Utumiaji wa grafu katika kutatua milinganyo. Kusoma kazi za msingi za msingi katika kozi ya hisabati ya shule

Je! unajua kuwa kila jozi ya nambari zilizoagizwa inalingana na uhakika maalum juu kuratibu ndege. Kwa kuwa kila suluhisho la equation yenye vigezo viwili x na y ni jozi ya nambari zilizoamriwa, ufumbuzi wake wote unaweza kuwakilishwa na pointi kwenye ndege ya kuratibu. Katika pointi hizi, abscissa ni thamani ya kutofautiana kwa x, na kuratibu ni thamani inayofanana ya kutofautiana y. Kwa hiyo, tunapata grafu ya equation na vigezo viwili.

Kumbuka!

Grafu ya equation iliyo na vigezo viwili ni picha kwenye ndege ya kuratibu ya pointi zote ambazo viwianishi vyake vinakidhi. kupewa equation.

Angalia Kielelezo 64 na 65. Unaona grafu ya equation 0.5 x - y = 2, ambapo x ni nambari ya tarakimu moja (Kielelezo 64), na grafu ya equation x 2 + y 2 = 4 (Kielelezo 64). 65). Grafu ya kwanza ina alama nne tu kwa sababu vigeuzo x na y vinaweza kuchukua tu maadili manne. Grafu ya pili ni mstari kwenye ndege ya kuratibu. Inayo alama nyingi, kwani mabadiliko ya x yanaweza kuchukua dhamana yoyote kutoka -2 hadi 2 na kuna nambari nyingi kama hizo. Pia kuna maadili mengi yanayolingana. Wanatofautiana kutoka 2 hadi 2.

Mchoro wa 66 unaonyesha grafu ya equation x + y = 4. Tofauti na grafu ya equation x 2 + y 2 = 4 (tazama Mchoro 65), kila hatua ya abscise ya grafu hii inafanana na kuratibu moja. Hii ina maana kwamba Kielelezo 66 kinaonyesha grafu ya kazi. Jihakikishie mwenyewe kwamba grafu ya mlinganyo katika Mchoro 64 pia ni grafu ya chaguo la kukokotoa.

Kumbuka

Sio kila mlinganyo una grafu ya chaguo za kukokotoa, lakini kila grafu ya chaguo za kukokotoa ni grafu ya mlinganyo fulani.

Equation x + y = 4 ni equation linear katika vigezo viwili. Baada ya kusuluhisha kwa y, tunapata: y = -x + 4. Usawa unaopatikana unaweza kueleweka kama fomula inayofafanua kazi ya mstari y = -x + 4. Grafu ya chaguo kama hicho ni mstari wa moja kwa moja. Kwa hiyo, ratiba mlinganyo wa mstari x + y = 4, ambayo imeonyeshwa kwenye Mchoro 66, ni mstari wa moja kwa moja.

Tunaweza kusema kwamba grafu ya equation yoyote ya mstari katika vigezo viwili ni mstari wa moja kwa moja? Hapana. Kwa mfano, equation ya mstari 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 imeridhika na jozi yoyote ya nambari, na kwa hiyo grafu ya equation hii ina pointi zote za ndege ya kuratibu.

Wacha tujue ni jedwali gani la equation ya mstari na vijiti viwili ax + bу + c = 0 kulingana na maadili ya coefficients a, b na c. Kesi kama hizo zinawezekana.

Acha ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inaweza kuwakilishwa kama:

Tumepata usawa unaofafanua kazi ya mstari y(x). Grafu yake, na kwa hiyo grafu ya equation hii, ni mstari wa moja kwa moja ambao haupitia asili ya kuratibu (Mchoro 67).

2. Hebu ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu ya shoka + kwa + 0 = 0, au y = x.

Tumepata usawa, ambao unabainisha uwiano wa moja kwa moja na y(x). Grafu yake, na kwa hiyo grafu ya equation hii, ni mstari wa moja kwa moja unaopitia asili ya kuratibu (Mchoro 68).

3. Hebu ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu ya shoka + 0 ∙ y + c = 0, au x = -.

Usawa uliopokewa haubainishi chaguo za kukokotoa y(). Usawa huu unaridhishwa na jozi kama hizo za nambari (x; y), ambamo x = , na y ni nambari yoyote. Kwenye ndege ya kuratibu, pointi hizi ziko kwenye mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa OY. Kwa hiyo, grafu ya equation hii ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa kuratibu (Mchoro 69).

4. Hebu ≠ 0, b = 0, c = 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu ya shoka + 0 ∙ y + 0 = 0, au x = 0.

Usawa huu unaridhishwa na jozi kama hizo za nambari (x; y), ambamo x = 0, na y ni nambari yoyote. Kwenye ndege ya kuratibu, pointi hizi ziko kwenye mhimili wa OY. Kwa hivyo, grafu ya equation hii ni mstari wa moja kwa moja unaofanana na mhimili wa kuratibu.

