Tafuta uwezekano wa tukio lililobainishwa kwa kutumia fomula ya Bernoulli. Mpango wa Bernoulli

Hebu tusifikiri juu ya mambo ya juu kwa muda mrefu - hebu tuanze mara moja na ufafanuzi.

- hii ndio wakati majaribio ya kujitegemea ya aina moja yanafanywa, katika kila moja ambayo tukio A la riba kwetu linaweza kuonekana, na uwezekano wa tukio hili P (A) = p inajulikana. Tunahitaji kubainisha uwezekano kwamba, baada ya majaribio n, tukio A litatokea mara k haswa.

Shida ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia mpango wa Bernoulli ni tofauti sana: kutoka kwa rahisi (kama vile "tafuta uwezekano kwamba mpiga risasi atapiga mara 1 kwa 10") hadi kali sana (kwa mfano, shida zinazohusisha asilimia au kucheza kadi) Kwa kweli, mpango huu mara nyingi hutumiwa kutatua matatizo yanayohusiana na ufuatiliaji wa ubora wa bidhaa na uaminifu wa taratibu mbalimbali, sifa zote ambazo zinapaswa kujulikana kabla ya kuanza kazi.

Hebu turudi kwenye ufafanuzi. Kwa sababu ya tunazungumzia kuhusu majaribio huru, na katika kila jaribio uwezekano wa tukio A ni sawa, ni matokeo mawili tu yanawezekana:

A ni utokeaji wa tukio A lenye uwezekano p;
"sio A" - tukio A halikutokea, ambalo linatokea kwa uwezekano q = 1 - p.

Hali muhimu zaidi, bila ambayo mpango wa Bernoulli unapoteza maana yake, ni uthabiti. Haijalishi ni majaribio mangapi tunayofanya, tunavutiwa na tukio sawa A, ambalo hutokea kwa uwezekano sawa uk.

Kwa njia, sio matatizo yote katika nadharia ya uwezekano yanapunguzwa kwa hali ya mara kwa mara. Mwalimu yeyote mwenye uwezo atakuambia kuhusu hili. hisabati ya juu. Hata kitu rahisi kama kuchukua mipira ya rangi kutoka kwenye sanduku sio uzoefu na hali za mara kwa mara. Walichukua mpira mwingine - uwiano wa rangi kwenye sanduku ulibadilika. Kwa hivyo, uwezekano pia umebadilika.

Ikiwa hali ni thabiti, tunaweza kubainisha kwa usahihi uwezekano kwamba tukio A litatokea mara k haswa kati ya n iwezekanavyo. Wacha tuunde ukweli huu katika mfumo wa nadharia:

Acha uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio uwe thabiti na sawa na uk. Kisha uwezekano kwamba tukio A litaonekana mara k haswa katika majaribio huru n huhesabiwa kwa fomula:

ambapo C n k ni idadi ya michanganyiko, q = 1 - p.

Fomula hii inaitwa:. Inashangaza kutambua kwamba matatizo yaliyotolewa hapa chini yanaweza kutatuliwa kabisa bila kutumia fomula hii. Kwa mfano, unaweza kutumia fomula za kuongeza uwezekano. Walakini, kiasi cha hesabu kitakuwa kisichowezekana.

Kazi. Uwezekano wa kutengeneza bidhaa yenye kasoro kwenye mashine ni 0.2. Amua uwezekano kwamba katika kundi la sehemu kumi zinazozalishwa kwenye mashine hii sehemu za k zitakuwa bila kasoro. Tatua tatizo kwa k = 0, 1, 10.

Kwa mujibu wa hali hiyo, tunavutiwa na tukio A la kutolewa kwa bidhaa bila kasoro, ambayo hutokea kila wakati kwa uwezekano p = 1 - 0.2 = 0.8. Tunahitaji kubainisha uwezekano kwamba tukio hili litatokea mara k. Tukio A linalinganishwa na tukio "sio A", i.e. kutolewa kwa bidhaa yenye kasoro.

Hivyo, tuna: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

Kwa hivyo, tunapata uwezekano kwamba sehemu zote kwenye kundi zina kasoro (k = 0), kwamba kuna sehemu moja tu isiyo na kasoro (k = 1), na kwamba hakuna sehemu zenye kasoro kabisa (k = 10):

Kazi. Sarafu inatupwa mara 6. Kutua kanzu ya mikono na vichwa kuna uwezekano sawa. Tafuta uwezekano kwamba:

kanzu ya mikono itaonekana mara tatu;

kanzu ya silaha itaonekana mara moja;

kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili.

Kwa hivyo, tunavutiwa na tukio A, wakati kanzu ya mikono iko nje. Uwezekano wa tukio hili ni p = 0.5. Tukio A linalinganishwa na tukio "si A", wakati matokeo ni vichwa, ambayo hutokea kwa uwezekano q = 1 - 0.5 = 0.5. Tunahitaji kuamua uwezekano kwamba kanzu ya silaha itaonekana mara k.

Hivyo, tuna: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha hutolewa mara tatu, i.e. k = 3:

Sasa hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha ilikuja mara moja tu, i.e. k = 1:

Inabakia kuamua na uwezekano gani kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili. Jambo kuu ni katika kifungu "sio chini." Inatokea kwamba k yoyote isipokuwa 0 na 1 itatufaa, i.e. tunahitaji kupata thamani ya jumla ya X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Kumbuka kuwa jumla hii pia ni sawa na (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. ya kutosha ya yote chaguzi zinazowezekana"kata" wale wakati kanzu ya silaha ilianguka mara 1 (k = 1) au haikuanguka kabisa (k = 0). Kwa kuwa tayari tunajua P 6 (1), inabaki kupata P 6 (0):

Kazi. Uwezekano wa kuwa TV ina kasoro zilizofichwa ni 0.2. TV 20 zilifika kwenye ghala. Ni tukio gani linalowezekana zaidi: kwamba katika kundi hili kuna seti mbili za TV zilizo na kasoro zilizofichwa au tatu?

