Правильные многогранники с древних времен привлекали внимание философов, строителей, архитекторов, художников, математиков. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Правильный многогранник – объёмная выпуклая геометрическая фигура, все грани которой - одинаковые правильные многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны между собой. Существует множество правильных многоугольников, но правильных многогранников всего пять. Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число («тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «додека» - 12, «икоса» - 20) граней («эдра»).

Эти правильные многогранники получили название платоновых тел по имени древнегреческого философа Платона, который придавал им мистический смысл, но были известны они и до Платона. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр – воздух. Додекаэдр отождествлялся со всей Вселенной и почитался главнейшим.

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр. Кристалл пирита (сернистого колчедана, FeS2) имеет форму додекаэдра.

Тетраэдр – правильная треугольная пирамида, и гексаэдр – куб – фигуры, с которыми мы постоянно встречаем в реальной жизни. Чтобы лучше почувствовать форму других платоновых тел, стоит самому создать их из плотной бумаги или картона. Сделать плоскую развёртку фигур несложно. Создание правильных многогранников чрезвычайно занимательно самим процессом формообразования.

Завершенные и причудливые формы правильных многогранников широко используются в декоративном искусстве. Объёмные фигуры можно сделать более занимательными, если плоские правильные многоугольники представить другими фигурами, вписывающимися в многоугольник. Например: правильный пятиугольник можно заменить звездой. Такая объёмная фигура не будет иметь рёбер. Собрать её можно, связывая концы лучей звёзд. И 10 звёзд собирается плоская развёртка. Объёмной фигура получается после закрепления оставшихся 2 звёзд.

Если ваш ребёнок любит делать поделки своими умелыми руками, предложите ему собрать объёмную фигуру многогранник додекаэдр из плоских пластиковых звёзд. Результат работы обрадует вашего ребёнка: он изготовит своими руками оригинальную декоративную конструкцию, которой можно украсить детскую комнату. Но, самое замечательное – ажурный шар светится в темноте. Пластиковые звёзды изготовлены с добавлением современного безвредного вещества - люминофора.

Платону принадлежит разработка некоторых важных методологических проблем математического познания: аксиоматическое построение математики, исследование отношений между математическими методами и диалектикой, анализ основных форм математического знания. Так, процесс доказательства необходимо связывает набор доказанных положений в систему, в основе которой лежат некоторые недоказуемые положения. Тот факт, что начала математических наук "суть предположения", может вызвать сомнение в истинности всех последующих построений. Платон считал такое сомнение необоснованным. Согласно его объяснению, хотя сами математические науки, "пользуясь предположениями, оставляют их в неподвижности и не могут дать для них основания", предположения находят основания посредством диалектики. Платон высказал и ряд других положений, оказавшихся плодотворными для развития математики. Так, в диалоге "Пир" выдвигается понятие предела; идея выступает здесь как предел становления вещи.

ТЕЛА ПЛАТОНА.

Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

ТАБЛИЦА№1

ТАБЛИЦА№2

Название:	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы	Объем
Тетраэдр	а\/6 4	a\/6 12	a3\/2 12
Куб	а\/3 2	a 2	a3
Октаэдр	а\/2 2	a\/6 6	a3\/2 12
Додекаэдр	a 4 \/18+6\/5	1 2 25+11\/5 10	a3 4 (15+7\/5)
Икосаэдр	a 12(3+\/5)\/3	5 12 a3(3+\/5)

Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.2).

Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3).

Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.4).

Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.5).

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением «крыш» на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен- ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена заключительная, XII книга знаменитых начал Евклида. Эти многогранники часто называют также платоновыми телами в идеалистической картине мира, данной великим древнегреческим мыслителем Платоном. Четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр-огонь, куб-землю, икосаэдр-воду и октаэдр-воздух; пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание его по латыни стали называть quintaessentia («пятая сущность»). Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по-видимому, было не трудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например: куб-монокристалл поваренной соли (NaCl), октаэдр-монокристалл алюмокалиевых квасцов ((KalSO4)2*12H2O). Существует предположение, что форму додекаэдра древние греки получили, рассматривая кристаллы пирита (сернистого колчедана FeS). Имея же додекаэдр нетрудно построить и икосаэдр: его вершинами будут центры двенадцати граней додекаэдра.

