Historia fupi sana ya kutatua milinganyo ya quadratic. Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi

Kutoka kwa historia ya tukio milinganyo ya quadratic

Algebra iliibuka kuhusiana na kutatua matatizo mbalimbali kwa kutumia milinganyo. Kwa kawaida, matatizo yanahitaji kupata haijulikani moja au zaidi, wakati wa kujua matokeo ya baadhi ya vitendo vinavyofanywa kwa kiasi kinachohitajika na kupewa. Shida kama hizo zinakuja kwa kutatua moja au mfumo wa milinganyo kadhaa, kupata zile zinazohitajika kwa kutumia shughuli za aljebra kwa idadi fulani. Algebra inasomwa mali ya jumla vitendo juu ya kiasi.

Baadhi ya mbinu za aljebra za kutatua milinganyo ya mstari na ya quadratic zilijulikana miaka 4000 iliyopita katika Babeli ya Kale.

Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili, hata katika nyakati za zamani, ilisababishwa na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kupata maeneo ya viwanja vya ardhi na kazi ya uchimbaji wa asili ya kijeshi. kama vile maendeleo ya unajimu na hisabati yenyewe. Wababeli waliweza kusuluhisha milinganyo ya quadratic karibu 2000 BC. Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image002_15.gif" width="93" height="41 src=">

Sheria ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ile ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababeli walifika katika kanuni hii. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana. Licha ya ngazi ya juu maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo la 2. "Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96."

Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya shida inafuata kwamba nambari zinazohitajika si sawa, kwani ikiwa zingekuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya. nusu ya jumla yao, yaani .10 + x. Nyingine ni chini, yaani 10 - x. Tofauti kati yao ni 2x. Kwa hivyo equation:

(10+x)(10-x) =96,

Kwa hiyo x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni 12, nyingine ni 8. Suluhisho x = - 2 haipo kwa Diophantus, kwa kuwa hisabati ya Kigiriki ilijua nambari nzuri tu.

Ukisuluhisha shida hii kwa kuchagua moja ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, unaweza kupata suluhisho la equation:

Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua mlinganyo wa quadratic usio kamili.

Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla kutatua milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi umoja fomu ya kisheria:

ax2 + bx = c, a>

Katika equation (1), coefficients pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.

Mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida nchini India. Kitabu kimojawapo cha zamani cha Wahindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Jinsi jua linavyozifunika nyota kwa mng’ao wake, ndivyo. mtu aliyejifunza itafunika utukufu ndani makusanyiko ya watu, kupendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

Suluhu la Bhaskara linaonyesha kuwa mwandishi alijua kwamba mizizi ya milinganyo ya quadratic ina thamani mbili.

Equation inayolingana na shida ya 3 ni:

https://pandia.ru/text/78/002/images/image004_11.gif" width="12" height="26 src=">x2 - 64x = - 768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu hadi mraba, inaongeza 322 kwa pande zote mbili, kisha kupata:

x2 - b4x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x1 = 16, x2 = 48.

Milinganyo ya quadratic ya Al-Khwarizmi

Hati ya aljebra ya Al-Khwarizmi inatoa uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi," yaani ax2 = bx.

2) "Mraba ni sawa na nambari," yaani ax2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. shoka = c.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," yaani ax2 + c = bx.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari," yaani ax2 + bx = c.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na miraba," yaani bx + c == ax2.

Kwa Al-Khwarizmi, ambaye aliepuka matumizi nambari hasi, masharti ya kila moja ya milinganyo hii ni nyongeza, si vipunguzi. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaelezea suluhisho milinganyo hapo juu, kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-mukabala. Uamuzi wake, bila shaka, haupatani kabisa na wetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kusuluhisha equation isiyokamilika ya aina ya kwanza, Al-Khorezmi, kama wanahisabati wote hadi karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika vitendo maalum haijalishi katika kazi. Wakati wa kutatua milinganyo kamili ya quadratic ya Al-Khwarizmi kwa sehemu mifano ya nambari huweka sheria za suluhisho na kisha uthibitisho wao wa kijiometri.

Hebu tutoe mfano.

Tatizo la 4. “Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mzizi” (ikimaanisha mzizi wa equation x2 + 21 = 10x).

Suluhisho: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 kwa yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5, unapata 3, hii itakuwa mzizi unaotafuta. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Risala ya Al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.

Milinganyo ya quadratic huko UropaXII- XVIIV.

Njia za kusuluhisha milinganyo ya pembe nne kwa kufuata kielelezo cha Al-Khwarizmi huko Ulaya zilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika “Kitabu cha Abacus,” kilichoandikwa mwaka wa 1202. Mwanahisabati wa Italia Leonard Fibonacci. Mwandishi kwa kujitegemea aliendeleza mpya mifano ya algebra kutatua matatizo na alikuwa wa kwanza katika Ulaya kuanzisha idadi hasi.

Kitabu hiki kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Matatizo mengi kutoka kwa kitabu hiki yalitumiwa karibu na vitabu vyote vya Ulaya vya karne ya 14-17. Kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa kwa fomu moja ya kanuni x2 + bх = с kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara na coefficients b, c iliundwa Ulaya mwaka wa 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha equation ya quadratic kwa fomu ya jumla inapatikana kutoka Vieta, lakini Vieta inatambuliwa tu. mizizi chanya. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. kuzingatia, pamoja na chanya, na mizizi hasi. Tu katika karne ya 17. shukrani kwa kazi za Girard, Descartes, Newton na wengine njia ya wanasayansi kutatua milinganyo ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.

