Kwa nini fomula ya Poisson inaitwa fomula ya matukio adimu? Usambazaji na fomula ya Poisson

uwezekano p = 0.7. Tafuta nambari inayowezekana zaidi m 0 ya watu ambao watahudhuria mkutano na uwezekano unaolingana P n (m 0).

Suluhisho. Kwa kuwa P 50 (m 0 )= C 50 m 0 (0.7)m 0 (0.3)50 − m 0 , kazi ni kupata integer isiyo hasi m 0 ≤ 50 ambayo inatoa upeo wa kazi P 50 (m 0). Tuliona hapo juu kwamba nambari kama hiyo imetolewa kwa fomula (6.4). KATIKA

P 50 (35)= C 50 35 (0.7)35 (0.3)15 ≈ 0.123.

6.4. Muundo wa Poisson

Fomula (6.1) na (6.3) hutoa maadili kamili ya uwezekano unaohusishwa na mpango wa majaribio wa Bernoulli. Walakini, mahesabu kwa kutumia fomula hizi, haswa wakati maadili makubwa n yao, ni ngumu sana. Inapendeza sana kupata fomula rahisi za kutosha za kuhesabu uwezekano unaolingana. Kwanza formula sawa ilitolewa mnamo 1837 mwanahisabati wa Ufaransa na mwanafizikia Simon Poisson (1781-1840). Chini ni uundaji wa matokeo ya Poisson.

Fikiria muundo wa majaribio huru wa Bernoulli ambapo idadi ya majaribio n ni "kubwa kiasi," uwezekano wa "mafanikio" p ni "ndogo," na bidhaa λ = np "si ndogo wala kubwa"41. Chini ya hali hizi, fomula ni halali

Huu ni ukadiriaji maarufu wa Poisson kwa usambazaji wa binomial. Uthibitisho wa fomula (6.6) utatolewa katika nyongeza ya sehemu hii.

41 Maana kamili ya maneno katika alama za nukuu itaelezwa hapa chini, hasa katika § 6e.

Kazi iliyo upande wa kulia wa fomula (6.6) inaitwa

Usambazaji wa Poisson:

Kwa nukuu hii, p(k, λ) itakuwa usemi wa takriban wa uwezekano b(k;n, λn) wakati n ni "kubwa vya kutosha".

Kabla ya kujadili fomula (6.6), tunawasilisha sana mifano ya vielelezo matumizi yake.

Thamani za usambazaji wa binomial na maadili ya usambazaji wa Poisson kwa n = 100, p = 0.01, λ = 1 zinawasilishwa katika Jedwali. 6.2. Kama tunaweza kuona, usahihi wa fomula ya takriban ni ya juu sana.

N kubwa, ndivyo usahihi wa fomula ya Poisson inavyoongezeka. Hii inaonyeshwa wazi na mfano ufuatao. Wacha tuhesabu uwezekano wa p k kuwa katika jamii ya watu 500, watu k haswa walizaliwa siku moja maalum ya mwaka. Ikiwa watu hawa 500 wamechaguliwa bila mpangilio, basi muundo wa Bernoulli wa n = majaribio 500 unaweza kutumika na uwezekano wa "mafanikio" p = 1365. Hesabu zinazotumia fomula kamili (6.1) na takriban fomula (6.6) ya λ= 500365≈ 1.3699 zimewasilishwa katika Jedwali. 6.3. Kama tunavyoona, kosa liko tu katika nafasi ya nne ya decimal, ambayo inakubalika kabisa kwa mazoezi.

			Jedwali 6.2

	b(k; 100, 1.100)		p(k;1)

Jedwali 6.3.

	b (k; 500.1/ 365)	p (k, λ)















Fikiria mfano ufuatao wa kawaida wa kutumia fomula
Poisson.

Ifahamike kwamba uwezekano wa "kushindwa" katika uendeshaji wa kubadilishana simu kwa kila simu ni 0.002. Simu 1000 zilipokelewa. Tambua uwezekano kwamba "kushindwa" 7 kutatokea.

Suluhisho. Ni kawaida kudhani kuwa katika hali ya kawaida simu zinazofika kwenye soko la simu ni huru kutoka kwa kila mmoja. Hebu tufikirie kushindwa kwa ubadilishanaji wa simu kuwa "mafanikio" katika mtihani - changamoto. Uwezekano wa kushindwa (p = 0.002) inaweza kuchukuliwa kuwa "ndogo kidogo", na idadi ya simu (n = 1000) ni "kubwa kiasi". Kwa hivyo, tuko katika hali ya nadharia ya Poisson. Kwa parameter λ tunapata thamani

