Suluhisho la nambari la milinganyo ya kawaida ya tofauti kwa kutumia mbinu ya Euler. Suluhisho la nambari la milinganyo ya kawaida ya tofauti

Milinganyo ya kawaida ya utofautishaji ni zile milinganyo ambazo zina derivativeti moja au zaidi ya chaguo za kukokotoa y=y (x). Wanaweza kuandikwa kwa fomu

Ambapo x ni tofauti huru.

Agizo la juu n la derivative iliyojumuishwa katika mlinganyo inaitwa mpangilio wa mlinganyo wa kutofautisha.

Njia za kutatua equations za kawaida za kutofautisha zinaweza kugawanywa katika vikundi vifuatavyo: picha, uchambuzi, takriban na nambari.

Mbinu za mchoro hutumia ujenzi wa kijiometri.

Njia za uchambuzi zinapatikana katika kozi ya milinganyo tofauti. Kwa hesabu za mpangilio wa kwanza (na vigeu vinavyoweza kutenganishwa, homogeneous, laini, nk), na vile vile kwa aina fulani za hesabu za mpangilio wa juu (kwa mfano, mstari na mgawo wa mara kwa mara), inawezekana kupata suluhisho kwa njia ya fomula. kupitia mabadiliko ya uchambuzi.

Njia za takriban hutumia kurahisisha anuwai za hesabu zenyewe kwa kukataa kwa busara baadhi ya maneno yaliyomo ndani yao, na pia chaguo maalum la madarasa ya kazi zinazotafutwa.

Njia za nambari za kutatua equations tofauti kwa sasa ni zana kuu katika utafiti wa shida za kisayansi na kiufundi zinazoelezewa na hesabu za kutofautisha. Inapaswa kusisitizwa kuwa njia hizi zinafaa hasa kwa kuchanganya na matumizi ya kompyuta za kisasa.

Njia rahisi zaidi ya nambari ya kutatua shida ya Cauchy kwa ODE ni njia ya Euler. Wacha tuchunguze equation karibu na nodi (i=1,2,3,...) na ubadilishe derivative upande wa kushoto na tofauti sahihi. Katika kesi hii, tunabadilisha maadili ya kazi ya nodi na maadili ya kazi ya gridi ya taifa:

Ukadiriaji unaosababishwa wa DE ni wa mpangilio wa kwanza, kwani hitilafu inaruhusiwa wakati wa kuchukua nafasi.

Kumbuka kwamba kutoka kwa equation inafuata

Kwa hivyo, inawakilisha uamuzi wa kukadiria wa thamani ya chaguo la kukokotoa kwa hatua kwa kutumia upanuzi wa mfululizo wa Taylor kwa kutupa masharti ya maagizo ya pili na ya juu. Kwa maneno mengine, ongezeko la kazi huchukuliwa kuwa sawa na tofauti yake.

Kwa kudhani i=0, kwa kutumia uhusiano tunapata thamani ya kazi ya gridi ya taifa kwa:

Thamani inayotakiwa hapa inatolewa na hali ya awali, i.e.

Vile vile, maadili ya kazi ya gridi ya taifa kwenye nodi nyingine yanaweza kupatikana:

Algorithm iliyojengwa inaitwa njia ya Euler

Kielelezo - 19 njia ya Euler

Ufafanuzi wa kijiometri wa njia ya Euler hutolewa kwenye takwimu. Hatua mbili za kwanza zinaonyeshwa, i.e. Hesabu ya kazi ya gridi katika pointi imeonyeshwa. Mikondo muhimu 0,1,2 inaelezea masuluhisho kamili ya mlingano. Katika kesi hii, curve 0 inalingana na suluhisho halisi la shida ya Cauchy, kwani inapitia hatua ya awali A (x 0,y 0). Alama B, C zilipatikana kama matokeo ya suluhisho la nambari la shida ya Cauchy kwa kutumia njia ya Euler. Mkengeuko wao kutoka kwa Curve 0 unaonyesha kosa la njia. Kwa kila hatua tunaishia kwenye curve tofauti tofauti. Sehemu ya AB ni tanjenti ya sehemu hadi 0 kwa uhakika A, mteremko wake una sifa ya thamani ya derivative yake. Hitilafu inaonekana kwa sababu nyongeza ya thamani ya chaguo za kukokotoa wakati wa mpito kutoka x 0 hadi x 1 inabadilishwa na nyongeza ya mgawo wa tangent hadi 0 katika hatua A. Tangenti BC tayari imechorwa kwenye mkunjo mwingine muhimu 1. Kwa hivyo, hitilafu ya njia ya Euler inaongoza kwa ukweli kwamba katika kila hatua, suluhu ya takriban inahamia kwenye mkunjo mwingine muhimu.

