Pata suluhisho la matrix inverse. Matrix inverse na sifa zake

Matrix ya kinyume cha matrix iliyopewa ni matrix kama hiyo, ikizidisha ile ya asili ambayo hutoa utambulisho wa utambulisho: Hali ya lazima na ya kutosha kwa uwepo wa matrix ya kinyume ni kwamba kiamua cha tumbo asili ni si sawa na sifuri (ambayo kwa upande wake ina maana kwamba tumbo lazima mraba). Ikiwa kiashiria cha matrix ni sawa na sifuri, basi inaitwa umoja na matrix kama hiyo haina inverse. Katika hisabati ya juu, matrices inverse ni muhimu na hutumiwa kutatua matatizo kadhaa. Kwa mfano, juu kutafuta matrix inverse njia ya matrix ya kutatua mifumo ya equations ilijengwa. Tovuti yetu ya huduma inaruhusu kuhesabu matrix inverse online njia mbili: njia ya Gauss-Jordan na kutumia matrix ya nyongeza za aljebra. Ya kwanza inahusisha idadi kubwa ya mabadiliko ya kimsingi ndani ya matrix, ya pili inahusisha hesabu ya viambishi na nyongeza za algebra kwa vipengele vyote. Ili kukokotoa kiambishi cha matrix mtandaoni, unaweza kutumia huduma yetu nyingine - Uhesabuji wa kibainishi cha matrix mtandaoni.

Tafuta matrix inverse ya tovuti

tovuti inakuwezesha kupata matrix inverse online haraka na bure. Kwenye tovuti, mahesabu yanafanywa kwa kutumia huduma yetu na matokeo hutolewa kwa ufumbuzi wa kina wa kutafuta matrix ya kinyume. Seva daima hutoa tu jibu sahihi na sahihi. Katika kazi kwa ufafanuzi matrix inverse online, ni muhimu kwamba kibainishi matrices ilikuwa nonzero, vinginevyo tovuti itaripoti kutowezekana kwa kupata matrix ya kinyume kwa sababu ya ukweli kwamba kibainishi cha matrix ya asili ni sawa na sifuri. Jukumu la kutafuta matrix ya kinyume hupatikana katika matawi mengi ya hisabati, ikiwa ni mojawapo ya dhana za msingi za aljebra na zana ya hisabati katika matatizo yanayotumika. Kujitegemea ufafanuzi wa matrix inverse inahitaji juhudi kubwa, muda mwingi, mahesabu na uangalifu mkubwa ili kuepuka makosa ya uchapaji au makosa madogo katika mahesabu. Kwa hivyo huduma yetu kutafuta matrix inverse online itafanya kazi yako iwe rahisi zaidi na itakuwa chombo muhimu cha kutatua matatizo ya hisabati. Hata kama wewe pata matrix inverse mwenyewe, tunapendekeza uangalie suluhisho lako kwenye seva yetu. Ingiza matrix yako asili kwenye Hesabu yetu ya matrix inverse mkondoni na uangalie jibu lako. Mfumo wetu haufanyi makosa na hupata matrix ya kinyume kupewa mwelekeo katika hali mtandaoni papo hapo! Kwenye tovuti tovuti maingizo ya wahusika yanaruhusiwa katika vipengele matrices, kwa kesi hii matrix inverse online itawasilishwa kwa namna ya kiishara kwa ujumla.

Kwa matrix yoyote isiyo ya umoja A kuna matrix ya kipekee A -1 kama hiyo

A*A -1 =A -1 *A = E,

ambapo E ni matriki ya utambulisho ya maagizo sawa na A. Matrix A -1 inaitwa kinyume cha matrix A.

Iwapo mtu alisahau, kwenye matrix ya kitambulisho, isipokuwa kwa diagonal iliyojazwa na zile, nafasi zingine zote zinajazwa na sufuri, mfano wa matrix ya kitambulisho:

Kupata matrix inverse kwa kutumia mbinu ya matriki inayoambatana

Matrix inverse inafafanuliwa na formula:

ambapo A ij - vipengele a ij.

