Nakala hii ni jibu la maswali mawili: "Nini" na "Jinsi ya kupata kuratibu za makadirio ya uhakika kwenye ndege"? Kwanza, taarifa muhimu kuhusu makadirio na aina zake hutolewa. Ifuatayo, ufafanuzi wa makadirio ya uhakika kwenye ndege hutolewa na kielelezo cha picha kinatolewa. Baada ya hayo, njia ilipatikana ya kupata kuratibu za makadirio ya uhakika kwenye ndege. Kwa kumalizia, ufumbuzi wa mifano unachambuliwa ambapo kuratibu za makadirio ya hatua fulani kwenye ndege fulani huhesabiwa.

Urambazaji wa ukurasa.

Makadirio, aina za makadirio - habari muhimu.

Wakati wa kusoma takwimu za anga, ni rahisi kutumia picha zao kwenye mchoro. Kuchora kwa takwimu ya anga ni kinachojulikana makadirio takwimu hii kwa ndege. Mchakato wa kujenga picha ya takwimu ya anga kwenye ndege hutokea kulingana na sheria fulani. Kwa hivyo mchakato wa kuunda picha ya takwimu ya anga kwenye ndege, pamoja na seti ya sheria ambayo mchakato huu unafanywa, inaitwa. makadirio takwimu kwenye ndege hii. Ndege ambayo picha imejengwa inaitwa ndege ya makadirio.

Kulingana na sheria ambazo makadirio yanafanywa, kuna kati na makadirio sambamba. Hatutaingia kwa undani, kwani hii ni zaidi ya upeo wa nakala hii.

Katika jiometri, kesi maalum ya makadirio sambamba hutumiwa hasa - makadirio ya perpendicular, ambayo pia inaitwa ya orthogonal. Kwa jina la aina hii ya makadirio, kivumishi "perpendicular" mara nyingi huachwa. Hiyo ni, wakati katika jiometri wanazungumza juu ya makadirio ya takwimu kwenye ndege, kwa kawaida inamaanisha kuwa makadirio haya yalipatikana kwa kutumia makadirio ya perpendicular (isipokuwa imeainishwa vinginevyo, bila shaka).

Ikumbukwe kwamba makadirio ya takwimu kwenye ndege ni seti ya makadirio ya pointi zote za takwimu hii kwenye ndege ya makadirio. Kwa maneno mengine, ili kupata makadirio ya takwimu fulani, ni muhimu kuwa na uwezo wa kupata makadirio ya pointi za takwimu hii kwenye ndege. Aya inayofuata ya kifungu inaonyesha jinsi ya kupata makadirio ya uhakika kwenye ndege.

Makadirio ya uhakika kwenye ndege - ufafanuzi na kielelezo.

Tunasisitiza tena kwamba tutazungumza juu ya makadirio ya perpendicular ya uhakika kwenye ndege.

Wacha tutengeneze miundo ambayo itatusaidia kufafanua makadirio ya uhakika kwenye ndege.

Hebu katika nafasi ya tatu-dimensional tunapewa uhakika M 1 na ndege. Wacha tuchore mstari wa moja kwa moja kupitia hatua ya M 1, kwa usawa kwa ndege. Ikiwa uhakika M 1 hauko kwenye ndege, basi tunaashiria sehemu ya makutano ya mstari a na ndege kama H 1. Kwa hiyo, kwa ujenzi, hatua H 1 ni msingi wa perpendicular imeshuka kutoka hatua ya M 1 hadi ndege.

Ufafanuzi.

Makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege ni uhakika M 1 yenyewe, ikiwa , au nukta H 1, ikiwa .

Ufafanuzi ufuatao ni sawa na ufafanuzi huu wa makadirio ya uhakika kwenye ndege.

Ufafanuzi.

Makadirio ya uhakika kwenye ndege- hii ni ama hatua yenyewe, ikiwa iko katika ndege iliyotolewa, au msingi wa perpendicular imeshuka kutoka hatua hii hadi ndege iliyotolewa.

Katika kuchora hapa chini, hatua H 1 ni makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege; uhakika M 2 iko kwenye ndege, kwa hivyo M 2 ni makadirio ya uhakika M 2 yenyewe kwenye ndege.

Kupata kuratibu za makadirio ya hatua kwenye ndege - mifano ya kutatua.

Acha Oxyz itambulishwe katika nafasi ya pande tatu, uhakika na ndege. Wacha tujiwekee kazi: kuamua kuratibu za makadirio ya hatua M 1 kwenye ndege.

Suluhisho la tatizo linafuata kimantiki kutoka kwa ufafanuzi wa makadirio ya uhakika kwenye ndege.

Onyesha makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege kama H 1 . Kwa ufafanuzi, makadirio ya uhakika kwenye ndege, H 1 ni hatua ya makutano ya ndege iliyotolewa na mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia hatua ya M 1 perpendicular kwa ndege. Kwa hivyo, kuratibu zinazohitajika za makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege ni kuratibu za hatua ya makutano ya mstari a na ndege.

Kwa hivyo, kupata viwianishi vya makadirio ya uhakika kwenye ndege unahitaji:

Hebu tuchunguze mifano.

Mfano.

Tafuta viwianishi vya makadirio ya uhakika kwa ndege .

Uamuzi.

Katika hali ya tatizo, tunapewa equation ya jumla ya ndege ya fomu , kwa hivyo haihitaji kukusanywa.

Hebu tuandike milinganyo ya kisheria ya mstari wa moja kwa moja a, ambayo hupita kwa uhakika M 1 perpendicular kwa ndege iliyotolewa. Ili kufanya hivyo, tunapata kuratibu za vector inayoongoza ya mstari wa moja kwa moja a. Kwa kuwa mstari a ni sawa na ndege iliyotolewa, vekta ya mwelekeo wa mstari a ni vekta ya kawaida ya ndege. . yaani, - vekta inayoelekeza ya mstari wa moja kwa moja a . Sasa tunaweza kuandika milinganyo ya kisheria ya mstari ulionyooka katika nafasi ambayo hupitia nukta na ina vekta ya mwelekeo :
.

Ili kupata kuratibu zinazohitajika za makadirio ya uhakika kwenye ndege, inabakia kuamua kuratibu za hatua ya makutano ya mstari. na ndege . Ili kufanya hivyo, kutoka kwa equations za canonical za mstari wa moja kwa moja, tunapita kwa hesabu za ndege mbili zinazoingiliana, tunaunda mfumo wa equations. na kupata suluhisho lake. Tunatumia:

Hivyo makadirio ya uhakika kwa ndege ina kuratibu.

