Решение: Для решения этой задачи воспользуемся формулой N=2 - Решение. Принцип математической индукции

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) Ю А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k) Ю A(k+1)

Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

1) Имеем n=1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно
2) Докажем, что А(k) Ю A(k+1)

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е

1+3+5+…+(2k-1)=k 2

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 В самом деле,
1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2

Итак, А(k) Ю А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого n О N

Доказать, что

1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х № 1

1) При n=1 получаем
1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1

следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно

2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k,
1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1)

Докажем, что тогда выполняется равенство

1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1) В самом деле
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k)+x k+1 =

=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1)

Итак, А(k) Ю A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n

Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2

Решение: 1) При n=3 утверждение справедливо, ибо в треугольнике

А 3 =3(3-3)/2=0 диагоналей; А 2 А(3) истинно

2) Предположим, что во всяком выпуклом k-угольнике имеет А 1 ся А k =k(k-3)/2 диагоналей. А k Докажем, что тогда в выпуклом А k+1 (k+1)-угольнике число диагоналей А k+1 =(k+1)(k-2)/2.

Пусть А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -выпуклый (k+1)-угольник. Проведём в нём диагональ A 1 A k . Чтобы подсчитать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A 1 A 2 …A k , прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А 1 А k

Таким образом,

G k+1 =G k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2

Итак, А(k) Ю A(k+1). Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.

Доказать, что при любом n справедливо утверждение:

1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

Х 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

2) Предположим, что n=k

Х k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6

3) Рассмотрим данное утвержде-ние при n=k+1

X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6

X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2

=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2)/6=(k+1)(k(2k+1)+

6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+

2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого натурального n

Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4

Решение: 1) Пусть n=1

Тогда Х 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1. Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=k

X k =k 2 (k+1) 2 /4

3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е

Х k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n

Доказать, что

((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ґ … ґ ((n 3 +1)/(n 3 -1))=3n(n+1)/2(n 2 +n+1), где n>2

Решение: 1) При n=2 тождество выглядит:

(2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ґ 2 ґ 3)/2(2 2 +2+1), т.е. оно верно
2) Предположим, что выражение верно при n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1) ґ … ґ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1)
3) Докажем верность выражения при n=k+1
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ґ … ґ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ґ (((k+1) 3 +

1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ґ ((k+2)((k+

1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ґ

ґ ((k+1) 2 +(k+1)+1)

Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого n>2

Доказать, что

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3) для любого натурального n

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) Предположим, что n=k, тогда
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3)
3) Докажем истинность этого утверждения при n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3)+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+

+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3)

Доказана и справедливость равенства при n=k+1, следовательно утверждение верно для любого натурального n.

Доказать верность тождества

(1 2 /1 ґ 3)+(2 2 /3 ґ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ґ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1) для любого натурального n

1) При n=1 тождество верно 1 2 /1 ґ 3=1(1+1)/2(2+1)
2) Предположим, что при n=k
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ґ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1)
3) Докажем, что тождество верно при n=k+1
(1 2 /1 ґ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1)/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ґ ((k/2)+((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ґ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)/2(2(k+1)+1)

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n.

Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1) делится на 133 без остатка

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Но (23 ґ 133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно; А(1) истинно.

2) Предположим, что (11 k+2 +12 2k+1) делится на 133 без остатка
3) Докажем, что в таком случае (11 k+3 +12 2k+3) делится на 133 без остатка. В самом деле
11 k+3 +12 2л+3 =11 ґ 11 k+2 +12 2 ґ 12 2k+1 =11 ґ 11 k+2 +

+(11+133) ґ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133 ґ 12 2k+1

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей выступает 133. Итак, А(k) Ю А(k+1). В силу метода математической индукции утверждение доказано

Доказать, что при любом n 7 n -1 делится на 6 без остатка

1) Пусть n=1, тогда Х 1 =7 1 -1=6 де-лится на 6 без остатка. Значит при n=1 утвержде-ние верно
2) Предположим, что при n=k 7 k -1 делится на 6 без остатка
3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1

X k+1 =7 k+1 -1=7 ґ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6

Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7 n -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11.

1) Пусть n=1, тогда

Х 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 делится на 11 без остатка.

Значит, при n=1 утверждение верно

2) Предположим, что при n=k X k =3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 без остатка
3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ґ 3 3k-1 +2 4 ґ 2 4k-3 =

27 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =(16+11) ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16 ґ 3 3k-1 +

11 ґ 3 3k-1 +16 ґ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11 ґ 3 3k-1

Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 по предположению, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма делится на 11 без остатка при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

Доказать, что 11 2n -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка

1) Пусть n=1, тогда 11 2 -1=120 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно
2) Предположим, что при n=k 1 2k -1 делится на 6 без остатка
11 2(k+1) -1=121 ґ 11 2k -1=120 ґ 11 2k +(11 2k -1)

Оба слагаемых делятся на 6 без остатка: первое содержит кратное 6-ти число 120, а второе делится на 6 без остатка по предположению. Значит и сумма делится на 6 без остатка. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

Доказать, что 3 3n+3 -26n-27 при произвольном натуральном n делится на 26 2 (676) без остатка

Предварительно докажем, что 3 3n+3 -1 делится на 26 без остатка

1. При n=0
3 3 -1=26 делится на 26
2. Предположим, что при n=k
3 3k+3 -1 делится на 26
3. Докажем, что утверждение верно при n=k+1
3 3k+6 -1=27 ґ 3 3k+3 -1=26 ґ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) -делится на 26

Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи

1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно
3 3+3 -26-27=676
2) Предположим, что при n=k выражение 3 3k+3 -26k-27 делится на 26 2 без остатка
3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27)

Оба слагаемых делятся на 26 2 ; первое делится на 26 2 , потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано

Доказать, что если n>2 и х>0, то справедливо неравенство (1+х) n >1+n ґ х

1) При n=2 неравенство справед-ливо, так как
(1+х) 2 =1+2х+х 2 >1+2х

Значит, А(2) истинно

2) Докажем, что А(k) Ю A(k+1), если k> 2. Предположим, что А(k) истинно, т.е., что справедливо неравенство
(1+х) k >1+k ґ x. (3)

