Jinsi ya kupata derivative ya kazi kwa nguvu. Nyingine ya kitendakazi cha logarithmic

Uthibitisho na chimbuko la fomula za kinyambulisho cha kielelezo (e kwa nguvu ya x) na utendaji wa kielelezo(a kwa nguvu ya x). Mifano ya kukokotoa viasili vya e^2x, e^3x na e^nx. Michanganyiko ya viambajengo vya maagizo ya juu.

Nyingine ya kipeo ni sawa na kipeo chenyewe (kinyuzi cha e hadi nguvu ya x ni sawa na e kwa nguvu ya x):
(1) (e x )′ = e x.

Nyingine ya chaguo za kukokotoa za kielezio na msingi wa shahada a ni sawa na chaguo za kukokotoa zenyewe zikizidishwa logarithm asili kutoka kwa:
(2) .

Utoaji wa fomula ya kitoleo cha kielelezo, e hadi nguvu ya x

Kielelezo ni chaguo la kukokotoa la kielelezo ambalo msingi wake ni sawa na nambari e, ambayo ni kikomo kifuatacho:
.
Hapa inaweza kuwa ya asili na nambari halisi. Kisha, tunapata fomula (1) ya kitoleo cha kielelezo.

Utoaji wa fomula ya kielelezo cha derivati

Fikiria kielelezo, e kwa nguvu ya x:
y = e x .
Chaguo hili la kukokotoa limefafanuliwa kwa kila mtu. Wacha tupate derivative yake kwa heshima na kutofautisha x. Kwa ufafanuzi, derivative ni kikomo kifuatacho:
(3) .

Hebu tuubadilishe usemi huu ili tuupunguze kwa wanaojulikana sifa za hisabati na kanuni. Ili kufanya hivyo, tunahitaji ukweli ufuatao:
A) Sifa ya kielelezo:
(4) ;
B) Tabia ya logarithm:
(5) ;
NDANI) Mwendelezo wa logariti na mali ya mipaka kwa utendaji unaoendelea:
(6) .
Hapa kuna chaguo la kukokotoa ambalo lina kikomo na kikomo hiki ni chanya.
G) Maana ya kikomo cha pili cha kushangaza:
(7) .

Hebu tutumie ukweli huu kwa kikomo chetu (3). Tunatumia mali (4):
;
.

Hebu tufanye mbadala. Kisha; .
Kutokana na mwendelezo wa kielelezo,
.
Kwa hivyo, wakati,. Kama matokeo, tunapata:
.

Hebu tufanye mbadala. Kisha. Katika , . Na tunayo:
.

Wacha tutumie mali ya logarithm (5):
. Kisha
.

Hebu tuombe mali (6). Kwa kuwa kuna kikomo chanya na logarithm ni endelevu, basi:
.
Hapa pia tulitumia ya pili kikomo cha ajabu(7). Kisha
.

Kwa hivyo, tulipata fomula (1) ya derivative ya kielelezo.

Utoaji wa fomula ya kitoleo cha chaguo za kukokotoa za kipeo

Sasa tunapata fomula (2) ya kinyago cha chaguo za kukokotoa kielezio na msingi wa shahada a. Tunaamini hivyo na. Kisha kazi ya kielelezo
(8)
Imefafanuliwa kwa kila mtu.

Wacha tubadilishe fomula (8). Kwa hili tutatumia sifa za utendaji wa kielelezo na logarithm.
;
.
Kwa hivyo, tulibadilisha formula (8) kuwa fomu ifuatayo:
.

Viingilio vya mpangilio wa juu wa e hadi nguvu ya x

Sasa hebu tupate derivatives ya maagizo ya juu. Hebu tuangalie kielelezo kwanza:
(14) .
(1) .

Tunaona kwamba derivative ya kazi (14) ni sawa na kazi (14) yenyewe. Kutofautisha (1), tunapata derivatives ya mpangilio wa pili na wa tatu:
;
.

Hii inaonyesha kuwa derivative ya mpangilio wa nth pia ni sawa na kazi asilia:
.