Jibu:

Mfano.

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili Oxyz katika nafasi ya tatu-dimensional, pointi na . Amua kuratibu za makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege ya ABC.

Uamuzi.

Hebu kwanza tuandike equation ya ndege inayopitia pointi tatu zilizotolewa:

Lakini hebu tuangalie njia mbadala.

Wacha tupate hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja a , ambayo hupitia hatua na perpendicular kwa ndege ABC. Vector ya kawaida ya ndege ina kuratibu , kwa hiyo, vector ni vekta ya mwelekeo wa mstari a . Sasa tunaweza kuandika hesabu za parametric za mstari wa moja kwa moja kwenye nafasi, kwani tunajua kuratibu za nukta kwenye mstari ulio sawa ( ) na kuratibu za vekta yake ya mwelekeo ( ):

Inabakia kuamua kuratibu za hatua ya makutano ya mstari na ndege. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha katika equation ya ndege:
.

Sasa kwa hesabu za parametric kuhesabu maadili ya vigezo x , y na z kwa :
.

Kwa hivyo, makadirio ya uhakika M 1 kwenye ndege ya ABC ina kuratibu.

Jibu:

Kwa kumalizia, hebu tujadili kutafuta kuratibu za makadirio ya hatua fulani kwenye ndege za kuratibu na ndege zinazofanana na ndege za kuratibu.

makadirio ya uhakika kwa ndege zinazoratibu Oxy , Oxz na Oyz ndizo pointi zilizo na viwianishi na vivyo hivyo. Na makadirio ya uhakika kwenye ndege na , ambazo ni sambamba na ndege za kuratibu Oxy , Oxz na Oyz kwa mtiririko huo, ni pointi zilizo na kuratibu. na .

Wacha tuonyeshe jinsi matokeo haya yalipatikana.

Kwa mfano, hebu tupate makadirio ya uhakika kwenye ndege (kesi zingine ni sawa na hii).

Ndege hii ni sambamba na ndege ya kuratibu Oyz na ni vekta yake ya kawaida. Vekta ni vekta ya mwelekeo wa mstari unaoelekea kwenye ndege ya Oyz. Kisha milinganyo ya parametric ya mstari wa moja kwa moja unaopitia hatua M 1 perpendicular kwa ndege iliyotolewa ina fomu.

Pata kuratibu za hatua ya makutano ya mstari na ndege. Ili kufanya hivyo, kwanza tunabadilisha katika equation ya usawa: , na makadirio ya uhakika

Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Hisabati ya Juu. Juzuu ya Kwanza: Vipengele vya Aljebra ya Linear na Jiometri ya Uchanganuzi.

Ilyin V.A., Poznyak E.G. Jiometri ya uchambuzi.

Hoja, kama dhana ya hisabati, haina vipimo. Kwa wazi, ikiwa kitu cha makadirio ni kitu cha sifuri-dimensional, basi haina maana kuzungumza juu ya makadirio yake.

Mtini.9 Mtini.10

Katika jiometri chini ya hatua, ni vyema kuchukua kitu cha kimwili ambacho kina vipimo vya mstari. Kwa kawaida, mpira ulio na radius ndogo sana inaweza kuchukuliwa kama hatua. Kwa tafsiri hii ya dhana ya uhakika, tunaweza kuzungumza juu ya makadirio yake.

Wakati wa kujenga makadirio ya orthogonal ya uhakika, mtu anapaswa kuongozwa na mali ya kwanza ya kutofautiana ya makadirio ya orthogonal: makadirio ya orthogonal ya uhakika ni uhakika.

Nafasi ya hatua katika nafasi imedhamiriwa na kuratibu tatu: X, Y, Z, kuonyesha umbali ambao hatua hiyo imeondolewa kwenye ndege za makadirio. Kuamua umbali huu, inatosha kuamua sehemu za mkutano wa mistari hii na ndege za makadirio na kupima maadili yanayolingana, ambayo yataonyesha maadili ya abscissa, mtawaliwa. X, kuratibu Y na appliques Z pointi (Mchoro 10).

Makadirio ya hatua ni msingi wa perpendicular imeshuka kutoka kwa uhakika hadi ndege inayofanana ya makadirio. Makadirio ya mlalo pointi a piga makadirio ya mstatili wa hatua kwenye ndege ya usawa ya makadirio, makadirio ya mbele a /- kwa mtiririko huo kwenye ndege ya mbele ya makadirio na wasifu a // - kwenye ndege ya makadirio ya wasifu.

Moja kwa moja Aa, Aa / na Aa // inaitwa mistari ya kukadiria. Wakati huo huo, moja kwa moja Ah, hatua ya makadirio LAKINI kwenye ndege ya usawa ya makadirio, inayoitwa laini inayoonyesha mlalo, Аa / na Aa //- kwa mtiririko huo: mbele na mistari iliyonyooka ya wasifu.

Mistari miwili inayoonyesha kupita kwenye sehemu moja LAKINI kufafanua ndege, ambayo inaitwa inayoonyesha.

Wakati wa kubadilisha mpangilio wa anga, makadirio ya mbele ya uhakika A-a/ inabaki mahali kama mali ya ndege ambayo haibadilishi msimamo wake chini ya mabadiliko yanayozingatiwa. Makadirio ya mlalo - a pamoja na ndege ya makadirio ya usawa itageuka kwa mwelekeo wa harakati ya saa na itakuwa iko kwenye perpendicular moja kwa mhimili. X na makadirio ya mbele. Makadirio ya wasifu - a // itazunguka pamoja na ndege ya wasifu na mwisho wa mabadiliko itachukua nafasi iliyoonyeshwa kwenye Mchoro 10. Wakati huo huo - a // itakuwa perpendicular kwa mhimili Z inayotolewa kutoka kwa uhakika a/ na itaondolewa kwenye mhimili Z umbali sawa na makadirio ya mlalo a mbali na mhimili X. Kwa hivyo, uunganisho kati ya makadirio ya usawa na wasifu wa hatua yanaweza kuanzishwa kwa kutumia sehemu mbili za orthogonal. aa y na a y a // na safu inayounganisha ya duara iliyo katikati kwenye sehemu ya makutano ya shoka ( O- asili). Uunganisho uliowekwa alama hutumiwa kupata makadirio yaliyokosekana (kwa wale wawili waliopewa). Nafasi ya makadirio ya wasifu (usawa) kulingana na makadirio ya usawa (wasifu) na ya mbele yanaweza kupatikana kwa kutumia mstari wa moja kwa moja uliochorwa kwa pembe ya 45 0 kutoka asili hadi mhimili. Y(sekta hii inaitwa mstari ulionyooka) k ni Monge mara kwa mara). Njia ya kwanza ya njia hizi ni bora, kwani ni sahihi zaidi.