Wale. Ili kuhesabu matriki ya kinyume, unahitaji kuhesabu kibainishi cha matrix hii. Kisha pata nyongeza za algebra kwa vipengele vyake vyote na utunge matrix mpya kutoka kwao. Ifuatayo, unahitaji kusafirisha tumbo hili. Na ugawanye kila kipengele cha matriki mpya na kibainishi cha matriki asilia.

Hebu tuangalie mifano michache.

Tafuta A -1 kwa matrix

Suluhisho. Hebu tutafute A -1 kwa kutumia mbinu ya matriki inayoambatana. Tuna det A = 2. Hebu tupate nyongeza za algebra za vipengele vya matrix A. Katika kesi hii, nyongeza za algebra za vipengele vya tumbo zitakuwa vipengele vinavyolingana vya tumbo yenyewe, kuchukuliwa kwa ishara kwa mujibu wa formula.

Tunayo A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2. Tunaunda matrix inayoambatana

Tunasafirisha matrix A*:

Tunapata matrix ya kinyume kwa kutumia formula:

Tunapata:

Kwa kutumia njia ya matrix inayoambatana, pata A -1 ikiwa

Suluhisho. Kwanza kabisa, tunakokotoa ufafanuzi wa matrix hii ili kuthibitisha kuwepo kwa matriki kinyume. Tuna

Hapa tuliongeza kwa vipengele vya safu ya pili vipengele vya safu ya tatu, vilivyozidishwa hapo awali na (-1), na kisha kupanua kiashiria cha safu ya pili. Kwa kuwa ufafanuzi wa matrix hii ni nonzero, tumbo lake la kinyume lipo. Ili kuunda matrix inayoambatana, tunapata nyongeza za algebra za vitu vya tumbo hili. Tuna

Kulingana na formula

matrix ya usafiri A*:

Kisha kulingana na formula

Kupata matrix inverse kwa kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi

Kwa kuongezea njia ya kupata matrix inverse, ambayo hufuata kutoka kwa fomula (mbinu ya matrix iliyounganishwa), kuna njia ya kupata matrix inverse, inayoitwa njia ya mabadiliko ya kimsingi.

Mabadiliko ya matrix ya msingi

Mabadiliko yafuatayo yanaitwa mabadiliko ya msingi ya matrix:

1) upangaji upya wa safu (safu);

2) kuzidisha safu (safu) kwa nambari tofauti na sifuri;

3) kuongeza kwa vipengele vya safu (safu) vipengele vinavyolingana vya safu nyingine (safu), iliyozidishwa na nambari fulani.

Ili kupata matrix A -1, tunaunda matrix ya mstatili B = (A|E) ya maagizo (n; 2n), tukiweka kwa matrix A upande wa kulia matrix ya utambulisho E kupitia mstari wa kugawanya:

Hebu tuangalie mfano.

Kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, pata A -1 ikiwa

Suluhisho. Tunaunda matrix B:

Wacha tuonyeshe safu za matrix B kwa α 1, α 2, α 3. Wacha tufanye mabadiliko yafuatayo kwenye safu za matrix B.

Matrix A -1 inaitwa matrix inverse kuhusiana na matrix A ikiwa A*A -1 = E, ambapo E ni matriki ya utambulisho wa mpangilio wa nth. Matrix inverse inaweza kuwepo kwa matrices ya mraba pekee.

Kusudi la huduma. Kwa kutumia huduma hii mtandaoni unaweza kupata nyongeza za aljebra, matriki A T iliyopitishwa, matriki shirikishi na tumbo kinyume. Uamuzi huo unafanywa moja kwa moja kwenye tovuti (mkondoni) na ni bure. Matokeo ya hesabu yanawasilishwa katika ripoti katika muundo wa Neno na Excel (yaani, inawezekana kuangalia suluhisho). tazama mfano wa kubuni.

