Jinsi ya kutatua kibaguzi cha equation ya quadratic. Milinganyo ya quadratic

Mbaguzi, kama milinganyo ya quadratic, huanza kusomwa katika kozi ya aljebra katika daraja la 8. Unaweza kutatua mlingano wa quadratic kupitia kibaguzi na kutumia nadharia ya Vieta. Njia ya kusoma hesabu za quadratic, pamoja na fomula za kibaguzi, hufundishwa bila mafanikio kwa watoto wa shule, kama vitu vingi katika elimu halisi. Kwa hivyo, miaka ya shule inapita, elimu katika darasa la 9-11 inabadilishwa na "elimu ya juu" na kila mtu anaangalia tena - "Jinsi ya kutatua equation ya quadratic?", "Jinsi ya kupata mizizi ya equation?", "Jinsi ya kupata kibaguzi?" Na...

Fomula ya kibaguzi

D ya kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic a*x^2+bx+c=0 ni sawa na D=b^2–4*a*c.
Mizizi (suluhisho) ya equation ya quadratic inategemea ishara ya kibaguzi (D):
D> 0 - equation ina mizizi 2 tofauti;
D=0 - equation ina mzizi 1 (mizizi 2 inayolingana):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Njia ya kuhesabu kibaguzi ni rahisi sana, kwa hivyo tovuti nyingi hutoa kikokotoo cha kibaguzi mtandaoni. Bado hatujaelewa maandishi ya aina hii, kwa hivyo ikiwa kuna mtu yeyote anajua jinsi ya kutekeleza hili, tafadhali tuandikie kwa barua pepe. Barua pepe hii inalindwa dhidi ya spambots. Lazima uwe na JavaScript ili kuiona. .

Fomula ya jumla ya kutafuta mizizi ya mlingano wa quadratic:

Tunapata mizizi ya equation kwa kutumia formula
Ikiwa mgawo wa kutofautiana kwa mraba umeunganishwa, basi inashauriwa kuhesabu sio kibaguzi, lakini sehemu yake ya nne.
Katika hali hiyo, mizizi ya equation hupatikana kwa kutumia formula

Njia ya pili ya kupata mizizi ni Theorem ya Vieta.

Nadharia imeundwa sio tu kwa usawa wa quadratic, lakini pia kwa polynomials. Unaweza kusoma hii kwenye Wikipedia au rasilimali nyingine za kielektroniki. Walakini, ili kurahisisha, hebu tuzingatie sehemu inayohusu milinganyo ya quadratic hapo juu, ambayo ni, milinganyo ya fomu (a=1)
Kiini cha kanuni za Vieta ni kwamba jumla ya mizizi ya equation ni sawa na mgawo wa kutofautiana, kuchukuliwa na ishara kinyume. Bidhaa ya mizizi ya equation ni sawa na neno la bure. Nadharia ya Vieta inaweza kuandikwa katika fomula.
Utoaji wa fomula ya Vieta ni rahisi sana. Wacha tuandike equation ya quadratic kupitia sababu rahisi
Kama unaweza kuona, kila kitu cha busara ni rahisi kwa wakati mmoja. Inafaa kutumia fomula ya Vieta wakati tofauti ya moduli ya mizizi au tofauti katika moduli ya mizizi ni 1, 2. Kwa mfano, hesabu zifuatazo, kulingana na nadharia ya Vieta, zina mizizi.




