Jedwali la derivatives kazi za msingi

Ufafanuzi 1

Hesabu ya derivative inaitwa utofautishaji.

Onyesha derivative $y"$ au $\frac(dy)(dx)$.

Kumbuka 1

Ili kupata derivative ya kazi, kulingana na sheria za msingi za kutofautisha, inabadilishwa kuwa kazi nyingine.

Wacha tuangalie jedwali la derivatives. Hebu tuzingalie ukweli kwamba kazi, baada ya kupata derivatives yao, hubadilishwa kuwa kazi nyingine.

Isipokuwa ni $y=e^x$, ambayo inajigeuza yenyewe.

Sheria za kutofautisha derivatives

Mara nyingi, wakati wa kupata derivative, hauitaji tu kuangalia jedwali la derivatives, lakini kwanza tumia sheria za kutofautisha na uthibitisho wa derivative ya bidhaa, na kisha tu kutumia jedwali la derivatives ya kazi za kimsingi.

1. Mara kwa mara huchukuliwa nje ya ishara ya derivative

$C$ ni ya kudumu.

Mfano 1

Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7x^4$.

Suluhisho.

Tafuta $y"=(7x^4)"$. Kuchukua nambari $7$ kutoka kwa ishara ya derivative, tunapata:

$y"=(7x^4)"=7(x^4)"=$

Kutumia jedwali, unahitaji kupata thamani ya derivative ya kazi ya nguvu:

$=7 \cdot 4x^3=$

Wacha tubadilishe matokeo kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:

Jibu:$28x^3$.

2. Derivative ya jumla (tofauti) ni sawa na jumla (tofauti) ya derivatives:

$(u \pm v)"=u" \pm v"$.

Mfano 2

Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x$.

Suluhisho.

$y"=(7+x-5x^5+4 \sin x-9\sqrt(x^2)+\frac(4)(x^4) -11\cot x)"=$

Tunatumia sheria ya kutofautisha jumla ya derivative na tofauti:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4 \sin x)"-(9\sqrt(x^2))"+(\frac(4)(x^4) )"-(11\cot x)"=$

kumbuka kuwa wakati wa kutofautisha, nguvu zote na mizizi lazima zibadilishwe kwa fomu $x^(\frac(a)(b))$;

Wacha tuchukue viunga vyote kutoka kwa ishara ya derivative:

$=(7)"+(x)"-(5x^5)"+(4\sin x)"-(9x^(\frac(2)(5)))"+(4x^(-4) )"-(11\cot x)"=$

$=(7)"+(x)"-5(x^5)"+4(\sin x)"-9(x^(\frac(2)(5)))"+4(x^( -4))"-11(\cot x)"=$

Baada ya kuelewa sheria za utofautishaji, baadhi yao (kwa mfano, kama mbili za mwisho) hutumiwa wakati huo huo ili kuzuia kuandika tena usemi mrefu;

tumepata usemi kutoka kwa kazi za msingi chini ya ishara derivative; Wacha tutumie jedwali la derivatives:

$=0+1-5 \cdot 5x^4+4\cos x-9 \cdot \frac(2)(5) x^(-\frac(3)(5))+12x^(-5)- 11 \cdot \frac(-1)(\sin^2 x)=$

Wacha tuibadilishe kuwa fomu inayokubalika katika hisabati:

$=1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x) $

Tafadhali kumbuka kuwa wakati wa kupata matokeo, masharti na nguvu za sehemu badilisha kuwa mizizi, na kwa hasi - kwa sehemu.

Jibu: $1-25x^4+4 \cos x-\frac(18)(5\sqrt(x^3))+\frac(12)(x^5) +\frac(11)(\sin^2 x $.

3. Mfumo wa derivative ya bidhaa ya utendakazi:

$(uv)"=u" v+uv"$.

Mfano 3

Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=x^(11) \ln x$.

Suluhisho.

Kwanza, tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya bidhaa ya kazi, na kisha tunatumia jedwali la derivatives:

$y"=(x^(11) \ln x)"=(x^(11))" \ln x+x^(11) (\lntx)"=11x^(10) \ln x+x^ (11) \cdoti \frac(1)(x)=11x^(10) \ln x-\frac(x^(11))(x)=11x^(10) \ln x-x^(10)=x ^(10) (11 \ln x-1)$.

Jibu: $x^(10) (11 \ln x-1)$.

4. Mfumo wa toleo la kukokotoa la sehemu ya kukokotoa:

$(\frac(u)(v))"=\frac(u" v-uv")(v^2)$.

Mfano 4

Tofautisha chaguo za kukokotoa $y=\frac(3x-8)(x^5-7)$.

Suluhisho.

$y"=(\frac(3x-8)(x^5-7))"=$

kulingana na kanuni za kipaumbele shughuli za hisabati Kwanza tunagawanya, na kisha kuongeza na kutoa, kwa hivyo kwanza tunatumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo:

$=\frac((3x-8)" (x^5-7)-(3x-8) (x^5-7)")((x^5-7)^2) =$

Wacha tutumie sheria za jumla na derivatives za tofauti, fungua mabano na kurahisisha usemi:

$=\frac(3(x^5-7)-5x^4 (3x-8))((x^5-7)^2) =\frac(3x^5-21-15x^5+40x^ 4)((x^5-7)^2) =\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$ .

Jibu:$\frac(-12x^5+40x^4-21)((x^5-7)^2)$.

Mfano 5

Hebu tutofautishe kazi $y=\frac(x^7-2x+3)(x)$.

Suluhisho.

Kazi y ni mgawo wa kazi mbili, kwa hivyo unaweza kutumia sheria ya kuhesabu derivative ya mgawo, lakini katika kesi hii utapata kazi mbaya. Ili kurahisisha utendakazi huu, unaweza kugawanya nambari kwa neno denominator kwa neno:

$y=\frac(x^7-13x+9)(x)=x^6-13+\frac(9)(x)$.

Wacha tutumie sheria ya kutofautisha jumla na tofauti ya kazi kwa kazi iliyorahisishwa:

$y"=(x^6-13+\frac(9)(x))"=(x^6)"+(-13)"+9(x^(-1))"=6x^5+ 0+9 \cdoti (-x^(-2))=$

$=6x^5-\frac(9)(x^2)$.

Jibu: $6x^5-\frac(9)(x^2)$.

1. (f(h(x))) "= f" (h(x)) x ∙ h"(x)

2. (dhambi x) " = cos x

3. (cos x) " = - dhambi x

4. (tg x) " = 1/cos 2 x

5. (ctg x) " = 1/dhambi 2 x

6. (a x) " = a x ∙ ln a

7. (e x) " = e x

8. (ln x) " = 1/x

9. (logi a x) " = 1/ x ∙ ln a a

10. (arcsin x) " = 1/

11. (arccos x) " = -1/

12. (arctg x) " = 1/ 1+x 2

13. (arcctg x) " = -1/1+x 2

Mfano. Hesabu Derivative

y = dhambi 3 (1-x 2)

y"= (dhambi 3 (1-x 2))"* (dhambi (1-x 2))"* (1-x 2)" = 3 dhambi 2 (1-x 2) * cos (1-x 2) ) * (-2x) =

6x * dhambi 2 (1-x 2) * cos (1-x 2)

Ufafanuzi. Acha chaguo la kukokotoa y = f(x), x Є(a;b) liweze kutofautishwa wakati fulani x o Є(a;b), i.e. kwa uhakika x o ipo kikomo limΔf(x o) / Δx = f"’ (x o)

Kwa hivyo tuna Δ f(x o) / Δx = f’(x o) + α, ambapo α ni thamani isiyo na kikomo ya Δ x→0, i.e. lim α = 0

Hii ina maana Δ f(x o) = f"" (x o) ∙ Δx + α∙ Δx.

