Nambari tata. Kuinua nambari changamano hadi mamlaka

Hebu tukumbushe taarifa muhimu kuhusu nambari ngumu.

Nambari tata ni kielelezo cha fomu a + bi, Wapi a, b - nambari za kweli, A i- kinachojulikana kitengo cha kufikiria, ishara ambayo mraba wake ni sawa na -1, yaani i 2 = -1. Nambari a kuitwa sehemu halisi, na nambari b - sehemu ya kufikirika nambari changamano z = a + bi. Kama b= 0, basi badala yake a + 0i wanaandika tu a. Inaweza kuonekana kuwa nambari halisi ni kesi maalum nambari ngumu.

Shughuli za hesabu kwenye nambari changamano ni sawa na kwenye nambari halisi: zinaweza kuongezwa, kupunguzwa, kuzidishwa na kugawanywa kwa kila mmoja. Kuongeza na kutoa hufanyika kulingana na kanuni ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, na kuzidisha kunafuata kanuni ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (tangazo + bc)i(hapa inatumika hiyo i 2 = -1). Nambari = a – bi kuitwa mchanganyiko tata Kwa z = a + bi. Usawa z · = a 2 + b 2 hukuruhusu kuelewa jinsi ya kugawanya nambari moja changamano na nambari changamano nyingine (isiyo ya sifuri):

(Kwa mfano, .)

Nambari tata zina rahisi na ya kuona uwakilishi wa kijiometri: nambari z = a + bi inaweza kuwakilishwa na vekta yenye kuratibu ( a; b) kwenye Ndege ya Cartesian(au, ambayo ni karibu kitu kimoja, uhakika - mwisho wa vector na kuratibu hizi). Katika kesi hii, jumla ya nambari mbili changamano zinaonyeshwa kama jumla ya vekta zinazolingana (ambazo zinaweza kupatikana kwa kutumia kanuni ya parallelogramu). Kulingana na nadharia ya Pythagorean, urefu wa vekta na kuratibu ( a; b) ni sawa na. Kiasi hiki kinaitwa moduli nambari changamano z = a + bi na inaashiriwa na | z|. Pembe ambayo vekta hii hufanya kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa x (iliyohesabiwa kinyume cha saa) inaitwa hoja nambari changamano z na inaonyeshwa na Arg z. Hoja haijafafanuliwa kipekee, lakini hadi tu nyongeza ya 2 π radians (au 360 °, ikiwa imehesabiwa kwa digrii) - baada ya yote, ni wazi kwamba mzunguko kwa pembe kama hiyo karibu na asili hautabadilisha vector. Lakini ikiwa vector ya urefu r huunda pembe φ na mwelekeo mzuri wa mhimili wa x, basi kuratibu zake ni sawa na ( r cos φ ; r dhambi φ ) Kutoka hapa inageuka nukuu ya trigonometric nambari changamano: z = |z| · (cos (Arg z) + i dhambi (Arg z)). Mara nyingi ni rahisi kuandika nambari ngumu katika fomu hii, kwa sababu hurahisisha mahesabu. Kuzidisha nambari ngumu katika fomu ya trigonometric ni rahisi sana: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos (Arg z 1 + Arg z 2) + i dhambi (Arg z 1 + Arg z 2)) (wakati wa kuzidisha nambari mbili ngumu, moduli zao zinazidishwa na hoja zao huongezwa). Kuanzia hapa fuata Fomula za Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i dhambi ( n· (Arg z))). Kwa kutumia fomula hizi, ni rahisi kujifunza jinsi ya kutoa mizizi ya digrii yoyote kutoka kwa nambari changamano. Mzizi shahada ya nth kutoka nambari z- hii ni nambari changamano w, Nini w n = z. Ni wazi kwamba , Na wapi k inaweza kuchukua thamani yoyote kutoka kwa seti (0, 1, ..., n- 1). Hii ina maana kwamba daima kuna hasa n mizizi n th shahada ya nambari changamano (kwenye ndege ziko kwenye wima za kawaida n-gonjwa).

§1. Nambari tata

1°. Ufafanuzi. Nukuu ya algebra.

