Kwa ombi lako!

1. Ondoa kutokuwa na busara katika dhehebu:

3. Tatua mlingano wa kielelezo:

4. Tatua ukosefu wa usawa:

Mzizi wa mraba wa hesabu upo tu wa nambari isiyo hasi na kila wakati huonyeshwa kama nambari isiyo hasi., kwa hiyo, usawa huu utakuwa wa kweli kwa kila mtu X, kukidhi hali: 2-х≥0. Kutoka hapa tunapata: x≤2. Tunaandika jibu katika mfumo wa muda wa nambari: (-∞; 2].

5. Tatua ukosefu wa usawa: 7 x > -1.

A-kipaumbele: Kitendaji cha umbo y = a x kinaitwa kielelezo, ambapo >0, a≠1, x ni nambari yoyote. Anuwai ya thamani za chaguo za kukokotoa za kielelezo ni seti ya nambari zote chanya, kwa kuwa nambari chanya kwa nguvu yoyote itakuwa chanya. Ndiyo maana 7 x >0 kwa x yoyote, na hata zaidi 7 x > -1, i.e. ukosefu wa usawa ni kweli kwa wote x ∈ (-∞; +∞).

6. Badilisha kuwa bidhaa:

Hebu tutumie fomula ya jumla ya sines: jumla ya sines ya pembe mbili ni sawa na mara mbili ya bidhaa ya sine ya nusu ya jumla ya pembe hizi na cosine ya nusu-tofauti yao.

8. Inajulikana kuwa f(x) = -15x+3. Ni kwa maadili gani ya x hufanya f(x)=0?

Badilisha nambari 0 badala ya f(x) na utatue mlinganyo:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . Katika aloi za kwanza na za pili, shaba na zinki ziko katika uwiano wa 5: 2 na 3: 4. Ni kiasi gani cha kila aloi lazima ichukuliwe ili kupata kilo 28 za aloi mpya na yaliyomo sawa ya shaba na zinki.

Tunaelewa kuwa aloi mpya itakuwa na kilo 14 za shaba na kilo 14 za zinki. Matatizo sawa yanatatuliwa kwa njia ile ile: huunda equation ambayo pande za kushoto na za kulia zina kiasi sawa cha dutu (hebu tuchukue shaba), iliyoandikwa tofauti (kulingana na hali maalum ya tatizo). Kilo chetu cha 14 cha shaba katika aloi mpya kitaundwa na shaba kutoka kwa aloi hizi zote mbili. Hebu wingi wa aloi ya kwanza X kilo, basi misa ya aloi ya pili ni ( ya 28)kilo. Aloi ya kwanza ina sehemu 5 za shaba na sehemu 2 za zinki, kwa hivyo shaba itakuwa (5/7) kutoka kwa x kg. Ili kupata sehemu ya nambari, unahitaji kuzidisha sehemu kwa nambari uliyopewa. Aloi ya pili ina sehemu 3 za shaba na sehemu 4 za zinki, i.e. shaba ina (3/7) kutoka (28) kg. Kwa hivyo:

12. Tatua mlinganyo: logi 2 8 x = -1.

Kwa ufafanuzi wa logarithm:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Pata derivative ya chaguo za kukokotoa f(x) = -ln cosx 2 .

20. Tafuta maana ya usemi:

Moduli ya nambari inaweza tu kuonyeshwa kama nambari isiyo hasi. Ikiwa kuna usemi mbaya chini ya ishara ya moduli, basi wakati wa kufungua mabano ya kawaida, maneno yote yameandikwa na ishara tofauti.

22. Suluhisha mfumo wa usawa:

Kwanza, tunatatua kila usawa tofauti.

Kumbuka kuwa kipindi kidogo cha kawaida cha utendaji huu kitakuwa 2π, kwa hivyo, kushoto na kulia zilihusishwa 2pn. Jibu C).

23. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na grafu ya chaguo la kukokotoa y=3-|x-3| na mstari wa moja kwa moja y=0.

Grafu ya chaguo hili la kukokotoa itajumuisha mistari-nusu miwili inayojitokeza kutoka sehemu moja. Wacha tuandike milinganyo ya mistari. Kwa x≥3 tunafungua mabano ya msimu na kupata: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. Katika x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Pembetatu iliyofungwa na grafu ya kazi na sehemu ya mhimili wa Ox ni kielelezo ambacho eneo lake linahitaji kupatikana. Kwa kweli, tunaweza kufanya bila viungo hapa. Wacha tupate eneo la pembetatu kama nusu ya bidhaa ya msingi wake na urefu unaotolewa kwa msingi huu. Msingi wetu ni sawa na sehemu 6 za kitengo, na urefu unaotolewa kwa msingi huu ni sawa na sehemu 3 za vitengo. Eneo litakuwa mita 9 za mraba. vitengo

24. Tafuta kosini ya pembe A ya pembetatu yenye vipeo kwa pointi A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Ili kupata kuratibu za vector iliyotolewa na kuratibu za mwisho wake, unahitaji kuondoa kuratibu za mwanzo kutoka kwa kuratibu za mwisho.

Angle A huundwa na vekta:

25. Kuna mipira 23 kwenye sanduku: nyekundu, nyeupe na nyeusi. Kuna mipira nyeupe mara 11 zaidi ya mipira nyekundu. Mipira mingapi nyeusi?

Wacha iwe kwenye sanduku X mipira nyekundu. Kisha nyeupe 11x mipira.

Nyekundu na nyeupe x+11x= 12x mipira. Kwa hivyo, mipira nyeusi 23-12x. Kwa kuwa hii ni idadi kamili ya mipira, thamani pekee inayowezekana ni x=1. Inageuka: 1 mpira nyekundu, mipira 11 nyeupe na 11 mipira nyeusi.

Maagizo

Hebu vectors mbili zisizo za sifuri zipewe kwenye ndege, zilizopangwa kutoka kwa hatua moja: vector A na kuratibu (x1, y1) B na kuratibu (x2, y2). Kona kati yao imeteuliwa kama θ. Ili kupata kipimo cha digrii ya pembe θ, unahitaji kutumia ufafanuzi wa bidhaa ya scalar.

Bidhaa ya scalar ya vekta mbili zisizo za sifuri ni nambari sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi na cosine ya pembe kati yao, ambayo ni (A,B)=|A|*|B|*cos(θ) ) Sasa unahitaji kueleza cosine ya pembe kutoka hii: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Bidhaa ya scalar pia inaweza kupatikana kwa kutumia formula (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2, kwa kuwa bidhaa za vectors mbili zisizo za sifuri ni sawa na jumla ya bidhaa za vectors zao zinazofanana. Ikiwa bidhaa ya scalar ya vectors zisizo za sifuri ni sawa na sifuri, basi vectors ni perpendicular (angle kati yao ni digrii 90) na mahesabu zaidi yanaweza kuachwa. Ikiwa bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni chanya, basi angle kati ya hizi vekta papo hapo, na ikiwa hasi, basi pembe ni butu.

Sasa hesabu urefu wa vekta A na B kwa kutumia fomula: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Urefu wa vekta huhesabiwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya viwianishi vyake.

Badilisha maadili yaliyopatikana ya bidhaa ya scalar na urefu wa vekta kwenye fomula ya pembe iliyopatikana katika hatua ya 2, yaani, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Sasa, kwa kujua thamani ya , kupata kipimo cha digrii ya pembe kati vekta unahitaji kutumia jedwali la Bradis au chukua kutoka kwa hii: θ=arccos(cos(θ)).

