Mfumo wa uratibu wa mapambo. Kuratibu za Cartesian

Mfumo wa mstatili kuratibu kwenye ndege huundwa na shoka mbili za kuratibu zenye kuheshimiana X'X na Y'Y. Mihimili ya kuratibu hukatiza kwenye hatua ya O, inayoitwa asili, mwelekeo chanya huchaguliwa kwa kila mhimili. Mwelekeo chanya wa mhimili (katika mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia) huchaguliwa ili wakati mhimili wa X'X unapozungushwa. kinyume na 90 °, mwelekeo wake mzuri unafanana na mwelekeo mzuri wa mhimili wa Y'Y. Pembe nne (I, II, III, IV) zinazoundwa na axes za kuratibu X'X na Y'Y zinaitwa pembe za kuratibu (ona Mchoro 1).

Msimamo wa hatua A kwenye ndege imedhamiriwa na kuratibu mbili x na y. Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni sawa na urefu wa sehemu ya OC katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu OB na OC hufafanuliwa kwa mistari iliyochorwa kutoka kwa nukta A sambamba na shoka za Y'Y na X'X, mtawalia. Uratibu wa x unaitwa abscissa ya nukta A, uratibu wa y unaitwa mratibu wa nukta A. Imeandikwa kama ifuatavyo: A(x, y).

Ikiwa nukta A iko ndani kuratibu angle Mimi, kisha kumweka A ina abscissa chanya na kuratibu. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya kuratibu II, basi hatua A ina abscissa hasi na kuratibu chanya. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya kuratibu III, basi uhakika A una abscissa hasi na kuratibu. Ikiwa hatua A iko katika pembe ya IV ya kuratibu, basi uhakika A una abscissa chanya na kuratibu hasi.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi huundwa na shoka tatu za kuratibu za perpendicular OX, OY na OZ. Axes ya kuratibu huingiliana kwenye hatua ya O, ambayo inaitwa asili, kwenye kila mhimili mwelekeo mzuri huchaguliwa, unaoonyeshwa na mishale, na kitengo cha kipimo kwa makundi kwenye axes. Vipimo vya kipimo ni sawa kwa shoka zote. OX - mhimili wa abscissa, OY - mhimili wa kuratibu, OZ - mhimili unaotumika. Mwelekeo mzuri wa axes huchaguliwa ili wakati mhimili wa OX unapozunguka kinyume na 90 °, mwelekeo wake mzuri unafanana na mwelekeo mzuri wa mhimili wa OY, ikiwa mzunguko huu unazingatiwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa OZ. Mfumo kama huo wa kuratibu unaitwa mkono wa kulia. Kama kidole gumba mkono wa kulia chukua mwelekeo wa X kama mwelekeo wa X, faharisi moja kama mwelekeo wa Y, na wa kati kama mwelekeo wa Z, kisha mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia huundwa. Vidole sawa vya mkono wa kushoto huunda mfumo wa kuratibu wa kushoto. Haiwezekani kuchanganya mifumo ya kuratibu ya kulia na ya kushoto ili axes sambamba sanjari (angalia Mchoro 2).

Nafasi ya hatua A katika nafasi imedhamiriwa na kuratibu tatu x, y na z. Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni urefu wa sehemu ya OC, uratibu wa z ni urefu wa sehemu ya OD katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu za OB, OC na OD zinafafanuliwa na ndege zinazotolewa kutoka kwa uhakika A sambamba na ndege YOZ, XOZ na XOY, kwa mtiririko huo. Uratibu wa x unaitwa abscissa ya uhakika A, uratibu wa y unaitwa kuratibu ya hatua A, uratibu wa z unaitwa applicate ya uhakika A. Imeandikwa kama ifuatavyo: A (a, b, c).

Orty

Mfumo wa kuratibu wa mstatili (wa mwelekeo wowote) pia unaelezewa na seti ya vekta za kitengo zilizounganishwa na axes za kuratibu. Idadi ya vekta za kitengo ni sawa na kipimo cha mfumo wa kuratibu na zote ni za kila mmoja kwa kila mmoja.

KATIKA kesi tatu-dimensional vekta kama hizo kawaida huonyeshwa i j k au e x e y e z. Katika kesi hii, katika kesi ya mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia, fomula zifuatazo na bidhaa ya vekta ya vekta ni halali:

[i j]=k ;
[j k]=i ;
[k i]=j .

Hadithi

Mfumo wa kuratibu wa mstatili ulianzishwa kwanza na Rene Descartes katika kazi yake "Discourse on Method" mnamo 1637. Kwa hivyo, mfumo wa kuratibu wa mstatili pia huitwa - Mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Njia ya kuratibu ya kuelezea vitu vya kijiometri ilionyesha mwanzo wa jiometri ya uchambuzi. Pierre Fermat pia alichangia maendeleo ya njia ya kuratibu, lakini kazi zake zilichapishwa kwanza baada ya kifo chake. Descartes na Fermat walitumia njia ya kuratibu tu kwenye ndege.

Njia ya kuratibu kwa nafasi ya pande tatu ilitumiwa kwanza na Leonhard Euler tayari katika karne ya 18.