Tukio la kupendeza A ni uwepo wa kasoro iliyofichika. Kuna n = TV 20 kwa jumla, uwezekano wa kasoro iliyofichwa ni p = 0.2. Ipasavyo, uwezekano wa kupokea TV bila kasoro iliyofichwa ni q = 1 - 0.2 = 0.8.

Tunapata masharti ya kuanzia kwa mpango wa Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Wacha tupate uwezekano wa kupata TV mbili "zisizo" (k = 2) na tatu (k = 3):

\[\anza(safu)(l)(P_(20))\kushoto(2 \kulia) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20)}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Kwa wazi, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. uwezekano wa kupokea televisheni tatu zenye kasoro zilizojificha ni mkubwa kuliko uwezekano wa kupokea televisheni mbili tu za aina hiyo. Aidha, tofauti si dhaifu.

Ujumbe wa haraka kuhusu factorials. Watu wengi hupata hisia zisizo wazi za usumbufu wanapoona ingizo "0!" (soma "zero factorial"). kwa hivyo, 0! = 1 kwa ufafanuzi.

P.S. Na uwezekano mkubwa zaidi katika kazi ya mwisho ni kupata TV nne zilizo na kasoro zilizofichwa. Jihesabu mwenyewe na ujionee mwenyewe.

Angalia pia:

Asante kwa kusoma na kushiriki na wengine.

Wakati wa kutatua matatizo ya uwezekano, mara nyingi mtu hukutana na hali ambayo mtihani huo unarudiwa mara nyingi na matokeo ya kila mtihani ni huru na matokeo ya wengine. Jaribio hili pia linaitwa mara kwa mara vipimo vya kujitegemea au Mpango wa Bernoulli.

Mifano ya majaribio ya mara kwa mara:

1) kuondolewa mara kwa mara kwa mpira mmoja kutoka kwa urn, mradi mpira ulioondolewa umewekwa tena kwenye urn baada ya kusajili rangi yake;

2) marudio ya mpiga risasi mmoja kwa lengo sawa, mradi uwezekano wa kupiga kwa mafanikio kwa kila risasi unadhaniwa kuwa sawa (jukumu la sifuri halizingatiwi).

Kwa hiyo, basi vipimo viweze iwezekanavyo kama matokeo matokeo mawili: ama tukio litatokea A, au tukio kinyume. Wacha tufanye majaribio ya n Bernoulli. Hii ina maana kwamba majaribio yote ni huru; uwezekano wa kutokea kwa tukio $A$ katika kila jaribio la mtu binafsi au moja ni thabiti na haubadiliki kutoka kwa jaribio hadi jaribio (yaani, majaribio hufanywa chini ya hali sawa). Hebu tuonyeshe uwezekano wa kutokea kwa tukio $A$ katika jaribio moja kwa herufi $p$, i.e. $p=P(A)$, na uwezekano wa tukio kinyume (tukio $A$ halikutokea) - kwa herufi $q=P(\overline(A))=1-p$.

Kisha uwezekano kwamba tukio hilo A itaonekana katika haya n vipimo hasa k nyakati, zilizoonyeshwa Fomula ya Bernoulli

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Usambazaji wa idadi ya mafanikio (matukio ya tukio) inaitwa usambazaji wa binomial.

Vikokotoo vya mtandaoni vya fomula ya Bernoulli

Baadhi ya aina maarufu za shida zinazotumia fomula ya Bernoulli zinajadiliwa katika vifungu na zikiwa na kikokotoo cha mkondoni, unaweza kufuata viungo:

Mifano ya ufumbuzi wa matatizo kwa kutumia fomula ya Bernoulli

Mfano. Kuna mipira 20 nyeupe na 10 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 4 hutolewa nje, na kila mpira uliotolewa unarudishwa kwenye mkojo kabla ya mwingine kutolewa nje na mipira kwenye mkojo kuchanganyikiwa.

Fomula ya Bernoulli. Kutatua tatizo

Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira minne inayotolewa kutakuwa na 2 nyeupe.

Suluhisho. Tukio A- nimeelewa mpira mweupe. Kisha uwezekano
, .
Kulingana na fomula ya Bernoulli, uwezekano unaohitajika ni sawa na
.

Mfano. Amua uwezekano kwamba familia yenye watoto 5 haitakuwa na wasichana zaidi ya watatu. Uwezekano wa kuwa na mvulana na msichana unadhaniwa kuwa sawa.

Suluhisho. Uwezekano wa kuwa na msichana
, Kisha.

Wacha tupate uwezekano kwamba hakuna wasichana katika familia, msichana mmoja, wawili au watatu walizaliwa:

, ,

, .

Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika

Mfano. Miongoni mwa sehemu zilizochakatwa na mfanyakazi, kwa wastani 4% sio za kawaida. Pata uwezekano kwamba kati ya sehemu 30 zilizochukuliwa kwa majaribio, mbili zitakuwa zisizo za kawaida.

Suluhisho. Hapa uzoefu unajumuisha kuangalia kila moja ya sehemu 30 kwa ubora.

Tukio A ni "kuonekana kwa sehemu isiyo ya kawaida", uwezekano wake ni basi. Kutoka hapa, kwa kutumia formula ya Bernoulli, tunapata
.

Mfano. Kwa kila risasi ya mtu binafsi kutoka kwa bunduki, uwezekano wa kugonga lengo ni 0.9. Tafuta uwezekano kwamba kati ya picha 20 idadi ya picha zilizofaulu itakuwa angalau 16 na si zaidi ya 19.

Suluhisho. Tunahesabu kwa kutumia formula ya Bernoulli:

Mfano. Jaribio la kujitegemea linaendelea hadi tukio A haitatokea k mara moja. Tafuta uwezekano kwamba itahitajika n vipimo (n ³ k), ikiwa katika kila moja yao .

Suluhisho. Tukio KATIKA- hasa n vipimo kabla k- tukio la tukio A- ni zao la matukio mawili yafuatayo:

D - ndani n- mtihani A kilichotokea;

C - kwanza (n-1)- vipimo A ilionekana (k-1) mara moja.