Neno la pili ni lisilo na kikomo la Δx→0, kwa hivyo d f(x o)= f " (x o)∙ Δx au

Mfano. Kokotoa tofauti ya chaguo za kukokotoa y = x 2 + cos 3x - 5

Dy = (x 2 + cos 3x – 5)"dx = (2x – 3 dhambi 3x) dx.

Ufafanuzi. Utendaji tofauti f(x) inayofafanuliwa kwenye muda fulani x inaitwa kizuia derivative kwa kazi f(x) iliyofafanuliwa kwa muda sawa ikiwa kwa x zote kutoka kwa muda huu F"(x) = f(x) au d F(x) = f(x) * dx

Ufafanuzi. Seti ya vizuia derivative zote za chaguo za kukokotoa f(x), iliyofafanuliwa kwa muda x, inaitwa sivyo uhakika muhimu kutoka kwa kazi f(x) kwenye muda huu na inaonyeshwa na ishara

∫ f(x) dx = f(x) + C, ambapo F(x) ni kizuia derivative

C ni derivative mara kwa mara.

Ili kuhesabu muunganisho usio na kikomo kuna jedwali la viambajengo vya kimsingi (tazama kitabu cha Hisabati kwa shule za ufundi cha I.I. Valuta), uk. 251).

Mfano. Tafuta

1. ∫(4x 3 – 6x 2 + 2x + 3)dx = ∫4x 3 dx - ∫6x 2 dx + ∫2xdx + ∫3dx = 4 x 4 /4 – 6 x 3 /3 + 2 x 2/2 +

2. ∫(5x 4 – 8/cos 2 x + 3√x + 1) dx = ∫ 5x 4 dx – ∫8/cos 2 x * dx + ∫3√x dx + ∫dx =

5 * x 5 /5 – 8 * tg x + 3 x 3/2 / 3/2 + x + C = x 5 - 8 tg x + 2x√x + x + C.

3. ∫2 3x * 3 x dx = ∫(2 3 * 3) x dx = ∫ 24 x dx = 24 x / ln 24 + C.

Ufafanuzi. Ongezeko F(b) - F (a) yoyote ya kazi za antiderivative f(x) + C wakati hoja inabadilika kutoka x = a hadi x = b inaitwa kiungo dhahiri kutoka a hadi b ya chaguo za kukokotoa f(x), na inaashiriwa na f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a), na inaitwa formula ya Newton-Leibniz.

Mfano. Kokotoa

1. ∫ (x 2 – 3x + 7)dx = ( x 3 - 3/2 x 2 + 7x) | = (1/3 * 2 3 – 3/2 * 2 2 + 7*2) – (1/3 *(-1) 3 -

3/2 (-1) 2 + 7*(-1)) = 19,5

Ufafanuzi. Kielelezo kilichofungwa na grafu ya kazi y = f (x), sehemu na mistari ya moja kwa moja x = a na x = b inaitwa curvilinear trapezoid.

S= ∫ f(x) dx = F(b) – F(a)

Mfano. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na y = ½ x 2 + 1 y = 0 x = -2 x = 3

S= ∫ (1/2 x 2 + 1) dx = (1/6 x 3 + x) | = (1/6 * 3 3 +3) -

- (1/6 (-2) 3 – 2) = 10 5/6

Mada 1.2. Milinganyo ya kawaida ya kutofautisha

Kutatua matatizo mbalimbali kwa kutumia njia mfano wa hisabati inakuja ili kupata chaguo za kukokotoa zisizojulikana kutoka kwa mlinganyo ulio na kigezo huru, chaguo za kukokotoa zinazohitajika na vipengee vya chaguo hili la kukokotoa. Equation kama hiyo inaitwa tofauti.

Ufafanuzi. Suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha ni chaguo la kukokotoa linalorudi nyuma kupewa equation katika utambulisho.

Kwa mfano, equation ya kutofautisha imeandikwa kama ifuatavyo:

F(x, y, y" , y"", .....y (h)) = 0

2x + y – 3y"= 0 y" 2 – 4 = 0, sin y"= cos xy, y"" = 2x ni milinganyo tofauti.

Ufafanuzi 2. Mpangilio wa mlinganyo tofauti ni utaratibu wa juu derivatives zilizojumuishwa katika mlingano huu.

xy" + y – 2 = 0 – mlingano wa mpangilio wa kwanza

y"" + 7y"- 3y = 0 - equation ya utaratibu wa tatu

Ufafanuzi 3. Mlingano wa tofauti wa mpangilio wa kwanza ni mlinganyo wa fomu F(x, y, y") = 0

y"= f(x, y) ni mlingano wa mpangilio wa kwanza kutatuliwa kwa heshima na derivative.

Ufafanuzi 4. Suluhisho lolote la mtu binafsi la equation tofauti inaitwa ufumbuzi wake wa sehemu.

Ufafanuzi 5. Kazi, iliyotolewa na formula y = (e (x,C) au y = y(x,C) - inawakilisha uamuzi wa pamoja suluhisho la tofauti F(x, y, y") = 0 au

Tatizo la uchungu. Wakati wa kutatua matatizo maalum, mara nyingi ni muhimu kuchagua kutoka kwa seti nzima ya ufumbuzi wa equation tofauti kwamba suluhisho fulani ambalo ni jibu la swali lililoulizwa. Ili kutenganisha curve tofauti muhimu kutoka kwa seti nzima ya ufumbuzi, kinachojulikana hali ya awali imewekwa.

Katika kesi ya milinganyo ya mpangilio wa kwanza y" = f(x, y), hali ya awali ya suluhisho y = y(x) inaeleweka kama masharti kwamba y = y o kwa x = x o yaani y (x o) = y o, ambapo x o na y o hupewa nambari (data ya awali), kiasi kwamba kwa x = x o na y = y o chaguo za kukokotoa f(x, y) inaeleweka, yaani, kuna f(x o, y O).

Ufafanuzi 6. Tatizo la kutafuta suluhu fulani kwa mlinganyo wa kutofautisha unaokidhi masharti yaliyotolewa. masharti ya awali, inaitwa shida ya Cauchy.

Katika kesi ya mlinganyo wa kutofautisha wa mpangilio wa kwanza, shida ya Cauchy imeundwa kama ifuatavyo: pata suluhu y = y(x) kwa mlinganyo y" = f(x, y), kukidhi hali ya awali ya data iliyotolewa ya awali ( x o, y o)

y (x o) = y o, au, katika nukuu nyingine, y x = x0 = y o, ambapo x o, y o hupewa nambari.

Ufafanuzi 7. Mlinganyo wa kutofautisha unaitwa mlinganyo wenye vigeu vinavyoweza kutenganishwa ikiwa ina mtazamo unaofuata: y"= f 1 (x) f 2 (y) au

dy/f 2 (y) = f 1 (x) dx.

Nadharia: Ikiwa viambatanisho ∫dy/f 2 (y) na ∫ f 1 (x) dx vipo, basi muunganisho wa jumla wa mlingano tofauti uliotenganishwa hutolewa na mlingano.

F 2 (y) = F 1 (x) + C, ambapo F 2 (y) na F 1 (x) ni vizuia derivatives vya kazi 1/f 2 (y) na f 1 (x), mtawalia.

Wakati wa kuamua milinganyo tofauti na tofauti za kutenganisha, unaweza kutumia algorithm ifuatayo:

1) kutenganisha vigezo (kwa kuzingatia hali wakati hii inaweza kufanyika);

2) kuunganisha equations zilizopatikana na vigezo vilivyotenganishwa muda kwa muda, kupata jumla yake muhimu;

3) gundua ikiwa equation ina suluhu ambazo haziwezi kupatikana kutoka kwa kiunga cha jumla;

4) kupata sehemu muhimu(au suluhisho) kukidhi masharti ya awali (ikiwa inahitajika).