Kwa hivyo:

1. Pointi kwenye nafasi imeondolewa:

kutoka kwa ndege ya usawa H Z,

kutoka kwa ndege ya mbele V kwa thamani ya kuratibu iliyotolewa Y,

kutoka kwa ndege ya wasifu W kwa thamani ya kuratibu. x.

2. Makadirio mawili ya sehemu yoyote ni ya perpendicular sawa (mstari mmoja wa unganisho):

usawa na mbele - perpendicular kwa mhimili x,

usawa na wasifu - perpendicular kwa mhimili wa Y,

mbele na wasifu - perpendicular kwa mhimili wa Z.

3. Nafasi ya hatua katika nafasi imedhamiriwa kabisa na nafasi ya makadirio yake mawili ya orthogonal. Kwa hivyo - kutoka kwa makadirio yoyote mawili ya orthogonal ya uhakika, inawezekana kila wakati kuunda makadirio yake ya tatu ambayo hayapo.

Ikiwa hatua ina kuratibu tatu za uhakika, basi hatua kama hiyo inaitwa uhakika katika nafasi ya jumla. Ikiwa hatua ina kuratibu moja au mbili sawa na sifuri, basi hatua hiyo inaitwa nafasi ya kibinafsi.

Mchele. 11 Mtini. 12

Mchoro wa 11 unaonyesha mchoro wa anga wa pointi za nafasi fulani, Mchoro 12 unaonyesha mchoro changamano (michoro) ya pointi hizi. Nukta LAKINI ni mali ya makadirio ya mbele ya ndege, uhakika KATIKA- ndege ya usawa ya makadirio, uhakika Na- ndege ya wasifu ya makadirio na uhakika D- mhimili wa abscissa ( X).

Mstari wa msaidizi wa multidrawing

Katika mchoro ulioonyeshwa kwenye mtini. 4.7, a, shoka za makadirio huchorwa, na picha zimeunganishwa na mistari ya mawasiliano. Makadirio ya usawa na ya wasifu yanaunganishwa na mistari ya mawasiliano kwa kutumia arcs zinazozingatia hatua O makutano ya mhimili. Hata hivyo, katika mazoezi, utekelezaji mwingine wa kuchora jumuishi pia hutumiwa.

Kwenye michoro isiyo na mhimili, picha pia zimewekwa katika uhusiano wa makadirio. Walakini, makadirio ya tatu yanaweza kuwekwa karibu au mbali zaidi. Kwa mfano, makadirio ya wasifu yanaweza kuwekwa kwa haki (Mchoro 4.7, b, II) au upande wa kushoto (Mchoro 4.7, b, mimi) Hii ni muhimu kwa kuokoa nafasi na urahisi wa ukubwa.

Mchele. 4.7.

Ikiwa katika mchoro uliofanywa kulingana na mfumo usio na mhimili unahitajika kuteka mistari ya mawasiliano kati ya mtazamo wa juu na wa kushoto, kisha mstari wa moja kwa moja wa msaidizi wa kuchora tata hutumiwa. Kwa kufanya hivyo, takriban kwa kiwango cha mtazamo wa juu na kidogo kwa haki yake, mstari wa moja kwa moja hutolewa kwa pembe ya 45 ° kwa sura ya kuchora (Mchoro 4.8, a) Inaitwa mstari wa msaidizi wa kuchora tata. Utaratibu wa kujenga kuchora kwa kutumia mstari huu wa moja kwa moja unaonyeshwa kwenye tini. 4.8, b, c.

Ikiwa maoni matatu tayari yamejengwa (Mchoro 4.8, d), basi nafasi ya mstari wa msaidizi haiwezi kuchaguliwa kwa kiholela. Kwanza unahitaji kupata hatua ambayo itapita. Ili kufanya hivyo, inatosha kuendelea hadi makutano ya kuheshimiana ya mhimili wa ulinganifu wa makadirio ya usawa na wasifu na kupitia hatua inayosababisha. k chora sehemu ya mstari wa moja kwa moja kwa pembe ya 45 ° (Mchoro 4.8, d) Ikiwa hakuna shoka za ulinganifu, basi endelea hadi makutano kwenye hatua k Makadirio 1 ya mlalo na wasifu ya uso wowote unaokadiriwa kama mstari ulionyooka (Mchoro 4.8, d).

Mchele. 4.8.

Haja ya kuteka mistari ya mawasiliano, na, kwa hiyo, mstari wa moja kwa moja wa msaidizi, hutokea wakati wa kujenga makadirio yaliyokosekana na wakati wa kufanya michoro ambayo ni muhimu kuamua makadirio ya pointi ili kufafanua makadirio ya vipengele vya mtu binafsi vya sehemu hiyo.

Mifano ya matumizi ya mstari msaidizi hutolewa katika aya inayofuata.

Makadirio ya hatua iliyo juu ya uso wa kitu

Ili kujenga kwa usahihi makadirio ya vipengele vya mtu binafsi vya sehemu wakati wa kufanya michoro, ni muhimu kuwa na uwezo wa kupata makadirio ya pointi za mtu binafsi kwenye picha zote za kuchora. Kwa mfano, ni vigumu kuteka makadirio ya usawa ya sehemu iliyoonyeshwa kwenye Mtini. 4.9 bila kutumia makadirio ya alama za mtu binafsi ( A, B, C, D, E na nk). Uwezo wa kupata makadirio yote ya vidokezo, kingo, nyuso pia ni muhimu kwa kuunda tena katika fikira sura ya kitu kulingana na picha zake za gorofa kwenye mchoro, na pia kwa kuangalia usahihi wa mchoro uliokamilishwa.

Mchele. 4.9.

Wacha tuchunguze njia za kupata makadirio ya pili na ya tatu ya nukta iliyotolewa kwenye uso wa kitu.