Ikiwa vectors A na B hutolewa katika nafasi ya tatu-dimensional na kuwa na kuratibu (x1, y1, z1) na (x2, y2, z2), kwa mtiririko huo, basi wakati wa kupata cosine ya angle, uratibu mmoja zaidi huongezwa. Katika hali hii, cosine: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Ushauri wa manufaa

Ikiwa vectors mbili hazijapangwa kutoka kwa hatua moja, kisha kupata angle kati yao kwa tafsiri ya sambamba, unahitaji kuchanganya asili ya vectors hizi.
Pembe kati ya vekta mbili haiwezi kuwa zaidi ya digrii 180.

Vyanzo:

• jinsi ya kuhesabu angle kati ya vekta
• Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege

Ili kutatua matatizo mengi, yanayotumiwa na ya kinadharia, katika fizikia na algebra ya mstari ni muhimu kuhesabu angle kati ya vectors. Kazi hii inayoonekana kuwa rahisi inaweza kusababisha shida nyingi ikiwa hauelewi wazi kiini cha bidhaa ya scalar na ni thamani gani inayoonekana kama matokeo ya bidhaa hii.

Maagizo

Pembe kati ya vekta katika nafasi ya mstari wa vekta ni pembe ya chini ambayo mwelekeo wa ushirikiano wa vectors hupatikana. Huchota moja ya vidhibiti kuzunguka sehemu yake ya kuanzia. Kutoka kwa ufafanuzi inakuwa dhahiri kwamba thamani ya angle haiwezi kuzidi digrii 180 (angalia hatua).

Katika kesi hii, ni sawa kabisa kudhani kuwa katika nafasi ya mstari, wakati wa kufanya uhamisho sambamba wa vectors, angle kati yao haibadilika. Kwa hiyo, kwa hesabu ya uchambuzi wa angle, mwelekeo wa anga wa vectors haujalishi.

Matokeo ya bidhaa ya dot ni nambari, vinginevyo scalar. Kumbuka (hii ni muhimu kujua) ili kuepuka makosa katika mahesabu zaidi. Fomu ya bidhaa ya scalar iko kwenye ndege au katika nafasi ya vectors ina fomu (tazama takwimu kwa hatua).

Ikiwa vectors ziko kwenye nafasi, basi fanya hesabu kwa njia sawa. Muonekano pekee wa neno katika gawio litakuwa neno la mwombaji, i.e. sehemu ya tatu ya vector. Ipasavyo, wakati wa kuhesabu moduli ya vekta, sehemu ya z lazima pia izingatiwe, kisha kwa vekta ziko kwenye nafasi, usemi wa mwisho unabadilishwa kama ifuatavyo (angalia Mchoro 6 kwa hatua).

Vekta ni sehemu yenye mwelekeo fulani. Pembe kati ya vekta ina maana ya kimwili, kwa mfano, wakati wa kutafuta urefu wa makadirio ya vector kwenye mhimili.

Maagizo

Pembe kati ya vekta mbili za nonzero kwa kukokotoa bidhaa ya nukta. Kwa ufafanuzi, bidhaa ni sawa na bidhaa ya urefu na angle kati yao. Kwa upande mwingine, bidhaa ya scalar kwa vekta mbili a yenye viwianishi (x1; y1) na b yenye viwianishi (x2; y2) imehesabiwa: ab = x1x2 + y1y2. Kati ya njia hizi mbili, bidhaa ya nukta kwa urahisi ni pembe kati ya vekta.

Pata urefu au ukubwa wa vekta. Kwa vekta zetu a na b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Pata bidhaa ya scalar ya vekta kwa kuzidisha kuratibu zao katika jozi: ab = x1x2 + y1y2. Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya scalar ab = |a|*|b|*cos α, ambapo α ni pembe kati ya vekta. Kisha tunapata hiyo x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Kisha cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/(((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Pata pembe α kwa kutumia majedwali ya Bradis.

Video kwenye mada

Kumbuka

Bidhaa ya scalar ni sifa ya scalar ya urefu wa vectors na angle kati yao.

Ndege ni mojawapo ya dhana za msingi katika jiometri. Ndege ni uso ambao taarifa ifuatayo ni kweli: mstari wowote wa moja kwa moja unaounganisha pointi zake mbili ni wa uso huu kabisa. Ndege kawaida huonyeshwa na herufi za Kigiriki α, β, γ, nk. Ndege mbili kila mara hukatiza kwenye mstari ulionyooka ambao ni wa ndege zote mbili.

Maagizo

Wacha tuzingatie nusu-ndege α na β zinazoundwa na makutano ya . Pembe inayoundwa na mstari wa moja kwa moja a na ndege mbili za nusu α na β kwa pembe ya dihedral. Katika kesi hiyo, ndege za nusu zinazounda angle ya dihedral na nyuso zao, mstari wa moja kwa moja ambao ndege huingiliana huitwa kando ya angle ya dihedral.

Pembe ya dihedral, kama pembe iliyopangwa, iko katika digrii. Ili kutengeneza pembe ya dihedral, unahitaji kuchagua sehemu ya kiholela O kwenye uso wake. Katika zote mbili, miale miwili a huchorwa kupitia hatua O. Pembe ya AOB iliyoundwa inaitwa pembe ya dihedral ya mstari a.

Kwa hiyo, basi vector V = (a, b, c) na ndege A x + B y + C z = 0 itolewe, ambapo A, B na C ni kuratibu za N ya kawaida. Kisha cosine ya pembe. α kati ya vekta V na N ni sawa na: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Ili kuhesabu angle katika digrii au radiani, unahitaji kuhesabu inverse kwa kazi ya cosine kutoka kwa usemi unaosababisha, i.e. arccosine:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Mfano: kupata kona kati ya vekta(5, -3, 8) na ndege, iliyotolewa na equation ya jumla 2 x - 5 y + 3 z = 0. Suluhisho: andika kuratibu za vector ya kawaida ya ndege N = (2, -5, 3). Badilisha maadili yote yanayojulikana kwenye fomula uliyopewa: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0.8 → α = 36.87°.

Video kwenye mada

Tengeneza usawa na utenge cosine kutoka kwayo. Kulingana na fomula moja, bidhaa ya scalar ya vekta ni sawa na urefu wao unaozidishwa na kila mmoja na kwa cosine. pembe, na kwa upande mwingine - jumla ya bidhaa za kuratibu pamoja na kila axes. Kusawazisha fomula zote mbili, tunaweza kuhitimisha kwamba cosine pembe lazima iwe sawa na uwiano wa jumla ya bidhaa za kuratibu kwa bidhaa za urefu wa vectors.

Andika usawa unaotokana. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuteua vekta zote mbili. Tuseme wamepewa katika mfumo wa Cartesian wa pande tatu na sehemu zao za kuanzia ziko kwenye gridi ya kuratibu. Mwelekeo na ukubwa wa vekta ya kwanza itatolewa na uhakika (X₁,Y₁,Z₁), ya pili - (X₂,Y₂,Z₂), na pembe itateuliwa na herufi γ. Kisha urefu wa kila vekta unaweza kuwa, kwa mfano, kutumia nadharia ya Pythagorean kwa , iliyoundwa na makadirio yao kwenye kila shoka za kuratibu: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) na √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Badilisha misemo hii kwenye fomula iliyoundwa katika hatua ya awali na utapata usawa: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) + Y₂² + Z₂² )).