Asili mbinu za algebra ufumbuzi wa matatizo ya vitendo kuhusiana na sayansi ulimwengu wa kale. Kama inavyojulikana kutokana na historia ya hisabati, sehemu kubwa ya matatizo ya hisabati yaliyotatuliwa na waandishi na vikokotoo vya Wamisri, Wasumeri, na Wababiloni (karne za XX-VI KK) yalikuwa ya asili ya kukokotoa. Walakini, hata wakati huo, mara kwa mara, shida ziliibuka ambapo thamani inayotakiwa ya kiasi iliainishwa na hali fulani zisizo za moja kwa moja ambazo zinahitajika, kwa maoni yetu. hatua ya kisasa maono, kuchora mlingano au mfumo wa milinganyo. Hapo awali, njia za hesabu zilitumiwa kutatua shida kama hizo. Baadaye, mwanzo wa dhana za algebra ulianza kuunda. Kwa mfano, vikokotoo vya Babeli viliweza kutatua matatizo ambayo yanaweza kupunguzwa kutoka kwa mtazamo uainishaji wa kisasa kwa milinganyo ya shahada ya pili. Njia ya suluhisho iliundwa matatizo ya maneno, ambayo baadaye ilitumika kama msingi wa kutenga sehemu ya aljebra na utafiti wake wa kujitegemea.

Utafiti huu ulifanywa katika enzi nyingine, kwanza na wanahisabati wa Kiarabu (karne za VI-X BK), ambao waligundua vitendo vya tabia ambavyo milinganyo ilipunguzwa hadi. mtazamo wa kawaida kuleta istilahi zinazofanana, kuhamisha masharti kutoka sehemu moja ya mlingano hadi nyingine na mabadiliko katika ishara. Na kisha na wanahisabati wa Uropa wa Renaissance, ambao, kama matokeo ya utaftaji mrefu, waliunda lugha ya algebra ya kisasa, utumiaji wa herufi, kuanzishwa kwa alama za shughuli za hesabu, mabano, nk. Karne ya 17. aljebra kama sehemu mahususi ya hisabati, yenye somo lake, mbinu, na maeneo ya matumizi, ilikuwa tayari imeundwa. Ukuaji wake zaidi, hadi wakati wetu, ulijumuisha njia za kuboresha, kupanua wigo wa matumizi, kufafanua dhana na miunganisho yao na dhana za matawi mengine ya hesabu.

Kwa hivyo, kwa kuzingatia umuhimu na ukubwa wa nyenzo zinazohusiana na dhana ya equation, utafiti wake katika mbinu za kisasa hisabati inahusishwa na maeneo makuu matatu ya asili na utendaji wake.

Ili kutatua equation yoyote ya quadratic, unahitaji kujua:

fomula ya kutafuta kibaguzi;

· fomula ya kutafuta mizizi ya equation ya quadratic;

· algoriti za kutatua milinganyo ya aina hii.

· suluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika;

· suluhisha milinganyo kamili ya quadratic;

· suluhisha milinganyo ya quadratic iliyotolewa;

· kupata makosa katika milinganyo iliyotatuliwa na kusahihisha;

· fanya ukaguzi.

Suluhisho la kila equation lina sehemu kuu mbili:

· mabadiliko ya mlingano huu hadi rahisi zaidi;

· kutatua milinganyo kulingana na sheria zinazojulikana, fomula au algoriti.

Ujumla wa njia za shughuli za wanafunzi wakati wa kutatua hesabu za quadratic hufanyika polepole. Hatua zifuatazo zinaweza kutofautishwa wakati wa kusoma mada "Quadratic Equations":

Hatua ya I - "Kutatua milinganyo ya roboduara isiyokamilika."

Hatua ya II - "Kutatua milinganyo kamili ya quadratic."

Hatua ya III - "Kutatua milinganyo iliyopunguzwa ya quadratic."

Katika hatua ya kwanza, equations zisizo kamili za quadratic zinazingatiwa. Kwa kuwa mwanzoni wanahisabati walijifunza kutatua hesabu zisizo kamili za quadratic, kwani kwa hili hawakulazimika, kama wanasema, kubuni chochote. Hizi ni milinganyo ya fomu: ax2 = 0, ax2 + c = 0, ambapo c≠ 0, ax2 + bx = 0, ambapo b ≠ 0. Fikiria kutatua kadhaa ya milinganyo hii:

1. Ikiwa ax2 = 0. Milinganyo ya aina hii inatatuliwa kwa kutumia algorithm:

1) pata x2;

2) kupata x.

Kwa mfano, 5x2 = 0. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa 5 inatoa: x2 = 0, kutoka wapi x = 0.

2. Ikiwa ax2 + c = 0, c≠ 0 Equations za aina hii zinatatuliwa kwa kutumia algorithm:

1) kuhamisha masharti kwa upande wa kulia;

2) tafuta nambari zote ambazo miraba yake ni sawa na nambari c.

Kwa mfano, x2 - 5 = 0, Mlinganyo huu ni sawa na equation x2 = 5. Kwa hiyo, tunahitaji kupata nambari zote ambazo miraba yake ni sawa na namba 5..gif" width="16" height="19 ">..gif" width=" 16" height="19 src="> na haina mizizi mingine.

3. Ikiwa ax2 + bx = 0, b ≠ 0. Milinganyo ya aina hii inatatuliwa kwa kutumia algorithm:

1) hoja ya kawaida kutoka kwa mabano;

2) pata x1, x2.

Kwa mfano, x2 - 3x = 0. Hebu tuandike upya equation x2 - 3x = 0 katika fomu x (x - 3) = 0. Mlinganyo huu ni wazi una mizizi x1 = 0, x2 = 3. Haina mizizi mingine, kwa sababu ikiwa katika Ukibadilisha nambari yoyote isipokuwa sifuri na 3 badala ya x, basi kwenye upande wa kushoto wa equation x (x - 3) = 0 unapata nambari ambayo si sawa na sifuri.

Kwa hivyo, mifano hii inaonyesha jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa:

1) ikiwa equation ina fomu ax2 = 0, basi ina mizizi moja x = 0;

2) ikiwa equation ina fomu ax2 + bx = 0, basi njia ya factorization hutumiwa: x (ax + b) = 0; hii inamaanisha ama x = 0 au shoka + b = 0..gif" width="16" height="41"> Katika kesi wakati -< 0, уравнение х2 = - не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, yaani - = m, ambapo m>0, equation x2 = m ina mizizi miwili

https://pandia.ru/text/78/002/images/image010_9.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24 src=">, (katika kesi hii nukuu fupi = inaruhusiwa.