Докажем, что тогда и А(k+1) истинно, т.е., что справедливо неравенство

(1+x) k+1 >1+(k+1) ґ x

В самом деле, умножив обе части неравенства (3) на положительное число 1+х, получим

(1+x) k+1 >(1+k ґ x)(1+x)

Рассмотрим правую часть последнего неравенства; имеем

(1+k ґ x)(1+x)=1+(k+1) ґ x+k ґ x 2 >1+(k+1) ґ x

В итоге получаем, что (1+х) k+1 >1+(k+1) ґ x

Итак, А(k) Ю A(k+1). На основании принципа математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n> 2

Доказать, что справедливо неравенство (1+a+a 2) m > 1+m ґ a+(m(m+1)/2) ґ a 2 при а> 0

Решение: 1) При m=1

(1+а+а 2) 1 > 1+а+(2/2) ґ а 2 обе части равны
2) Предположим, что при m=k
(1+a+a 2) k >1+k ґ a+(k(k+1)/2) ґ a 2
3) Докажем, что при m=k+1 не-равенство верно
(1+a+a 2) k+1 =(1+a+a 2)(1+a+a 2) k >(1+a+a 2)(1+k ґ a+

+(k(k+1)/2) ґ a 2)=1+(k+1) ґ a+((k(k+1)/2)+k+1) ґ a 2 +

+((k(k+1)/2)+k) ґ a 3 +(k(k+1)/2) ґ a 4 > 1+(k+1) ґ a+

+((k+1)(k+2)/2) ґ a 2

Мы доказали справедливость неравенства при m=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального m

Доказать, что при n>6 справедливо неравенство 3 n >n ґ 2 n+1

Перепишем неравенство в виде (3/2) n >2n

1. При n=7 имеем 3 7 /2 7 =2187/128>14=2 ґ 7 неравенство верно
2. Предположим, что при n=k (3/2) k >2k
3) Докажем верность неравенства при n=k+1
3 k+1 /2 k+1 =(3 k /2 k) ґ (3/2)>2k ґ (3/2)=3k>2(k+1)

Так как k>7, последнее неравенство очевидно.

В силу метода математической индукции неравенство справедливо для любого натурального n

Доказать, что при n>2 справедливо неравенство

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/n 2)<1,7-(1/n)

1) При n=3 неравенство верно
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. Предположим, что при n=k
1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/k 2)=1,7-(1/k)
3) Докажем справедливость неравенства при n=k+1
(1+(1/2 2)+…+(1/k 2))+(1/(k+1) 2)

Докажем, что 1,7-(1/k)+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

Ы (1/(k+1) 2)+(1/k+1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

Ы k(k+2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Последнее очевидно, а поэтому

1+(1/2 2)+(1/3 2)+…+(1/(k+1) 2)<1,7-(1/k+1)

В силу метода математической индукции неравенство доказано.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Решения типовых задач Задача Доказать по определению предела числовой последовательности что n li n n Решение По определению число является пределом числовой последовательности n n n N если найдется натуральное число N такое что для всех n n n N выполняется неравенство Решим последнее неравенство n относительно n: n n n n n n (n) В качестве N можно взять N Если то N если же то N Итак для любого n n Задача Вычислить li n n Решение указано соответствующее значение N Этим доказано что n li n n n n n n (n n) n (n n li li li li n n n (n) n n n(n) n n (n)) Ответ n n Задача Вычислить li n n Решение n n n li li n n n n Сделаем замену переменных: n (n) если n то и

2 li Ответ e li li li e e Задача Определить порядок бесконечно малой функции y sin относительно бесконечно малой y если Решение Вычислим sin sin sin sin li li li li li k k k sin k sin если k Следовательно функция y sin имеет второй порядок относительно бесконечно малой y при Ответ Бесконечно малая функция y sin имеет второй порядок относительно бесконечно малой y при sin Задача Вычислить li Решение Сделаем замену переменных: t ; если то t ; t t sin t t sin cos t li li li li t t t t t t Ответ Задача Исследовать на непрерывность функцию f () Решение Функция f () не определена в точке Вычислим односторонние пределы: li li Так как в точке односторонние пределы равны бесконечности то эта точка является точкой разрыва второго рода

3 Ответ Точка - точка разрыва второго рода Задача Выполнить полное исследование функции y и построить ее график Решение Область определения функции Функция определена на всей числовой оси О Четность функции Так как y () y то функция четная Пересечение графика функции с осями координат Если то y Следовательно график функции пересекает ось OY и ось OX в точке O ; Промежутки знакопостоянства функции Функция положительна при любом Асимптоты Так как функция не имеет точек разрыва второго рода то вертикальных асимптот нет Выясним наличие наклонной асимптоты y k b y li li k li b li y k li Следовательно есть горизонтальная асимптота y Промежутки возрастания Вычислим первую производную: y () " " Очевидно что y при; при y следовательно функция убывает при " ; а при y значит функция возрастает при Следовательно при функция имеет минимум и y Промежутки выпуклости "" Вычислим вторую производную: y in

4 "" Так как y если то для; ; функция выпукла вверх "" Далее y если значит если; то функция выпукла вниз "" И наконец y если Следовательно точками перегиба являются точки График функции y() Задача Найти матрицу если Решение Вычислим определитель матрицы: det Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы: Составим союзную матрицу * Тогда * det

5 Ответ Задача С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы Решение Производя последовательно элементарные преобразования преобразуем исходную матрицу к ступенчатому виду: Ранг последней матрицы равен двум Следовательно такой же ранг исходной матрицы Ответ Задача Методом Крамера решить систему уравнений: Решение Матрица невырожденная так как det Вычислим: Тогда: те Ответ

6 Задача Исследовать систему уравнений на совместность Если система совместна найти общее решение и одно частное Решение Рассмотрим основную и расширенную матрицы системы: Так как) () (то исходная система совместна За базисный минор выберем M Тогда неизвестные главные свободные а система примет вид: Решив полученную систему относительно получим: Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Частное решение получим например положив: Ответ Общее решение где R Частное решение Задача Найти общее решение однородной системы Решение