Tumia ukweli kwamba jumla ya mraba sine na ushirikiano sine kutoka pembe ya wingi sawa daima hutoa moja. Hii ina maana kwamba kwa kuinua kile kilichopatikana katika hatua ya awali kwa sine mraba na kupunguzwa kutoka kwa moja, na kisha

Pembe kati ya vekta mbili,:

Ikiwa pembe kati ya vectors mbili ni papo hapo, basi bidhaa zao za scalar ni chanya; ikiwa angle kati ya vectors ni butu, basi bidhaa scalar ya vectors hizi ni hasi. Bidhaa ya scalar ya vekta mbili za nonzero ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta hizi ni za orthogonal.

Zoezi. Pata pembe kati ya vekta na

Suluhisho. Cosine ya pembe inayotaka

16. Uhesabuji wa angle kati ya mistari ya moja kwa moja, mstari wa moja kwa moja na ndege

Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege, inayokatiza mstari huu na sio pembeni yake, ni pembe kati ya mstari na makadirio yake kwenye ndege hii.

Kuamua angle kati ya mstari na ndege inatuwezesha kuhitimisha kwamba angle kati ya mstari na ndege ni pembe kati ya mistari miwili inayoingiliana: mstari wa moja kwa moja yenyewe na makadirio yake kwenye ndege. Kwa hiyo, pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege ni angle ya papo hapo.

Pembe kati ya mstari wa moja kwa moja wa perpendicular na ndege inachukuliwa kuwa sawa na , na pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege haijaamuliwa kabisa au inachukuliwa kuwa sawa na .

§ 69. Uhesabuji wa pembe kati ya mistari ya moja kwa moja.

Tatizo la kuhesabu angle kati ya mistari miwili ya moja kwa moja katika nafasi hutatuliwa kwa njia sawa na kwenye ndege (§ 32). Hebu tuonyeshe kwa φ ukubwa wa pembe kati ya mistari l 1 na l 2, na kwa njia ya ψ - ukubwa wa angle kati ya vectors ya mwelekeo A Na b mistari hii iliyonyooka.

Kisha ikiwa

ψ 90 ° (Mchoro 206.6), kisha φ = 180 ° - ψ. Ni wazi, katika hali zote mbili usawa cos φ = |cos ψ| ni kweli. Kwa fomula (1) § 20 tunayo

hivyo,

Acha mistari itolewe kwa milinganyo yao ya kisheria

Kisha angle φ kati ya mistari imedhamiriwa kwa kutumia formula

Ikiwa moja ya mistari (au zote mbili) inatolewa na equations zisizo za kisheria, basi kuhesabu angle unahitaji kupata kuratibu za vectors za mwelekeo wa mistari hii, na kisha utumie formula (1).

17. Mistari sambamba, Nadharia kwenye mistari sambamba

Ufafanuzi. Mistari miwili kwenye ndege inaitwa sambamba, ikiwa hawana pointi za kawaida.

Mistari miwili katika nafasi tatu-dimensional inaitwa sambamba, ikiwa wamelala katika ndege moja na hawana pointi za kawaida.

Pembe kati ya vekta mbili.

Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya nukta:

.

Masharti ya usawa wa vekta mbili:

Masharti ya collinearity ya vekta mbili:

.

Inafuata kutoka kwa Ufafanuzi wa 5 - . Hakika, kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya vector na idadi, ifuatavyo. Kwa hiyo, kwa kuzingatia utawala wa usawa wa vectors, tunaandika , , , ambayo ina maana . Lakini vekta inayotokana na kuzidisha vekta kwa nambari ni collinear kwa vekta.

Makadirio ya vekta kwenye vekta:

.

Mfano 4. Kutokana na pointi , , , .

Tafuta bidhaa ya nukta.

Suluhisho. tunapata kutumia fomula ya bidhaa ya scalar ya vekta zilizoainishwa na kuratibu zao. Kwa sababu ya

, ,

Mfano 5. Kutokana na pointi , , , .

Tafuta makadirio.

Suluhisho. Kwa sababu ya

, ,

Kulingana na fomula ya makadirio, tunayo

.

Mfano 6. Kutokana na pointi , , , .

Tafuta pembe kati ya vekta na .

Suluhisho. Kumbuka kwamba vekta

, ,

sio collinear kwa sababu kuratibu zao sio sawia:

.

Vectors hizi pia sio perpendicular, kwani bidhaa zao za scalar ni .

Hebu tupate

Kona tunapata kutoka kwa formula:

.

Mfano 7. Amua kwa vekta gani na colinear.

Suluhisho. Katika kesi ya collinearity, kuratibu zinazofanana za vekta na lazima iwe sawia, yaani:

.

Kwa hivyo na.

Mfano 8. Amua kwa thamani gani ya vekta Na perpendicular.

Suluhisho. Vekta na ni perpendicular ikiwa bidhaa zao za scalar ni sifuri. Kutokana na hali hii tunapata:. Hiyo ni, .

Mfano 9. Tafuta , Kama , , .

Suluhisho. Kwa sababu ya mali ya bidhaa ya scalar, tunayo:

Mfano 10. Pata pembe kati ya vekta na, wapi na - vekta za kitengo na pembe kati ya veta na ni sawa na 120 °.

Suluhisho. Tuna: , ,

Hatimaye tuna: .

5 B. Mchoro wa Vector.

Ufafanuzi 21.Mchoro wa Vector vekta kwa vekta inaitwa vekta, au, iliyofafanuliwa na masharti matatu yafuatayo:

1) Moduli ya vector ni sawa na , wapi angle kati ya vectors na, i.e. .

Inafuata kwamba moduli ya bidhaa ya vekta ni sawa na eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta na pande zote mbili.

2) Vector ni perpendicular kwa kila vectors na (;), i.e. perpendicular kwa ndege ya parallelogram iliyojengwa kwenye vectors na.

3) Vector inaelekezwa kwa namna ambayo ikiwa inatazamwa kutoka mwisho wake, zamu fupi zaidi kutoka kwa vector hadi vector itakuwa kinyume cha saa (vectors , , kuunda mara tatu ya mkono wa kulia).

Jinsi ya kuhesabu pembe kati ya veta?

Wakati wa kusoma jiometri, maswali mengi hutokea juu ya mada ya vectors. Mwanafunzi hupata matatizo fulani inapohitajika kupata pembe kati ya vekta.

Masharti ya msingi

Kabla ya kuangalia pembe kati ya vekta, ni muhimu kufahamiana na ufafanuzi wa vekta na dhana ya pembe kati ya vekta.

Vekta ni sehemu ambayo ina mwelekeo, yaani, sehemu ambayo mwanzo na mwisho wake hufafanuliwa.

Pembe kati ya vekta mbili kwenye ndege ambayo ina asili ya kawaida ni ndogo ya pembe kwa kiasi ambacho moja ya vekta inahitaji kuhamishwa karibu na hatua ya kawaida hadi maelekezo yao yanafanana.

Mfumo wa suluhisho

Mara tu unapoelewa ni nini vector na jinsi angle yake imedhamiriwa, unaweza kuhesabu angle kati ya vectors. Njia ya suluhisho kwa hili ni rahisi sana, na matokeo ya matumizi yake yatakuwa thamani ya cosine ya pembe. Kwa mujibu wa ufafanuzi, ni sawa na mgawo wa bidhaa za scalar za vectors na bidhaa za urefu wao.