Hadi equation 4, uchambuzi unapaswa kuonekana kama hii. Bidhaa ya mizizi ya equation ni 6, kwa hivyo mizizi inaweza kuwa maadili (1, 6) na (2, 3) au jozi zilizo na ishara tofauti. Jumla ya mizizi ni 7 (mgawo wa kutofautiana na ishara kinyume). Kuanzia hapa tunahitimisha kuwa masuluhisho ya mlinganyo wa quadratic ni x=2; x=3.
Ni rahisi kuchagua mizizi ya equation kati ya vigawanyiko vya neno la bure, kurekebisha ishara zao ili kutimiza fomula za Vieta. Mara ya kwanza, hii inaonekana kuwa ngumu kufanya, lakini kwa mazoezi juu ya idadi ya equations ya quadratic, mbinu hii itageuka kuwa yenye ufanisi zaidi kuliko kuhesabu kibaguzi na kutafuta mizizi ya equation ya quadratic kwa njia ya classical.
Kama unavyoona, nadharia ya shule ya kusoma kibaguzi na njia za kupata suluhisho la equation haina maana ya vitendo - "Kwa nini watoto wa shule wanahitaji equation ya quadratic?", "Ni nini maana ya kimwili ya mbaguzi?"

Hebu jaribu kufikiri Je, mbaguzi anaelezea nini?

Katika kozi ya algebra wanasoma kazi, mipango ya kusoma kazi na kuunda grafu ya kazi. Kati ya kazi zote, parabola inachukua nafasi muhimu, equation ambayo inaweza kuandikwa kwa fomu
Kwa hivyo maana ya kimwili ya equation ya quadratic ni zero za parabola, yaani, pointi za makutano ya grafu ya kazi na mhimili wa abscissa Ox.
Ninakuuliza kukumbuka mali ya parabolas ambayo imeelezwa hapa chini. Wakati utakuja wa kuchukua mitihani, majaribio, au mitihani ya kuingia na utashukuru kwa nyenzo za kumbukumbu. Ishara ya kutofautisha kwa mraba inalingana na ikiwa matawi ya parabola kwenye grafu yatapanda (a>0),

au parabola yenye matawi chini (a<0) .

Kipeo cha parabola kiko katikati ya mizizi

Maana ya kimwili ya kibaguzi:

Ikiwa kibaguzi ni kikubwa kuliko sifuri (D>0) parabola ina pointi mbili za makutano na mhimili wa Ox.
Ikiwa kibaguzi ni sifuri (D=0) basi parabola kwenye kipeo hugusa mhimili wa x.
Na kesi ya mwisho, wakati kibaguzi ni chini ya sifuri (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Milinganyo ya quadratic inasomwa katika daraja la 8, kwa hivyo hakuna chochote ngumu hapa. Uwezo wa kuyatatua ni muhimu kabisa.

Mlinganyo wa quadratic ni mlinganyo wa fomu ax 2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni nambari za kiholela, na ≠ 0.

Kabla ya kusoma njia maalum za suluhisho, kumbuka kuwa hesabu zote za quadratic zinaweza kugawanywa katika madarasa matatu:

1. Usiwe na mizizi;
2. Kuwa na mzizi mmoja;
3. Wana mizizi miwili tofauti.

Hii ni tofauti muhimu kati ya equations za quadratic na zile za mstari, ambapo mzizi huwa daima na ni wa kipekee. Jinsi ya kuamua ni mizizi ngapi equation ina? Kuna jambo la ajabu kwa hili - kibaguzi.

Mbaguzi

Acha shoka la quadratic equation 2 + bx + c = 0. Kisha kibaguzi ni nambari D = b 2 - 4ac tu.

Unahitaji kujua formula hii kwa moyo. Inatoka wapi sio muhimu sasa. Jambo lingine ni muhimu: kwa ishara ya kibaguzi unaweza kuamua ni mizizi ngapi equation ya quadratic ina. Yaani:

1. Ikiwa D< 0, корней нет;
2. Ikiwa D = 0, kuna mzizi mmoja;
3. Ikiwa D> 0, kutakuwa na mizizi miwili.

Tafadhali kumbuka: kibaguzi kinaonyesha idadi ya mizizi, na sio ishara zao zote, kwani kwa sababu fulani watu wengi wanaamini. Angalia mifano na utaelewa kila kitu mwenyewe:

Kazi. Equations za quadratic zina mizizi ngapi:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wacha tuandike coefficients ya equation ya kwanza na tupate kibaguzi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Kwa hivyo kibaguzi ni chanya, kwa hivyo equation ina mizizi miwili tofauti. Tunachambua equation ya pili kwa njia sawa:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Ubaguzi ni hasi, hakuna mizizi. Equation ya mwisho iliyobaki ni:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Kibaguzi ni sifuri - mzizi utakuwa mmoja.