Suluhisho la nambari la milinganyo tofauti

Matatizo mengi katika sayansi na teknolojia huja kwenye kutatua milinganyo ya kawaida ya tofauti (ODEs). ODE ni milinganyo ambayo ina derivatives moja au zaidi ya chaguo la kukokotoa linalohitajika. Kwa ujumla, ODE inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Ambapo x ni kigezo huru, ni derivative ya i-th ya chaguo za kukokotoa zinazohitajika. n ni mpangilio wa mlinganyo. Suluhisho la jumla la agizo la nth ODE lina viunga vya kiholela, i.e. suluhisho la jumla lina fomu.

Ili kuchagua suluhisho moja, ni muhimu kuweka n hali ya ziada. Kulingana na njia ya kutaja hali ya ziada, kuna aina mbili tofauti za matatizo: tatizo la Cauchy na tatizo la thamani ya mipaka. Ikiwa hali ya ziada imeainishwa kwa wakati mmoja, basi shida kama hiyo inaitwa shida ya Cauchy. Masharti ya ziada katika shida ya Cauchy huitwa hali ya awali. Ikiwa hali ya ziada imeelezwa kwa zaidi ya hatua moja, i.e. kwa maadili tofauti ya kutofautisha huru, basi shida kama hiyo inaitwa shida ya dhamana ya mipaka. Masharti ya ziada yenyewe huitwa hali ya mipaka au mipaka.

Ni wazi kuwa wakati n=1 tunaweza tu kuzungumza juu ya shida ya Cauchy.

Mifano ya kuanzisha tatizo la Cauchy:

Mifano ya matatizo ya thamani ya mipaka:

Inawezekana kutatua shida kama hizo kwa uchambuzi tu kwa aina maalum za equations.

Njia za nambari za kutatua shida ya Cauchy kwa ODE za agizo la kwanza

Uundaji wa shida. Pata suluhisho kwa agizo la kwanza la ODE

Kwenye sehemu iliyotolewa

Wakati wa kupata suluhisho la takriban, tutafikiri kwamba mahesabu yanafanywa kwa hatua iliyohesabiwa, nodi za hesabu ni pointi za muda [ x 0 , x n ].

Lengo ni kujenga meza

x i				x n
y i				y n

hizo. Thamani takriban za y hutafutwa kwenye nodi za gridi ya taifa.

Kuunganisha equation kwenye muda, tunapata

Njia ya asili kabisa (lakini sio pekee) ya kupata suluhisho la nambari ni kuchukua nafasi ya kiunga ndani yake na fomula ya quadrature ya ujumuishaji wa nambari. Ikiwa tutatumia fomula rahisi zaidi ya mistatili ya kushoto ya mpangilio wa kwanza

,

kisha tunapata fomula wazi ya Euler:

Utaratibu wa malipo:

Kujua, tunapata, basi nk.

Tafsiri ya kijiometri ya njia ya Euler:

Kuchukua faida ya kile kilichopo x 0 suluhisho linajulikana y(x 0)= y 0 na thamani ya derivative yake, tunaweza kuandika equation ya tangent kwa grafu ya kazi inayotakiwa katika hatua:. Kwa hatua ndogo ya kutosha h mratibu wa tanjiti hii, iliyopatikana kwa kubadilisha katika upande wa kulia wa thamani, inapaswa kutofautiana kidogo na kuratibu. y(x 1) suluhisho y(x) Matatizo ya kikatili. Kwa hiyo, hatua ya makutano ya tangent na mstari x = x 1 inaweza kuchukuliwa takriban kama sehemu mpya ya kuanzia. Kupitia hatua hii tunachora tena mstari wa moja kwa moja, ambao takriban unaonyesha tabia ya tangent kwa uhakika. Kubadilisha hapa (yaani makutano na mstari x = x 2), tunapata thamani ya takriban y(x) kwa uhakika x 2: nk. Kama matokeo kwa i- hatua tunapata fomula ya Euler.

Mbinu ya Euler iliyo wazi ina usahihi wa agizo la kwanza au ukadiriaji.

Ikiwa unatumia fomula sahihi ya mstatili: , basi tunakuja kwa njia

Njia hii inaitwa njia ya Euler, kwa kuwa kukokotoa thamani isiyojulikana kutoka kwa thamani inayojulikana kunahitaji kusuluhisha mlinganyo ambao kwa ujumla sio wa mstari.

Mbinu isiyo wazi ya Euler ina usahihi wa agizo la kwanza au ukadiriaji.

Kwa njia hii, hesabu ina hatua mbili:

Mpango huu pia huitwa njia ya utabiri-msahihishaji (utabiri-kusahihisha). Katika hatua ya kwanza, thamani ya takriban inatabiriwa kwa usahihi wa chini (h), na katika hatua ya pili utabiri huu unasahihishwa ili thamani inayotokana iwe na usahihi wa utaratibu wa pili.