5. Acha ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. Kisha shoka la equation + bу + c = 0 inachukua fomu 0 ∙ x + kwa + c = 0, au y = -. Usawa huu unafafanua chaguo za kukokotoa y(x), ambayo huchukua thamani sawa kwa thamani zozote za x, yaani, ni thabiti. Grafu yake, na kwa hiyo grafu ya equation hii, ni mstari wa moja kwa moja sambamba na mhimili wa abscissa (Mchoro 70).

6. Hebu a = 0, b ≠ 0, c = 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu 0 ∙ x + kwa + 0 = 0, au b = 0. Tunapata kazi ya mara kwa mara y(x), ambapo kila nukta ya grafu iko kwenye mhimili wa OX. Kwa hivyo, grafu ya equation hii ni mstari wa moja kwa moja unaofanana na mhimili wa abscissa.

7. Hebu a = 0, b = 0, c ≠ 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, au 0 ∙ x + 0 ∙ b = c . Na equation kama hiyo ya mstari haina suluhisho, kwa hivyo grafu yake haina nukta moja kwenye ndege ya kuratibu.

8. Acha a = 0, b = 0, c = 0. Kisha shoka ya equation + kwa + c = 0 inachukua fomu 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, au 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 Mlinganyo wa mstari kama huo una masuluhisho mengi, kwa hivyo grafu yake ndiyo ndege nzima ya kuratibu.

Tunaweza kufupisha matokeo yaliyopatikana.

Grafu ya mlingano wa mstari na viambatisho viwili ax + bу + с = 0:

Ni sawa ikiwa ≠ 0 au b ≠ 0;

Je! ndege nzima ikiwa = 0, b = 0 na c = 0;

Haina sehemu moja ya ndege ya kuratibu ikiwa = 0, b = 0 na c ≠ 0.

Kazi. Grafu ya mlinganyo 2x -y - 3 = 0

Ufumbuzi. Mlinganyo 2x - y - 3 = 0 ni mstari. Kwa hiyo, grafu yake ni mstari y = 2x - 3. Ili kuijenga, inatosha kutaja pointi mbili za mstari huu. Wacha tufanye jedwali la maadili y kwa maadili mawili ya kiholela ya x, kwa mfano, kwa x = 0 na x = 2 (Jedwali 27).

Jedwali 27

Kwenye ndege ya kuratibu, tunateua pointi na kuratibu (0; -3) na (2; 1) na kuteka mstari wa moja kwa moja kupitia kwao (Mchoro 70). Mstari huu wa moja kwa moja ni grafu inayotakiwa ya equation 2x - y - 3 = 0.

Je, inawezekana kutambua grafu ya equation ya mstari yenye viambishi viwili na grafu ya equation ya shahada ya kwanza yenye viambishi viwili? Hapana, kwa sababu kuna milinganyo ya mstari ambayo si milinganyo ya shahada ya kwanza. Kwa mfano, hizi ni equation 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0.

Kumbuka:

Grafu ya equation ya mstari katika vigezo viwili inaweza kuwa mstari wa moja kwa moja, ndege nzima, au isiwe na pointi moja kwenye ndege ya kuratibu;

Grafu ya mlingano wa shahada ya kwanza katika vigeu viwili huwa sawa kila wakati.

Pata maelezo zaidi

1. Acha ≠ 0. Kisha uamuzi wa pamoja Equations pia inaweza kuwasilishwa kwa fomu hii: X = - y -. Tulipata chaguo la kukokotoa la mstari x(y). Grafu yake ni mstari wa moja kwa moja. Ili kuunda grafu kama hiyo, unahitaji kuchanganya axes za kuratibu tofauti: kwanza mhimili wa kuratibu(utofauti unaojitegemea) zingatia mhimili wa op-amp, na wa pili (utofauti tegemezi)

OX mhimili. Kisha ni rahisi kuweka mhimili wa OU kwa usawa, na mhimili wa OX

Wima (Mchoro 72). Grafu ya equation katika kesi hii pia itawekwa tofauti kwenye ndege ya kuratibu kulingana na alama za coefficients b na c. Ichunguze mwenyewe.

2. Nikolai Nikolaevich Bogolyubov (1909-1992) - mwanahisabati bora wa Kirusi na fundi, mwanafizikia wa kinadharia, mwanzilishi. shule za kisayansi katika mechanics isiyo ya kawaida na fizikia ya kinadharia, msomi wa Chuo cha Sayansi cha SSR ya Kiukreni (1948) na Chuo cha Sayansi cha USSR (tangu 1953). Kuzaliwa ndani Nizhny Novgorod Dola ya Urusi. Mnamo 1921, familia ilihamia Kiev. Baada ya kuhitimu kutoka shule ya miaka saba, Bogolyubov alisoma kwa uhuru fizikia na hesabu na, kutoka umri wa miaka 14, tayari alishiriki katika semina ya idara hiyo. fizikia ya hisabati Chuo Kikuu cha Kyiv chini ya uongozi wa msomi D. A. Grave. Mnamo 1924, akiwa na umri wa miaka 15, Bogolyubov aliandika kazi yake ya kwanza ya kisayansi, na katika mwaka ujao ilikubaliwa katika shule ya kuhitimu ya ANURSR kwa wasomi. M. Krylov, ambaye alihitimu mwaka wa 1929, akipokea shahada ya Daktari wa Sayansi ya Hisabati akiwa na umri wa miaka 20.

