Uthibitisho 25 wa nadharia ya Pythagorean. Nadharia ya Pythagorean: historia, ushahidi, mifano ya matumizi ya vitendo

Njia tofauti za kudhibitisha nadharia ya Pythagoras

mwanafunzi wa darasa la 9 "A".

Taasisi ya elimu ya manispaa shule ya sekondari Na

Mshauri wa kisayansi:

mwalimu wa hisabati,

Taasisi ya elimu ya manispaa shule ya sekondari Na

Sanaa. Novorozhdestvenskaya

Mkoa wa Krasnodar.

Sanaa. Novorozhdestvenskaya

UFAFANUZI.

Nadharia ya Pythagorean inachukuliwa kuwa muhimu zaidi wakati wa jiometri na inastahili kuzingatiwa kwa karibu. Ni msingi wa kutatua matatizo mengi ya kijiometri, msingi wa kujifunza kinadharia na kozi ya vitendo jiometri baadaye. Theorem imezungukwa na tajiri nyenzo za kihistoria kuhusishwa na muonekano wake na njia za uthibitisho. Kusoma historia ya ukuzaji wa jiometri kunasisitiza upendo kwa somo hili, inakuza maendeleo ya maslahi ya utambuzi, utamaduni wa jumla na ubunifu, na pia huendeleza ujuzi wa utafiti.

Kama matokeo ya shughuli ya utaftaji, lengo la kazi hiyo lilipatikana, ambalo lilikuwa ni kujaza na kuongeza maarifa juu ya uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Imedhibitiwa kupata na kukagua njia mbalimbali ushahidi na kuongeza maarifa juu ya mada, kwenda zaidi ya kurasa za kitabu cha shule.

Nyenzo zilizokusanywa hutuaminisha zaidi kwamba nadharia ya Pythagorean ni nadharia kuu ya jiometri na ina umuhimu mkubwa wa kinadharia na vitendo.

Utangulizi. Rejea ya kihistoria 5 Sehemu kuu ya 8

3. Hitimisho 19

4. Fasihi iliyotumika 20
1. UTANGULIZI. REJEA YA KIHISTORIA.

Asili ya ukweli ni kwamba ni kwa ajili yetu milele,

Wakati angalau mara moja katika ufahamu wake tunaona mwanga,

Na nadharia ya Pythagorean baada ya miaka mingi

Kwetu sisi, kama yeye, ni jambo lisilopingika, lisilowezekana.

Ili kufurahi, Pythagoras aliweka nadhiri kwa miungu:

Kwa kugusa hekima isiyo na kikomo,

Alichinja ng'ombe mia, shukrani kwa wale wa milele;

Alitoa sala na sifa baada ya mwathirika.

Tangu wakati huo, ng'ombe wakinusa harufu yake, wanasukuma,

Kwamba njia hiyo inawaongoza tena watu kwenye ukweli mpya,

Wananguruma kwa hasira, kwa hivyo hakuna haja ya kusikiliza,

Pythagoras kama huyo aliweka hofu ndani yao milele.

Fahali, wasio na uwezo wa kupinga ukweli mpya,

Ni nini kinachobaki? - Kufunga tu macho yako, kunguruma, kutetemeka.

Haijulikani jinsi Pythagoras alithibitisha nadharia yake. Kilicho hakika ni kwamba aliigundua chini ya ushawishi mkubwa wa sayansi ya Wamisri. Kesi maalum Nadharia ya Pythagoras - mali ya pembetatu yenye pande 3, 4 na 5 - ilijulikana kwa wajenzi wa piramidi muda mrefu kabla ya kuzaliwa kwa Pythagoras, na yeye mwenyewe alisoma na makuhani wa Misri kwa zaidi ya miaka 20. Hadithi imehifadhiwa ambayo inasema kwamba, baada ya kudhibitisha nadharia yake maarufu, Pythagoras alitoa dhabihu ng'ombe kwa miungu, na kulingana na vyanzo vingine, hata ng'ombe 100. Hii, hata hivyo, inapingana na habari kuhusu maoni ya maadili na ya kidini ya Pythagoras. Katika vyanzo vya fasihi unaweza kusoma kwamba "alikataza hata kuua wanyama, sembuse kuwalisha, kwa maana wanyama wana roho, kama sisi." Pythagoras walikula asali tu, mkate, mboga mboga na mara kwa mara samaki. Kuhusiana na haya yote, kiingilio kifuatacho kinaweza kuzingatiwa kuwa sawa zaidi: "... na hata alipogundua kuwa katika pembetatu ya kulia hypotenuse inalingana na miguu, alitoa dhabihu ng'ombe aliyetengenezwa kwa unga wa ngano."

Umaarufu wa nadharia ya Pythagorean ni kubwa sana kwamba uthibitisho wake hupatikana hata katika hadithi za uwongo, kwa mfano, katika hadithi "Young Archimedes" na mwandishi maarufu wa Kiingereza Huxley. Uthibitisho huo huo, lakini kwa kesi maalum ya pembetatu ya kulia ya isosceles, hutolewa katika mazungumzo ya Plato "Meno".

Hadithi ya hadithi "Nyumbani".

"Mbali, mbali, ambapo hata ndege hazipandi, ni nchi ya Jiometri. Katika nchi hii isiyo ya kawaida kulikuwa na jiji moja la kushangaza - jiji la Teorem. Siku moja nilikuja katika mji huu mrembo Jina la kwanza Hypotenuse. Alijaribu kukodisha chumba, lakini haijalishi aliomba wapi, alikataliwa. Hatimaye aliikaribia ile nyumba yenye hali mbaya na kubisha hodi. Mwanamume aliyejiita Right Angle alimfungulia mlango, na akamwalika Hypotenuse kuishi naye. Hypotenuse ilibaki katika nyumba ambayo Pembe ya Kulia na wanawe wawili wachanga walioitwa Katetes. Tangu wakati huo, maisha katika nyumba ya Pembe ya Kulia yamebadilika kwa njia mpya. Hypotenuse ilipanda maua kwenye dirisha na kupanda roses nyekundu kwenye bustani ya mbele. Nyumba ilichukua sura ya pembetatu ya kulia. Miguu yote miwili ilimpenda sana Hypotenuse na ikamtaka abaki milele katika nyumba yao. Wakati wa jioni, familia hii yenye urafiki hukusanyika kwenye meza ya familia. Wakati mwingine Angle ya Kulia hucheza kujificha na kutafuta na watoto wake. Mara nyingi anapaswa kuangalia, na Hypotenuse huficha kwa ustadi sana kwamba inaweza kuwa ngumu sana kupata. Siku moja, wakati wa kucheza, Angle ya kulia iliona mali ya kuvutia: ikiwa ataweza kupata miguu, basi kupata Hypotenuse si vigumu. Kwa hivyo Angle ya Kulia hutumia muundo huu, lazima niseme, kwa mafanikio sana. Juu ya mali ya hii pembetatu ya kulia na nadharia ya Pythagorean ilianzishwa."

(Kutoka kwa kitabu cha A. Okunev "Asante kwa somo, watoto").

Muundo wa kuchekesha wa nadharia:

Ikiwa tunapewa pembetatu

Na, zaidi ya hayo, kwa pembe ya kulia,

Hiyo ni mraba wa hypotenuse

Tunaweza kupata kila wakati kwa urahisi:

Sisi mraba miguu,

Tunapata jumla ya nguvu -

Na kwa njia rahisi kama hiyo

Tutakuja kwa matokeo.

Nilipokuwa nikisoma algebra na mwanzo wa uchambuzi na jiometri katika daraja la 10, nilishawishika kuwa pamoja na njia ya kuthibitisha nadharia ya Pythagorean iliyojadiliwa katika daraja la 8, kuna njia nyingine za uthibitisho. Ninawasilisha kwa kuzingatia kwako.
2. SEHEMU KUU.

Nadharia. Katika pembetatu ya kulia kuna mraba

hypotenuse sawa na jumla mraba wa miguu.

NJIA 1.