Maagizo. Ili kupata suluhisho, ni muhimu kutaja mwelekeo wa tumbo. Ifuatayo, jaza matrix A kwenye kisanduku kipya cha mazungumzo.

Tazama pia matrix Inverse kwa kutumia njia ya Jordano-Gauss

Algorithm ya kutafuta matrix inverse

Kutafuta matrix iliyopitishwa A T.
Ufafanuzi wa nyongeza za aljebra. Badilisha kila kipengele cha matriki na kijalizo chake cha aljebra.
Kukusanya matrix ya kinyume kutoka kwa nyongeza za aljebra: kila kipengele cha matriki inayotokana imegawanywa na kibainishi cha matrix ya asili. Matrix inayosababishwa ni kinyume cha matrix ya asili.

Inayofuata algorithm ya kupata matrix inverse sawa na ile ya awali isipokuwa kwa baadhi ya hatua: kwanza nyongeza za algebra huhesabiwa, na kisha tumbo la washirika C imedhamiriwa.

Amua ikiwa matrix ni ya mraba. Ikiwa sivyo, basi hakuna matrix inverse kwa hiyo.
Uhesabuji wa kibainishi cha matrix A. Ikiwa si sawa na sifuri, tunaendelea suluhisho, vinginevyo matrix inverse haipo.
Ufafanuzi wa nyongeza za aljebra.
Kujaza muungano (pamoja, karibu) matrix C .
Kukusanya matriki kinyume kutoka kwa nyongeza za aljebra: kila kipengele cha matriki ya kiunganishi C imegawanywa na kiambishi cha matriki asilia. Matrix inayosababishwa ni kinyume cha matrix ya asili.
Wanafanya hundi: huzidisha matrices ya awali na kusababisha. Matokeo yake yanapaswa kuwa matrix ya utambulisho.

Mfano Nambari 1. Wacha tuandike matrix katika fomu:

Nyongeza za algebra.

A 1,1 = (-1) 1+1

-1	-2
5	4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1+2

2	-2
-2	4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1.3 = (-1) 1+3

2	-1
-2	5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2+1

2	3
5	4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2+2

-1	3
-2	4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2+3

-1	2
-2	5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3.1 = (-1) 3+1

2	3
-1	-2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3.2 = (-1) 3+2

-1	3
2	-2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3.3 = (-1) 3+3

-1	2
2	-1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Kisha matrix ya kinyume inaweza kuandikwa kama:

A -1 = 1/10

6	-4	8
7	2	1
-1	4	-3

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Algorithm nyingine ya kupata matrix inverse

Wacha tuwasilishe mpango mwingine wa kutafuta matrix inverse.

Tafuta kibainishi cha matrix ya mraba uliyopewa.
Tunapata nyongeza za aljebra kwa vipengele vyote vya matrix A.
Tunaandika nyongeza za algebraic za vipengele vya safu kwenye safu (ubadilishaji).
Tunagawanya kila kipengee cha matrix inayosababishwa na kibainishi cha matrix A.

Kama tunavyoona, operesheni ya uhamishaji inaweza kutumika mwanzoni, kwenye tumbo la asili, na mwisho, kwenye nyongeza za aljebra.

Kesi maalum: Kinyume cha matrix ya utambulisho E ni matrix ya utambulisho E.

Ufafanuzi wa 1: matrix inaitwa umoja ikiwa kiashiria chake ni sifuri.

Ufafanuzi wa 2: matrix inaitwa isiyo ya umoja ikiwa kiashiria chake si sawa na sifuri.

Matrix "A" inaitwa matrix ya kinyume, ikiwa hali A*A-1 = A-1 *A = E (matrix ya kitengo) imeridhika.

Matrix ya mraba haiwezi kugeuzwa tu ikiwa haina umoja.

Mpango wa kuhesabu matrix inverse:

1) Kokotoa kibainishi cha matrix "A" ikiwa ∆ A = 0, basi matrix inverse haipo.