Nadharia ya kuzidisha na fomula ya Bernoulli inatoa uwezekano unaohitajika:

Ikumbukwe kwamba matumizi ya sheria ya binomial mara nyingi huhusishwa na matatizo ya computational. Kwa hiyo, kwa kuongeza maadili n Na m Inashauriwa kutumia fomula takriban (Poisson, Moivre-Laplace), ambayo itajadiliwa katika sehemu zifuatazo.

Mafunzo ya video formula Bernoulli

Kwa wale wanaopendelea maelezo thabiti ya video, video ya dakika 15:

Fomula ya uwezekano wa jumla: nadharia na mifano ya utatuzi wa shida

Jumla ya fomula ya uwezekano na uwezekano wa masharti wa matukio

Mfumo uwezekano kamili ni matokeo ya kanuni za msingi za nadharia ya uwezekano - sheria za kuongeza na sheria za kuzidisha.

Fomula ya jumla ya uwezekano hukuruhusu kupata uwezekano wa tukio A, ambayo inaweza tu kutokea kwa kila moja ya n matukio ya kipekee yanayounda mfumo kamili, ikiwa uwezekano wao unajulikana, na uwezekano wa masharti matukio A kuhusiana na kila moja ya matukio ya mfumo ni sawa.

Matukio pia huitwa hypotheses; ni ya kipekee. Kwa hivyo, katika fasihi unaweza pia kupata jina lao sio kwa barua B, na barua H(dhahania).

Ili kutatua matatizo na hali hiyo, ni muhimu kuzingatia 3, 4, 5 au kesi ya jumla n uwezekano wa tukio kutokea A- na kila tukio.

Kwa kutumia nadharia za kuongeza na kuzidisha uwezekano, tunapata jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila moja ya matukio ya mfumo. uwezekano wa masharti matukio A kuhusu kila moja ya matukio ya mfumo.

21 vipimo vya Bernoulli. Fomula ya Bernoulli

Hiyo ni, uwezekano wa tukio A inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula

au kwa ujumla

ambayo inaitwa jumla ya formula ya uwezekano .

Fomula ya uwezekano wa jumla: mifano ya utatuzi wa shida

Mfano 1. Kuna urns tatu zinazofanana: ya kwanza ina mipira 2 nyeupe na 3 nyeusi, ya pili ina 4 nyeupe na moja nyeusi, ya tatu ina mipira mitatu nyeupe. Mtu anakaribia moja ya uni bila mpangilio na kuchukua mpira kutoka humo. Kuchukua faida jumla ya formula ya uwezekano, pata uwezekano kwamba mpira huu utakuwa mweupe.

Suluhisho. Tukio A- kuonekana kwa mpira nyeupe. Tunatoa nadharia tatu:

- sanduku la kwanza la kura limechaguliwa;

- sanduku la pili la kura limechaguliwa;

- urn ya tatu imechaguliwa.

Uwezekano wa masharti wa tukio A kuhusu kila moja ya nadharia:

, , .

Tunatumia fomula ya jumla ya uwezekano, na kusababisha uwezekano unaohitajika:

Mfano 2. Katika mmea wa kwanza, kati ya kila balbu 100, wastani wa balbu 90 za kawaida hutolewa, kwa pili - 95, kwa tatu - 85, na bidhaa za viwanda hivi ni 50%, 30% na 20%. , kwa mtiririko huo, ya balbu zote za mwanga zinazotolewa kwa maduka katika eneo fulani. Tafuta uwezekano wa kununua balbu ya kawaida.

Suluhisho. Hebu tuonyeshe uwezekano wa kununua balbu ya kawaida kwa A, na matukio ambayo balbu ya taa iliyonunuliwa ilitengenezwa katika viwanda vya kwanza, vya pili na vya tatu, kwa mtiririko huo, kupitia. Kwa hali, uwezekano wa matukio haya hujulikana: , , na uwezekano wa masharti ya tukio hilo A kuhusu kila mmoja wao: , , . Huu ndio uwezekano wa kununua balbu ya kawaida ya mwanga, mradi ilitengenezwa katika viwanda vya kwanza, vya pili na vya tatu, kwa mtiririko huo.

Tukio A itatokea ikiwa tukio litatokea K- balbu ya mwanga hutengenezwa kwenye mmea wa kwanza na ni ya kawaida, au tukio L- balbu ya mwanga hutengenezwa kwenye mmea wa pili na ni ya kawaida, au tukio M- balbu ya mwanga ilitengenezwa kwenye mmea wa tatu na ni ya kawaida.

Uwezekano mwingine wa tukio kutokea A Hapana. Kwa hiyo, tukio A ni jumla ya matukio K, L Na M, ambazo haziendani. Kwa kutumia nadharia ya kuongeza uwezekano, tunawazia uwezekano wa tukio A kama

na kwa nadharia ya uwezekano wa kuzidisha tunayopata

hiyo ni, kesi maalum jumla ya fomula za uwezekano.

Kubadilisha thamani za uwezekano katika upande wa kushoto wa fomula, tunapata uwezekano wa tukio. A:

Je, huna muda wa kuzama katika suluhisho? Unaweza kuagiza kazi!

Mfano 3. Ndege inatua kwenye uwanja wa ndege. Ikiwa hali ya hewa inaruhusu, rubani huweka ndege, kwa kutumia, pamoja na vyombo, pia uchunguzi wa kuona. Katika kesi hii, uwezekano wa kutua salama ni sawa na. Ikiwa uwanja wa ndege umefunikwa na mawingu ya chini, basi rubani hutua ndege, akiongozwa na vyombo tu. Katika kesi hii, uwezekano wa kutua salama ni sawa na; .

Vifaa ambavyo hutoa kutua kwa upofu ni vya kuaminika (uwezekano wa operesheni bila kushindwa) P. Katika uwepo wa mawingu ya chini na vyombo vya kutua vipofu vilivyoshindwa, uwezekano wa kutua kwa mafanikio ni sawa na; . Takwimu zinaonyesha kuwa katika k% ya kutua uwanja wa ndege umefunikwa na mawingu ya chini. Tafuta uwezekano wa jumla wa tukioA- kutua salama kwa ndege.