7 Ранг матрицы коэффициентов равен < Поэтому система имеет ненулевые решения Выбрав в качестве базисного минора минор M преобразуем исходную систему к виду: Решив данную систему относительно получим Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Ответ Общее решение где R Задача Решить систему методом Гаусса: Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы имеем Этой матрице соответствует система

8 Выполнив обратный ход метода Гаусса находим с и отсюда получаем общее решение: с где с R с Ответ Общее решение: с где с R Задача Вычислить площадь S параллелограмма построенного на векторах a b и Решение a b если a b а угол между векторами a и b равен Согласно определению и свойствам векторного произведения имеем a Ответ b a b a a a b b a (a b) (a b) Так как a a b a a b) то S a b a b sin b Задача Найти объем V треугольной пирамиды с вершинами;; B ;; C ;; и D ;; Решение Объем пирамиды равен объема параллелепипеда построенного на векторах b B C D Найдем координаты этих векторов: B векторов B ;; C ;; D C Отсюда D V ;; a a a b a b (b b) Находим смешанное произведение этих () () Ответ

9 Задания письменного экзамена по высшей математике в зимнюю сессию - учебного года Вариант Найти точки разрыва функции y и указать их свойства Вычислить определитель Найти сумму экстремумов функции y Если f () на промежутке (a ; b) то является ли функция f () монотонной на этом промежутке? Дана ненулевая матрица n Известно что ang()= Чему равен ang(T)? На сколько процентов изменится значение функции y если значение аргумента увеличить от = на %? Даны векторы a (;) b (;) c (;) d (;) Найти базис этого множества векторов и векторы не входящие в базис представить в виде линейной комбинации векторов базиса Составить уравнения касательных к кривой y в точках с абсциссой Уравнение плоскости проходящей через три заданные точки Теорема Кронекера-Капелли Применение теоремы для решения систем линейных алгебраических уравнений

10 Задания письменного экзамена по высшей математике в зимнюю сессию - учебного года Условие задачи Теорема Кронекера-Капелли Применение теоремы для решения систем линейных алгебраических уравнений sin Доказать что li Основания трапеции лежат на прямых y y Вычислить длину высоты трапеции Для матрицы найти обратную Исследовать систему и в случае совместности решить ее Ответ Общее решение Частное решение Функция непрерывна на Исследовать на непрерывность функцию y множестве (;) (;) (;) - точка устранимого разрыва - точка бесконечного разрыва Значение функции На сколько процентов изменится значение функции y уменьшится на если значение аргумента увеличить от = на %? % Найти сумму экстремумов функции y y () y() Составить уравнения касательных к кривой y в точках с y абсциссой y Вычислить площадь параллелограмма построенного на векторах a и b где a и b ()

11 Задания письменного экзамена по высшей математике в зимнюю сессию - учебного года Задание Определители свойства определителей Теорема Лагранжа Вычислить предел tg sin li sin Выполнить полное исследование функции построить еѐ график y и Найти приращение и дифференциал функции y в точке если приращение аргумента Укажите способ применения дифференциала для приближенных вычислений Вычислить производную порядка n функции y sin Объем продукции производимой бригадой в каждый час смены задается функцией f (t) t t t где t t время в часах Определить время t в которое производительность труда снижается Найти точку пересечения прямой и плоскости: y z y z При каком направляющем векторе прямой прямая и плоскость параллельны? Дана система уравнений b b b Определить множество векторов b (b bb) для которых система совместна Описать геометрически полученное множество и построить его в R Дать теоретическое обоснование решения Найти площадь параллелограмма построенного на векторах a b где и угол между Ответ y a y() y in y() ; график функции на следующей странице y dy (y n) sin(n) n при t производительность труда снижается N точка пересечения- M (;;) ; направляющий вектор прямой можно выбрать таким l (; ;) b b b векторами равен

12 График функции y имеет вертикальную асимптоту и наклонную y y() as() as

13 Задания письменного экзамена по высшей математике в зимнюю сессию - учебного года Задание Ответ Скалярное произведение векторов Первый замечательный предел (Вывод формулы) Привести пример для вычисления предела Исследовать на непрерывность функцию t Выполнить полное исследование функции построить ее график f (t) t t если y и Составить уравнение нормали к графику функции y в точке (;) Имеет ли уравнение корни на отрезке [;]? имеет точки - точки разрыва -го рода -точка устранимого разрыва y a y() y in y() график функции на следующей странице y В треугольнике с вершинами (; ;) B(; ;) C(;;) найти h высоту h BD Составить уравнение плоскости проходящей через точку (;;) перпендикулярной плоскостям y z и y z y z Исследовать систему уравнений совместность и решить еѐ если она совместна на R Написать разложение вектора (; ;) по векторам a (; ;) a (;;) a (;;) a a a

14 График функции y имеет вертикальную асимптоту и наклонную y y() as() as

15 Письменный экзамен по высшей математике в зимнюю сессию - уч г на заочном отделении n n Найти пределы li li n n n n Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции y на отрезке [ ;] y z u v Исследовать систему уравнений на y z u v совместность и решить еѐ если она совместна Найти производную функции f () sin() cos() Исследовать функцию y и построить ее график tg Найти пределы li li Написать уравнения касательных к графику функции y в точках пересечения графика функции с осью абсцисс Исследовать на непрерывность функцию f () y Решить систему уравнений y методом Крамера Найти сумму экстремумов функции y

16 Письменный экзамен по высшей математике в зимнюю сессию - учг на заочном отделении экономического факультета Метод Гаусса Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей Вычислить предел числовой последовательности заданной общим (n)(n)(n) членом n (n)(n) Вычислить li Определить порядок бесконечно малой относительно при На кривой y найти точку в которой касательная параллельна хорде соединяющей точки (-;-) и B(;) Вычислить острый угол между плоскостью y z и прямой y z y z Вычислить производные функций: а) y () ; б) y tg () ; в) y) (Исследовать систему уравнений на совместность и решить еѐ если она совместна Вычислить эластичность функции при заданном значении s аргумента