Kwa hivyo, equation isiyo kamili ya quadratic inaweza kuwa na mizizi miwili, mzizi mmoja, au hakuna mizizi.

Katika hatua ya pili, mpito wa kutatua equation kamili ya quadratic hufanyika. Hizi ni milinganyo ya fomu ax2 + bx + c = 0, ambapo a, b, c hupewa nambari, na ≠ 0, x haijulikani.

Mlinganyo wowote kamili wa quadratic unaweza kubadilishwa kuwa fomu , ili kuamua idadi ya mizizi ya equation ya quadratic na kupata mizizi hii. Zinazingatiwa kesi zifuatazo suluhu za kukamilisha milinganyo ya quadratic: D< 0, D = 0, D > 0.

1. Ikiwa D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.

Kwa mfano, 2x2 + 4x + 7 = 0. Suluhisho: hapa a = 2, b = 4, c = 7.

D = b2 – 4ac = 42 – 4*2*7 = 16 – 56 = - 40.

Tangu D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

2. Ikiwa D = 0, basi equation ya quadratic ax2 + bx + c = 0 ina mizizi moja, ambayo hupatikana kwa formula.

Kwa mfano, 4x - 20x + 25 = 0. Suluhisho: a = 4, b = - 20, c = 25.

D = b2 – 4ac = (-20) 2 – 4*4*25 = 400 – 400 = 0.

Kwa kuwa D = 0, basi kupewa mlinganyo ina mzizi mmoja. Mzizi huu unapatikana kwa kutumia fomula ..gif" width="100" height="45">.gif" width="445" height="45 src=">.

Algorithm imeundwa kwa ajili ya kutatua equation ya fomu ax2 + bx + c = 0.

1. Piga hesabu ya kibaguzi D kwa kutumia formula D = b2 - 4ac.

2. Ikiwa D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет корней.

3. Ikiwa D = 0, basi equation ya quadratic ina mizizi moja, ambayo hupatikana kwa formula.

4..gif" width="101" height="45">.

Kanuni hii ni ya ulimwengu wote; inatumika kwa milinganyo ya quadratic isiyokamilika na kamili. Hata hivyo, milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa kawaida haisuluhishi kwa kutumia algoriti hii.

Wanahisabati ni watu wa vitendo, wa kiuchumi, kwa hivyo hutumia fomula: https://pandia.ru/text/78/002/images/image022_5.gif" width="155" height="53">. (4)

2..gif" width="96" height="49 src=">, ikiwa na ishara sawa na D..gif" width="89" height="49"> kisha mlinganyo (3) una mizizi miwili;

2) ikiwa equation hiyo ina mizizi miwili inayofanana;

3) ikiwa equation hiyo haina mizizi.

Jambo muhimu katika utafiti wa milinganyo ya quadratic ni kuzingatia nadharia ya Vieta, ambayo inasema kuwepo kwa uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic iliyopunguzwa.

Nadharia ya Vieta. Jumla ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic uliotolewa ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa kutoka ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.

Kwa maneno mengine, ikiwa x1 na x2 ndio mizizi ya equation x2 + px + q = 0, basi.

Fomula hizi huitwa fomula za Vieta kwa heshima ya mwanahisabati Mfaransa F. Vieta (), ambaye alianzisha mfumo wa alama za aljebra na kuendeleza misingi ya aljebra ya msingi. Alikuwa mmoja wa wa kwanza kuashiria nambari kwa herufi, ambayo ilikuza sana nadharia ya milinganyo.

Kwa mfano, equation iliyotolewa x2 - 7x +10 = 0 ina mizizi 2 na 5. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa ni 10. Inaweza kuonekana kuwa jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa. na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.

Mazungumzo ya nadharia ya Vieta pia ni kweli.

Nadharia kinyume na nadharia ya Vieta. Ikiwa fomula (5) ni halali kwa nambari x1, x2, p, q, basi x1 na x2 ndio mizizi ya mlingano x2 + px + q = 0.

Nadharia ya Vieta na mazungumzo yake mara nyingi hutumiwa kutatua matatizo mbalimbali.

Kwa mfano. Wacha tuandike mlingano wa quadratic ufuatao ambao mizizi yake ni nambari 1 na -3.

Kulingana na fomula za Vieta

– p = x1 + x2 = - 2,

Kwa hivyo, equation inayohitajika ina fomu x2 + 2x - 3 = 0.

Ugumu wa kusimamia nadharia ya Vieta ni kwa sababu ya hali kadhaa. Kwanza kabisa, ni muhimu kuzingatia tofauti kati ya nadharia ya moja kwa moja na inverse. Nadharia ya moja kwa moja ya Vieta inatoa equation ya quadratic na mizizi yake; katika inverse kuna namba mbili tu, na equation quadratic inaonekana katika hitimisho la theorem. Wanafunzi mara nyingi hufanya makosa ya kuhalalisha hoja zao kwa marejeleo yasiyo sahihi ya kuelekeza au nadharia ya mazungumzo Vietnam.

Kwa mfano, unapopata mizizi ya equation ya quadratic kwa uteuzi, unahitaji kurejelea nadharia ya Vieta inverse, na sio ile ya moja kwa moja, kama wanafunzi hufanya mara nyingi. Ili kupanua nadharia za Vieta kwa kisa cha ubaguzi wa sifuri, inabidi tukubaliane kwamba katika kesi hii equation ya quadratic ina mbili. mizizi sawa. Urahisi wa makubaliano hayo huonekana wazi tunapopanua quadratic trinomial kwa kuzidisha.

Bado hakuna toleo la HTML la kazi.