Mbinu za Runge-Kutta: wazo la kuunda njia wazi za Runge-Kutta uk-th order ni kupata makadirio ya maadili y(x i+1) kulingana na fomula ya fomu

…………………………………………….

Hapa a n , b nj , uk n, – baadhi ya namba zisizohamishika (vigezo).

Wakati wa kuunda njia za Runge-Kutta, vigezo vya kazi ( a n , b nj , uk n) huchaguliwa kwa njia ya kupata utaratibu unaohitajika wa makadirio.

Mpango wa Runge-Kutta wa mpangilio wa nne wa usahihi:

Mfano. Tatua tatizo la Cauchy:

Fikiria njia tatu: njia ya Euler iliyo wazi, njia ya Euler iliyorekebishwa, mbinu ya Runge–Kutta.

Suluhisho halisi:

Njia za kuhesabu kwa kutumia mbinu ya Euler kwa mfano huu:

Njia za kuhesabu za njia iliyorekebishwa ya Euler:

Njia za kuhesabu njia ya Runge-Kutta:

y1 - Mbinu ya Euler, y2 - iliyorekebishwa ya Euler, y3 - mbinu ya Runge Kutta.

Inaweza kuonekana kuwa sahihi zaidi ni njia ya Runge–Kutta.

Njia za nambari za kutatua mifumo ya ODE za agizo la kwanza

Mbinu zinazozingatiwa pia zinaweza kutumika kutatua mifumo ya milinganyo ya mpangilio wa kwanza.

Wacha tuonyeshe hii kwa kesi ya mfumo wa hesabu mbili za mpangilio wa kwanza:

Mbinu ya Euler wazi:

Njia ya Euler iliyobadilishwa:

Mpango wa Runge-Kutta wa mpangilio wa nne wa usahihi:

Matatizo ya Cauchy kwa milinganyo ya hali ya juu pia hupunguzwa kwa mifumo ya utatuzi wa milinganyo ya ODE. Kwa mfano, fikiria Tatizo la Cauchy kwa equation ya mpangilio wa pili

Hebu tuanzishe kazi ya pili isiyojulikana. Kisha shida ya Cauchy inabadilishwa na ifuatayo:

Wale. kwa suala la tatizo la awali:.

Mfano. Tafuta suluhisho la shida ya Cauchy:

Kwenye sehemu.

Suluhisho halisi:

Kweli:

Hebu tutatue tatizo kwa kutumia mbinu ya Euler iliyo wazi, iliyorekebishwa na mbinu ya Euler na Runge-Kutta kwa hatua h=0.2.

Hebu tutambulishe utendaji.

Kisha tunapata shida ifuatayo ya Cauchy kwa mfumo wa ODE mbili za mpangilio wa kwanza:

Mbinu ya Euler wazi:

Njia ya Euler iliyobadilishwa:

Mbinu ya Runge-Kutta:

Mzunguko wa Euler:

Njia ya Euler iliyobadilishwa:

Mpango wa Runge - Kutta:

Upeo (nadharia ya y-y)=4*10 -5

Mbinu ya tofauti kamili ya kutatua matatizo ya thamani ya mpaka kwa ODE

Uundaji wa shida: pata suluhu la mlinganyo wa tofauti wa mstari

kukidhi masharti ya mipaka:. (2)

Nadharia. Hebu . Kisha kuna suluhisho la kipekee kwa tatizo.

Shida hii inapunguza, kwa mfano, kwa shida ya kuamua kupotoka kwa boriti ambayo imefungwa kwenye ncha zake.

Hatua kuu za njia ya tofauti ya mwisho:

1) eneo la mabadiliko ya mara kwa mara ya hoja () hubadilishwa na seti tofauti ya alama zinazoitwa nodi: .

2) Chaguo la kukokotoa la hoja inayoendelea x ni takriban nafasi yake kuchukuliwa na kazi ya hoja tofauti kwenye gridi fulani, i.e. . Kazi inaitwa kazi ya gridi ya taifa.

3) Mlinganyo wa asili wa kutofautisha hubadilishwa na mlinganyo wa tofauti kuhusiana na kazi ya gridi ya taifa. Uingizwaji huu unaitwa makadirio ya tofauti.

Kwa hivyo, kusuluhisha equation ya kutofautisha kunatokana na kupata maadili ya kazi ya gridi ya taifa kwenye nodi za gridi ya taifa, ambayo hupatikana kutokana na kutatua milinganyo ya algebra.

Ukadiriaji wa derivatives.

Ili kukadiria (kubadilisha) derivative ya kwanza, unaweza kutumia fomula:

- derivative ya tofauti sahihi,

- derivative ya tofauti ya kushoto,

Derivative ya tofauti ya kati.

yaani, kuna njia nyingi zinazowezekana za kukadiria derivative.

