Jinsi ya kupata denominator ya maendeleo ya kijiometri. Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri

MFUATA WA NAMBA VI

§ l48. Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana

Hadi sasa, tunapozungumza juu ya hesabu, kila wakati tumekuwa tukifikiria kuwa idadi ya maneno katika hesabu hizi ni ya mwisho (kwa mfano, 2, 15, 1000, nk). Lakini wakati wa kutatua shida fulani (haswa hisabati ya juu) mtu anapaswa kushughulika na hesabu za idadi isiyo na kikomo ya masharti

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Kiasi gani hizi? A-kipaumbele jumla ya idadi isiyo na kikomo ya masharti a 1 , a 2 , ..., a n , ... inaitwa kikomo cha jumla S n kwanza P nambari wakati P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Kikomo (2), bila shaka, kinaweza kuwepo au kisiwepo. Kwa hiyo, wanasema kwamba jumla (1) ipo au haipo.

Tunawezaje kujua kama jumla (1) ipo katika kila kisa mahususi? Uamuzi wa pamoja Suala hili linakwenda mbali zaidi ya upeo wa programu yetu. Hata hivyo, kuna moja muhimu kesi maalum, ambayo sasa tunapaswa kuzingatia. Tutazungumza juu ya muhtasari wa masharti ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana.

Hebu a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ni ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Hii ina maana kwamba | q |< 1. Сумма первых P masharti ya maendeleo haya ni sawa

Kutoka kwa nadharia kuu kuhusu mipaka vigezo(tazama § 136) tunapata:

Lakini 1 = 1, a qn = 0. Kwa hiyo

Kwa hivyo, jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ni sawa na muhula wa kwanza wa mwendelezo huu ukigawanywa na denominator moja toa ya mwendelezo huu.

1) Jumla ya maendeleo ya kijiometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ni sawa na

na jumla ya maendeleo ya kijiometri ni 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sawa

2) Rahisi sehemu ya mara kwa mara 0.454545 ... kubadilisha kwa kawaida.

Ili kutatua tatizo hili, hebu fikiria sehemu iliyotolewa kama jumla isiyo na kikomo:

Sehemu ya kulia Usawa huu ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 45/100, na denominator ni 1/100. Ndiyo maana

Kutumia njia iliyoelezwa, inaweza pia kupatikana kanuni ya jumla ubadilishaji wa sehemu rahisi za muda hadi za kawaida (tazama Sura ya II, § 38):

Ili kubadilisha sehemu rahisi ya upimaji kuwa sehemu ya kawaida, unahitaji kufanya yafuatayo: weka kipindi kwenye nambari Nukta, na kipunguzo ni nambari inayojumuisha nasaba zilizochukuliwa mara nyingi kama kuna tarakimu katika kipindi cha sehemu ya desimali.

3) Badilisha sehemu iliyochanganywa ya upimaji 0.58333 .... kuwa sehemu ya kawaida.

Wacha tufikirie sehemu hii kama jumla isiyo na kikomo:

Kwa upande wa kulia wa usawa huu, maneno yote, kuanzia 3/1000, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, muda wa kwanza ambao ni sawa na 3/1000, na denominator ni 1/10. Ndiyo maana

Kwa kutumia njia iliyoelezwa, kanuni ya jumla ya kubadilisha sehemu zilizochanganywa za upimaji kuwa sehemu za kawaida zinaweza kupatikana (tazama Sura ya II, § 38). Kwa makusudi hatuiwasilishi hapa. Hakuna haja ya kukumbuka sheria hii ngumu. Ni muhimu zaidi kujua kwamba sehemu yoyote ya muda iliyochanganyika inaweza kuwakilishwa kama jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na nambari fulani. Na formula

kwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, lazima, bila shaka, ukumbuke.

Kama zoezi, tunashauri kwamba wewe, pamoja na shida Nambari 995-1000 zilizopewa hapa chini, ugeuke tena kwa shida Nambari 301 § 38.

Mazoezi

995. Ni nini kinachoitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana?

996. Pata hesabu za maendeleo ya kijiometri yanayopungua sana:

997. Kwa maadili gani X maendeleo

inapungua bila kikomo? Pata jumla ya maendeleo kama haya.

998.V pembetatu ya usawa na upande A pembetatu mpya imeandikwa kwa kuunganisha katikati ya pande zake; pembetatu mpya imeandikwa katika pembetatu hii kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum.

a) jumla ya mizunguko ya pembetatu hizi zote;

b) jumla ya maeneo yao.