Kwa kutumia mali ya maeneo ya poligoni, tutaanzisha uhusiano wa ajabu kati ya hypotenuse na miguu ya pembetatu ya kulia.

Ushahidi.

a, c na hypotenuse Na(Mchoro 1, a).

Hebu tuthibitishe hilo c²=a²+b².

Ushahidi.

Hebu tumalize pembetatu kwa mraba na upande a + b kama inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 1, b. Eneo S la mraba huu ni (a + b)². Kwa upande mwingine, mraba huu umeundwa na pembetatu nne sawa za kulia, ambayo kila moja ina eneo la ½. aw, na mraba na upande Na, kwa hivyo S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

Hivyo,

(a + b² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

Nadharia imethibitishwa.
2 MBINU.

Baada ya kusoma mada "Pembetatu zinazofanana", niligundua kuwa unaweza kutumia kufanana kwa pembetatu kwa uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Yaani, nilitumia taarifa kwamba mguu wa pembetatu ya kulia ni wastani wa sawia na hypotenuse na sehemu ya hypotenuse iliyofungwa kati ya mguu na mwinuko inayotolewa kutoka kwa kipeo cha pembe ya kulia.

Fikiria pembetatu ya kulia na angle ya kulia C, CD - urefu (Mchoro 2). Hebu tuthibitishe hilo AC² +NE² = AB² .

Ushahidi.

Kulingana na taarifa kuhusu mguu wa pembetatu ya kulia:

AC = , SV = .

Wacha tufanye mraba na tuongeze usawa unaosababishwa:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), ambapo AD+DB=AB, basi

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Ushahidi umekamilika.
3 MBINU.

Ili kuthibitisha theorem ya Pythagorean, unaweza kutumia ufafanuzi wa cosine ya angle ya papo hapo ya pembetatu ya kulia. Hebu tuangalie Mtini. 3.

Uthibitisho:

Acha ABC iwe pembetatu iliyopewa ya kulia yenye pembe ya kulia C. Hebu tuchore CD ya mwinuko kutoka kwenye kipeo cha pembe ya kulia C.

Kwa ufafanuzi wa cosine ya pembe:

cos A = AD/AC = AC/AB. Kwa hivyo AB * AD = AC²

Vile vile,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Kwa hivyo AB * BD = BC².

Kuongeza usawa unaotokana na muda kwa muhula na kubainisha kuwa AD + DB = AB, tunapata:

AC² + jua² = AB (AD + DB) = AB²

Ushahidi umekamilika.
4 MBINU.

Baada ya kusoma mada "Uhusiano kati ya pande na pembe za pembetatu ya kulia", nadhani nadharia ya Pythagorean inaweza kuthibitishwa kwa njia nyingine.

Fikiria pembetatu ya kulia na miguu a, c na hypotenuse Na. (Mchoro 4).

Hebu tuthibitishe hilo c²=a²+b².

Ushahidi.

dhambi B= ubora wa juu ; cos B= a/c , basi, tukipunguza usawa unaosababishwa, tunapata:

dhambi² B= katika²/s²; kos² KATIKA= a²/c².

Kuziongeza, tunapata:

dhambi² KATIKA+cos² B=в²/с²+ а²/с², ambapo dhambi² KATIKA+cos² B=1,

1= (v²+ а²) / с², kwa hivyo,

c²= a² + b².

Ushahidi umekamilika.

5 MBINU.

Uthibitisho huu unategemea kukata mraba iliyojengwa kwenye miguu (Mchoro 5) na kuweka sehemu zinazosababisha kwenye mraba uliojengwa kwenye hypotenuse.

6 MBINU.

Kwa ushahidi wa pembeni Jua tunajenga BCD ABC(Mchoro 6). Tunajua kwamba maeneo ya takwimu zinazofanana yanahusiana kama miraba ya vipimo vyao vya mstari sawa:

Kuondoa ya pili kutoka kwa usawa wa kwanza, tunapata

c2 = a2 + b2.

Ushahidi umekamilika.

7 MBINU.

Imetolewa(Mchoro 7):

ABC,= 90° , jua= a, AC=b, AB = c.

Thibitisha:c2 = a2 +b2.

Ushahidi.

Wacha mguu b A. Wacha tuendelee sehemu NE kwa pointi KATIKA na kujenga pembetatu BMD ili pointi M Na A weka upande mmoja wa mstari wa moja kwa moja CD na zaidi, BD =b, BDM= 90°, DM= a, basi BMD= ABC pande mbili na pembe kati yao. Alama A na M kuunganishwa na sehemu AM. Tuna M.D. CD Na A.C. CD, hiyo ina maana ni sawa AC sambamba na mstari M.D. Kwa sababu M.D.< АС, kisha moja kwa moja CD Na A.M. si sambamba. Kwa hiyo, AMDC- trapezoid ya mstatili.

Katika pembetatu za kulia ABC na BMD 1 + 2 = 90 ° na 3 + 4 = 90 °, lakini tangu = =, basi 3 + 2 = 90 °; Kisha AVM=180° - 90° = 90°. Ilibadilika kuwa trapezoid AMDC imegawanywa katika pembetatu tatu za kulia zisizoingiliana, kisha kwa axioms za eneo

(a+b)(a+b)

Kugawanya masharti yote ya ukosefu wa usawa kwa , tunapata

Ab + c2 + ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

Ushahidi umekamilika.

8 MBINU.

Njia hii inategemea hypotenuse na miguu ya pembetatu ya kulia ABC. Anajenga mraba unaofanana na inathibitisha kwamba mraba uliojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya mraba iliyojengwa kwenye miguu (Mchoro 8).

Ushahidi.

1) DC= FBA= 90 °;

DC+ ABC= FBA+ ABC, Ina maana, FBC = DBA.

Hivyo, FBC=ABD(kwa pande mbili na pembe kati yao).

2) , wapi AL DE, tangu BD - msingi wa pamoja, DL- urefu wa jumla.

3) , kwa kuwa FB ni msingi, AB- urefu wa jumla.

4)

5) Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa

6) Kuongeza muda kwa muda, tunapata:

, BC2 = AB2 + AC2 . Ushahidi umekamilika.

9 MBINU.

Ushahidi.

1) Wacha ABDE- mraba (Mchoro 9), upande ambao ni sawa na hypotenuse ya pembetatu ya kulia ABC= s, BC = a, AC =b).

2) Acha DK B.C. Na DK = jua, kwa kuwa 1 + 2 = 90 ° (kama pembe za papo hapo za pembetatu ya kulia), 3 + 2 = 90 ° (kama pembe ya mraba), AB= BD(pande za mraba).

Ina maana, ABC= BDK(kwa hypotenuse na angle ya papo hapo).

3) Acha EL D.K., A.M. E.L. Inaweza kuthibitishwa kwa urahisi kuwa ABC = BDK = DEL = EAM (na miguu A Na b). Kisha KS= SENTIMITA= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Na2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Ushahidi umekamilika.

10 MBINU.

Uthibitisho unaweza kufanywa kwa takwimu inayoitwa kwa utani "suruali ya Pythagorean" (Mchoro 10). Wazo lake ni kubadilisha miraba iliyojengwa kwenye kando kuwa pembetatu sawa ambazo kwa pamoja huunda mraba wa hypotenuse.

ABC isonge kama inavyoonyeshwa na mshale, na inachukua nafasi KDN. Wengine wa takwimu AKDCB eneo sawa la mraba AKDC hii ni parallelogram AKNB.

Mfano wa parallelogram umefanywa AKNB. Tunapanga upya mlinganyo kama ilivyochorwa katika yaliyomo kwenye kazi. Ili kuonyesha mabadiliko ya parallelogram katika pembetatu ya eneo sawa, mbele ya wanafunzi, tunapunguza pembetatu kwenye mfano na kuipeleka chini. Kwa hivyo, eneo la mraba AKDC iligeuka kuwa sawa na eneo la mstatili. Vile vile, tunabadilisha eneo la mraba kuwa eneo la mstatili.