Mfano. Tafuta suluhu mahususi kwa mlinganyo 2yy" = 1-3x 2 ikiwa y o = 3 kwa x o =1

Huu ni mlinganyo tofauti uliotenganishwa. Wacha tuifikirie katika tofauti:

Kwa hivyo 2y * dy = (1-3 x 2) dx

Tunaunganisha pande zote mbili za usawa wa mwisho, kupata ∫ 2y * dy = ∫ (1-3x 2) dx tunapata y 2 = x - x 3 + C. Kubadilisha maadili ya awali y o = 3 x o =1 tunapata

C: 9 = 1-1 + C i.e. C = 9.

Kwa hiyo, kiungo kinachohitajika cha sehemu kitakuwa y 2 = x - x 3 + 9 au

x 3 + y 2 – x – 9 = 0

Mada 1.4. Safu.

Ufafanuzi 1. Mfululizo wa nambari inayoitwa usemi wa fomu

a 1 + a 2 + …a n + ………., ambapo 1, a 2, ……a n ni nambari zinazomilikiwa na mfumo fulani wa nambari.

Kwa ufupisho wa mfululizo, ishara ya jumla Σ hutumiwa, na

yaani a 1 + a 2 + …a n + ……….= Σ a n

Ufafanuzi 2. Nambari 1, 2, ... na n, ..... zinaitwa wanachama wa mfululizo; na n inaitwa neno la kawaida la mfululizo.

Ufafanuzi 3. Mfululizo huitwa kuunganika ikiwa mlolongo wa hesabu zake za sehemu S 1, S 2, S 3 .........S n, ...... huungana, i.e. ikiwa kuna kikomo cha mwisho

Nambari S inaitwa jumla ya mfululizo. Ikiwa Lim S n haipo au Lim S n = ∞, basi mfululizo

h →∞ h →∞

inaitwa tofauti na hakuna thamani ya nambari imepewa.

Nadharia 1. Ikiwa mfululizo huchanganyika, basi neno lake la kawaida n huwa na sifuri.

Ikiwa Lim a n ≠ 0 au kikomo hiki hakipo, basi mfululizo hutofautiana.

Nadharia ya 2. Acha mfululizo wa 1 + a 2 + …a n + ………. itolewe, kwa masharti chanya.

a n + 1 a n + 1

Wacha tufikirie kuwa Lim iko na Lim = P

h →∞ a n h →∞ a n

1) ikiwa P<1, то ряд сходится

2) ikiwa P>1, basi safu hutofautiana.

Ufafanuzi 3. Mfululizo ulio na maneno mazuri na mabaya huitwa kawaida.

Ufafanuzi wa 4. Mfululizo wa kawaida huitwa muunganisho kabisa ikiwa mfululizo utaungana

| 1 | + | 2 | + …+ | n | + ………., inayojumuisha moduli za washiriki wake.

Ufafanuzi 5. Mfululizo wa 1 + a 2 + …a n + …………. unaitwa kuunganika kwa masharti iwapo itaungana na mfululizo |a 1 | + | 2 | + …+ | n | + ………., inayojumuisha moduli za washiriki wake, hutofautiana.

Ufafanuzi 6. Mfululizo unaitwa kupishana ikiwa istilahi chanya na hasi zinafuatana kwa kutafautisha (a 1 + a 2 + a 3 – a 4 +…..+(-1) n +1 *

Nadharia ya 3. Msururu wa ishara zinazopishana huungana ikiwa:

1) masharti yake yanapungua kwa moduli,

a 1 ≥ a 2 ≥ … ≥a n ≥ ……..

2) neno lake la kawaida huwa sifuri,

Katika hali hii, jumla ya S ya mfululizo inakidhi ukosefu wa usawa 0≤ S ≤a 1

Ufafanuzi 7. Hebu u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) ... iwe mfuatano fulani wa vitendakazi.

Usemi wa fomu Σ u n (x) = u 1 (x), u 2 (x),.....u n (x) + inaitwa mfululizo wa kazi.

Ufafanuzi 8. Mfululizo wa utendaji unaitwa kuunganika kwa uhakika x o ikiwa

mfululizo wa nambariΣ u n (x o) = u 1 (x o), u 2 (x o),.....u n (x o) + ......

iliyopatikana kutoka kwa mfululizo wa kazi kwa kubadilisha x = x o ni mfululizo wa kuunganishwa. Hii inaitwa hatua ya muunganiko wa mfululizo.

Ufafanuzi 9. Mfululizo wa nguvu kuitwa safu ya utendaji aina

Σ a n (x-x o) n = a o + a 1 (x-x o), a 2 (x-x o) 2 ,.....a n (x-x o) n + ......

ambapo x ni kigezo kinachojitegemea, x o ni nambari isiyobadilika, na o, a 1, a 2, ... na n ..... ni viambajengo vya mara kwa mara.

Sehemu ya 2.1. Misingi ya hisabati ya kipekee.

Mada 2.1. Seti na mahusiano. Tabia za mahusiano. Operesheni kwenye seti.

Kuweka ni dhana ya msingi ya nadharia iliyowekwa, ambayo huletwa bila ufafanuzi. Kwa kiwango cha chini, kinachojulikana kuhusu seti ni kwamba inajumuisha vipengele.

Seti A inaitwa

ni kipengele B (Kielelezo 1)

picha 1

Mbinu za kubainisha seti:

1. Kwa uhamisho, i.e. orodha ya vipengele vyake.

2. Utaratibu wa kuzalisha unaoelezea njia ya kupata vipengele vya seti kutoka kwa vipengele vilivyopatikana tayari au vitu vingine. Katika kesi hii, vipengele vya kuweka ni vitu vyote vinavyoweza kujengwa kwa kutumia utaratibu huo.

3. Maelezo ya sifa za sifa ambazo vipengele vyake lazima ziwe nazo.

Weka njia tofauti kuweka N ya yote nambari za asili 1, 2, 3…..

a) seti N haiwezi kubainishwa kama orodha kwa sababu ya kutokuwa na mwisho.

b) utaratibu wa uzalishaji una sheria mbili:

1) 1 О N ; 2) ikiwa n О N, basi n + 1 О N

c) maelezo mali ya tabia vipengele vya kuweka N:

N = (x; x - nambari kamili nambari chanya}

Operesheni kwenye seti.

1. Muungano wa seti A na B unaitwa

seti inayojumuisha vipengele hivyo vyote

ambayo ni ya angalau moja ya seti

A, B. (Kielelezo 2)

Kielelezo cha 2

2. Makutano ya seti A na B inaitwa

seti inayojumuisha vitu hivyo vyote na vile tu

ambayo ni ya A na B. (Mchoro 3)

Kielelezo cha 3

3. Tofauti ya seti A na B ni seti

hayo yote na yale mambo tu ya A hayo

Kielelezo cha 4

4. Kijazo (kwa B) cha seti A inaitwa B

A

seti ya vitu vyote ambavyo sio vya A (Mchoro 5)

Kielelezo cha 5

Tekeleza shughuli kwenye seti A = (a, b, c, d) na B = (c,d,f.g,h)

A U B =(a, b, c, d, e, f.g,h)

A ∩ B = (c, d)

Shughuli za kukamilisha kwenye seti A na B haziwezi kufanywa, i.e. seti ya ulimwengu wote isiyofafanuliwa.

Mahusiano ni mojawapo ya njia za kutaja uhusiano kati ya vipengele vya seti. Iliyosomwa zaidi na inayotumiwa mara nyingi ni ile inayoitwa mahusiano ya evaporated na bipair.