999. Mraba na upande A iliyoandikwa kwa kuunganisha sehemu za katikati za pande zake mraba mpya; mraba umeandikwa katika mraba huu kwa njia ile ile, na kadhalika ad infinitum. Tafuta jumla ya mizunguko ya miraba hii yote na jumla ya maeneo yao.

1000. Tunga ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hivi kwamba jumla yake ni sawa na 25/4, na jumla ya miraba ya masharti yake ni sawa na 625/24.

Nambari hii inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri, yaani, kila neno hutofautiana na la awali kwa mara q. (Tutafikiri kwamba q ≠ 1, vinginevyo kila kitu ni kidogo sana). Si vigumu kuona hilo formula ya jumla muda wa nth wa maendeleo ya kijiometri b n = b 1 q n - 1; masharti na nambari b n na b m hutofautiana kwa mara q n - m.

Tayari ndani Misri ya Kale hakujua hesabu tu, bali pia maendeleo ya kijiometri. Hapa, kwa mfano, kuna tatizo kutoka kwa mafunjo ya Rhind: “Nyuso saba zina paka saba; Kila paka hula panya saba, kila panya hula masuke saba ya nafaka, na kila suke la shayiri linaweza kukua vipimo saba vya shayiri. Nambari katika mfululizo huu ni kubwa kiasi gani na jumla yake?

Mchele. 1. Tatizo la maendeleo ya kijiometri ya Misri ya kale

Kazi hii ilirudiwa mara nyingi kwa tofauti tofauti kati ya watu wengine kwa nyakati zingine. Kwa mfano, katika maandishi katika karne ya 13. "Kitabu cha Abacus" kilichoandikwa na Leonardo wa Pisa (Fibonacci) kina shida ambapo wanawake wazee 7 huonekana wakienda Roma (bila shaka mahujaji), ambao kila mmoja wao ana nyumbu 7, kila mmoja akiwa na mifuko 7, ambayo kila mmoja wao ana nyumbu 7. ina mikate 7, ambayo kila moja ina visu 7, ambayo kila moja ina sheath 7. Tatizo linauliza kuna vitu vingapi.

Jumla ya masharti ya n ya kwanza ya maendeleo ya kijiometri S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Fomula hii inaweza kuthibitishwa, kwa mfano, kama hii: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Ongeza nambari b 1 q n hadi S n na upate:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q.

Kutoka hapa S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), na tunapata formula muhimu.

Tayari kwenye moja ya vidonge vya udongo Babeli ya Kale kuanzia karne ya 6. BC e., ina jumla ya 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Ni kweli, kama katika visa vingine vingi, hatujui jinsi ukweli huu ulivyojulikana kwa Wababiloni. .

Kuongezeka kwa kasi kwa maendeleo ya kijiometri katika tamaduni kadhaa, haswa katika Kihindi, hutumiwa mara kwa mara kama ishara ya kuona ya ukubwa wa ulimwengu. Katika hadithi maarufu juu ya kuonekana kwa chess, mtawala humpa mvumbuzi wake fursa ya kuchagua tuzo mwenyewe, na anauliza idadi ya nafaka za ngano ambazo zitapatikana ikiwa moja itawekwa kwenye mraba wa kwanza wa chessboard, mbili juu. pili, nne kwa tatu, nane kwa nne, na nk, kila wakati idadi inaongezeka mara mbili. Vladyka alifikiri kwamba zaidi tulikuwa tunazungumza juu ya mifuko michache, lakini alihesabu vibaya. Ni rahisi kuona kwamba kwa miraba yote 64 ya chessboard mvumbuzi angepaswa kupokea nafaka (2 64 - 1), ambayo inaonyeshwa kama nambari ya tarakimu 20; hata ukipanda uso mzima wa Dunia, itachukua angalau miaka 8 kukusanya kiasi kinachohitajika nafaka Hadithi hii wakati mwingine inafasiriwa kama inayoonyesha uwezekano usio na kikomo uliofichwa katika mchezo wa chess.

Ni rahisi kuona kwamba nambari hii ina tarakimu 20:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (hesabu sahihi zaidi inatoa 1.84∙10 19). Lakini ninajiuliza ikiwa unaweza kujua nambari hii inaisha na nambari gani?

Maendeleo ya kijiometri Inaweza kuongezeka ikiwa kipunguzo ni kikubwa kuliko 1 katika thamani kamili, au kupungua ikiwa ni chini ya moja. KATIKA kesi ya mwisho nambari q n kwa kubwa ya kutosha n inaweza kuwa ndogo kiholela. Ingawa ukuaji wa kijiometri unaoongezeka huongezeka haraka bila kutarajiwa, kupungua kwa maendeleo ya kijiometri hupungua haraka vile vile.