Ikiwa makadirio moja ya hatua hutolewa katika kuchora kwa kitu, basi kwanza ni muhimu kupata makadirio ya uso ambayo hatua hii iko. Kisha chagua mojawapo ya njia mbili zilizoelezwa hapa chini kwa kutatua tatizo.

Njia ya kwanza

Njia hii hutumiwa wakati angalau moja ya makadirio yanaonyesha uso uliopewa kama mstari.

Kwenye mtini. 4.10, a silinda inaonyeshwa, kwenye makadirio ya mbele ambayo makadirio yamewekwa a" pointi LAKINI, amelala kwenye sehemu inayoonekana ya uso wake (makadirio yaliyotolewa yana alama na miduara ya rangi mbili). Ili kupata makadirio ya usawa ya uhakika LAKINI, wanabishana kama ifuatavyo: hatua iko juu ya uso wa silinda, makadirio ya usawa ambayo ni mduara. Hii ina maana kwamba makadirio ya hatua iliyo juu ya uso huu pia italala kwenye mduara. Chora mstari wa mawasiliano na uweke alama kwenye sehemu inayotakiwa kwenye makutano yake na duara a. makadirio ya tatu a"

Mchele. 4.10.

Ikiwa uhakika KATIKA, amelala juu ya msingi wa juu wa silinda, iliyotolewa na makadirio yake ya usawa b, kisha mistari ya mawasiliano hutolewa kwenye makutano na sehemu za mstari wa moja kwa moja zinazoonyesha makadirio ya mbele na ya wasifu ya msingi wa juu wa silinda.

Kwenye mtini. 4.10, b inaonyesha undani - msisitizo. Kuunda makadirio ya uhakika LAKINI, inayotolewa na makadirio yake ya mlalo a, pata makadirio mengine mawili ya uso wa juu (ambayo kuna uhakika LAKINI) na, kuchora mistari ya unganisho kwenye makutano na sehemu za mstari zinazoonyesha uso huu, amua makadirio unayotaka - vidokezo. a" na a". Nukta KATIKA iko upande wa kushoto wa uso wa wima, ambayo ina maana kwamba makadirio yake pia yatalala kwenye makadirio ya uso huu. Kwa hivyo kutoka kwa hatua fulani b" chora mistari ya mawasiliano (kama inavyoonyeshwa na mishale) hadi ikutane na sehemu za mstari zinazoonyesha uso huu. makadirio ya mbele na" pointi NA, amelala juu ya uso ulioinama (katika nafasi), hupatikana kwenye mstari unaoonyesha uso huu, na wasifu. na"- kwenye makutano ya mstari wa uunganisho, kwani makadirio ya wasifu wa uso huu sio mstari, lakini takwimu. Ujenzi wa makadirio ya uhakika D inavyoonyeshwa na mishale.

Njia ya pili

Njia hii hutumiwa wakati njia ya kwanza haiwezi kutumika. Kisha unapaswa kufanya hivi:

• chora kupitia makadirio yaliyopewa ya uhakika makadirio ya mstari wa msaidizi iko kwenye uso uliopewa;
• pata makadirio ya pili ya mstari huu;
• kwa makadirio yaliyopatikana ya mstari, uhamishe makadirio uliyopewa ya uhakika (hii itaamua makadirio ya pili ya uhakika);
• pata makadirio ya tatu (ikiwa inahitajika) kwenye makutano ya mistari ya mawasiliano.

Kwenye mtini. 4.10, makadirio ya mbele yanatolewa a" pointi LAKINI, amelala kwenye sehemu inayoonekana ya uso wa koni. Ili kupata makadirio ya usawa kupitia hatua a" fanya makadirio ya mbele ya mstari wa moja kwa moja msaidizi unaopita kwenye uhakika LAKINI na juu ya koni. Pata uhakika V ni makadirio ya sehemu ya mkutano ya mstari uliochorwa na msingi wa koni. Kuwa na makadirio ya mbele ya pointi zilizo kwenye mstari wa moja kwa moja, mtu anaweza kupata makadirio yao ya usawa. Makadirio ya mlalo s juu ya koni inajulikana. Nukta b iko kwenye mzunguko wa msingi. Sehemu ya mstari hutolewa kupitia pointi hizi na uhakika huhamishiwa kwake (kama inavyoonyeshwa na mshale). a", kupata uhakika a. Makadirio ya tatu a" pointi LAKINI iliyoko njia panda.

Tatizo sawa linaweza kutatuliwa tofauti (Mchoro 4.10, G).

Kama mstari msaidizi unaopita kwenye nukta LAKINI, hawachukui mstari wa moja kwa moja, kama katika kesi ya kwanza, lakini mduara. Mduara huu unaundwa ikiwa katika hatua LAKINI kati ya koni na ndege sambamba na msingi, kama inavyoonekana katika uwakilishi wa kuona. Makadirio ya mbele ya mduara huu yataonyeshwa kama sehemu ya mstari wa moja kwa moja, kwani ndege ya duara ni ya kawaida kwa ndege ya mbele ya makadirio. Makadirio ya usawa ya mduara ina kipenyo sawa na urefu wa sehemu hii. Kuelezea mduara wa kipenyo maalum, chora kutoka kwa uhakika a" mstari wa uunganisho kwenye makutano na mduara msaidizi, tangu makadirio ya usawa a pointi LAKINI iko kwenye mstari wa msaidizi, i.e. kwenye mzunguko uliojengwa. makadirio ya tatu kama" pointi LAKINI kupatikana kwenye makutano ya mistari ya mawasiliano.

Kwa njia hiyo hiyo, unaweza kupata makadirio ya hatua iliyolala juu ya uso, kwa mfano, piramidi. Tofauti itakuwa kwamba inapovuka na ndege ya usawa, sio mzunguko unaoundwa, lakini takwimu inayofanana na msingi.

Malengo:

• Kusoma sheria za kuunda makadirio ya alama kwenye uso wa kitu na kusoma michoro.
• Kuendeleza mawazo ya anga, uwezo wa kuchambua sura ya kijiometri ya kitu.
• Kukuza bidii, uwezo wa kushirikiana wakati wa kufanya kazi kwa vikundi, kupendezwa na somo.

WAKATI WA MADARASA

NAWASHA JUKWAA. HAMASISHA YA SHUGHULI ZA KUJIFUNZA.

II HATUA. UTENGENEZAJI WA MAARIFA, UJUZI NA UJUZI.

KISIMA CHA KUOKOA AFYA. TAFAKARI (MOD)

HATUA YA III. KAZI BINAFSI.