Wacha sasa tujadili kikomo cha utumiaji wa fomula ya Poisson. Katika

Kutumia fomula yoyote ya takriban, swali la mipaka ya utumiaji wake hutokea kwa kawaida. Kwa kufanya hivyo, tunakutana na vipengele viwili vya tatizo. Kwanza, swali la asili ni: sheria ya Poisson inatumika chini ya hali gani? Uzoefu unaonyesha kuwa usambazaji rahisi wa Poisson una utumikaji wa jumla. Kwa ujumla, kutoka kwa mtazamo wa maombi, nadharia za hisabati ni nzuri na mbaya kwa maana ifuatayo: nadharia nzuri zinaendelea kutumika hata kama hali zao zimekiukwa, na nadharia mbaya huacha mara moja kuwa kweli ikiwa masharti ya derivation yao yamekiukwa. . Nadharia ya Poisson (6.6) ni nzuri na hata bora kwa maana hii. Yaani, sheria ya Poisson inaendelea kufanya kazi hata wakati masharti ya mpango wa Bernoulli yanakiukwa (yaani, uwezekano wa kutofautiana wa mafanikio unaweza kudhaniwa na hata utegemezi usio na nguvu sana wa matokeo ya vipimo vya mtu binafsi)42. Mtu anaweza hata kusema kuwa usambazaji wa Poisson una utumiaji wa jumla. Hii lazima ieleweke kwa maana kwamba ikiwa data ya majaribio inaonyesha kuwa sheria ya Poisson haitumiki, wakati, kulingana na akili ya kawaida, angepaswa kuchukua hatua, ingekuwa kawaida zaidi kuhoji uthabiti wa takwimu wa data zetu kuliko kutafuta sheria nyingine ya usambazaji. Usambazaji wa Poisson ni uundaji wa hisabati uliofanikiwa sana wa mojawapo ya sheria za kimaumbile (ndani ya uwezekano wa nadharia ya uwezekano) za asili.

Pili, swali linatokea juu ya maagizo ya ukubwa wa vigezo hivyo ambavyo vimejumuishwa katika fomula ya Poisson, na ambayo hapo juu tulitumia maneno yasiyoeleweka "kubwa", "ndogo", "sio ndogo na ndogo." Tena, majibu ya kuelezea hutolewa na mazoezi ya kutumia fomula (6.6). Inabadilika kuwa formula ya Poisson ni sahihi kabisa kwa matumizi ya vitendo, ikiwa idadi ya majaribio n ni ya mpangilio

42 Kwa kawaida, vipengele hivi vya usambazaji wa Poisson havipaswi kutumiwa vibaya. Kwa mfano, sheria ya Poisson ni wazi inakiukwa katika hali ya utegemezi mkubwa wa matokeo ya vipimo vya mtu binafsi.

makumi kadhaa (ikiwezekana mamia), na thamani ya kigezo λ = np iko katika safu kutoka 0 hadi 10.

Ili kufafanua matumizi ya fomula ya Poisson, fikiria mfano mwingine.

Ifahamike kwamba inachukua zabibu 10,000 kuoka mikate 1,000 ya zabibu tamu. Unahitaji kupata usambazaji wa idadi ya zabibu kwenye bun iliyochaguliwa kwa nasibu.

Suluhisho. Tunaunda mlolongo wa majaribio ya kujitegemea kama ifuatavyo. Kutakuwa na n = majaribio 10,000 kwa jumla (kulingana na idadi ya zabibu), yaani: nambari ya majaribio k itajumuisha kuamua ikiwa zabibu zilizo na nambari k zilianguka kwenye bun43 yetu iliyochaguliwa kwa nasibu. Kisha, kwa kuwa kuna buns 1000 kwa jumla, uwezekano kwamba zabibu za k-th ziliishia kwenye bun yetu ni p = 1/1000 (mradi unga umechanganywa vizuri wakati wa kuandaa buns). Sasa tunatumia usambazaji wa Poisson na parameter λ= np = 10000 11000= 10. Tunapata:

P 10000 (k)≈ p (k,10)= 10 k e -10.

Hasa, uwezekano kwamba tutapata bun bila zabibu kabisa (k = 0) ni sawa na e - 10 ≈ 0.5 10-4. Idadi inayowezekana zaidi ya zabibu itakuwa, kulingana na fomula (6.4), sawa na 10. Uwezekano unaolingana.

P 10000 (10) ≈ 10 10 e - 10 ≈ 0.125. 10!

Mfano wa buns na zabibu, licha ya uundaji wake wa kawaida, ni sana tabia ya jumla. Kwa hiyo, badala ya zabibu katika buns, tunaweza kuzungumza, kwa mfano, kuhusu idadi ya bakteria katika tone la maji iliyochukuliwa kutoka kwenye ndoo iliyochanganywa vizuri. Mfano mwingine. Wacha tuchukue kwamba atomi dutu ya mionzi kuoza kwa kujitegemea kwa kila mmoja, na kwa muda fulani kuoza kwa atomi fulani hutokea

43 Kumbuka kwamba kununua bun katika duka kunaweza kutazamwa kama chaguo la nasibu.

Wacha jaribio lifanyike kupima tena kulingana na mpango wa Bernoulli na idadi ya majaribio ni kubwa, uwezekano wa tukio la tukio lililozingatiwa katika jaribio moja ni ndogo, na parameta ni. thamani ya kudumu. Halafu kwa uwezekano - uwezekano kwamba tukio litaonekana mara moja kwenye majaribio, uhusiano ufuatao ni kweli:

. (3.1)

Wakati wa kuhesabu uwezekano katika jaribio la nasibu kama hilo, unaweza kutumia fomula ya takriban

, (3.2)

ambayo inaitwa Muundo wa Poisson, na nambari ni Kigezo cha Poisson.

Kazi 3.1. Uwezekano wa kasoro katika utengenezaji wa bidhaa fulani ni 0.008. Pata uwezekano kwamba wakati wa ukaguzi, kati ya bidhaa 500 hakutakuwa na zaidi ya mbili zenye kasoro.

Suluhisho: kwa kuwa uwezekano ni mdogo na idadi ya majaribio ni kubwa, tunaweza kutumia fomula ya Poisson na kigezo . Uwezekano unaohitajika ni uwezekano wa jumla ya matukio matatu: kulikuwa na bidhaa mbili, moja, au hakuna bidhaa zenye kasoro. Ndiyo maana

Ufafanuzi 3.1

Mtiririko wa matukio ni mfuatano wa matukio yanayotokea kwa nyakati nasibu.