Список литературы

1.«Советская Энциклопедия» Москва 1979г.

2.Математический энциклопедический словарь/ «Советская Энциклопедия», 1988г.

3.Математика: Школьная энциклопедия /Гл. ред. М 34 С.М. Никольский. - М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996,-527 С.: ил

Введение

Данная курсовая работа предназначена для того чтобы:

1) закрепить, углубить и расширить теоретические знания в области методов моделирования поверхностей и объектов, практические умения и навыки программной реализации методов;

2) усовершенствовать навыки самостоятельной работы;

3) выработать умения формулировать суждения и выводы, логически последовательно и доказательно их излагать.

Тела Платона

Тела Платона - это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, гексаэдр(куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Названия этих правильных многогранников пришли из Греции. В дословном переводе с греческого "тетраэдр", "октаэдр", "гексаэдр", "додекаэдр", "икосаэдр" означают: "четырехгранник", "восьмигранник", "шестигранник". "двенадцатигранник", "двадцатигранник".

Таблица№1

Таблица№2

Название:	Радиус описанной сферы	Радиус вписанной сферы
Тетраэдр
Гексаэдр
Додекаэдр
Икосаэдр

Тетраэдр - четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками. (рис.1).

Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.1).

Октаэдр - восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.1).

Додекаэдр - двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник. (рис.1).

Икосаэдр - двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками. (рис.1).

Куб и октаэдр дуальны, т.е. получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за вершины другого и обратно. Аналогично дуальны додекаэдр и икосаэдр. Тетраэдр дуален сам себе. Правильный додекаэдр получается из куба построением “крыш” на его гранях (способ Евклида), вершинами тетраэдра являются любые четыре вершины куба, попарно не смежные по ребру. Так получаются из куба все остальные правильные многогранники. Сам факт существования всего пяти действительно правильных многогранников удивителен - ведь правильных многоугольников на плоскости бесконечно много!

Все правильные многогранники были известны еще в Древней Греции, и им посвящена 13-я книга "Начал" Евклида. Их еще называют телами Платона, т.к. они занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания. Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Тетраэдр символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх; икосаэдр? воду, т.к. он самый "обтекаемый"; куб - землю, как самый "устойчивый"; октаэдр? воздух, как самый "воздушный". Пятый многогранник, додекаэдр, воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным.

Гармоничные отношения древние греки считали основой мироздания, поэтому четыре стихии у них были связаны такой пропорцией: земля/вода = воздух/огонь.

В связи с этими телами уместно будет сказать, что первая система элементов, включавшая четыре элемента? землю, воду, воздух и огонь, - была канонизирована Аристотелем. Эти элементы оставались четырьмя краеугольными камнями мироздания в течение многих веков. Вполне возможно отождествить их с известными нам четырьмя состояниями вещества - твердым, жидким, газообразным и плазменным.

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И. Кеплера. Все та же вера в гармонию, красоту и математически закономерное устройство мироздания привела И. Кеплера к мысли о том, что поскольку существует пять правильных многогранников, то им соответствуют только шесть планет. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце.

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб? сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса? додекаэдр, сфера Земли? икосаэдр, сфера Венеры? октаэдр, сфера Меркурия. Тайна мироздания кажется открытой.

Сегодня можно с уверенностью сказать, что расстояния между планетами не связаны ни с какими многогранниками. Впрочем, возможно, что без "Тайны мироздания", "Гармонии мира" И. Кеплера, правильных многогранников не было бы трех знаменитых законов И. Кеплера, которые играют важную роль в описании движения планет.

