ac)/(4a) ,

тогда получим y = a(x – m) 2 + n или y – n = a(x – m) 2 .

Сделаем еще замены: пусть y – n = Y, x – m = X (*).

Тогда получим функцию Y = aX 2 , графиком которой является парабола.

Вершина параболы находится в начале координат. X = 0; Y = 0.

Подставив координаты вершины в (*), получаем координаты вершины графика y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Таким образом, для того, чтобы построить график квадратичной функции, представленной в виде

y = a(x – m) 2 + n

путем преобразований, можно действовать следующим образом:

a) построить график функции y = x 2 ;

б) путем параллельного переноса вдоль оси Ox на m единиц и вдоль оси Oy на n единиц – вершину параболы из начала координат перевести в точку с координатами (m; n) (рис. 6) .

Запись преобразований:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Пример.

С помощью преобразований построить в декартовой системе координат график функции y = 2(x – 3) 2 – 2.

Решение.

Цепочка преобразований:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Построение графика изображено на рис. 7 .

Вы можете практиковаться в построении графиков квадратичной функции самостоятельно. Например, постройте в одной системе координат с помощью преобразований график функции y = 2(x + 3) 2 + 2. Если у вас возникнут вопросы или же вы захотите получить консультацию учителя, то у вас есть возможность провести бесплатное 25-минутное занятие с онлайн репетитором после регистрации . Для дальнейшей работы с преподавателем вы сможете выбрать подходящий вам тарифный план.

Остались вопросы? Не знаете, как построить график квадратичной функции?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.