Mahusiano yanaweza kubainishwa:

Orodha;

Matrix.

Tabia za mahusiano.

Acha R iwe uhusiano kwenye seti M, R ≤ M x M, basi:

1. R inarejelea ikiwa R a inashikilia Î M yoyote.

2. R haikubaliki ikiwa kwa kila Î M si R a inashikilia.

3. R ​​ni ulinganifu ikiwa R b inamaanisha bRа.

4. R ni antisymmetric ikiwa aRb na bRa inamaanisha a=b, i.e. kwa kuwa hakuna vipengele tofauti a na b (a≠b) ambavyo aRb na bRa hushikilia kwa wakati mmoja.

5. R inabadilika ikiwa aRb na bRa inamaanisha aRc.

Mada 2.2 Dhana za kimsingi za nadharia ya grafu

Uwakilishi wa picha V kwa maana pana- uwakilishi wowote wa kuona wa mfumo, mchakato, jambo linalojifunza kwenye ndege. Hizi zinaweza kujumuisha michoro, michoro, grafu za sifa, ramani za eneo, chati za mtiririko, michoro, n.k.

Uwakilishi wa picha ni njia rahisi ya kuonyesha maudhui dhana mbalimbali kuhusiana na mbinu nyingine za uwakilishi rasmi.

Darasa lenye nguvu zaidi na lililosomwa zaidi la vitu vinavyohusiana na uwakilishi wa picha ni kinachojulikana kama grafu.

Nadharia ya grafu ina matumizi makubwa, kwani lugha yake, kwa upande mmoja, inaonekana na inaeleweka, na kwa upande mwingine, inafaa kwa utafiti rasmi.

Uwakilishi wa picha kwa maana finyu ni maelezo ya mfumo, mchakato, au jambo linalochunguzwa kwa kutumia nadharia ya grafu katika mfumo wa seti ya aina mbili za vitu: vipeo na mistari inayoviunganisha - kingo au arcs.

Ufafanuzi: grafu D ni mkusanyiko wa seti mbili: vipeo V na kingo E, kati ya vipengele ambavyo uhusiano wa matukio hufafanuliwa - kila ukingo E ni sawa na wima mbili v", v"" V ambayo inaunganisha.

Pia kuhusu nadharia ya grafu, kuhusu vipengele vya grafu, unaweza kufahamiana na aina za grafu na kuzingatia uendeshaji juu yao, unaweza kusoma sehemu ya 3 "Nadharia ya Grafu", ukurasa wa 195-214 kwenye kitabu cha maandishi cha karne ya 21 kilichohaririwa na G.I. Moskinov "Hisabati Tofauti""

Kwa kujisomea mada 3.1. Misingi ya nadharia ya uwezekano na takwimu za hisabati. Uwezekano. Nadharia za kuongeza na kuzidisha uwezekano. Mada 3.2. Tofauti nasibu, kazi yake ya usambazaji. Mada 3.3. Thamani inayotarajiwa na tofauti kutofautiana nasibu. Unaweza kutumia fasihi zifuatazo: V.S. Shchipacheva "Misingi hisabati ya juu", pamoja na I.P. Natanson. Kozi fupi hisabati ya juu au N.V. Bogomolov Somo la vitendo hisabati.

Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika kipindi cha X. Derivative kazi y = f(x) katika hatua x o inaitwa kikomo

= .

Ikiwa kikomo hiki yenye mwisho, basi kazi f(x) inaitwa kutofautishwa kwa uhakika x o; Aidha, inageuka kuwa lazima kuendelea katika hatua hii.

Ikiwa kikomo kinachozingatiwa ni sawa na  (au - ), basi mradi tu kazi katika hatua hiyo. X o inaendelea, tutasema kwamba chaguo la kukokotoa f(x) lina hatua hiyo X o derivative isiyo na kikomo.

Derivative inaonyeshwa na alama

y , f (x o), , .

Kupata derivative inaitwa utofautishaji kazi. Maana ya kijiometri ya derivative ni kwamba derivative ni mteremko tangent kwa mkunjo y=f(x) katika sehemu fulani X o ; maana ya kimwili - ni kwamba derivative ya njia kwa heshima na wakati ni kasi ya papo hapo hatua ya kusonga mbele mwendo wa moja kwa moja s = s(t) kwa wakati t o .

Kama Na - nambari ya kudumu, na u = u(x), v = v(x) ni baadhi ya kazi zinazoweza kutofautishwa, basi sheria zifuatazo za utofautishaji ni halali:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) ikiwa y = f(u), u = (x), yaani. y = f((x)) - kazi tata au nafasi ya juu, inayojumuisha vitendaji vinavyoweza kutofautishwa  na f, kisha , au

6) ikiwa kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kuna kitendakazi kisichoweza kutofautisha x = g(y), na  0, basi .

Kulingana na ufafanuzi wa derivative na sheria za kutofautisha, inawezekana kukusanya orodha ya derivatives ya tabular ya kazi kuu za msingi.

1. (u )" =  u  1 u" (  R).

2. (a u)" = a u lna u".

3. (e u)" = e u u".

4. (logi a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u u".

7. (cos u)" = - sin u u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u u".

9. (ctg u)" = - u" / dhambi 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Hebu tuhesabu kitokeo cha usemi wa kielelezo cha nguvu y=u v , (u>0), ambapo u Na v kiini cha kazi kutoka X, kuwa na derivatives katika hatua fulani wewe",v".

Kuchukua logariti za usawa y=u v , tunapata ln y = v ln u.

Kulinganisha derivatives kwa heshima na X kutoka pande zote mbili za usawa unaotokana kwa kutumia sheria 3, 5 na fomula ya derivative kazi ya logarithmic, itakuwa na:

y"/y = vu"/u +v" ln u, kutoka wapi y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Kwa mfano, ikiwa y = x dhambi x, basi y" = x dhambi x (dhambi x/x + cos x ln x).

Ikiwa kazi y = f(x) inaweza kutofautishwa katika hatua x, i.e. ina derivative yenye kikomo katika hatua hii y", kisha = y"+, ambapo 0 kwa х 0; hivyo  y = y" х +  x.

Sehemu kuu ya nyongeza ya kazi, mstari kwa heshima na x, inaitwa tofauti kazi na inaashiria dy: dy = y" х. Ikiwa tutaweka y=x katika fomula hii, tunapata dx = x"х = 1х =х, kwa hiyo dy=y"dx, yaani ishara. kwa Nukuu ya derivative inaweza kufikiriwa kama sehemu.

Ongezeko la kazi  y ni nyongeza ya mgawo wa curve, na tofauti d y ni ongezeko la kuratibu la tangent.

Hebu tutafute chaguo za kukokotoa y=f(x) derivative yake y = f (x). Derivative ya derivative hii inaitwa derivative ya agizo la pili kazi f(x), au derivative ya pili, na imeteuliwa .

Ifuatayo imefafanuliwa na kuteuliwa kwa njia ile ile:

derivative ya agizo la tatu - ,

derivative ya agizo la nne -

na kwa ujumla kuzungumza derivative ya agizo la nth - .

Mfano 3.15. Kokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa y=(3x 3 -2x+1)sin x.

Suluhisho. Kwa kanuni ya 3, y"=(3x 3 -2x+1)"sin x + (3x 3 -2x+1)(dhambi x)" = = (9x 2 -2)dhambi x + (3x 3 -2x +1)cos x.

Mfano 3.16 . Tafuta y", y = tan x + .

Suluhisho. Kwa kutumia sheria za kutofautisha jumla na mgawo, tunapata: y"=(tgx +)" = (tgx)" + ()" = + = .

Mfano 3.17. Tafuta derivative kazi tata y= , u=x 4 +1.