Wacha tufanye mabadiliko kwa mraba uliojengwa kando A(Mchoro 11, a):

a) mraba unabadilishwa kuwa msambamba sawa (Mchoro 11.6):

b) parallelogram inazunguka zamu ya robo (Mchoro 12):

c) parallelogram inabadilishwa kuwa mstatili sawa (Mchoro 13): 11 MBINU.

Uthibitisho:

PCL - moja kwa moja (Mchoro 14);

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

Ushahidi umekwisha .

12 MBINU.

Mchele. Kielelezo cha 15 kinaonyesha uthibitisho mwingine wa asili wa nadharia ya Pythagorean.

Hapa: pembetatu ABC na angle ya kulia C; sehemu ya mstari B.F. perpendicular NE na sawa nayo, sehemu KUWA perpendicular AB na sawa nayo, sehemu AD perpendicular AC na sawa nayo; pointi F, C,D ni wa mstari mmoja; pande nne ADFB Na ASVE sawa kwa ukubwa, tangu ABF = ECB; pembetatu ADF Na ACE sawa kwa ukubwa; toa kutoka pembe nne sawa pembetatu wanazoshiriki ABC, tunapata

, c2 = a2 + b2.

Ushahidi umekamilika.

13 MBINU.

Eneo la pembetatu ya kulia, kwa upande mmoja, ni sawa na , na mwingine, ,

3. HITIMISHO.

Kama matokeo ya shughuli ya utaftaji, lengo la kazi hiyo lilipatikana, ambalo lilikuwa ni kujaza na kuongeza maarifa juu ya uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean. Iliwezekana kupata na kuzingatia njia mbalimbali za kuthibitisha na kuimarisha ujuzi juu ya mada, kwenda zaidi ya kurasa za kitabu cha shule.

Nyenzo nilizokusanya zinanishawishi hata zaidi kwamba nadharia ya Pythagorean ni nadharia kuu ya jiometri na ina umuhimu mkubwa wa kinadharia na vitendo. Kwa kumalizia, ningependa kusema: sababu ya umaarufu wa nadharia ya utatu wa Pythagorean ni uzuri wake, unyenyekevu na umuhimu!

4. FASIHI ILIYOTUMIKA.

1. Aljebra ya kuburudisha. . Moscow "Sayansi", 1978.

2. Nyongeza ya elimu na mbinu ya kila wiki kwa gazeti la "Kwanza ya Septemba", 24/2001.

3. Jiometri 7-9. na nk.

4. Jiometri 7-9. na nk.

Uthibitisho wa uhuishaji wa nadharia ya Pythagorean - moja ya msingi nadharia za jiometri ya Euclidean zinazoanzisha uhusiano kati ya pande za pembetatu ya kulia. Inaaminika kuwa ilithibitishwa na mwanahisabati wa Uigiriki Pythagoras, ambaye jina lake limetajwa (kuna matoleo mengine, haswa maoni mbadala ambayo nadharia hii katika mtazamo wa jumla iliundwa na mwanahisabati wa Pythagorean Hippasus).
Theorem inasema:

Katika pembetatu ya kulia, eneo la mraba lililojengwa kwenye hypotenuse ni sawa na jumla ya maeneo ya mraba iliyojengwa kwenye miguu.

Kuamua urefu wa hypotenuse ya pembetatu c, na urefu wa miguu ni kama a Na b, tunapata formula ifuatayo:

Kwa hivyo, theorem ya Pythagorean huanzisha uhusiano unaokuwezesha kuamua upande wa pembetatu ya kulia, kujua urefu wa wengine wawili. Nadharia ya Pythagorean ni kesi maalum ya theorem ya cosine, ambayo huamua uhusiano kati ya pande. pembetatu ya kiholela.
Taarifa ya mazungumzo pia imethibitishwa (pia inaitwa mazungumzo ya nadharia Pythagoras):

Kwa tatu yoyote nambari chanya a, b na c hivi kwamba a? + b? = c ?, kuna pembetatu ya kulia yenye miguu a na b na hypotenuse c.

Ushahidi wa kuona kwa pembetatu (3, 4, 5) kutoka kwa kitabu "Chu Pei" 500-200 BC. Historia ya nadharia inaweza kugawanywa katika sehemu nne: maarifa juu ya nambari za Pythagorean, maarifa juu ya uwiano wa pande katika pembetatu ya kulia, maarifa juu ya uwiano. pembe za karibu na uthibitisho wa nadharia.
Miundo ya Megalithic karibu 2500 BC. huko Misri na Ulaya Kaskazini, huwa na pembetatu za kulia zenye pande zote za nambari. Bartel Leendert van der Waerden alikisia kwamba wakati huo nambari za Pythagorean zilipatikana kwa aljebra.
Iliandikwa kati ya 2000 na 1876 KK. mafunjo kutoka Ufalme wa Misri ya Kati Berlin 6619 ina shida ambayo suluhisho lake ni nambari za Pythagorean.
Wakati wa utawala wa Hammurabi Mkuu, kibao cha Kibabiloni Plimpton 322, iliyoandikwa kati ya 1790 na 1750 KK ina maingizo mengi yanayohusiana kwa karibu na nambari za Pythagorean.
Katika Sutra za Budhayana, ambazo zinaanzia matoleo tofauti karne ya nane au ya pili KK nchini India, ina nambari za Pythagorean zinazotokana na aljebra, taarifa ya nadharia ya Pythagorean na uthibitisho wa kijiometri kwa pembetatu ya kulia ya equilateral.
Apastamba Sutras (karibu 600 BC) zina uthibitisho wa nambari Nadharia ya Pythagorean kwa kutumia hesabu ya eneo. Van der Waerden anaamini kwamba ilitokana na mila za watangulizi wake. Kulingana na Albert Burco, huu ndio uthibitisho wa asili wa nadharia hiyo na anapendekeza kwamba Pythagoras alitembelea Arakon na kuinakili.
Pythagoras, ambaye miaka yake ya maisha kawaida huonyeshwa kama 569 - 475 BC. matumizi mbinu za algebra hesabu ya nambari za Pythagorean, kulingana na maoni ya Proklov juu ya Euclid. Proclus, hata hivyo, aliishi kati ya 410 na 485 AD. Kulingana na Thomas Guise, hakuna dalili ya uandishi wa nadharia hadi karne tano baada ya Pythagoras. Walakini, waandishi kama vile Plutarch au Cicero wanapohusisha nadharia hiyo na Pythagoras, wanafanya hivyo kana kwamba uandishi huo ulijulikana sana na ni hakika.
Karibu 400 BC Kulingana na Proclus, Plato alitoa njia ya kuhesabu nambari za Pythagorean ambazo zilichanganya algebra na jiometri. Karibu 300 BC, katika Mwanzo Euclid tuna uthibitisho wa zamani zaidi wa axiomatic ambao umesalia hadi leo.
Iliandikwa wakati fulani kati ya 500 BC. na 200 BC, Kichina kitabu cha hesabu"Chu Pei" (?? Wakati wa Enzi ya Han, kuanzia 202 BC. hadi 220 AD Nambari za Pythagorean zinaonekana katika kitabu "Matawi Tisa ya Sanaa ya Hisabati" pamoja na kutaja pembetatu za kulia.
Matumizi ya kwanza yaliyorekodiwa ya nadharia hiyo yalikuwa nchini Uchina, ambako inajulikana kama nadharia ya Gugu (????), na nchini India, ambako inajulikana kama nadharia ya Bhaskar.
Imejadiliwa sana ikiwa nadharia ya Pythagoras iligunduliwa mara moja au mara kwa mara. Boyer (1991) anaamini kwamba ujuzi unaopatikana katika Shulba Sutra unaweza kuwa wa asili ya Mesopotamia.
Ushahidi wa algebra
Mraba huundwa kutoka kwa pembetatu nne za kulia. Uthibitisho zaidi ya mia moja wa nadharia ya Pythagorean unajulikana. Hapa kuna uthibitisho kulingana na nadharia ya uwepo wa eneo la takwimu:

Wacha tuweke pembetatu nne zinazofanana za kulia kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu.
Quadrangle na pande c ni mraba, kwa kuwa jumla ya mbili pembe kali, Na pembe iliyogeuzwa ni .
Eneo la takwimu nzima ni sawa, kwa upande mmoja, kwa eneo la mraba na upande "a + b", na kwa upande mwingine, kwa jumla ya maeneo ya pembetatu nne na mraba wa ndani. .