N kubwa zaidi, ni dhaifu zaidi nambari q n hutofautiana na sifuri, na karibu jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri S n = b 1 (1 - q n) / (1 - q) hadi nambari S = b 1 / ( 1-q). (Kwa mfano, F. Viet alisababu hivi). Nambari S inaitwa jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Walakini, kwa karne nyingi swali la nini maana ya muhtasari wa maendeleo YOTE ya kijiometri, pamoja na idadi isiyo na kikomo ya maneno, haikuwa wazi vya kutosha kwa wanahisabati.

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri kunaweza kuonekana, kwa mfano, katika aporias za Zeno "Nusu Division" na "Achilles and the Tortoise." Katika kesi ya kwanza, inaonyeshwa wazi kwamba barabara nzima (ikizingatiwa urefu 1) ni jumla ya idadi isiyo na kipimo ya sehemu 1/2, 1/4, 1/8, nk. Hii ni, bila shaka, ni nini. kutoka kwa mtazamo wa mawazo kuhusu kiasi cha mwisho maendeleo ya kijiometri usio na kipimo. Na bado - hii inawezaje kuwa?

Mchele. 2. Uendelezaji na mgawo wa 1/2

Katika aporia kuhusu Achilles, hali ni ngumu zaidi, kwa sababu hapa denominator ya maendeleo sio 1/2, lakini nambari nyingine. Hebu, kwa mfano, Achilles kukimbia kwa kasi v, kobe huenda kwa kasi u, na umbali wa awali kati yao ni l. Achilles itafunika umbali huu kwa wakati l/v, na wakati huu kobe atasonga umbali lu/v. Wakati Achilles anaendesha sehemu hii, umbali kati yake na kobe utakuwa sawa na l (u /v) 2, nk. Inabadilika kuwa kupatana na kobe kunamaanisha kupata jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana na muhula wa kwanza. l na dhehebu u /v. Jumla hii - sehemu ambayo Achilles hatimaye itakimbilia mahali pa mkutano na kobe - ni sawa na l / (1 - u /v) = lv / (v - u). Lakini, tena, jinsi ya kutafsiri matokeo haya na kwa nini ina maana yoyote haikuwa wazi sana kwa muda mrefu.

Mchele. 3. Maendeleo ya kijiometri na mgawo wa 2/3

Archimedes alitumia jumla ya maendeleo ya kijiometri kuamua eneo la sehemu ya parabola. Acha sehemu hii ya kiambatanisho itenganishwe na chord AB na acha tanjiti katika nukta D ya kiambatanisho ilingane na AB. Acha C iwe katikati ya AB, E katikati ya AC, F katikati ya CB. Hebu tuchore mistari sambamba na DC kupitia pointi A, E, F, B; Acha tanjiti inayochorwa kwenye nukta D ikatishe mistari hii kwa pointi K, L, M, N. Wacha pia tuchore sehemu za AD na DB. Hebu mstari wa EL uingie mstari wa AD kwenye hatua ya G, na parabola kwenye hatua H; line FM inakatiza mstari wa DB kwa uhakika Q, na parabola katika sehemu ya R. Kulingana na nadharia ya jumla sehemu za conic, DC - kipenyo cha parabola (yaani, sehemu inayofanana na mhimili wake); it na tanjiti katika nukta D inaweza kutumika kama shoka za kuratibu x na y, ambamo mlinganyo wa parabola umeandikwa kama y 2 = 2px (x ni umbali kutoka D hadi hatua yoyote ya kipenyo fulani, y ni urefu wa sehemu inayofanana na tangent iliyotolewa kutoka hatua hii ya kipenyo hadi hatua fulani kwenye parabola yenyewe).

Kwa mujibu wa equation ya parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, na tangu DK = 2DL, basi KA = 4LH. Kwa sababu KA = 2LG, LH = HG. Eneo la sehemu ya ADB ya parabola ni sawa na eneo la pembetatu ΔADB na maeneo ya sehemu za AHD na DRB kwa pamoja. Kwa upande wake, eneo la sehemu ya AHD ni sawa na eneo la pembetatu AHD na sehemu zilizobaki AH na HD, na kila moja ambayo unaweza kufanya operesheni sawa - imegawanywa katika pembetatu (Δ) na. sehemu mbili zilizobaki (), nk.