Nyaraka zinazofanana

Historia ya ukuzaji wa fomula za mizizi ya milinganyo ya quadratic. Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale. Suluhisho la hesabu za quadratic na Diophantus. Milinganyo ya quadratic nchini India, Khorezmia na Ulaya XIII- karne za XVII Nadharia ya Vieta, nukuu ya kisasa ya aljebra.

mtihani, umeongezwa 11/27/2010

Historia ya milinganyo ya quadratic: milinganyo katika Babeli ya Kale na India. Fomula za migawo hata ya x. Milinganyo ya quadratic ya asili fulani. Nadharia ya Vieta ya polynomials digrii za juu. Jifunze milinganyo ya pande mbili. Kiini cha formula ya Cordano.

muhtasari, imeongezwa 05/09/2009

Utoaji wa fomula ya kutatua equation ya quadratic katika historia ya hisabati. Uchambuzi wa kulinganisha teknolojia kwa njia mbalimbali ufumbuzi wa milinganyo ya shahada ya pili, mifano ya matumizi yao. Nadharia fupi kutatua hesabu za quadratic, kuandika kitabu cha shida.

muhtasari, imeongezwa 12/18/2012

Umuhimu wa hisabati katika maisha yetu. Historia ya hesabu. Ukuzaji wa sasa wa njia za hesabu za hesabu. Matumizi ya hisabati katika sayansi zingine, jukumu mfano wa hisabati. Jimbo elimu ya hisabati nchini Urusi.

makala, imeongezwa 01/05/2010

Hisabati ya Kigiriki. Zama za Kati na Renaissance. Mwanzo wa hisabati ya kisasa. Hisabati ya kisasa. Hisabati ni msingi si mantiki, lakini juu ya angavu sauti. Matatizo ya misingi ya hisabati ni ya kifalsafa.

muhtasari, imeongezwa 09/06/2006

Historia ya maendeleo sayansi ya hisabati katika Ulaya karne ya VI-XIV, wawakilishi wake na mafanikio. Maendeleo ya hisabati wakati wa Renaissance. Uundaji wa calculus ya barua, shughuli ya Francois Vieta. Uboreshaji wa kompyuta marehemu XVI – mapema XVI karne nyingi

wasilisho, limeongezwa 09.20.2015

Mapitio ya maendeleo ya hisabati ya Ulaya katika karne ya 17-18. Maendeleo yasiyo sawa Sayansi ya Ulaya. Jiometri ya uchambuzi. Uumbaji uchambuzi wa hisabati. Shule ya kisayansi Leibniz. sifa za jumla sayansi katika karne ya 18 Miongozo ya maendeleo ya hisabati.

wasilisho, limeongezwa 09.20.2015

Kipindi cha kuzaliwa kwa hisabati (kabla ya karne ya 7-5 KK). Muda wa hisabati maadili ya kudumu(karne za VII-V BC - karne za XVII AD). Hisabati vigezo(karne za XVII-XIX). Kipindi cha kisasa cha maendeleo ya hisabati. Vipengele vya hisabati ya kompyuta.

wasilisho, limeongezwa 09.20.2015

Mafanikio ya wanahisabati wa zamani wa Uigiriki ambao waliishi kati ya karne ya 6 KK. na karne ya 5 BK Upekee kipindi cha awali maendeleo ya hisabati. Jukumu la shule ya Pythagorean katika maendeleo ya hisabati: Plato, Eudoxus, Zeno, Democritus, Euclid, Archimedes, Apollonius.

mtihani, umeongezwa 09/17/2010

Historia ya malezi ya hisabati kama sayansi. Kipindi cha hisabati ya msingi. Kipindi cha uundaji wa hisabati ya idadi tofauti. Uundaji wa jiometri ya uchambuzi, calculus tofauti na muhimu. Maendeleo ya hisabati nchini Urusi katika karne ya 18-19.

Utafiti

Juu ya mada

"Njia za kutatua hesabu za quadratic"

Imetekelezwa:
kikundi cha 8 "G" darasa

Mkuu wa kazi:
Benkovskaya Maria Mikhailovna

Malengo na malengo ya mradi.

1. Onyesha kwamba katika hisabati, kama katika sayansi nyingine yoyote, kuna vya kutosha vyake mafumbo ambayo hayajatatuliwa.
2. Sisitiza kinachowafanya wanahisabati kuwa tofauti kufikiri nje ya boksi. Na wakati mwingine ustadi na uvumbuzi wa mwanahisabati mzuri hukushangaza tu!
3. Onyesha kwamba jaribio lenyewe la kusuluhisha milinganyo ya quadratic lilichangia ukuzaji wa dhana na mawazo mapya katika hisabati.
4. Jifunze kufanya kazi na vyanzo mbalimbali vya habari.
5. Endelea kazi ya utafiti hisabati

Hatua za utafiti

1. Historia ya kuibuka kwa milinganyo ya quadratic.

2. Ufafanuzi wa equation ya quadratic na aina zake.

3. Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia fomula ya kibaguzi.

4. Francois Viète na nadharia yake.

5. Mali ya coefficients kwa kupata haraka mizizi ya equation ya quadratic.

6. Mwelekeo wa vitendo.

Kupitia milinganyo, nadharia

Nilitatua matatizo mengi.

(Mkuu, Mshairi wa Kiingereza, umri wa kati.)

jukwaa. Historia ya kuibuka kwa milinganyo ya quadratic.

Haja ya kutatua equations sio tu ya kwanza, lakini pia ya shahada ya pili, ilisababishwa katika nyakati za zamani na hitaji la kutatua shida zinazohusiana na kutafuta maeneo. viwanja vya ardhi na kazi za ardhini za asili ya kijeshi, na vile vile maendeleo ya unajimu na hisabati yenyewe.

Wababeli waliweza kusuluhisha milinganyo ya quadratic yapata 2000 BC. Kanuni ya kusuluhisha milinganyo hii, iliyowekwa katika maandishi ya Babeli, kimsingi inalingana na ya kisasa, lakini haijulikani jinsi Wababiloni walikuja kupata kanuni hiyo. Karibu maandishi yote ya kikabari yaliyopatikana hadi sasa yanatoa matatizo tu na masuluhisho yaliyowekwa katika mfumo wa mapishi, bila dalili ya jinsi yalivyopatikana.