Angalia pia

Viungo

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "mfumo wa kuratibu wa Cartesian" ni nini katika kamusi zingine:

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM, mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege au angani (kawaida huwa na shoka zenye pande zote mbili na mizani sawa kwenye shoka). Imepewa jina la R. Descartes (tazama DESCARTES Rene). Descartes alitambulishwa kwa mara ya kwanza... Kamusi ya encyclopedic

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM- mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege au katika nafasi, ambayo mizani kando ya shoka ni sawa na axes za kuratibu ni za pande zote. D. s. K. inaonyeshwa na herufi x:, y kwa uhakika kwenye ndege au x, y, z kwa nukta katika nafasi. (Sentimita.… …

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM, mfumo ulioanzishwa na Rene DESCARTES, ambapo nafasi ya uhakika imedhamiriwa na umbali kutoka kwayo hadi mistari inayoingiliana (axes). Katika toleo rahisi zaidi la mfumo, shoka (zilizoashiria x na y) ni za kawaida ... .... Kamusi ya ensaiklopidia ya kisayansi na kiufundi

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian

Mfumo wa kuratibu wa mstatili (Angalia Viwianishi) kwenye ndege au angani (kawaida huwa na mizani sawa kwenye shoka). R. Descartes mwenyewe katika "Jiometri" (1637) alitumia tu mfumo wa kuratibu kwenye ndege (kwa ujumla, oblique). Mara nyingi…… Encyclopedia kubwa ya Soviet

Seti ya ufafanuzi ambayo inatekeleza njia ya kuratibu, yaani, njia ya kuamua nafasi ya uhakika au mwili kwa kutumia nambari au alama nyingine. Seti ya nambari zinazoamua nafasi ya hatua fulani inaitwa kuratibu za hatua hii. Katika... ... Wikipedia

mfumo wa cartesian- Dekarto koordinačių hali ya mfumo T sritis fizika atitikmenys: engl. Mfumo wa Cartesian; Mfumo wa Cartesian wa kuratibu vok. cartesisches Koordinatensystem, n; kartesisches Koordinatensystem, n rus. Mfumo wa Cartesian, f; Mfumo wa Cartesian... ... Fizikos terminų žodynas

MFUMO WA KURATIBU- seti ya masharti ambayo huamua nafasi ya uhakika kwenye mstari wa moja kwa moja, kwenye ndege, katika nafasi. Kuna maumbo mbalimbali ya duara: Cartesian, oblique, cylindrical, spherical, curvilinear, n.k. Idadi ya mstari na angular ambayo huamua nafasi... ... Encyclopedia kubwa ya Polytechnic

Mfumo wa kuratibu wa rectilinear wa kawaida katika nafasi ya Euclidean. D.p.s kwenye ndege imeainishwa na shoka mbili za kuratibu zilizo sawa, ambazo kila moja mwelekeo mzuri huchaguliwa na sehemu ya kitengo ... Encyclopedia ya hisabati

Mfumo wa kuratibu wa mstatili ni mfumo wa kuratibu wa mstatili na shoka za pande zote kwenye ndege au angani. Mfumo wa kuratibu rahisi zaidi na unaotumika sana. Kwa urahisi sana na moja kwa moja muhtasari wa... ... Wikipedia

Vitabu

Mienendo ya maji ya computational. Msingi wa kinadharia. Kitabu cha maandishi, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Kitabu kimejitolea kwa uwasilishaji wa kimfumo misingi ya kinadharia kwa kuweka kazi mfano wa hisabati mtiririko wa maji na gesi. Tahadhari maalum kujishughulisha na masuala ya ujenzi...

Mfumo uliopangwa wa shoka mbili au tatu zinazoingiliana kwa kila mmoja kwa kutumia mwanzo wa kawaida kumbukumbu (asili) na kitengo cha pamoja urefu unaitwa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili .

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian Mkuu (affine kuratibu mfumo) huenda isijumuishe shoka za pembeni. Kwa heshima ya mwanahisabati wa Ufaransa Rene Descartes (1596-1662), mfumo kama huo wa kuratibu unaitwa ambayo kitengo cha kawaida cha urefu hupimwa kwenye shoka zote na shoka ni sawa.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili kwenye ndege ina shoka mbili na mstatili Cartesian kuratibu mfumo katika nafasi - shoka tatu. Kila hatua kwenye ndege au katika nafasi inaelezwa na seti iliyoagizwa ya kuratibu - nambari zinazofanana na kitengo cha urefu wa mfumo wa kuratibu.

Kumbuka kwamba, kama ifuatavyo kutoka kwa ufafanuzi, kuna mfumo wa kuratibu wa Cartesian kwenye mstari wa moja kwa moja, yaani, katika mwelekeo mmoja. Kuanzishwa kwa kuratibu za Cartesian kwenye mstari ni mojawapo ya njia ambazo hatua yoyote kwenye mstari inahusishwa na nambari halisi iliyoelezwa vizuri, yaani, kuratibu.