Eneo la pembetatu ΔAHD ni sawa na nusu ya eneo la pembetatu ΔALD (zina msingi wa pamoja AD, na urefu hutofautiana kwa sababu ya 2), ambayo, kwa upande wake, ni sawa na nusu ya eneo la pembetatu ΔAKD, na kwa hiyo nusu ya eneo la pembetatu ΔACD. Kwa hivyo, eneo la pembetatu ΔAHD ni sawa na robo ya eneo la pembetatu ΔACD. Kadhalika, eneo la pembetatu ΔDRB ni sawa na robo moja ya eneo la pembetatu ΔDFB. Kwa hivyo, maeneo ya pembetatu ΔAHD na ΔDRB, zilizochukuliwa pamoja, ni sawa na robo ya eneo la pembetatu ΔADB. Kurudia operesheni hii inapotumika kwa sehemu AH, HD, DR na RB itachagua pembetatu kutoka kwao, eneo ambalo, likichukuliwa pamoja, litakuwa chini ya mara 4 kuliko eneo la pembetatu ΔAHD na ΔDRB, ikichukuliwa pamoja, na. kwa hivyo mara 16 chini, kuliko eneo la pembetatu ΔADB. Nakadhalika:

Hivyo, Archimedes alithibitisha kwamba “kila sehemu iliyo kati ya mstari ulionyooka na parabola hufanyiza theluthi nne ya pembetatu yenye msingi uleule na urefu sawa.”

>> Hisabati: Maendeleo ya kijiometri

Kwa urahisi wa msomaji, aya hii imeundwa sawasawa na mpango uleule tuliofuata katika aya iliyotangulia.

1. Dhana za msingi.

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari, wanachama wote ambao ni tofauti na 0 na kila mwanachama ambaye, kuanzia pili, hupatikana kutoka kwa mwanachama uliopita kwa kuzidisha kwa idadi sawa inaitwa maendeleo ya kijiometri. Katika kesi hii, nambari ya 5 inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Kwa hivyo, maendeleo ya kijiometri ni mlolongo wa nambari (b n) unaoelezwa mara kwa mara na mahusiano

Inawezekana kuangalia mlolongo wa nambari na kuamua ikiwa ni maendeleo ya kijiometri? Je! Ikiwa una hakika kwamba uwiano wa mwanachama yeyote wa mlolongo kwa mwanachama wa awali ni mara kwa mara, basi una maendeleo ya kijiometri.
Mfano 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Mfano 2.

Hii ni maendeleo ya kijiometri ambayo ina
Mfano 3.

Hii ni maendeleo ya kijiometri ambayo ina
Mfano 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Huu ni maendeleo ya kijiometri ambayo b 1 - 8, q = 1.

Kumbuka kwamba mlolongo huu pia ni maendeleo ya hesabu (angalia mfano 3 kutoka § 15).

Mfano 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Hii ni maendeleo ya kijiometri ambayo b 1 = 2, q = -1.

Ni wazi, maendeleo ya kijiometri ni mlolongo unaoongezeka ikiwa b 1 > 0, q > 1 (tazama mfano 1), na mlolongo unaopungua ikiwa b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Ili kuonyesha kwamba mlolongo (b n) ni maendeleo ya kijiometri, nukuu ifuatayo wakati mwingine ni rahisi:

Ikoni inachukua nafasi ya maneno "mwendelezo wa kijiometri".
Wacha tuangalie mali moja ya kushangaza na wakati huo huo dhahiri kabisa ya maendeleo ya kijiometri:
Ikiwa mlolongo ni maendeleo ya kijiometri, kisha mlolongo wa mraba, i.e. ni maendeleo ya kijiometri.
Katika maendeleo ya pili ya kijiometri, muhula wa kwanza ni sawa na na sawa na q 2.
Ikiwa katika maendeleo ya kijiometri tunatupa masharti yote yafuatayo b n , tunapata maendeleo ya kijiometri yenye mwisho
Katika aya zaidi za aya hii tutazingatia zaidi mali muhimu maendeleo ya kijiometri.

2. Mfumo wa muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri.

Fikiria maendeleo ya kijiometri dhehebu q. Tuna:

Sio ngumu kudhani kuwa kwa nambari yoyote n usawa ni kweli

Hii ndiyo fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri.

Maoni.

Ukisoma kumbuka muhimu kutoka kwa aya iliyotangulia na uielewe, kisha jaribu kuthibitisha fomula (1) kwa kutumia njia induction ya hisabati sawa na yale yaliyofanywa kwa fomula ya muhula wa nth maendeleo ya hesabu.