Miigo ya maagizo ya juu ya utendaji wa kipeo

Sasa fikiria utendaji wa kielelezo na msingi wa shahada a:
.
Tulipata derivative ya agizo lake la kwanza:
(15) .

Kutofautisha (15), tunapata derivatives ya mpangilio wa pili na wa tatu:
;
.

Tunaona kwamba kila upambanuzi husababisha kuzidisha kwa kazi asilia kwa . Kwa hivyo, derivative ya agizo la nth ina fomu ifuatayo:
.

Ufafanuzi wa utendaji kazi wa kielelezo cha nguvu. Kupata fomula ya kuhesabu derivative yake. Mifano ya kukokotoa derivatives ya vitendaji vya kielelezo cha nguvu inachambuliwa kwa kina.

Kitendaji cha kielelezo cha nguvu ni kipengele kinachoonekana kama kazi ya nguvu
y = wewe v ,
ambamo msingi u na kipeo v ni baadhi ya kazi za mabadiliko x:
wewe = wewe (x); v = v (x).
Kazi hii pia inaitwa kielelezo au .

Kumbuka kuwa kipengele cha kukokotoa cha nguvu kinaweza kuwakilishwa katika fomu ya kielelezo:
.
Kwa hivyo inaitwa pia kitendakazi changamano cha kielelezo.

Kuhesabu kwa kutumia derivative ya logarithmic

Hebu tutafute derivative ya utendaji kazi wa kielelezo cha nguvu
(2) ,
wapi na ni kazi za kutofautisha.
Ili kufanya hivyo, tunaweka equation ya logarithm (2), kwa kutumia sifa ya logarithm:
.
Tofautisha kwa heshima na kutofautisha x:
(3) .
Tunatuma maombi sheria za kutofautisha kazi ngumu na inafanya kazi:
;
.

Tunabadilisha katika (3):
.
Kutoka hapa
.

Kwa hivyo, tulipata derivative ya kazi ya kielelezo cha nguvu:
(1) .
Ikiwa kielelezo ni thabiti, basi. Kisha derivative ni sawa na derivative ya kazi changamano ya nguvu:
.
Ikiwa msingi wa shahada ni mara kwa mara, basi. Kisha derivative ni sawa na derivative ya kazi changamano ya kielelezo:
.
Wakati na ni chaguo za kukokotoa za x, basi kinyago cha chaguo za kukokotoa cha nguvu-kielelezo ni sawa na jumla ya vipengee vya nguvu changamano na vitendaji vya kielelezo.

Ukokotoaji wa derivati ​​kwa kupunguzwa hadi kitendakazi changamano cha kielelezo

Sasa hebu tutafute derivative ya kitendakazi cha kielelezo cha nguvu
(2) ,
kuiwasilisha kama kazi changamano ya kielelezo:
(4) .

Wacha tutofautishe bidhaa:
.
Tumia kanuni ya kutafuta derivative kazi ngumu:

.
Na tulipata tena formula (1).

Mfano 1

Pata derivative ya kazi ifuatayo:
.

Suluhisho

Tunahesabu kwa kutumia derivative ya logarithmic. Wacha tufanye logarithm kazi ya asili:
(A1.1) .

Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata:
;
.
Kutumia fomula ya derivative ya bidhaa, tunayo:
.
Tunatofautisha (A1.1):
.
Kwa sababu ya
,
Hiyo
.

Jibu

Mfano 2

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa
.

Suluhisho

Wacha tufanye logarithm kazi ya asili:
(A2.1) .

Uendeshaji wa kutafuta derivative inaitwa tofauti.

Kama matokeo ya kutatua shida za kupata derivatives ya kazi rahisi zaidi (na sio rahisi sana) kwa kufafanua derivative kama kikomo cha uwiano wa nyongeza hadi kuongezeka kwa hoja, jedwali la derivatives na sheria zilizofafanuliwa kwa utofauti zilionekana. . Wa kwanza kufanya kazi katika uwanja wa kutafuta derivatives walikuwa Isaac Newton (1643-1727) na Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Kwa hiyo, katika wakati wetu, ili kupata derivative ya kazi yoyote, huna haja ya kuhesabu kikomo kilichotajwa hapo juu cha uwiano wa ongezeko la kazi kwa ongezeko la hoja, lakini unahitaji tu kutumia jedwali la derivatives na kanuni za utofautishaji. Algorithm ifuatayo inafaa kwa kutafuta derivative.