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» в зимнюю сессию - учебного года для I курса экономического факультета дневного отделения (специальностей «экономика» и «экономическая теория») заочного

Билет Матрицы, действия над ними Числовая последовательность, свойства бесконечно малых последовательностей Вычислить расстояние от точки M(; ;) до плоскости, проходящей через точки A(; ; 0), B(; ;

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

Программа письменного экзамена по «Высшей математике» для I курса заочного отделений экономического факультета в зимнюю сессию Письменный экзамен проводится в течение двух часов. На экзамене каждому студенту

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ по курсу «Математика. -й семестр» для

Методические указания к решению контрольной работы 1 по дисциплине «Математика» для студентов первого курса строительных специальностей Кафедра высшей математики АВ Капусто Минск 016 016 Кафедра высшей

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ЛЕКЦИЯМ. Раздел 1. Векторная и линейная алгебра. Лекция 1. Матрицы, операции над ними. Определители. 1. Определения матрицы и транспонированной матрицы.. Что называется порядком матрицы?

Направление: «Строительство» Вопросы и задачи к экзамену семестр. Матрицы: определение, виды. Действия с матрицами: транспонирование, сложение, умножение на число, умножение матриц. 2. Элементарные преобразования

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Определение вектора. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Базис и координаты.

ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ I Лекции 1 2 Определители и матрицы Лекция 1 1.1. Понятие матрицы. Виды матриц... 19 1.1.1. Основные определения... 19 1.1.2. Виды матриц... 19 1.2.* Перестановки и подстановки... 21 1.3.*

Предисловие Глава I. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ 1. Матрицы 1.1. Основные понятия 1.2. Действия наді матрицами 2. Определители 2.1. Основные понятия 2.2. Свойства определителей 3. Невырожденные матрицы 3.1.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1. Матрицы, операции над матрицами. 2. Верхние и нижние грани числовых множеств. Поле действительных чисел. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 2 1. Определители. Свойства определителей, методы

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (РГГУ) Филиал в г Домодедово

Министерство образования и науки РФ еверный (рктический) федеральный университет им МЛомоносова Кафедра математики Примерные задания к экзамену по математике (часть) для студентов 9 группы ИЭИТ направление

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Московский государственный технический университет «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» Проф, дф-мн Кадымов ВА Доц, кф-мн Соловьев ГХ Тесты по контролю промежуточных

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля) Планы практических занятий Матрицы и определители, системы линейных уравнений Матрицы Операции над матрицами Обратная матрица Элементарные

Вариант 5 Найти область определения функции: y arcsin + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого

Министерство образования и науки РФ Северный Арктический федеральный университет им. М.В.Ломоносова Кафедра математики Вопросы по математике для студентов заочной формы обучения специальности 000. «Теплоэнергетика

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

Дана матрица Контрольная работа A 0 T= Задание [, стр ] Определите ее размерность Выпишите характеристики этой матрицы: прямоугольная, квадратная, симметричная, единичная, нулевая, треугольная, диагональная,

Экзаменационный билет 1 Факультет:101-152, 125-126 1. Умножение матриц. 2. Векторное произведение в координатной форме 3. Односторонние пределы. Экзаменационный билет 2 1. Определитель 3-го порядка. 2.

Вопросы и задачи для контрольной работы Линейная алгебра Матрицы и определители Вычислить определители: а), б), в), г) Решить уравнение 9 9 Найти определитель матрицы B A C: A, B Найти произведение матриц

Вариант Найти область определения функции: + + + Неравенство + выполняется всегда Поэтому область определения данной функции определяется следующими неравенствами:, те, и, те Решением системы этих неравенств

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы лицей 1580 (при МГТУ им.

Найти общий член последовательности,) Найти b) lim () c) 9 7 7) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Найти ()!! lim ()!) b) c) Найти 6 si lim si d)) b) c) d) d) () Найти lim [ (l() l)]) b) c) e d) l 6 Найти

Математика [Электронный ресурс] : электронный учебно-методический комплекс. Ч. 1 / Е.А. Левина, В.И. Зимин, И.В. Касымова [и др.] ; Сиб. гос. индустр. ун-т. - Новокузнецк: СибГИУ, 2010. - 1 электрон.опт.диск

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

Билет 1 1 Определители -го и -го порядка, их свойства и способы вычисления Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решить систему уравнений методам Гаусса и матричного исчисления: Найти координаты

Контрольные работы по дисциплине «Математика» для студентов направления 676 (9) «Технология и дизайн упаковочного производства» Тематических перечень Линейная алгебра Векторная алгебра Аналитическая геометрия

Содержание Введение Линейная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения задач Задачи для самоподготовки Аналитическая геометрия и векторная алгебра Задачи для аудиторных занятий Образцы решения

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТАМ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ В МЕЖСЕССИОННЫЙ ПЕРИОД ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ» ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 37.00.01 ПСИХОЛОГИЯ Тема 1. Матрицы

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

АННОТАЦИЯ к рабочей программе дисциплины «Математика» Направление подготовки (специальность) 38.03.04 Государственное и муниципальное управление 1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ 1.1. Цели дисциплины: развитие

Контрольная работа Тема Пределы и производные функций Найти пределы нижеследующих функций одной переменной (без правила Лопиталя) а) б) в) г) Пример а) Решение Определяем вид неопределенности При формальных

ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Учебная дисциплина Б.2.1 - Математика Профиль подготовки: Производственный менеджмент Тематика

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э.Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580. Вопросы к переводному экзамену по математике (10-й класс 2016 2017 й учебный

Вариант 9 Найти область определения функции: y + lg Область определения данной функции определяется следующим неравенством: >, те > Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или ± Объединяя результаты,

Образцы базовых задач и вопросов по МА за семестр Предел последовательности Простейшие Вычислите предел последовательности l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Вычислите предел последовательности