Wacha tuandike upya fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri

na tambulisha nukuu: Tunapata y = mq 2, au, kwa undani zaidi,
Hoja x iko katika kipeo, kwa hivyo chaguo hili la kukokotoa linaitwa kitendakazi cha kielelezo. Hii ina maana kwamba uendelezaji wa kijiometri unaweza kuchukuliwa kama kipengele cha kukokotoa kinachofafanuliwa kwenye seti ya N ya nambari asilia. Katika Mtini. 96a inaonyesha grafu ya kazi Mtini. 966 - grafu ya kazi Katika visa vyote viwili tunayo pointi pekee(pamoja na abscissas x = 1, x = 2, x = 3, nk) amelala kwenye curve fulani (takwimu zote mbili zinaonyesha curve sawa, ziko tofauti tu na zimeonyeshwa kwenye mizani tofauti). Mviringo huu unaitwa mkunjo wa kielelezo. Soma zaidi kuhusu utendaji wa kielelezo na ratiba yake tutazungumza katika kozi ya algebra ya daraja la 11.

Wacha turudi kwenye mifano 1-5 kutoka kwa aya iliyotangulia.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Huu ni maendeleo ya kijiometri ambayo b 1 = 1, q = 3. Hebu tuunde fomula ya neno la nth.
2) Huu ni mwendelezo wa kijiometri ambao Hebu tuunde fomula ya muhula wa nth

Hii ni maendeleo ya kijiometri ambayo ina Wacha tuunde fomula ya muhula wa nth
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Huu ni maendeleo ya kijiometri ambayo b 1 = 8, q = 1. Hebu tuunde fomula ya neno la nth.
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Hii ni maendeleo ya kijiometri ambayo b 1 = 2, q = -1. Wacha tuunde fomula ya muhula wa nth

Mfano 6.

Kutokana na maendeleo ya kijiometri

Katika hali zote, suluhisho linategemea formula ya muda wa nth ya maendeleo ya kijiometri

a) Kuweka n = 6 katika formula kwa muda wa nth ya maendeleo ya kijiometri, tunapata

b) Tunayo

Tangu 512 = 2 9, tunapata n - 1 = 9, n = 10.

d) Tunayo

Mfano 7.

Tofauti kati ya maneno ya saba na ya tano ya maendeleo ya kijiometri ni 48, jumla ya masharti ya tano na ya sita ya maendeleo pia ni 48. Pata muda wa kumi na mbili wa maendeleo haya.

Hatua ya kwanza. Kuchora mfano wa hisabati.

Masharti ya shida yanaweza kuandikwa kwa ufupi kama ifuatavyo:

Kutumia fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri, tunapata:
Kisha hali ya pili ya tatizo (b 7 - b 5 = 48) inaweza kuandikwa kama

Hali ya tatu ya tatizo (b 5 + b 6 = 48) inaweza kuandikwa kama

Kama matokeo, tunapata mfumo wa equations mbili na vigezo viwili b 1 na q:

ambayo, pamoja na sharti 1) iliyoandikwa hapo juu, ni mfano wa hisabati kazi.

Awamu ya pili.

Kufanya kazi na modeli iliyokusanywa. Kusawazisha pande za kushoto za hesabu zote mbili za mfumo, tunapata:

(tuligawanya pande zote mbili za equation kwa usemi usio na sifuri b 1 q 4).

Kutoka kwa equation q 2 - q - 2 = 0 tunapata q 1 = 2, q 2 = -1. Kubadilisha thamani q = 2 kwenye equation ya pili ya mfumo, tunapata
Kubadilisha thamani q = -1 kwenye equation ya pili ya mfumo, tunapata b 1 1 0 = 48; equation hii haina suluhu.

Kwa hiyo, b 1 =1, q = 2 - jozi hii ni suluhisho la mfumo uliokusanywa wa equations.

Sasa tunaweza kuandika maendeleo ya kijiometri kuhusu ambayo tunazungumzia katika tatizo: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Hatua ya tatu.

Jibu la swali la tatizo. Unahitaji kuhesabu b 12. Tuna

Jibu: b 12 = 2048.

3. Mfumo wa jumla wa masharti ya maendeleo ya kijiometri yenye ukomo.

Hebu maendeleo ya kijiometri ya kikomo itolewe

Hebu tuonyeshe kwa S n jumla ya masharti yake, i.e.

Wacha tutoe fomula ya kupata kiasi hiki.

Hebu tuanze tangu mwanzo kesi rahisi, wakati q = 1. Kisha maendeleo ya kijiometri b 1, b 2, b 3,..., bn inajumuisha n namba sawa na b 1, i.e. mwendelezo unaonekana kama b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Jumla ya nambari hizi ni nb 1.

Hebu sasa q = 1 Ili kupata S n, tunatumia mbinu ya bandia: tunafanya mabadiliko fulani ya maneno S n q. Tuna:

Wakati wa kufanya mabadiliko, sisi, kwanza, tulitumia ufafanuzi wa maendeleo ya kijiometri, kulingana na ambayo (tazama mstari wa tatu wa hoja); pili, waliongeza na kupunguza, ndiyo maana maana ya usemi huo, bila shaka, haikubadilika (tazama mstari wa nne wa hoja); tatu, tulitumia fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya kijiometri:

Kutoka kwa formula (1) tunapata:

Hii ni fomula ya jumla ya masharti ya n ya maendeleo ya kijiometri (kwa kesi wakati q = 1).