Suluhisho. Nadharia:

- hakuna mawingu ya chini;

- kuna mawingu ya chini.

Uwezekano wa dhana hizi (matukio):

;

Uwezekano wa masharti.

Tutapata tena uwezekano wa masharti kwa kutumia fomula ya uwezekano kamili na dhahania

- vifaa vya kutua vipofu vinafanya kazi;

- vyombo vya kutua vipofu vilishindwa.

Uwezekano wa nadharia hizi:

Kulingana na formula ya jumla ya uwezekano

Mfano 4. Kifaa kinaweza kufanya kazi kwa njia mbili: kawaida na isiyo ya kawaida. Hali ya kawaida huzingatiwa katika 80% ya matukio yote ya uendeshaji wa kifaa, na hali isiyo ya kawaida huzingatiwa katika 20% ya kesi. Uwezekano wa kushindwa kwa kifaa ndani muda fulani t sawa na 0.1; katika hali isiyo ya kawaida 0.7. Tafuta uwezekano kamili kushindwa kwa kifaa kwa muda t.

Suluhisho. Tunaashiria tena uwezekano wa kushindwa kwa kifaa kupitia A. Kwa hiyo, kuhusu uendeshaji wa kifaa katika kila mode (tukio), uwezekano unajulikana kulingana na hali: kwa hali ya kawaida hii ni 80% (), kwa hali isiyo ya kawaida - 20% (). Uwezekano wa tukio A(yaani, kushindwa kwa kifaa) kulingana na tukio la kwanza (hali ya kawaida) ni sawa na 0.1 (); kulingana na tukio la pili (hali isiyo ya kawaida) - 0.7 ( ) Tunabadilisha maadili haya katika fomula ya jumla ya uwezekano (ambayo ni, jumla ya bidhaa za uwezekano wa kila tukio la mfumo kwa uwezekano wa masharti wa tukio. A kuhusu kila moja ya matukio ya mfumo) na mbele yetu kuna matokeo yanayohitajika.

Hebu tusifikiri juu ya mambo ya juu kwa muda mrefu - hebu tuanze mara moja na ufafanuzi.

Mpango wa Bernoulli ni wakati n majaribio ya kujitegemea ya aina moja yanafanywa, ambayo kila tukio la maslahi kwetu linaweza kuonekana A, na uwezekano wa tukio hili P (A) = p inajulikana. Tunahitaji kubainisha uwezekano kwamba, baada ya majaribio n, tukio A litatokea mara k haswa.

Shida ambazo zinaweza kutatuliwa kwa kutumia mpango wa Bernoulli ni tofauti sana: kutoka kwa rahisi (kama vile "pata uwezekano kwamba mpiga risasi atapiga mara 1 kati ya 10") hadi kali sana (kwa mfano, shida na asilimia au kucheza kadi) . Kwa kweli, mpango huu mara nyingi hutumiwa kutatua matatizo yanayohusiana na ufuatiliaji wa ubora wa bidhaa na uaminifu wa taratibu mbalimbali, sifa zote ambazo zinapaswa kujulikana kabla ya kuanza kazi.

Hebu turudi kwenye ufafanuzi. Kwa kuwa tunazungumza juu ya majaribio huru, na katika kila jaribio uwezekano wa tukio A ni sawa, ni matokeo mawili tu yanawezekana:

A ni utokeaji wa tukio A lenye uwezekano p;
"sio A" - tukio A halikutokea, ambalo linatokea kwa uwezekano q = 1 - p.

Hali muhimu zaidi, bila ambayo mpango wa Bernoulli unapoteza maana yake, ni uthabiti. Haijalishi ni majaribio mangapi tunayofanya, tunavutiwa na tukio sawa A, ambalo hutokea kwa uwezekano sawa uk.

Kwa njia, sio matatizo yote katika nadharia ya uwezekano yanapunguzwa kwa hali ya mara kwa mara. Mkufunzi yeyote mwenye uwezo wa juu wa hisabati atakuambia kuhusu hili. Hata kitu rahisi kama kuchukua mipira ya rangi kutoka kwenye sanduku sio uzoefu na hali za mara kwa mara. Walichukua mpira mwingine - uwiano wa rangi kwenye sanduku ulibadilika. Kwa hivyo, uwezekano pia umebadilika.

Ikiwa hali ni thabiti, tunaweza kubainisha kwa usahihi uwezekano kwamba tukio A litatokea mara k haswa kati ya n iwezekanavyo. Wacha tuunde ukweli huu katika mfumo wa nadharia:

Nadharia ya Bernoulli. Acha uwezekano wa kutokea kwa tukio A katika kila jaribio uwe thabiti na sawa na uk. Kisha uwezekano kwamba tukio A litaonekana mara k haswa katika majaribio huru n huhesabiwa kwa fomula:

ambapo C n k ni idadi ya michanganyiko, q = 1 - p.

Fomula hii inaitwa fomula ya Bernoulli. Inashangaza kutambua kwamba matatizo yaliyotolewa hapa chini yanaweza kutatuliwa kabisa bila kutumia fomula hii. Kwa mfano, unaweza kutumia fomula za kuongeza uwezekano. Walakini, kiasi cha hesabu kitakuwa kisichowezekana.

Kazi. Uwezekano wa kutengeneza bidhaa yenye kasoro kwenye mashine ni 0.2. Amua uwezekano kwamba katika kundi la sehemu kumi zinazozalishwa kwenye mashine hii sehemu za k zitakuwa bila kasoro. Tatua tatizo kwa k = 0, 1, 10.

Hivyo, tuna: n = 10; p = 0.8; q = 0.2.

Kwa hivyo, tunapata uwezekano kwamba sehemu zote kwenye kundi zina kasoro (k = 0), kwamba kuna sehemu moja tu isiyo na kasoro (k = 1), na kwamba hakuna sehemu zenye kasoro kabisa (k = 10):

Kazi. Sarafu inatupwa mara 6. Kutua kanzu ya mikono na vichwa kuna uwezekano sawa. Tafuta uwezekano kwamba:

kanzu ya mikono itaonekana mara tatu;

kanzu ya silaha itaonekana mara moja;

kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili.