Ambayo ndiyo inahitaji kuthibitishwa.
Kwa kufanana kwa pembetatu
Kwa kutumia pembetatu zinazofanana. Hebu ABC- pembetatu ya kulia ambayo pembe C moja kwa moja kama inavyoonekana kwenye picha. Wacha tuchore urefu kutoka kwa uhakika C, na tupige simu H hatua ya makutano na upande AB. Pembetatu huundwa ACH sawa na pembetatu ABC, kwa kuwa zote mbili ni za mstatili (kwa ufafanuzi wa urefu) na zina pembe ya kawaida A, Ni wazi kwamba pembe ya tatu katika pembetatu hizi pia itakuwa sawa. Sawa na amani, pembetatu CBH pia ni sawa na pembetatu ABC. Kwa kufanana kwa pembetatu: Ikiwa

Hii inaweza kuandikwa kama

Ikiwa tunaongeza usawa hizi mbili, tunapata

HB + c mara AH = c mara (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Kwa maneno mengine, nadharia ya Pythagorean:

Ushahidi wa Euclid
Uthibitisho wa Euclid katika Vipengee vya Euclidean, nadharia ya Pythagorean inathibitishwa na njia ya sambamba. Hebu A, B, C vipeo vya pembetatu ya kulia, na pembe ya kulia A. Wacha tuache perpendicular kutoka kwa uhakika A kwa upande ulio kinyume na hypotenuse katika mraba uliojengwa juu ya hypotenuse. Mstari hugawanya mraba ndani ya rectangles mbili, ambayo kila moja ina eneo sawa na mraba uliojengwa kwenye kando. wazo kuu katika uthibitisho ni kwamba miraba ya juu hugeuka kuwa msambamba wa eneo moja, na kisha kurudi na kugeuka kuwa mistatili katika mraba wa chini na tena na eneo moja.

Wacha tuchore sehemu CF Na A.D. tunapata pembetatu BCF Na B.D.A.
Pembe CAB Na MFUKO- moja kwa moja; kwa mtiririko huo pointi C, A Na G- colinear. Pia B, A Na H.
Pembe CBD Na FBA- zote mbili ni mistari iliyonyooka, kisha pembe ABD sawa na pembe FBC, kwani zote mbili ni jumla ya pembe ya kulia na pembe ABC.
Pembetatu ABD Na FBC ngazi kwa pande mbili na pembe kati yao.
Tangu pointi A, K Na L- collinear, eneo la mstatili BDLK ni sawa na maeneo mawili ya pembetatu ABD (BDLK = MFUKO = AB 2)
Vile vile, tunapata CKLE = ACIH = AC 2
Kwa upande mmoja eneo hilo CBDE sawa na jumla ya maeneo ya mistatili BDLK Na CKLE, na kwa upande mwingine eneo la mraba 2 BC, au AB 2 + AC 2 = BC 2.

Kutumia tofauti
Matumizi ya tofauti. Nadharia ya Pythagorean inaweza kupatikana kwa kusoma jinsi kuongezeka kwa upande kunavyoathiri saizi ya hypotenuse kama inavyoonyeshwa kwenye kielelezo cha kulia na kutumia hesabu kidogo.
Kama matokeo ya kuongezeka kwa upande a, ya pembetatu sawa kwa nyongeza zisizo na kikomo

Kuunganisha tunapata

Kama a= 0 basi c = b, hivyo "mara kwa mara" ni b 2. Kisha

Kama inavyoonekana, miraba hupatikana kwa sababu ya uwiano kati ya nyongeza na pande, wakati jumla ni matokeo ya mchango wa kujitegemea wa nyongeza za pande, sio dhahiri kutoka. uthibitisho wa kijiometri. Katika milinganyo hii da Na dc- nyongeza zisizo na kikomo za pande zinazolingana a Na c. Lakini tunatumia nini badala yake? a Na? c, basi kikomo cha uwiano ikiwa huwa na sifuri ni da / dc, derivative, na pia ni sawa na c / a, uwiano wa urefu wa pande za pembetatu, kama matokeo tunapata equation tofauti.
Katika kesi ya mfumo wa orthogonal wa vekta, usawa unashikilia, ambayo pia huitwa nadharia ya Pythagorean:

Ikiwa - Haya ni makadirio ya vekta kwenye kuratibu shoka, basi formula hii inalingana na umbali wa Euclidean na inamaanisha kuwa urefu wa vekta ni sawa na mzizi. mraba wa jumla mraba wa vipengele vyake.
Analog ya usawa huu katika kesi hiyo mfumo usio na mwisho vekta inaitwa usawa wa Parseval.

Jambo moja unaweza kuwa na uhakika wa asilimia mia moja ni kwamba unapoulizwa mraba wa hypotenuse ni nini, mtu mzima yeyote atajibu kwa ujasiri: "Jumla ya mraba wa miguu." Nadharia hii imejikita katika akili za kila mtu. mtu mwenye elimu, lakini unachotakiwa kufanya ni kumwomba mtu athibitishe, na matatizo yanaweza kutokea. Kwa hiyo, hebu tukumbuke na fikiria njia tofauti za kuthibitisha theorem ya Pythagorean.

Wasifu mfupi

Nadharia ya Pythagorean inajulikana kwa karibu kila mtu, lakini kwa sababu fulani wasifu wa mtu aliyeileta ulimwenguni sio maarufu sana. Hii inaweza kurekebishwa. Kwa hiyo, kabla ya kuchunguza njia tofauti za kuthibitisha nadharia ya Pythagoras, unahitaji kujua kwa ufupi utu wake.

Pythagoras - mwanafalsafa, mwanahisabati, mfikiriaji asili kutoka Leo ni ngumu sana kutofautisha wasifu wake kutoka kwa hadithi ambazo zimekua kwa kumbukumbu ya mtu huyu mkuu. Lakini kama ifuatavyo kutoka kwa kazi za wafuasi wake, Pythagoras wa Samos alizaliwa kwenye kisiwa cha Samos. Baba yake alikuwa mkataji mawe wa kawaida, lakini mama yake alitoka katika familia yenye heshima.

Kwa kuzingatia hadithi, kuzaliwa kwa Pythagoras kulitabiriwa na mwanamke anayeitwa Pythia, ambaye kwa heshima yake mvulana huyo aliitwa. Kulingana na utabiri wake, mvulana aliyezaliwa alipaswa kuleta faida nyingi na nzuri kwa ubinadamu. Ambayo ndiyo hasa aliyofanya.

Kuzaliwa kwa theorem

Katika ujana wake, Pythagoras alihamia Misri kukutana na wahenga maarufu wa Misri huko. Baada ya kukutana nao, aliruhusiwa kusoma, ambapo alijifunza mafanikio yote makubwa ya falsafa ya Misri, hisabati na dawa.

Pengine ilikuwa huko Misri ambapo Pythagoras aliongozwa na ukuu na uzuri wa piramidi na kuunda yake mwenyewe. nadharia kubwa. Hii inaweza kuwashtua wasomaji, lakini wanahistoria wa kisasa wanaamini kwamba Pythagoras hakuthibitisha nadharia yake. Lakini alipitisha ujuzi wake kwa wafuasi wake, ambao baadaye walikamilisha mahesabu yote muhimu ya hisabati.

Kuwa hivyo iwezekanavyo, leo sio njia moja ya kuthibitisha nadharia hii inayojulikana, lakini kadhaa mara moja. Leo tunaweza tu nadhani jinsi Wagiriki wa kale walifanya mahesabu yao, kwa hiyo hapa tutaangalia njia tofauti za kuthibitisha theorem ya Pythagorean.