NAWASHA JUKWAA. HAMASISHA YA SHUGHULI ZA KUJIFUNZA

1) Mwalimu: Angalia eneo lako la kazi, je, kila kitu kiko sawa? Je, kila mtu yuko tayari kwenda?

PUMUA KWA KINA, SHIKA PUMZI KWA KUTOSHA, VUTA.

Amua mhemko wako mwanzoni mwa somo kulingana na mpango (mpango kama huo uko kwenye meza kwa kila mtu)

NAWATAKIA HERI.

2)Mwalimu: Kazi ya vitendo juu ya mada " Makadirio ya Wima, Kingo, Nyuso ”ilionyesha kuwa kuna watu ambao hufanya makosa wakati wa kukadiria. Wanachanganyikiwa ni ipi kati ya pointi mbili zinazofanana katika kuchora ni vertex inayoonekana na ambayo ni isiyoonekana; wakati makali ni sambamba na ndege, na wakati ni perpendicular. Kitu kimoja na kingo.

Ili kuepuka kurudia makosa, kamilisha kazi muhimu kwa kutumia kadi ya ushauri na kurekebisha makosa katika kazi ya vitendo (kwa mkono). Na unapofanya kazi, kumbuka:

"KILA MTU ANAWEZA KUFANYA MAKOSA, AKAA MAKOSA YAKE - KICHAA TU".

Na wale ambao wamejua mada vizuri watafanya kazi kwa vikundi na kazi za ubunifu (tazama. Kiambatisho 1 ).

II HATUA. UTENGENEZAJI WA MAARIFA, UJUZI NA UJUZI

1)Mwalimu: Katika uzalishaji, kuna sehemu nyingi ambazo zimeunganishwa kwa kila mmoja kwa njia fulani.
Kwa mfano:
Jalada la eneo-kazi limeunganishwa kwenye machapisho ya wima. Makini na meza ambayo wewe ni, jinsi na kwa nini kifuniko na racks ni masharti kwa kila mmoja?

Jibu: Bolt.

Mwalimu: Ni nini kinachohitajika kwa bolt?

Jibu: Shimo.

Mwalimu: Kweli. Na ili kufanya shimo, unahitaji kujua eneo lake kwenye bidhaa. Wakati wa kutengeneza meza, seremala hawezi kuwasiliana na mteja kila wakati. Kwa hiyo, kuna haja gani ya kutoa seremala?

Jibu: Kuchora.

Mwalimu: Kuchora!? Tunaita mchoro nini?

Jibu: Mchoro ni picha ya kitu kwa makadirio ya mstatili katika unganisho la makadirio. Kwa mujibu wa kuchora, unaweza kuwakilisha sura ya kijiometri na muundo wa bidhaa.

Mwalimu: Tumekamilisha makadirio ya mstatili, na kisha? Je! tutaweza kuamua eneo la mashimo kutoka kwa makadirio moja? Nini kingine tunahitaji kujua? Nini cha kujifunza?

Jibu: Kujenga pointi. Tafuta makadirio ya vidokezo hivi katika maoni yote.

Mwalimu: Umefanya vizuri! Hili ndilo kusudi la somo letu, na mada: Ujenzi wa makadirio ya pointi kwenye uso wa kitu. Andika mada ya somo kwenye daftari lako.
Wewe na mimi tunajua kwamba hatua yoyote au sehemu kwenye picha ya kitu ni makadirio ya vertex, makali, uso, i.e. kila mtazamo ni picha isiyotoka upande mmoja (ch. view, top view, left view), lakini kitu kizima.
Ili kupata kwa usahihi makadirio ya pointi za mtu binafsi zimelala kwenye nyuso, lazima kwanza upate makadirio ya uso huu, na kisha utumie mistari ya uunganisho ili kupata makadirio ya pointi.

(Tunaangalia kuchora kwenye ubao, tunafanya kazi katika daftari ambapo makadirio 3 ya sehemu sawa yanafanywa nyumbani).

- Ilifungua daftari na mchoro uliokamilishwa (Maelezo ya ujenzi wa pointi kwenye uso wa kitu na maswali ya kuongoza kwenye ubao, na wanafunzi hurekebisha kwenye daftari.)

Mwalimu: Fikiria jambo fulani KATIKA. Uso ulio na sehemu hii unalingana na ndege gani?

Jibu: Uso ni sambamba na ndege ya mbele.

Mwalimu: Tunaweka makadirio ya uhakika b' katika makadirio ya mbele. Chora chini kutoka kwa uhakika b' mstari wa wima wa mawasiliano kwa makadirio ya usawa. Je, makadirio ya usawa ya uhakika yatakuwa wapi? KATIKA?

Jibu: Katika makutano na makadirio ya usawa ya uso ambayo yalipangwa kwenye makali. Na iko chini ya makadirio (mtazamo).

Mwalimu: Makadirio ya wasifu wa pointi b'' itakuwa iko wapi? Tutapataje?

Jibu: Katika makutano ya mstari wa mlalo wa mawasiliano kutoka b' yenye makali ya wima upande wa kulia. Makali haya ni makadirio ya uso na uhakika KATIKA.

WANAOTAKA KUJENGA MRADI UJAO WA HATUA HIYO WANAITWA KWENYE BODI.

Mwalimu: Makadirio ya uhakika LAKINI pia ziko kwa kutumia njia za mawasiliano. Ambayo ndege ni sambamba na makali na uhakika LAKINI?

Jibu: Uso ni sambamba na ndege ya wasifu. Tunaweka uhakika kwenye makadirio ya wasifu a'' .

Mwalimu: Ni kwa makadirio gani uso unaonyeshwa kwenye ukingo?

Jibu: Kwa mbele na kwa usawa. Wacha tuchore mstari wa uunganisho wa usawa kwenye makutano na makali ya wima upande wa kushoto kwenye makadirio ya mbele, tunapata uhakika. a' .

Mwalimu: Jinsi ya kupata makadirio ya uhakika LAKINI kwenye makadirio ya mlalo? Baada ya yote, mistari ya mawasiliano kutoka kwa makadirio ya pointi a' na a'' usiingiliane na makadirio ya uso (makali) kwenye makadirio ya usawa upande wa kushoto. Ni nini kinachoweza kutusaidia?