Suluhisho. Kulingana na kanuni ya upambanuzi wa kazi changamano, tunapata: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Kwa kuwa u=x 4 +1, basi (2 x 4 + 2+ .

Derivative, sheria na kanuni za utofautishaji

Acha kazi y = f(x) ifafanuliwe katika kipindi cha X. Derivative kazi y = f(x) katika hatua x o inaitwa kikomo

= .

Ikiwa kikomo hiki yenye mwisho, basi kazi f(x) inaitwa kutofautishwa kwa uhakika xo; Aidha, inageuka kuwa lazima kuendelea katika hatua hii.

Ikiwa kikomo kinachozingatiwa ni sawa na ¥ (au - ¥), basi mradi tu kazi katika hatua x o inaendelea, tutasema kwamba chaguo la kukokotoa f(x) lina hatua hiyo x o derivative isiyo na kikomo.

Derivative inaonyeshwa na alama

y ¢, f ¢(x o), , .

Kupata derivative inaitwa utofautishaji kazi. Maana ya kijiometri derivative ni kwamba derivative ni mteremko wa tangent hadi y=f(x) katika hatua fulani. x o; maana ya kimwili - ni kwamba derivative ya njia kuhusiana na wakati ni kasi ya papo hapo ya hatua ya kusonga wakati wa mwendo wa rectilinear s = s(t) kwa sasa t o .

Kama Na ni nambari ya kudumu, na u = u(x), v = v(x) ni kazi zinazoweza kutofautishwa, basi sheria zifuatazo za utofautishaji ni halali:

1) (c) " = 0, (cu) " = cu";

2) (u+v)" = u"+v";

3) (uv)" = u"v+v"u;

4) (u/v)" = (u"v-v"u)/v 2;

5) ikiwa y = f(u), u = j(x), i.e. y = f(j(x)) - kazi tata au nafasi ya juu, inayojumuisha vitendaji vinavyoweza kutofautishwa j na f, kisha , au

6) ikiwa kwa chaguo za kukokotoa y = f(x) kuna chaguo tofauti za kukokotoa x = g(y), na ¹ 0, basi .

Kulingana na ufafanuzi wa derivative na sheria za kutofautisha, inawezekana kukusanya orodha ya derivatives ya tabular ya kazi kuu za msingi.

1. (u m)" = m u m- 1 u" (m О R).

2. (a u)" = a u lna× u".

3. (e u)" = e u u".

4. (logi a u)" = u"/(u ln a).

5. (ln u)" = u"/u.

6. (sin u)" = cos u× u".

7. (cos u)" = - sin u× u".

8. (tg u)" = 1/ cos 2 u× u".

9. (ctg u)" = - u" / dhambi 2 u.

10. (arcsin u)" = u" / .

11. (arccos u)" = - u" / .

12. (arctg u)" = u"/(1 + u 2).

13. (arcctg u)" = - u"/(1 + u 2).

Hebu tuhesabu kitokeo cha usemi wa kielelezo cha nguvu y=u v , (u>0), ambapo u Na v kiini cha kazi kutoka X, kuwa na derivatives katika hatua fulani wewe",v".

Kuchukua logariti za usawa y=u v , tunapata ln y = v ln u.

Kulinganisha derivatives kwa heshima na X kutoka kwa pande zote mbili za usawa unaosababishwa kwa kutumia sheria 3, 5 na fomula ya derivative ya kazi ya logarithmic, tutakuwa na:

y"/y = vu"/u +v" ln u, kutoka wapi y" = y (vu"/u +v" ln u).

(u v)"=u v (vu"/u+v" ln u), u > 0.

Kwa mfano, ikiwa y = x dhambi x, basi y" = x dhambi x (dhambi x/x + cos x× ln x).

Ikiwa kazi y = f(x) inaweza kutofautishwa katika hatua x, i.e. ina derivative yenye kikomo katika hatua hii y", kisha = y"+a, ambapo a®0 kwa Dх® 0; kwa hivyo D y = y" Dх + a x.

sehemu kuu ongezeko la mstari wa utendaji kwa heshima na Dx inaitwa kazi tofauti na inaashiria dy: dy = y" Dx. Tukiweka y=x katika fomula hii, tunapata dx = x"Dx = 1×Dx = Dx, kwa hivyo dy=y"dx, yaani ishara ya kuashiria derivative. inaweza kuzingatiwa kama sehemu.

Uongezaji wa kazi D y ni nyongeza ya mgawo wa curve, na tofauti d y ni ongezeko la kuratibu la tangent.

Wacha tupate chaguo la kukokotoa y=f(x) derivative yake y ¢= f ¢(x). Derivative ya derivative hii inaitwa derivative ya agizo la pili kazi f(x), au derivative ya pili, na imeteuliwa .

Ifuatayo imefafanuliwa na kuteuliwa kwa njia ile ile:

derivative ya agizo la tatu - ,

derivative ya agizo la nne -

na kwa ujumla kuzungumza derivative ya agizo la nth - .

Mfano 3.15. Kokotoa derivative ya chaguo za kukokotoa y=(3x 3 -2x+1)×sin x.

Suluhisho. Kwa kanuni ya 3, y"=(3x 3 -2x+1)"×sin x + (3x 3 -2x+1)×(dhambi x)" =
= (9x 2 -2)dhambi x + (3x 3 -2x+1)cos x.

Mfano 3.16. Tafuta y", y = tan x + .

Suluhisho. Kwa kutumia sheria za kutofautisha jumla na mgawo, tunapata: y"=(tgx +)" = (tgx)" + ()" = + = .

Mfano 3.17. Tafuta derivative ya kazi changamano y=,
u=x 4 +1.

Suluhisho. Kulingana na kanuni ya upambanuzi wa kazi changamano, tunapata: y" x =y " u u" x =()" u (x 4 +1)" x =(2u +. Kwa kuwa u=x 4 +1, basi
(2 x 4 +2+ .

Mfano 3.18.

Suluhisho. Hebu tuwazie kazi y= kama nafasi kuu ya kazi mbili: y = e u na u = x 2 . Tunayo: y" x =y " u u" x = (e u)" u (x 2)" x = e u ×2x. Kubadilisha x 2 badala ya u, tunapata y=2x .

Mfano 3.19. Tafuta toleo la kukokotoa y=ln sin x.

Suluhisho. Wacha tuonyeshe u=dhambi x, kisha derivative ya kazi changamano y=ln u inakokotolewa na fomula y" = (ln u)" u (dhambi x)" x = .

Mfano 3.20. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa y=.

Suluhisho. Kesi ya kazi ngumu iliyopatikana kama matokeo ya nafasi nyingi za juu hutatuliwa kwa matumizi ya kufuatana ya Kanuni ya 5:

.

Mfano 3.21. Kokotoa derivative y=ln .

Suluhisho. Kuchukua logarithms na kutumia mali ya logarithms, tunapata:

y=5/3ln(x 2 +4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x 3 +1)-1/3tg 5x.

Kutofautisha pande zote mbili za usawa wa mwisho, tunapata:

Upeo wa utendaji

Chaguo za kukokotoa y=f(x) huitwa kuongezeka (kupungua) katika muda fulani, ikiwa kwa x 1< x 2 выполняется неравенство f(x 1) < f (x 2) (f(x 1) >f(x 2)).

Ikiwa chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) huongezeka (hupungua) kwa muda, basi deivative yake kwenye muda huu f ¢(x) > 0 (f ¢(x)< 0).

Nukta x o kuitwa nukta upeo wa ndani (kiwango cha chini) kazi f(x), ikiwa kuna kitongoji cha uhakika x o, kwa pointi zote ambazo ukosefu wa usawa f(x) £ f(x о) (f(x) ³ f(x о)) ni kweli.