Licha ya kiwango cha juu cha maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo, na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo. digrii mbalimbali, hata hivyo, haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra.

Shida juu ya hesabu za quadratic zinapatikana tayari katika nakala za unajimu "Aryabhattiam", zilizokusanywa mnamo 499. Mtaalamu wa hisabati wa Kihindi na mwanaastronomia Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya roboduara iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

Hati ya aljebra ya Al-Khwarizmi inatoa uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic. Mwandishi anaorodhesha aina 6 za milinganyo. Kwa al-Khwarizmi, ambaye hakujua nambari hasi, masharti ya kila mlinganyo ni nyongeza, sio vipunguzi. Wakati huo huo, equations ambazo hazina suluhu chanya hazizingatiwi; wakati wa kutatua equation isiyokamilika ya quadratic, al-Khorezmi, kama wanasayansi wote hadi karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri.

Risala ya Al-Khwarizmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na fomula kwa suluhisho lao.

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic iliyoigwa kwa al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Italia Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa inatofautishwa na ukamilifu wake na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru njia mpya za algebra za kutatua shida, na alikuwa wa kwanza huko Uropa kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa "Kitabu cha Abacus" zilihamishiwa karibu vitabu vyote vya Uropa vya 16 - 17 na sehemu ya karne ya 18.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara mgawo b,c iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Kiitaliano Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya kwanza katika karne ya 16 kuzingatia sio tu chanya, lakini pia mizizi hasi. Tu katika karne ya 17, shukrani kwa kazi za Girrard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations za quadratic ilichukua fomu yake ya kisasa.

INAZIMIA:

Matatizo yanayohusisha milinganyo ya quadratic yalikabiliwa mapema kama 499.

KATIKA India ya Kale mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida - OLYMPIADS .

©2015-2019 tovuti
Haki zote ni za waandishi wao. Tovuti hii haidai uandishi, lakini hutoa matumizi bila malipo.
Tarehe ya kuundwa kwa ukurasa: 2016-04-11

Shule ya sekondari ya vijijini ya Kopyevskaya

Njia 10 za Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Mkuu: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mwalimu wa hisabati

kijiji cha Kopevo, 2007

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic

1.3 Milinganyo ya quadratic nchini India

1.4 Milinganyo ya quadratic na al-Khorezmi

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII karne

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Hitimisho

Fasihi

1. Historia ya maendeleo ya milinganyo ya quadratic

1.1 Milinganyo ya quadratic katika Babeli ya Kale

Kutumia nukuu ya kisasa ya algebra, tunaweza kusema kwamba katika maandishi yao ya kikabari kuna, pamoja na zisizo kamili, kama vile, kwa mfano, hesabu kamili za quadratic:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Licha ya kiwango cha juu cha maendeleo ya algebra huko Babeli, maandishi ya kikabari hayana dhana ya nambari hasi na mbinu za jumla za kutatua milinganyo ya quadratic.

1.2 Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic.

Hesabu ya Diophantus haina uwasilishaji wa utaratibu wa aljebra, lakini ina mfululizo wa matatizo ya utaratibu, ikifuatana na maelezo na kutatuliwa kwa kuunda milinganyo ya digrii mbalimbali.

Wakati wa kutunga milinganyo, Diophantus huchagua kwa ustadi zisizojulikana ili kurahisisha suluhu.

Hapa, kwa mfano, ni moja ya kazi zake.

Tatizo 11."Tafuta nambari mbili, ukijua kuwa jumla yao ni 20 na bidhaa zao ni 96"

Sababu za Diophantus kama ifuatavyo: kutoka kwa hali ya shida inafuata kwamba nambari zinazohitajika si sawa, kwani ikiwa zingekuwa sawa, basi bidhaa zao hazitakuwa sawa na 96, lakini kwa 100. Hivyo, mmoja wao atakuwa zaidi ya. nusu ya jumla yao, i.e. 10 + x, nyingine ni kidogo, i.e. ya 10. Tofauti kati yao 2x .

Kwa hivyo equation:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Kutoka hapa x = 2. Moja ya nambari zinazohitajika ni sawa na 12 , nyingine 8 . Suluhisho x = -2 kwa Diophantus haipo, kwa kuwa hisabati ya Kigiriki ilijua nambari nzuri tu.

Ikiwa tutatatua shida hii kwa kuchagua nambari moja inayohitajika kama isiyojulikana, basi tutakuja kwenye suluhisho la equation.

y(20 -y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ni wazi kwamba kwa kuchagua nusu ya tofauti ya nambari zinazohitajika kama zisizojulikana, Diophantus hurahisisha suluhisho; anafanikiwa kupunguza tatizo hadi kutatua equation ya quadratic isiyokamilika (1).

1.3 Milinganyo ya Quadratic nchini India

Matatizo juu ya hesabu za quadratic hupatikana tayari katika mkataba wa unajimu "Aryabhattiam", ulioandaliwa mnamo 499 na mtaalam wa hesabu wa India na mtaalam wa nyota Aryabhatta. Mwanasayansi mwingine wa Kihindi, Brahmagupta (karne ya 7), alielezea kanuni ya jumla ya kutatua milinganyo ya roboduara iliyopunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Katika equation (1), coefficients, isipokuwa A, pia inaweza kuwa hasi. Utawala wa Brahmagupta kimsingi ni sawa na wetu.

Katika India ya kale, mashindano ya umma katika kutatua matatizo magumu yalikuwa ya kawaida. Kimoja cha vitabu vya kale vya Kihindi kinasema yafuatayo kuhusu mashindano hayo: “Kama vile jua linavyong’arisha nyota kwa mng’ao wake, ndivyo mtu mwenye elimu atashinda utukufu wa mwingine katika makusanyiko ya watu wote, akipendekeza na kutatua matatizo ya aljebra.” Matatizo mara nyingi yaliwasilishwa kwa njia ya kishairi.