Поток: ТВГТ -I ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ 1 1Определители -го и -го порядка Правила вычисления Общий алгоритм исследования графика функций с помощью производных Нахождение наибольшего и наименьшего значений

Вариант Найти область определения функции Область определения данной функции определяется неравенством > Корнями уравнения являются числа Так как ветви параболы направлены вверх то неравенство > выполняется

01 1. Найдите общее и базисное решения системы уравнений: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Ответ: Если в качестве базисной переменной выбрать x, то общее решение: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, x R; базисное

ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ (МОДУЛЮ). Общие сведения 1. Кафедра Информатики, вычислительной техники и информационной безопасности 2. Направление

Вариант Найти область определения функции: y arcsi + Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и Умножим первое неравенство на и освободимся от знака модуля: Из левого неравенства

Вариант Найти область определения функции: y + Область определения данной функции определяется неравенством Кроме того знаменатель не должен обращаться в нуль Найдём корни знаменателя: Объединяя результаты

Вариант + Найти область определения функции: y lg Область определения данной функции определяется неравенством + те Далее знаменатель не должен обращаться в нуль: lg или ± Кроме того аргумент логарифма

Утверждены на заседании кафедры «Математика и информатика» Протокол 2(25) «8» сентября 2015г. зав. кафедрой к.э.н. Тимшина Д.В. Вопросы к зачету по дисциплине «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

Билет.. Определение матрицы (с примерами квадратной и прямоугольной матриц).. Геометрический смысл многочлена Тейлора первого порядка (формулировка, пример, рисунок). (x) ctg(x). 4. Метод хорд графического

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра «Высшая математика» ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические указания и варианты заданий к контрольной

4 Методические указания к выполнению контрольной работы «Производная и ее приложения Приложения дифференциального исчисления» Производная Приложения дифференциального исчисления Производной функции f (

Вариант 7 Найти область определения функции: y + / lg Область определения данной функции определяется следующими условиями:, >, те > / Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или Объединяя результаты,

Лекции 7-9 Глава 7 Исследование функции 7 Возрастание и убывание функции Теорема о монотонности функции Если f (на промежутке (a ; b, то на этом промежутке функция f (возрастает Если f (на промежутке

Программа экзамена по математике для студентов специальности «Финансы и кредит» (заочная форма обучения) 1 Раздел 2. Основы математического анализа ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ Понятие функции Определение функции,

Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана Специализированный учебно-научный центр ГОУ лицей 1580 Вопросы к зачёту по математике (11-й класс, 3-й семестр, декабрь 2013 года)

Вариант 5 Найти область определения функции lg5 Область определения данной функции определяется неравенством 5 > Корнями уравнения 5+ являются числа, Так как ветви параболы + 5 направлены вниз, то неравенство

Задача 2.1. Найти, если
,
,
.

Решение. а). Для
имеем

б). Для
.

в). Для
.

Задача 2.2. Найти
, если

б). Дифференцируя уравнение для
, имеем

Дифференцирование последнего соотношения дает

Внося выражение для , находим

в). Первая производная заданной параметрически функции вычисляется по формуле

Вторую производную вычислим по формуле

Задача 2.3. Вычислить предел, пользуясь правилом Лопиталя:

Решение. а). Искомый предел является неопределённостью типа

По правилу Лопиталя

б). Предел является неопределённостью вида
поэтому вначале его надо преобразовать к видуили:

К последнему (типа
) можно применять правило Лопиталя:

Полученный предел вновь является неопределенностью
поэтому повторное применение правила дает

в). Предел является неопределенностью вида к которой удобно применять следующий прием. Обозначим

. (1)

Вычислим вспомогательный предел

Искомый предел согласно (1) равен

Задача 2.4. Исследовать функцию
и построить ее график.

Решение. Областью определения является вся действительная ось
. Для отыскания участков монотонности находим

Тогда
при
(интервал возрастания),
при
(интервал убывания). Точка
является стационарной, поскольку
При переходе через
производная меняет знак с плюса на минус, поэтому при
функция имеет локальный максимум.

Для отыскания участков выпуклости используется вторая производная

При
или
будет
и функция вогнута; при

и функция выпукла.

Вертикальных асимптот функция не имеет. Для отыскания наклонных асимптот
вычислим

Поэтому при
функция имеет асимптоту

Результаты исследования с учетом четности функции
показаны на графике

4.3. Решение типового варианта контрольной работы n 3

Задача 3.1. Найти градиент и уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхностив точке
.

Решение. Обозначим

Величина градиента

Уравнение касательной плоскости, имеющей нормальный вектор (7,-4,-19) и проходящей через
, запишется

Нормальная прямая имеет направляющий вектор (7,-4,-19) и проходит через
, поэтому ее уравнения

Задача 3.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в области D, ограниченной заданными линиями:

Решение. Область D показана на рисунке (треугольник OAB).

Cтационарные точки являются решениями системы уравнений

откуда находим точку
, принадлежащую, как видно из рисунка, области
. В этой точке
. (2)

Исследуем функцию на границе области D.

Отрезок ОА. Здесь
и
Стационарные точки определяются из уравнения
откуда
В этой точке

. (3)

На концах отрезка

,

. (4)

Отрезок АВ. Здесь
и

Из уравнения
находим
и

. (5)

При
имеем

. (6)

Отрезок ОВ. Здесь
Поскольку
при
функция не имеет стационарных точек. Значения ее при

были вычислены в (4), (6).

Из результатов (2)-(6) заключаем, что

причем наибольшее значение достигается в точке А(3,0), наименьшее - в точке С(2,1).

Задача 3.3. Найти полный дифференциал функции

Решение. Частные производные равны

Задача 3.4. Найти частные производные второго порядка функции

Решение. Сначала находим частные производные первого порядка:

Затем, дифференцируя найденные частные производные, получим частные

производные второго порядка данной функции:

Задача 3.5. Вычислить значение производной сложной функции

при
с точностью до двух знаков после запятой.