Mnamo 1929 p. MM. Bogolyubov alikua mtafiti mwenzake katika Chuo cha Sayansi cha Kiukreni, na mnamo 1934 alianza kufundisha katika Chuo Kikuu cha Kiev (tangu 1936 - profesa). Tangu mwisho wa miaka ya 40 ya karne ya XX. Wakati huo huo alifanya kazi nchini Urusi. Alikuwa mkurugenzi wa Taasisi ya Pamoja ya Utafiti wa Nyuklia, na baadaye - mkurugenzi wa Taasisi ya Hisabati iliyopewa jina lake. A. Steklova huko Moscow, alifundisha huko Moscow chuo kikuu cha serikali jina lake baada ya Mikhail Lomonosov. Mnamo 1966, alikua mkurugenzi wa kwanza wa Taasisi ya Fizikia ya Nadharia ya Chuo cha Sayansi cha Kiukreni huko Kyiv, ambayo aliunda, na wakati huo huo (1963-1988) alikuwa msomi na katibu wa Idara ya Hisabati. Chuo cha Sayansi cha USSR.

MM. Bogolyubov - mara mbili shujaa Kazi ya Ujamaa(1969,1979), tuzo Tuzo la Lenin(1958), Tuzo la Jimbo la USSR (1947.1953,1984), Medali ya Dhahabu iliyopewa jina lake. M. V. Lomonosov Chuo cha Sayansi cha USSR (1985).

Septemba 21, 2009 kwenye facade ya jengo la Red la Kyiv chuo kikuu cha taifa iliyopewa jina la Taras Shevchenko ilifunguliwa Jalada la ukumbusho kwa msomi mahiri Nikolai Bogolyubov kwa heshima ya kumbukumbu ya miaka mia moja ya kuzaliwa kwake.

Mwaka 1992 Chuo cha Taifa Sayansi ya Ukraine, Tuzo la NAS la Ukraine lililopewa jina la N.M. Bogolyubov lilianzishwa, ambalo linatolewa na Idara ya Hisabati ya NAS ya Ukraine kwa ubora bora. kazi za kisayansi katika hisabati na fizikia ya kinadharia. Sayari ndogo "22616 Bogolyubov" iliitwa kwa heshima ya mwanasayansi.

KUMBUKA MUHIMU

1. Je! ni jedwali gani la mlinganyo wa mstari katika viambishi viwili?

2. Kwa hali yoyote, grafu ya equation yenye vigezo viwili ni mstari wa moja kwa moja; ndege?

3. Je, ni katika hali gani grafu ya mlinganyo wa mstari katika vigezo viwili hupitia asili?

TATUA MATATIZO

1078 . Je, ni kipi kati ya Kielelezo 73-74 kinachoonyesha grafu ya mlingano wa mstari katika viambishi viwili? Eleza jibu lako.

1079 . Ni kwa maadili gani ya mgawo a, b na c ni shoka la laini + bу + c = 0.

1) hupitia asili;

2) sambamba na mhimili wa x;

3) sambamba na mhimili wa kuratibu;

4) sanjari na mhimili wa abscissa;

5) sanjari na mhimili wa kuratibu?

1080 . Bila kufanya ujenzi, tambua ikiwa hatua hiyo ni ya grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili 6x - 2y + 1 = 0:

1)A(-1;2.5); 2)B(0;3.5); 3) C(-2; 5.5); 4)D(1,5;5).

1081 . Bila kufanya ujenzi, tambua ikiwa hatua hiyo ni ya grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili 3x + 3y - 5 = 0:

1) A (-1; ); 2) B (0; 1).

1082

1) 2x + y - 4 = 0 ikiwa x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 ikiwa x = 2;

2) 4x - 2y + 5 = 0, ikiwa x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 ikiwa x = 2.

1083 . Kwa mlinganyo uliotolewa wa mstari katika vigeu viwili, pata thamani ya y inayolingana na nyuma thamani iliyopewa X:

1) 3x - y + 2 = 0 ikiwa x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 ikiwa x = 2.

1084

1) 2x + y - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;

2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2у + 4 = 0;

3) 5x - 10y = 0; 6)x - y = 0; 9) x - y = 0.

1085 . Grafu equation ya mstari na vigezo viwili:

1) 4x + y - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;

2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;

3) -4x - 8y = 0; 6) y - 3 = 0.

1086 . Pata kuratibu za hatua ya makutano ya grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili 2x - 3y - 18 = 0 na mhimili:

1) axles; 2) shoka.

1087 . Pata kuratibu za hatua ya makutano ya grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili 5x + 4y - 20 = 0 na mhimili:

1) axles; 2) shoka.