Bidhaa ya scalar ya vekta huhesabiwa kama jumla ya viwianishi vinavyolingana vya vekta za sababu zilizozidishwa kwa kila mmoja. Urefu wa vekta, au moduli yake, huhesabiwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya viwianishi vyake.

Baada ya kupokea thamani ya cosine ya pembe, unaweza kuhesabu thamani ya pembe yenyewe kwa kutumia calculator au kutumia meza ya trigonometric.

Mfano

Mara tu unapofikiria jinsi ya kuhesabu pembe kati ya veta, kutatua shida inayolingana itakuwa rahisi na wazi. Kwa mfano, inafaa kuzingatia shida rahisi ya kupata thamani ya pembe.

Kwanza kabisa, itakuwa rahisi zaidi kuhesabu maadili ya urefu wa vekta na bidhaa zao za scalar zinazohitajika kwa suluhisho. Kwa kutumia maelezo yaliyotolewa hapo juu, tunapata:

Kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula, tunahesabu thamani ya cosine ya pembe inayotaka:

Nambari hii sio moja ya maadili tano ya kawaida ya cosine, kwa hivyo ili kupata pembe, itabidi utumie kikokotoo au jedwali la trigonometric ya Bradis. Lakini kabla ya kupata pembe kati ya veta, formula inaweza kurahisishwa ili kuondoa ishara hasi ya ziada:

Ili kudumisha usahihi, jibu la mwisho linaweza kushoto kama lilivyo, au unaweza kuhesabu thamani ya pembe kwa digrii. Kwa mujibu wa meza ya Bradis, thamani yake itakuwa takriban digrii 116 na dakika 70, na calculator itaonyesha thamani ya digrii 116.57.

Kukokotoa pembe katika nafasi ya n-dimensional

Wakati wa kuzingatia veta mbili katika nafasi ya pande tatu, ni ngumu zaidi kuelewa ni pembe gani tunazungumza ikiwa hazilala kwenye ndege moja. Ili kurahisisha mtazamo, unaweza kuchora sehemu mbili zinazoingiliana ambazo huunda pembe ndogo kati yao, hii itakuwa inayotaka. Ingawa kuna uratibu wa tatu kwenye vekta, mchakato wa jinsi pembe kati ya vekta huhesabiwa hautabadilika. Kuhesabu bidhaa ya scalar na moduli ya vekta; arc cosine ya mgawo wao itakuwa jibu kwa tatizo hili.

Katika jiometri, mara nyingi kuna matatizo na nafasi ambazo zina vipimo zaidi ya tatu. Lakini kwao, algorithm ya kupata jibu inaonekana sawa.

Tofauti kati ya digrii 0 na 180

Moja ya makosa ya kawaida wakati wa kuandika jibu kwa tatizo iliyoundwa kuhesabu angle kati ya vectors ni uamuzi wa kuandika kwamba vectors ni sambamba, yaani, angle taka ni sawa na 0 au 180 digrii. Jibu hili si sahihi.

Baada ya kupokea thamani ya pembe ya digrii 0 kama matokeo ya suluhisho, jibu sahihi litakuwa kuteua veta kama uelekezaji, ambayo ni kwamba, veta zitakuwa na mwelekeo sawa. Ikiwa digrii 180 zinapatikana, vekta zitaelekezwa kinyume.

Vectors maalum

Baada ya kupata pembe kati ya veta, unaweza kupata moja ya aina maalum, pamoja na zile za uelekeo na za kinyume zilizoelezewa hapo juu.

• Vekta kadhaa zinazofanana na ndege moja huitwa coplanar.
• Vectors ambazo ni sawa kwa urefu na mwelekeo huitwa sawa.
• Vectors ambazo zimelala kwenye mstari sawa, bila kujali mwelekeo, huitwa collinear.
• Ikiwa urefu wa vector ni sifuri, yaani, mwanzo na mwisho wake sanjari, basi inaitwa sifuri, na ikiwa ni moja, basi kitengo.

Jinsi ya kupata pembe kati ya veta?

nisaidie tafadhali! Ninajua fomula, lakini siwezi kuihesabu ((
vekta a (8; 10; 4) vekta b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Pembe kati ya vekta zilizoainishwa na kuratibu zao hupatikana kwa kutumia algorithm ya kawaida. Kwanza unahitaji kupata bidhaa ya scalar ya vectors a na b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Tunabadilisha kuratibu za vekta hizi hapa na kuhesabu:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ifuatayo, tunaamua urefu wa kila vekta. Urefu au moduli ya vekta ni mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya viwianishi vyake:
|a| = mzizi wa (x1^2 + y1^2 + z1^2) = mzizi wa (8^2 + 10^2 + 4^2) = mzizi wa (64 + 100 + 16) = mzizi wa 180 = mizizi 6 ya 5
| b| = mzizi wa (x2^2 + y2^2 + z2^2) = mzizi wa (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = mzizi wa (25 + 400 + 100) = mzizi ya 525 = mizizi 5 ya 21.
Tunazidisha urefu huu. Tunapata mizizi 30 kati ya 105.
Na hatimaye, tunagawanya bidhaa ya scalar ya vectors kwa bidhaa ya urefu wa vectors hizi. Tunapata -200 / (mizizi 30 ya 105) au
- (mizizi 4 ya 105) / 63. Hii ni cosine ya angle kati ya vectors. Na pembe yenyewe ni sawa na arc cosine ya nambari hii
f = arccos(-4 mizizi ya 105) / 63.
Ikiwa nilihesabu kila kitu kwa usahihi.

Jinsi ya kuhesabu sine ya pembe kati ya veta kwa kutumia kuratibu za veta

Mikhail Tkachev

Wacha tuzidishe vekta hizi. Bidhaa zao za scalar ni sawa na bidhaa ya urefu wa vectors hizi na cosine ya angle kati yao.
Pembe haijulikani kwetu, lakini kuratibu zinajulikana.
Hebu tuandike kimahesabu hivi.
Acha vekta a(x1;y1) na b(x2;y2) zipewe
Kisha

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hebu tuzungumze.
bidhaa ya *b-scalar ya vekta ni sawa na jumla ya bidhaa za kuratibu zinazolingana za kuratibu za vekta hizi, i.e. sawa na x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-bidhaa ya urefu wa vekta ni sawa na √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Hii inamaanisha kuwa cosine ya pembe kati ya vekta ni sawa na:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Kujua cosine ya pembe, tunaweza kuhesabu sine yake. Wacha tujadili jinsi ya kufanya hivi:

Ikiwa cosine ya pembe ni chanya, basi pembe hii iko katika quadrants 1 au 4, ambayo inamaanisha sine yake ni chanya au hasi. Lakini kwa kuwa angle kati ya vectors ni chini ya au sawa na digrii 180, basi sine yake ni chanya. Tunasababu vivyo hivyo ikiwa cosine ni hasi.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Hiyo ndiyo)))) bahati nzuri kuifikiria)))

Dmitry Levishchev

Ukweli kwamba haiwezekani kwa sine moja kwa moja sio kweli.
Mbali na formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Pia kuna hii:
||=|a|*|b|*dhambi A
Hiyo ni, badala ya bidhaa ya scalar, unaweza kuchukua moduli ya bidhaa ya vector.