Ufafanuzi 1. Nambari tata jozi zilizoagizwa za nambari halisi zinaitwa Na , ikiwa kwao dhana ya usawa, shughuli za kuongeza na kuzidisha zinafafanuliwa, kukidhi axioms zifuatazo:

1) Nambari mbili
Na
sawa ikiwa na tu ikiwa
,
, i.e.

2) Jumla ya nambari changamano
Na

na sawa
, i.e.

3) Bidhaa ya nambari ngumu
Na
ni nambari iliyoonyeshwa na
na sawa, i.e.

Seti ya nambari changamano imebainishwa C.

Fomula (2), (3) za nambari za fomu
kuchukua fomu

inatoka wapi kwamba shughuli za kuongeza na kuzidisha kwa nambari za fomu
sanjari na kujumlisha na kuzidisha kwa nambari halisi nambari changamano ya fomu
kutambuliwa na nambari halisi .

Nambari tata
kuitwa kitengo cha kufikiria na imeteuliwa , i.e.
Kisha kutoka (3)

Kutoka (2), (3)  ambayo ina maana

Usemi (4) unaitwa nukuu ya algebra nambari changamano.

Katika nukuu za aljebra, shughuli za kuongeza na kuzidisha huchukua fomu:

Nambari changamano inaonyeshwa na
,- sehemu halisi, - sehemu ya kufikiria, ni nambari ya kufikiria tu. Uteuzi:
,
.

Ufafanuzi 2. Nambari tata
kuitwa kuunganisha yenye nambari changamano
.

Sifa za muunganisho mgumu.

1)

2)
.

3) Kama
, Hiyo
.

4)
.

5)
- nambari halisi.

Uthibitisho unafanywa kwa hesabu moja kwa moja.

Ufafanuzi 3. Nambari
kuitwa moduli nambari changamano
na imeteuliwa
.

Ni dhahiri kwamba
, na


. Fomula pia ni dhahiri:
Na
.

2°. Sifa za kuongeza na kuzidisha shughuli.

1) Mawasiliano:
,
.

2) Ushirikiano:,
.

3) Usambazaji:.

Uthibitisho 1) - 3) unafanywa na mahesabu ya moja kwa moja kulingana na mali sawa kwa nambari halisi.

4)
,
.

5) , C ! , kuridhisha equation
. Hii

6) ,C, 0, ! :
. Hii hupatikana kwa kuzidisha mlinganyo kwa



.

Mfano. Hebu tufikirie nambari changamano
V fomu ya algebra. Ili kufanya hivyo, zidisha nambari na denominator ya sehemu kwa nambari ya conjugate ya denominator. Tuna:

3°. Tafsiri ya kijiometri ya nambari ngumu. Aina ya trigonometric na kielelezo cha kuandika nambari changamano.

Wacha wapewe kwenye ndege mfumo wa mstatili kuratibu Kisha
C unaweza kulinganisha hatua kwenye ndege na kuratibu
.(tazama Mchoro 1). Kwa wazi, mawasiliano kama haya ni ya moja kwa moja. Katika kesi hii, nambari halisi ziko kwenye mhimili wa abscissa, na nambari za kufikiria ziko kwenye mhimili wa kuratibu. Kwa hiyo, mhimili wa abscissa unaitwa mhimili halisi, na mhimili wa kuratibu - mhimili wa kufikirika. Ndege ambayo nambari ngumu ziko inaitwa ndege tata.

Kumbuka kwamba Na
ni linganifu kuhusu asili, na Na ulinganifu kuhusu Ox.

Kila nambari changamano (yaani, kila nukta kwenye ndege) inaweza kuhusishwa na vekta yenye mwanzo katika nukta O na mwisho kwa uhakika.
. Mawasiliano kati ya vekta na nambari changamano ni moja hadi moja. Kwa hivyo, vekta inayolingana na nambari changamano , iliyoonyeshwa kwa herufi sawa

D mstari wa vekta
inayolingana na nambari changamano
, ni sawa
, na
,
.