Pointi za juu na za chini zinaitwa pointi kali, na maadili ya kazi katika pointi hizi ni yake uliokithiri.

Masharti ya lazima kwa uliokithiri. Ikiwa uhakika x o ni sehemu ya mwisho ya chaguo za kukokotoa f(x), basi ama f ¢(x о) = 0, au f ¢(x о) haipo. Pointi kama hizo zinaitwa kukosoa, na kazi yenyewe inafafanuliwa katika hatua muhimu. Upeo wa kazi unapaswa kutafutwa kati ya pointi zake muhimu.

Hali ya kwanza ya kutosha. Hebu x o - hatua muhimu. Ikiwa f ¢ (x) wakati wa kupitia hatua x o hubadilisha ishara ya kuongeza iwe minus, kisha kwenye uhakika x o kazi ina kiwango cha juu, vinginevyo ina kiwango cha chini. Ikiwa, wakati wa kupitia hatua muhimu, derivative haibadilishi ishara, basi kwa uhakika x o hakuna uliokithiri.

Hali ya pili ya kutosha. Acha chaguo la kukokotoa f(x) liwe na derivative
f ¢ (x) katika eneo la uhakika x o na derivative ya pili katika uhakika yenyewe x o. Ikiwa f ¢(x о) = 0, >0 (<0), то точка x o ni kiwango cha chini zaidi (kiwango cha juu) cha eneo la chaguo za kukokotoa f(x). Ikiwa =0, ​​basi unahitaji kutumia hali ya kwanza ya kutosha au kutumia derivatives ya juu.

Kwenye sehemu, chaguo la kukokotoa y = f(x) linaweza kufikia thamani yake ya chini au ya juu zaidi katika sehemu muhimu au kwenye miisho ya sehemu.

Mfano 3.22. Pata mwisho wa chaguo za kukokotoa f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Suluhisho. Kwa kuwa f ¢ (x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​ -2) (x - 3), basi pointi muhimu za kazi x 1 = 2 na x 2 = 3. Extrema inaweza tu kuwa katika pointi hizi. Tangu wakati wa kupitia hatua x 1 = 2 derivative mabadiliko ishara kutoka plus hadi minus, basi katika hatua hii kazi ina kiwango cha juu. Wakati wa kupitia hatua x 2 = 3, derivative hubadilisha ishara yake kutoka kwa minus hadi plus, hivyo katika hatua x 2 = 3 kazi ina kiwango cha chini. Baada ya kuhesabu maadili ya chaguo la kukokotoa katika pointi x 1 = 2 na x 2 = 3, tunapata mwisho wa kazi: upeo f (2) = 14 na kiwango cha chini f (3) = 13.

Mfano 3.23. Ni muhimu kujenga eneo la mstatili karibu na ukuta wa mawe ili imefungwa kwa pande tatu na mesh ya waya, na upande wa nne ni karibu na ukuta. Kwa hili kuna a mita za mstari wa mesh. Je, tovuti itakuwa na eneo kubwa zaidi kwa uwiano gani?

Suluhisho. Hebu tuashirie pande za jukwaa kwa x Na y. Eneo la tovuti ni S = xy. Hebu y- hii ni urefu wa upande ulio karibu na ukuta. Kisha, kwa hali, usawa 2x + y = lazima ushikilie. Kwa hiyo y = a - 2x na S = x (a - 2x), ambapo 0 £ x £ a/2 (urefu na upana wa pedi hauwezi kuwa mbaya). S ¢ = a - 4x, a - 4x = 0 kwa x = a/4, kutoka wapi
y = a - 2×a/4 =a/2. Kwa kuwa x = a/4 ndio nukta muhimu pekee, wacha tuangalie ikiwa ishara ya derivative inabadilika tunapopitia hatua hii. Katika x< a/4 S ¢ >0, na kwa x >a/4 S ¢<0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).

Kwa kuwa S inawashwa kwa kuendelea na thamani zake kwenye ncha za S(0) na S(a/2) ni sawa na sifuri, thamani itakayopatikana itakuwa thamani kubwa zaidi ya chaguo za kukokotoa. Kwa hivyo, uwiano wa kipengele unaofaa zaidi wa tovuti chini ya masharti yaliyotolewa ya tatizo ni y = 2x.

Mfano 3.24. Inahitajika kutengeneza tank iliyofungwa ya cylindrical yenye uwezo wa V=16p »50 m 3. Je, ni vipimo gani vya tank (radius R na urefu H) ili kiasi kidogo cha nyenzo kinatumika kwa utengenezaji wake?

Suluhisho. Jumla ya eneo la silinda ni S = 2pR (R+H). Tunajua kiasi cha silinda V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2. Hii ina maana S(R) = 2p(R 2 +16/R). Tunapata derivative ya kazi hii:
S ¢ (R) = 2p (2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S ¢(R) = 0 kwa R 3 = 8, kwa hiyo,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Katika fomula zote hapa chini, herufi u Na v kazi zinazoweza kutofautishwa za utofauti wa kujitegemea zinaonyeshwa x: , , na kwa barua a, c, n- mara kwa mara:

1.

3.

4.

5.

6.

Fomula zilizobaki zimeandikwa kwa kazi za tofauti huru na kwa kazi ngumu:

8.

9.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

7a.

8a.

9a.

11a.

12a.

13a.

16a.

17a.

Maelezo ya kina yalichukuliwa wakati wa kutatua mifano hapa chini. Hata hivyo, unapaswa kujifunza kutofautisha bila maingizo ya kati.

Mfano 1. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa .

Suluhisho. Chaguo hili la kukokotoa ni jumla ya vitendakazi vya aljebra. Tunaitofautisha kwa kutumia fomula 3, 5, 7 na 8:

Mfano 2. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa

Suluhisho. Kutumia fomula 6, 3, 7 na 1, tunapata

Mfano 3. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa na kuhesabu thamani yake

Suluhisho. Hili ni kazi changamano yenye hoja ya kati. Kwa kutumia fomula 7a na 10, tunayo

.

Mfano 4. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa .

Suluhisho. Hili ni kazi changamano yenye hoja ya kati. Kutumia fomula 3, 5, 7a, 11, 16a, tunapata

Mfano 5. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa .

Suluhisho. Tunatofautisha chaguo hili la kukokotoa kwa kutumia fomula 6, 12, 3 na 1:

Mfano 6. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa na kukokotoa thamani yake kwa .

Suluhisho. Kwanza tunabadilisha kazi kwa kutumia mali ya logarithms:

Sasa tunatofautisha kwa kutumia fomula 3, 16a, 7 na 1:

.

Wacha tuhesabu thamani ya derivative kwa .

Mfano 7. Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa na ukokote thamani yake kwa .

Suluhisho. Tunatumia fomula 6, 3, 14a, 9a, 5 na 1:

.

Wacha tuhesabu thamani ya derivative kwa:

.

Maana ya kijiometri ya derivative.

Derivative ya kazi ina tafsiri rahisi na muhimu ya kijiometri.

Ikiwa kazi kutofautisha katika hatua X, basi grafu ya chaguo hili la kukokotoa ina tangent kwenye hatua inayolingana, na mteremko wa tangent ni sawa na thamani ya derivative katika hatua inayohusika.

Mteremko wa tanjiti inayochorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwa uhakika ( X 0 , katika 0), ni sawa na thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika x = x 0, yaani. .

Mlinganyo wa tangent hii ni

Mfano 8. Andika mlinganyo wa tangent kwa grafu ya chaguo za kukokotoa kwa uhakika A (3.6).

Suluhisho. Ili kupata mteremko wa tangent, tunapata derivative ya kazi hii:

X= 3:

Mlinganyo wa tangent una fomu

, au , i.e.