Ili kupata derivative, unahitaji kujieleza chini ya ishara kuu kuvunja kazi rahisi katika vipengele na kuamua ni vitendo gani (bidhaa, jumla, mgawo) kazi hizi zinahusiana. Viingilio zaidi kazi za msingi tunapata katika jedwali la derivatives, na kanuni za derivatives ya bidhaa, jumla na quotient ziko katika sheria za kutofautisha. Jedwali la derivative na sheria za utofautishaji hutolewa baada ya mifano miwili ya kwanza.

Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Kutoka kwa sheria za utofautishaji tunapata kuwa derivative ya jumla ya kazi ni jumla ya derivatives ya kazi, i.e.

Kutoka kwa jedwali la derivatives tunapata kwamba derivative ya "x" ni sawa na moja, na derivative ya sine ni sawa na cosine. Tunabadilisha maadili haya katika jumla ya derivatives na kupata derivative inayohitajika na hali ya tatizo:

Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunatofautisha kama derivative ya jumla ambayo muhula wa pili una sababu isiyobadilika; inaweza kuondolewa kutoka kwa ishara ya derivative:

Ikiwa maswali bado yanatokea juu ya wapi kitu kinatoka, kawaida husafishwa baada ya kujijulisha na jedwali la derivatives na sheria rahisi zaidi za kutofautisha. Tunaendelea nao sasa hivi.

Jedwali la derivatives ya kazi rahisi

1. Derivative ya mara kwa mara (idadi). Nambari yoyote (1, 2, 5, 200...) iliyo katika usemi wa chaguo la kukokotoa. Daima ni sawa na sifuri. Hii ni muhimu sana kukumbuka, kwani inahitajika mara nyingi sana
2. Derivative ya kutofautiana huru. Mara nyingi "X". Daima ni sawa na moja. Hii pia ni muhimu kukumbuka kwa muda mrefu
3. Derivative ya shahada. Wakati wa kutatua matatizo, unahitaji kubadilisha mizizi isiyo ya mraba kuwa nguvu.
4. Derivative ya kutofautiana kwa nguvu -1
5. Derivative kipeo
6. Derivative ya sine
7. Derivative ya cosine
8. Derivative ya tangent
9. Derivative ya cotangent
10. Derivative ya arcsine
11. Derivative ya arccosine
12. Derivative ya arctangent
13. Derivative ya arc cotangent
14. Derivative ya logarithm asili
15. Inayotokana na kazi ya logarithmic
16. Derivative ya kipeo
17. Nyingi ya chaguo za kukokotoa za kipeo

Kanuni za kutofautisha

1. Inatokana na jumla au tofauti
2. Derivative ya bidhaa
2a. Nyingine ya usemi unaozidishwa na kipengele kisichobadilika
3. Derivative ya mgawo
4. Derivative ya kazi ngumu

Kanuni ya 1.Ikiwa kazi

zinaweza kutofautishwa wakati fulani, basi kazi zinaweza kutofautishwa kwa hatua sawa

na

hizo. derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya algebra derivatives ya kazi hizi.

Matokeo. Ikiwa kazi mbili zinazoweza kutofautishwa zinatofautiana kwa neno la mara kwa mara, basi derivatives zao ni sawa, i.e.

Kanuni ya 2.Ikiwa kazi

zinaweza kutofautishwa kwa wakati fulani, basi bidhaa zao zinaweza kutofautishwa kwa wakati mmoja

na

hizo. Derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine.

Muhimu 1. Sababu ya mara kwa mara inaweza kuchukuliwa nje ya ishara ya derivative:

Muhimu 2. Derivative ya bidhaa ya kazi kadhaa zinazoweza kutofautishwa ni sawa na jumla ya bidhaa za derivative ya kila sababu na wengine wote.