Kutumia tafsiri ya vekta, tunaweza kuona kwamba vekta
− jumla ya vekta Na , A
− jumla ya vekta Na
.(tazama Mchoro 2). Kwa hivyo, ukosefu wa usawa ufuatao ni halali:

Pamoja na urefu vekta hebu tuanzishe pembe kati ya vector na mhimili wa Ox, unaohesabiwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa Ox: ikiwa kuhesabu ni kinyume cha saa, basi ishara ya angle inachukuliwa kuwa chanya, ikiwa ni ya saa, basi ni hasi. Pembe hii inaitwa hoja changamano ya nambari na imeteuliwa
. Kona haijaamuliwa bila utata, lakini kwa usahihi
…. Kwa
hoja haijafafanuliwa.

Formula (6) hufafanua kinachojulikana nukuu ya trigonometric nambari changamano.

Kutoka (5) inafuata kwamba ikiwa
Na
Hiyo

Kutoka (5)
vipi kuhusu Na nambari changamano imebainishwa kipekee. Mazungumzo si ya kweli: yaani, juu ya nambari changamano moduli yake ni ya kipekee, na hoja , kwa mujibu wa (7), − kwa usahihi
. Pia inafuata kutoka (7) kwamba hoja inaweza kupatikana kama suluhisho la equation

Walakini, sio suluhisho zote za equation hii ni suluhisho la (7).

Kati ya maadili yote ya hoja ya nambari tata, moja huchaguliwa, ambayo inaitwa dhamana kuu ya hoja na inaonyeshwa.
. Kawaida thamani kuu ya hoja huchaguliwa ama katika muda
, au katika muda

Ni rahisi kufanya shughuli za kuzidisha na kugawanya katika fomu ya trigonometric.

Nadharia 1. Modulus ya bidhaa ya nambari changamano Na ni sawa na bidhaa ya moduli, na hoja ni jumla ya hoja, i.e.

, A.

Vivyo hivyo

,

Ushahidi. Hebu,. Kisha kwa kuzidisha moja kwa moja tunapata:

Vivyo hivyo

.■

Matokeo(Mchanganyiko wa Moivre). Kwa
Fomula ya Moivre ni halali

P mfano. Hebu tupate eneo la kijiometri la uhakika
. Kutoka kwa Theorem 1 inafuata hiyo.

Kwa hiyo, ili kuijenga, lazima kwanza ujenge uhakika , ambayo ni inversion kuhusiana na mduara wa kitengo, na kisha utafute ncha inayolingana nayo kuhusiana na mhimili wa Ox.

Hebu
,wale.
Nambari tata
iliyoonyeshwa na
, i.e. R Fomula ya Euler ni halali

Kwa sababu
, Hiyo
,
. Kutoka kwa nadharia 1
ni nini na kazi
unaweza kufanya kazi kama kwa kazi ya kawaida ya kielelezo, i.e. usawa ni halali

,
,
.

Kutoka (8)
nukuu ya maonyesho nambari changamano

, Wapi
,

Mfano. .

4°. Mizizi -th nguvu ya nambari changamano.

Fikiria mlinganyo

Hebu
, na suluhu ya mlinganyo (9) inatafutwa katika fomu
. Kisha (9) huchukua fomu
, kutoka wapi tunapata hiyo
,
, i.e.

,
,
.

Kwa hivyo, equation (9) ina mizizi

Hebu tuonyeshe kwamba kati ya (10) kuna hasa mizizi tofauti. Kweli,

ni tofauti, kwa sababu hoja zao ni tofauti na tofauti kidogo kuliko
. Zaidi,
, kwa sababu
. Vivyo hivyo
.

Hivyo, equation (9) katika
ina hasa mizizi
, iko kwenye wima ya kawaida -pembetatu iliyoandikwa katika mduara wa radius na kituo cha t.O.

Hivyo inathibitishwa

Nadharia 2. Uchimbaji wa mizizi -th nguvu ya nambari changamano
Daima inawezekana. Maana zote za mizizi shahada ya iko kwenye wima ya sahihi -gon iliyoandikwa kwenye mduara na katikati katika sifuri na radius
. Ambapo,

Matokeo. Mizizi Nguvu ya 1 inaonyeshwa na fomula

.

Bidhaa ya mizizi miwili ya 1 ni mzizi, 1 ni mzizi - nguvu ya umoja, mzizi
:
.