Mfano 9. Andika mlinganyo wa tanjenti inayochorwa kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye hatua na abscissa. x=2.

Suluhisho. Kwanza, hebu tupate uratibu wa hatua ya tangent. Kwa kuwa hatua A iko kwenye curve, kuratibu zake zinakidhi equation ya curve, i.e.

; .

Mlinganyo wa tanjiti inayochorwa kwenye mkunjo kwa uhakika ina umbo . Ili kupata mteremko wa tangent, tunapata derivative:

.

Mteremko wa tangent ni sawa na thamani ya derivative ya chaguo za kukokotoa katika X= 2:

Equation ya tangent ni:

, , i.e.

Maana ya kimwili ya derivative. Ikiwa mwili unasonga kwa mstari ulionyooka kulingana na sheria s=s(t), kisha kwa kipindi cha muda (kutoka sasa t mpaka sasa ) itasafiri umbali fulani. Kisha kuna kasi ya wastani ya harakati kwa kipindi cha muda.

Kasi harakati za mwili kwa wakati fulani t inaitwa kikomo cha uwiano wa njia hadi nyongeza ya wakati, wakati nyongeza ya wakati inaelekea sifuri:

.

Kwa hiyo, derivative ya wakati wa njia s t sawa na kasi ya mwendo wa rectilinear wa mwili kwa wakati fulani kwa wakati:

.

Kiwango cha michakato ya kimwili, kemikali na nyingine pia huonyeshwa kwa kutumia derivative.

Nyingi ya chaguo za kukokotoa sawa na kasi ya mabadiliko ya chaguo hili la kukokotoa kwa thamani fulani ya hoja X:

Mfano 10. Sheria ya mwendo wa hatua katika mstari wa moja kwa moja inatolewa na fomula (s - kwa mita, t - kwa sekunde). Pata kasi ya uhakika mwishoni mwa sekunde ya kwanza.

Suluhisho. Kasi ya hatua kwa wakati fulani ni sawa na derivative ya njia s kwa wakati t:

,

Kwa hiyo, kasi ya hatua mwishoni mwa pili ya kwanza ni 9 m / s.

Mfano 11. Mwili unaotupwa wima kwenda juu husogea kulingana na sheria ambapo v 0 - kasi ya awali, g- kuongeza kasi ya kuanguka bure kwa mwili. Pata kasi ya harakati hii kwa wakati wowote kwa wakati t. Mwili utachukua muda gani kuinuka na kwa urefu gani utainuka ikiwa v0= 40 m/s?

Suluhisho. Kasi ya mwendo wa hatua kwa wakati fulani kwa wakati t sawa na derivative ya njia s kwa wakati t:

.

Katika hatua ya juu zaidi ya kupanda, kasi ya mwili ni sifuri:

, , , , Na.

Zaidi ya 40/ g sekunde mwili huinuka hadi urefu

, m.

Derivative ya pili.

Nyingi ya chaguo za kukokotoa kwa ujumla ni kazi ya X. Ikiwa tutahesabu derivative ya chaguo hili la kukokotoa, tunapata derivative ya mpangilio wa pili au derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa. .

Derivative ya pili kazi inaitwa derivative ya derivative yake ya kwanza .

Derivative ya pili ya kazi inaonyeshwa na moja ya alama - , , . Hivyo, .

Derivatives ya utaratibu wowote hufafanuliwa na kuashiria sawa. Kwa mfano, derivative ya agizo la tatu:

au ,

Mfano 12. .

Suluhisho. Kwanza tutafute derivative ya kwanza

Mfano 13. Tafuta derivative ya pili ya chaguo za kukokotoa na kuhesabu thamani yake x=2.

Suluhisho. Kwanza, wacha tupate derivative ya kwanza:

Kutofautisha tena, tunapata derivative ya pili:

Wacha tuhesabu thamani ya derivative ya pili kwa x=2; tuna

Maana ya kimwili ya derivative ya pili.

Ikiwa mwili unasonga kwa usawa kulingana na sheria s = s(t), kisha derivative ya pili ya njia s kwa wakati t sawa na kuongeza kasi ya mwili kwa wakati fulani kwa wakati t:

Kwa hivyo, derivative ya kwanza ina sifa ya kasi ya mchakato fulani, na derivative ya pili ina sifa ya kuongeza kasi ya mchakato huo.

Mfano 14. Hatua husogea katika mstari ulionyooka kwa mujibu wa sheria . Tafuta kasi na kuongeza kasi ya mwendo .

Suluhisho. Kasi ya harakati ya mwili kwa wakati fulani ni sawa na derivative ya njia s kwa wakati t, na kuongeza kasi ni derivative ya pili ya njia s kwa wakati t. Tunapata:

; Kisha;

; Kisha

Mfano 15. Kasi ya mwendo wa rectilinear ni sawia na mzizi wa mraba wa umbali uliosafirishwa (kama, kwa mfano, katika kuanguka kwa bure). Thibitisha kwamba harakati hii hutokea chini ya ushawishi wa nguvu ya mara kwa mara.

Suluhisho. Kwa mujibu wa sheria ya Newton, nguvu F inayosababisha harakati ni sawia na kuongeza kasi, i.e.

au

Kulingana na hali hiyo, . Kutofautisha usawa huu, tunapata

Kwa hiyo, nguvu ya kaimu .

Maombi ya derivative kwa utafiti wa kazi.

1) Masharti ya kuongeza kazi: Chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) huongezeka kimonotoni kwenye muda wa X ikiwa tu ikiwa derivative yake ni kubwa kuliko sufuri, i.e. y = f(x) f’(x) > 0. Hali hii kijiometri ina maana kwamba tangent kwa grafu ya kazi hii huunda pembe ya papo hapo yenye mwelekeo mzuri kwa mhimili wa oX.

2) Hali ya utendaji kupungua: Chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa y = f(x) hupungua kimonotoni kwenye muda wa X ikiwa na ikiwa tu derivative yake ni chini ya sifuri, i.e.

y = f(x)↓ f’(x)Hali hii kijiometri ina maana kwamba tanjenti kwa grafu ya chaguo hili la kukokotoa huunda angle butu na mwelekeo mzuri wa mhimili wa oh)

3) Masharti ya kudumu kwa kazi: Kazi inayoweza kutofautishwa y = f(x) ni mara kwa mara kwenye muda wa X ikiwa na tu ikiwa derivative yake ni sawa na sifuri, i.e. y = f (x) - mara kwa mara f’(x) = 0 . Hali hii kijiometri inamaanisha kuwa tanjiti kwa grafu ya chaguo za kukokotoa ni sambamba na mhimili wa oX, yaani α = 0)

Uliokithiri wa utendaji.

Ufafanuzi 1: Hatua x = x 0 inaitwa kiwango cha chini kazi y = f(x), ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho alama zote (isipokuwa nukta yenyewe) zinakidhi ukosefu wa usawa f(x)> f(x 0)

Ufafanuzi wa 2: Hatua x = x 0 inaitwa kiwango cha juu kazi y = f(x), ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho alama zote (isipokuwa nukta yenyewe) zinakidhi ukosefu wa usawa f(x)< f(x 0).

Ufafanuzi wa 3: Kiwango cha chini au cha juu zaidi cha chaguo la kukokotoa kinaitwa nukta uliokithiri. Thamani ya kazi katika hatua hii inaitwa uliokithiri.

Vidokezo: 1. Upeo (kiwango cha chini) si lazima thamani kubwa zaidi (ndogo) ya chaguo za kukokotoa;

2. Chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa na upeo au viwango vya chini kadhaa;

3. Chaguo za kukokotoa zilizofafanuliwa kwa muda zinaweza kufikia kiwango cha juu ndani pekee pointi za ndani sehemu hii.