1088 . Kwenye mstari wa moja kwa moja, ambayo ni grafu ya equation 0.5 x + 2y - 4 = 0, hatua imeonyeshwa. Pata mpangilio wa hatua hii ikiwa abscissa yake ni:

5) 4(x - y) = 4 - 4y;

6) 7x - 2y = 2 (1 + 3.5 x).

1094 . Grafu ya mlingano wa mstari katika vigeu viwili hupitia nukta A(3; -2). Pata mgawo usiojulikana wa equation:

1) shoka + 3y - 3 = 0;

2) 2x - kwa + 8 = 0;

3) -x + 3y - c = 0.

1095 . Amua aina ya pembe nne ambayo wima ni sehemu za makutano ya grafu za milinganyo:

x - y + 4 = 0, x - y - 4 = 0, -x - y + 4 = 0, -x - y - 4 = 0

1096 . Panga equation:

1) a - 4b + 1 = 0; 3) 3a + 0 ∙ b - 12 = 0;

2) 0 ∙ a + 2b + 6 = 0; 4) 0 ∙ a + 0 ∙ b + 5 = 0.

IWEKE KWA VITENDO

1097 . Unda equation ya mstari na vigezo viwili kulingana na data ifuatayo: 1) kilo 3 za pipi na kilo 2 za biskuti gharama 120 UAH; 2) kalamu 2 ni 20 UAH ghali zaidi kuliko penseli 5. Panga grafu ya mlingano wako.

1098 . Jenga mchoro wa mlingano wa tatizo kuhusu: 1) idadi ya wasichana na wavulana katika darasa lako; 2) ununuzi wa madaftari yenye mstari na mraba.

KAGUA MATATIZO

1099. Mtalii alitembea kilomita 12 kwa saa moja. Je, itachukua saa ngapi kwa mtalii kusafiri umbali wa kilomita 20 kwa mwendo huo huo?

1100. Ni nini kinachopaswa kuwa kasi ya treni kulingana na ratiba mpya ili iweze kufunika umbali kati ya vituo viwili kwa masaa 2.5, ikiwa kulingana na ratiba ya zamani, inakwenda kwa kasi ya kilomita 100 / h iliifunika kwa 3. saa?

Ukurasa wa 2

Chora grafu ya equation x+y=3 na utumie grafu kutafuta masuluhisho kadhaa ya mlingano huu.

Ifuatayo, umakini wa wanafunzi unavutiwa na ukweli kwamba ni rahisi zaidi kuunda grafu ya mlingano wa mstari na viambatisho viwili ikiwa mlinganyo huo utageuzwa kuwa umbo y=kx+b, ambalo neno "kazi ya mstari" hutumiwa. Baadaye wanaambiwa kwamba kuna kazi zingine, kama vile y=x2 (ambazo zimeshughulikiwa katika Sura ya 7).

Kitabu cha kiada kinatanguliza nadharia bila uthibitisho, kwa mfano:

Nadharia 2. Grafu kazi ya mstari y=kx+b ni mstari ulionyooka.

Nadharia ya 4. Mstari wa moja kwa moja unaotumika kama grafu ya chaguo za kukokotoa za mstari y=kx+b ni sambamba na mstari unaotumika kama grafu ya uwiano wa moja kwa moja y=kx.

Kwa utendaji wa quadratic, wanafunzi katika vitabu vya kiada vya Sh.A. Alimova kukutana kwa mara ya kwanza katika daraja la 8.

Katika §35, wanafunzi wanatambulishwa kwa ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa za quadratic. Mifano hutolewa kutoka kwa maisha ambapo kazi ya quadratic hutokea. Kwa mfano, utegemezi wa eneo la mraba upande wake ni mfano wa kazi y = x2.

Katika §36 inapendekezwa kuzingatia kazi y=x2, i.e. kazi ya quadratic y=ax2+bx+c kwa, a=1, b=0, c=0.

Ili kujenga kazi, meza imeundwa, na kisha pointi zimewekwa alama kwenye ndege ya kuratibu na kushikamana. Grafu ya chaguo za kukokotoa y=x2 inaitwa parabola.

Baada ya hayo, baadhi ya mali ya kazi y=x2 yanafafanuliwa.

Katika §37, wanafunzi wanaombwa kuchora chaguo la kukokotoa y=ax2. Grafu za chaguo za kukokotoa y=ax2 na y=x2 zinalinganishwa. Wanasema kwamba grafu ya kazi y=аx2 inapatikana kwa kunyoosha grafu ya kazi y=x2 kutoka kwa mhimili wa Ох kando ya mhimili wa Оу kwa nyakati.

Sifa za chaguo za kukokotoa y=ax2 zinazingatiwa, ambapo а¹0

1) ikiwa a>0, basi kazi y=ax2 inachukua maadili chanya kwa x¹0;

ikiwa a<0, то функция y=ax2 принимает отрицательные значения при х¹0;

2) Kielezi y=ax2 kina ulinganifu kuhusu kuratibu;

3) Ikiwa a>0, basi chaguo za kukokotoa y=ax2 huongezeka kama x³0 na hupungua kama x £ 0;

Ikiwa a<0, то функция y=ax2 убывает при х³0 и возрастает при х£0.