Где еще можно увидеть эти удивительные тела? В книге немецкого биолога начала прошлого века Э. Геккеля "Красота форм в природе" можно прочитать такие строки: "Природа вскармливает на своем лоне неисчерпаемое количество удивительных созданий, которые по красоте и разнообразию далеко превосходят все созданные искусством человека формы". Создания природы, приведенные в этой книге, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Но здесь видно и одноклеточные организмы? феодарии, форма которых точно передает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.

Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень? икосаэдр. Его геометрические свойства, о которых говорилось выше, позволяют экономить генетическую информацию. Правильные многогранники? самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьмянистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра. Правильные многогранники определяют форму кристаллических решеток некоторых химических веществ.

Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность и красоту этих геометрических фигур.

Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэррол, "вызывающе мало". Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).

Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона "Тимей", правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона. Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги "Элементов" Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.

Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр. Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта у одного и того же края) начертим равносторонний треугольник (рис. 91) и разрежем конверт по пунктирной прямой. Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!

Головоломка, изображенная на рис. 92, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 92 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки. (На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 92 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр. Один мой знакомый математик любит приставать к своим друзьям с довольно плоской шуткой. Он собирает из двух разверток две модельки, составляет из них тетраэдр и ставит его на стол, а третью развертку незаметно зажимает в руке. Затем ударом руки он расплющивает тетраэдр и в то же время кладет на стол третью развертку. Вполне очевидно, что его друзьям никак не удается собрать тетраэдр из трех блоков.

Из различных занимательных задач, связанных с кубом, я упомяну лишь головоломку с вычислением полного сопротивления электрической цепи, образованной ребрами проволочного куба, и тот удивительный факт, что куб может проходить через отверстие в меньшем кубе. В самом деле, стоит вам взять куб так, чтобы одна из его вершин была направлена прямо на вас, а ребра образовали правильный шестиугольник, как вы увидите, что в сечении, перпендикулярном лучу зрения, есть достаточно места для квадратного отверстия, которое чуть больше грани самого куба. В электрической головоломке речь идет о цепи, изображенной на рис. 93. Сопротивление каждого ребра куба равно одному ому. Чему равно сопротивление всей цепи, если ток течет от А к В? Инженеры-электрики извели немало бумаги, пытаясь решить эту задачу, хотя при надлежащем подходе найти ее решение совсем несложно.

Все пять Платоновых тел использовались в качестве игральных костей. После куба наибольшую популярность приобрели игральные кости в форме октаэдра. Как сделать такую кость, показано на рис. 94. Начертив и вырезав полоску и перенумеровав грани, ее перегибают вдоль ребер, а "открытые" ребра склеивают прозрачной лентой. Получается миниатюрный октаэдр. Сумма очков на противоположных гранях октаэдрической игральной кости, как и у обычной кубической, равна семи. При желании с помощью новой кости вы можете показать забавный фокус с отгадыванием задуманного числа. Попросите кого-нибудь загадать любое число от 0 до 7. Положите октаэдр на стол так, чтобы загадавший мог видеть только грани с цифрами 1, 3, 5 и 7, и спросите, не видит ли он задуманного им числа. Если он отвечает утвердительно, вы запоминаете про себя число 1. Затем вы переворачиваете октаэдр так, чтобы загадавшему были видны грани с цифрами 2, 3, 6 и 7, и снова задаете тот же вопрос. На этот раз утвердительный ответ означает, что вы должны запомнить число 2. В третий (и последний раз) вы повторяете свой вопрос, повернув октаэдр так, чтобы загадавший мог видеть грани с цифрами 4, 5, 6 и 7. Утвердительный ответ в этом случае оценивается числом 4. Сложив оценки всех трех ответов, вы получите задуманное вашим приятелем число. Этот фокус без труда объяснит всякий, кто знаком с двоичной системой счисления. Чтобы легче было отыскать нужные положения октаэдра, как-нибудь пометьте три вершины, которые должны быть обращены к вам, когда вы стоите лицом к зрителю (задумавшему число).