Nadharia ya Pythagorean

Kabla ya kuanza mahesabu yoyote, unahitaji kujua ni nadharia gani unataka kuthibitisha. Nadharia ya Pythagorean huenda kama hii: "Katika pembetatu ambayo moja ya pembe ni 90 °, jumla ya mraba wa miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse."

Kuna jumla ya njia 15 tofauti za kuthibitisha nadharia ya Pythagorean. Hii ni idadi kubwa, kwa hivyo tutazingatia maarufu zaidi kati yao.

Mbinu ya kwanza

Kwanza, hebu tufafanue kile tulichopewa. Takwimu hizi pia zitatumika kwa njia zingine za kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, kwa hivyo inafaa kukumbuka mara moja nukuu zote zilizopo.

Tuseme tumepewa pembetatu ya kulia yenye miguu a, b na hypotenuse sawa na c. Njia ya kwanza ya uthibitisho inategemea ukweli kwamba unahitaji kuteka mraba kutoka kwa pembetatu ya kulia.

Ili kufanya hivyo, unahitaji kuongeza sehemu kwenye mguu wa urefu a sawa na mguu ndani, na kinyume chake. Hii inapaswa kufanya mbili pande sawa mraba. Yote iliyobaki ni kuteka mistari miwili inayofanana, na mraba iko tayari.

Ndani ya takwimu inayosababisha unahitaji kuteka mraba mwingine na upande sawa na hypotenuse pembetatu ya asili. Ili kufanya hivyo, kutoka kwa wima ас na св unahitaji kuteka mbili sambamba na sehemu sawa na Kwa hivyo, tunapata pande tatu za mraba, moja ambayo ni hypotenuse ya pembetatu ya asili ya kulia. Kinachobaki ni kuchora sehemu ya nne.

Kulingana na takwimu inayosababisha, tunaweza kuhitimisha kuwa eneo la mraba wa nje ni (a + b) 2. Ikiwa unatazama ndani ya takwimu, unaweza kuona kwamba pamoja na mraba wa ndani, kuna pembetatu nne za kulia. Eneo la kila moja ni 0.5av.

Kwa hiyo, eneo hilo ni sawa na: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Kwa hivyo (a+c) 2 =2ab+c 2

Na, kwa hivyo, c 2 =a 2 +b 2

Nadharia imethibitishwa.

Njia ya pili: pembetatu sawa

Fomula hii ya kuthibitisha nadharia ya Pythagorean ilitokana na taarifa kutoka sehemu ya jiometri kuhusu pembetatu zinazofanana. Inasema kuwa mguu wa pembetatu ya kulia ni wastani wa sawia na hypotenuse yake na sehemu ya hypotenuse inayotoka kwenye vertex ya angle ya 90 °.

Data ya awali inabakia sawa, kwa hivyo wacha tuanze mara moja na uthibitisho. Wacha tuchore sehemu ya CD perpendicular kwa upande AB. Kulingana na taarifa hapo juu, pande za pembetatu ni sawa:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Ili kujibu swali la jinsi ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, uthibitisho lazima ukamilike kwa kuweka usawa wote wawili.

AC 2 = AB * AD na CB 2 = AB * DV

Sasa tunahitaji kuongeza usawa unaosababishwa.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), ambapo AD + DV = AB

Inageuka kuwa:

AC 2 + CB 2 =AB*AB

Na kwa hivyo:

AC 2 + CB 2 = AB 2

Uthibitisho wa nadharia ya Pythagorean na mbinu mbalimbali za kutatua zinahitaji mbinu nyingi za tatizo hili. Hata hivyo, chaguo hili ni mojawapo ya rahisi zaidi.

Njia nyingine ya kuhesabu

Maelezo ya mbinu tofauti za kuthibitisha nadharia ya Pythagorean inaweza kuwa haimaanishi chochote hadi uanze kufanya mazoezi peke yako. Mbinu nyingi hazihusishi tu mahesabu ya hisabati, lakini pia ujenzi wa takwimu mpya kutoka kwa pembetatu ya awali.

KATIKA kwa kesi hii Ni muhimu kukamilisha pembetatu nyingine ya kulia VSD kutoka upande wa BC. Hivyo, sasa kuna pembetatu mbili na mguu wa kawaida BC.

Kujua kuwa maeneo ya takwimu zinazofanana yana uwiano kama miraba ya vipimo vyao sawa vya mstari, basi:

S avs * c 2 - S avd * katika 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(kutoka 2 - hadi 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

kutoka 2 hadi 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Kwa kuwa kati ya njia mbalimbali za kuthibitisha theorem ya Pythagorean kwa daraja la 8, chaguo hili haifai sana, unaweza kutumia njia ifuatayo.

Njia rahisi zaidi ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Ukaguzi

Kulingana na wanahistoria, njia hii ilitumiwa kwanza kudhibitisha nadharia huko nyuma Ugiriki ya kale. Ni rahisi zaidi, kwani hauitaji mahesabu yoyote. Ikiwa unachora picha kwa usahihi, basi uthibitisho wa taarifa kwamba 2 + b 2 = c 2 itaonekana wazi.

Masharti kwa njia hii itakuwa tofauti kidogo na ile ya awali. Ili kudhibitisha nadharia, chukulia kuwa pembetatu ya kulia ABC ni isosceles.

Tunachukua hypotenuse AC kama upande wa mraba na kuchora pande zake tatu. Kwa kuongeza, ni muhimu kuteka mistari miwili ya diagonal katika mraba unaosababisha. Ili ndani yake kupata pembetatu nne za isosceles.

Pia unahitaji kuteka mraba kwa miguu AB na CB na kuteka mstari wa moja kwa moja wa diagonal katika kila mmoja wao. Tunachora mstari wa kwanza kutoka kwa vertex A, wa pili kutoka kwa C.

Sasa unahitaji kuangalia kwa uangalifu mchoro unaosababisha. Kwa kuwa kwenye hypotenuse AC kuna pembetatu nne sawa na moja ya awali, na kwa pande kuna mbili, hii inaonyesha ukweli wa theorem hii.

Kwa njia, shukrani kwa njia hii ya kudhibitisha nadharia ya Pythagorean, neno maarufu: "Suruali za Pythagorean ni sawa katika pande zote."

Uthibitisho wa J. Garfield

James Garfield ni Rais wa ishirini wa Marekani. Mbali na kuweka alama yake kwenye historia kama mtawala wa Merika, pia alikuwa mtu mwenye kipawa cha kujiendesha.

Mwanzoni mwa kazi yake alikuwa mwalimu wa kawaida katika shule ya umma, lakini hivi karibuni akawa mkurugenzi wa moja ya juu zaidi taasisi za elimu. Tamaa ya kujiendeleza ilimruhusu kutoa nadharia mpya ushahidi wa nadharia ya Pythagorean. Nadharia na mfano wa suluhisho lake ni kama ifuatavyo.

Kwanza unahitaji kuteka pembetatu mbili za kulia kwenye kipande cha karatasi ili mguu wa mmoja wao ni mwendelezo wa pili. Vipeo vya pembetatu hizi zinahitaji kuunganishwa ili hatimaye kuunda trapezoid.

Kama unavyojua, eneo la trapezoid ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya besi zake na urefu wake.

S=a+b/2 * (a+b)

Ikiwa tunazingatia trapezoid inayosababishwa kama takwimu inayojumuisha pembetatu tatu, basi eneo lake linaweza kupatikana kama ifuatavyo.

S=av/2 *2 + s 2 /2

Sasa tunahitaji kusawazisha misemo miwili ya asili

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

Zaidi ya juzuu moja inaweza kuandikwa juu ya nadharia ya Pythagorean na njia za kuithibitisha. msaada wa kufundishia. Lakini kuna uhakika wowote ndani yake wakati ujuzi huu hauwezi kutumika katika mazoezi?