Jibu: Unaweza kutumia mstari wa moja kwa moja wa mara kwa mara (huamua nafasi ya mtazamo upande wa kushoto) kutoka a'' chora mstari wa wima wa mawasiliano hadi uingie na mstari wa moja kwa moja wa mara kwa mara. Kutoka kwenye hatua ya makutano, mstari wa usawa wa mawasiliano hutolewa, mpaka unaingiliana na makali ya wima upande wa kushoto. (Huu ni uso ulio na nukta A) na inaashiria makadirio na uhakika a .

2) Mwalimu: Kila mtu ana kadi ya kazi kwenye meza, na karatasi ya kufuatilia imeunganishwa. Fikiria mchoro, sasa jaribu peke yako, bila kuchora tena makadirio, kupata makadirio yaliyopewa ya alama kwenye mchoro.

- Tafuta katika kitabu uk 76 mtini. 93. Jipime. Ambao walifanya vizuri - alama "5" "; kosa moja - ''4''; mbili - ''3''.

(Daraja zimewekwa na wanafunzi wenyewe kwenye karatasi ya kujidhibiti).

- Kusanya kadi kwa majaribio.

3)Kazi za kikundi: Muda mdogo: 4min. + 2 dakika. hundi. (Madawati mawili yenye wanafunzi yameunganishwa, na kiongozi anachaguliwa ndani ya kikundi).

Kwa kila kikundi, kazi zinagawanywa katika viwango 3. Wanafunzi huchagua kazi kwa viwango, (kama wanavyotaka). Kutatua matatizo katika ujenzi wa pointi. Jadili ujenzi chini ya usimamizi wa kiongozi. Kisha jibu sahihi linaonyeshwa kwenye ubao kwa msaada wa codoscope. Kila mtu anakagua ikiwa alama zimekadiriwa kwa usahihi. Kwa msaada wa kiongozi wa kikundi, alama zinatolewa kwenye kazi na katika karatasi za kujidhibiti (ona. Kiambatisho 2 na Kiambatisho cha 3 ).

KISIMA CHA KUOKOA AFYA. TAFAKARI

"Nafasi ya Farao"- kaa kwenye ukingo wa kiti, nyoosha mgongo wako, piga mikono yako kwenye viwiko, vuka miguu yako na uvae vidole vyako. Inhale, kaza misuli yote ya mwili wakati unashikilia pumzi, exhale. Fanya mara 2-3. Funga macho yako kwa ukali, kwa nyota, fungua. Weka alama kwenye hali yako.

HATUA YA III. SEHEMU YA UTENDAJI. (Kazi za mtu binafsi)

Kuna kadi za kazi za kuchagua zenye viwango tofauti. Wanafunzi huchagua chaguo lao wenyewe. Tafuta makadirio ya alama kwenye uso wa kitu. Kazi hukabidhiwa na kutathminiwa kwa somo linalofuata. (Sentimita. Kiambatisho cha 4 , Kiambatisho cha 5 , Kiambatisho 6 ).

HATUA YA IV. MWISHO

1) Kazi ya nyumbani. (Maelekezo). Inatekelezwa na viwango:

B - uelewa, juu ya "3". Zoezi 1 mtini. 94a ukurasa wa 77 - kulingana na mgawo katika kitabu cha maandishi: kamilisha makadirio yaliyokosekana ya alama kwenye makadirio haya.

B - maombi, juu ya "4". Zoezi la 1 Kielelezo 94 a, b. kamilisha makadirio yaliyokosekana na uweke alama kwenye vipeo kwenye taswira inayoonekana katika 94a na 94b.

A - uchambuzi, juu ya "5". (Kuongezeka kwa ugumu.) Kwa mfano. 4 tini.97 - jenga makadirio yaliyokosekana ya pointi na uwateue kwa barua. Hakuna picha inayoonekana.

2)Uchambuzi wa kutafakari.

1. Amua mhemko mwishoni mwa somo, weka alama kwenye karatasi ya kujidhibiti na ishara yoyote.
2. Umejifunza nini kipya kwenye somo la leo?
3. Je, ni aina gani ya kazi iliyo bora zaidi kwako: kikundi, mtu binafsi na ungependa irudiwe katika somo linalofuata?
4. Kusanya orodha za ukaguzi.

3)"Mwalimu mbaya"

Mwalimu: Umejifunza jinsi ya kujenga makadirio ya wima, kingo, nyuso na pointi kwenye uso wa kitu, kufuata sheria zote za ujenzi. Lakini hapa ulipewa kuchora, ambapo kuna makosa. Sasa jaribu mwenyewe kama mwalimu. Pata makosa mwenyewe, ikiwa unapata makosa yote 8-6, basi alama ni "5", kwa mtiririko huo; Makosa 5-4 - "4", makosa 3 - "3".

Majibu:

Fikiria ndege ya wasifu wa makadirio. Makadirio kwenye ndege mbili za perpendicular kawaida huamua nafasi ya takwimu na kufanya iwezekanavyo kujua vipimo na sura yake halisi. Lakini kuna wakati makadirio mawili hayatoshi. Kisha kuomba ujenzi wa makadirio ya tatu.

Ndege ya makadirio ya tatu inafanywa ili iwe perpendicular kwa ndege zote mbili za makadirio kwa wakati mmoja (Mchoro 15). Ndege ya tatu inaitwa wasifu.

Katika ujenzi huo, mstari wa kawaida wa ndege za usawa na za mbele huitwa mhimili X , mstari wa kawaida wa ndege za usawa na wasifu - mhimili katika , na mstari wa kawaida wa moja kwa moja wa ndege za mbele na za wasifu - mhimili z . Nukta O, ambayo ni ya ndege zote tatu, inaitwa uhakika wa asili.

Kielelezo 15a kinaonyesha jambo LAKINI na makadirio yake matatu. Makadirio kwenye ndege ya wasifu ( a) zinaitwa makadirio ya wasifu na kuashiria a.

Ili kupata mchoro wa hatua A, ambayo ina makadirio matatu a, a, ni muhimu kukata trihedron iliyoundwa na ndege zote pamoja na mhimili y (Mchoro 15b) na kuchanganya ndege hizi zote na ndege ya makadirio ya mbele. Ndege ya usawa lazima izungushwe kuhusu mhimili X, na ndege ya wasifu iko karibu na mhimili z katika mwelekeo ulioonyeshwa na mshale kwenye Mchoro 15.

Kielelezo 16 kinaonyesha nafasi ya makadirio a, a na a pointi LAKINI, iliyopatikana kutokana na kuchanganya ndege zote tatu na ndege ya kuchora.