Kwa hivyo, tunavutiwa na tukio A, wakati kanzu ya mikono inapoanguka. Uwezekano wa tukio hili ni p = 0.5. Tukio A linalinganishwa na tukio "si A", wakati matokeo ni vichwa, ambayo hutokea kwa uwezekano q = 1 - 0.5 = 0.5. Tunahitaji kuamua uwezekano kwamba kanzu ya silaha itaonekana mara k.

Hivyo, tuna: n = 6; p = 0.5; q = 0.5.

Hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha hutolewa mara tatu, i.e. k = 3:

Sasa hebu tutambue uwezekano kwamba kanzu ya silaha ilikuja mara moja tu, i.e. k = 1:

Inabakia kuamua na uwezekano gani kanzu ya silaha itaonekana angalau mara mbili. Jambo kuu ni katika kifungu "sio chini." Inatokea kwamba tutaridhika na k yoyote isipokuwa 0 na 1, i.e. tunahitaji kupata thamani ya jumla X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Kumbuka kuwa jumla hii pia ni sawa na (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), i.e. Kutoka kwa chaguzi zote zinazowezekana, inatosha "kukata" wale wakati kanzu ya silaha ilianguka mara 1 (k = 1) au haikuonekana kabisa (k = 0). Kwa kuwa tayari tunajua P 6 (1), inabaki kupata P 6 (0):

Kazi. Uwezekano wa kuwa TV ina kasoro zilizofichwa ni 0.2. TV 20 zilifika kwenye ghala. Ni tukio gani linalowezekana zaidi: kwamba katika kundi hili kuna seti mbili za TV zilizo na kasoro zilizofichwa au tatu?

Tunapata masharti ya kuanzia kwa mpango wa Bernoulli: n = 20; p = 0.2; q = 0.8.

Wacha tupate uwezekano wa kupata TV mbili "zisizo" (k = 2) na tatu (k = 3):

Kwa wazi, P 20 (3) > P 20 (2), i.e. uwezekano wa kupokea televisheni tatu zenye kasoro zilizojificha ni mkubwa kuliko uwezekano wa kupokea televisheni mbili tu za aina hiyo. Aidha, tofauti si dhaifu.

Ujumbe wa haraka kuhusu factorials. Watu wengi hupata hisia zisizo wazi za usumbufu wanapoona ingizo "0!" (soma "zero factorial"). kwa hivyo, 0! = 1 kwa ufafanuzi.

P. S. Na uwezekano mkubwa katika kazi ya mwisho ni kupata TV nne zilizo na kasoro zilizofichwa. Jihesabu mwenyewe na ujionee mwenyewe.

Kabla ya kuwasilisha swali la tatu la muhadhara huo, mwalimu anabainisha tatizo ambalo linahitaji kuzingatiwa kwa nadharia juu ya marudio ya majaribio, huku akibainisha kuwa katika kozi ya nadharia ya uwezekano inayosomwa, ni nadharia fulani tu inayohusiana na marudio ya majaribio huru. katika kila tukio ambalo A linaonekana na uwezekano wa mara kwa mara, litazingatiwa.

Baada ya hapo mwalimu anaonyesha uthibitisho wa nadharia hii (kutokana na formula ya Bernoulli).

Ili kuelezea kiini cha kimwili cha theorem inayozingatiwa, mwalimu anatumia projector ya juu na slides zilizoandaliwa.

Mwishoni mwa somo, mwalimu anaelezea kwa nini uwezekano wa usambazaji wa tukio A katika mfululizo wa vipimo vya n, katika hali ambazo haziendani na kuunda kundi kamili la matukio, huitwa binomial na huvutia umuhimu. ya kujua usambazaji huu kwa kutatua shida zilizotumika.

Hadi sasa, tumezingatia mchanganyiko wa idadi ndogo ya matukio, wakati utumiaji wa moja kwa moja wa sheria za kuongeza na kuzidisha uwezekano haukusababisha shida kubwa za hesabu. Walakini, kadiri idadi ya matukio au idadi ya majaribio ambayo tukio la kupendeza linaweza kuonekana linaongezeka, njia iliyojifunza ya hesabu inakuwa ngumu sana.

Kwa kuongezea, shida ilitatuliwa kwa urahisi tu ikiwa majaribio yalikuwa huru.

Majaribio kadhaa yanaitwa kujitegemea, ikiwa uwezekano wa tokeo moja au jingine la kila jaribio hautegemei matokeo ambayo majaribio mengine yalikuwa nayo.

Katika mazoezi, kuna matukio wakati uwezekano wa tukio kutokea A katika majaribio yote huru inaweza kuwa sawa au kutofautiana kutoka majaribio hadi majaribio. Kwa mfano, ukirekebisha moto wako baada ya kila risasi, uwezekano wa kugonga lengo utabadilika kwa kila risasi.

Katika kesi wakati katika majaribio huru uwezekano wa kutokea kwa tukio unabadilika kutoka kwa jaribio hadi jaribio, nadharia ya jumla juu ya marudio ya majaribio hutumiwa, na wakati katika majaribio huru uwezekano wa tukio haubadilika kutoka kwa majaribio. kufanya majaribio, nadharia fulani juu ya marudio ya majaribio hutumiwa.

Katika kozi ya nadharia ya uwezekano tunayosoma, tutazingatia tu mada mahususi ya kurudia majaribio inapohitajika kubainisha uwezekano wa tukio kutokea. A katika mfululizo wa majaribio huru, katika kila tukio A linaonekana kwa uwezekano sawa.

Kwa mfano, ni muhimu kuhesabu uwezekano kwamba kwa risasi tano kutoka kwa bunduki kwa mipangilio ya mara kwa mara, hits mbili kwenye lengo zitapatikana ikiwa risasi ni huru na kwa kila risasi uwezekano wa kugonga lengo unajulikana na haufanyi. mabadiliko.