Bidhaa ya dot ya vekta

Tunaendelea kukabiliana na vectors. Katika somo la kwanza Vectors kwa dummies Tuliangalia dhana ya vector, vitendo na vectors, kuratibu vector na matatizo rahisi na vectors. Ikiwa ulikuja kwenye ukurasa huu kwa mara ya kwanza kutoka kwa injini ya utaftaji, ninapendekeza sana kusoma kifungu cha utangulizi hapo juu, kwani ili kujua nyenzo unahitaji kufahamiana na masharti na nukuu ninazotumia, kuwa na maarifa ya kimsingi juu ya vekta na. kuwa na uwezo wa kutatua matatizo ya msingi. Somo hili ni mwendelezo wa kimantiki wa mada, na ndani yake nitachambua kwa undani kazi za kawaida zinazotumia bidhaa ya scalar ya vekta. Hii ni shughuli MUHIMU SANA.. Jaribu kutoruka mifano; wanakuja na bonasi muhimu - mazoezi yatakusaidia kujumuisha nyenzo ulizoshughulikia na kupata bora katika kutatua shida za kawaida katika jiometri ya uchanganuzi.

Ongezeko la vekta, kuzidisha vekta kwa nambari.... Itakuwa ni ujinga kufikiri kwamba wanahisabati hawajapata kitu kingine. Mbali na hatua zilizojadiliwa tayari, kuna idadi ya shughuli zingine na vekta, ambazo ni: bidhaa ya dot ya vekta, bidhaa ya vector ya vekta Na bidhaa mchanganyiko wa vekta. Bidhaa za scalar za vekta zinajulikana kwetu kutoka shuleni; bidhaa zingine mbili kawaida ni za kozi ya hisabati ya juu. Mada ni rahisi, algorithm ya kutatua shida nyingi ni moja kwa moja na inaeleweka. Kitu pekee. Kuna habari nyingi nzuri, kwa hivyo haifai kujaribu kujua na kutatua kila kitu mara moja. Hii ni kweli hasa kwa dummies; niamini, mwandishi hataki kabisa kujisikia kama Chikatilo kutoka hisabati. Kweli, sio kutoka kwa hisabati, kwa kweli, ama =) Wanafunzi walioandaliwa zaidi wanaweza kutumia vifaa kwa kuchagua, kwa maana fulani, "kupata" maarifa yaliyokosekana, kwako nitakuwa Hesabu isiyo na madhara Dracula =)

Hebu hatimaye tufungue mlango na tutazame kwa shauku kitakachotokea wakati vekta mbili zinapokutana...

Ufafanuzi wa bidhaa ya scalar ya vectors.
Tabia za bidhaa za scalar. Kazi za kawaida

Dhana ya bidhaa ya nukta

Kwanza kuhusu pembe kati ya vekta. Nadhani kila mtu anaelewa kwa usawa ni nini pembe kati ya vekta, lakini ikiwa tu, maelezo zaidi kidogo. Wacha tuzingatie vekta za nonzero za bure na . Ikiwa utapanga vekta hizi kutoka kwa hatua ya kiholela, utapata picha ambayo wengi tayari wamefikiria kiakili:

Ninakubali, hapa nilielezea hali hiyo kwa kiwango cha uelewa. Ikiwa unahitaji ufafanuzi mkali wa pembe kati ya vekta, tafadhali rejelea kitabu cha maandishi; kwa shida za vitendo, kimsingi, hatuitaji. Pia HAPA NA HAPA nitapuuza vekta sifuri mahali kwa sababu ya umuhimu wao mdogo wa kiutendaji. Nilihifadhi mahususi kwa wanaotembelea tovuti mahiri ambao wanaweza kunilaumu kwa kutokamilika kwa kinadharia kwa baadhi ya taarifa zinazofuata.

inaweza kuchukua maadili kutoka digrii 0 hadi 180 (0 hadi radians), ikijumuisha. Uchambuzi, ukweli huu umeandikwa katika mfumo wa usawa mara mbili: au (katika radians).

Katika fasihi, ishara ya pembe mara nyingi ruka na imeandikwa tu.

Ufafanuzi: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni NAMBA sawa na bidhaa ya urefu wa vekta hizi na cosine ya pembe kati yao:

Sasa hii ni ufafanuzi mkali kabisa.

Tunazingatia habari muhimu:

Uteuzi: bidhaa ya scalar inaashiria au kwa urahisi.

Matokeo ya operesheni ni NUMBER: Vekta inazidishwa na vekta, na matokeo yake ni nambari. Hakika, ikiwa urefu wa vekta ni nambari, cosine ya pembe ni nambari, basi bidhaa zao pia itakuwa nambari.

Mifano michache tu ya joto-up:

Mfano 1

Suluhisho: Tunatumia formula . Kwa kesi hii:

Jibu:

Maadili ya Cosine yanaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric. Ninapendekeza kuichapisha - itahitajika karibu na sehemu zote za mnara na itahitajika mara nyingi.

Kwa mtazamo wa kihesabu, bidhaa ya scalar haina kipimo, ambayo ni, matokeo, katika kesi hii, ni nambari tu na ndivyo hivyo. Kutoka kwa mtazamo wa matatizo ya fizikia, bidhaa ya scalar daima ina maana fulani ya kimwili, yaani, baada ya matokeo moja au kitengo kingine cha kimwili lazima kionyeshe. Mfano wa kisheria wa kuhesabu kazi ya nguvu inaweza kupatikana katika kitabu chochote cha maandishi (formula ni bidhaa ya scalar). Kazi ya nguvu inapimwa katika Joules, kwa hiyo, jibu litaandikwa kabisa hasa, kwa mfano,.

Mfano 2

Tafuta kama , na pembe kati ya vekta ni sawa na .

Huu ni mfano wa wewe kutatua peke yako, jibu ni mwisho wa somo.

Pembe kati ya vekta na thamani ya bidhaa yenye nukta

Katika Mfano wa 1 bidhaa ya scalar iligeuka kuwa chanya, na katika Mfano wa 2 iligeuka kuwa mbaya. Wacha tujue ni nini ishara ya bidhaa ya scalar inategemea. Wacha tuangalie formula yetu: . Urefu wa vectors zisizo za sifuri daima ni chanya: , hivyo ishara inaweza tu kutegemea thamani ya cosine.

Kumbuka: Ili kuelewa vyema habari iliyo hapa chini, ni bora kusoma grafu ya cosine kwenye mwongozo Grafu za kazi na mali. Tazama jinsi cosine inavyofanya kwenye sehemu.

Kama ilivyoelezwa tayari, pembe kati ya vekta inaweza kutofautiana ndani , na kesi zifuatazo zinawezekana:

1) Kama kona kati ya vekta yenye viungo: (kutoka digrii 0 hadi 90), basi , Na bidhaa ya dot itakuwa chanya iliyoelekezwa pamoja, basi angle kati yao inachukuliwa kuwa sifuri, na bidhaa ya scalar pia itakuwa chanya. Kwa kuwa , fomula hurahisisha: .

2) Kama kona kati ya vekta butu: (kutoka digrii 90 hadi 180), basi , na vivyo hivyo, bidhaa ya nukta ni hasi:. Kesi maalum: ikiwa vekta maelekezo kinyume, basi angle kati yao inazingatiwa kupanuliwa: (nyuzi 180). Bidhaa ya scalar pia ni hasi, tangu

Taarifa za mazungumzo pia ni kweli:

1) Ikiwa , basi pembe kati ya vekta hizi ni papo hapo. Vinginevyo, vekta ni za mwelekeo shirikishi.