Utumiaji wa vitendo wa nadharia ya Pythagorean

Kwa bahati mbaya, mitaala ya kisasa ya shule hutoa matumizi ya nadharia hii tu katika matatizo ya kijiometri. Wahitimu wataacha shule hivi karibuni bila kujua jinsi wanavyoweza kutumia ujuzi na ujuzi wao katika mazoezi.

Kwa kweli, tumia nadharia ya Pythagorean katika yako Maisha ya kila siku kila mtu anaweza. Na sio tu ndani shughuli za kitaaluma, lakini pia katika kazi za kawaida za nyumbani. Wacha tuchunguze kesi kadhaa wakati nadharia ya Pythagorean na njia za kudhibitisha zinaweza kuwa muhimu sana.

Uhusiano kati ya theorem na astronomy

Inaweza kuonekana jinsi nyota na pembetatu kwenye karatasi zinaweza kuunganishwa. Kwa kweli, unajimu ni uwanja wa kisayansi, ambayo hutumia sana nadharia ya Pythagorean.

Kwa mfano, fikiria harakati ya mwanga wa mwanga katika nafasi. Inajulikana kuwa mwanga husogea pande zote mbili kwa kasi sawa. Wacha tuite trajectory AB ambayo mionzi ya mwanga husonga l. Na tupige simu nusu ya muda inachukua mwanga kutoka kwa uhakika A hadi kumweka B t. Na kasi ya boriti - c. Inageuka kuwa: c*t=l

Ikiwa unatazama ray hii kutoka kwa ndege nyingine, kwa mfano, kutoka kwa mstari wa nafasi ambayo huenda kwa kasi v, basi wakati wa kuchunguza miili kwa njia hii, kasi yao itabadilika. Katika kesi hii, hata vitu vya stationary vitaanza kusonga kwa kasi v kwa mwelekeo tofauti.

Wacha tuseme mjengo wa vichekesho unasafiri kwenda kulia. Kisha pointi A na B, kati ya ambayo boriti hukimbia, itaanza kuhamia kushoto. Kwa kuongezea, wakati boriti inasonga kutoka kwa uhakika A hadi B, hatua A ina wakati wa kusonga na, ipasavyo, taa tayari itafika. hatua mpya C. Ili kupata nusu ya umbali ambao hatua A imehamia, unahitaji kuzidisha kasi ya mstari kwa nusu ya muda wa kusafiri wa boriti (t").

Na ili kujua jinsi miale ya mwanga inaweza kusafiri kwa wakati huu, unahitaji kuweka alama nusu ya njia na herufi mpya s na upate usemi ufuatao:

Ikiwa tunafikiri kwamba pointi za mwanga C na B, pamoja na mstari wa nafasi, ni wima pembetatu ya isosceles, basi sehemu kutoka kwa uhakika A hadi kwenye mjengo itaigawanya katika pembetatu mbili za kulia. Kwa hiyo, kutokana na nadharia ya Pythagorean, unaweza kupata umbali ambao mionzi ya mwanga inaweza kusafiri.

Mfano huu, bila shaka, sio mafanikio zaidi, kwa kuwa wachache tu wanaweza kuwa na bahati ya kujaribu kwa mazoezi. Kwa hivyo, wacha tuzingatie matumizi ya kawaida ya nadharia hii.

Usambazaji wa mawimbi ya rununu

Maisha ya kisasa hayawezi kufikiria tena bila uwepo wa simu mahiri. Lakini wangetumia kiasi gani ikiwa hawakuweza kuunganisha wasajili kupitia mawasiliano ya rununu?!

Ubora wa mawasiliano ya simu moja kwa moja inategemea urefu ambao antenna ya operator wa simu iko. Ili kuhesabu jinsi mbali na mnara wa simu simu inaweza kupokea ishara, unaweza kutumia theorem ya Pythagorean.

Wacha tuseme unahitaji kupata urefu wa takriban wa mnara wa stationary ili iweze kusambaza ishara ndani ya eneo la kilomita 200.

AB (urefu wa mnara) = x;

BC (radius ya maambukizi ya ishara) = 200 km;

OS (radius dunia) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Kutumia nadharia ya Pythagorean, tunagundua kuwa urefu wa chini wa mnara unapaswa kuwa kilomita 2.3.

Nadharia ya Pythagorean katika maisha ya kila siku

Kwa kawaida, nadharia ya Pythagorean inaweza kuwa muhimu hata katika masuala ya kila siku, kama vile kuamua urefu wa WARDROBE, kwa mfano. Kwa mtazamo wa kwanza, hakuna haja ya kutumia mahesabu hayo magumu, kwa sababu unaweza tu kuchukua vipimo kwa kutumia kipimo cha tepi. Lakini watu wengi wanashangaa kwa nini matatizo fulani hutokea wakati wa mchakato wa mkutano ikiwa vipimo vyote vilichukuliwa zaidi ya usahihi.

Ukweli ni kwamba WARDROBE imekusanyika katika nafasi ya usawa na kisha tu imeinuliwa na imewekwa dhidi ya ukuta. Kwa hiyo, wakati wa mchakato wa kuinua muundo, upande wa baraza la mawaziri lazima uende kwa uhuru wote pamoja na urefu na diagonally ya chumba.

Hebu tufikiri kuna WARDROBE yenye kina cha 800 mm. Umbali kutoka sakafu hadi dari - 2600 mm. Mtengeneza samani mwenye uzoefu atasema kwamba urefu wa baraza la mawaziri unapaswa kuwa 126 mm chini ya urefu wa chumba. Lakini kwa nini hasa 126 mm? Hebu tuangalie mfano.

Kwa vipimo bora vya baraza la mawaziri, wacha tuangalie utendakazi wa nadharia ya Pythagorean:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - kila kitu kinafaa.

Hebu sema urefu wa baraza la mawaziri sio 2474 mm, lakini 2505 mm. Kisha:

AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Kwa hiyo, baraza la mawaziri hili halifaa kwa ajili ya ufungaji katika chumba hiki. Kwa sababu kuinua kwenye nafasi ya wima kunaweza kusababisha uharibifu kwa mwili wake.

Labda, kwa kuzingatia njia tofauti za kuthibitisha nadharia ya Pythagorean na wanasayansi tofauti, tunaweza kuhitimisha kuwa ni zaidi ya kweli. Sasa unaweza kutumia taarifa zilizopokelewa katika maisha yako ya kila siku na kuwa na uhakika kabisa kwamba mahesabu yote hayatakuwa muhimu tu, bali pia sahihi.

Kwa wale wanaopenda historia ya nadharia ya Pythagorean, ambayo inasomwa ndani mtaala wa shule, itapendeza pia kuona ukweli kama vile uchapishaji wa 1940 wa kitabu chenye uthibitisho mia tatu na sabini wa nadharia hii inayoonekana kuwa rahisi. Lakini ilivutia akili za wanahisabati na wanafalsafa wengi wa zama tofauti. Katika Kitabu cha Rekodi cha Guinness imerekodiwa kama nadharia yenye idadi kubwa ya uthibitisho.

Historia ya nadharia ya Pythagorean

Kuhusishwa na jina la Pythagoras, theorem ilijulikana muda mrefu kabla ya kuzaliwa kwa mwanafalsafa mkuu. Kwa hiyo, huko Misri, wakati wa ujenzi wa miundo, uwiano wa kipengele cha pembetatu ya kulia ulizingatiwa miaka elfu tano iliyopita. Maandishi ya Babeli yanataja uwiano sawa wa kipengele cha pembetatu ya kulia miaka 1200 kabla ya kuzaliwa kwa Pythagoras.

Swali linatokea, kwa nini basi historia inasema kwamba asili ya theorem ya Pythagorean ni yake? Kunaweza kuwa na jibu moja tu - alithibitisha uwiano wa pande katika pembetatu. Alifanya kile ambacho wale ambao walitumia tu uwiano wa kipengele na hypotenuse iliyoanzishwa na uzoefu hawakufanya karne nyingi zilizopita.