Kwa mfano, kwa vizidishi vitatu:

Kanuni ya 3.Ikiwa kazi

kutofautishwa kwa wakati fulani Na , basi katika hatua hii mgawo wao pia unaweza kutofautishwau/v , na

hizo. derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya denominator, na denominator ni mraba wa namba ya zamani.

Mahali pa kutafuta vitu kwenye kurasa zingine

Wakati wa kupata derivative ya bidhaa na mgawo katika matatizo ya kweli Inahitajika kila wakati kutumia sheria kadhaa za kutofautisha mara moja, kwa hivyo kuna mifano zaidi juu ya derivatives hizi kwenye kifungu."Derivative ya bidhaa na mgawo wa kazi".

Maoni. Haupaswi kuchanganya mara kwa mara (yaani, nambari) kama neno katika jumla na kama sababu ya mara kwa mara! Katika kesi ya neno, derivative yake ni sawa na sifuri, na katika kesi ya sababu ya mara kwa mara, inachukuliwa nje ya ishara ya derivatives. Hii kosa la kawaida, ambayo hutokea hatua ya awali kusoma derivatives, lakini wanapotatua mifano kadhaa ya sehemu moja na mbili, mwanafunzi wa kawaida hafanyi tena kosa hili.

Na ikiwa, wakati wa kutofautisha bidhaa au mgawo, una muda u"v, ambamo u- nambari, kwa mfano, 2 au 5, yaani, mara kwa mara, basi derivative ya nambari hii itakuwa sawa na sifuri na, kwa hiyo, neno lote litakuwa sawa na sifuri (kesi hii inajadiliwa kwa mfano 10).

Kosa lingine la kawaida ni kusuluhisha kitendakazi kitokeo cha chaguo la kukokotoa changamani kama derivative ya chaguo la kukokotoa rahisi. Ndiyo maana derivative ya kazi changamano makala tofauti imetolewa. Lakini kwanza tutajifunza kupata derivatives kazi rahisi.

Njiani, huwezi kufanya bila kubadilisha maneno. Ili kufanya hivyo, unaweza kuhitaji kufungua mwongozo katika madirisha mapya. Vitendo vyenye nguvu na mizizi Na Uendeshaji na sehemu .

Ikiwa unatafuta suluhisho la derivatives ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi, ambayo ni, wakati kazi inaonekana kama , kisha fuata somo “Linatokana na hesabu za sehemu zenye nguvu na mizizi.”

Ikiwa una kazi kama , basi utachukua somo "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric".

Mifano ya hatua kwa hatua - jinsi ya kupata derivative

Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunafafanua sehemu za usemi wa kazi: usemi mzima unawakilisha bidhaa, na sababu zake ni hesabu, katika pili ambayo moja ya istilahi ina sababu ya kila wakati. Tunatumia sheria ya utofautishaji wa bidhaa: derivative ya bidhaa ya kazi mbili ni sawa na jumla ya bidhaa za kila moja ya kazi hizi na derivative ya nyingine:

Ifuatayo, tunatumia kanuni ya upambanuzi wa jumla: derivative ya jumla ya kazi za aljebra ni sawa na jumla ya aljebra ya vinyago vya kazi hizi. Kwa upande wetu, katika kila jumla neno la pili lina ishara ya kuondoa. Katika kila jumla tunaona tofauti huru, derivative ambayo ni sawa na moja, na mara kwa mara (idadi), derivative ambayo ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, "X" inageuka kuwa moja, na minus 5 inageuka kuwa sifuri. Katika usemi wa pili, "x" inazidishwa na 2, kwa hivyo tunazidisha mbili kwa kitengo sawa na derivative ya "x". Tunapata maadili yafuatayo derivatives:

Tunabadilisha derivatives zilizopatikana kwa jumla ya bidhaa na kupata derivative ya kazi nzima inayohitajika na hali ya shida:

Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Tunatakiwa kupata derivative ya mgawo. Tunatumia fomula ya kutofautisha mgawo: derivative ya mgawo wa kazi mbili ni sawa na sehemu, nambari ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za denominator na derivative ya nambari na nambari na derivative ya nambari. denominator, na denominator ni mraba wa nambari ya zamani. Tunapata:

Tayari tumepata derivative ya mambo katika nambari katika mfano 2. Pia tusisahau kwamba bidhaa, ambayo ni sababu ya pili katika nambari katika mfano wa sasa, inachukuliwa na ishara ya minus:

Ikiwa unatafuta suluhisho la shida ambazo unahitaji kupata derivative ya kazi, ambapo kuna rundo la mizizi na nguvu zinazoendelea, kama vile, kwa mfano, , basi karibu darasani "Inayotokana na jumla ya sehemu zilizo na nguvu na mizizi" .