Tafadhali kumbuka kuwa migawo imeandikwa kwa kila mlinganyo. Ndiyo, ni muda mrefu, ndiyo, ni wa kuchosha, lakini huwezi kuchanganya tabia mbaya na kufanya makosa ya kijinga. Chagua mwenyewe: kasi au ubora.

Kwa njia, ikiwa unapata hutegemea, baada ya muda hutahitaji kuandika coefficients zote. Utafanya shughuli kama hizo katika kichwa chako. Watu wengi huanza kufanya hivi mahali fulani baada ya hesabu 50-70 kutatuliwa - kwa ujumla, sio sana.

Mizizi ya equation ya quadratic

Sasa hebu tuendelee kwenye suluhisho lenyewe. Ikiwa kibaguzi D> 0, mizizi inaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

Fomula ya msingi ya mizizi ya equation ya quadratic

Wakati D = 0, unaweza kutumia yoyote ya fomula hizi - utapata nambari sawa, ambayo itakuwa jibu. Hatimaye, ikiwa D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Mlingano wa kwanza:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (-3) = 16.

D > 0  mlingano una mizizi miwili. Hebu tutafute:

Mlinganyo wa pili:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0  mlingano tena una mizizi miwili. Hebu tutafute

\[\anza(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \kulia))=3. \\ \mwisho(patanisha)\]

Hatimaye, equation ya tatu:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0  mlingano una mzizi mmoja. Fomula yoyote inaweza kutumika. Kwa mfano, ya kwanza:

Kama unaweza kuona kutoka kwa mifano, kila kitu ni rahisi sana. Ikiwa unajua fomula na unaweza kuhesabu, hakutakuwa na matatizo. Mara nyingi, makosa hutokea wakati wa kubadilisha coefficients hasi kwenye fomula. Hapa tena, mbinu iliyoelezwa hapo juu itasaidia: angalia formula halisi, andika kila hatua - na hivi karibuni utaondoa makosa.

Milinganyo ya quadratic isiyo kamili

Inatokea kwamba equation ya quadratic ni tofauti kidogo na ile iliyotolewa katika ufafanuzi. Kwa mfano:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Ni rahisi kutambua kwamba milinganyo hii inakosa mojawapo ya istilahi. Milinganyo kama hiyo ya quadratic ni rahisi hata kusuluhisha kuliko ile ya kawaida: hauitaji hata kuhesabu kibaguzi. Kwa hivyo, wacha tuanzishe dhana mpya:

Ax ya equation 2 + bx + c = 0 inaitwa equation ya quadratic isiyo kamili ikiwa b = 0 au c = 0, i.e. mgawo wa variable x au kipengele bure ni sawa na sifuri.

Bila shaka, kesi ngumu sana inawezekana wakati coefficients hizi zote mbili ni sawa na sifuri: b = c = 0. Katika kesi hii, equation inachukua fomu ax 2 = 0. Ni wazi, equation vile ina mizizi moja: x. = 0.

Hebu fikiria kesi zilizobaki. Hebu b = 0, kisha tupate equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0. Hebu tuibadilishe kidogo:

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa hesabu upo tu wa nambari isiyo hasi, usawa wa mwisho unaeleweka tu kwa (−c /a) ≥ 0. Hitimisho:

1. Ikiwa katika equation isiyo kamili ya quadratic ya fomu ax 2 + c = 0 usawa (-c / a) ≥ 0 imeridhika, kutakuwa na mizizi miwili. Fomula imetolewa hapo juu;
2. Ikiwa (−c /a)< 0, корней нет.