Kutoka kwa maisha ya Pythagoras

Mwanasayansi mkuu wa siku za usoni, mwanahisabati, mwanafalsafa alizaliwa kwenye kisiwa cha Samos mnamo 570 KK. Nyaraka za kihistoria habari iliyohifadhiwa kuhusu baba ya Pythagoras, ambaye alikuwa mchongaji mawe ya thamani, lakini hakuna habari kuhusu mama huyo. Walisema juu ya mvulana aliyezaliwa kwamba alikuwa mtoto wa ajabu ambaye alionyesha utotoni shauku ya muziki na mashairi. Wanahistoria wanatia ndani Hermodamas na Pherecydes of Syros kama walimu wa Pythagoras mchanga. Wa kwanza alimtambulisha mvulana huyo katika ulimwengu wa makumbusho, na wa pili, akiwa mwanafalsafa na mwanzilishi wa shule ya falsafa ya Italia, alielekeza macho ya kijana huyo kwa nembo.

Akiwa na umri wa miaka 22 (548 KK), Pythagoras alikwenda Naucratis kujifunza lugha na dini ya Wamisri. Kisha, njia yake ililala huko Memphis, ambapo, kwa shukrani kwa makuhani, baada ya kupitia majaribio yao ya busara, alielewa jiometri ya Wamisri, ambayo, labda, ilimfanya kijana huyo mdadisi kudhibitisha nadharia ya Pythagorean. Historia baadaye itakabidhi jina hili kwa nadharia.

Utumwa wa Mfalme wa Babeli

Akiwa njiani kuelekea nyumbani kwa Hellas, Pythagoras anatekwa na mfalme wa Babeli. Lakini kuwa utumwani kulinufaisha akili yenye kudadisi ya mwanahisabati mwenye kutamani; alikuwa na mengi ya kujifunza. Hakika, katika miaka hiyo hisabati katika Babeli ilikuwa imekuzwa zaidi kuliko Misri. Alitumia miaka kumi na mbili kusoma hisabati, jiometri na uchawi. Na, labda, ilikuwa jiometri ya Babeli ambayo ilihusika katika uthibitisho wa uwiano wa pande za pembetatu na historia ya ugunduzi wa theorem. Pythagoras alikuwa na ujuzi wa kutosha na wakati kwa hili. Lakini hakuna uthibitisho wa maandishi au kukanusha kwamba hii ilitokea Babeli.

Mnamo 530 KK. Pythagoras anatoroka kutoka utumwani kwenda nchi yake, ambapo anaishi katika korti ya Polycrates dhalimu katika hadhi ya mtumwa wa nusu. Pythagoras hajaridhika na maisha kama hayo, na anastaafu kwenye mapango ya Samos, na kisha huenda kusini mwa Italia, ambapo wakati huo Koloni la Kigiriki Croton.

Utaratibu wa siri wa monastiki

Kwa msingi wa koloni hii, Pythagoras alipanga siri utaratibu wa kimonaki, ambao ulikuwa muungano wa kidini na jamii ya kisayansi kwa wakati mmoja. Jumuiya hii ilikuwa na hati yake, ambayo ilizungumza juu ya kufuata njia maalum ya maisha.

Pythagoras alisema kwamba ili kumwelewa Mungu ni lazima mtu ajue sayansi kama vile algebra na jiometri, ajue unajimu na aelewe muziki. Utafiti kuchemshwa kwa maarifa ya upande wa fumbo wa nambari na falsafa. Ikumbukwe kwamba kanuni zilizohubiriwa wakati huo na Pythagoras zina maana katika kuiga wakati wa sasa.

Uvumbuzi mwingi uliofanywa na wanafunzi wa Pythagoras ulihusishwa naye. Walakini, kwa kifupi, historia ya uundaji wa nadharia ya Pythagorean na wanahistoria wa zamani na wasifu wa wakati huo inahusishwa moja kwa moja na jina la mwanafalsafa huyu, mfikiriaji na mwanahisabati.

Mafundisho ya Pythagoras

Labda wazo la uhusiano kati ya nadharia na jina la Pythagoras lilichochewa na taarifa ya Mgiriki mkuu kwamba matukio yote ya maisha yetu yamesimbwa kwenye pembetatu yenye sifa mbaya na miguu yake na hypotenuse. Na pembetatu hii ni "ufunguo" wa kutatua matatizo yote yanayojitokeza. Mwanafalsafa mkuu alisema kwamba unapaswa kuona pembetatu, basi unaweza kuzingatia kwamba tatizo ni theluthi mbili kutatuliwa.

Pythagoras alizungumza juu ya ufundishaji wake kwa wanafunzi wake tu kwa mdomo, bila kuandika maandishi yoyote, akiweka siri. Kwa bahati mbaya, mafundisho mwanafalsafa mkuu haijaishi hadi leo. Kitu kilivuja kutoka kwake, lakini haiwezekani kusema ni kiasi gani cha kweli na ni kiasi gani cha uwongo katika kile kilichojulikana. Hata kwa historia ya nadharia ya Pythagorean, sio kila kitu ni hakika. Wanahistoria wa hisabati wanatilia shaka uandishi wa Pythagoras; kwa maoni yao, nadharia hiyo ilitumika karne nyingi kabla ya kuzaliwa kwake.

Nadharia ya Pythagorean

Inaweza kuonekana kuwa ya kushangaza, lakini ukweli wa kihistoria hakuna uthibitisho wa nadharia ya Pythagoras mwenyewe - sio kwenye kumbukumbu au katika vyanzo vingine vyovyote. Katika toleo la kisasa inaaminika kuwa sio mtu mwingine isipokuwa Euclid mwenyewe.

Kuna ushahidi kutoka kwa mmoja wa wanahistoria wakubwa wa hisabati, Moritz Cantor, ambaye aligundua kwenye papyrus iliyohifadhiwa katika Makumbusho ya Berlin, iliyoandikwa na Wamisri karibu 2300 BC. e. usawa, ambayo inasomeka: 3² + 4² = 5².

Historia fupi ya nadharia ya Pythagorean

Uundaji wa nadharia kutoka kwa "Kanuni" za Euclidean, katika tafsiri, inasikika sawa na katika tafsiri ya kisasa. Hakuna jipya katika usomaji wake: mraba wa upande wa pili pembe ya kulia, ni sawa na jumla ya miraba ya pande zilizo karibu na pembe ya kulia. Ukweli kwamba ustaarabu wa zamani wa India na Uchina ulitumia nadharia hiyo inathibitishwa na maandishi "Zhou - bi suan jin". Ina taarifa kuhusu pembetatu ya Misri, ambayo inaelezea uwiano wa kipengele kama 3:4:5.

Sio chini ya kuvutia ni kitabu kingine cha Kichina cha hisabati "Chu-pei", ambacho kinataja pia Pembetatu ya Pythagorean pamoja na maelezo na michoro inayoendana na michoro ya jiometri ya Kihindu ya Bashara. Kuhusu pembetatu yenyewe, kitabu kinasema kwamba ikiwa pembe ya kulia inaweza kugawanywa katika sehemu zake za sehemu, basi mstari unaounganisha ncha za pande utakuwa sawa na tano ikiwa msingi ni sawa na tatu na urefu ni sawa na nne. .

Maandishi ya Kihindi "Sulva Sutra", yaliyoanzia takriban karne ya 7-5 KK. e., inazungumza kuhusu kujenga pembe ya kulia kwa kutumia pembetatu ya Misri.

Uthibitisho wa nadharia

Katika Zama za Kati, wanafunzi walizingatia uthibitisho wa nadharia pia kazi ngumu. Wanafunzi dhaifu walijifunza nadharia kwa moyo, bila kuelewa maana ya uthibitisho. Katika suala hili, walipokea jina la utani "punda", kwa sababu nadharia ya Pythagorean ilikuwa kizuizi kisichoweza kushindwa kwao, kama daraja la punda. Katika Zama za Kati, wanafunzi walikuja na aya ya ucheshi juu ya mada ya nadharia hii.