Ikiwa tutaunda mchanganyiko unaowezekana wa tukio la tukio ambalo tunavutiwa na A 1, tunapata:

Kutakuwa na michanganyiko 10 ambayo tukio A=(pata hits 2 kwa mikwaju mitano) hutokea.

Kwa kutumia nadharia kuhusu jumla na bidhaa ya matukio huru, tunayo:

Kuongezeka kwa idadi ya matukio au majaribio ambayo yanatuvutia yatasababisha ongezeko kubwa zaidi la kiasi cha shughuli za hesabu, kwa hivyo kazi inatokea ya kutafuta njia za hesabu za chini sana.

Muundo wa tatizo:

Wacha tufikirie, chini ya hali zinazofanana, kufanya majaribio ya kujitegemea, matokeo ya kila moja ambayo inaweza kuwa kutokea kwa tukio lolote. A, au kinyume chake .

Wacha tuonyeshe kwa A 1 kutokea kwa tukio A kwenye mtihani wa kwanza, A 2 - kwenye mtihani wa pili, A n- katika mtihani wa mwisho.

Kwa sababu ya uthabiti wa masharti ya mtihani:

P (A 1 ) = P (A 2 ) = … P(A n ) = uk

Tunavutiwa na uwezekano kwamba tukio A litatokea mara m haswa katika majaribio n, na halitatokea katika majaribio yaliyosalia ya n-m (yaani, tukio kinyume na tukio A litatokea - ).

Wacha tuchukue kuwa tukio ambalo tunavutiwa nalo A hutokea mfululizo mara m, kuanzia ya kwanza, i.e. tukio linafanyika - E.

E = A 1 A 2 … A m -1 A m 
(1)

m n- m

Kulingana na hali ya marudio ya vipimo, matukio yaliyojumuishwa katika mchanganyiko huu ni huru, wakati uwezekano wa kutokea kwa matukio A 1, A 2 ,... A m -1 , A m sawa na sawa p: P (A 1 ) = P (A 2 ) =…= P(A m ) = p, na uwezekano wa matukio kutotokea
sawa na sawa q=1-р:.

Kwa kutumia kanuni ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru kwa kujieleza 1, tunapata:

P (E) = P (A 1 P (A 2 ) … P (A m -1 P (A m ) R(
= uk m (1-r) n  - m = uk m q n - m

Kutokana na uthabiti wa hali ya mtihani, sisi kudhani kuwa tukio la riba kwetu A hutokea katika mfululizo wa mara m, kuanzia ya kwanza. Lakini tukio A V n majaribio yanaweza kuja haswa m nyakati katika mfuatano au michanganyiko tofauti. Katika kesi hii, hatujali mlolongo halisi ambao tukio A linaonekana haswa m mara moja.

Idadi ya mchanganyiko kama huo ni sawa na idadi ya mchanganyiko ya n vipengele kwa m.

Kwa kuwa michanganyiko hii ya matukio (sawa na mchanganyiko E) haioani na hatuvutiwi na mfuatano wa utokeaji wa tukio. A katika mtihani hasa m nyakati, kisha kuashiria uwezekano tunaopendezwa nao R m, tunapata:

R m =
R m (1-r) n - m =
=

Wapi
- idadi ya mchanganyiko wa n vipengele kwa m.

Fomula hii inaitwa fomula ya Bernoulli.

Njia ya Bernoulli inaturuhusu kupata jibu la swali: kuna uwezekano gani kwamba wakati majaribio ya kujitegemea yanarudiwa, tukio fulani. A inakuja haswa m mara, ikiwa katika kila moja ya majaribio haya uwezekano wa tukio kutokea A ni mara kwa mara na sawa P(A) = uk.

Formula ya juu ya Bernoulli ni muhimu sana katika nadharia ya uwezekano kwa sababu inahusishwa na kurudia majaribio chini ya hali sawa, i.e. na hali kama hizo ambazo sheria za nadharia ya uwezekano hujidhihirisha.

Hitimisho la hotuba:

Katika mhadhara huo, tulichunguza maswala ya kimsingi ya nadharia ya uwezekano kuhusiana na anuwai za nasibu, tukaanzisha vifaa vya kimsingi vya dhana muhimu kwa masomo zaidi ya taaluma: ufafanuzi. kutofautiana nasibu, uainishaji wao; dhana ya sheria ya usambazaji na muundo wake kwa aina mbalimbali kutofautiana nasibu.

Katika maandalizi ya mihadhara inayofuata na mazoezi ya vitendo, lazima uongeze maelezo yako ya mihadhara kwa kujitegemea wakati unasoma maandiko yaliyopendekezwa kwa kina na kutatua matatizo yaliyopendekezwa.

Kwa kuongezea, katika masomo yanayofuata tutasoma nadharia na utegemezi ambao huturuhusu kuamua uwezekano wa kutofautisha bila mpangilio kuonekana kwa idadi inayotakiwa ya nyakati au kwa muda fulani, kwa mfano, uwezekano wa kugonga lengo.

Gundua:

Ventzel E.S. Nadharia ya uwezekano. Kitabu cha kiada. Toleo la nane, stereotypical. -M.: shule ya kuhitimu, 2002 - 575 p. – ukurasa wa 67-78, 80-84

Ventzel E.S., Ovcharov L.A.. Nadharia ya uwezekano na matumizi yake ya uhandisi. Mafunzo. Toleo la tatu, lililorekebishwa na kupanuliwa. - M.: "Chuo", 2003 - 464 p. - ukurasa wa 73-93

Gmurman V.E. Nadharia ya Uwezekano na Takwimu za Hisabati. Mafunzo. Toleo la kumi, stereotypical - M.: Shule ya Juu", 2004 - 480 p. Ukurasa wa 64-73

Katika somo hili tutapata uwezekano wa tukio kutokea katika majaribio huru wakati wa kurudia majaribio . Majaribio huitwa huru ikiwa uwezekano wa tokeo moja au jingine la kila jaribio hautegemei matokeo ya majaribio mengine yalikuwa na. . Vipimo vya kujitegemea vinaweza kufanywa chini ya hali sawa na chini ya hali tofauti. Katika kesi ya kwanza, uwezekano wa tukio la tukio fulani ni sawa katika majaribio yote, katika kesi ya pili inatofautiana kutoka kwa majaribio hadi majaribio.