Ufafanuzi huu wote unafuata kutoka kwa dhana ya derivative kama kikomo: .

Kulingana na makadirio ya tofauti ya derivative ya kwanza, tunaweza kuunda ukadiriaji wa tofauti wa derivative ya pili:

Vile vile, tunaweza kupata makadirio ya viwango vya juu vya derivatives.

Ufafanuzi. Hitilafu ya kukadiria ya derivative ya nth ni tofauti: .

Kuamua mpangilio wa makadirio, upanuzi wa safu ya Taylor hutumiwa.

Wacha tuzingatie ukadiriaji wa tofauti ya mkono wa kulia wa derivative ya kwanza:

Wale. derivative sahihi ya tofauti ina kwanza kwa h utaratibu wa makadirio.

Vile vile ni kweli kwa derivative ya tofauti ya kushoto.

Tofauti ya derivative ya kati ina makadirio ya agizo la pili.

Ukadiriaji wa derivati ​​ya pili kulingana na fomula (3) pia ina mpangilio wa pili wa ukadiriaji.

Ili kukadiria equation tofauti, ni muhimu kuchukua nafasi ya derivatives yake yote na makadirio yao. Wacha tuzingatie shida (1), (2) na tubadilishe derivatives katika (1):

Kama matokeo, tunapata:

(4)

Mpangilio wa makadirio ya shida ya asili ni 2, kwa sababu derivatives ya pili na ya kwanza hubadilishwa na utaratibu wa 2, na wengine - hasa.

Kwa hivyo, badala ya milinganyo ya kutofautisha (1), (2), mfumo wa milinganyo ya mstari hupatikana kwa ajili ya kubainishwa katika nodi za gridi ya taifa.

Mchoro unaweza kuwakilishwa kama:

yaani, tulipata mfumo wa milinganyo ya mstari na matrix:

Matrix hii ni ya pembetatu, i.e. vipengele vyote ambavyo havipo kwenye diagonal kuu na diagonal mbili zilizo karibu nayo ni sawa na sifuri.

Kwa kutatua mfumo unaotokana wa equations, tunapata suluhisho la tatizo la awali.

Utangulizi

Wakati wa kutatua matatizo ya kisayansi na uhandisi, mara nyingi ni muhimu kuelezea kihisabati mfumo fulani wa nguvu. Hii ni bora kufanywa kwa njia ya equations tofauti ( DU) au mifumo ya milinganyo tofauti. Mara nyingi, tatizo hili hutokea wakati wa kutatua matatizo yanayohusiana na mfano wa kinetics ya athari za kemikali na matukio mbalimbali ya uhamisho (joto, wingi, kasi) - uhamisho wa joto, kuchanganya, kukausha, adsorption, wakati wa kuelezea harakati za macro- na microparticles.

Katika baadhi ya matukio, mlinganyo wa tofauti unaweza kubadilishwa kuwa umbo ambalo derivative ya juu zaidi inaonyeshwa kwa uwazi. Njia hii ya uandishi inaitwa equation iliyotatuliwa kwa heshima na derivative ya juu zaidi (katika kesi hii, derivative ya juu zaidi haipo upande wa kulia wa equation):

Suluhisho la mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha ni chaguo la kukokotoa y(x) ambalo, kwa x yoyote, hutosheleza mlingano huu katika muda fulani wenye kikomo au usio na kikomo. Mchakato wa kutatua equation tofauti inaitwa kuunganisha equation tofauti.

Kihistoria, njia ya kwanza na rahisi zaidi ya kutatua kwa nambari tatizo la Cauchy kwa ODE ya mpangilio wa kwanza ni njia ya Euler. Inategemea ukadiriaji wa derivatiti kwa uwiano wa nyongeza za kikomo za vigeuzo tegemezi (y) na huru (x) kati ya nodi za gridi sare:

ambapo y i+1 ni thamani inayotakiwa ya chaguo za kukokotoa katika nukta x i+1.

Usahihi wa mbinu ya Euler inaweza kuboreshwa ikiwa fomula sahihi zaidi ya ujumuishaji itatumiwa kukadiria kiunganishi - formula ya trapezoidal.

Fomula hii inageuka kuwa kamili kwa heshima na y i+1 (thamani hii iko kwenye pande za kushoto na kulia za usemi), ambayo ni, ni mlinganyo unaohusiana na y i+1, ambao unaweza kutatuliwa, kwa mfano, kwa nambari, kwa kutumia njia ya kurudia (katika hali kama hiyo, inaweza kuzingatiwa kama fomula ya kurudia ya njia rahisi ya kurudia).