2) Ikiwa , basi pembe kati ya vekta hizi ni butu. Vinginevyo, vekta ziko katika mwelekeo tofauti.

Lakini kesi ya tatu ni ya kuvutia sana:

3) Kama kona kati ya vekta moja kwa moja: (digrii 90), basi bidhaa ya scalar ni sifuri:. Mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi . Taarifa inaweza kutayarishwa kwa ukamilifu kama ifuatavyo: Bidhaa ya scalar ya vekta mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa vekta ni orthogonal. Nukuu fupi ya hisabati:

! Kumbuka : Hebu kurudia misingi ya mantiki ya hisabati: Aikoni ya matokeo ya mantiki ya pande mbili kwa kawaida husomwa "ikiwa na tu", "ikiwa na tu ikiwa". Kama unaweza kuona, mishale imeelekezwa kwa pande zote mbili - "kutoka hii inafuata hii, na kinyume chake - kutoka kwa hiyo ifuatavyo hii." Nini, kwa njia, ni tofauti gani kutoka kwa ikoni ya kufuata njia moja? Ikoni inasema hiyo tu, kwamba "kutoka kwa hii inafuata hii", na sio ukweli kwamba kinyume chake ni kweli. Kwa mfano:, lakini si kila mnyama ni panther, hivyo katika kesi hii huwezi kutumia icon. Wakati huo huo, badala ya icon Je! tumia ikoni ya upande mmoja. Kwa mfano, wakati wa kutatua shida, tuligundua kuwa tulihitimisha kuwa vekta ni za orthogonal: - kiingilio kama hicho kitakuwa sahihi, na inafaa zaidi kuliko .

Kesi ya tatu ina umuhimu mkubwa wa vitendo, kwani hukuruhusu kuangalia ikiwa vekta ni za orthogonal au la. Tutatua tatizo hili katika sehemu ya pili ya somo.

Tabia za bidhaa ya dot

Hebu turudi kwenye hali wakati vectors mbili iliyoelekezwa pamoja. Katika kesi hii, angle kati yao ni sifuri, , na formula ya bidhaa ya scalar inachukua fomu:.

Ni nini hufanyika ikiwa vekta inazidishwa yenyewe? Ni wazi kuwa vekta imejipanga yenyewe, kwa hivyo tunatumia fomula iliyorahisishwa hapo juu:

Nambari inaitwa mraba wa scalar vekta, na zimeashiriwa kama .

Hivyo, mraba wa scalar wa vekta ni sawa na mraba wa urefu wa vekta iliyotolewa:

Kutoka kwa usawa huu tunaweza kupata fomula ya kuhesabu urefu wa vekta:

Kufikia sasa inaonekana kuwa haijulikani, lakini malengo ya somo yataweka kila kitu mahali pake. Ili kutatua matatizo tunayohitaji pia sifa za bidhaa ya dot.

Kwa vekta za kiholela na nambari yoyote, mali zifuatazo ni kweli:

1) - ya kubadilisha au ya kubadilisha sheria ya bidhaa za scalar.

2) - usambazaji au kusambaza sheria ya bidhaa za scalar. Kwa urahisi, unaweza kufungua mabano.

3) - ushirika au ushirika sheria ya bidhaa za scalar. Mara kwa mara inaweza kupatikana kutoka kwa bidhaa ya scalar.

Mara nyingi, aina zote za mali (ambazo pia zinahitaji kuthibitishwa!) hugunduliwa na wanafunzi kama takataka isiyo ya lazima, ambayo inahitaji tu kukariri na kusahaulika kwa usalama mara baada ya mtihani. Inaweza kuonekana kuwa ni nini muhimu hapa, kila mtu tayari anajua kutoka kwa daraja la kwanza kwamba kupanga upya mambo haibadilishi bidhaa:. Lazima nikuonye kwamba katika hisabati ya juu ni rahisi kuharibu mambo kwa njia kama hiyo. Kwa hivyo, kwa mfano, mali ya ubadilishaji sio kweli kwa matrices ya algebra. Pia si kweli kwa bidhaa ya vector ya vekta. Kwa hivyo, kwa kiwango cha chini, ni bora kuzama katika mali yoyote ambayo utapata katika kozi ya juu ya hisabati ili kuelewa nini kinaweza kufanywa na kisichoweza kufanywa.

Mfano 3

.

Suluhisho: Kwanza, hebu tufafanue hali na vector. Hii ni nini hata hivyo? Jumla ya vekta ni vekta iliyofafanuliwa vizuri, ambayo inaonyeshwa na. Tafsiri ya kijiometri ya vitendo na vekta inaweza kupatikana katika makala Vectors kwa dummies. Parsley sawa na vector ni jumla ya vectors na.

Kwa hivyo, kulingana na hali hiyo, inahitajika kupata bidhaa ya scalar. Kwa nadharia, unahitaji kutumia formula ya kufanya kazi , lakini shida ni kwamba hatujui urefu wa vekta na angle kati yao. Lakini hali inatoa vigezo sawa kwa vekta, kwa hivyo tutachukua njia tofauti:

(1) Badilisha maneno ya vekta.

(2) Tunafungua mabano kulingana na sheria ya kuzidisha polynomia; kizunguzungu cha lugha chafu kinaweza kupatikana kwenye kifungu. Nambari tata au Kuunganisha Kazi ya Kimaudhui-Fractional. Sitajirudia =) Kwa njia, mali ya usambazaji wa bidhaa ya scalar inatuwezesha kufungua mabano. Tuna haki.

(3) Katika maneno ya kwanza na ya mwisho tunaandika kwa ufupi miraba ya scalar ya vekta: . Katika muhula wa pili tunatumia commutability ya bidhaa scalar:.

(4) Tunawasilisha maneno yanayofanana: .

(5) Katika neno la kwanza tunatumia fomula ya mraba ya scalar, ambayo ilitajwa si muda mrefu uliopita. Katika muhula wa mwisho, ipasavyo, kitu kimoja hufanya kazi:. Tunapanua muda wa pili kulingana na fomula ya kawaida .

(6) Badilisha masharti haya , na kwa UMAKINI fanya mahesabu ya mwisho.

Jibu:

Thamani mbaya ya bidhaa ya scalar inasema ukweli kwamba angle kati ya vectors ni butu.

Shida ni ya kawaida, hapa kuna mfano wa kuisuluhisha mwenyewe:

Mfano 4

Pata bidhaa ya scalar ya vekta na ikiwa inajulikana hivyo .

Sasa kazi nyingine ya kawaida, kwa fomula mpya ya urefu wa vekta. Nukuu hapa itapishana kidogo, kwa hivyo kwa uwazi nitaiandika tena kwa herufi tofauti:

Mfano 5

Tafuta urefu wa vekta ikiwa .

Suluhisho itakuwa kama ifuatavyo:

(1) Tunatoa usemi wa vekta.

(2) Tunatumia fomula ya urefu: , na usemi wote ve hufanya kama vekta "ve".

(3) Tunatumia fomula ya shule kwa mraba wa jumla. Angalia jinsi inavyofanya kazi hapa kwa njia ya kushangaza: - kwa kweli, ni mraba wa tofauti, na, kwa kweli, ndivyo ilivyo. Wale wanaotaka wanaweza kupanga upya vekta: - kitu kimoja kinatokea, hadi upangaji upya wa masharti.