Ikiwa unahitaji kujifunza zaidi kuhusu derivatives ya sines, cosines, tangents na wengine kazi za trigonometric, yaani, wakati kazi inaonekana kama , basi somo kwako "Derivatives ya kazi rahisi za trigonometric" .

Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Katika kazi hii tunaona bidhaa, mojawapo ya mambo ambayo ni mzizi wa mraba wa kutofautiana huru, derivative ambayo tulijitambulisha nayo katika jedwali la derivatives. Kulingana na kanuni ya kutofautisha bidhaa na thamani ya meza derivative ya mzizi wa mraba tunapata:

Mfano 6. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Katika chaguo hili la kukokotoa tunaona mgawo ambao mgao wake ni mzizi wa mraba wa kigezo huru. Kutumia kanuni ya utofautishaji wa nukuu, ambayo tulirudia na kutumia katika mfano wa 4, na thamani iliyoonyeshwa ya derivative ya mzizi wa mraba, tunapata:

Ili kuondoa sehemu katika nambari, zidisha nambari na denominator kwa .

Ambayo tulichambua derivatives rahisi zaidi, na pia tukafahamiana na sheria za kutofautisha na zingine. mbinu za kiufundi kutafuta derivatives. Kwa hivyo, ikiwa wewe si mzuri sana na derivatives ya kazi au baadhi ya pointi katika makala hii si wazi kabisa, basi kwanza kusoma somo hapo juu. Tafadhali ingia katika hali mbaya - nyenzo sio rahisi, lakini bado nitajaribu kuiwasilisha kwa urahisi na kwa uwazi.

Katika mazoezi, unapaswa kukabiliana na derivative ya kazi ngumu mara nyingi sana, ningesema hata, karibu kila mara, unapopewa kazi za kupata derivatives.

Tunaangalia jedwali katika kanuni (Na. 5) ya kutofautisha kazi ngumu:

Hebu tufikirie. Kwanza kabisa, hebu tuzingatie kuingia. Hapa tuna kazi mbili - na , na kazi, kwa kusema kwa mfano, imewekwa ndani ya kazi. Kazi ya aina hii (wakati kazi moja inapowekwa ndani ya nyingine) inaitwa kazi changamano.

Nitaita kazi kazi ya nje, na kazi - kazi ya ndani (au ya kiota)..

! Ufafanuzi huu si wa kinadharia na haufai kuonekana katika muundo wa mwisho wa kazi. Ninatumia misemo isiyo rasmi "kazi ya nje", kazi ya "ndani" ili iwe rahisi kwako kuelewa nyenzo.

Ili kufafanua hali hiyo, fikiria:

Mfano 1

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Chini ya sine hatuna herufi "X" tu, lakini usemi mzima, kwa hivyo kutafuta derivative mara moja kutoka kwa meza haitafanya kazi. Pia tunaona kuwa haiwezekani kutumia sheria nne za kwanza hapa, inaonekana kuna tofauti, lakini ukweli ni kwamba sine haiwezi "kukatwa vipande vipande":

KATIKA katika mfano huu Tayari ni wazi kwa angavu kutoka kwa maelezo yangu kwamba kazi ni kazi ngumu, na polynomial ni kazi ya ndani (kupachika), na kazi ya nje.

Hatua ya kwanza unachohitaji kufanya unapopata derivative ya kitendakazi changamano ni kuelewa ni kazi gani ni ya ndani na ipi ni ya nje.