Kwa mfano, mtiririko wa matukio utakuwa simu zinazofika kwenye PBX, ishara wakati wa kikao cha mawasiliano ya redio, ujumbe unaofika kwenye seva, nk.

Ufafanuzi 3.2

Mtiririko wa matukio unaitwa Poisson(rahisi) ikiwa ina sifa zifuatazo:

1. Mali ya kusimama, i.e. kasi ya mtiririko- mara kwa mara.

2. Mali ya kawaida, hizo. tukio la matukio mawili au zaidi katika muda mfupi ni karibu haiwezekani.

3. Mali isiyo na athari, hizo. uwezekano wa matukio kutokea kwa kipindi cha muda hautegemei jinsi matukio mengi yalitokea katika eneo lingine lolote.

Ikiwa tunaashiria uwezekano wa kutokea kwa matukio ya mtiririko wa Poisson kwa nguvu kwa wakati, basi fomula ni halali:

. (3.3)

Tatizo 3.2. Kampuni ya bima inahudumia wateja 10,000. Uwezekano kwamba mteja atawasiliana na kampuni ndani ya siku moja ni 0.0003. Je, kuna uwezekano gani kwamba wateja 4 watawasiliana nawe ndani ya siku mbili?

Suluhisho: Kiwango cha mtiririko wa mteja katika siku moja ni sawa na

Kwa hivyo, .

Kutatua matatizo 3.1 na 3.2 katika mazingira Hisabati inavyoonyeshwa kwenye Mtini. 3.

Tatizo 3.3. Uwezekano wa kisomaji cha njia ya chini ya ardhi kushindwa ndani ya saa moja ni mdogo. Pata uwezekano huu ikiwa uwezekano kwamba kutakuwa na angalau kushindwa moja katika masaa 8 ni 0.98, na ikiwa inajulikana kuwa wastani wa watu 1000 hupitia njia ya kugeuka kwa saa?

Suluhisho: Kulingana na fomula (1.3) na (3.3), kwa uwezekano kwamba kutakuwa na kutofaulu angalau moja ndani ya masaa 8 ni sawa na:

Kutumia amri za mfano, na kisha uwezekano unaotaka umedhamiriwa.

Fikiria mlinganyo

Ambapo kitendakazi kimefafanuliwa kwenye .

Mlinganyo huu huamua uenezi wa wimbi linalosafiri katika kati ya n-dimensional homogeneous na kasi. a kwa wakati kwa wakati t > 0 .

Ili suluhisho lisiwe na utata, ni muhimu kuamua hali ya awali. Hali za awali huamua hali ya nafasi (au, wanasema, "mvurugano wa awali") kwa wakati mmoja. t = 0 :

Kisha formula ya jumla ya Kirchhoff inatoa suluhisho kwa tatizo hili.

Kirchhoff mwenyewe alizingatia tu kesi ya pande tatu.

Wazo la kupata suluhisho

Utoaji rahisi wa suluhisho la shida kuu hutumia ubadilishaji wa Fourier. Fomula ya jumla ya Kirchhoff ina mtazamo unaofuata:

Ikiwa equation ya wimbi ina sehemu ya kulia f, neno litaonekana upande wa kulia wa fomula:

Matokeo ya kimwili

Mawimbi ya mbele na ya nyuma kutoka kwa usumbufu uliowekwa ndani ya anga hutenda kwa mwangalizi kwa muda mfupi.

Ingiza wakati wa kuanzia wakati t= 0 kwenye seti fulani ya kompakt M kuna usumbufu wa ndani ( na/au ). Ikiwa tuko katika hatua fulani, basi, kama inavyoonekana kutoka kwa fomula (eneo la ujumuishaji), tutahisi usumbufu baada ya muda. .

Nje ya kipindi cha wakati ambapo , kazi u(x 0 , t) ni sawa na sifuri.

Kwa hivyo, usumbufu wa awali uliowekwa ndani ya nafasi husababisha kitendo kilichowekwa ndani kwa wakati katika kila sehemu ya nafasi, ambayo ni kwamba, usumbufu huo unaenea kwa namna ya wimbi lenye sehemu zinazoongoza na zinazofuata, ambayo inaelezea kanuni ya Huygens). Kwenye ndege, kanuni hii inakiukwa. Sababu ya hii ni ukweli kwamba mtoaji wa usumbufu, compact in , haitakuwa tena compact in , lakini itaunda silinda isiyo na kipimo, na, kwa hiyo, usumbufu hautakuwa na ukomo kwa wakati (y mawimbi ya cylindrical hakuna makali ya nyuma).

Fomula ya Poisson-Parseval

Suluhisho la equation ya vibration ya membrane

(kazi f(x,t)

na masharti ya awali

inatolewa na formula:

tex" alt=" +\frac(\partial)(\partial t)\frac(1)(2\pi a)\iint\limits_(r .