Muundo wa kazi ya kozi: Kazi ya kozi ina sehemu tatu. Sehemu ya kwanza ina maelezo mafupi ya mbinu. Katika sehemu ya pili, uundaji na ufumbuzi wa tatizo. Katika sehemu ya tatu - utekelezaji wa programu katika lugha ya kompyuta

Madhumuni ya kazi ya kozi: kusoma njia mbili za kutatua milinganyo tofauti - njia ya Euler-Cauchy na njia iliyoboreshwa ya Euler.

1. Sehemu ya kinadharia

Utofautishaji wa nambari

Mlinganyo wa kutofautisha ni mlinganyo ulio na kiingilio kimoja au zaidi. Kulingana na idadi ya vigezo vya kujitegemea, equations tofauti zinagawanywa katika makundi mawili.

Milinganyo ya kawaida ya tofauti (ODE)

Milinganyo ya sehemu tofauti.

Milinganyo ya kawaida ya tofauti ni milinganyo ambayo ina derivatives moja au zaidi ya chaguo la kukokotoa linalohitajika. Wanaweza kuandikwa kama

tofauti ya kujitegemea

Mpangilio wa juu uliojumuishwa katika mlingano (1) unaitwa mpangilio wa mlinganyo wa kutofautisha.

ODE rahisi zaidi (ya mstari) ni mlinganyo (1) wa mpangilio uliotatuliwa kwa heshima na derivative.

Suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha (1) ni chaguo la kukokotoa ambalo, baada ya kuibadilisha kuwa mlinganyo, huigeuza kuwa utambulisho.

Shida kuu inayohusishwa na ODE ya mstari inajulikana kama shida ya Kasha:

Pata suluhisho la equation (2) katika mfumo wa chaguo za kukokotoa inayokidhi hali ya awali (3)

Kijiometri, hii ina maana kwamba inahitajika kupata curve muhimu inayopita kwenye nukta ) wakati usawa (2) unaridhishwa.

Nambari kutoka kwa mtazamo wa shida ya Kasha inamaanisha: inahitajika kuunda jedwali la maadili ya kazi equation ya kuridhisha (2) na hali ya awali (3) kwenye sehemu na hatua fulani. Kwa kawaida hufikiriwa kuwa yaani, hali ya awali imeelezwa kwenye mwisho wa kushoto wa sehemu.

Njia rahisi zaidi ya nambari ya kutatua mlinganyo tofauti ni njia ya Euler. Inategemea wazo la kuunda suluhisho la usawa wa kutofautisha, lakini njia hii pia hutoa njia ya kupata kazi inayotaka katika fomu ya nambari au kwenye jedwali.

Hebu equation (2) na sharti la awali itolewe, yaani tatizo la Kasha limetolewa. Hebu tutatue tatizo lifuatalo kwanza. Tafuta kwa njia rahisi thamani ya takriban ya suluhisho katika hatua fulani ambapo ni hatua ndogo. Equation (2) pamoja na hali ya awali (3) taja mwelekeo wa tangent ya curve muhimu inayohitajika kwenye hatua na viwianishi.

Mlinganyo wa tangent una fomu

Kusonga pamoja na tangent hii, tunapata thamani ya takriban ya suluhisho kwa uhakika:

Kuwa na suluhisho la takriban kwa hatua, unaweza kurudia utaratibu ulioelezwa hapo awali: jenga mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua hii na mgawo wa angular, na kutoka humo kupata thamani ya takriban ya suluhisho kwenye hatua.

. Kumbuka kuwa mstari huu hauendani na curve halisi ya msingi, kwani hatua haipatikani kwetu, lakini ikiwa ni ndogo ya kutosha, maadili ya takriban yanayotokana yatakuwa karibu na maadili halisi ya suluhisho.

Kuendeleza wazo hili, wacha tujenge mfumo wa alama zilizowekwa kwa usawa

Kupata jedwali la maadili ya kazi inayohitajika

Mbinu ya Euler inajumuisha kutumia fomula kwa mzunguko

Kielelezo 1. Ufafanuzi wa picha wa mbinu ya Euler

Njia za kuunganishwa kwa nambari za equations tofauti, ambazo ufumbuzi hupatikana kutoka kwa node moja hadi nyingine, huitwa hatua kwa hatua. Njia ya Euler ni mwakilishi rahisi zaidi wa mbinu za hatua kwa hatua. Kipengele cha njia yoyote ya hatua kwa hatua ni kwamba kuanzia hatua ya pili, thamani ya awali katika formula (5) yenyewe ni takriban, yaani, makosa katika kila hatua inayofuata huongezeka kwa utaratibu. Njia inayotumiwa zaidi ya kutathmini usahihi wa njia za hatua kwa hatua za takriban suluhisho la nambari za ODE ni njia ya kupitisha sehemu iliyopewa mara mbili na hatua na hatua.