Решение. Так как сложная функциязависит от одной переменнойчерез промежуточные переменныеи, которые в свою очередь зависят от одной переменнойто вычисляем полную производную этой функции по формуле

Вычислим ипри
:

Подставим значения
в выражение производной. Получим

4.4. Решение типового варианта контрольной работы № 4

Задача 4.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида

Решение . Поскольку

искомый интеграл равен

Задача 4.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции

Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление:

Правильную дробь разложим на простейшие дроби

Методом неопределенных коэффициентов находим

Решая эту систему уравнений, имеем

Искомый интеграл равен

Задача 4.3.
.

Решение . Выполним подстановку
Разрешая уравнение относительно, находим:

.

Тогда искомый интеграл запишется:

Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби

и раскрывая скобки в равенстве

приходим к соотношению

Система уравнений относительно
запишется

Решая ее методом Гаусса, находим

Искомый интеграл равен:

Задача 4.4. Вычислить с помощью подстановки неопределенный интеграл от функции
.

Решение . Универсальной является подстановка
для которой нетрудно проверить равенства

Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби

. (7)

Однако в ряде случаев более удобны подстановки:

(1)
Тогда

;

(2)
Тогда

;

(3)
Тогда

.

Подстановки 1,2 приводят к подынтегральным выражениям, содержащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (7), и легко приводящемуся к табличному:

Задача 4.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

Решение . а). Рассмотрим вспомогательную функциюна отрезке
Площадь вычисляется по формуле

Исследуем
Очевидно, что
Поскольку

нетрудно проверить, что
достигает в точке
локального минимума, причемКроме того,
Поэтому наименьшее значение
на , равное
, положительно, и, значит,
Имеем

Вычисляя интеграл по частям, находим

б). Здесь
на
Имеем

, и, следовательно,
меняет знак. Найдем интервалы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения
находим значение
поэтому
при
и
при
Искомая площадь равна:

Вычисляем неопределенный интеграл

Задача 4.6. Вычислить площадь, ограниченную кривойв полярной системе координат.

Решение . Кривая определена для тех значенийиз интервала
(или
), при которых выполняется условие
Неравенство
имеет решения
или

. (8)

Области (8) принадлежат интервалу
при значениях
т.е.

Площадь вычисляется по формуле

Вычисляя неопределенный интеграл

Задача 4.7. Вычислить несобственный интеграл
или доказать его расходимость.

Решение . Согласно определению несобственного интеграла с бесконечным пределом имеем

Поскольку корнями трехчлена в знаменателе будут

то

Методом неопределенных коэффициентов находим

, откуда

Поэтому

Значение несобственного интеграла равно

Задача 4.8. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной заданными линиями и имеющей поверхностную плотность

Решение . Вид области показан на рисунке.

Масса пластины
запишется с помощью двойного интеграла

Сведем двойной интеграл к повторному интегралу

Задача 4.9. Вычислить с помощью тройного интеграла объем области V, ограниченной указанными поверхностями: V: y=8-2x 2 , z=0, y=0, x=0, z=2x+y.

Решение . Область V изображена на рисунке, где цифрами 1, 2 обозначены параболический цилиндр y=8-2x 2 и плоскость z=2x+y соответственно; остальные уравнения отвечают координатным плоскостям.

1 4 -

0 C

Объем области посредством тройного интеграла запишется

Приведем интеграл к повторному

Через
обозначены аппликаты точек
(см. рис.), вычисленные из уравнений плоскости
и плоскости
, т.е.
,
. Черезобозначена область плоскости
, на которую проецируется область. Поэтому при сведении двойного интеграла по области к повторному ординаты
точек
вычисляются из уравнения
и уравнения линии, являющейся пересечением цилиндрической поверхности
и плоскости
т.е. уравнения
Искомый объем равен

Задача 4.10. Вычислить: а) заряд проводника, располагающегося вдоль кривой, с плотностью
с помощью криволинейного интеграла первого рода;b ) работу силы
вдоль траекторииL от т.A до т.B с помощью криволинейного интеграла второго рода.

Четверть окружности
между А(3,-3), В(5,-1). (2)- дуга параболы
отА (0,1) доВ (1,-1).

Решение. а ). Зарядq проводника, имеющего плотность заряда
вычисляется по формуле

(1). Окружность удобно задать в параметрическом виде:

Участку L соответствуют значения параметра
где

откуда Криволинейный интеграл выражается через определенный

причем верхний знак выбирается при
и нижний - при

В данной задаче

(2). Для дуги параболы L удобнее использовать частный случай формулы при

Для
имеем

Используем подстановку

б ). Работа силового поля с компонентами
вдоль траектории АВ запишется

(1). Для четверти окружности приведем интеграл к определенному по формуле

(2). Для дуги параболы

Задача 4.11. Вычислить расход жидкости с полем скоростей, протекающей за единицу времени через частьплоскостилежащей в первом октанте. Единичная нормальнаправлена вне начала координат.

Решение. Искомый расход дан формулой

Единичная нормаль к плоскости имеет компоненты

Поверхностный интеграл можно выразить через двойной интеграл

где уравнение поверхности записано в явном виде:

Область
является проекциейна плоскость
и ограничена линиями

Внося в двойной интеграл заданные функции, находим

Последний запишется через повторный интеграл

С о д е р ж а н и е


	Типовые программы курса «Высшая математика». Рекомендуемая литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Программа курса «Высшая математика» для инженерных
		Программа курса «Высшая математика» для экономических специальностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Контрольные работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Правила оформления контрольных работ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Выбор варианта контрольной работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Задания контрольных работ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Примеры решения задач контрольных работ. . . . . . . . . . .
		Решение типового варианта контрольной работы № 1 . . . . . . . . . . . . .
		Решение типового варианта контрольной работы № 2 . . . . . . . . . . . . .
		Решение типового варианта контрольной работы № 3 . . . . . . . . . . . . .
		Решение типового варианта контрольной работы № 4 . . . . . . . . . . . . .

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Данная тема является актуальной, так как каждый день люди решают различные задачи, в которых они применяют разные методы решения, но есть задания, в которых не обойтись без метода математической индукции, и в таких случаях будут очень полезны знания в данной области.