2) Pata nyongeza zote za algebraic za matrix "A".

3) Unda matrix ya nyongeza za aljebra (Aij)

4) Badili matrix ya viambajengo vya aljebra (Aij )T

5) Zidisha matriki iliyopitishwa kwa kinyume cha kibainishi cha matriki hii.

6) Fanya ukaguzi:

Kwa mtazamo wa kwanza inaweza kuonekana kuwa ngumu, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi sana. Suluhisho zote zinatokana na shughuli rahisi za hesabu, jambo kuu wakati wa kutatua sio kuchanganyikiwa na ishara "-" na "+" na sio kuzipoteza.

Sasa hebu tutatue kazi ya vitendo pamoja kwa kuhesabu matrix inverse.

Kazi: pata matrix ya kinyume "A" iliyoonyeshwa kwenye picha hapa chini:

Tunatatua kila kitu haswa kama inavyoonyeshwa kwenye mpango wa kuhesabu matrix ya kinyume.

1. Jambo la kwanza la kufanya ni kupata kibainishi cha matrix "A":

Maelezo:

Tumerahisisha kibainishi chetu kwa kutumia vipengele vyake vya kimsingi. Kwanza, tuliongeza kwenye mstari wa 2 na wa 3 vipengele vya mstari wa kwanza, kuzidishwa na nambari moja.

Pili, tulibadilisha safu ya 2 na 3 ya kiashiria, na kulingana na mali yake, tulibadilisha ishara mbele yake.

Tatu, tulichukua sababu ya kawaida (-1) ya mstari wa pili, na hivyo kubadilisha ishara tena, na ikawa chanya. Pia tulirahisisha mstari wa 3 kwa njia sawa na mwanzoni mwa mfano.

Tuna kiashiria cha triangular ambacho vipengele vilivyo chini ya diagonal ni sawa na sifuri, na kwa mali 7 ni sawa na bidhaa za vipengele vya diagonal. Mwishowe tulipata ∆ A = 26, kwa hivyo matrix inverse ipo.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 = -1*(9+2) = -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Hatua inayofuata ni kukusanya matrix kutoka kwa nyongeza zinazosababisha:

5. Zidisha matriki hii kwa kinyume cha kiambishi, yaani, kwa 1/26:

6. Sasa tunahitaji tu kuangalia:

Wakati wa mtihani, tulipokea matrix ya utambulisho, kwa hiyo, suluhisho lilifanyika kwa usahihi kabisa.

Njia 2 za kuhesabu matrix inverse.

1. Mabadiliko ya msingi ya tumbo

2. Matrix ya kinyume kupitia kibadilishaji cha msingi.

Mabadiliko ya matrix ya msingi ni pamoja na:

1. Kuzidisha mfuatano kwa nambari ambayo si sawa na sifuri.

2. Kuongeza kwa mstari wowote mstari mwingine unaozidishwa na nambari.

3. Badilisha safu za matrix.

4. Kutumia mlolongo wa mabadiliko ya msingi, tunapata matrix nyingine.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2.A -1 * A = E

Wacha tuangalie hii kwa kutumia mfano wa vitendo na nambari halisi.

Zoezi: Pata matrix ya kinyume.

Suluhisho:

Hebu tuangalie:

Ufafanuzi mdogo juu ya suluhisho:

Kwanza, tulipanga upya safu za 1 na 2 za matrix, kisha tukazidisha safu ya kwanza kwa (-1).

Baada ya hapo, tulizidisha safu ya kwanza na (-2) na kuiongeza na safu ya pili ya tumbo. Kisha tulizidisha mstari wa 2 kwa 1/4.

Hatua ya mwisho ya mabadiliko ilikuwa kuzidisha mstari wa pili na 2 na kuiongeza na ya kwanza. Kama matokeo, tunayo matrix ya kitambulisho upande wa kushoto, kwa hivyo, tumbo la kinyume ni tumbo la kulia.