Njia ya kuratibu, ambayo iliibuka katika kazi za Rene Descartes, iliashiria urekebishaji wa mapinduzi ya hisabati yote. Ikawa inawezekana kutafsiri milinganyo ya algebra(au usawa) kwa namna ya picha za kijiometri (grafu) na, kinyume chake, tafuta suluhisho matatizo ya kijiometri kwa kutumia fomula za uchanganuzi na mifumo ya milinganyo. Ndiyo, usawa z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy na iko juu ya ndege hii kwa vitengo 3.

Kutumia mfumo wa kuratibu wa Cartesian, ushirika wa nukta kwenye curve uliyopewa inalingana na ukweli kwamba nambari. x Na y kukidhi equation fulani. Kwa hivyo, viwianishi vya nukta kwenye duara na katikati kupewa point (a; b) kukidhi mlinganyo (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili kwenye ndege

Shoka mbili za pembeni kwenye ndege yenye asili ya kawaida na fomu ya kitengo cha mizani sawa Mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian kwenye ndege . Moja ya mihimili hii inaitwa mhimili Ng'ombe, au mhimili wa x , nyingine - mhimili Oy, au mhimili y . Axes hizi pia huitwa coordinate axes. Wacha tuonyeshe kwa Mx Na My kwa mtiririko huo, makadirio ya hatua ya kiholela M kwenye mhimili Ng'ombe Na Oy. Jinsi ya kupata makadirio? Hebu tupitie hoja M Ng'ombe. Mstari huu wa moja kwa moja unaingilia mhimili Ng'ombe kwa uhakika Mx. Hebu tupitie hoja M mstari wa moja kwa moja perpendicular kwa mhimili Oy. Mstari huu wa moja kwa moja unaingilia mhimili Oy kwa uhakika My. Hii inaonyeshwa kwenye picha hapa chini.

x Na y pointi M tutaita maadili ya sehemu zilizoelekezwa ipasavyo OMx Na OMy. Thamani za sehemu hizi zilizoelekezwa huhesabiwa ipasavyo kama x = x0 - 0 Na y = y0 - 0 . Kuratibu za Cartesian x Na y pointi M abscissa Na kuratibu . ukweli kwamba uhakika M ina kuratibu x Na y, inaonyeshwa kama ifuatavyo: M(x, y) .

Kuratibu shoka kugawanya ndege katika nne roboduara , nambari ambayo imeonyeshwa kwenye takwimu hapa chini. Pia inaonyesha mpangilio wa ishara kwa kuratibu za pointi kulingana na eneo lao katika quadrant fulani.

Mbali na kuratibu za mstatili wa Cartesian kwenye ndege, mfumo wa kuratibu wa polar pia huzingatiwa mara nyingi. Kuhusu njia ya mpito kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu hadi mwingine - katika somo mfumo wa kuratibu polar .

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili katika nafasi

Kuratibu za Cartesian katika nafasi huletwa kwa mlinganisho kamili na kuratibu za Cartesian kwenye ndege.

Shoka tatu zenye usawaziko katika nafasi (mihimili ya kuratibu) yenye asili ya kawaida O na kwa kipimo sawa wanaunda Mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian katika nafasi .

Moja ya mihimili hii inaitwa mhimili Ng'ombe, au mhimili wa x , nyingine - mhimili Oy, au mhimili y , ya tatu - mhimili Oz, au mhimili unafaa . Hebu Mx, My Mz- makadirio ya hatua ya kiholela M nafasi kwenye mhimili Ng'ombe , Oy Na Oz kwa mtiririko huo.

Hebu tupitie hoja M Ng'ombeNg'ombe kwa uhakika Mx. Hebu tupitie hoja M ndege perpendicular kwa mhimili Oy. Ndege hii inakatiza mhimili Oy kwa uhakika My. Hebu tupitie hoja M ndege perpendicular kwa mhimili Oz. Ndege hii inakatiza mhimili Oz kwa uhakika Mz.

Cartesian kuratibu za mstatili x , y Na z pointi M tutaita maadili ya sehemu zilizoelekezwa ipasavyo OMx, OMy Na OMz. Thamani za sehemu hizi zilizoelekezwa huhesabiwa ipasavyo kama x = x0 - 0 , y = y0 - 0 Na z = z0 - 0 .

Kuratibu za Cartesian x , y Na z pointi M zinaitwa ipasavyo abscissa , kuratibu Na maombi .

Axes za kuratibu zilizochukuliwa kwa jozi ziko katika ndege za kuratibu xOy , yOz Na zOx .

Matatizo kuhusu pointi katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian

Mfano 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Pata kuratibu za makadirio ya pointi hizi kwenye mhimili wa abscissa.

Suluhisho. Kama ifuatavyo kutoka kwa sehemu ya kinadharia ya somo hili, makadirio ya hatua kwenye mhimili wa abscissa iko kwenye mhimili wa abscissa yenyewe, ambayo ni, mhimili. Ng'ombe, na kwa hivyo ina abscissa sawa na abscissa ya uhakika yenyewe, na kuratibu (kuratibu kwenye mhimili Oy, ambayo mhimili wa x hukatiza katika hatua ya 0), ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata kuratibu zifuatazo za vidokezo hivi kwenye mhimili wa x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Mfano 2. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa kwenye ndege

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Pata kuratibu za makadirio ya pointi hizi kwenye mhimili wa kuratibu.