Я выбрал данную тему для исследования, потому что в школьной программе методу математической индукции уделяют мало времени, ученик узнает поверхностнуюинформацию, которая поможетему получить лишь общее представление о данном методе, но чтобы углубленно изучить эту теорию потребуется саморазвитие. Действительно будет полезно поподробнее узнать о данной теме, так как это расширяет кругозор человека и помогает в решении сложных задач.

Цель работы:

Познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить её при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач.

Задачи работы:

Проанализировать литературу и обобщить знания по данной теме.

Разобраться в принципе метода математической индукции.

Исследовать применение метода математической индукции к решению задач.

Сформулировать выводы и умозаключения по проделанной работе.

Основная часть исследования

История возникновения:

Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.

Индукция - познавательная процедура, посредством которой из сравнения наличных фактов выводится обобщающее их утверждение.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство.

Осознание метода математической индукции как отдельного важного метода восходит к Блезу Паскалю и Герсониду, хотя отдельные случаи применения встречаются ещё в античные времена у Прокла и Эвклида. Современное название метода было введено де Морганом в 1838 году.

Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом: мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению логически развивать свою мысль, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.

Индукция и дедукция

Известно, что существуют как частные, так и общие утверждения, и на переходе от одних к другим и основаны два данных термина.

Дедукция (от лат. deductio - выведение) - переход в процессе познания от общего знания к частному и единичному . В дедукции общее знание служит исходным пунктом рассуждения, и это общее знание предполагается «готовым», существующим. Особенность дедукции состоит в том, что истинность ее посылок гарантирует истинность заключения. Поэтому дедукция обладает огромной силой убеждения и широко применяется не только для доказательства теорем в математике, но и всюду, где необходимы достоверные знания.

Индукция (от лат. inductio - наведение) - это переход в процессе познания от частного знания к общему .Другими словами, - это метод исследования, познания, связанный с обобщением результатов наблюдений и экспериментов.Особенностью индукции является ее вероятностный характер, т.е. при истинности исходных посылок заключение индукции только вероятно истинно и в конечном результате может оказаться как истинным, так и ложным.

Полная и неполная индукция

Индуктивное умозаключение - такая форма абстрактного мышления, в которой мысль развивается от знания меньшей степени общности к знанию большей степени общности, а заключение, вытекающее из посылок, носит преимущественно вероятностный характер.

В ходе исследования я выяснил, что индукция делится на два вида: полная и неполная.

Полной индукцией называется умозаключение, в котором общий вывод о классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса.

Например,пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 6≤ n≤ 18 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Данные равенства показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Рассмотрим следующий пример: последовательность yn= n 2 +n+17; Выпишем первые четыре члена: у 1 =19; y 2 =23; y 3 =29; y 4 =37; Тогда мы можем предположить, что вся последовательность состоит из простых чисел. Но это не так, возьмем y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Это составное число, значит наше предположение неверно, таким образом, неполная индукция не приводит к вполне надежным выводам, но позволяет сформулировать гипотезу, которая в дальнейшем требует математического доказательства или опровержения.

Метод математической индукции

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных случаев, а провести проверку для всех этих ситуаций мы не в состоянии.Но как осуществить проверку бесконечного числа случаев? Такой способ предложили Б.Паскаль и Я.Бернулли, это метод математической индукции, в основе которого лежит принцип математической индукции .

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Алгоритм (он состоит из четырех этапов):

1.база (показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (п = 1));

2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев); 3 .шаг (в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1); 4.вывод (у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .

Заметим, что Методом математической индукции можно решать не все задачи, а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.

Применение метода математической индукции

Применим всю данную теорию на практике и выясним, в каких задачах применяется данный метод.

Задачи на доказательство неравенств.

Пример 1. Доказать неравенство Бернулли(1+х)n≥1+n х, х>-1, n € N.

1) При n=1 неравенство справедливо, так как 1+х≥1+х

2) Предположим, что неравенство верно для некоторого n=k, т.е.

(1+х) k ≥1+k x.

Умножив обе части неравенства на положительное число 1+х, получим

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Учитывая, что kx 2 ≥0, приходим к неравенству

(1+х) k+1 ≥1+(k+1) x.

Таким образом, из допущения, что неравенство Бернулли верно для n=k, следует, что оно верно для n=k+1. На основании метода математической индукции можно утверждать, что неравенство Бернулли справедливо для любого n € N.

Пример 2. Доказать, что при любом натуральном n>1, .

Докажем с помощью метода математической индукции.

Обозначим левую часть неравенства через.

1), следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

2)Пусть при некоторомk. Докажем, что тогда и. Имеем, .

Сравнивая и, имеем, т.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому. Но, значит, и.Мы доказали справедливость неравенства при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, неравенство справедливо для любого натурального n>1.

Задачи на доказательство тождеств.

Пример 1. Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

Пусть n=1, тогда Х 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

Мы видим, что при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что равенство верно при n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е.X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.

Пример 2. Доказать, что при любом натуральном nсправедливо равенство

1) Проверим, что это тождество верно приn = 1.; - верно.

2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е..

3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.;

Т.к. равенство верно при n=kи n=k+1, то оно справедливо при любом натуральном n.

Задачи на суммирование.

Пример 1. Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Решение: 1) Имеем n=1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.

2) Докажем, что А(k) A(k+1).

Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

В самом деле,1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Итак, А(k) А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого n N.

Пример 2. Доказать формулу, n - натуральное число.

Решение: При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.

Предположим, что формула верна при n=k, т.е. .

Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим

Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1, то это утверждение справедливо при любом натуральном n.

Задачи на делимость.

Пример 1. Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1) делится на 133 без остатка.

Решение: 1) Пусть n=1, тогда

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23× 133.

(23× 133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно;

2) Предположим, что (11 k+2 +12 2k+1) делится на 133 без остатка.

3) Докажем, что в таком случае

(11 k+3 +12 2k+3) делится на 133 без остатка. Действительно, 11 k+3 +12 2л+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей является 133.

Итак, А(k)→ А(k+1), то опираясь на метод математической индукции, утверждение верно для любых натуральных n.