Katika §38 mwandishi anapendekeza kuunda grafu ya kazi ya quadratic. Ili kufanya hivyo, inapendekezwa kutumia njia ya kutenganisha mraba kamili (tulipata y = (x + m) 2 + n), na kisha kulinganisha grafu inayosababisha na grafu ya kazi y = x2. Inahitimishwa kuwa tunapata parabola inayohamishwa na vitengo vya m kando ya mhimili wa Ox na kwa vitengo vya n kando ya mhimili wa Oy.

Sehemu ya 39 hutoa algoriti ya kuunda grafu ya utendaji wowote wa quadratic y=ax2+bx+c:

Tengeneza kipeo cha parabola (x0, y0) kwa kukokotoa x0, y0 kwa kutumia fomula.

Chora mstari wa moja kwa moja kupitia vertex ya parabola sambamba na mhimili wa kuratibu - mhimili wa ulinganifu wa parabola.

Pata zero za kazi, ikiwa zipo, na upange pointi zinazofanana za parabola kwenye mhimili wa abscissa.

Tengeneza nukta mbili za parabola, zenye ulinganifu kuhusu mhimili wake. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchukua alama mbili kwenye mhimili, ulinganifu kwa heshima na hatua x0 (x0 ¹ 0), na uhesabu maadili yanayolingana ya kazi (maadili haya ni sawa). Kwa mfano, unaweza kuunda alama za parabola na abscissas x=0 na x=2x0 (vielelezo vya alama hizi ni sawa na c)

Chora parabola kupitia pointi zilizojengwa.

Wakati wa kusoma mada, uwezo wa kuamua kutoka kwa grafu vipindi vya kuongezeka kwa kazi, vipindi vya ishara ya mara kwa mara, na zero za kazi huundwa. Kupata maadili makubwa na madogo zaidi ya kazi na kutatua shida kwa kuzitumia hazihitajiki.

Kwa kumalizia, wanafunzi wanapewa fursa ya kurudia tena suluhisho la mifumo ya equations mbili, moja ambayo ni ya kwanza na nyingine ya shahada ya pili.

Katika vitabu vya kiada vya Yu.N. Makarycheva et al., Wanafunzi hukutana kwanza na kazi y=x2 katika daraja la 7. Taarifa zote zimejadiliwa katika aya hii sawa na kitabu cha kiada cha Sh.A. Alimova kwa daraja la 8.

Mlinganyo wa mstari katika vigeu viwili ni mlinganyo wowote ambao una namna ifuatayo: a*x + b*y =с. Hapa x na y ni vigezo viwili, a,b,c ni baadhi ya nambari.

Suluhisho la mlinganyo wa mstari a*x + b*y = c ni jozi yoyote ya nambari (x,y) inayotosheleza mlingano huu, yaani, kubadilisha mlinganyo kwa viambajengo x na y kuwa usawa sahihi wa nambari. Mlinganyo wa mstari una idadi isiyo na kikomo ya suluhu.

Ikiwa kila jozi ya nambari ambazo ni suluhu la mlinganyo wa mstari katika vigeu viwili vitaonyeshwa kwenye ndege ya kuratibu kama pointi, basi nukta hizi zote huunda grafu ya mlinganyo wa mstari katika viambishi viwili. Viwianishi vya vidokezo vitakuwa maadili yetu ya x na y. Katika kesi hii, thamani ya x itakuwa abscissa, na thamani ya y itakuwa kuratibu.

Grafu ya Mlingano wa Mstari katika Vigezo viwili

Grafu ya equation ya mstari na vigezo viwili ni seti ya pointi zote zinazowezekana kwenye ndege ya kuratibu, kuratibu ambazo zitakuwa suluhisho kwa equation hii ya mstari. Ni rahisi nadhani kwamba grafu itakuwa mstari wa moja kwa moja. Ndio maana milinganyo kama hii inaitwa mstari.

Algorithm ya ujenzi

Algorithm ya kupanga equation ya mstari katika vigezo viwili.

1. Chora shoka za kuratibu, ziweke lebo na uweke alama kwenye mizani ya kitengo.

2. Katika mlinganyo wa mstari, weka x = 0, na utatue mlinganyo unaotokana na y. Weka alama kwenye grafu.

3. Katika mlingano wa mstari, chukua nambari 0 kama y, na utatue mlingano unaotokana wa x. Weka alama kwenye grafu

4. Ikibidi, chukua thamani ya kiholela ya x na utatue mlinganyo unaotokana na y. Weka alama kwenye grafu.

5. Unganisha pointi zinazosababisha na uendelee grafu zaidi yao. Saini mstari wa moja kwa moja unaosababisha.

Mfano: Grafu equation 3 * x - 2 * y = 6;

Hebu tuweke x=0, kisha - 2*y =6; y= -3;

Hebu tuweke y = 0, kisha 3 * x = 6; x=2;

Tunaweka alama zilizopatikana kwenye grafu, chora mstari wa moja kwa moja kupitia kwao na uweke lebo. Angalia takwimu hapa chini, grafu inapaswa kuonekana kama hii.