Ili kudhibitisha nadharia ya Pythagorean zaidi njia rahisi, unapaswa kupima tu pande zake bila kutumia dhana ya maeneo katika uthibitisho. Urefu wa upande ulio kinyume na pembe ya kulia ni c, na a na b karibu nayo, kwa sababu hiyo tunapata equation: a 2 + b 2 = c 2. Kauli hii, kama ilivyotajwa hapo juu, inathibitishwa kwa kupima urefu wa pande za pembetatu ya kulia.

Ikiwa tunaanza uthibitisho wa nadharia kwa kuzingatia eneo la mstatili uliojengwa kwenye pande za pembetatu, tunaweza kuamua eneo la takwimu nzima. Itakuwa sawa na eneo la mraba na upande (a+b), na kwa upande mwingine, jumla ya maeneo ya pembetatu nne na mraba wa ndani.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 , ambayo ndiyo ilihitaji kuthibitishwa.

Umuhimu wa vitendo Nadharia ya Pythagorean ni kwamba inaweza kutumika kupata urefu wa sehemu bila kuzipima. Wakati wa ujenzi wa miundo, umbali, uwekaji wa misaada na mihimili huhesabiwa, na vituo vya mvuto vinatambuliwa. Nadharia ya Pythagorean inatumika kwa wote teknolojia za kisasa. Hawakusahau kuhusu theorem wakati wa kuunda sinema katika vipimo vya 3D-6D, ambapo pamoja na vipimo vitatu ambavyo tumezoea: urefu, urefu, upana, wakati, harufu na ladha huzingatiwa. Ladha na harufu zinahusianaje na nadharia, unauliza? Kila kitu ni rahisi sana - wakati wa kuonyesha filamu, unahitaji kuhesabu wapi na nini harufu na ladha ili kuelekeza kwenye ukumbi.

Ni mwanzo tu. Upeo usio na kikomo wa kugundua na kuunda teknolojia mpya unangojea akili zinazodadisi.

KIPIMO CHA ENEO LA TAKWIMU ZA JIometri.

§ 58. PYTHAGOREAN THEOREM 1.

__________
1 Pythagoras ni mwanasayansi wa Kigiriki aliyeishi yapata miaka 2500 iliyopita (564-473 KK).
_________

Hebu tupewe pembetatu ya kulia ambayo pande zake A, b Na Na(mchoro 267).

Wacha tujenge mraba kwenye pande zake. Maeneo ya viwanja hivi ni sawa A 2 , b 2 na Na 2. Hebu tuthibitishe hilo Na 2 = a 2 +b 2 .

Wacha tujenge miraba miwili MKOR na M"K"O"R" (michoro 268, 269), tukichukua kama upande wa kila moja wapo sehemu sawa na jumla ya miguu ya pembetatu ya kulia ABC.

Baada ya kukamilisha ujenzi ulioonyeshwa katika michoro 268 na 269 katika viwanja hivi, tutaona kwamba mraba wa MCOR umegawanywa katika miraba miwili yenye maeneo. A 2 na b 2 na pembetatu nne sawa za kulia, ambazo kila moja ni sawa na pembetatu ya kulia ABC. Mraba M"K"O"R" iligawanywa katika quadrangle (imetiwa kivuli katika kuchora 269) na pembetatu nne za kulia, ambayo kila moja ni sawa na pembetatu ABC. Sehemu ya pembetatu yenye kivuli ni mraba, kwani pande zake ni sawa (kila moja ni sawa na hypotenuse ya pembetatu ABC, i.e. Na), na pembe ni sawa / 1 + / 2 = 90 °, kutoka wapi / 3 = 90°).

Kwa hivyo, jumla ya maeneo ya miraba iliyojengwa kwa miguu (katika kuchora 268 viwanja hivi vina kivuli) ni sawa na eneo la mraba wa MCOR bila jumla. miraba minne pembetatu sawa, na eneo la mraba lililojengwa juu ya hypotenuse (katika kuchora 269 mraba huu pia una kivuli) ni sawa na eneo la mraba M"K"O"R", sawa na mraba MCOR, bila jumla ya maeneo ya pembetatu nne zinazofanana. Kwa hivyo, eneo la mraba lililojengwa juu ya hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya maeneo ya mraba iliyojengwa kwenye miguu.

Tunapata formula Na 2 = a 2 +b 2 wapi Na- hypotenuse, A Na b- miguu ya pembetatu ya kulia.

Nadharia ya Pythagorean kawaida huundwa kwa ufupi kama ifuatavyo:

Mraba wa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni sawa na jumla ya mraba wa miguu.

Kutoka kwa formula Na 2 = a 2 +b 2 unaweza kupata fomula zifuatazo:

A 2 = Na 2 - b 2 ;
b 2 = Na 2 - A 2 .

Fomula hizi zinaweza kutumika kupata upande usiojulikana pembetatu ya kulia pamoja na pande zake mbili zilizotolewa.
Kwa mfano:

a) ikiwa miguu imetolewa A= 4 cm, b=3 cm, basi unaweza kupata hypotenuse ( Na):
Na 2 = a 2 +b 2, yaani. Na 2 = 4 2 + 3 2; na 2 = 25, kutoka wapi Na= √25 =5 (cm);

b) ikiwa hypotenuse inatolewa Na= 17 cm na mguu A= 8 cm, basi unaweza kupata mguu mwingine ( b):

b 2 = Na 2 - A 2, yaani. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, kutoka wapi b= √225 = 15 (cm).

Matokeo: Ikiwa pembetatu mbili za kulia ABC na A zina 1 B 1 C 1 hypotenuse Na Na Na 1 ni sawa, na mguu b pembetatu ABC ni ndefu kuliko mguu b Pembetatu 1 A 1 B 1 C 1,
kisha mguu A pembetatu ABC ni ndogo kuliko mguu A Pembetatu 1 A 1 B 1 C 1. (Tengeneza mchoro unaoonyesha matokeo haya.)

Kwa kweli, kwa msingi wa nadharia ya Pythagorean tunapata:

A 2 = Na 2 - b 2 ,
A 1 2 = Na 1 2 - b 1 2

Katika fomula zilizoandikwa, minuends ni sawa, na subtrahend katika fomula ya kwanza ni kubwa kuliko subtrahend katika fomula ya pili, kwa hivyo, tofauti ya kwanza ni chini ya ya pili.
i.e. A 2 < A 12 . Wapi A< A 1 .

Mazoezi.

1. Kwa kutumia kuchora 270, thibitisha nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya kulia ya isosceles.

2. Mguu mmoja wa pembetatu ya kulia ni 12 cm, nyingine ni cm 5. Kuhesabu urefu wa hypotenuse ya pembetatu hii.

3. Hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni 10 cm, moja ya miguu ni cm 8. Kuhesabu urefu wa mguu mwingine wa pembetatu hii.

4. Hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni 37 cm, moja ya miguu yake ni cm 35. Kuhesabu urefu wa mguu mwingine wa pembetatu hii.

5. Jenga mraba na eneo la ukubwa mara mbili ya ulilopewa.

6. Jenga mraba na eneo la nusu ya ukubwa wa uliyopewa. Kumbuka. Tekeleza ndani mraba uliopewa diagonal. Miraba iliyojengwa kwenye nusu ya diagonal hizi itakuwa ndio tunayotafuta.

7. Miguu ya pembetatu ya kulia ni mtiririko wa cm 12 na cm 15. Kuhesabu urefu wa hypotenuse ya pembetatu hii kwa usahihi wa 0.1 cm.

8. Hypotenuse ya pembetatu ya kulia ni 20 cm, moja ya miguu yake ni cm 15. Kuhesabu urefu wa mguu mwingine hadi 0.1 cm karibu.

9. Ngazi lazima iwe kwa muda gani ili iweze kushikamana na dirisha iko kwenye urefu wa m 6, ikiwa mwisho wa chini wa ngazi lazima iwe 2.5 m kutoka jengo? (Chati 271.)