Mfumo wa D'Alembert

Suluhisho la sura moja mlinganyo wa wimbi

(kazi f(x,t) inalingana na nguvu ya nje ya kulazimisha)

na masharti ya awali

inaonekana kama

Kwa mkoa II sifa hutoka kwa familia moja tu

Unapotumia fomula ya D'Alembert, inafaa kuzingatiwa kuwa wakati mwingine suluhisho linaweza lisiwe la kipekee katika eneo lote linalozingatiwa. Suluhisho la mlinganyo wa wimbi linawakilishwa kama jumla ya kazi mbili: u(x,t) = f(x + at) + g(x − at) , yaani, imedhamiriwa na familia mbili za sifa:. Mfano ulioonyeshwa kwenye mchoro wa kulia unaonyesha usawa wa wimbi kwa kamba isiyo na kikomo, na hali ya awali ndani yake imetajwa tu kwenye mstari wa kijani. x≥0. Ni wazi kuwa katika eneo hilo Iξ-tabia na η-tabia zinawasili, zikiwa katika eneo II kuna ξ-tabia tu. Hiyo ni, katika eneo hilo II Fomula ya D'Alembert haifanyi kazi.

Utumiaji wa fomula

KATIKA mtazamo wa jumla Njia ya Kirchhoff ni ngumu sana, na kwa hiyo suluhisho la matatizo fizikia ya hisabati kuitumia kwa kawaida ni ngumu. Walakini, unaweza kutumia mstari wa usawa wa wimbi na hali ya awali na utafute suluhisho katika mfumo wa jumla ya kazi tatu: u(x,t) = A(x,t) + B(x,t) + C(x,t) , ambayo inakidhi masharti yafuatayo:

Kwa yenyewe, operesheni hiyo haina kurahisisha matumizi ya formula ya Kirchhoff, lakini kwa matatizo fulani inawezekana kuchagua suluhisho, au kupunguza tatizo la multidimensional kwa moja-dimensional moja kwa kuchukua nafasi ya vigezo. Kwa mfano, basi . Kisha, kufanya uingizwaji ξ = x + 3y − 2z , mlinganyo wa tatizo "C" utachukua fomu:

Kwa hivyo, tulifikia mlinganyo wa mwelekeo mmoja, ambayo inamaanisha tunaweza kutumia fomula ya D'Alembert:

Kutokana na usawa hali ya awali, suluhisho litahifadhi muonekano wake katika eneo lote t > 0 .

Fasihi

Mikhailov V.P., Mikhailova T.V., Shabunin M.I. Mkusanyiko kazi za kawaida katika kozi ya Milinganyo ya Fizikia ya Hisabati. - M.: MIPT, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Viungo

Wikimedia Foundation. 2010.

Tazama "fomula ya Poisson" ni nini katika kamusi zingine:

Fomula ya Kirchhoff ni usemi wa uchanganuzi wa kusuluhisha mlingano wa sehemu ya hyperbolic (kinachojulikana kama "mlinganyo wa wimbi") kote. nafasi tatu-dimensional. Kwa kutumia njia ya kushuka (yaani, kupunguza kipimo) kutoka kwayo unaweza... ... Wikipedia

Fomula ya Kirchhoff ni usemi wa uchanganuzi wa kusuluhisha mlingano wa tofauti wa sehemu ya hyperbolic (kinachojulikana kama "mlingano wa wimbi") katika nafasi nzima. Kwa kutumia njia ya kushuka (hiyo ni, kupunguza dimensionality), inawezekana kupata suluhu za pande mbili... ... Wikipedia

Mfumo unaowakilisha umoja. classic suluhisho u(x, t) la tatizo la Cauchy kwa mlinganyo wa wimbi katika nafasi ya saa yenye mwelekeo-tatu, (ambapo c ni kasi ya uenezi wa mawimbi) katika hali ambapo data ya awali f(x), p(x) ni tatu. mara na mbili mtawalia...... Ensaiklopidia ya kimwili

Mfumo wa kukokotoa jumla ya mfululizo wa fomu Ikiwa Fourier inabadilika (kwa kiasi fulani tofauti na kawaida, kawaida) ya chaguo za kukokotoa F (x), basi (m na n ni nambari kamili). Hii ni P.f. na.; anaweza kuwa..... Encyclopedia kubwa ya Soviet

Mfumo wa P. f. Na. hufanyika ikiwa, kwa mfano, chaguo za kukokotoa g(x) inaweza kuunganishwa kabisa kwenye muda, ina utofauti uliowekewa mipaka na chaguo za kukokotoa. Na. pia inaweza kuandikwa katika umbo ambapo a na b ni mbili zozote nambari chanya, kukidhi hali ab=2p, na c(u).is... ... Encyclopedia ya hisabati

1) Sawa na kiunga cha Poisson.2) Fomula inayotoa uwakilishi kamili wa suluhisho la tatizo la Cauchy kwa mlinganyo wa wimbi katika nafasi: na ina umbo (1) ambapo ni thamani ya wastani ya chaguo la kukokotoa j kwenye tufe Ilikaa katika anga (x, y, z) ya radius kwa Na… … Encyclopedia ya hisabati

Usambazaji unaoweza kugawanywa katika nadharia ya uwezekano ni usambazaji kutofautiana nasibu hivi kwamba inaweza kuwakilishwa katika mfumo wa idadi ya kiholela ya masharti huru, yaliyosambazwa sawasawa. Yaliyomo 1 Ufafanuzi 2 ... ... Wikipedia

Ambapo λ ni sawa na idadi ya wastani ya matukio ya matukio yanayofanana vipimo vya kujitegemea, i.e. λ = n × p, ambapo p ni uwezekano wa tukio katika jaribio moja, e = 2.71828.