5) Sharti uliokithiri: Ikiwa kazi y = f (x) ina upeo katika hatua x = x 0, basi katika hatua hii derivative ni sifuri au haipo. Pointi hizi zinaitwa pointi muhimu za aina ya 1.

6) Masharti ya kutosha kuwepo kwa upeo wa kazi: Acha kazi y = f(x) iendelee kwenye kipindi cha X na iwe na sehemu muhimu ya aina ya kwanza x = x 0 ndani ya muda huu, kisha:

a) ikiwa sehemu hii ina kitongoji ambacho kwa x< х 0 f’(x) < 0, а при x>x 0 f’(x) > 0, kisha x = x 0 ni nukta kiwango cha chini kazi y = f(x);

b) ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho kwa x< х 0 f’(x) >0, na kwa x> x 0

f'(x)< 0, то х = х 0 является точкой upeo kazi y = f(x);

c) ikiwa hatua hii ina kitongoji ambacho ndani yake kwa kulia na kushoto kwa uhakika x 0 ishara za derivative ni sawa, basi kwa uhakika x 0 hakuna extremum.

Vipindi vya kazi ya kupungua au kuongezeka huitwa vipindi monotoni.

Ufafanuzi 1: Curve y = f(x) inaitwa mbonyeo chini kwa muda a< х <в, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка и кривая у = f(x) называется convex juu kwa muda a< х <в, если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Ufafanuzi wa 2: Vipindi ambavyo grafu ya chaguo za kukokotoa imebonyea kwenda juu au chini huitwa vipindi vya mbonyeo kazi graphics.

Hali ya kutosha kwa convexity ya curve. Grafu ya chaguo za kukokotoa zinazoweza kutofautishwa Y = f(x) ni convex juu kwa muda a< х <в, если f”(x) < 0 и mbonyeo chini, ikiwa f”(x) > 0.

Ufafanuzi wa 1: Pointi ambazo derivative ya pili ni sifuri au haipo huitwa pointi muhimu za aina ya pili.

Ufafanuzi wa 2: Hoja kwenye grafu ya chaguo la kukokotoa Y = f(x), ikitenganisha vipindi vya mwonekano wa mwelekeo tofauti wa grafu hii, inaitwa uhakika. inflection

hatua ya inflection

Mfano: Kutokana na kazi y = x 3 - 2x 2 + 6x - 4. Chunguza kazi kwa vipindi vya monotonicity na pointi kali. Kuamua mwelekeo wa convexity na hatua ya inflection.

Suluhisho: 1. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi: D (y) =;

2. Hebu tutafute derivative ya kwanza: y’ = 3x 2 - 4x+ 6;

3. Hebu tutatue equation: y’ = 0, 3x 2 - 4x+ 6 = 0, D 0, basi equation hii haina ufumbuzi, kwa hiyo hakuna pointi kali. y’ , basi chaguo la kukokotoa huongezeka juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.

4. Tafuta derivative ya pili: y” = 6x - 4;

5. Tatua mlingano: y” = 0, 6x - 4 = 0, x =

Jibu: ( ; - ) - sehemu ya inflection, kitendakazi ni mbonyeo kwenda juu kwa x na mbonyeo kwenda juu kwa x

Asymptotes.

1. Ufafanuzi: Asymptote ya curve ni mstari wa moja kwa moja ambao grafu ya chaguo la kukokotoa hukaribia bila kikomo.

2. Aina za asymptotes:

1) Asymptotes za wima. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ina asymptoti wima ikiwa . Mlinganyo wa asymptoti wima una fomu x = a

2) Asymptotes ya mlalo. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ina asymptoti mlalo ikiwa . Mlingano wa asymptote mlalo una fomu y = b.

Mfano 1: Kwa kazi y = tafuta asymptotes.

3) Asymptotes ya Oblique. Mstari wa moja kwa moja y = kx + b unaitwa asymptote ya slanted ya grafu ya kazi y = f (x), ikiwa . Thamani za k na b huhesabiwa kwa kutumia fomula: k =; b = .

Suluhisho: , basi y = 0 - asymptote ya usawa;

(kwa kuwa x - 3 ≠ 0, x ≠3), basi x = 3 ni asymptote ya wima. ,T. e. k = 0, basi curve haina asymptote ya oblique.

Mfano wa 2: Kwa kazi y = tafuta asymptotes.

Suluhisho: x 2 - 25 ≠ 0 kwa x ≠ ± 5, kisha x = 5 na x = - 5 ni asymptotes ya usawa;

y = , basi curve haina asymptote ya wima;

k = ; b = , yaani y = 5x - oblique asymptote.

Mifano ya kazi za kupanga.

Mfano 1.

Chunguza chaguo za kukokotoa na ujenge grafu ya chaguo za kukokotoa y = x 3 - 6x 2 + 9x - 3

1. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi: D (y) = R

y(- x) = (- x) 3 - 6·(- x) 2 + 9·(-x) - 3 = - x 3 - 6x 2 - 9x - 3 = - (x 3 + 6x 2 + 9x + 3), yaani.

(y = x 5 - x 3 - isiyo ya kawaida, y = x 4 + x 2 - sawa)

3. Sio mara kwa mara.

4. Pata pointi za makutano na axes za kuratibu: ikiwa x = 0, basi y = - 3 (0; - 3)

ikiwa Y = 0, x ni vigumu kupata.

5. Hebu tutafute asymptotes ya grafu ya kazi: Hakuna asymptotes wima, kwa sababu hakuna maadili ya x ambayo chaguo la kukokotoa halijabainishwa; y = , yaani hakuna asymptotes mlalo;

k = , yaani hakuna asymptotes oblique.

6. Tunasoma kazi ya vipindi vya monotonicity na extrema yake: y’ = 3x 2 - 12x + 9,

y’= 0. 3x 2 - 12x + 9 = 0 x 1 = 1; x 2 = 3 - pointi muhimu za aina ya 1.

Hebu tutambue ishara za derivative: y’(0) = 9 > 0; y’(2) = - 3< 0; y’(4) = 9 > 0

y max = y (1) = 1, (1;1) - kiwango cha juu; y min = y(3) = - 3, (3; - 3) - kiwango cha chini zaidi, tendakazi y kwa x na y .

7. Tunachunguza kazi kwa vipindi vya convexity na inflection pointi:

y” = (y’)’ = (3x 2 - 12x + 9)’ = 6x - 12, y” = 0, 6x - 12 = 0 x = 2 - hatua muhimu ya aina ya 1.

Wacha tuamue ishara za derivative ya pili: y”(0) = - 12< 0; y”(3) = 6 > 0

Y(2) = - 1 (2; - 1) - sehemu ya infleksi, chaguo la kukokotoa ni mbonyeo kwenda juu kwa x na kukunja chini kwa x.

8. Alama za ziada:

X	- 1
katika	- 19

9. Wacha tutengeneze grafu ya kazi:

Chunguza chaguo za kukokotoa na ujenge grafu ya chaguo za kukokotoa y =

1. Hebu tupate kikoa cha ufafanuzi wa kazi: 1 - x ≠ 0, x ≠ 1, D (y) = .

2. Hebu tujue kama kipengele hiki hata au isiyo ya kawaida: ,

y(- x) ≠ y(x) - sio hata na y(- x) ≠ - y(x) - sio ya kawaida

3. Sio mara kwa mara.

4. Pata pointi za makutano na axes za kuratibu: x = 0, basi y = - 2; y = 0, basi , yaani (0; - 2); ().

5. Hebu tupate asymptotes ya grafu ya kazi: kwa sababu x ≠ 1, kisha mstari wa moja kwa moja x = 1 ni asymptote ya wima;