Hili ni moja wapo ya shida za mwanahisabati maarufu wa India wa karne ya 12. Bhaskars.

Tatizo 13.

"Kundi la nyani, na kumi na wawili karibu na mizabibu ...

Wakuu, baada ya kula, walifurahiya. Walianza kuruka, kunyongwa ...

Wapo kwenye mraba, sehemu ya nane.Kulikuwa na nyani wangapi?

Nilikuwa na furaha katika kusafisha. Niambie, katika pakiti hii?

Suluhisho la Bhaskara linaonyesha kwamba alijua kwamba mizizi ya equations ya quadratic ni ya thamani mbili (Mchoro 3).

Equation inayolingana na shida 13 ni:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara anaandika chini ya kivuli:

x 2 - 64x = -768

na, ili kukamilisha upande wa kushoto wa mlinganyo huu hadi mraba, huongeza kwa pande zote mbili 32 2 , kisha kupata:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Milinganyo ya quadratic katika al - Khorezmi

Katika maandishi ya aljebra ya al-Khorezmi, uainishaji wa milinganyo ya mstari na ya quadratic imetolewa. Mwandishi anahesabu aina 6 za equations, akizielezea kama ifuatavyo:

1) "Mraba ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

2) "Mraba ni sawa na nambari", i.e. shoka 2 = c.

3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. ah = s.

4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," i.e. shoka 2 + c = b X.

5) "Mraba na mizizi ni sawa na namba", i.e. ah 2 + bx = s.

6) "Mizizi na nambari ni sawa na mraba," i.e. bx + c = shoka 2 .

Kwa al-Khorezmi, ambaye aliepuka matumizi ya nambari hasi, masharti ya kila hesabu hizi ni nyongeza na sio kupunguzwa. Katika kesi hii, equations ambazo hazina suluhu chanya ni wazi hazizingatiwi. Mwandishi anaweka njia za kutatua milinganyo hii kwa kutumia mbinu za al-jabr na al-muqabala. Maamuzi yake, bila shaka, hayapatani kabisa na yetu. Bila kutaja kuwa ni kejeli tu, inapaswa kuzingatiwa, kwa mfano, kwamba wakati wa kutatua equation ya quadratic isiyo kamili ya aina ya kwanza.

al-Khorezmi, kama wanahisabati wote kabla ya karne ya 17, haizingatii suluhisho la sifuri, labda kwa sababu katika shida maalum za vitendo haijalishi. Wakati wa kusuluhisha milinganyo kamili ya quadratic, al-Khorezmi huweka sheria za kuzitatua kwa kutumia mifano fulani ya nambari, na kisha uthibitisho wa kijiometri.

Tatizo 14."Mraba na nambari 21 ni sawa na mizizi 10. Tafuta mizizi" (ikimaanisha mzizi wa equation x 2 + 21 = 10x).

Suluhisho la mwandishi huenda kama hii: kugawanya idadi ya mizizi kwa nusu, kupata 5, kuzidisha 5 yenyewe, toa 21 kutoka kwa bidhaa, kilichobaki ni 4. Chukua mizizi kutoka 4, unapata 2. Ondoa 2 kutoka 5 , unapata 3, hii itakuwa mzizi unaohitajika. Au ongeza 2 hadi 5, ambayo inatoa 7, hii pia ni mzizi.

Risala ya al-Khorezmi ni kitabu cha kwanza ambacho kimetujia, ambacho kinaweka utaratibu wa uainishaji wa milinganyo ya quadratic na kutoa fomula kwa suluhisho lao.

1.5 Milinganyo ya quadratic katika Ulaya XIII - XVII bb

Mifumo ya kutatua milinganyo ya quadratic kwenye mistari ya al-Khwarizmi huko Uropa ilionyeshwa kwa mara ya kwanza katika Kitabu cha Abacus, kilichoandikwa mnamo 1202 na mwanahisabati wa Kiitaliano Leonardo Fibonacci. Kazi hii kubwa, ambayo inaonyesha ushawishi wa hisabati, nchi zote za Kiislamu na Ugiriki ya Kale, hutofautishwa kwa ukamilifu na uwazi wa uwasilishaji. Mwandishi alitengeneza kwa uhuru mifano mipya ya aljebra ya kutatua shida na alikuwa wa kwanza barani Ulaya kukaribia kuanzishwa kwa nambari hasi. Kitabu chake kilichangia kuenea kwa ujuzi wa algebra sio tu nchini Italia, bali pia Ujerumani, Ufaransa na nchi nyingine za Ulaya. Shida nyingi kutoka kwa Kitabu cha Abacus zilitumika katika karibu vitabu vyote vya Uropa vya karne ya 16 - 17. na sehemu ya XVIII.

Kanuni ya jumla ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic imepunguzwa hadi fomu moja ya kisheria:

x 2 + bx = c,

kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za mgawo b , Na iliundwa katika Ulaya tu mwaka 1544 na M. Stiefel.

Utoaji wa fomula ya kusuluhisha mlingano wa quadratic kwa njia ya jumla unapatikana kutoka Viète, lakini Viète alitambua mizizi chanya pekee. Wanahisabati wa Italia Tartaglia, Cardano, Bombelli walikuwa kati ya wa kwanza katika karne ya 16. Mbali na mazuri, mizizi hasi pia huzingatiwa. Tu katika karne ya 17. Shukrani kwa kazi ya Girard, Descartes, Newton na wanasayansi wengine, njia ya kutatua equations ya quadratic inachukua fomu ya kisasa.

1.6 Kuhusu nadharia ya Vieta

Nadharia inayoelezea uhusiano kati ya coefficients ya equation ya quadratic na mizizi yake, iliyopewa jina la Vieta, iliundwa na yeye kwa mara ya kwanza mnamo 1591 kama ifuatavyo: B + D, ikizidishwa na A - A 2 , sawa BD, Hiyo A sawa KATIKA na sawa D ».