Lini mifano rahisi Inaonekana wazi kuwa polynomial imepachikwa chini ya sine. Lakini ni nini ikiwa kila kitu sio wazi? Jinsi ya kuamua kwa usahihi ni kazi gani ya nje na ni ya ndani? Ili kufanya hivyo, napendekeza kutumia mbinu ifuatayo, ambayo inaweza kufanywa kiakili au katika rasimu.

Wacha tufikirie kuwa tunahitaji kuhesabu thamani ya usemi kwenye kikokotoo (badala ya moja kunaweza kuwa na nambari yoyote).

Tutahesabu nini kwanza? Kwanza kabisa utahitaji kufanya kitendo kifuatacho: , kwa hivyo polynomial itakuwa kazi ya ndani:

Pili itahitaji kupatikana, kwa hivyo sine - itakuwa kazi ya nje:

Baada ya sisi IMEUZWA na kazi za ndani na nje, ni wakati wa kutumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu .

Hebu tuanze kuamua. Kutoka kwa somo Jinsi ya kupata derivative? tunakumbuka kuwa muundo wa suluhisho la derivative yoyote huanza kama hii - tunafunga usemi kwenye mabano na kuweka kiharusi juu kulia:

Mara ya kwanza tunapata derivative ya kazi ya nje (sine), angalia jedwali la derivatives ya kazi za msingi na taarifa kwamba. Miundo yote ya jedwali inatumika pia ikiwa nafasi ya "x" itabadilishwa na usemi changamano, V kwa kesi hii:

Tafadhali kumbuka kuwa kazi ya ndani haijabadilika, hatuigusi.

Naam, ni dhahiri kabisa kwamba

Matokeo ya kutumia formula katika fomu yake ya mwisho inaonekana kama hii:

Sababu ya mara kwa mara kawaida huwekwa mwanzoni mwa usemi:

Ikiwa kuna kutokuelewana, andika suluhisho kwenye karatasi na usome maelezo tena.

Mfano 2

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Mfano 3

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Kama kawaida, tunaandika:

Wacha tujue ni wapi tuna kazi ya nje na wapi tunayo ya ndani. Ili kufanya hivyo, tunajaribu (kiakili au katika rasimu) kukokotoa thamani ya usemi kwa . Unapaswa kufanya nini kwanza? Kwanza kabisa, unahitaji kuhesabu ni nini msingi ni sawa na: kwa hivyo, polynomial ni kazi ya ndani:

Na hapo ndipo udhihirisho unafanywa, kwa hivyo, kazi ya nguvu ni kazi ya nje:

Kulingana na formula , kwanza unahitaji kupata derivative ya kazi ya nje, katika kesi hii, shahada. Kutafuta kwenye meza formula inayohitajika:. Tunarudia tena: fomula yoyote ya jedwali ni halali sio tu kwa "X", lakini pia kwa usemi changamano. Kwa hivyo, matokeo ya kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu inayofuata:

Ninasisitiza tena kwamba tunapochukua derivative ya kazi ya nje, utendaji wetu wa ndani haubadiliki:

Sasa kilichobaki ni kupata derivative rahisi sana ya kazi ya ndani na kurekebisha matokeo kidogo:

Mfano 4

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea(jibu mwishoni mwa somo).

Ili kuunganisha uelewa wako wa derivative ya kazi ngumu, nitatoa mfano bila maoni, jaribu kuihesabu peke yako, sababu ya nje na wapi kazi ya ndani iko, kwa nini kazi zinatatuliwa kwa njia hii?

Mfano 5

a) Tafuta derivative ya kitendakazi

b) Tafuta derivative ya kazi

Mfano 6

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hapa tuna mzizi, na ili kutofautisha mzizi, lazima uwakilishwe kama nguvu. Kwa hivyo, kwanza tunaleta kazi katika fomu inayofaa kwa utofautishaji:

Kuchambua kazi, tunafikia hitimisho kwamba jumla ya maneno matatu ni kazi ya ndani, na kuinua kwa nguvu ni kazi ya nje. Tunatumia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu :

Tunawakilisha tena digrii kama radical (mizizi), na kwa toleo la chaguo la kukokotoa la ndani tunatumia kanuni rahisi ya kutofautisha jumla:

Tayari. Unaweza pia kutoa usemi kwenye mabano kwa dhehebu la kawaida na uandike kila kitu kama sehemu moja. Ni nzuri, kwa kweli, lakini unapopata derivatives ndefu ngumu, ni bora kutofanya hivi (ni rahisi kuchanganyikiwa, kufanya makosa yasiyo ya lazima, na itakuwa ngumu kwa mwalimu kuangalia).