Suluhisho. Kama ifuatavyo kutoka kwa sehemu ya kinadharia ya somo hili, makadirio ya hatua kwenye mhimili wa kuratibu iko kwenye mhimili wa kuratibu yenyewe, ambayo ni, mhimili. Oy, na kwa hivyo ina mpangilio sawa na uratibu wa nukta yenyewe, na abscissa (kuratibu kwenye mhimili Ng'ombe, ambayo mhimili wa kuratibu huvuka kwenye hatua ya 0), ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata kuratibu zifuatazo za vidokezo hivi kwenye mhimili wa kuratibu:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Mfano 3. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa kwenye ndege

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ng'ombe .

Ng'ombe Ng'ombe Ng'ombe, itakuwa na abscissa sawa na kupewa point, na kuratibu sawa na thamani kamili mratibu wa hatua fulani, na ishara yake kinyume. Kwa hivyo tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na nukta hizi zinazohusiana na mhimili Ng'ombe :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Tatua matatizo kwa kutumia mfumo wa kuratibu wa Cartesian mwenyewe, na kisha uangalie masuluhisho

Mfano 4. Amua ni wapi quadrants (robo, kuchora na quadrants - mwishoni mwa aya "Mfumo wa kuratibu wa Cartesian ya mstatili kwenye ndege") hatua inaweza kupatikana. M(x; y) , Kama

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Mfano 5. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa kwenye ndege

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Tafuta viwianishi vya pointi zinazolingana na pointi hizi zinazohusiana na mhimili Oy .

Wacha tuendelee kutatua shida pamoja

Mfano 6. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa kwenye ndege

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Tafuta viwianishi vya pointi zinazolingana na pointi hizi zinazohusiana na mhimili Oy .

Suluhisho. Zungusha digrii 180 kuzunguka mhimili Oy sehemu ya mwelekeo kutoka kwa mhimili Oy hadi kufikia hatua hii. Katika takwimu, ambapo quadrants ya ndege imeonyeshwa, tunaona kwamba hatua hiyo ni sawa na ile iliyopewa jamaa na mhimili. Oy, itakuwa na mpangilio sawa na nukta uliyopewa, na abscissa sawa kwa thamani kamili na abscissa ya nukta iliyotolewa na kinyume katika ishara. Kwa hivyo tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na nukta hizi zinazohusiana na mhimili Oy :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Mfano 7. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa kwenye ndege

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Tafuta viwianishi vya alama zinazolingana na nukta hizi zinazohusiana na asili.

Suluhisho. Tunazungusha sehemu iliyoelekezwa kwenda kutoka asili hadi mahali fulani kwa digrii 180 kuzunguka asili. Katika takwimu, ambapo quadrants ya ndege imeonyeshwa, tunaona kwamba hatua ya ulinganifu kwa uhakika uliopewa kuhusiana na asili ya kuratibu itakuwa na abscissa na kuratibu sawa kwa thamani kamili kwa abscissa na kuratibu ya hatua iliyotolewa, lakini kinyume katika ishara. Kwa hivyo tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na nukta hizi zinazohusiana na asili:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Mfano 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Pata kuratibu za makadirio ya vidokezo hivi:

1) kwenye ndege Oksi ;

2) kwenye ndege Oxz ;

3) kwa ndege Oyz ;

4) kwenye mhimili wa abscissa;

5) kwenye mhimili wa kuratibu;

6) kwenye mhimili unaotumika.

1) Makadirio ya uhakika kwenye ndege Oksi iko kwenye ndege hii yenyewe, na kwa hiyo ina abscissa na kuratibu sawa na abscissa na kuratibu ya hatua fulani, na applicate sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya vidokezo hivi Oksi :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Makadirio ya uhakika kwenye ndege Oxz iko kwenye ndege hii yenyewe, na kwa hiyo ina abscissa na applicate sawa na abscissa na applicate ya uhakika fulani, na kuratibu sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya vidokezo hivi Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Makadirio ya uhakika kwenye ndege Oyz iko kwenye ndege hii yenyewe, na kwa hiyo ina kuratibu na kuomba sawa na kuratibu na kuomba kwa uhakika fulani, na abscissa sawa na sifuri. Kwa hivyo tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya vidokezo hivi Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Kama ifuatavyo kutoka kwa sehemu ya kinadharia ya somo hili, makadirio ya hatua kwenye mhimili wa abscissa iko kwenye mhimili wa abscissa yenyewe, ambayo ni, mhimili. Ng'ombe, na kwa hiyo ina abscissa sawa na abscissa ya uhakika yenyewe, na kuratibu na matumizi ya makadirio ni sawa na sifuri (kwani axes ya kuratibu na kuomba huingiliana na abscissa kwa uhakika 0). Tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya pointi hizi kwenye mhimili wa abscissa:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Makadirio ya hatua kwenye mhimili wa kuratibu iko kwenye mhimili wa kuratibu yenyewe, ambayo ni, mhimili. Oy, na kwa hiyo ina mratibu sawa na uratibu wa uhakika yenyewe, na abscissa na applicate ya makadirio ni sawa na sifuri (kwani abscissa na axes applicate intersect mhimili wa kuratibu katika hatua 0). Tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya pointi hizi kwenye mhimili wa kuratibu:

Ay(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Makadirio ya uhakika kwenye mhimili unaotumika iko kwenye mhimili unaotumika yenyewe, ambayo ni, mhimili. Oz, na kwa hiyo ina applicate sawa na applicate ya uhakika yenyewe, na abscissa na kuratibu ya makadirio ni sawa na sifuri (tangu abscissa na axes kuratibu intersect mhimili applicate katika hatua 0). Tunapata kuratibu zifuatazo za makadirio ya pointi hizi kwenye mhimili unaotumika:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Mfano 9. Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian, pointi hutolewa katika nafasi

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Tafuta viwianishi vya vidokezo vinavyolingana na vidokezo hivi kwa heshima na:

1) ndege Oksi ;

2) ndege Oxz ;

3) ndege Oyz ;

4) shoka za abscissa;

5) kuratibu shoka;

6) shoka za kuomba;

7) asili ya kuratibu.

1) "Hoja" hatua kwa upande mwingine wa mhimili Oksi Oksi, itakuwa na abscissa na kuratibu sawa na abscissa na kuratibu ya hatua fulani, na applicate sawa katika ukubwa na aplicate ya pointi fulani, lakini kinyume katika ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na ndege Oksi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Hoja" hatua kwa upande mwingine wa mhimili Oxz kwa umbali sawa. Kutoka kwa takwimu inayoonyesha nafasi ya kuratibu, tunaona kwamba hatua ni ya ulinganifu kwa jamaa fulani kwa mhimili. Oxz, itakuwa na abscissa na applicate sawa na abscissa na applicate ya pointi fulani, na kuratibu sawa katika ukubwa na kuratibu ya pointi fulani, lakini kinyume katika ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na ndege Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Hoja" hatua kwa upande mwingine wa mhimili Oyz kwa umbali sawa. Kutoka kwa takwimu inayoonyesha nafasi ya kuratibu, tunaona kwamba hatua ni ya ulinganifu kwa jamaa fulani kwa mhimili. Oyz, itakuwa na mpangilio na aplicate sawa na kuratibu na aplicate ya nukta fulani, na abscissa sawa kwa thamani na abscissa ya nukta fulani, lakini kinyume katika ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na ndege Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Kwa kulinganisha na pointi za ulinganifu kwenye ndege na pointi katika nafasi ambazo ni sawa na data kuhusiana na ndege, tunaona kuwa katika kesi ya ulinganifu kwa heshima na mhimili fulani wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian katika nafasi, kuratibu kwenye mhimili kwa heshima na ambayo ulinganifu umetolewa utahifadhi ishara yake, na viwianishi kwenye shoka zingine mbili zitakuwa sawa kwa thamani kamili kama viwianishi vya nukta fulani, lakini kinyume katika ishara.

4) Abscissa itahifadhi ishara yake, lakini kuratibu na kuomba kutabadilisha ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na mhimili wa abscissa:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Mratibu atahifadhi ishara yake, lakini abscissa na applicate itabadilisha ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na mhimili wa kuratibu:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Programu itahifadhi ishara yake, lakini abscissa na ordinate itabadilisha ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na mhimili unaotumika:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Kwa mlinganisho na ulinganifu katika kesi ya alama kwenye ndege, katika kesi ya ulinganifu juu ya asili ya kuratibu, kuratibu zote za hatua ya ulinganifu kwa moja iliyopewa zitakuwa sawa kwa dhamana kamili kwa kuratibu za nukta fulani, lakini kinyume nao kwa ishara. Kwa hivyo, tunapata viwianishi vifuatavyo vya alama zinazolingana na data inayohusiana na asili.

Katika karne ya 2 KK. Mwanasayansi wa Uigiriki Hipparchus alipendekeza kuzunguka ramani Dunia sambamba na meridians, kuifunika kwa aina ya gridi ya masharti, na kuanzisha kuratibu za kijiografia- latitudo na longitudo.

Ukweli, hata kabla ya hii, wanaastronomia walitumia mbinu hii wakati wa kusoma nafasi ya mbinguni.

Katika karne ya 2 BK. Mwanaastronomia na mwanahisabati maarufu wa Ugiriki Claudius Ptolemy alitumia kikamilifu longitudo na latitudo kama kuratibu za kijiografia.
Lakini dhana hizi zilipangwa katika karne ya 17 na Rene Descartes.

René Descartes (1596 - 1650) - mwanahisabati wa Ufaransa, mwanafalsafa, mwanafizikia na mwanafizikia.
Ni yeye ambaye alikuja na mfumo wa kuratibu mwaka wa 1637, ambao hutumiwa duniani kote na unajulikana kwa kila mtoto wa shule. Pia inaitwa "mfumo wa kuratibu wa Cartesian".

Descartes alikuwa mtu wa aina gani?

Descartes alitoka familia yenye heshima na alikuwa mtoto wa mwisho (wa tatu) katika familia. Alizaliwa mnamo 1596 huko Ufaransa. Mama yake alikufa akiwa na umri wa mwaka 1. Rene alikua mzuri elimu ya msingi katika chuo cha kifahari cha La Flèche. Hapa alisoma na mapadre wa Jesuit.