Hebu tuanze na mraba wetu unaopenda.

Mfano 9

Mraba nambari changamano

Hapa unaweza kwenda kwa njia mbili, njia ya kwanza ni kuandika tena digrii kama bidhaa ya sababu na kuzidisha nambari kulingana na sheria ya kuzidisha polynomials.

Njia ya pili ni kutumia fomula inayojulikana ya shule kwa kuzidisha kwa kifupi:

Kwa nambari changamano ni rahisi kupata fomula yako mwenyewe ya kuzidisha iliyofupishwa:

Njia kama hiyo inaweza kutolewa kwa mraba wa tofauti, na pia kwa mchemraba wa jumla na mchemraba wa tofauti. Lakini fomula hizi zinafaa zaidi kwa shida ngumu za uchambuzi. Je, ikiwa unahitaji kuongeza nambari changamano ili, tuseme, nguvu ya 5, 10 au 100? Ni wazi kuwa karibu haiwezekani kufanya hila kama hiyo katika fomu ya algebra; kwa kweli, fikiria juu ya jinsi utakavyosuluhisha mfano kama?

Na hapa fomu ya trigonometric ya nambari tata inakuja kuwaokoa na kinachojulikana Fomula ya Moivre: Ikiwa nambari changamano inawakilishwa katika umbo la trigonometric, basi inapoinuliwa hadi nguvu asilia, fomula ifuatayo ni halali:

Inatia hasira tu.

Mfano 10

Kwa kuzingatia nambari changamano, tafuta.

Nini kifanyike? Kwanza unahitaji kuwakilisha nambari hii katika fomu ya trigonometric. Wasomaji makini watakuwa wamegundua kuwa katika Mfano wa 8 tayari tumefanya hivi:

Halafu, kulingana na formula ya Moivre:

Hasha, huna haja ya kuhesabu calculator, lakini katika hali nyingi angle inapaswa kurahisishwa. Jinsi ya kurahisisha? Kwa kusema kwa mfano, unahitaji kujiondoa zamu zisizo za lazima. Mapinduzi moja ni radian au digrii 360. Wacha tujue ni zamu ngapi katika hoja. Kwa urahisi, tunafanya sehemu kuwa sahihi :, baada ya hapo inaonekana wazi kwamba unaweza kupunguza mapinduzi moja :. Natumai kila mtu anaelewa kuwa hii ni pembe sawa.

Kwa hivyo, jibu la mwisho litaandikwa kama hii:

Tofauti tofauti ya tatizo la upanuzi ni ufafanuzi wa nambari za kufikiria tu.

Mfano 12

Ongeza nambari changamano hadi mamlaka

Hapa, pia, kila kitu ni rahisi, jambo kuu ni kukumbuka usawa maarufu.

Ikiwa kitengo cha kufikiria kimeinuliwa kwa nguvu sawa, basi mbinu ya suluhisho ni kama ifuatavyo.

Ikiwa kitengo cha kufikiria kimeinuliwa kwa nguvu isiyo ya kawaida, basi "tunapunguza" moja "na", kupata nguvu sawa:

Ikiwa kuna minus (au mgawo wowote halisi), basi lazima kwanza itenganishwe:

Kuchimba mizizi kutoka kwa nambari changamano. Mlinganyo wa quadratic na mizizi tata

Hebu tuangalie mfano:

Haiwezi kutoa mzizi? Kama tunazungumzia kuhusu idadi halisi, basi ni kweli haiwezekani. Inawezekana kutoa mzizi wa nambari ngumu! Usahihi zaidi, mbili mzizi:

Je, mizizi hupatikana kweli suluhu ya mlinganyo? Hebu tuangalie:

Ambayo ndio inahitajika kukaguliwa.

Nukuu iliyofupishwa hutumiwa mara nyingi; mizizi yote miwili imeandikwa kwenye mstari mmoja chini ya "sega moja": .

Mizizi hii pia huitwa unganisha mizizi ngumu.

Jinsi ya kuchimba mizizi ya mraba Kutoka kwa nambari hasi, nadhani kila mtu anaelewa: ,,,, nk. Katika hali zote zinageuka mbili unganisha mizizi ngumu.