Kama matokeo ya kukatwa, mhimili wa y hutokea kwenye mchoro katika sehemu mbili tofauti. Kwenye ndege ya usawa (Mchoro 16), inachukua nafasi ya wima (perpendicular kwa mhimili X), na kwenye ndege ya wasifu - usawa (perpendicular kwa mhimili z).

Kielelezo 16 kinaonyesha makadirio matatu a, a na a Pointi A zina msimamo uliowekwa wazi kwenye mchoro na ziko chini ya hali ngumu:

a na a lazima iwe iko kwenye mstari mmoja wima ulio sawa perpendicular kwa mhimili X;

a na a lazima iwe iko kwenye mstari sawa wa usawa perpendicular kwa mhimili z;

3) inapotolewa kupitia makadirio ya usawa na mstari wa usawa, lakini kupitia makadirio ya wasifu. a- mstari wa moja kwa moja wa wima, mistari iliyojengwa itaingiliana kwenye sehemu ya pembeni ya pembe kati ya shoka za makadirio, kwani takwimu Oa katika a 0 a n ni mraba.

Wakati wa kujenga makadirio matatu ya uhakika, ni muhimu kuangalia utimilifu wa masharti yote matatu kwa kila nukta.

Viratibu vya pointi

Nafasi ya hatua katika nafasi inaweza kuamua kwa kutumia nambari tatu zinazoitwa yake kuratibu. Kila kuratibu inalingana na umbali wa hatua kutoka kwa ndege fulani ya makadirio.

Umbali wa uhakika LAKINI kwa ndege ya wasifu ndio kuratibu X, ambapo X = a˝A(Mchoro 15), umbali wa ndege ya mbele - kwa kuratibu y, na y = aa, na umbali wa ndege ya usawa ni kuratibu z, ambapo z = aA.

Katika Mchoro wa 15, hatua A inachukua upana wa sanduku la mstatili, na vipimo vya sanduku hili vinafanana na kuratibu za hatua hii, yaani, kila moja ya kuratibu imewasilishwa kwenye Mchoro 15 mara nne, yaani:

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

Kwenye mchoro (Mchoro 16), viwianishi vya x na z hutokea mara tatu:

x \u003d a z a ́ \u003d Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Sehemu zote zinazolingana na kuratibu X(au z) ziko sambamba kwa kila mmoja. Kuratibu katika inawakilishwa mara mbili na mhimili wima:

y \u003d Oa y \u003d a x a

na mara mbili - iko kwa usawa:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Tofauti hii ilionekana kutokana na ukweli kwamba mhimili wa y upo kwenye mchoro katika nafasi mbili tofauti.

Ikumbukwe kwamba nafasi ya kila makadirio imedhamiriwa kwenye mchoro na kuratibu mbili tu, ambazo ni:

1) usawa - kuratibu X na katika,

2) mbele - kuratibu x na z,

3) wasifu - kuratibu katika na z.

Kutumia kuratibu x, y na z, unaweza kujenga makadirio ya uhakika kwenye mchoro.

Ikiwa nukta A imetolewa na kuratibu, rekodi zao hufafanuliwa kama ifuatavyo: A ( X; y; z).

Wakati wa kujenga makadirio ya uhakika LAKINI masharti yafuatayo lazima yakaguliwe:

1) makadirio ya usawa na ya mbele a na a X X;

2) makadirio ya mbele na ya wasifu a na a inapaswa kuwa iko kwenye perpendicular sawa kwa mhimili z, kwa kuwa wana uratibu wa pamoja z;

3) makadirio ya usawa na pia kuondolewa kutoka kwa mhimili X, kama makadirio ya wasifu a mbali na mhimili z, kwa kuwa makadirio a′ na a˝ yana uratibu wa pamoja katika.

Ikiwa hatua iko katika ndege yoyote ya makadirio, basi moja ya kuratibu zake ni sawa na sifuri.

Wakati hatua iko kwenye mhimili wa makadirio, kuratibu zake mbili ni sifuri.

Ikiwa nukta iko kwenye asili, viwianishi vyake vyote vitatu ni sifuri.

Makadirio ya mstari wa moja kwa moja

Pointi mbili zinahitajika ili kufafanua mstari. Hatua inaelezwa na makadirio mawili kwenye ndege za usawa na za mbele, yaani, mstari wa moja kwa moja umeamua kwa kutumia makadirio ya pointi zake mbili kwenye ndege za usawa na za mbele.

Kielelezo cha 17 kinaonyesha makadirio ( a na a, b na b) pointi mbili LAKINI na B. Kwa msaada wao, nafasi ya mstari fulani wa moja kwa moja AB. Wakati wa kuunganisha makadirio ya jina moja ya alama hizi (i.e. a na b, a na b) unaweza kupata makadirio ab na ab moja kwa moja AB.

Mchoro wa 18 unaonyesha makadirio ya pointi zote mbili, na Mchoro 19 unaonyesha makadirio ya mstari wa moja kwa moja unaopita kati yao.

Ikiwa makadirio ya mstari wa moja kwa moja yamedhamiriwa na makadirio ya vidokezo vyake viwili, basi yanaonyeshwa na herufi mbili za Kilatini zilizo karibu zinazolingana na muundo wa makadirio ya alama zilizochukuliwa kwenye mstari wa moja kwa moja: kwa viboko kuashiria makadirio ya mbele. mstari wa moja kwa moja au bila viboko - kwa makadirio ya usawa.

Ikiwa hatuzingatii vidokezo vya mtu binafsi vya mstari wa moja kwa moja, lakini makadirio yake kwa ujumla, basi makadirio haya yanaonyeshwa kwa nambari.

Ikiwa hatua fulani Na iko kwenye mstari ulionyooka AB, makadirio yake с na с́ yapo kwenye makadirio ya mstari mmoja ab na ab. Kielelezo cha 19 kinaonyesha hali hii.

Athari za moja kwa moja

kufuatilia moja kwa moja- hii ni hatua ya makutano yake na baadhi ya ndege au uso (Mchoro 20).

Wimbo mlalo moja kwa moja hatua fulani inaitwa H ambapo mstari hukutana na ndege ya usawa, na mbele- nukta V, ambayo mstari huu wa moja kwa moja hukutana na ndege ya mbele (Mchoro 20).

Mchoro 21a unaonyesha ufuatiliaji wa mlalo wa mstari ulionyooka, na alama yake ya mbele, katika Mchoro 21b.