Katika miaka yake kumi chuoni, Descartes alipata ustadi wa kuandika, alisoma sanaa ya muziki na maigizo, na hata akajua shughuli nzuri kama vile kupanda farasi na uzio.
Baada ya kukaa miaka miwili zaidi katika Chuo Kikuu cha Poitiers, alipokea shahada ya kitaaluma katika sheria, lakini aliacha kazi ya sheria.
Rene aliingia huduma ya kijeshi na kuanza kusafiri sana kuzunguka Ulaya.

Descartes basi aliishi Uholanzi kwa miaka ishirini. Waholanzi wavumilivu katika karne ya 17 walishirikiana kimya kimya bila mambo kama vile Baraza la Kuhukumu Wazushi, uzushi, njama na kuchoma moto hatarini, jambo ambalo lilitishia wanafikra wote wa awali wa Uropa. Hapa, tofauti na nchi zingine, hakukuwa na haja ya kulipa maoni yako.
Descartes hudumisha mawasiliano ya kina na wanasayansi bora zaidi huko Uropa, husoma zaidi sayansi mbalimbali, anaandika vitabu. Alisomea astronomia na dawa.

Mwanafiziolojia mkuu Ivan Petrovich Pavlov alimchukulia Descartes mtangulizi

utafiti wao. Rene Descartes alikuwa wa kwanza kupendekeza wazo la reflex.

(Monument to R. Descartes. Sculptor: I.F. Bezpalov. Address: Alley of Busts of Great Scientists huko Koltushi.)

Anamiliki neno maarufu: "Cogito, ergo sum",
ambayo ilitafsiriwa kutoka Kilatini inamaanisha:
"Nadhani, kwa hivyo nipo."

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian

Ili kufafanua mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian kwenye ndege, mistari ya moja kwa moja ya perpendicular, inayoitwa axes, huchaguliwa.
Mahali ambapo axes huingiliana - "O" inaitwa asili ya kuratibu.
Kwenye kila mhimili (ОX na ОY), mwelekeo mzuri unatajwa na kitengo cha kiwango (sehemu ya kitengo) kinachaguliwa.

Msimamo wa hatua A kwenye ndege imedhamiriwa na kuratibu mbili x na y.
Uratibu wa x ni sawa na urefu wa sehemu ya OB, uratibu wa y ni sawa na urefu wa sehemu ya OC katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo.
Uratibu wa x unaitwa abscissa ya nukta A, uratibu wa y unaitwa mratibu wa nukta A.
Kila hatua kwenye ndege ya kuratibu inafanana na jozi ya namba: abscissa yake na kuratibu: (x; y). Na kinyume chake: kila jozi ya nambari inalingana na hatua moja kwenye ndege ya kuratibu.

Katika nafasi ambayo nafasi ya nukta inaweza kufafanuliwa kama makadirio yake kwenye mistari isiyobadilika inayokatiza katika sehemu moja, inayoitwa asili. Makadirio haya huitwa kuratibu za uhakika, na mistari ya moja kwa moja inaitwa axes za kuratibu.

KATIKA kesi ya jumla kwenye ndege, mfumo wa kuratibu wa Cartesian ( mfumo wa ushirika kuratibu) hutolewa na hatua O (asili ya kuratibu) na jozi iliyoagizwa ya vectors e 1 na e 2 (vectors ya msingi) iliyounganishwa nayo ambayo hailala kwenye mstari huo. Mistari iliyonyooka inayopitia asili katika mwelekeo wa vekta za msingi huitwa axes za kuratibu za mfumo wa kuratibu wa Cartesian. Ya kwanza, iliyoamuliwa na vector e 1, inaitwa mhimili wa abscissa (au mhimili wa Ox), pili ni mhimili wa kuratibu (au mhimili wa Oy). Mfumo wa kuratibu wa Cartesian yenyewe unaashiria Oe 1 e 2 au Oxy. Kuratibu za Cartesian za uhakika M (Kielelezo 1) katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e 2 huitwa jozi ya namba zilizopangwa (x, y), ambazo ni coefficients ya upanuzi wa vector OM kwa msingi (e 1, e 2), yaani, x na y ni kwamba OM = xe 1 + ue 2. Nambari x, -∞< x < ∞, называется абсциссой, чис-ло у, - ∞ < у < ∞, - ординатой точки М. Если (x, у) - координаты точки М, то пишут М(х, у).

