Силовые и эквипотенциальные линии поля. §9 Силовые линии и эквипотенциали

Эквипотенциальные поверхности это такие поверхности каждая из точек, которых обладают одинаковым потенциалом. То есть на эквипотенциальной поверхности электрический потенциал имеет неизменное значение. Такой поверхностью является поверхности проводников, так как их потенциал одинаков.

Представим себе такую поверхность, для двух точек которой разность потенциалов будет равна нулю. Это и будет эквипотенциальная поверхность. Поскольку потенциал на ней одинаков. Если рассматривать эквипотенциальную поверхность в двухмерном пространстве, допустим на чертеже, то она будет иметь форму лини. Работа сил электрического поля по перемещению электрического заряда вдоль этой лини будет равна нулю.

Одним из свойств эквипотенциальных поверхностей является то, что они всегда перпендикулярны силовым линиям поля. Это свойство можно сформулировать и наоборот. Любая поверхность, которая перпендикулярна во всех точках к линиям электрического поля и называется эквипотенциальной.

Также такие поверхности никогда не пересекаются между собой. Так как это означало бы различие потенциала в пределах одной поверхности, что противоречит определению. Еще они всегда замкнуты. Поверхности равного потенциала не могут начаться и уйти в бесконечность, не имея при этом четких границ.

Как правило, на чертежах нет необходимости изображать поверхности целиком. Чаще изображают перпендикулярное сечение к эквипотенциальным поверхностям. Таким образом, они вырождаются в линии. Этого оказывается вполне достаточно для оценки распределения данного поля. При изображении графически поверхности располагают с одинаковым интервалом. То есть между двумя соседними поверхностям соблюдается одинаковый, шаг скажем в один вольт. Тогда по густоте линий образованных сечением эквипотенциальных поверхностей можно судить о напряжённости электрического поля.

Для примера рассмотрим поле, создаваемое точечным электрическим зарядом. Силовые линии такого поля радиальные. То есть они начинаются в центре заряда и направлены на бесконечность, если заряд положительный. Или направлены к заряду, если он отрицательный. Эквипотенциальные поверхности такого поля будут иметь форму сфер с центром в заряде и расходящихся от него. Если же изобразить двухмерное сечение, то тогда эквипотенциальные лини будут в виде концентрических окружностей, центр которых также расположен в заряде.

Рисунок 1 — эквипотенциальные лини точечного заряда

Для однородного поля такого как, например поле между обкладками электрического конденсатора поверхности равного потенциала будут иметь форму плоскостей. Эти плоскости расположены параллельно друг другу на одинаковом расстоянии. Правда на краях обкладок картина поля исказится вследствие краевого эффекта. Но мы представим себе, что обкладки бесконечно длинные.

Рисунок 2 — эквипотенциальные линии однородного поля

Чтобы изобразить эквипотенциальные лини для поля, создаваемого двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами не достаточно применить принцип суперпозиции. Так как в этом случае при наложении двух изображений точечных зарядов будут точки пересечения линий поля. А этого быть не может, так как поле не может быть направлено сразу в две разные стороны. В этом случае задачу необходимо решить аналитически.

Рисунок 3 — Картина поля двух электрических зарядов

> Эквипотенциальные линии

Характеристика и свойства линий эквипотенциальной поверхности : состояние электрического потенциала поля, статическое равновесие, формула точечного заряда.

Эквипотенциальные линии поля – одномерные области, где электрический потенциал остается неизменным.

Задача обучения

• Охарактеризовать форму эквипотенциальных линий для нескольких конфигураций заряда.

Основные пункты

• Для конкретного изолированного точечного заряда потенциал основывается на радиальной дистанции. Поэтому эквипотенциальные линии выступают круглыми.
• Если контактирует несколько дискретных зарядов, то их поля пересекаются и демонстрируют потенциал. В итоге, эквипотенциальные линии перекашиваются.
• Когда заряды распределяются по двум проводящим пластинам в статическом балансе, эквипотенциальные линии практически прямые.

Термины

• Эквипотенциальный – участок, где каждая точка обладает единым потенциалом.
• Статическое равновесие – физическое состояние, где все компоненты пребывают в покое, а чистая сила приравнивается к нулю.

Эквипотенциальные линии отображают одномерные участки, где электрический потенциал остается неизменным. То есть, для такого заряда (где бы он ни находился на эквипотенциальной линии) не нужно осуществлять работу, чтобы сдвинуться с одной точки на другую в пределах конкретной линии.

Линии эквипотенциальной поверхности бывают прямыми, изогнутыми или неправильными. Все это основывается на распределении зарядов. Они располагаются радиально вокруг заряженного тела, поэтому остаются перпендикулярными к линиям электрического поля.

Одиночный точечный заряд

Для одиночного точечного заряда формула потенциала:

Здесь наблюдается радиальная зависимость, то есть, независимо от дистанции к точечному заряду потенциал остается неизменным. Поэтому эквипотенциальные линии принимают круглую форму с точечным зарядом в центре.