(4) Yafuatayo tayari yanajulikana kutokana na matatizo mawili yaliyotangulia.

Jibu:

Kwa kuwa tunazungumza juu ya urefu, usisahau kuonyesha kipimo - "vitengo".

Mfano 6

Tafuta urefu wa vekta ikiwa .

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Tunaendelea kubana vitu muhimu kutoka kwa bidhaa ya nukta. Wacha tuangalie fomula yetu tena . Kutumia kanuni ya uwiano, tunaweka upya urefu wa veta kwa dhehebu la upande wa kushoto:

Wacha tubadilishane sehemu:

Nini maana ya fomula hii? Ikiwa urefu wa vectors mbili na bidhaa zao za scalar hujulikana, basi cosine ya angle kati ya vectors hizi, na, kwa hiyo, angle yenyewe inaweza kuhesabiwa.

Je, bidhaa ya nukta ni nambari? Nambari. Ni nambari za urefu wa vekta? Nambari. Hii inamaanisha kuwa sehemu pia ni nambari. Na ikiwa cosine ya pembe inajulikana: , basi kwa kutumia kitendakazi cha kinyume ni rahisi kupata pembe yenyewe: .

Mfano 7

Tafuta pembe kati ya vekta na ikiwa inajulikana kuwa .

Suluhisho: Tunatumia formula:

Katika hatua ya mwisho ya mahesabu, mbinu ya kiufundi ilitumiwa - kuondoa ujinga katika denominator. Ili kuondoa kutokuwa na akili, nilizidisha nambari na denominator kwa .

Hivyo kama , Hiyo:

Thamani za utendakazi kinyume cha trigonometric zinaweza kupatikana kwa meza ya trigonometric. Ingawa hii hutokea mara chache. Katika shida za jiometri ya uchanganuzi, mara nyingi zaidi dubu fulani dhaifu kama , na thamani ya pembe inapaswa kupatikana takriban kwa kutumia kikokotoo. Kwa kweli, tutaona picha kama hiyo zaidi ya mara moja.

Jibu:

Tena, usisahau kuonyesha vipimo - radians na digrii. Binafsi, ili ni wazi "kusuluhisha maswali yote", napendelea kuashiria zote mbili (isipokuwa hali hiyo, kwa kweli, inahitaji kuwasilisha jibu tu kwa radians au digrii tu).

Sasa unaweza kujitegemea kukabiliana na kazi ngumu zaidi:

Mfano 7*

Imepewa urefu wa vekta na pembe kati yao. Tafuta pembe kati ya vekta, .

Kazi sio ngumu sana kwani ni ya hatua nyingi.
Wacha tuangalie algorithm ya suluhisho:

1) Kulingana na hali, unahitaji kupata pembe kati ya vekta na, kwa hivyo unahitaji kutumia formula. .

2) Pata bidhaa ya scalar (angalia Mifano No. 3, 4).

3) Tafuta urefu wa vekta na urefu wa vekta (tazama Mifano No. 5, 6).

4) Mwisho wa suluhisho unaambatana na Mfano Nambari 7 - tunajua nambari , ambayo inamaanisha ni rahisi kupata pembe yenyewe:

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo.

Sehemu ya pili ya somo imejitolea kwa bidhaa sawa ya scalar. Kuratibu. Itakuwa rahisi zaidi kuliko katika sehemu ya kwanza.

Bidhaa ya dot ya vekta,
inayotolewa na kuratibu kwa misingi ya kawaida

Jibu:

Bila kusema, kushughulika na kuratibu ni ya kupendeza zaidi.

Mfano 14

Pata bidhaa ya scalar ya vekta na ikiwa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Hapa unaweza kutumia ushirikiano wa operesheni, yaani, usihesabu, lakini mara moja chukua mara tatu nje ya bidhaa ya scalar na uizidishe kwa mwisho. Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Mwisho wa sehemu, mfano wa uchochezi juu ya kuhesabu urefu wa vekta:

Mfano 15

Tafuta urefu wa vekta , Kama

Suluhisho: Njia ya sehemu iliyopita inajipendekeza tena: lakini kuna njia nyingine:

Wacha tupate vekta:

Na urefu wake kulingana na formula isiyo na maana:

Bidhaa ya nukta haifai hapa hata kidogo!

Pia sio muhimu wakati wa kuhesabu urefu wa vekta:
Acha. Hatupaswi kuchukua fursa ya mali dhahiri ya urefu wa vekta? Unaweza kusema nini kuhusu urefu wa vector? Vekta hii ni ndefu mara 5 kuliko vekta. Mwelekeo ni kinyume, lakini hii haijalishi, kwa sababu tunazungumza juu ya urefu. Kwa wazi, urefu wa vector ni sawa na bidhaa moduli nambari kwa urefu wa vekta:
- ishara ya moduli "inakula" minus inayowezekana ya nambari.

Hivyo:

Jibu:

Fomula ya kosine ya pembe kati ya vekta ambazo zimebainishwa na kuratibu

Sasa tunayo habari kamili ya kutumia fomula iliyopatikana hapo awali ya cosine ya pembe kati ya vekta eleza kupitia kuratibu za vekta:

Cosine ya pembe kati ya vekta za ndege na, iliyobainishwa katika misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:
.

Cosine ya pembe kati ya vekta za nafasi, iliyobainishwa katika misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:

Mfano 16

Imepewa wima tatu za pembetatu. Tafuta (pembe ya vertex).

Suluhisho: Kulingana na masharti, mchoro hauhitajiki, lakini bado:

Pembe inayohitajika imewekwa na arc ya kijani. Wacha tukumbuke mara moja muundo wa shule wa pembe: - umakini maalum kwa wastani barua - hii ni vertex ya angle tunayohitaji. Kwa ufupi, unaweza pia kuandika kwa urahisi.

Kutoka kwa mchoro ni dhahiri kabisa kuwa pembe ya pembetatu inalingana na pembe kati ya veta na, kwa maneno mengine: .

Inashauriwa kujifunza jinsi ya kufanya uchambuzi kiakili.

Wacha tupate vekta:

Wacha tuhesabu bidhaa ya scalar:

Na urefu wa veta:

Cosine ya pembe:

Huu ndio utaratibu wa kukamilisha kazi ambayo ninapendekeza kwa dummies. Wasomaji wa hali ya juu zaidi wanaweza kuandika mahesabu "katika mstari mmoja":

Hapa kuna mfano wa thamani ya "mbaya" ya cosine. Thamani inayosababishwa sio ya mwisho, kwa hivyo hakuna uhakika katika kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu.

Wacha tupate pembe yenyewe:

Ikiwa unatazama mchoro, matokeo yanawezekana kabisa. Kuangalia, angle inaweza pia kupimwa na protractor. Usiharibu kifuniko cha mfuatiliaji =)

Jibu:

Katika jibu hilo hatusahau hilo aliuliza juu ya pembe ya pembetatu(na sio juu ya pembe kati ya veta), usisahau kuonyesha jibu kamili: na takriban thamani ya pembe: , kupatikana kwa kutumia kikokotoo.