Ikiwa mifumo miwili ya kuratibu ya Cartesian Oe 1 e 2 na 0'e' 1 e' 2 itaanzishwa kwenye ndege ili vekta za msingi (e' 1, e' 2) zionyeshwa kupitia vekta za msingi (e 1, e 2) kwa fomula

e’ 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2, e’ 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

na hatua O' ina kuratibu (x 0, y 0) katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e 2, kisha kuratibu (x, y) za uhakika M katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oe 1 e2 na kuratibu (x' , y') ya hatua sawa katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian O'e 1 e' 2 zinahusiana na mahusiano

x = a 11 x’ + a 21 y’ + x 0, y = a 12 x’+ a 22 y’+ y 0.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mstatili ikiwa msingi (e 1, e 2) ni wa kawaida, yaani, vekta e 1 na e 2 ni za pande zote na zina urefu. sawa na moja(vekta e 1 na e 2 huitwa vekta katika kesi hii). Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili, viwianishi vya x na y vya uhakika M ni kiasi. makadirio ya orthogonal pointi M kwenye mhimili wa Ox na Oy, kwa mtiririko huo. Katika mfumo wa uratibu wa Cartesian wa mstatili Oxy, umbali kati ya pointi M 1 (x 1, y 1) na M 2 (x 2, y 2) ni sawa na √(x 2 - x 1) 2 + (y 2 -y 1) ) 2

Mifumo ya mpito kutoka kwa mfumo mmoja wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili Oxy hadi mfumo mwingine wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili O'x'y', ambao mwanzo wake O' wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian Oxy ni O'(x0, y0), una umbo.

x = x’cosα - y’sinα + x 0, y = x’sin α + y’cosα + y 0

x = x'cosα + y'sinα + x 0, y = x'sinα - y'cosα + y 0.

Katika kesi ya kwanza, mfumo wa O'x'y' huundwa kwa kuzunguka vectors msingi e 1 ; e 2 kwa pembe α na uhamisho unaofuata wa asili ya viwianishi O hadi kumweka O’ (Mchoro 2),

na katika kesi ya pili - kwa kuzungusha vekta za msingi e 1, e 2 kwa pembe α, tafakari inayofuata ya mhimili ulio na vekta e 2 inayohusiana na mstari wa moja kwa moja unaobeba vekta e 1, na kuhamisha asili O hadi kumweka O. (Kielelezo 3).

Wakati mwingine mifumo ya kuratibu ya oblique Cartesian hutumiwa, ambayo hutofautiana na mstatili kwa kuwa pembe kati ya vectors msingi wa kitengo si sahihi.

Mfumo wa jumla wa kuratibu wa Cartesian (mfumo wa kuratibu wa kuunganishwa) katika nafasi hufafanuliwa vile vile: hatua O imeelezwa - asili ya kuratibu na mara tatu iliyoagizwa ya vectors е 1 , е 2 , е 3 (vekta za msingi) zilizounganishwa nayo na sio uongo. katika ndege hiyo hiyo. Kama ilivyo kwa ndege, mihimili ya kuratibu imedhamiriwa - mhimili wa abscissa (mhimili wa Ox), mhimili wa kuratibu (mhimili wa Oy) na mhimili unaotumika (mhimili wa Oz) (Mchoro 4).

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian katika nafasi unaashiria Oe 1 e 2 e 3 (au Oxyz). Ndege zinazopitia jozi za shoka za kuratibu huitwa ndege za kuratibu. Mfumo wa kuratibu wa Cartesian katika nafasi huitwa mkono wa kulia ikiwa mzunguko kutoka kwa mhimili wa Ox hadi mhimili wa Oy unafanywa kwa mwelekeo kinyume na mwendo wa saa wakati wa kuangalia ndege ya Oxy kutoka hatua fulani kwenye Oz chanya ya nusu mhimili; , mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mkono wa kushoto. Ikiwa vekta za msingi e 1, e 2, e 3 zina urefu sawa na moja na ni pande mbili za perpendicular, basi mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa mstatili. Msimamo wa mfumo mmoja wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili katika nafasi kuhusiana na mfumo mwingine wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili na mwelekeo sawa imedhamiriwa na pembe tatu za Euler.

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian unaitwa baada ya R. Descartes, ingawa katika kazi yake "Jiometri" (1637) mfumo wa kuratibu wa oblique ulizingatiwa, ambapo kuratibu za pointi zinaweza tu kuwa chanya. Katika toleo la 1659-61, kazi ya mwanahisabati wa Uholanzi I. Gudde iliongezwa kwa Jiometri, ambayo kwa mara ya kwanza wote wawili chanya na. maadili hasi kuratibu Mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa anga ulianzishwa na mwanahisabati wa Kifaransa F. Lahire (1679). Mwanzoni mwa karne ya 18, nukuu x, y, z kwa kuratibu za Cartesian zilianzishwa.

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM CARTESIAN COORDINATE SYSTEM