Существуют и другие не менее интересные способы нумерации граней октаэдрической игральной кости. Например, числа от 1 до 8 можно расположить так, что сумма чисел на четырех гранях, сходящихся в общей вершине, будет постоянна. Эта сумма всегда равна 18, однако существует три различных способа нумерации граней (мы не считаем различными кости, которые переходят друг в друга при поворотах и отражениях), удовлетворяющих заданному выше условию.

Изящный способ построения додекаэдра предложен книге Гуго Штейнгауза "Математический калейдоскоп" * . Из плотного картона нужно вырезать две фигуры, показанные на рис. 95. Стороны пятиугольников должны быть около 2,5-3 см. Лезвием ножа осторожно надрежем картон вдоль сторон внутреннего пятиугольника, с тем чтобы развертка легко сгибалась в одну сторону. Подготовив таким же образом вторую развертку, наложим ее на первую так, чтобы выступы второй развертки пришлись против вырезов первой. Придерживая обе развертки рукой, скрепим их резинкой, пропуская ее попеременно то над выступающим концом одной развертки, то под выступающим концом другой. Ослабив давление руки на развертки, вы увидите, как на ваших глазах, словно по волшебству, возникнет додекаэдр.

* (Эта игрушка была приложена лишь к первому изданию книги Г. Штейнгауза . В дальнейших изданиях, в том числе и в русском (1949), ее нет.- Прим. ред. )

Раскрасим модель додекаэдра таким образом, чтобы каждая грань была выкрашена только одним цветом. Чему равно наименьшее число красок, которыми можно раскрасить додекаэдр, если требуется, чтобы любые две смежные грани были разного цвета? Ответ: наименьшее число красок равно четырем. Нетрудно убедиться, что существуют четыре различных способа наиболее экономной раскраски додекаэдра (при этом два раскрашенных додекаэдра будут зеркальными отражениями двух других). Для раскраски тетраэдра также требуется четыре краски, но существует лишь два варианта раскраски, при этом один тетраэдр переходит в другой при зеркальном отражении. Куб можно раскрасить тремя, а октаэдр - двумя красками. Для каждого из этих тел существует лишь один способ наиболее экономной раскраски. Раскрасить икосаэдр можно всего лишь тремя красками, но сделать это можно не менее чем 144 способами. Лишь в 6 из них раскрашенные икосаэдры совпадают со своими зеркальными отражениями.

Рассмотрим еще одну задачу. Предположим, что муха, разгуливая по 12 ребрам икосаэдра, ползает по каждому из них по крайней мере один раз. Каков наименьший путь, который должна проделать муха, чтобы побывать на всех ребрах иксаэдра? Возвращаться в исходную точку не обязательно; некоторые ребра мухе придется пройти дважды (из всех пяти Платоновых тел только октаэдр обладает тем свойством, что его ребра можно обойти, побывав на каждом из них лишь по одному разу). Решению задачи может помочь проекция икосаэдра на плоскость (рис. 96). Только следует иметь в виду, что длина всех ребер одинакова.

Поскольку и поныне встречаются чудаки, все еще пытающиеся найти решение задач о трисекции угла и квадратуре круга, хотя давно уже доказано, что ни то, ни другое невозможно, кажется странным, что никто не предпринимает попыток найти новые правильные многогранники сверх уже известных пяти Платоновых тел. Одна из причин такого парадоксального положения заключается в том, что понять, почему не существует более пяти правильных тел, крайне несложно. Следующее простое доказательство существования не более пяти правильных тел восходит к Евклиду.