LENGO:1) Kufahamisha wanafunzi kwa dhana ya “mlinganyo wenye viambishi viwili”;

2) Jifunze kuamua kiwango cha equation na vigezo viwili;

3) Jifunze kuamua kutoka kwa kazi fulani ambayo takwimu ni grafu

kupewa equation;

4) Fikiria mabadiliko ya grafu na vigezo viwili;

kupewa equation na vigezo viwili kwa kutumia programu ya Agrapher;

6) Kuendeleza mawazo ya kimantiki ya wanafunzi.

I. Nyenzo mpya - hotuba ya maelezo yenye vipengele vya mazungumzo.

(hotuba inaendeshwa kwa kutumia slaidi za mwandishi; grafu zimechorwa katika programu ya Agrapher)

T: Wakati wa kusoma mistari, shida mbili huibuka:

Kutumia mali ya kijiometri ya mstari uliopewa, pata usawa wake;

Tatizo la kinyume: ukizingatia equation ya mstari, soma sifa zake za kijiometri.

Tulizingatia shida ya kwanza katika kozi ya jiometri kuhusiana na miduara na mistari iliyonyooka.

Leo tutazingatia shida ya kinyume.

Fikiria milinganyo ya fomu:

A) x(x-y)=4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

ni mifano ya milinganyo yenye vigezo viwili.

Milinganyo yenye vigezo viwili X Na katika inaonekana kama f(x,y)=(x,y), Wapi f Na - misemo yenye viambishi X Na u.

Ikiwa katika Eq. x(x-y)=4 mbadala badala ya kutofautiana X thamani yake ni -1, na badala yake katika- thamani ya 3, basi usawa sahihi utapatikana: 1*(-1-3)=4,

Oanisha (-1; 3) thamani tofauti X Na katika ni suluhisho la equation x(x-y)=4.

Hiyo ni kutatua equation na vigezo viwili inaitwa seti ya jozi zilizoamriwa za maadili ya vigeu vinavyounda mlinganyo huu kuwa usawa wa kweli.

Milinganyo yenye viambajengo viwili kwa kawaida huwa na masuluhisho mengi sana. Vighairi fomu, kwa mfano, milinganyo kama vile X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 au

2 x 2 + katika 2 = 0 .

Ya kwanza yao ina suluhisho mbili (0; -2) na (0; 2), ya pili ina suluhisho moja (0; 0).

Mlinganyo x 4 + y 4 +3 = 0 hauna suluhu hata kidogo. Inapendeza wakati maadili ya vigezo katika equation ni integers. Kwa kutatua equations vile na vigezo viwili, jozi za integers hupatikana. Katika hali kama hizi, equation inasemekana kutatuliwa kwa nambari kamili.

Milinganyo miwili iliyo na seti sawa ya suluhisho huitwa milinganyo sawa. Kwa mfano, equation x(x + y 2) = x + 1 ni equation ya shahada ya tatu, kwa kuwa inaweza kubadilishwa kuwa equation xy 2 + x 2 - x-1 = 0, upande wa kulia ambao ni. polynomial ya fomu ya kawaida ya shahada ya tatu.

Kiwango cha equation na vigezo viwili, vinavyowakilishwa katika fomu F (x, y) = 0, ambapo F (x, y) ni polynomial ya fomu ya kawaida, inaitwa shahada ya polynomial F (x, y).

Ikiwa masuluhisho yote ya equation yenye viambajengo viwili yanaonyeshwa kama vidokezo kwenye ndege ya kuratibu, utapata grafu ya equation iliyo na viambishi viwili.

Ratiba equation yenye viambishi viwili ni seti ya pointi ambazo viwianishi vyake hutumika kama suluhu kwa mlinganyo huu.

Kwa hivyo, grafu ya equation shoka + kwa + c = 0 ni mstari wa moja kwa moja ikiwa angalau moja ya coefficients a au b si sawa na sifuri (Mchoro 1). Kama a = b = c = 0, basi grafu ya equation hii ni kuratibu ndege (Mchoro 2), kama a = b = 0, A c0, basi grafu ni seti tupu (Mchoro 3).

Grafu ya mlinganyo y = a x 2 + na + c ni parabola (Mchoro 4), grafu ya equation xy=k (k0) – hyperbole (Kielelezo 5). Grafu ya mlinganyo X 2 + y 2 = r, ambapo x na y ni vigezo, r ni nambari chanya, ni mduara na katikati katika asili na kipenyo sawa na r(Mchoro 6). Grafu ya equation ni duaradufu, Wapi a Na b- axes kuu na ndogo za nusu ya duaradufu (Mchoro 7).