Ili kuelewa Vieta, tunapaswa kukumbuka hilo A, kama herufi yoyote ya vokali, ilimaanisha kisichojulikana (yetu X), vokali NDANI, D- coefficients kwa haijulikani. Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa kuna

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Kuonyesha uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equations kanuni za jumla iliyoandikwa kwa kutumia alama, Viet ilianzisha usawa katika njia za kutatua milinganyo. Walakini, ishara ya Viet bado iko mbali muonekano wa kisasa. Hakutambua namba hasi na kwa hiyo, wakati wa kutatua equations, alizingatia kesi tu ambapo mizizi yote ilikuwa chanya.

2. Mbinu za kutatua milinganyo ya quadratic

Milinganyo ya quadratic ndio msingi ambao muundo wa aljebra unategemea. Milinganyo ya quadratic hutumiwa sana katika kutatua milinganyo ya trigonometric, kielelezo, logarithmic, isiyo na mantiki na ya kupita maumbile na usawa. Sote tunajua jinsi ya kutatua milinganyo ya nne kutoka shuleni (darasa la 8) hadi kuhitimu.

Jinsi Diophantus alivyotunga na kutatua milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo mlinganyo: (10+x)(10 -x) =96 au: 100 - x2 =96 x2 - 4=0 (1) Suluhisho x = -2 halipo kwa Diophantus, kwa kuwa hisabati ya Kigiriki ilijua nambari chanya pekee. .

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-4.jpg" alt="Milinganyo ya Quadratic nchini India. ax2 + bx = c, a>0. (1)"> Квадратные уравнения в Индии. ах2 + bх = с, а>0. (1)!}

Milinganyo ya quadratic katika al-Khorezmi. 1) "Mraba ni mizizi sawa," yaani ax2 + c = bx. 2) "Mraba ni sawa na nambari," yaani ax2 = c. 3) "Mizizi ni sawa na nambari," i.e. shoka = c. 4) "Mraba na nambari ni sawa na mizizi," yaani ax2 + c = bx. 5) "Mraba na mizizi ni sawa na nambari", yaani ax2 + bx = c. 6) "Mizizi na nambari ni sawa na miraba," yaani bx + c = ax2.

Milinganyo ya quadratic huko Uropa katika karne ya 13 na 17. x2 + bx = c, kwa mchanganyiko wote unaowezekana wa ishara za coefficients b, c iliundwa Ulaya tu mwaka wa 1544 na M. Stiefel.

Kuhusu nadharia ya Vieta. "Ikiwa B + D mara A - A 2 ni sawa na BD, basi A ni B na sawa na D." Katika lugha ya algebra ya kisasa, uundaji wa Vieta hapo juu unamaanisha: ikiwa (a + b) x - x2 = ab, yaani x2 - (a + b) x + ab = 0, kisha x1 = a, x2 = b.

Njia za kutatua milinganyo ya quadratic. 1. NJIA: Kuelekeza upande wa kushoto wa mlinganyo. Wacha tusuluhishe mlinganyo x2 + 10 x - 24 = 0. Wacha tuangalie upande wa kushoto: x2 + 10 x - 24 = x2 + 12 x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2). Kwa hiyo, equation inaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo: (x + 12) (x - 2) = 0 Kwa kuwa bidhaa ni sifuri, basi angalau moja ya sababu zake ni sifuri. Kwa hiyo, upande wa kushoto wa equation inakuwa sifuri saa x = 2, na pia saa x = - 12. Hii ina maana kwamba namba 2 na - 12 ni mizizi ya equation x2 + 10 x - 24 = 0.

2. NJIA: Mbinu kamili ya uchimbaji wa mraba. Hebu tutatue equation x2 + 6 x - 7 = 0. Chagua upande wa kushoto mraba kamili. Ili kufanya hivyo, andika usemi x2 + 6 x ndani fomu ifuatayo: x2 + 6 x = x2 + 2 x 3. Katika usemi unaosababisha, neno la kwanza ni mraba wa nambari x, na ya pili ni bidhaa mara mbili x kwa 3. Kwa hiyo, ili kupata mraba kamili, unahitaji kuongeza 32, tangu x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2. Sasa tunabadilisha upande wa kushoto wa equation x2 + 6 x - 7 = 0, na kuiongeza na kupunguza 32. Tuna: x2 + 6 x - 7 = x2 + 2 x 3 + 32 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3)2 - 16. Hivyo, equation hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: (x + 3)2 - 16 = 0, (x + 3)2 = 16. Kwa hiyo, x + 3 - 4 = 0, x1 = 1, au x + 3 = -4, x2 = -7.

3. NJIA: Kutatua milinganyo ya roboduara kwa kutumia fomula. Wacha tuzidishe pande zote mbili za equation ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 kwa 4 a na kwa mtiririko tuna: 4 a 2 x2 + 4 abx + 4 ac = 0, ((2 ax)2 + 2 ax b + b 2) - b 2 + 4 ac = 0, (2 shoka + b)2 = b 2 - 4 ac, 2 shoka + b = ± √ b 2 - 4 ac, 2 shoka = - b ± √ b 2 - 4 ac,

4. NJIA: Kutatua milinganyo kwa kutumia nadharia ya Vieta. Kama inavyojulikana, equation ya quadratic iliyopunguzwa ina fomu x2 + px + c = 0. (1) Mizizi yake inakidhi nadharia ya Vieta, ambayo kwa = 1 ina fomu x 1 x 2 = q, x 1 + x 2 = - p a) x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 na x 2 = 1, tangu q = 2 > 0 na p = - 3 0 na p = 8 > 0. b) x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 na x 2 = 1, tangu q= - 5 0; x 2 – 8 x – 9 = 0; x 1 = 9 na x 2 = - 1, tangu q = - 9

5. NJIA: Kutatua milinganyo kwa kutumia mbinu ya "kurusha". Fikiria mlinganyo wa quadratic ax2 + bx + c = 0, ambapo ≠ 0. Tukizidisha pande zote mbili kwa a, tunapata mlinganyo a 2 x2 + abx + ac = 0. Hebu shoka = y, wapi x = y/a; kisha tunafika kwenye equation y2 + by + ac = 0, ambayo ni sawa na ile iliyotolewa. Tunapata mizizi yake y1 na y2 kwa kutumia nadharia ya Vieta. Hatimaye tunapata x1 = y1/a na x1 = y2/a.