Kama unavyoona, ubaguzi haukuhitajika-hakuna hesabu changamano hata kidogo katika milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Kwa kweli, si lazima hata kukumbuka usawa (-c / a) ≥ 0. Inatosha kueleza thamani x 2 na kuona ni nini upande wa pili wa ishara sawa. Ikiwa kuna nambari nzuri, kutakuwa na mizizi miwili. Ikiwa ni hasi, hakutakuwa na mizizi kabisa.

Sasa hebu tuangalie equations ya fomu ax 2 + bx = 0, ambayo kipengele cha bure ni sawa na sifuri. Kila kitu ni rahisi hapa: daima kutakuwa na mizizi miwili. Inatosha kuzingatia polynomial:

Kuondoa sababu ya kawaida kwenye mabano

Bidhaa ni sifuri wakati angalau moja ya sababu ni sifuri. Hapa ndipo mizizi inatoka. Kwa kumalizia, wacha tuangalie baadhi ya milinganyo hii:

Kazi. Tatua milinganyo ya quadratic:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6. Hakuna mizizi, kwa sababu mraba hauwezi kuwa sawa na nambari hasi.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mwalimu wa hisabati

kijiji cha Kopevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic na al-Khorezmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya karne XIII - XVII

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili, hata katika nyakati za zamani, ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kupata maeneo ya viwanja vya ardhi na kazi ya uchimbaji wa asili ya kijeshi. kama vile maendeleo ya unajimu na hisabati yenyewe. Milinganyo ya quadratic inaweza kutatuliwa karibu 2000 BC. e. Wababeli.

Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya kiwango cha juu cha maendeleo ya aljebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96"

Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya tatizo inafuata kwamba namba zinazohitajika si sawa, kwa kuwa ikiwa walikuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya nusu ya jumla yao, i.e. 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni sawa na 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwa kuwa hisabati ya Kigiriki ilijua nambari nzuri tu.

Ikiwa tutatatua shida hii kwa kuchagua nambari moja inayohitajika kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.

y(20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya roboduara iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa A, pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.

Katika India ya kale, mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida. Kimoja cha vitabu vya kale vya Kihindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Kama vile jua linavyoangaza nyota kwa mng’ao wake, ndivyo mwanamume mwenye elimu atastaajabisha utukufu wa mwingine katika makusanyiko ya watu wote, akipendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

Tatizo 13.

"Kundi la nyani, na kumi na wawili karibu na mizabibu ...

Wakuu, baada ya kula, walifurahiya. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Wapo kwenye mraba, sehemu ya nane.Kulikuwa na nyani wangapi?

Nilikuwa na furaha katika kusafisha. Niambie, katika pakiti hii?

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kwamba mizizi ya equations ya quadratic ina thamani mbili (Mchoro 3).

Equation inayolingana na shida 13 ni:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu hadi mraba, huongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi

Katika maandishi ya aljebra ya al-Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah = s.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na namba", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba," i.e. bx + c = shoka 2 .

Kwa al-Khorezmi, ambaye aliepuka matumizi ya nambari hasi, masharti ya kila hesabu hizi ni nyongeza na sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaweka njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al-Khorezmi, kama wanahisabati wote kabla ya karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika shida maalum za vitendo haijalishi. Wakati wa kusuluhisha milinganyo kamili ya quadratic, al-Khorezmi huweka sheria za kuzitatua kwa kutumia mifano fulani ya nambari, na kisha uthibitisho wa kijiometri.

Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (ikimaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5 , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Risala ya al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII bb

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mistari ya al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Kiitaliano Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, kutoka nchi za Uislamu na kutoka Ugiriki ya kale, inatofautishwa na ukamilifu wake na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya kutatua shida na alikuwa wa kwanza barani Ulaya kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa Kitabu cha Abacus zilitumika katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

x 2 + bx = c,

kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za mgawo b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Mbali na mazuri, mizizi hasi pia huzingatiwa. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, iliyopewa jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D, ikizidishwa na A - A 2 , sawa BD, Hiyo A sawa KATIKA na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, tunapaswa kukumbuka hilo A, kama herufi yoyote ya vokali, ilimaanisha kisichojulikana (yetu X), vokali NDANI, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa kuna

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Akielezea uhusiano kati ya mizizi na mgawo wa milinganyo na fomula za jumla zilizoandikwa kwa kutumia alama, Viète alianzisha usawa katika njia za kutatua milinganyo. Walakini, ishara ya Viet bado iko mbali na fomu yake ya kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ilikuwa chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo wa aljebra unategemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya nne kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.

Mlinganyo wa quadratic ni equation ya fomu ax^2 + bx + c = 0, ambapo coefficients a, b na c ni nambari za kiholela, na ≠ 0, vinginevyo haitakuwa tena mlinganyo wa quadratic. Milinganyo ya quadratic ama haina mizizi, au ina mzizi mmoja, au mizizi miwili tofauti. Hatua ya kwanza ni kutafuta mbaguzi. Mfumo: D = b^2 − 4ac. 1. Ikiwa D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, kutakuwa na mizizi miwili. Kwa chaguo la kwanza ni wazi, hakuna mizizi. Ikiwa kibaguzi D > 0, mizizi inaweza kupatikana kama ifuatavyo: x12 = (-b +- √D) / 2a. Kama chaguo la pili, wakati D = 0, formula hapo juu inaweza kutumika.

Milinganyo ya quadratic huanza kusomwa katika kozi ya hisabati ya shule. Lakini, kwa bahati mbaya, si kila mtu anaelewa na anajua jinsi ya kutatua kwa usahihi equation ya quadratic na kuhesabu mizizi yake. Kwanza, hebu tujue equation ya quadratic ni nini.

Equation ya quadratic ni nini

Neno equation ya quadratic kawaida humaanisha mlingano wa aljebra wa umbo la jumla. Mlinganyo huu una fomu ifuatayo: ax2 + bx + c = 0, wakati a, b na c ni nambari fulani maalum, x haijulikani. Nambari hizi tatu kawaida huitwa coefficients ya equation ya quadratic:

• a - mgawo wa kwanza;
• b - mgawo wa pili;
• c ni mgawo wa tatu.

Jinsi ya kupata mizizi ya equation ya quadratic

Ili kuhesabu ni nini mizizi ya equation ya quadratic itakuwa sawa, ni muhimu kupata kibaguzi cha equation. Ubaguzi wa mlinganyo wa quadratic ni usemi ambao ni sawa na unakokotolewa kwa kutumia fomula b2 - 4ac. Ikiwa kibaguzi ni kikubwa kuliko sifuri, mzizi huhesabiwa kwa kutumia formula: x = -b + - mzizi wa kibaguzi umegawanywa na 2 a.

Fikiria mfano wa equation 5x mraba - 8x +3 = 0

Kibaguzi ni sawa na mraba nane, toa nne mara tano, mara tatu, yaani = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 = 8 + mzizi wa nne kugawanywa na mara mbili tano = 8 +2/10 = 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0.6

Ipasavyo, mizizi ya equation hii ya quadratic itakuwa 1 na 0.6.

Fomula za mizizi ya equation ya quadratic. Kesi za mizizi halisi, nyingi na ngumu zinazingatiwa. Kuanzisha trinomial ya quadratic. Tafsiri ya kijiometri. Mifano ya kuamua mizizi na factoring.

Kanuni za msingi

Fikiria equation ya quadratic:
(1) .
Mizizi ya equation ya quadratic(1) imedhamiriwa na fomula:
; .
Fomula hizi zinaweza kuunganishwa kama hii:
.
Wakati mizizi ya equation ya quadratic inajulikana, basi polynomial ya shahada ya pili inaweza kuwakilishwa kama bidhaa ya mambo (factored):
.