Mfano 7

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo).

Inafurahisha kutambua kwamba wakati mwingine badala ya sheria ya kutofautisha kazi ngumu, unaweza kutumia sheria ya kutofautisha mgawo. , lakini suluhisho kama hilo litaonekana kama upotovu usio wa kawaida. Hapa kuna mfano wa kawaida:

Mfano 8

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hapa unaweza kutumia kanuni ya utofautishaji wa mgawo , lakini ni faida zaidi kupata derivative kupitia sheria ya utofautishaji wa kazi ngumu:

Tunatayarisha kazi ya kutofautisha - tunaondoa minus kutoka kwa ishara inayotokana, na kuinua cosine kwenye nambari:

Cosine ni kazi ya ndani, ufafanuzi ni kazi ya nje.
Tutumie kanuni yetu :

Tunapata derivative ya kazi ya ndani na kuweka upya cosine chini:

Tayari. Katika mfano unaozingatiwa, ni muhimu kutochanganyikiwa katika ishara. Kwa njia, jaribu kutatua kwa kutumia utawala , majibu lazima yalingane.

Mfano 9

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Huu ni mfano kwako kutatua peke yako (jibu mwishoni mwa somo).

Kufikia sasa tumeangalia kesi ambapo tulikuwa na kiota kimoja tu katika kazi ngumu. Katika kazi za vitendo, mara nyingi unaweza kupata derivatives, ambapo, kama wanasesere wa kiota, moja ndani ya nyingine, kazi 3 au hata 4-5 huwekwa mara moja.

Mfano 10

Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Hebu tuelewe viambatisho vya chaguo hili la kukokotoa. Wacha tujaribu kuhesabu usemi kwa kutumia thamani ya majaribio. Tungehesabu vipi kikokotoo?

Kwanza unahitaji find , ambayo inamaanisha kuwa arcsine ndio upachikaji wa ndani kabisa:

Arcsine hii ya moja inapaswa kuwa mraba:

Na mwishowe, tunainua saba kwa nguvu:

Hiyo ni, katika mfano huu tuna tatu kazi tofauti na upachikaji mbili, huku kitendakazi cha ndani kabisa kikiwa ni arcsine na kitendakazi cha nje kabisa kikiwa ni chaguo la kukokotoa kielelezo.

Hebu tuanze kuamua

Kwa mujibu wa kanuni Kwanza unahitaji kuchukua derivative ya kazi ya nje. Tunaangalia jedwali la derivatives na kupata derivative ya kazi ya kielelezo: Tofauti pekee ni kwamba badala ya "x" tunayo. usemi changamano, ambayo haipuuzi uhalali wa fomula hii. Kwa hivyo, matokeo ya kutumia sheria ya kutofautisha kazi ngumu ijayo.

Utoaji wa fomula ya kitoleo cha chaguo za kukokotoa nguvu (x kwa nguvu ya a). Derivatives kutoka kwa mizizi ya x huzingatiwa. Fomula ya toleo la kitendakazi cha nguvu hali ya juu. Mifano ya kuhesabu derivatives.

Nyingine ya x kwa nguvu ya a ni sawa na mara x kwa nguvu ya minus moja:
(1) .

Derivative ya mzizi wa nth wa x hadi nguvu ya mth ni:
(2) .

Utoaji wa fomula ya derivative ya chaguo za kukokotoa nishati

Kesi x > 0

Fikiria kazi ya nguvu ya kutofautisha x na kielelezo a:
(3) .
Hapa kuna nambari halisi ya kiholela. Hebu kwanza tufikirie kesi hiyo.

Ili kupata derivative ya chaguo la kukokotoa (3), tunatumia sifa za kazi ya nguvu na kuibadilisha kuwa fomu ifuatayo:
.