Mfano. Hebu tutatue equation 2 x2 - 11 x + 15 = 0. Suluhisho. Hebu "tutupe" mgawo 2 kwa neno la bure, kwa matokeo tunapata equation y2 - 11 y + 30 = 0. Kulingana na theorem ya Vieta, y1 = 5 y2 = 6 x1 = 5/2 x 2 = 6/2 Jibu: 2, 5; 3. x 1 = 2. 5 x 2 = 3.

6. NJIA: Sifa za mgawo wa mlinganyo wa quadratic. A. Acha mlingano wa quadratic ax2 + bx + c = 0 itolewe, ambapo a ≠ 0. 1) Ikiwa + b + c = 0 (yaani, jumla ya coefficients ni sifuri), basi x1 = 1, x2 = c/A. Ushahidi. Kugawanya pande zote mbili za equation na ≠ 0, tunapata equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 + b/a x + c/a = 0. Kulingana na nadharia ya Vieta, x 1 + x 2 = - b/a, x 1 x 2 = 1 c/a. Kwa hali, a – b + c = 0, kutoka wapi b = a + c. Hivyo, x 1 + x 2 = - a + b/a= -1 – c/a, x 1 x 2 = - 1 (- c/a), yaani x1 = -1 na x2 = c/ a, ambayo ni yale yaliyotakiwa kuthibitishwa.

B. Ikiwa mgawo wa pili b = 2 k - idadi sawa, kisha fomula ya mzizi B. Mlinganyo uliotolewa x2 + px + q= 0 unapatana na mlinganyo. mtazamo wa jumla, ambayo a = 1, b = p na c = q. Kwa hiyo, kwa equation iliyopunguzwa ya quadratic, formula ya mizizi ni

7. NJIA: Suluhisho la picha mlinganyo wa quadratic. Ikiwa katika equation x2 + px + q = 0 tunahamisha maneno ya pili na ya tatu kwa upande wa kulia, tunapata x2 = - px - q. Wacha tujenge grafu za utegemezi y = x2 na y = - px - q.

Mfano 1) Wacha tusuluhishe kielelezo equation x2 - 3 x - 4 = 0 (Mchoro 2). Suluhisho. Hebu tuandike equation katika fomu x2 = 3 x + 4. Jenga parabola y = x2 na mstari wa moja kwa moja y = 3 x + 4. Mstari wa moja kwa moja y = 3 x + 4 unaweza kujengwa kwa kutumia pointi mbili M (0; 4) na N (3; 13). Jibu: x1 = - 1; x2 = 4

8. NJIA: Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia dira na rula. kutafuta mizizi ya dira ya mraba na mtawala (Mchoro 5). milinganyo Kisha, kwa nadharia ya sekanti, tuna OB OD = OA OC, kutoka wapi OC = OB OD/ OA = x1 x2/ 1 = c/a. ax2 + bx + c = 0 kutumia

Src="https://present5.com/presentation/137369579_55459696/image-19.jpg" alt="1) Radi ya mduara ni kubwa kuliko kuratibu ya kituo (AS > SK, au R > a +"> 1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2 a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (6, а рис.) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0. 2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2 a), окружность касается оси Ох (рис. 6, б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет !} pointi za kawaida na mhimili wa abscissa (Mchoro 6, c), katika kesi hii equation haina suluhisho.

9. NJIA: Kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia nomogram. z 2 + pz + q = 0. Kiwango cha curvilinear cha nomogram kinajengwa kulingana na formula (Mchoro 11): Kuzingatia OS = p, ED = q, OE = a (yote kwa cm), Kutoka kwa kufanana kwa pembetatu SAN na CDF tunapata uwiano

Mifano. 1) Kwa equation z 2 - 9 z + 8 = 0, nomogram inatoa mizizi z 1 = 8, 0 na z 2 = 1, 0 (Mchoro 12). 2) Kwa kutumia nomogram, tunatatua equation 2 z 2 - 9 z + 2 = 0. Kugawanya coefficients ya equation hii na 2, tunapata equation z 2 - 4, 5 z + 1 = 0. Nomogram inatoa mizizi z 1 = 4 na z 2 = 0, 5. 3) Kwa equation z 2 - 25 z + 66 = 0, coefficients p na q ni nje ya kiwango, tunafanya badala z = 5 t, tunapata equation t 2 - 5 t + 2, 64 = 0, ambayo tunatatua kwa kutumia nomograms na kupata t 1 = 0.6 na t 2 = 4. 4, ambayo z 1 = 5 t 1 = 3. 0 na z 2 = 5 t 2 = 22. 0.

10. NJIA: Mbinu ya kijiometri ya kutatua milinganyo ya roboduara. Mifano. 1) Hebu tutatue equation x2 + 10 x = 39. Katika asili, tatizo hili linaundwa kama ifuatavyo: "Mraba na mizizi kumi ni sawa na 39" (Mchoro 15). Kwa upande unaohitajika x wa mraba wa asili tunapata

y2 + 6 y - 16 = 0. Suluhisho linaonyeshwa kwenye Mtini. 16, ambapo y2 + 6 y = 16, au y2 + 6 y + 9 = 16 + 9. Suluhisho. Semi y2 + 6 y + 9 na 16 + 9 kijiometri huwakilisha mraba sawa, na mlinganyo wa awali y2 + 6 y - 16 + 9 - 9 = 0 ni mlinganyo sawa. Kutoka hili tunapata kwamba y + 3 = ± 5, au y1 = 2, y2 = - 8 (Mchoro 16).