Пример 2. Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11.

Решение: 1) Пусть n=1, тогдаХ 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 делится на 11 без остатка. Значит, при n=1 утверждение верно.

2) Предположим, что при n=k

X k =3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 без остатка.

3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .

Задачи из реальной жизни.

Пример 1. Доказать, что сумма Sn внутренних углов любого выпуклого многоугольника равна (п - 2)π, где п — число сторон этого многоугольника:Sn = (п - 2)π (1).

Это утверждение имеет смысл не для всех натуральных п , а лишь для п > 3, так как минимальное число углов в треугольнике равно 3.

1) При п = 3 наше утверждение принимает вид: S 3 = π. Но сумма внутренних углов любого треугольника действительно равна π. Поэтому при п = 3 формула (1) верна.

2) Пусть эта формула верна при n=k , то есть S k = (k - 2)π, где k > 3. Докажем, что в таком случае имеет место и формула:S k+ 1 = (k - 1)π.

Пусть A 1 A 2 ... A k A k+ 1 —произвольный выпуклый (k + 1) -угольник (рис. 338).

Соединив точки A 1 и A k , мы получим выпуклый k -угольник A 1 A 2 ... A k — 1 A k . Очевидно, что сумма углов (k + 1) -угольника A 1 A 2 ... A k A k+ 1 равна сумме углов k -угольника A 1 A 2 ... A k плюс сумма углов треугольника A 1 A k A k+ 1 . Но сумма углов k -угольника A 1 A 2 ... A k по предположению равна (k - 2)π, а сумма углов треугольника A 1 A k A k+ 1 равна π. Поэтому

S k+ 1 = S k + π = (k - 2)π + π = (k - 1)π.

Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и потому формула (1) верна при любом натуральном п > 3.

Пример 2. Имеется лестница, все ступени которой одинаковы. Требуется указать минимальное число положений, которые гарантировали бы возможность «забраться» на любую по номеру ступеньку.

Все согласны с тем, что должно быть условие. Мы должны уметь забраться на первую ступень. Далее должны уметь с 1-ой ступеньки забраться на вторую. Потом во второй - на третью и т.д. на n-ую ступеньку. Конечно, в совокупности же «n» утверждений гарантирует нм то, что мы сможем добраться до n-ой ступеньки.

Посмотрим теперь на 2, 3,…., n положение и сравним их друг с другом. Легко заметить, что все они имеют одну и ту же структуру: если мы добрались до k ступеньки, то можем забраться на (k+1) ступеньку. Отсюда становится естественной такая аксиома для справедливости утверждений, зависящих от «n»: если предложение А(n), в котором n - натуральное число, выполняется при n=1 и из того, что оно выполняется при n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно выполняется и для n=k+1, то предположение А(n) выполняется для любого натурального числа n.

Приложение

Задачи с применением метода математической индукции при поступлении в ВУЗы.

Заметим, что при поступление в высшие учебные заведения также встречаются задачи, которые решаются данным методом. Рассмотрим их на конкретных примерах.

Пример 1. Доказать, что любом натуральном п справедливо равенство

1) При п=1 мы получаем верное равенство Sin.

2) Сделав предположение индукции, что при n=k равенство верно, рассмотрим сумму, стоящую в левой части равенства, при n=k+1;

3) Используя формулы приведения преобразуем выражение:

Тогда, в силу метода математической индукции равенство верно для любого натурального n.

Пример 2. Доказать, что для любого натурального n значение выражения 4n +15n-1 кратно 9.

1) При n=1: 2 2 +15-1=18 - кратно 9 (т.к.18:9=2)

2) Пусть равенство выполняется для n=k: 4 k +15k-1 кратно 9.

3) Докажем, что равенство выполняется и для следующего числа n=k+1

4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4.4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k-2)

4(4 k +15k-1) - кратно 9;

9(5k-2) - кратно 9;

Следовательно и все выражение 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) кратно 9, что и требовалось доказать.

Пример 3. Доказать, что при любом натуральном числе п выполняется условие: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.

1) Проверим, что данная формула верна при п=1: Левая часть = 1∙2∙3=6.

Правая часть= . 6 = 6; верно при п=1.

2) Предположим, что данная формула верна при n=k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.

3) Докажем, что данная формула верна при n=k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k+1 =.

Доказательство:

Итак, данное условие верно в двух случаях и доказали, что верно при n=k+1, следовательно она верно при любом натуральном числе п.

Заключение

Подведем итоги, в процессе исследования я выяснил, в чем заключается индукция, которая бывает полной или неполной, познакомился с методом математической индукции, основанном на принципе математической индукции, рассмотрел множество задач с применением данного метода.

Также я узнал много новой информации, отличной от той, что включена в школьную программу.Изучая метод математической индукции я использовал различную литературу, ресурсы интернета, а также консультировался с педагогом.

Вывод: Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, убедился в необходимости знаний по данной теме в реальной действительности. Положительным качеством метода математической индукции является его широкое применение в решении задач: в области алгебры, геометрии и реальной математики. Также эти знания повышают интерес к математике, как к науке.

Я уверен, что навыки, приобретенные в ходе работы, помогут мне в будущем.

Список литературы

Соминский И.С. Метод математической индукции. Популярные лекции по математике, выпуск 3-М.: Наука, 1974г.

Л. И. Головина, И. М. Яглом. Индукция в геометрии. — Физматгиз, 1961. — Т. 21. — 100 с. — (Популярные лекции по математике).

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы (Избранные вопросы элементарной математики) - Изд.5-е, перераб., 1976 - 638с.

А. Шень. Математическая индукция. — МЦНМО, 2004. — 36 с.

M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич Сборник задач по алгебре: учеб.пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики 7-е изд.— М.: Просвещение, 2001.—271 с

Ма-ка-ры-чев Ю.Н., Мин-дюк Н.Г До-пол-ни-тель-ные главы к школь-но-му учеб-ни-ку ал-геб-ры 9 клас-са. - М.: Про-све-ще-ние, 2002.

Википедия- свободная энциклопедия.