Mfano 8.

Kwa kuzingatia maendeleo ya kijiometri yenye ukomo

a) jumla ya masharti ya maendeleo; b) jumla ya miraba ya masharti yake.

b) Hapo juu (tazama uk. 132) tayari tumebainisha kwamba ikiwa masharti yote ya maendeleo ya kijiometri yana mraba, basi tunapata maendeleo ya kijiometri na neno la kwanza b 2 na denominator q 2. Kisha jumla ya masharti sita ya maendeleo mapya yatahesabiwa na

Mfano 9.

Pata muhula wa 8 wa maendeleo ya kijiometri ambayo

Kwa kweli, tumethibitisha nadharia ifuatayo.

Mlolongo wa nambari ni maendeleo ya kijiometri ikiwa na tu ikiwa mraba wa kila masharti yake, isipokuwa kwa Theorem ya kwanza (na ya mwisho, katika kesi ya mlolongo wa mwisho), ni sawa na bidhaa ya maneno yaliyotangulia na yafuatayo ( mali ya tabia ya maendeleo ya kijiometri).

Wacha sasa tuzingatie swali la muhtasari wa maendeleo ya kijiometri isiyo na kikomo. Wacha tuite jumla ya sehemu ya maendeleo fulani isiyo na kikomo jumla ya istilahi zake za kwanza. Wacha tuonyeshe jumla ya sehemu kwa ishara

Kwa kila maendeleo yasiyo na mwisho

mtu anaweza kutunga mlolongo (pia usio na kikomo) wa kiasi chake cha jumla

Ruhusu mlolongo wenye ongezeko lisilo na kikomo uwe na kikomo

Katika kesi hii, nambari S, yaani, kikomo cha kiasi cha sehemu ya maendeleo, inaitwa jumla ya maendeleo yasiyo na kipimo. Tutathibitisha kwamba ukuaji wa kijiometri unaopungua usio na kipimo daima una jumla, na tutapata fomula ya jumla hii (tunaweza pia kuonyesha kwamba ikiwa maendeleo yasiyo na kikomo hayana jumla, haipo).

Wacha tuandike usemi wa jumla ya sehemu kama jumla ya masharti ya mwendelezo kwa kutumia fomula (91.1) na tuzingatie kikomo cha jumla cha sehemu katika

Kutoka kwa Theorem 89 inajulikana kuwa kwa maendeleo ya kupungua; kwa hivyo, kwa kutumia nadharia ya kikomo cha tofauti, tunapata

(hapa sheria pia hutumiwa: sababu ya mara kwa mara inachukuliwa zaidi ya ishara ya kikomo). Uwepo umethibitishwa, na wakati huo huo fomula ya jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana hupatikana:

Usawa (92.1) pia unaweza kuandikwa katika fomu

Inaweza kuonekana kuwa ya kushangaza hapa kwamba kiasi hicho nambari isiyo na kikomo masharti yamepewa thamani ya mwisho kabisa.

Kielelezo wazi kinaweza kutolewa kueleza hali hii. Fikiria mraba na upande sawa na moja(Mchoro 72). Gawanya mraba huu na mstari wa usawa katika sehemu mbili sawa na sehemu ya juu Itumie kwa chini ili mstatili utengenezwe na pande 2 na. Baada ya hayo, tutagawanya tena nusu sahihi ya mstatili huu kwa nusu na mstari wa usawa na kuunganisha sehemu ya juu hadi ya chini (kama inavyoonyeshwa kwenye Mchoro 72). Kwa kuendelea na mchakato huu, tunabadilika kila wakati mraba asili na eneo sawa na 1, katika takwimu za ukubwa sawa (kuchukua fomu ya staircase na hatua nyembamba).

Kwa mwendelezo usio na mwisho wa mchakato huu, eneo lote la mraba linatenganishwa kwa idadi isiyo na kikomo ya maneno - maeneo ya mistatili yenye besi sawa na 1 na urefu.

i.e. kama mtu angetarajia, sawa na eneo la mraba.

Mfano. Pata majumuisho ya hatua zifuatazo zisizo na kikomo:

Suluhisho, a) Tunaona kwamba maendeleo haya Kwa hiyo, kwa kutumia fomula (92.2) tunapata

b) Hapa ina maana kwamba kwa kutumia fomula ile ile (92.2) tuliyo nayo

c) Tunaona kwamba maendeleo haya hayana jumla.