1.1 Mbinu ya Euler iliyoboreshwa

Wazo kuu la njia hii: thamani inayofuata iliyohesabiwa na formula (5) itakuwa sahihi zaidi ikiwa thamani ya derivative, ambayo ni, mgawo wa angular wa mstari wa moja kwa moja kuchukua nafasi ya curve muhimu kwenye sehemu, haijahesabiwa. kando ya makali ya kushoto (yaani, kwa uhakika), lakini katikati ya sehemu. Lakini kwa kuwa thamani ya derivative kati ya pointi haijahesabiwa, tunaendelea kwenye sehemu mbili na katikati, ambayo uhakika ni, na equation ya mstari wa moja kwa moja inachukua fomu:

Na fomula (5) inachukua fomu

Fomula (7) inatumika tu kwa , kwa hivyo, maadili hayawezi kupatikana kutoka kwake, kwa hivyo hupatikana kwa kutumia njia ya Euler, na kupata matokeo sahihi zaidi hufanya hivi: tangu mwanzo, kwa kutumia fomula (5) wanapata thamani

(8)

Katika hatua na kisha kupatikana kwa mujibu wa formula (7) na hatua

(9)

Mara baada ya kupatikana mahesabu zaidi katika zinazozalishwa na formula (7)

Maswala kuu yaliyojadiliwa katika hotuba:

1. Taarifa ya tatizo

2. Mbinu ya Euler

3. Mbinu za Runge-Kutta

4. Mbinu za hatua nyingi

5. Suluhisho la tatizo la thamani ya mpaka kwa usawa wa tofauti wa mstari wa utaratibu wa 2

6. Suluhisho la nambari la usawa wa sehemu tofauti

1. Taarifa ya tatizo

Mlinganyo rahisi wa kawaida wa utofautishaji (ODE) ni mlingano wa mpangilio wa kwanza unaotatuliwa kuhusiana na kinyambulisho: y " = f (x, y) (1). Tatizo kuu linalohusishwa na mlingano huu linajulikana kama tatizo la Cauchy: find a suluhisho la equation (1) kwa namna ya kazi y (x), inayokidhi hali ya awali: y (x0) = y0 (2).
DE ya mpangilio wa nth y (n) = f (x, y, y",:, y(n-1)), ambayo tatizo la Cauchy ni kutafuta suluhisho y = y(x) linalokidhi masharti ya awali:
y (x0) = y0 , y" (x0) = y"0 , :, y(n-1)(x0) = y(n-1)0 , ambapo y0 , y"0 , :, y(n- 1) 0 - nambari zilizopewa, zinaweza kupunguzwa kwa utaratibu wa kwanza wa mfumo wa DE.

· Mbinu ya Euler

Njia ya Euler inategemea wazo la kuunda suluhisho la usawa wa kutofautisha, lakini njia hiyo hiyo pia hutoa fomu ya nambari ya kazi inayotaka. Hebu equation (1) na sharti la awali (2) itolewe.
Kupata jedwali la maadili ya chaguo la kukokotoa y (x) kwa kutumia njia ya Euler inajumuisha kutumia kwa mzunguko formula: , i = 0, 1, :, n. Ili kujenga kijiometri mstari uliovunjika wa Euler (angalia takwimu), tunachagua pole A (-1,0) na kupanga sehemu ya PL=f (x0, y0) kwenye mhimili wa kuratibu (kumweka P ni asili ya kuratibu). Kwa wazi, mgawo wa angular wa ray AL itakuwa sawa na f (x0, y0), kwa hiyo, ili kupata kiungo cha kwanza cha mstari uliovunjika wa Euler, inatosha kuteka mstari wa moja kwa moja MM1 kutoka kwa uhakika M sambamba na ray. AL hadi inapoingiliana na mstari wa moja kwa moja x = x1 wakati fulani M1 (x1, y1). Kuchukua hatua ya M1 (x1, y1) kama ya awali, tunapanga sehemu ya PN = f (x1, y1) kwenye mhimili wa Oy na kuchora mstari wa moja kwa moja kupitia hatua ya M1 M1M2 | | AN hadi makutano kwenye hatua ya M2(x2, y2) na mstari x = x2, nk.

Hasara za njia: usahihi wa chini, mkusanyiko wa utaratibu wa makosa.