Mfululizo wa usambazaji wa sheria ya Poisson una fomu:

Kusudi la huduma. Kikokotoo cha mtandaoni kinatumika kuunda usambazaji wa Poisson na kukokotoa sifa zote za mfululizo: matarajio ya hisabati, tofauti na kupotoka kwa kawaida. Ripoti iliyo na uamuzi imeundwa katika umbizo la Neno. Katika kesi wakati n ni kubwa na λ = p n > 10, fomula ya Poisson inatoa ukadiriaji mbaya sana na nadharia za ndani na muhimu za Moivre-Laplace hutumiwa kukokotoa P n (m).

Sifa za nambari za mabadiliko ya nasibu X

Matarajio ya usambazaji wa Poisson
M[X] = λ

Tofauti ya usambazaji wa Poisson
D[X] = λ

Mfano Nambari 1. Mbegu zina magugu 0.1%. Je, kuna uwezekano gani wa kupata mbegu 5 za magugu ikiwa utachagua mbegu 2000 bila mpangilio?
Suluhisho.
Uwezekano wa p ni mdogo, lakini nambari n ni kubwa. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Thamani inayotarajiwa: M[X] = λ = 2
Utawanyiko: D[X] = λ = 2

Mfano Nambari 2. Miongoni mwa mbegu za rye kuna mbegu za magugu 0.4%. Chora sheria ya usambazaji wa idadi ya magugu na uteuzi wa nasibu wa mbegu 5000. Tafuta thamani inayotarajiwa na tofauti ya tofauti hii ya nasibu.
Suluhisho. Matarajio ya hisabati: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Mtawanyiko: D[X] = λ = 20
Sheria ya usambazaji:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Mfano Nambari 3. Katika ubadilishanaji wa simu, uunganisho usio sahihi hutokea na uwezekano wa 1/200. Tafuta uwezekano kwamba kati ya miunganisho 200 yafuatayo yatatokea:
a) kiunganisho kimoja kisicho sahihi;
b) chini ya viunganisho vitatu visivyo sahihi;
c) zaidi ya miunganisho miwili isiyo sahihi.
Suluhisho. Kulingana na hali ya shida, uwezekano wa tukio ni mdogo, kwa hivyo tunatumia formula ya Poisson (15).
a) Kutokana na: n = 200, p = 1/200, k = 1. Hebu tupate P 200 (1).
Tunapata: . Kisha P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0.3679.
b) Kutokana na: n = 200, p = 1/200, k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
Tunayo: a = 1.

c) Kutokana na: n = 200, p = 1/200, k> 2. Pata P 200 (k> 2).
Tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi: pata uwezekano tukio kinyume, kwa kuwa katika kesi hii masharti machache yanahitajika kuhesabiwa. Kwa kuzingatia kesi iliyopita, tunayo

Fikiria kesi ambapo n ni kubwa vya kutosha na p ndogo ya kutosha; wacha tuweke np = a, ambapo a ni nambari fulani. Katika kesi hii, uwezekano unaohitajika umedhamiriwa na formula ya Poisson:

Uwezekano wa kutokea kwa matukio ya k wakati wa muda t pia unaweza kupatikana kwa kutumia fomula ya Poisson:
ambapo λ ni ukubwa wa mtiririko wa matukio, yaani, wastani wa idadi ya matukio yanayotokea kwa kila kitengo.

Mfano Nambari 4. Uwezekano kwamba sehemu hiyo ina kasoro ni 0.005. Sehemu 400 zimeangaliwa. Toa fomula ya kukokotoa uwezekano kuwa zaidi ya sehemu 3 zina kasoro.

Mfano Nambari 5. Uwezekano wa sehemu zenye kasoro kuonekana zinapokuwa uzalishaji wa wingi sawa na uk. kuamua uwezekano kwamba kundi la sehemu za N lina a) sehemu tatu haswa; b) si zaidi ya sehemu tatu zenye kasoro.
p=0.001; N = 4500
Suluhisho.
Uwezekano wa p ni mdogo, lakini nambari n ni kubwa. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
Tofauti ya nasibu X ina anuwai ya maadili (0,1,2,...,m). Uwezekano wa maadili haya unaweza kupatikana kwa kutumia formula:

Wacha tupate safu ya usambazaji ya X.
Hapa λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P (0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Halafu uwezekano kwamba kundi la sehemu za N lina sehemu tatu haswa ni sawa na:

Halafu uwezekano kwamba kundi la sehemu za N halina zaidi ya sehemu tatu zenye kasoro:
P (x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

Mfano Nambari 6. Ubadilishanaji wa simu otomatiki hupokea simu za N kwa wastani kwa saa. Amua uwezekano kwamba katika dakika fulani atapokea: a) simu mbili haswa; b) simu zaidi ya mbili.
N=18
Suluhisho.
Kwa dakika moja, ubadilishaji wa simu otomatiki hupokea kwa wastani λ = 18/60 min. = 0.3
Kwa kudhani kuwa nambari ya nasibu X ya simu zilipokelewa kwenye PBX kwa dakika moja,
hutii sheria ya Poisson, kwa kutumia fomula tutapata uwezekano unaotaka

Wacha tupate safu ya usambazaji ya X.
Hapa λ = 0.3
P (0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Uwezekano kwamba atapokea simu mbili haswa katika dakika fulani ni:
P(2) = 0.03334
Uwezekano kwamba atapokea simu zaidi ya mbili katika dakika fulani ni:
P(x>2) = 1 – 0.7408 – 0.2222 – 0.03334 = 0.00366