Ujenzi wa grafu za equations fulani huwezeshwa na matumizi ya mabadiliko yao. Hebu tuzingatie kubadilisha grafu za equations katika vigezo viwili na kuunda sheria ambazo mabadiliko rahisi zaidi ya grafu za equation hufanywa

1) Grafu ya equation F (-x, y) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya equation F (x, y) = 0 kwa kutumia ulinganifu kuhusu mhimili. u.

2) Grafu ya equation F (x, -y) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya mlinganyo F (x, y) = 0 kwa kutumia ulinganifu kuhusu mhimili. X.

3) Grafu ya equation F (-x, -y) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya equation F (x, y) = 0 kwa kutumia ulinganifu wa kati kuhusu asili.

4) Grafu ya mlinganyo F (x-a, y) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya mlinganyo F (x, y) = 0 kwa kusogeza sambamba na mhimili wa x kwa |a| vitengo (kulia, ikiwa a> 0, na kushoto ikiwa A < 0).

5) Grafu ya mlinganyo F (x, y-b) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya mlinganyo F (x, y) = 0 kwa kuhamia |b| vitengo sambamba na mhimili katika(juu kama b> 0, na chini ikiwa b < 0).

6) Grafu ya equation F (shoka, y) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya equation F (x, y) = 0 kwa kubana kwa mhimili wa y na nyakati, ikiwa A> 1, na kwa kunyoosha kutoka kwa mhimili wa y kwa nyakati, ikiwa 0< A < 1.

7) Grafu ya equation F (x, kwa) = 0 inapatikana kutoka kwa grafu ya equation F (x, y) = 0 kwa kutumia mfinyazo kwa mhimili wa x katika b mara kama b> 1, na kwa kunyoosha kutoka kwa mhimili wa x kwa nyakati ikiwa 0 < b < 1.

Ikiwa grafu ya mlinganyo fulani inazungushwa kwa pembe fulani karibu na asili, basi grafu mpya itakuwa grafu ya mlinganyo mwingine. Kesi maalum za kuzunguka kwa pembe za 90 0 na 45 0 ni muhimu.

8) Grafu ya equation F (x, y) = 0 kama matokeo ya mzunguko wa saa karibu na asili ya kuratibu kwa pembe ya 90 0 inageuka kuwa grafu ya equation F (-y, x) = 0, na kinyume cha saa kwenye grafu ya mlinganyo F (y , -x) = 0.

9) Grafu ya equation F (x, y) = 0 kama matokeo ya mzunguko wa saa karibu na asili ya kuratibu kwa pembe ya 45 0 inageuka kuwa grafu ya equation F = 0, na kinyume chake katika grafu ya equation F = 0.

Kutoka kwa sheria ambazo tumezingatia kwa kubadilisha grafu za equations na vigezo viwili, sheria za kubadilisha grafu za kazi zinapatikana kwa urahisi.

Mfano 1. Hebu tuonyeshe hilo kwa kuchora mlinganyo X 2 + y 2 + 2x – 8y + 8 = 0 ni mduara (Mchoro 17).

Wacha tubadilishe equation kama ifuatavyo:

1) panga masharti yaliyo na kutofautisha X na yenye kutofautisha katika, na fikiria kila kikundi cha maneno kwa namna ya trinomial kamili ya mraba: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 - 1 - 16 = 0;

2) andika trinomia zinazotokana kama mraba wa jumla (tofauti) ya misemo miwili: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 = 0;

3) hebu tuchambue, kulingana na sheria za kubadilisha grafu za equations na vigezo viwili, equation (x + 1) 2 + (y - 4) 2 = 3 2: grafu ya equation hii ni mduara na kituo katikati. uhakika (-1; 4) na radius ya vitengo 3 .

Mfano 2: Wacha tuchore mlinganyo X 2 + 4у 2 = 9 .

Wacha tufikirie 4y 2 katika fomu (2y) 2, tunapata equation x 2 + (2y) 2 = 9, grafu ambayo inaweza kupatikana kutoka kwa mduara x 2 + y 2 = 9 kwa kushinikiza mhimili wa x na a. sababu ya 2.

Chora mduara ulio na kituo kwenye asili na eneo la vitengo 3.

Wacha tupunguze umbali wa kila nukta kutoka kwa mhimili wa X kwa mara 2 na tupate grafu ya equation.

x 2 + (2y) 2 = 9.

Tulipata takwimu kwa kukandamiza mduara kwa moja ya kipenyo chake (kwa kipenyo kilicho kwenye mhimili wa X). Takwimu hii inaitwa ellipse (Mchoro 18).

Mfano 3. Hebu tujue ni nini grafu ya equation x 2 - y 2 = 8 ni.

Wacha tutumie fomula F= 0.

Kubadilisha katika equation hii badala ya X na badala ya Y, tunapata:

T: Grafu ya equation y = ni nini?

D: Grafu ya equation y = ni hyperbola.

U: Tulibadilisha equation ya fomu x 2 - y 2 = 8 kwenye equation y =.