Изолированный точечный заряд с линиями электрического поля (синий) и эквипотенциальными (зеленый)

Множественные заряды

Если контактирует несколько дискретных зарядов, то мы видим, как перекрываются их поля. Это перекрытие заставляет потенциал объединяться, а эквипотенциальные линии перекашиваться.

Если присутствует несколько зарядов, то эквипотенциальные линии формируются нерегулярно. В точке между зарядами контрольный способен ощущать эффекты от обоих зарядов

Непрерывный заряд

Если заряды расположены на двух проводящих пластинах в условиях статического баланса, где заряды не прерываются и находятся на прямой, то и эквипотенциальные линии выпрямляются. Дело в том, что непрерывность зарядов вызывает непрерывные действия в любой точке.

Если заряды вытягиваются в линию и лишены прерывания, то эквипотенциальные линии идут прямо перед ними. В качестве исключения можно вспомнить только изгиб возле краев проводящих пластин

Непрерывность нарушается ближе к концам пластин, из-за чего на этих участках создается кривизна – краевой эффект.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ.

Между напряженностью электрического доля и электрическим потенциалом существует интегральная и дифференциальная связь:

j 1 - j 2 = ∫ Е dl (1)

E = -grad j (2)

Электрическое поле может быть представлено графически двумя способами, дополняющими друг друга: с помощью эквипотенциальных поверхностей и ли­ний напряженности (силовых линий).

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Линия пересечения ее с плоскостью чертежа называется эквипотенциалью. Силовые линии - линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора Е . На рисунке 1 пунктирными линиями показаны эквипотенциали, сплошными - силовые линии электрического поля.

Рис.1

Разность потенциалов между точками 1 и 2 равна 0, так как они находятся на одной эквипотенциали. В этом случае из (1):

∫Е dl = 0 или ∫Е dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Поскольку Е и dl в выражении (3) не равны 0, то cos ( Edl ) = 0 . Следовательно, угол между эквипотенциалью и силовой линией составляет p/2.

Из дифференциальной связи (2) следует, что силовые линии всегда направлены в сторону убывания потенциала.

Величина напряженности электрического поля определяется «густотой» сило­вых линий. Чем гуще силовые линии, тем меньше расстояние между эквипотенциалями, так что силовые линии и эквипотенциали образуют "криволинейные квадраты". Исходя из этих принципов, можно построить картину силовых линий, располагая картиной эквипотенциалей, и наоборот.

Достаточно полная картина эквипотенциалей поля позволяет рассчитать в раз­ных точках значение проекции вектора напряженности Е на выбранное направ­ление х , усредненное по некоторому интервалу координаты ∆х :

Е ср. ∆х = - ∆ j /∆х,

где ∆х - приращение координаты при переходе с одной эквипотенциали на дру­гую,

∆ j - соответствующее ему приращение потенциала,

Е ср. ∆х - среднее значение Е х между двумя потенциалами.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКА ИЗМЕРЕНИЙ.

Для моделирования электрического поля удобно использовать аналогию, су­ществующую между электрическим полем, созданным заряженными телами и электрическим полем постоянного тока, текущего по проводящей пленке с одно­родной проводимостью. При этом расположение силовых линий электрического поля оказывается аналогично расположению линий электрических токов.

То же утверждение справедливо для потенциалов. Распределение потенциалов поля в проводящей пленке такое же, как в электрическом поле в вакууме.

В качестве проводящей пленки в работе используется электропроводная бума­га с одинаковой во всех направлениях проводимостью.

На бумаге устанавливаются электроды так, чтобы обеспечивался хороший кон­такт между каждым электродом и проводящей бумагой.

Рабочая схема установки приведена на рисунке 2. Установка состоит из модуля II, выносного элемента I, индикатора III, источника питания IV. Модуль служит для подключения всех используемых приборов. Выносной элемент представляет собой диэлектрическую панель 1, на которую помещают лист белой бумаги 2, по­верх нее - лист копировальной бумаги 3, затем - лист электропроводящей бумаги 4, на котором крепятся электроды 5. Напряжение на электроды подается от моду­ля II с помощью соединительных проводов. Индикатор III и зонд 6 используются для определения потенциалов точек на поверхности электропроводящей бумаги.

В качестве зонда применяется провод со штекером на конце. Потенциал j зонда равен потенциалу той точки поверхности электропроводящей бумаги, которой он касается. Совокупность точек поля с одинаковым потенциалом и есть изображе­ние эквипотенциали поля. В качестве источника питания IV используется блок питания ТЕС – 42, который подключается к модулю с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля. В качестве индикатора Ш используется вольт­метр В7 – 38.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.

1. Установить на панели 1 лист белой бумаги 2. На него положить копироваль­ную бумагу 3 и лист электропроводящей бумаги 4 (рис.2).

2. Установить на электропроводящей бумаге электроды 5 и закрепить гайками.

3. Подключить к модулю блок питания IV (ТЕС – 42) с помощью штепсельного разъема на задней стенке модуля.

4. С помощью двух проводников подключить индикатор III (вольтметр В7 – 38) к гнездам "PV" на лицевой панели модуля. Нажать соответствующую кнопку на вольтметре для измерения постоянного напряжения (рис.2).