Wale ambao wamefurahia mchakato wanaweza kukokotoa pembe na kuthibitisha uhalali wa usawa wa kisheria

Mfano 17

Pembetatu hufafanuliwa katika nafasi na kuratibu za wima zake. Pata pembe kati ya pande na

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo

Sehemu fupi ya mwisho itatolewa kwa makadirio, ambayo pia yanahusisha bidhaa ya scalar:

Makadirio ya vekta kwenye vekta. Makadirio ya vekta kwenye shoka za kuratibu.
Kosini za mwelekeo wa vekta

Fikiria vekta na:

Wacha tupange vekta kwenye vekta; kufanya hivyo, kutoka mwanzo na mwisho wa vekta tunaacha. perpendiculars kwa vekta (mistari yenye alama za kijani). Fikiria kwamba miale ya mwanga huanguka perpendicularly kwenye vekta. Kisha sehemu (mstari nyekundu) itakuwa "kivuli" cha vector. Katika kesi hii, makadirio ya vekta kwenye vekta ni UREFU wa sehemu. Yaani PROJECTION NI NAMBA.

NUMBER hii imeashiriwa kama ifuatavyo: , "vekta kubwa" inaashiria vekta AMBAYO mradi, "vekta ndogo ya usajili" inaashiria vekta WASHA ambayo inakadiriwa.

Ingizo lenyewe linasomeka kama hii: "makadirio ya vekta "a" kwenye vekta "kuwa"."

Ni nini hufanyika ikiwa vekta "kuwa" ni "fupi sana"? Tunatoa mstari wa moja kwa moja ulio na vector "kuwa". Na vector "a" itakadiriwa tayari kwa mwelekeo wa vekta "kuwa", kwa urahisi - kwa mstari wa moja kwa moja ulio na vekta "kuwa". Kitu kimoja kitatokea ikiwa vekta "a" imeahirishwa katika ufalme wa thelathini - bado itaonyeshwa kwa urahisi kwenye mstari ulio sawa ulio na vekta "kuwa".

Ikiwa pembe kati ya vekta yenye viungo(kama kwenye picha), basi

Ikiwa vekta ya orthogonal, basi (makadirio ni hatua ambayo vipimo vinazingatiwa sifuri).

Ikiwa pembe kati ya vekta butu(katika takwimu, kiakili panga upya mshale wa vector), kisha (urefu sawa, lakini kuchukuliwa na ishara ya minus).

Wacha tupange vekta hizi kutoka kwa hatua moja:

Ni wazi, wakati vekta inaposonga, makadirio yake hayabadilika

Wakati wa kusoma jiometri, maswali mengi hutokea juu ya mada ya vectors. Mwanafunzi hupata matatizo fulani inapohitajika kupata pembe kati ya vekta.

Masharti ya msingi

Kabla ya kuangalia pembe kati ya vekta, ni muhimu kufahamiana na ufafanuzi wa vekta na dhana ya pembe kati ya vekta.

Vekta ni sehemu ambayo ina mwelekeo, yaani, sehemu ambayo mwanzo na mwisho wake hufafanuliwa.

Pembe kati ya vekta mbili kwenye ndege ambayo ina asili ya kawaida ni ndogo ya pembe kwa kiasi ambacho moja ya vekta inahitaji kuhamishwa karibu na hatua ya kawaida hadi maelekezo yao yanafanana.

Mfumo wa suluhisho

Mara tu unapoelewa ni nini vector na jinsi angle yake imedhamiriwa, unaweza kuhesabu angle kati ya vectors. Njia ya suluhisho kwa hili ni rahisi sana, na matokeo ya matumizi yake yatakuwa thamani ya cosine ya pembe. Kwa mujibu wa ufafanuzi, ni sawa na mgawo wa bidhaa za scalar za vectors na bidhaa za urefu wao.

Bidhaa ya scalar ya vekta huhesabiwa kama jumla ya viwianishi vinavyolingana vya vekta za sababu zilizozidishwa kwa kila mmoja. Urefu wa vekta, au moduli yake, huhesabiwa kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya viwianishi vyake.

Baada ya kupokea thamani ya cosine ya pembe, unaweza kuhesabu thamani ya pembe yenyewe kwa kutumia calculator au kutumia meza ya trigonometric.

Mfano

Mara tu unapofikiria jinsi ya kuhesabu pembe kati ya veta, kutatua shida inayolingana itakuwa rahisi na wazi. Kwa mfano, inafaa kuzingatia shida rahisi ya kupata thamani ya pembe.

Kwanza kabisa, itakuwa rahisi zaidi kuhesabu maadili ya urefu wa vekta na bidhaa zao za scalar zinazohitajika kwa suluhisho. Kwa kutumia maelezo yaliyotolewa hapo juu, tunapata:

Kubadilisha maadili yaliyopatikana kwenye fomula, tunahesabu thamani ya cosine ya pembe inayotaka:

Nambari hii sio moja ya maadili tano ya kawaida ya cosine, kwa hivyo ili kupata pembe, itabidi utumie kikokotoo au jedwali la trigonometric ya Bradis. Lakini kabla ya kupata pembe kati ya veta, formula inaweza kurahisishwa ili kuondoa ishara hasi ya ziada:

Ili kudumisha usahihi, jibu la mwisho linaweza kushoto kama lilivyo, au unaweza kuhesabu thamani ya pembe kwa digrii. Kwa mujibu wa meza ya Bradis, thamani yake itakuwa takriban digrii 116 na dakika 70, na calculator itaonyesha thamani ya digrii 116.57.

Kukokotoa pembe katika nafasi ya n-dimensional

Wakati wa kuzingatia veta mbili katika nafasi ya pande tatu, ni ngumu zaidi kuelewa ni pembe gani tunazungumza ikiwa hazilala kwenye ndege moja. Ili kurahisisha mtazamo, unaweza kuchora sehemu mbili zinazoingiliana ambazo huunda pembe ndogo kati yao, hii itakuwa inayotaka. Ingawa kuna uratibu wa tatu kwenye vekta, mchakato wa jinsi pembe kati ya vekta huhesabiwa hautabadilika. Kuhesabu bidhaa ya scalar na moduli ya vekta; arc cosine ya mgawo wao itakuwa jibu kwa tatizo hili.

Katika jiometri, mara nyingi kuna matatizo na nafasi ambazo zina vipimo zaidi ya tatu. Lakini kwao, algorithm ya kupata jibu inaonekana sawa.

Tofauti kati ya digrii 0 na 180

Moja ya makosa ya kawaida wakati wa kuandika jibu kwa tatizo iliyoundwa kuhesabu angle kati ya vectors ni uamuzi wa kuandika kwamba vectors ni sambamba, yaani, angle taka ni sawa na 0 au 180 digrii. Jibu hili si sahihi.

Baada ya kupokea thamani ya pembe ya digrii 0 kama matokeo ya suluhisho, jibu sahihi litakuwa kuteua veta kama uelekezaji, ambayo ni kwamba, veta zitakuwa na mwelekeo sawa. Ikiwa digrii 180 zinapatikana, vekta zitaelekezwa kinyume.

Vectors maalum

Baada ya kupata pembe kati ya veta, unaweza kupata moja ya aina maalum, pamoja na zile za uelekeo na za kinyume zilizoelezewa hapo juu.

• Vekta kadhaa zinazofanana na ndege moja huitwa coplanar.
• Vectors ambazo ni sawa kwa urefu na mwelekeo huitwa sawa.
• Vectors ambazo zimelala kwenye mstari sawa, bila kujali mwelekeo, huitwa collinear.
• Ikiwa urefu wa vector ni sifuri, yaani, mwanzo na mwisho wake sanjari, basi inaitwa sifuri, na ikiwa ni moja, basi kitengo.