Mfano Nambari 7. Vipengele viwili vinavyofanya kazi kwa kujitegemea vinazingatiwa. Muda wa utendakazi usio na kushindwa una usambazaji wa kipeo na kigezo λ1 = 0.02 kwa kipengele cha kwanza na λ2 = 0.05 kwa kipengele cha pili. Pata uwezekano kwamba katika masaa 10: a) vipengele vyote viwili vitafanya kazi bila kushindwa; b) Uwezekano tu kwamba kipengele Na. 1 hakitashindwa katika saa 10:
Uamuzi.
P 1 (0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0.8187

Uwezekano kwamba kipengele cha 2 hakitashindwa katika saa 10:
P 2 (0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0.6065

a) vipengele vyote viwili vitafanya kazi bila dosari;
P(2) = P 1 (0)*P 2 (0) = 0.8187*0.6065 = 0.4966
b) kipengele kimoja tu kitashindwa.
P(1) = P 1 (0)*(1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0))*P 2 (0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187) *0.6065 = 0.4321

Mfano Nambari 7. Uzalishaji hutoa kasoro 1%. Je, kuna uwezekano gani kwamba kati ya bidhaa 1100 zilizochukuliwa kwa ajili ya utafiti, si zaidi ya 17 zitakataliwa?
Kumbuka: kwa kuwa hapa n*p =1100*0.01=11> 10, ni muhimu kutumia

Katika shida nyingi za kiutendaji mtu anapaswa kushughulika na vigeu vya nasibu vinavyosambazwa kulingana na sheria ya kipekee inayoitwa sheria ya Poisson.

Zingatia kigezo kisichoendelea cha nasibu ambacho kinaweza kuchukua tu thamani kamili, zisizo hasi:

Kwa kuongezea, mlolongo wa maadili haya hauna kikomo kinadharia.

Tofauti ya nasibu inasemekana kusambazwa kulingana na sheria ya Poisson ikiwa kuna uwezekano kwamba inachukua thamani maalum, inaonyeshwa na fomula

ambapo a ni kiasi chanya kinachoitwa parameta ya sheria ya Poisson.

Msururu wa usambazaji wa kibadilishaji nasibu kilichosambazwa kulingana na sheria ya Poisson una fomu:

Hebu tuhakikishe, kwanza kabisa, kwamba mlolongo wa uwezekano uliotolewa na formula (5.9.1) inaweza kuwa mfululizo wa usambazaji, i.e. kwamba jumla ya uwezekano wote ni sawa na moja. Tuna:

Katika Mtini. 5.9.1 inaonyesha poligoni za usambazaji wa kigezo bila mpangilio kinachosambazwa kulingana na sheria ya Poisson, inayolingana maana tofauti kigezo Kiambatisho Jedwali la 8 linaonyesha thamani za anuwai.

Wacha tuamue sifa kuu - matarajio ya hisabati na tofauti - ya tofauti ya nasibu iliyosambazwa kulingana na sheria ya Poisson. Kwa ufafanuzi wa matarajio ya hisabati

Muda wa kwanza wa jumla (sambamba na ) ni sawa na sifuri, kwa hivyo, muhtasari unaweza kuanza na:

Wacha tuonyeshe; Kisha

. (5.9.2)

Kwa hivyo, parameta sio chochote zaidi ya matarajio ya kihesabu ya kutofautisha bila mpangilio.

Kuamua utawanyiko, kwanza tunapata wakati wa pili wa idadi hiyo:

Kulingana na kuthibitishwa hapo awali

Mbali na hilo,

Kwa hivyo, tofauti ya kutofautiana kwa nasibu iliyosambazwa kulingana na sheria ya Poisson ni sawa na matarajio yake ya hisabati.

Sifa hii ya usambazaji wa Poisson mara nyingi hutumika katika mazoezi kuamua kama dhana kwamba kutofautisha bila mpangilio kunasambazwa kulingana na sheria ya Poisson kunawezekana. Ili kufanya hivyo, sifa za takwimu-matarajio ya hisabati na mtawanyiko-wa kutofautiana bila mpangilio huamuliwa kutokana na uzoefu. Ikiwa maadili yao ni karibu, basi hii inaweza kutumika kama hoja kwa ajili ya hypothesis ya usambazaji wa Poisson; tofauti kali katika sifa hizi, kinyume chake, inapingana na hypothesis.

Wacha tuamue kwa utaftaji wa nasibu uliosambazwa kulingana na sheria ya Poisson uwezekano kwamba itachukua dhamana sio chini ya ile iliyotolewa. Wacha tuonyeshe uwezekano huu:

Ni wazi, uwezekano unaweza kuhesabiwa kama jumla

Walakini, ni rahisi zaidi kuamua kutoka kwa uwezekano wa tukio tofauti:

(5.9.4)

Hasa, uwezekano kwamba wingi utachukua thamani chanya, inaonyeshwa na fomula

(5.9.5)

Tayari tumetaja kuwa shida nyingi za mazoezi husababisha usambazaji wa Poisson. Hebu fikiria mojawapo kazi za kawaida ya aina hiyo.

Acha pointi zisambazwe kwa nasibu kwenye mhimili wa x-x (Mchoro 5.9.2). Wacha tufikirie kuwa usambazaji wa nasibu wa vidokezo unakidhi masharti yafuatayo:

1. Uwezekano wa idadi fulani ya pointi zinazoanguka kwenye sehemu inategemea tu urefu wa sehemu hii, lakini haitegemei nafasi yake kwenye mhimili wa abscissa. Kwa maneno mengine, vidokezo vinasambazwa kwenye mhimili wa x na msongamano sawa wa wastani. Hebu tuonyeshe msongamano huu (yaani, matarajio ya hisabati ya idadi ya pointi kwa urefu wa kitengo) kwa .