Baada ya kuangalia, tulikuwa na hakika kwamba uamuzi huo ulikuwa sahihi.

Kama unaweza kuona, kuhesabu matrix inverse ni rahisi sana.

Mwishoni mwa hotuba hii, ningependa pia kutumia muda kidogo juu ya mali ya matrix kama hiyo.

Njia za kupata matrix inverse, . Fikiria tumbo la mraba

Wacha tuonyeshe Δ =det A.

Matrix ya mraba A inaitwa isiyoharibika, au sio maalum, ikiwa kibainishi chake ni nonzero, na kuzorota, au Maalum, KamaΔ = 0.

Matrix ya mraba B ni ya matriki ya mraba A ya mpangilio sawa ikiwa bidhaa yao ni A B = B A = E, ambapo E ni matriki ya utambulisho ya mpangilio sawa na matriki A na B.

Nadharia . Ili matrix A iwe na matrix inverse, ni muhimu na inatosha kwamba kibainishi chake kiwe tofauti na sifuri.

Matrix ya kinyume ya matrix A, iliyoonyeshwa na A- 1, kwa hivyo B = A - 1 na huhesabiwa kwa fomula

, (1)

ambapo A i j ni ukamilishaji wa aljebra wa vipengele a i j ya matrix A..

Kuhesabu A -1 kwa kutumia formula (1) kwa matrices ya juu ni kazi kubwa sana, hivyo katika mazoezi ni rahisi kupata A -1 kwa kutumia njia ya mabadiliko ya msingi (ET). Matrix yoyote isiyo ya umoja inaweza kupunguzwa hadi matrix E ya utambulisho kwa kutumia safu wima tu (au safu mlalo pekee) kwenye mkusanyiko wa utambulisho. Ikiwa mabadiliko kamili juu ya matrix A yatatumika kwa mpangilio sawa kwenye tumbo la utambulisho E, matokeo yatakuwa matrix inverse. Ni rahisi kutekeleza EP kwenye matrices A na E wakati huo huo, kuandika matrices zote mbili kwa upande kupitia mstari. Hebu tukumbuke tena kwamba wakati wa kutafuta fomu ya kisheria ya matrix, ili kuipata, unaweza kutumia mabadiliko ya safu na safu. Ikiwa unahitaji kupata kinyume cha matrix, unapaswa kutumia safu mlalo au safu wima pekee wakati wa mchakato wa kubadilisha.

Mfano 2.10. Kwa matrix tafuta A -1 .

Suluhisho.Kwanza tunapata kibainishi cha matrix A
Hii inamaanisha kuwa matrix inverse ipo na tunaweza kuipata kwa kutumia fomula: , ambapo A i j (i,j=1,2,3) ni nyongeza za aljebra za vipengele a i j vya matrix asilia.

Wapi .

Mfano 2.11. Kutumia njia ya mabadiliko ya kimsingi, pata A -1 kwa tumbo: A = .

Suluhisho.Tunapeana matrix asili upande wa kulia matrix ya utambulisho wa mpangilio sawa: . Kwa kutumia mabadiliko ya msingi ya safu wima, tutapunguza "nusu" ya kushoto hadi ya utambulisho, wakati huo huo tukifanya mabadiliko sawa kwenye tumbo la kulia.
Ili kufanya hivyo, badilisha safu wima ya kwanza na ya pili: ~ . Kwa safu ya tatu tunaongeza ya kwanza, na ya pili - ya kwanza, iliyozidishwa na -2: . Kutoka safu ya kwanza tunatoa ya pili mara mbili, na kutoka kwa tatu - ya pili imeongezeka kwa 6; . Wacha tuongeze safu ya tatu kwa ya kwanza na ya pili: . Zidisha safu wima ya mwisho kwa -1: . Matrix ya mraba inayopatikana upande wa kulia wa upau wima ni matriki ya kinyume ya matriki A. Kwa hivyo,
.