Katika aya ya 5, matumizi ya fomula ya jumla ya masharti ya mwendo unaopungua sana hadi ubadilishaji wa sehemu ya desimali ya muda kuwa sehemu ya kawaida yalionyeshwa.

Mazoezi

1. Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana ni 3/5, na jumla ya maneno yake manne ya kwanza ni 13/27. Tafuta muhula wa kwanza na dhehebu la mwendelezo.

2. Tafuta nambari nne zinazounda mwendelezo wa kijiometri unaopishana, ambapo muhula wa pili ni chini ya ile ya kwanza kwa 35, na ya tatu ni kubwa kuliko ya nne kwa 560.

3. Onyesha kwamba ikiwa mlolongo

huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, kisha mlolongo

kwa yoyote, huunda ukuaji wa kijiometri unaopungua sana. Je kauli hii itakuwa kweli lini

Pata fomula ya bidhaa ya masharti ya maendeleo ya kijiometri.

Hisabati ni niniwatu hudhibiti asili na wao wenyewe.

Mwanahisabati wa Soviet, msomi A.N. Kolmogorov

Maendeleo ya kijiometri.

Pamoja na matatizo juu ya maendeleo ya hesabu, matatizo yanayohusiana na dhana ya maendeleo ya kijiometri pia ni ya kawaida katika mitihani ya kuingia katika hisabati. Kwa suluhisho la mafanikio Matatizo hayo yanahitaji ujuzi wa mali ya maendeleo ya kijiometri na ujuzi mzuri katika kutumia.

Makala hii imejitolea kwa uwasilishaji wa mali ya msingi ya maendeleo ya kijiometri. Mifano ya kutatua matatizo ya kawaida pia hutolewa hapa., zilizokopwa kutoka kwa kazi za mitihani ya kuingia katika hisabati.

Hebu tukumbuke kwanza mali ya msingi maendeleo ya kijiometri na kukumbuka zaidi fomula muhimu na kauli, kuhusishwa na dhana hii.

Ufafanuzi. Mlolongo wa nambari unaitwa uendelezaji wa kijiometri ikiwa kila nambari, kuanzia ya pili, ni sawa na ya awali, ikizidishwa na nambari sawa. Nambari inaitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Kwa maendeleo ya kijiometrifomula ni halali

, (1)

Wapi. Fomula (1) inaitwa fomula ya neno la jumla la maendeleo ya kijiometri, na fomula (2) inawakilisha sifa kuu ya maendeleo ya kijiometri: kila neno la maendeleo linapatana na maana ya kijiometri ya masharti ya jirani yake na.

Kumbuka, kwamba ni kwa sababu ya mali hii kwamba maendeleo katika swali inaitwa "kijiometri".

Fomula zilizo hapo juu (1) na (2) zimejumlishwa kama ifuatavyo:

, (3)

Ili kuhesabu kiasi kwanza wanachama wa maendeleo ya kijiometrifomula inatumika

Ikiwa tunaashiria, basi

Wapi. Kwa kuwa , fomula (6) ni jumla ya fomula (5).

Katika kesi wakati na maendeleo ya kijiometriinapungua sana. Ili kuhesabu kiasikwa masharti yote ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana, fomula hutumiwa

. (7)

Kwa mfano , kwa kutumia fomula (7) tunaweza kuonyesha, Nini

Wapi. Usawa huu unapatikana kutokana na fomula (7) chini ya masharti kwamba , (usawa wa kwanza) na , (usawa wa pili).

Nadharia. Ikiwa, basi

Ushahidi. Ikiwa, basi

Nadharia imethibitishwa.

Wacha tuendelee kuzingatia mifano ya kutatua shida kwenye mada "Maendeleo ya kijiometri".

Mfano 1. Imetolewa:, na. Tafuta .

Suluhisho. Ikiwa tutatumia fomula (5), basi

Jibu:.

Mfano 2. Liwe liwalo. Tafuta .

Suluhisho. Kwa kuwa na , tunatumia fomula (5), (6) na kupata mfumo wa milinganyo

Ikiwa equation ya pili ya mfumo (9) imegawanywa na ya kwanza, basi au. Inafuata kutoka kwa hii kwamba . Hebu tuchunguze kesi mbili.

1. Kama, basi kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo (9) tunayo.

2. Ikiwa, basi.

Mfano 3. Hebu, na. Tafuta .

Suluhisho. Kutoka kwa fomula (2) inafuata kwamba au . Tangu, basi au.

Kwa hali. Hata hivyo, kwa hiyo. Tangu na basi hapa tuna mfumo wa milinganyo

Ikiwa equation ya pili ya mfumo imegawanywa na ya kwanza, basi au.