2. Pointi zinasambazwa kwenye mhimili wa x kwa kujitegemea kwa kila mmoja, i.e. uwezekano wa idadi moja au nyingine ya pointi kuanguka sehemu iliyotolewa haitegemei ni ngapi kati yao huanguka kwenye sehemu nyingine yoyote ambayo haiingiliani nayo.

3. Uwezekano wa pointi mbili au zaidi kupiga eneo ndogo ni mdogo ikilinganishwa na uwezekano wa kupiga hatua moja (hali hii inamaanisha kutowezekana kwa vitendo kwa pointi mbili au zaidi zinazofanana).

Wacha tuchague sehemu fulani ya urefu kwenye mhimili wa abscissa na tuzingatie tofauti isiyo ya kawaida - idadi ya alama zinazoanguka kwenye sehemu hii. Thamani zinazowezekana zitakuwa

Kwa kuwa pointi huanguka kwenye sehemu kwa kujitegemea kwa kila mmoja, inawezekana kinadharia kwamba kutakuwa na wengi wao huko kama unavyotaka, i.e. mfululizo (5.9.6) unaendelea kwa muda usiojulikana.

Wacha tuthibitishe kuwa kutofautisha bila mpangilio kuna sheria ya usambazaji ya Poisson. Ili kufanya hivyo, tunahesabu uwezekano kwamba kutakuwa na pointi hasa kwenye sehemu.

Kwanza tusuluhishe zaidi kazi rahisi. Hebu tuzingatie eneo ndogo kwenye mhimili wa Ox na tuhesabu uwezekano kwamba angalau hatua moja itaanguka kwenye eneo hili. Tutatoa hoja kama ifuatavyo. Matarajio ya hisabati ya idadi ya pointi zinazoanguka kwenye sehemu hii ni wazi sawa (kwani wastani wa pointi huanguka kwa urefu wa kitengo). Kwa mujibu wa hali ya 3, kwa sehemu ndogo tunaweza kupuuza uwezekano wa pointi mbili au zaidi kuanguka juu yake. Kwa hiyo, matarajio ya hisabati ya idadi ya pointi zinazoanguka kwenye eneo hilo itakuwa takriban sawa na uwezekano wa hatua moja kuanguka juu yake (au, ambayo katika hali zetu ni sawa, angalau moja).

Hivyo, hadi usio na ukomo hali ya juu, tunapoweza kuzingatia uwezekano kwamba hatua moja (angalau moja) itaanguka kwenye tovuti ni sawa na , na uwezekano kwamba hakuna itaanguka ni sawa na .

Wacha tuitumie hii kuhesabu uwezekano wa alama zinazoanguka kwenye sehemu. Gawanya sehemu ndani sehemu sawa urefu. Wacha tukubali kuiita sehemu ya msingi "tupu" ikiwa haina nukta moja, na "ilichukua" ikiwa angalau moja itatokea. Kwa mujibu wa hapo juu, uwezekano kwamba sehemu itakuwa "busy" ni takriban sawa na; uwezekano kwamba itakuwa "tupu" ni sawa na . Kwa kuwa, kulingana na hali ya 2, pointi zinazoanguka katika sehemu zisizoingiliana zinajitegemea, basi sehemu zetu za n zinaweza kuchukuliwa kuwa "majaribio" ya kujitegemea, ambayo kila sehemu inaweza "kuchukuliwa" na uwezekano. Wacha tupate uwezekano kwamba kati ya sehemu kutakuwa na "ilichukua" haswa. Kulingana na nadharia ya marudio ya majaribio, uwezekano huu ni sawa na

au, kuashiria,

(5.9.7)

Inapokuwa kubwa vya kutosha, uwezekano huu ni takriban sawa na uwezekano wa pointi hasa zinazoangukia kwenye sehemu, kwani uwezekano wa pointi mbili au zaidi zinazoangukia kwenye sehemu haukubaliki. Ili kupata thamani halisi, unahitaji kwenda kwa kikomo katika kujieleza (5.9.7) kwa:

(5.9.8)

Wacha tubadilishe usemi chini ya ishara ya kikomo:

(5.9.9)

Sehemu ya kwanza na dhehebu ya sehemu ya mwisho katika usemi (5.9.9) kwa , kwa hakika inaelekea kwenye umoja. Usemi hautegemei. Nambari ya sehemu ya mwisho inaweza kubadilishwa kama ifuatavyo:

(5.9.10)

Wakati na usemi (5.9.10) huelekea . Kwa hivyo, imethibitishwa kuwa uwezekano wa alama zinazoanguka kwenye sehemu unaonyeshwa na fomula

wapi, i.e. thamani ya X inasambazwa kulingana na sheria ya Poisson na kigezo.

Kumbuka kwamba thamani ni wastani wa idadi ya pointi kwa kila sehemu.