5. С помощью двух проводников подключить электроды 5 к модулю П.

6. Подключить зонд (провод с двумя штекерами) к гнезду на лицевой панели модуля.

7. Подключить стенд к сети 220 В. Включить общее питание стенда.

Связь между напряженностью и потенциалом.

Для потенциального поля, между потенциальной (консервативной) силой и потенциальной энергией существует связь

где ("набла") - оператор Гамильтона.

Поскольку то

Знак минус показывает, что вектор Е направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала используются эквипотенциальные поверхности - поверхности во всех точках которых потенциал имеет одно и то же значение.

Эквипотенциальные поверхности обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, напряженность поля больше. На рисунке пунктиром изображены силовые линии, сплошными линиями - сечения эквипотенциальных поверхностей для: положительного точечного заряда (а), диполя (б), двух одноименных зарядов (в), заряженного металлического проводника сложной конфигурации (г).

Для точечного заряда потенциал поэтому эквипотенциальные поверхности - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Можно показать, что во всех случаях вектор Е перпендикулярен эквипотенциальным поверхностям и всегда направлен в сторону убывания потенциала.

Примеры расчета наиболее важных симметричных электростатических полей в вакууме.

1. Электростатическое поле электрического диполя в вакууме.

Электрическим диполем (или двойным электрическим полюсом) называется система двух равных по модулю разноименных точечных зарядов (+q,-q), расстояние l между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля (l<< r).

Плечо диполя l - вектор, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному и равный расстоянию между ними.

Электрический момент диполя ре - вектор, совпадающий по направлению с плечом диполя и равный произведению модуля заряда |q| на плечо I:

Пусть r - расстояние до точки А от середины оси диполя. Тогда, учитывая что

2)Напряженность поля в точке В на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины при

Точка В равноудалена от зарядов +q и -q диполя, поэтому потенциал поля в точке В равен нулю. Вектор Ёв направлен противоположно вектору l .

3)Во внешнем электрическом поле на концы диполя действует пара сил, которая стремится повернуть диполь таким образом, чтобы электрический момент ре диполя развернулся вдоль направления поля Ё (рис.(а)).

Во внешнем однородном поле момент пары сил равен M = qElsin а или Во внешнем неоднородном поле (рис.(в)) силы, действующие на концы диполя, неодинаковы и их результирующая стремится передвинуть диполь в область поля с большей напряженностью - диполь втягивается в область более сильного поля.

2. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны.

В качестве Гауссовой поверхности примем поверхность цилиндра, образующие которого перпендикулярны заряженной плоскости, а основания параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее на одинаковых расстояниях.

Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности, то поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания 2ES. Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен . По теореме Гаусса откуда:

Е не зависит от длины цилиндра, т.е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю. Такое поле называется однородным.

Разность потенциалов между точками, лежащими на расстояниях х1 и х2 от плоскости, равна

3.Поле двух бесконечных параллельных разноименно заряженных плоскостей с равными по абсолютному значению поверхностными плотностями зарядов σ>0 и - σ.

Из предыдущего примера следует, что векторы напряженности Е 1 и E 2 первой и второй плоскостей равны по модулю и всюду направлены перпендикулярно плоскостям. Поэтому в пространстве вне плоскостей они компенсируют друг друга, а в пространстве между плоскостями суммарная напряженность . Поэтому между плоскостями

(в диэлектрике. ).

Поле между плоскостями однородное. Разность потенциалов между плоскостями.
(в диэлектрике ).

4.Поле равномерно заряженной сферической поверхности.

Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена равномерно с поверхностной плотностью

Поскольку система зарядов и, следовательно, само поле центрально-симметрично относительно центра сферы, то линии напряженности направлены радиально.

В качестве Гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r, имеющую общий центр с заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь заряд q. По теореме Гаусса , откуда

При r<=R замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферы Е = 0.

Разность потенциалов между двумя точками, лежащими на расстояниях r 1 и r 2 от центра сферы

(r1 >R,r2 >R), равна

Вне заряженной сферы поле такое же, как поле точечного заряда q, находящегося в центре сферы. Внутри заряженной сферы поля нет, поэтому потенциал всюду одинаков и такой же, как на поверхности

Найдем взаимосвязь между напряженностью электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом - энергетической характеристикой поля. Работа по перемещению единичного точечного положительного заряда из одной точки поля в другую вдоль оси х при условии, что точки расположены бесконечно близко друг к другу и x 1 – x 2 = dx, равна E x dx. Та же работа равна j 1 -j 2 = dj. Приравняв оба выражения, можем записать

где символ частной производной подчеркивает, что дифференцирование производится только по х. Повторив аналогичные рассуждения для осей y и z, можем найти вектор Е:

где i, j, k - единичные векторы координатных осей х, у, z.

Из определения градиента (12.4) и (12.6). следует, что

т. е. напряженность Е поля равна градиенту потенциала со знаком минус. Знак минус определяется тем, что вектор напряженности Е поля направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения (см. § 25), пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал jимеет одно и то же значение.

Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно (84.5),

Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям.

Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше.

Итак, зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом - впадину (б).