· Mbinu za Runge-Kutta

Wazo kuu la njia: badala ya kutumia derivatives ya sehemu ya kazi f (x, y) katika fomula za kufanya kazi, tumia tu kazi hii yenyewe, lakini kwa kila hatua uhesabu maadili yake kwa alama kadhaa. Ili kufanya hivyo, tutatafuta suluhisho la equation (1) katika fomu:


Kubadilisha α, β, r, q, tutapata matoleo mbalimbali ya mbinu za Runge-Kutta.
Kwa q=1 tunapata fomula ya Euler.
Na q=2 na r1=r2=½ tunapata hiyo α, β= 1 na, kwa hivyo, tuna fomula: , ambayo inaitwa njia iliyoboreshwa ya Euler-Cauchy.
Kwa q=2 na r1=0, r2=1 tunapata kwamba α, β = ½ na, kwa hiyo, tuna fomula: - njia ya pili iliyoboreshwa ya Euler-Cauchy.
Kwa q=3 na q=4, pia kuna familia nzima za fomula za Runge-Kutta. Katika mazoezi, hutumiwa mara nyingi, kwa sababu usiongeze makosa.
Wacha tuchunguze mpango wa kutatua equation tofauti kwa kutumia njia ya Runge-Kutta ya mpangilio wa 4 wa usahihi. Mahesabu wakati wa kutumia njia hii hufanywa kulingana na fomula:

Ni rahisi kuwajumuisha kwenye jedwali lifuatalo:

x	y	y" = f (x,y)	k=h f(x,y)	Δy
x0	y0	f(x0,y0)	k1(0)	k1(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k1(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k1(0))	k2(0)	2k2(0)
x0 + ½ h	y0 + ½ k2(0)	f(x0 + ½ h, y0 + ½ k2(0))	k3(0)	2k3(0)
x0 + h	y0 + k3(0)	f(x0 + h, y0 + k3(0))	k4(0)	k4(0)
				Δy0 = Σ / 6
x1	y1 = y0 + Δy0	f(x1,y1)	k1(1)	k1(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k1(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k1(1))	k2(1)	2k2(1)
x1 + ½ h	y1 + ½ k2(1)	f(x1 + ½ h, y1 + ½ k2(1))	k3(1)	2k3(1)
x1 + h	y1 + k3(1)	f(x1 + h, y1 + k3(1))	k4(1)	k4(1)
				Δy1 = Σ / 6
x2	y2 = y1 + Δy1	na kadhalika.	mpaka upate mahitaji yote	y maadili

· Mbinu za hatua nyingi

Njia zilizojadiliwa hapo juu ni njia zinazojulikana za ujumuishaji wa hatua kwa hatua wa usawa wa kutofautisha. Wao ni sifa ya ukweli kwamba thamani ya suluhisho katika hatua inayofuata hutafutwa kwa kutumia suluhisho lililopatikana tu katika hatua moja ya awali. Hizi ndizo zinazoitwa njia za hatua moja.
Wazo kuu la mbinu za hatua nyingi ni kutumia maadili kadhaa ya awali ya ufumbuzi wakati wa kuhesabu thamani ya suluhisho katika hatua inayofuata. Pia, njia hizi huitwa njia za m-hatua kulingana na nambari ya m iliyotumiwa kuhesabu maadili ya awali ya ufumbuzi.
Katika hali ya jumla, kuamua takriban suluhisho la yi+1, mipango ya tofauti ya hatua ya m imeandikwa kama ifuatavyo (m 1):
Wacha tuzingatie fomula maalum ambazo hutekelezea njia rahisi na dhahiri za Adams.

Mbinu ya Adams ya mpangilio wa 2 (mbinu ya Adams ya hatua 2)

Tunayo a0 = 0, m = 2.
Kwa hivyo, hizi ni fomula za hesabu za njia ya wazi ya Adams ya mpangilio wa 2.
Kwa i = 1, tuna y1 isiyojulikana, ambayo tutapata kwa kutumia njia ya Runge-Kutta kwa q = 2 au q = 4.
Kwa i = 2, 3, : maadili yote muhimu yanajulikana.

Mbinu ya Adams ya agizo la 1

Tunayo: a0 0, m = 1.
Kwa hivyo, hizi ni fomula za hesabu za njia ya Adams ya mpangilio wa 1.
Shida kuu ya mipango isiyo wazi ni ifuatayo: yi+1 imejumuishwa katika pande za kulia na kushoto za usawa uliowasilishwa, kwa hivyo tuna mlinganyo wa kutafuta thamani ya yi+1. Mlinganyo huu hauna mstari na umeandikwa kwa njia inayofaa kwa suluhu la kurudia, kwa hivyo tutatumia njia rahisi ya kurudia kulitatua:
Ikiwa hatua h imechaguliwa vizuri, basi mchakato wa kurudia huungana haraka.
Njia hii pia sio ya kujitegemea. Kwa hivyo ili kuhesabu y1 unahitaji kujua y1(0). Inaweza kupatikana kwa kutumia mbinu ya Euler.

Ili kutatua hesabu za kutofautisha, ni muhimu kujua thamani ya kutofautisha tegemezi na derivatives yake kwa maadili fulani ya kutofautisha huru. Ikiwa hali ya ziada imeelezwa kwa thamani moja ya haijulikani, i.e. kutofautisha huru., basi shida kama hiyo inaitwa shida ya Cauchy. Ikiwa hali ya awali imeainishwa kwa maadili mawili au zaidi ya kutofautisha huru, basi shida inaitwa shida ya dhamana ya mipaka. Wakati wa kutatua hesabu za kutofautisha za aina anuwai, kazi ambayo maadili yake yanahitaji kuamuliwa huhesabiwa kwa namna ya jedwali.