Ukuu (uwezekano kwamba thamani ya X itachukua thamani chanya) ndani kwa kesi hii inaelezea uwezekano kwamba angalau nukta moja itaanguka kwenye sehemu:

Kwa hivyo, tuna hakika kwamba usambazaji wa Poisson hutokea ambapo baadhi ya pointi (au vipengele vingine) huchukua nafasi ya nasibu bila kujitegemea, na idadi ya pointi hizi zinazoanguka katika eneo fulani huhesabiwa. Kwa upande wetu, "kanda" kama hiyo ilikuwa sehemu kwenye mhimili wa abscissa. Hata hivyo, hitimisho letu linaweza kupanuliwa kwa urahisi kwa kesi ya usambazaji wa pointi kwenye ndege (uwanja wa gorofa wa random wa pointi) na katika nafasi (uwanja wa anga wa random wa pointi). Si vigumu kuthibitisha kwamba ikiwa masharti yamefikiwa:

1) pointi zinasambazwa kwa takwimu sawasawa kwenye shamba na wiani wa wastani;

2) pointi huanguka katika mikoa isiyo ya kuingiliana kwa kujitegemea;

3) alama zinaonekana moja, na sio kwa jozi, triplets, nk, basi idadi ya alama zinazoanguka katika eneo lolote (gorofa au anga) husambazwa kulingana na sheria ya Poisson:

ambapo ni wastani wa idadi ya pointi kuanguka katika eneo hilo.

Kwa kesi ya gorofa

eneo la mkoa liko wapi; kwa nafasi

kiasi cha mkoa kiko wapi.

Kumbuka kwamba kwa usambazaji wa Poisson wa idadi ya pointi zinazoanguka katika sehemu au kanda, hali ya msongamano wa mara kwa mara () sio muhimu. Ikiwa masharti mengine mawili yametimizwa, basi sheria ya Poisson bado inashikilia, tu parameta ndani yake inachukua usemi tofauti: haifanyiki. kuzidisha rahisi msongamano kwa urefu, eneo au ujazo wa eneo, na kwa kuunganisha msongamano wa kutofautiana juu ya sehemu, eneo au kiasi. (Kwa zaidi kuhusu hili, ona n° 19.4)

Uwepo wa alama za nasibu zilizotawanyika kwenye mstari, ndege, au kiasi sio hali pekee ambayo usambazaji wa Poisson hutokea. Mtu anaweza, kwa mfano, kudhibitisha kuwa sheria ya Poisson inazuia usambazaji wa binomial:

, (5.9.12)

ikiwa wakati huo huo idadi ya majaribio inaelekea kutokuwa na mwisho, na uwezekano huenda hadi sifuri, na bidhaa zao huhifadhi thamani ya mara kwa mara:

Kwa kweli, mali hii ya kizuizi ya usambazaji wa binomial inaweza kuandikwa kama:

. (5.9.14)

Lakini kutokana na sharti (5.9.13) inafuata hivyo

Kubadilisha (5.9.15) hadi (5.9.14), tunapata usawa

, (5.9.16)

ambayo tumethibitisha kwenye tukio lingine.

Mali hii ya kikomo ya sheria ya binomial mara nyingi hutumiwa katika mazoezi. Wacha tufikirie kuwa inazalishwa idadi kubwa ya majaribio ya kujitegemea, ambayo kila tukio lina uwezekano mdogo sana. Kisha kuhesabu uwezekano kwamba tukio litatokea mara moja, unaweza kutumia fomula ya takriban:

, (5.9.17)

iko wapi kigezo cha sheria ya Poisson ambayo takriban inachukua nafasi ya usambazaji wa binomial.

Kutoka kwa mali hii ya sheria ya Poisson - kuelezea usambazaji wa binomial na idadi kubwa ya majaribio na uwezekano mdogo wa tukio - huja jina lake, mara nyingi hutumiwa katika vitabu vya takwimu: sheria. matukio adimu.

Wacha tuangalie mifano kadhaa inayohusiana na usambazaji wa Poisson kutoka kwa maeneo anuwai ya mazoezi.

Mfano 1. Ubadilishanaji wa simu otomatiki hupokea simu zenye msongamano wa wastani wa simu kwa saa. Kwa kudhani kwamba idadi ya simu katika kipindi chochote cha muda inasambazwa kwa mujibu wa sheria ya Poisson, pata uwezekano kwamba simu tatu hasa zitafika kituoni kwa dakika mbili.

Suluhisho. Idadi ya wastani ya simu kwa dakika mbili ni:

Sq.m. Ili kugonga lengo, angalau kipande kimoja kinatosha kukipiga. Pata uwezekano wa kugonga lengo katika nafasi fulani ya hatua ya mapumziko.

Suluhisho. . Kwa kutumia fomula (5.9.4) tunapata uwezekano wa kugonga angalau kipande kimoja:

(Ili kuhesabu thamani utendaji wa kielelezo tunatumia jedwali la 2 la kiambatisho).

Mfano 7. Msongamano wa wastani vijidudu vya pathogenic katika moja mita za ujazo hewa ni 100. Chukua mita za ujazo 2 kwa majaribio. dm ya hewa. Pata uwezekano kwamba angalau microbe moja itapatikana ndani yake.

Suluhisho. Kukubali dhana ya usambazaji wa Poisson wa idadi ya vijidudu kwa kiasi, tunapata:

Mfano 8. Risasi 50 huru hupigwa kwa shabaha fulani. Uwezekano wa kugonga lengo kwa risasi moja ni 0.04. Kuchukua faida kupunguza mali usambazaji wa binomial (fomula (5.9.17)), tafuta takriban uwezekano ambao lengo litagonga: hakuna projectile, projectile moja, projectile mbili.

Suluhisho. Tuna. Kutumia jedwali la 8 kwenye kiambatisho tunapata uwezekano.