Sasa tunapata derivative kutumia:
;
.
Hapa .

Mfumo (1) umethibitishwa.

Utoaji wa fomula ya kitovu cha mzizi wa digrii n ya x hadi kiwango cha m

Sasa fikiria kazi ambayo ni mzizi wa fomu ifuatayo:
(4) .

Ili kupata derivative, tunabadilisha mzizi kuwa kazi ya nguvu:
.
Tukilinganisha na fomula (3) tunaona hivyo
.
Kisha
.

Kwa kutumia formula (1) tunapata derivative:
(1) ;
;
(2) .

Katika mazoezi, hakuna haja ya kukariri formula (2). Ni rahisi zaidi kubadilisha kwanza mizizi kuwa vitendaji vya nguvu, na kisha kupata derivatives yao kwa kutumia fomula (1) (tazama mifano mwishoni mwa ukurasa).

Kesi x = 0

Ikiwa , basi kazi ya nguvu inafafanuliwa kwa thamani ya kutofautiana x = 0 . Wacha tupate derivative ya kazi (3) kwa x = 0 . Ili kufanya hivyo, tunatumia ufafanuzi wa derivative:
.

Wacha tubadilishe x = 0 :
.
Katika kesi hii, kwa derivative tunamaanisha kikomo cha mkono wa kulia ambacho .

Kwa hivyo tulipata:
.
Kutokana na hili ni wazi kwamba kwa ,.
Katika , .
Katika , .
Matokeo haya pia yanapatikana kutoka kwa fomula (1):
(1) .
Kwa hivyo, fomula (1) pia ni halali kwa x = 0 .

Kesi x< 0

Zingatia chaguo za kukokotoa (3) tena:
(3) .
Kwa maadili fulani ya mara kwa mara a, pia hufafanuliwa kwa maadili hasi tofauti x. Yaani, acha iwe nambari ya busara. Basi inaweza kuwakilishwa kama sehemu isiyoweza kupunguzwa:
,
ambapo m na n ni nambari kamili bila mgawanyiko wa kawaida.

Ikiwa n ni isiyo ya kawaida, basi kazi ya nguvu pia inafafanuliwa kwa maadili hasi ya kutofautisha x. Kwa mfano, wakati n = 3 na m = 1 tuna mizizi ya mchemraba kutoka kwa x:
.
Pia inafafanuliwa kwa maadili hasi ya kutofautisha x.

Wacha tupate derivative ya kazi ya nguvu (3) kwa na kwa maadili ya busara ya a mara kwa mara ambayo imefafanuliwa. Ili kufanya hivyo, wacha tuwakilishe x katika fomu ifuatayo:
.
Kisha,
.
Tunapata derivative kwa kuweka mara kwa mara nje ya ishara ya derivative na kutumia kanuni ya kutofautisha kazi changamano:

.
Hapa . Lakini
.
Tangu wakati huo
.
Kisha
.
Hiyo ni, formula (1) pia ni halali kwa:
(1) .

Vito vya mpangilio wa juu

Sasa hebu tupate derivatives za utaratibu wa juu wa kazi ya nguvu
(3) .
Tayari tumepata derivative ya agizo la kwanza:
.

Kuchukua mara kwa mara nje ya ishara ya derivative, tunapata derivative ya mpangilio wa pili:
.
Vile vile, tunapata derivatives ya amri ya tatu na ya nne:
;

.

Kutokana na hili ni wazi kuwa derivative ya utaratibu nth holela ina fomu ifuatayo:
.

taarifa, hiyo ikiwa ni nambari ya asili , basi derivative ya nth ni thabiti:
.
Kisha derivatives zote zinazofuata ni sawa na sifuri:
,
katika .

Mifano ya kuhesabu derivatives

Mfano

Pata derivative ya chaguo za kukokotoa:
.

Suluhisho

Wacha tubadilishe mizizi kuwa nguvu:
;
.
Kisha kazi ya asili inachukua fomu:
.

Kupata derivatives ya nguvu:
;
.
Derivative ya mara kwa mara ni sifuri:
.