Kwa kuwa, equation ina mzizi wa kipekee unaofaa. Katika kesi hii, inafuata kutoka kwa equation ya kwanza ya mfumo.

Kwa kuzingatia formula (7), tunapata.

Jibu:.

Mfano 4. Imetolewa: na. Tafuta .

Suluhisho. Tangu, basi.

Tangu, basi au

Kulingana na fomula (2) tunayo . Katika suala hili, kutoka kwa usawa (10) tunapata au .

Walakini, kwa hali, kwa hivyo.

Mfano 5. Inajulikana kuwa. Tafuta .

Suluhisho. Kulingana na nadharia, tuna usawa mbili

Tangu, basi au. Kwa sababu, basi.

Jibu:.

Mfano 6. Imetolewa: na. Tafuta .

Suluhisho. Kwa kuzingatia formula (5), tunapata

Tangu, basi. Tangu, na, basi.

Mfano 7. Liwe liwalo. Tafuta .

Suluhisho. Kulingana na fomula (1) tunaweza kuandika

Kwa hiyo, tuna au. Inajulikana kuwa na, kwa hivyo na.

Jibu:.

Mfano 8. Tafuta dhehebu ya ukuaji wa kijiometri unaopungua usio na mwisho ikiwa

Na.

Suluhisho. Kutoka kwa formula (7) inafuata Na . Kutoka hapa na kutoka kwa hali ya tatizo tunapata mfumo wa equations

Ikiwa equation ya kwanza ya mfumo ni mraba, na kisha ugawanye mlinganyo unaotokana na mlinganyo wa pili, basi tunapata

Au .

Jibu:.

Mfano 9. Pata maadili yote ambayo mlolongo , , ni maendeleo ya kijiometri.

Suluhisho. Hebu, na. Kwa mujibu wa formula (2), ambayo inafafanua mali kuu ya maendeleo ya kijiometri, tunaweza kuandika au.

Kuanzia hapa tunapata equation ya quadratic, ambao mizizi yake ni Na.

Wacha tuangalie: ikiwa, kisha , na ; ikiwa , basi , na .

Katika kesi ya kwanza tunayo na, na katika pili - na.

Jibu:,.

Mfano 10.Tatua mlinganyo

, (11)

wapi na.

Suluhisho. Upande wa kushoto wa mlingano (11) ni jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua usio na mwisho, ambapo na , chini ya: na .

Kutoka kwa formula (7) inafuata, Nini . Katika suala hili, equation (11) inachukua fomu au . Mzizi unaofaa mlinganyo wa quadratic ni

Jibu:.

Mfano 11. P uthabiti nambari chanya huunda maendeleo ya hesabu, A - maendeleo ya kijiometri, ina uhusiano gani na . Tafuta .

Suluhisho. Kwa sababu mlolongo wa hesabu, Hiyo (mali kuu ya maendeleo ya hesabu). Kwa sababu ya, basi au. Hii ina maana, kwamba maendeleo ya kijiometri ina fomu. Kulingana na formula (2), kisha tunaandika kwamba.

Tangu na, basi . Katika kesi hii, usemi inachukua fomu au. Kwa masharti, kwa hivyo kutoka kwa Eq.tunapata suluhu la kipekee kwa tatizo linalozingatiwa, i.e. .

Jibu:.

Mfano 12. Hesabu Jumla

. (12)

Suluhisho. Zidisha pande zote mbili za usawa (12) kwa 5 na upate

Ikiwa tutaondoa (12) kutoka kwa usemi unaosababishwa, Hiyo

au .

Ili kuhesabu, tunabadilisha thamani kwenye fomula (7) na kupata . Tangu, basi.

Jibu:.

Mifano ya kutatua matatizo iliyotolewa hapa itakuwa muhimu kwa waombaji katika kuandaa mitihani ya kuingia. Kwa utafiti wa kina wa njia za kutatua shida, kuhusiana na maendeleo ya kijiometri, inaweza kutumika vifaa vya kufundishia kutoka kwenye orodha ya fasihi iliyopendekezwa.

1. Mkusanyiko wa matatizo katika hisabati kwa waombaji wa vyuo / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Mir na Elimu, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Hisabati kwa wanafunzi wa shule ya upili: sehemu za ziada mtaala wa shule. - M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Kozi kamili hisabati ya msingi katika shida na mazoezi. Kitabu cha 2: Mlolongo wa nambari na maendeleo. - M.: Editus, 2015. - 208 p.

Bado una maswali?

Ili kupata msaada kutoka kwa mwalimu, jiandikishe.

tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.