Mifano ya majaribio huru :

moja ya node za kifaa au nodes mbili au tatu zitashindwa, na kushindwa kwa kila node haitegemei node nyingine, na uwezekano wa kushindwa kwa node moja ni mara kwa mara katika vipimo vyote;
zinazozalishwa katika baadhi ya mara kwa mara hali ya kiteknolojia sehemu, au tatu, nne, tano, zitageuka kuwa zisizo za kawaida, na sehemu moja inaweza kugeuka kuwa isiyo ya kawaida bila kujali sehemu nyingine yoyote na uwezekano kwamba sehemu hiyo itageuka kuwa isiyo ya kawaida. ni mara kwa mara katika vipimo vyote;
kutoka kwa risasi kadhaa kwenye shabaha, risasi moja, tatu au nne hupiga shabaha bila kujali matokeo ya risasi nyingine na uwezekano wa kugonga lengo ni mara kwa mara katika majaribio yote;
wakati wa kuangusha sarafu, mashine itafanya kazi kwa usahihi mara moja, mbili au nyingine, bila kujali matokeo ya matone mengine ya sarafu, na uwezekano kwamba mashine itafanya kazi kwa usahihi ni mara kwa mara katika majaribio yote.

Matukio haya yanaweza kuelezewa katika mchoro mmoja. Kila tukio hutokea katika kila jaribio na uwezekano sawa, ambao haubadilika ikiwa matokeo ya majaribio ya awali yanajulikana. Vipimo vile huitwa kujitegemea, na mzunguko unaitwa Mpango wa Bernoulli . Inachukuliwa kuwa vipimo vile vinaweza kurudiwa kama unavyotaka idadi kubwa ya mara moja.

Ikiwa uwezekano uk kutokea kwa tukio A ni mara kwa mara katika kila jaribio, basi uwezekano kwamba in n tukio la majaribio ya kujitegemea A Nitakuja m nyakati, iko kwa Fomula ya Bernoulli :

(wapi q= 1 – uk- uwezekano kwamba tukio halitatokea)

Wacha tuweke kazi - kupata uwezekano kwamba tukio la aina hii ndani n majaribio ya kujitegemea yatakuja m mara moja.

Fomula ya Bernoulli: mifano ya utatuzi wa shida

Mfano 1. Tafuta uwezekano kwamba kati ya sehemu tano zilizochukuliwa bila mpangilio, mbili ni za kawaida, ikiwa uwezekano kwamba kila sehemu inageuka kuwa ya kawaida ni 0.9.

Suluhisho. Uwezekano wa tukio A, inayojumuisha ukweli kwamba sehemu iliyochukuliwa bila mpangilio ni ya kawaida, iko uk=0.9 , na kuna uwezekano kwamba sio ya kawaida q=1–uk=0.1. Tukio lililoainishwa katika taarifa ya tatizo (tunaashiria kwa KATIKA) itatokea ikiwa, kwa mfano, sehemu mbili za kwanza zinageuka kuwa za kawaida, na tatu zifuatazo sio za kawaida. Lakini tukio KATIKA itatokea pia ikiwa sehemu ya kwanza na ya tatu itageuka kuwa ya kawaida na iliyobaki sio ya kawaida, au ikiwa sehemu ya pili na ya tano ni ya kawaida na iliyobaki sio ya kawaida. Kuna uwezekano mwingine wa tukio kutokea KATIKA. Yoyote kati yao anajulikana na ukweli kwamba kati ya sehemu tano zilizochukuliwa, mbili, zikichukua nafasi yoyote kati ya tano, zitageuka kuwa za kawaida. Kwa hivyo, jumla ya nambari uwezekano mbalimbali wa kutokea kwa tukio KATIKA ni sawa na idadi ya uwezekano wa kuweka sehemu mbili za kawaida katika maeneo tano, i.e. ni sawa na idadi ya mchanganyiko wa vipengele vitano kwa mbili, na .

Uwezekano wa kila uwezekano, kwa mujibu wa nadharia ya uwezekano wa kuzidisha, ni sawa na bidhaa ya mambo matano, ambayo mawili, sambamba na kuonekana sehemu za kawaida ni sawa na 0.9, na tatu zilizobaki, zinazofanana na kuonekana kwa sehemu zisizo za kawaida, ni sawa na 0.1, i.e. uwezekano huu ni. Kwa kuwa uwezekano huu kumi ni matukio yasiyolingana, kulingana na nadharia ya kuongeza, uwezekano wa tukio KATIKA, ambayo tunaashiria

Mfano 2. Uwezekano kwamba mashine itahitaji umakini wa mfanyakazi ndani ya saa moja ni 0.6. Kwa kudhani kwamba matatizo kwenye mashine ni ya kujitegemea, pata uwezekano kwamba ndani ya saa moja tahadhari ya mfanyakazi itahitaji mashine yoyote kati ya nne anazoendesha.

Suluhisho. Kutumia Fomula ya Bernoulli katika n=4 , m=1 , uk=0.6 na q=1–uk=0.4, tunapata

Mfano 3. Kwa operesheni ya kawaida ya gari la gari, lazima kuwe na angalau magari nane kwenye mstari, na kuna kumi kati yao. Uwezekano wa kila gari kutoingia kwenye mstari ni 0.1. Pata uwezekano wa operesheni ya kawaida ya depo ya gari katika siku inayofuata.

Suluhisho. Carpool itafanya kazi kawaida (tukio F), ikiwa wanane au wanane wanakuja kwenye mstari (tukio A), au tisa (tukio KATIKA), au tukio la magari yote kumi (tukio C) Kulingana na nadharia ya kuongeza uwezekano,

Tunapata kila neno kulingana na formula ya Bernoulli. Hapa n=10 , m=8; 10 na uk=1-0.1=0.9, tangu uk inapaswa kuonyesha uwezekano wa gari kuingia kwenye mstari; Kisha q=0.1. Matokeo yake tunapata

Mfano 4. Acha uwezekano kwamba mteja anahitaji viatu vya wanaume vya ukubwa wa 41 uwe 0.25. Tafuta uwezekano kwamba kati ya wanunuzi sita, angalau wawili wanahitaji viatu vya ukubwa wa 41.