Многогранный угол правильного тела должен быть образован по крайней мере тремя гранями. Рассмотрим простейшую из граней: равносторонний треугольник. Многогранный угол можно построить, приложив друг к другу три, четыре или пять таких треугольников. При числе треугольников свыше пяти сумма плоских углов, примыкающих к вершине многогранника, составляет 360° или даже больше, и, следовательно, такие треугольники не могут образовывать многогранный угол. Итак, существует лишь три способа построения правильного выпуклого многогранника с треугольными гранями. Пытаясь построить многогранный угол из квадратных граней, мы убедимся, что это можно сделать лишь из трех граней. Аналогичными рассуждениями нетрудно показать, что в одной вершине правильного многоугольника могут сходиться три и только три пятиугольные грани. Грани не могут иметь форму многоугольников с числом сторон больше 5, так как, приложив, например, друг к другу три шестиугольника, мы получим в сумме угол в 360 0 .

Приведенное только что рассуждение не доказывает возможности построения пяти правильных тел, оно лишь объясняет, почему таких тел не может быть больше пяти. Более тонкие рассуждения заставляют прийти к выводу, что в четырехмерном пространстве имеется лишь шесть правильных политопов (так называются аналоги трехмерных правильных тел). Любопытно отметить, что?в пространстве любого числа измерений, большем 4, существует лишь три правильных политопа: аналоги тетраэдра, куба и октаэдра.

Невольно напрашивается вывод. Математика в значительной мере ограничивает многообразие структур, которые могут существовать в природе. Обитатели далее самой отдаленной галактики не могут играть в кости, имеющие форму неизвестного нам правильного выпуклого многогранника. Некоторые теологи честно признали, что даже сам господь бог не смог бы построить шестое платоново тело в трехмерном пространстве. Точно так же геометрия ставит непреодолимые границы разнообразию структуры кристаллов. Может быть, наступит день, когда физики откроют математические ограничения, которым должно удовлетворять число фундаментальных частиц и основных законов природы. Разумеется, никто сейчас не имеет ни малейшего представления о том, каким образом математика делает невозможной ту или иную структуру, называемую "живой" (если только математика вообще причастна к этому кругу явлений). Вполне допустимо, например, что наличие углеродных соединений является непременным условием возникновения жизни. Как бы то ни было, человечество заранее готовит себя к мысли о возможности существования жизни на других планетах. Платоновы же тела служат напоминанием о том, что на Марсе и Венере может не оказаться многого из того, о чем думают наши мудрецы.

Ответы

Полное сопротивление цепи, образованной ребрами куба (сопротивление каждого ребра 1 ом ) составляет 5 / 6 ома . Соединим накоротко три ближайшие к А вершины куба и проделаем то же самое с тремя вершинами, ближайшими к В. Мы получим две треугольные цепи. Ни в одной из них тока не будет, так как они соединяют эквипотенциальные точки. Нетрудно заметить, что между вершиной А и ближайшей к ней треугольной цепью параллельно включены три сопротивления по 1 ому (общее сопротивление 1 / 3 ома ), между двумя треугольными цепями в параллель соединено 6 сопротивлений по 1 ому (общее сопротивление этого участка цепи 1 / 6 ома ) и между второй треугольной цепью и точкой В имеется 3 параллельно соединенных проводника по 1 ому (то есть всего 1 / 3 ома ). Таким образом, полное сопротивление цепи между точками А и В равно 5 / 6 ома .

И условие задачи, и метод решения нетрудно обобщить на случай цепи, образованной ребрами четырех остальных Платоновых тел.

Перечислим три способа нумерации граней октаэдра, удовлетворяющих условию: сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, должна быть равна 18. Числа, встречаемые при обходе (по часовой стрелке или против нее) одной вершины: 6, 7, 2, 3; при обходе противоположной вершины: 1, 4, 5, 8 (6 рядом с 1, 7 рядом с 4 и т. д.); при обходе остальных вершин: 1, 7, 2, 8 и 4, 6, 3, 5; 4, 7, 2, 5 и 6, 1, 8, 3. Простое доказательство того, что октаэдр - единственное из пяти правильных тел, чьи грани можно пронумеровать так, чтобы сумма чисел на гранях, примыкающих к любой вершине, была постоянна, можно найти в книге У. У. Роуза Болла * .