Wakati mwingine ufuatiliaji wa wasifu wa mstari wa moja kwa moja pia huzingatiwa, W- hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege ya wasifu.

Ufuatiliaji wa mlalo uko kwenye ndege iliyo mlalo, i.e. makadirio yake ya mlalo. h sanjari na kuwaeleza hii, na ya mbele h iko kwenye mhimili wa x. Ufuatiliaji wa mbele upo kwenye ndege ya mbele, kwa hivyo makadirio yake ya mbele ν́ yanapatana nayo, na v ya mlalo iko kwenye mhimili wa x.

Kwa hiyo, H = h, na V= v. Kwa hiyo, ili kuashiria athari za mstari wa moja kwa moja, barua zinaweza kutumika h na v.

Nafasi mbalimbali za mstari

Mstari wa moja kwa moja unaitwa msimamo wa jumla wa moja kwa moja, ikiwa si sambamba au perpendicular kwa yoyote ya ndege ya makadirio. Makadirio ya mstari katika nafasi ya jumla pia si sambamba au perpendicular kwa shoka za makadirio.

Mistari iliyonyooka ambayo inafanana na moja ya ndege za makadirio (perpendicular kwa moja ya shoka). Mchoro wa 22 unaonyesha mstari wa moja kwa moja unaofanana na ndege ya usawa (perpendicular to z-axis), ni mstari wa moja kwa moja wa usawa; mchoro wa 23 unaonyesha mstari ulionyooka ambao ni sambamba na ndege ya mbele (perpendicular kwa mhimili katika), ni mstari wa mbele wa moja kwa moja; takwimu 24 inaonyesha mstari wa moja kwa moja unaofanana na ndege ya wasifu (perpendicular kwa mhimili X), ni mstari wa moja kwa moja wa wasifu. Licha ya ukweli kwamba kila moja ya mistari hii huunda pembe ya kulia na moja ya shoka, haziingilii, lakini huingiliana nayo tu.

Kutokana na ukweli kwamba mstari wa usawa (Kielelezo 22) ni sawa na ndege ya usawa, makadirio yake ya mbele na ya wasifu yatakuwa sawa na axes ambayo hufafanua ndege ya usawa, yaani, axes. X na katika. Kwa hiyo makadirio ab|| X na a˝b˝|| katika z. Makadirio ya mlalo ab yanaweza kuchukua nafasi yoyote kwenye njama.

Katika mstari wa mbele (Mchoro 23) makadirio ab| x na a˝b˝ || z, yaani wao ni perpendicular kwa mhimili katika, na kwa hiyo katika kesi hii makadirio ya mbele ab mstari unaweza kuchukua nafasi yoyote.

Kwenye mstari wa wasifu (Mchoro 24) ab|| y, ab|| z, na zote mbili ziko kwenye mhimili wa x. Makadirio a˝b˝ inaweza kuwekwa kwenye mchoro kwa njia yoyote.

Unapozingatia ndege ambayo inapanga mstari wa mlalo kwenye ndege ya mbele (Mchoro 22), unaweza kuona kwamba inaweka mstari huu kwenye ndege ya wasifu pia, yaani, ni ndege inayoweka mstari kwenye ndege mbili za makadirio mara moja - ya mbele na wasifu. Kwa sababu hii inaitwa ndege inayoonyesha mara mbili. Kwa njia hiyo hiyo, kwa mstari wa mbele (Mchoro 23), ndege inayojitokeza mara mbili huiweka kwenye ndege za makadirio ya usawa na ya wasifu, na kwa wasifu (Mchoro 23) - kwenye ndege za makadirio ya usawa na ya mbele. .

Makadirio mawili hayawezi kufafanua mstari wa moja kwa moja. Makadirio mawili 1 na moja mstari wa moja kwa moja wa wasifu (Mchoro 25) bila kutaja makadirio ya pointi mbili za mstari huu wa moja kwa moja juu yao haitaamua nafasi ya mstari huu wa moja kwa moja katika nafasi.

Katika ndege ambayo ni sawa na ndege mbili zilizopewa za ulinganifu, kunaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya mistari ambayo data kwenye mchoro 1 na moja ni makadirio yao.

Ikiwa hatua iko kwenye mstari, basi makadirio yake katika hali zote ziko kwenye makadirio ya jina moja kwenye mstari huu. Hali kinyume sio kweli kila wakati kwa mstari wa wasifu. Kwa makadirio yake, unaweza kuonyesha kiholela makadirio ya hatua fulani na usiwe na uhakika kwamba hatua hii iko kwenye mstari fulani.

Katika kesi zote tatu maalum (Kielelezo 22, 23 na 24), nafasi ya mstari wa moja kwa moja kwa heshima na ndege ya makadirio ni sehemu yake ya kiholela. AB, iliyochukuliwa kwenye kila mstari wa moja kwa moja, inaonyeshwa kwenye mojawapo ya ndege za makadirio bila kuvuruga, yaani, kwenye ndege ambayo ni sambamba. Sehemu ya mstari AB mstari ulionyooka wa mlalo (Mchoro 22) unatoa makadirio ya ukubwa wa maisha kwenye ndege iliyo mlalo ( ab = AB); sehemu ya mstari AB mstari wa mbele wa moja kwa moja (Mchoro 23) - kwa ukubwa kamili kwenye ndege ya ndege ya mbele V ( ab = AB) na sehemu AB mstari wa moja kwa moja wa wasifu (Mchoro 24) - kwa ukubwa kamili kwenye ndege ya wasifu W (a˝b˝\u003d AB), i.e. inawezekana kupima saizi halisi ya sehemu kwenye mchoro.

Kwa maneno mengine, kwa msaada wa michoro, mtu anaweza kuamua vipimo vya asili vya pembe ambazo mstari unaozingatiwa huunda na ndege za makadirio.

Pembe ambayo mstari wa moja kwa moja hufanya na ndege ya usawa H, ni desturi kuashiria barua α, na ndege ya mbele - barua β, na ndege ya wasifu - barua γ.

Yoyote ya mistari ya moja kwa moja inayozingatiwa haina athari kwenye ndege inayofanana nayo, yaani, mstari wa moja kwa moja wa usawa hauna ufuatiliaji wa usawa (Mchoro 22), mstari wa moja kwa moja wa mbele hauna mwelekeo wa mbele (Mchoro 23), na wasifu. mstari wa moja kwa moja hauna ufuatiliaji wa wasifu (Mchoro 24).