Ifuatayo tunadhani kwamba ni nambari halisi.
Hebu tuzingatie kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic:
.
Ikiwa kibaguzi ni chanya, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili tofauti:
; .
Kisha factorization ya quadratic trinomial ina fomu:
.
Ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili mingi (sawa) halisi:
.
Factorization:
.
Ikiwa kibaguzi ni hasi, basi equation ya quadratic (1) ina mizizi miwili changamano ya kuunganisha:
;
.
Hiki hapa kitengo cha kufikirika,;
na ni sehemu halisi na za kufikiria za mizizi:
; .
Kisha

.

Tafsiri ya picha

Ikiwa unapanga kazi
,
ambayo ni parabola, basi pointi za makutano ya grafu na mhimili zitakuwa mizizi ya equation.
.
Saa , grafu inakatiza mhimili wa x (mhimili) kwa nukta mbili.
Wakati , grafu inagusa mhimili wa x kwa hatua moja.
Wakati , grafu haivuki mhimili wa x.

Chini ni mifano ya grafu kama hizo.

Fomula muhimu zinazohusiana na mlinganyo wa quadratic

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Tunafanya mabadiliko na kutumia fomula (f.1) na (f.3):




,
Wapi
; .

Kwa hivyo, tulipata fomula ya polynomial ya shahada ya pili katika fomu:
.
Hii inaonyesha kwamba equation

kutekelezwa saa
Na.
Hiyo ni, na ni mizizi ya equation ya quadratic
.

Mifano ya kuamua mizizi ya equation ya quadratic

Mfano 1

(1.1) .

Suluhisho

.
Kulinganisha na equation yetu (1.1), tunapata maadili ya coefficients:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Kwa kuwa kibaguzi ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi:
;
;
.

Kuanzia hapa tunapata uainishaji wa trinomial ya quadratic:

.

Grafu ya kazi y = 2 x 2 + 7 x + 3 hukatiza mhimili wa x kwa nukta mbili.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Inavuka mhimili wa abscissa (mhimili) kwa nukta mbili:
Na.
Pointi hizi ni mizizi ya mlinganyo wa asili (1.1).

Jibu

;
;
.

Mfano 2

Tafuta mizizi ya equation ya quadratic:
(2.1) .

Suluhisho

Wacha tuandike equation ya quadratic kwa fomu ya jumla:
.
Ikilinganisha na equation asili (2.1), tunapata maadili ya mgawo:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Kwa kuwa kibaguzi ni sifuri, equation ina mizizi miwili mingi (sawa):
;
.

Kisha factorization ya trinomial ina fomu:
.

Grafu ya chaguo za kukokotoa y = x 2 - 4 x + 4 hugusa mhimili wa x wakati mmoja.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Inagusa mhimili wa x (mhimili) wakati mmoja:
.
Hatua hii ndiyo mzizi wa mlinganyo wa awali (2.1). Kwa sababu mzizi huu umewekwa mara mbili:
,
basi mzizi kama huo kawaida huitwa nyingi. Hiyo ni, wanaamini kuwa kuna mizizi miwili sawa:
.

Jibu

;
.

Mfano 3

Tafuta mizizi ya equation ya quadratic:
(3.1) .

Suluhisho

Wacha tuandike equation ya quadratic kwa fomu ya jumla:
(1) .
Wacha tuandike tena mlinganyo wa asili (3.1):
.
Kulinganisha na (1), tunapata maadili ya coefficients:
.
Tunapata ubaguzi:
.
Mbaguzi ni hasi,. Kwa hivyo hakuna mizizi halisi.

Unaweza kupata mizizi ngumu:
;
;
.

Kisha


.

Grafu ya chaguo za kukokotoa haivuka mhimili wa x. Hakuna mizizi halisi.

Hebu tupange kazi
.
Grafu ya kazi hii ni parabola. Haiingiliani na mhimili wa x (mhimili). Kwa hivyo hakuna mizizi halisi.

Jibu

Hakuna mizizi halisi. Mizizi tata:
;
;
.