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM, mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege au angani (kawaida huwa na shoka zenye pande zote mbili na mizani sawa kwenye shoka). Imetajwa baada ya R. Descartes (sentimita. DESCARTES Rene).
Descartes alikuwa wa kwanza kuanzisha mfumo wa kuratibu, ambao ulikuwa tofauti sana na ule unaokubalika kwa ujumla leo. Alitumia mfumo wa kuratibu wa oblique kwenye ndege, akizingatia curve jamaa na mstari wa moja kwa moja na mfumo wa kudumu kuhesabu. Msimamo wa pointi za curve ulibainishwa kwa kutumia mfumo wa sehemu zinazofanana, zilizotegwa au zinazoelekea kwenye mstari wa awali wa moja kwa moja. Descartes haikuanzisha mhimili wa pili wa kuratibu na haikurekebisha mwelekeo wa kumbukumbu kutoka kwa asili ya kuratibu. Tu katika karne ya 18. kuundwa ufahamu wa kisasa mfumo wa kuratibu, uliopewa jina la Descartes.
***
Ili kufafanua mfumo wa kuratibu wa mstatili wa Cartesian, mistari ya moja kwa moja ya perpendicular, inayoitwa axes, huchaguliwa. Sehemu ya makutano ya Axial O inayoitwa asili. Kwenye kila mhimili, mwelekeo mzuri umeelezwa na kitengo cha kiwango kinachaguliwa. Viratibu vya pointi P huchukuliwa kuwa chanya au hasi kulingana na makadirio ya nusu-mhimili gani yanaangukia P.
Mfumo wa kuratibu wa 2D
P kwenye ndege katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili, umbali uliochukuliwa na ishara fulani (iliyoonyeshwa kwa vitengo vya kiwango) ya hatua hii hadi mistari miwili ya pande zote - shoka za kuratibu au makadirio ya vector ya radius - huitwa. r pointi P katika shoka mbili za kuratibu za perpendicular.
Katika mfumo wa kuratibu wa pande mbili, mhimili mlalo unaitwa mhimili wa x OX), mhimili wima- mhimili wa kuratibu (mhimili wa ОY). Maelekezo mazuri yanachaguliwa kwenye mhimili OX- kulia, kwenye mhimili OY-juu. Kuratibu x Na y huitwa abscissa na ordinate ya uhakika, kwa mtiririko huo. Nukuu P(a,b) inamaanisha kuwa alama P kwenye ndege ina abscissa a na kiratibu b.
Mfumo wa kuratibu wa pande tatu
Viwianishi vya mstatili vya Cartesian vya uhakika P V nafasi tatu-dimensional huitwa umbali uliochukuliwa na ishara fulani (iliyoonyeshwa kwa vitengo vya mizani) ya hatua hii hadi ndege tatu za kuratibu za pande zote au makadirio ya vekta ya radius. (sentimita. RADIUS VECTOR) r pointi P katika shoka tatu za kuratibu zenye kuheshimiana.
Kupitia hatua ya kiholela katika nafasi O- asili ya kuratibu - jozi tatu za mistari ya moja kwa moja ya perpendicular hutolewa: mhimili OX(x mhimili), mhimili OY(mhimili y), mhimili OZ(mhimili wa maombi).
Juu ya axes kuratibu inaweza maalum vekta za kitengo i, j, k pamoja na shoka OX,OY, OZ kwa mtiririko huo.
Kulingana na msimamo wa jamaa mwelekeo mzuri wa axes za kuratibu, mifumo ya kuratibu ya kulia na kushoto inawezekana. Kama sheria, mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia hutumiwa. Katika mfumo sahihi wa kuratibu, mwelekeo mzuri huchaguliwa kama ifuatavyo: kando ya mhimili OX- juu ya mwangalizi; kando ya mhimili wa OY - kulia; kando ya mhimili wa OZ - juu. Katika mfumo wa kuratibu wa mkono wa kulia, mzunguko mfupi zaidi kutoka kwa mhimili wa X hadi mhimili wa Y ni kinyume cha saa; ikiwa wakati huo huo na mzunguko huo tunasonga kwenye mwelekeo mzuri wa mhimili Z, basi matokeo yatakuwa harakati kulingana na utawala wa screw sahihi.
Nukuu P(a,b,c) inamaanisha kuwa nukta P ina abscissa a, kiambatanisho b na kiomba c.
Kila mara tatu ya nambari (a,b,c) inafafanua hatua moja P. Kwa hiyo, mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili huanzisha mawasiliano ya moja hadi moja kati ya seti ya pointi katika nafasi na seti ya triplets zilizoagizwa za nambari halisi.
Mbali na shoka za kuratibu, pia kuna ndege za kuratibu. Nyuso za kuratibu ambazo moja ya viwianishi vinabaki kuwa sawa ni ndege zinazofanana na ndege za kuratibu, na mistari ya kuratibu ambayo mabadiliko moja tu ya kuratibu ni mistari iliyonyooka inayofanana. kuratibu shoka. Nyuso za kuratibu huingiliana kando ya mistari ya kuratibu.
Kuratibu ndege XOY ina shoka OX Na OY, kuratibu ndege YOZ ina shoka OY Na OZ, kuratibu ndege XOZ ina shoka OX Na OZ.

Kamusi ya encyclopedic. 2009 .

Tazama "CARTESIAN COORDINATE SYSTEM" ni nini katika kamusi zingine:

Mfumo wa kuratibu wa mstatili au Cartesian ni mfumo wa kawaida wa kuratibu kwenye ndege na katika nafasi. Yaliyomo 1 Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege ... Wikipedia

Mfumo wa kuratibu wa Cartesian

Vitabu

Mienendo ya maji ya computational. Msingi wa kinadharia. Kitabu cha maandishi, Pavlovsky Valery Alekseevich, Nikushchenko Dmitry Vladimirovich. Kitabu hiki kimejitolea kwa uwasilishaji wa kimfumo wa misingi ya kinadharia ya kuibua shida za muundo wa hesabu wa mtiririko wa maji na gesi. Uangalifu hasa hulipwa kwa masuala ya ujenzi...