Uainishaji wa njia za nambari za kutatua tofauti. Lv. Aina.

Tatizo la Cauchy - hatua moja: Mbinu za Euler, mbinu za Runge-Kutta; - hatua nyingi: Mbinu kuu, njia ya Adams. Tatizo la mpaka - njia ya kupunguza tatizo la mpaka kwa tatizo la Cauchy; - Mbinu ya tofauti ya mwisho.

Wakati wa kutatua tatizo la Cauchy, dif. lazima ibainishwe. ur. order n au mfumo wa dif. ur. mpangilio wa kwanza wa n milinganyo na n masharti ya ziada ya suluhisho lake. Masharti ya ziada lazima yabainishwe kwa thamani sawa ya kigezo huru. Wakati wa kutatua tatizo la mpaka, equations lazima ibainishwe. nth au mfumo wa n equations na n hali ya ziada kwa maadili mawili au zaidi ya kutofautiana huru. Wakati wa kutatua tatizo la Cauchy, kazi inayohitajika imedhamiriwa kwa uwazi katika mfumo wa meza na hatua fulani maalum . Wakati wa kuamua kila thamani inayofuata, unaweza kutumia habari kuhusu hatua moja ya awali. Katika kesi hii, mbinu zinaitwa hatua moja, au unaweza kutumia habari kuhusu pointi kadhaa zilizopita - njia nyingi za hatua.

Milinganyo ya kawaida ya kutofautisha. Tatizo la uchungu. Mbinu za hatua moja. Mbinu ya Euler.

Imetolewa: g(x,y)y+h(x,y)=0, y=-h(x,y)/g(x,y)= f(x,y), x 0 , y( x 0)=y 0 . Inajulikana: f(x,y), x 0, y 0 . Amua suluhisho la kipekee: x i , y i , i=0,1,…,n. Mbinu ya Euler inategemea upanuzi wa chaguo za kukokotoa katika mfululizo wa Taylor karibu na uhakika x 0 . Mtaa unaelezewa na hatua h. y(x 0 +h)y(x 0)+hy(x 0)+…+ (1). Mbinu ya Euler inazingatia masharti mawili tu ya safu ya Taylor. Hebu tuanzishe nukuu fulani. Fomula ya Euler itachukua fomu: y i+1 =y i +y i, y i =hy(x i)=hf(x i,y i), y i+1 =y i +hf(x i,y i) (2), i= 0,1,2…, x i+1 =x i +h

Mfumo (2) ni fomula ya njia rahisi ya Euler.

Tafsiri ya kijiometri ya fomula ya Euler

Ili kupata suluhisho la nambari, mstari wa tangent unaopita kwenye equation hutumiwa. tanjiti: y=y(x 0)+y(x 0)(x-x 0), x=x 1,

y 1 =y(x 0)+f(x 0 ,y 0)  (x-x 0), kwa sababu

x-x 0 =h, kisha y 1 =y 0 +hf(x 0 ,y 0), f(x 0 ,y 0)=tg £.

Mbinu ya Euler iliyorekebishwa

Imetolewa: y=f(x,y), y(x 0)=y 0 . Inajulikana: f(x,y), x 0, y 0 . Amua: utegemezi wa y kwa x katika mfumo wa utendaji tofauti wa jedwali: x i, y i, i=0.1,…,n.

Tafsiri ya kijiometri

1) kuhesabu tangent ya angle ya mwelekeo katika hatua ya kuanzia

tg £=y(x n ,y n)=f(x n ,y n)

2) Kokotoa thamani  y n+1 juu

mwisho wa hatua kulingana na fomula ya Euler

 y n+1 =y n +f(x n ,y n) 3) Kokotoa tanjenti ya pembe ya mwelekeo

tangent katika hatua ya n+1: tg £=y(x n+1 ,  y n+1)=f(x n+1 ,  y n+1) 4) Kokotoa maana ya hesabu ya pembe

Tilt: tg £=½. 5) Kwa kutumia tangent ya pembe ya mteremko, tunahesabu tena thamani ya chaguo la kukokotoa katika hatua ya n+1: y n+1 =y n +htg £= y n +½h=y n +½h - fomula ya njia ya Euler iliyorekebishwa. Inaweza kuonyeshwa kuwa matokeo ya f-la yanafanana na upanuzi wa f-i katika mfululizo wa Taylor, ikiwa ni pamoja na masharti (hadi h 2). Njia ya Eilnra iliyorekebishwa, tofauti na rahisi, ni njia ya usahihi wa utaratibu wa pili, kwa sababu kosa ni sawia na h 2.