* (W. W. Rouse Ball, Mathematical recreations and essays, London, MacMillan, New York, St. Martin"s Press, 1956, p. 418. )

Кратчайшее расстояние, которое должна преодолеть муха для того, чтобы побывать на всех ребрах икосаэдра, равно 35 единицам (единица - длина ребра икосаэдра). Стерев пять ребер икосаэдра (например, ребра FM, BE, JA, ID и НС на рис. 96), мы получим граф, на котором нечетное число ребер сходится только в двух точках G и К. Поэтому муха может обойти весь этот граф (начав свой путь к точке G и закончив его в точке К), пройдя по каждому ребру лишь один раз. Пройденное мухой расстояние равно 25 единицам. Это самый длинный путь, все участки которого проходятся по одному разу. Если муха на своем пути встречает стертые ребра, мы просто добавляем их к пути из G в К, считая, что муха проходит их дважды (в противоположных направлениях). Пять стертых ребер, проходимых дважды, составляют добавку в 10 единиц к уже пройденному пути. В сумме это и составляет 35 единиц.

ГЕОМЕТРИЯ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ

изм. от 24.06.2013 г - (дополнено)

К основным пяти Платоновым телам относятся: октаэдр, звездный тетраэдр, куб, додекаэдр, икосаэдр.

Каждый из геометрических паттернов, будь то атомное ядро, микрокластеры, глобальная решетка или расстояния между планетами , звездами, галактиками, является одним из пяти основных “Платоновых Твердых Тел”.

Почему подобные паттерны так часто возникают в природе? Один из первых намеков: математики знали, что эти формы обладают большей “симметрией”, чем любая трехмерная геометрия, которую мы можем создавать.

Из книги Роберта Лолора "Сакральная геометрия" мы можем узнать, что индусы сводили геометрии Платоновых Тел в структуру октавы, которую мы видим для звука и света (ноты и цвета). Греческий математик и философ Пифагор, посредством процесса последовательного деления частоты на пять, впервые разработал восемь “чистых” тонов октавы, известных как диатоническая шкала. Он взял однострунный “монохорд”, и измерил точные длины волны при проигрывании разных нот. Пифагор показал, что частоту (или скорость вибрации) каждой ноты можно представить в виде отношения между двумя частями струны, или двумя числами, отсюда и термин “диатонические отношения”.

Нижеприведенная таблица перечисляет геометрию в определенном порядке, увязав ее с числом спирали фи (). Это дает полную и законченную картину, как работают вместе различные вибрации. Она основана на присвоении ребрам куба длины, равной “1 ”. Затем мы сравниваем с этой величиной ребра всех других форм, больше они или меньше. Мы знаем, что в Платоновых Телах каждая грань имеет одинаковую форму, каждый угол идентичен, каждый узел находится на одинаковом расстоянии от всех других узлов, и каждая линия имеет одинаковую длину.

1 Сфера (нет граней) 2 Центральный икосаэдр 1/фи 2 3 Октаэдр 1/√2 4 Звездный тетраэдр √2 5 Куб 1 6 Додекаэдр 1/фи 7 Икосаэдр фи 8 Сфера (нет граней)

Это поможет понять, как при помощи вибраций спирали фи платоновы тела постепенно перетекают одно в другое.

МНОГОМЕРНОСТЬ ВСЕЛЕННОЙ

Cама концепция связи Платоновых геометрий с более высокими планами возникает потому, что ученые знают: там должна быть геометрия; они обнаружили это в уравнениях. Чтобы обеспечить “большее пространство” для появления невидимых дополнительных осей в “скрытых” 90° поворотах, требуется наличие Платоновых геометрий . В способе анализа данных, каждая грань геометрической формы представляет собой разную ось или план, в котором она могла бы вращаться. Когда мы начинаем рассматривать работы Фуллера и Дженни, мы видим, что идея других планов, существующих в “скрытых” 90° поворотах, - просто некорректное объяснение, основанное на отсутствии знания о “сакральных” связях между геометрией и вибрацией.