Wacha majaribio yafanyike kuhusu tukio A. Hebu tutambulishe matukio: Ak - tukio A lilitokea wakati wa jaribio la kth, $ k=1,2,\dots , n$. Kisha $\bar(A)_(k) $ ni tukio kinyume (tukio A halikutokea wakati wa jaribio la kth, $k=1,2,\dots , n$).

Vipimo vya homogeneous na vya kujitegemea ni nini?

Ufafanuzi

Majaribio yanasemekana kuwa ya aina moja kuhusiana na tukio A ikiwa uwezekano wa matukio $A1, A2, \dots , Аn$ sanjari: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An)$ (yaani, uwezekano wa matukio A katika jaribio moja ni mara kwa mara katika majaribio yote).

Ni wazi, katika kesi hii uwezekano matukio yanayopingana pia sanjari: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Ufafanuzi

Majaribio huitwa huru kuhusiana na tukio A ikiwa matukio $A1, A2, \dots , Аn$ ni huru.

Kwa kesi hii

Katika kesi hii, usawa huhifadhiwa wakati tukio lolote Аk linabadilishwa na $\bar(A)_(k) $.

Acha mfululizo wa majaribio ya n ya aina moja yafanywe kuhusiana na tukio A. Tunatumia nukuu ifuatayo: p - uwezekano wa tukio A kutokea katika jaribio moja; q ni uwezekano wa tukio kinyume. Kwa hivyo, P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ kwa k na p+q=1 yoyote.

Uwezekano kwamba katika mfululizo wa tukio la n majaribio A litatokea mara k haswa (0 ≤ k ≤ n) unakokotolewa na fomula:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Usawa (1) unaitwa fomula ya Bernoulli.

Uwezekano kwamba katika mfululizo wa n tukio la majaribio huru linalofanana A litatokea angalau mara k1 na si zaidi ya mara k2 unakokotolewa na fomula:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\jumla \mipaka _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Utumiaji wa fomula ya Bernoulli kwa maadili makubwa n inaongoza kwa mahesabu magumu, kwa hivyo katika kesi hizi ni bora kutumia fomula zingine - zile za asymptotic.

Ujumla wa mpango wa Bernoulli

Wacha tuchunguze jumla ya mpango wa Bernoulli. Iwapo katika mfululizo wa majaribio ya n huru, ambayo kila moja lina m matokeo yasiyolingana na yanayowezekana Ak yenye uwezekano unaolingana Pk = pk(Ak). Halafu formula ya usambazaji wa polynomial ni halali:

Mfano 1

Uwezekano wa kuambukizwa homa wakati wa janga ni 0.4. Tafuta uwezekano kwamba kati ya wafanyikazi 6 wa kampuni wataugua

wafanyikazi 4 haswa;
wafanyakazi wasiozidi 4.

Suluhisho. 1) Ni wazi, kutatua tatizo hili fomula ya Bernoulli inatumika, ambapo n=6; k=4; p=0.4; q=1-р=0.6. Kwa kutumia fomula (1), tunapata: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \takriban 0.138$.

Ili kutatua tatizo hili, fomula (2) inatumika, ambapo k1=0 na k2=4. Tuna:

\[\anza(safu)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\jumla \vikomo _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdoti 0.4^(0) \cdoti 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdoti 0.4^(2) \cdoti 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdoti 0.4^(3) \\ cdoti 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdoti 0.4^(4) \cdoti 0.6^(2) \ takriban 0.959.) \mwisho(safu)\]

Ikumbukwe kwamba tatizo hili ni rahisi kutatua kwa kutumia tukio kinyume - zaidi ya wafanyakazi 4 waliugua. Halafu, kwa kuzingatia formula (7) juu ya uwezekano wa matukio tofauti, tunapata:

Jibu: $\$0.959.

Mfano 2

Kuna mipira 20 nyeupe na 10 nyeusi kwenye mkojo. Mipira 4 hutolewa nje, na kila mpira uliotolewa unarudishwa kwenye mkojo kabla ya mwingine kuondolewa na mipira kwenye urn kuchanganywa. Tafuta uwezekano kwamba kati ya mipira minne inayotolewa kutakuwa na 2 nyeupe (Mchoro 1).

Picha 1.

Suluhisho. Acha tukio A liwe kwamba mpira mweupe utatolewa nje. Kisha uwezekano $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Kulingana na fomula ya Bernoulli, uwezekano unaohitajika ni sawa na $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \kushoto(\frac(2)(3) \kulia)^(2) \left(\ frac(1)( 3) \kulia)^(2) =\frac(8)(27) $.

Jibu: $\frac(8)(27) $.

Mfano 3

Amua uwezekano kwamba familia yenye watoto 5 haitakuwa na wasichana zaidi ya watatu. Uwezekano wa kuwa na mvulana na msichana unadhaniwa kuwa sawa.

Suluhisho. Uwezekano wa kuwa na msichana $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $ ni uwezekano wa kupata mvulana. Hakuna wasichana zaidi ya watatu katika familia, ambayo ina maana kwamba msichana mmoja, wawili, au watatu walizaliwa, au familia ni wavulana wote.

Hebu tutafute uwezekano kwamba hakuna wasichana katika familia, msichana mmoja, wawili au watatu walizaliwa: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $.

Jibu: $\frac(13)(16) $.

Mfano 4

Mpigaji wa kwanza aliye na risasi moja anaweza kupiga kumi bora na uwezekano wa 0.6, tisa na uwezekano wa 0.3, na nane na uwezekano wa 0.1. Kuna uwezekano gani kwamba kwa mashuti 10 atapiga kumi bora mara sita, tisa mara tatu na nane mara moja?