Весьма похоже на то, что традиционные ученые так и не поймут, что древние культуры могли иметь “упущенную связь”, существенно упрощающую и объединяющую все современные теории физики пространства. Хотя может показаться невероятным, что у “примитивной” культуры имелся доступ к такому виду информации, доказательство налицо. Почитайте классическую книгу Прасада , ибо сейчас можно видеть, что ведической космологии присуще научное мастерство.

Думаете что вы видите? - это взрывающаяся звезда с выбрасывающейся из нее пылью… Но здесь явно имеется и некий вид энергетического поля, структурирующего пыль по мере ее расширения в очень точный геометрический паттерн:

Проблема в том, что типичные магнитные поля в традиционных физических моделях просто не позволяют такую геометрическую точность. Ученые действительно не знают, как понимать такие вещи!

Нижеприведенное изображение – это НОВАЯ туманность, являющаяся совершенным “квадратом”. Однако это все еще двумерное мышление. Что такое квадрат в трех измерениях?
Конечно, куб!

Наблюдаемая в инфракрасном диапазоне туманность напоминает гигантскую сияющую коробку в небе с ярким белым внутренним ядром. Умирающая звезда MWC 922 находится в центре системы и извергает в пространство внутренности из противоположных полюсов. После того, как MWC 922 испустит в пространство большую часть материала, она будет сжиматься в плотное звездное тело, известное как белый карлик, спрятанный в облаках своих остатков.

Хотя отдаленно возможно, что взрыв звезды распространяется лишь в одном направлении, создавая больше пирамидальную форму, то, что вы видите, - это совершенный куб, находящийся в пространстве. Поскольку все четыре стороны куба имеют одинаковую длину и совершенные 90° углы друг с другом, и вновь, куб обладает структурированными “ступеньками”, которые мы видели на предыдущем изображении, ученые полностью сбиты с толку. Куб обладает еще БОЛЬШЕЙ СИММЕТРИЕЙ, чем “прямоугольная” туманность!

Такие паттерны появляются не только в безбрежности пространства. Они возникают и на самом крошечном уровне атомов и молекул, например, в кубической структуре обычной поваренной соли или хлористого натрия. Ан Панг Цая (Япония) сфотографировал квазикристаллы сплава алюминий-медь-железо в форме додекаэдра и сплава алюминий-никель-кобальт в форме декагональной (десятисторонней) призмы (см.фото). Проблема в том, что вы не можете создать такие кристаллы, пользуясь единичными связанными вместе атомами .

Другой пример – конденсат Бозе-Эйнштейна. Кратко говоря, конденсат Бозе-Эйнштейна – это большая группа атомов, ведущая себя как отдельная “частица”, в которой каждый составляющий ее атом одновременно занимает все пространство и все время во всей структуре . Измерено, что все атомы вибрируют на одной и той же частоте, движутся с одинаковой скоростью и расположены в одной и той же области пространства. Парадоксально, но разные части системы действуют как единое целое, теряя все признаки индивидуальности . Именно такое свойство требуется для “сверхпроводника”. Обычно конденсат Бозе-Эйнштейна может формироваться при крайне низких температурах. Однако именно такие процессы мы наблюдаем в микрокластерах и квазикристаллах, лишенных индивидуальной атомной идентичности.

Еще один подобный процесс – действие света лазера, известного как “когерентный” свет. В пространстве и времени весь лазерный луч ведет себя как единичный “фотон” , то есть, в лазерном луче невозможно выделение индивидуальных фотонов.

Более того, в конце 1960-х годов английский физик Герберт Фрёлих предположил, что живые системы часто ведут себя как конденсаты Бозе-Эйнштейна , только в крупном масштабе.

Фотографии туманности предлагают ошеломляющее видимое доказательство того, что геометрия играет бо льшую роль в силах Вселенной, чем может поверить большинство людей. Наши ученые могут лишь сражаться за понимание этого феномена в рамках существующих традиционных моделей.