Je, grafu ya mlingano huu itakuwa mstari gani?

D: Kwa hivyo, grafu ya equation x 2 - y 2 = 8 ni hyperbola.

U: Ni mistari gani isiyo na dalili za hyperbola y = .

D: Dalili za hyperbola y = ni mistari iliyonyooka y = 0 na x = 0.

U: Wakati mzunguko umekamilika, mistari hii ya moja kwa moja itageuka kuwa mistari ya moja kwa moja = 0 na = 0, yaani, katika mistari ya moja kwa moja y = x na y = - x. (Mchoro 19).

Mfano wa 4: Hebu tujue ni namna gani equation y = x 2 ya parabola itachukua inapozungushwa kuzunguka asili kwa pembe ya 90 0 kisaa.

Kwa kutumia formula F (-y; x) = 0, katika equation y = x 2 tunabadilisha variable x na - y, na variable y na x. Tunapata equation x = (-y) 2, yaani x = y 2 (Mchoro 20).

Tuliangalia mifano ya grafu za milinganyo ya shahada ya pili na vigezo viwili na tukagundua kwamba grafu za milinganyo hiyo inaweza kuwa parabola, hyperbola, duaradufu (haswa, duara). Kwa kuongeza, grafu ya equation ya shahada ya pili inaweza kuwa jozi ya mistari (intersecting au sambamba) Hiki ndicho kinachoitwa kesi ya kupungua. Kwa hiyo grafu ya equation x 2 - y 2 = 0 ni jozi ya mistari ya kuingiliana (Mchoro 21a), na grafu ya equation x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 ni mistari inayofanana.

II Kuunganisha.

(wanafunzi wanapewa "Kadi za maelekezo" kwa ajili ya kujenga grafu za equations na vigezo viwili katika programu ya Agrapher (Kiambatisho 2) na "Kadi ya vitendo" (Kiambatisho 3) na uundaji wa kazi 1-8. Mwalimu anaonyesha grafu za equations kwa kazi 4-5 kwenye slaidi).

Zoezi 1. Ni ipi kati ya jozi (5;4), (1;0), (-5;-4) na (-1; -) ni suluhu la mlinganyo:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Suluhisho:

Kubadilisha ndani kupewa equation, kuchukua kuratibu za pointi hizi moja kwa moja, tuna hakika kwamba hakuna jozi moja iliyotolewa ni suluhisho la equation x 2 - y 2 = 0, na ufumbuzi wa equation x 3 - 1 = x 2 y + 6y. ni jozi (5;4), (1;0) na (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1= 0 + 0 (I)

125 – 1 = -100 – 24 (L)

1 - 1 = - - (I)

Jibu: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Kazi ya 2. Tafuta suluhu za mlingano xy 2 - x 2 y = 12 ambamo thamani X sawa na 3.

Suluhisho: 1) Badilisha thamani 3 badala ya X katika mlinganyo uliotolewa.

2) Tunapata equation ya quadratic kwa kutofautisha Y, kuwa na fomu:

3y 2 - 9y = 12.

4) Wacha tusuluhishe equation hii:

3y 2 - 9y - 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Jibu: jozi (3;4) na (3;-1) ni masuluhisho ya mlinganyo xy 2 - x 2 y = 12

Jukumu la 3. Amua kiwango cha equation:

a) 2y 2 - 3x 3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x) (4x - y 2) = x;

b) 5y 2 - 3y 2 x 2 + 2x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x (x 2 + 4xy + 1).

Jibu: a) 3; b) 5; saa 4; d) 4.

Jukumu la 4. Ni takwimu gani ni grafu ya equation:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1.5) (x – 4) = 0; e) xy - 1.2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Jukumu la 5. Andika mlinganyo ambao grafu yake ni linganifu kwa grafu ya mlingano x 2 - xy + 3 = 0 (Kielelezo 24) kuhusiana na: a) mhimili. X; b) shoka katika; c) mstari wa moja kwa moja y = x; d) mstari wa moja kwa moja y = -x.

Kazi6. Tengeneza equation, grafu ambayo inapatikana kwa kunyoosha grafu ya equation y = x 2 -3 (Mchoro 25):

a) kutoka kwa mhimili wa x mara 2; b) kutoka kwa mhimili wa y mara 3.

Angalia na programu ya Agrapher kwamba kazi ilikamilishwa kwa usahihi.

Jibu: a) y - x 2 + 3 = 0 (Mchoro 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (Mchoro 25b).

b) mistari ni sawa, ikisonga sambamba na kitengo cha x-mhimili 1 kwa haki na sambamba na mhimili wa y vitengo 3 chini (Mchoro 26b);

c) mistari ya moja kwa moja inaingiliana, maonyesho ya ulinganifu kuhusiana na mhimili wa x (Mchoro 26c);

d) mistari ya moja kwa moja inaingiliana, maonyesho ya ulinganifu kuhusiana na mhimili wa y (Mchoro 26d);

e) mistari ni sambamba, maonyesho ya ulinganifu kuhusiana na asili (Mchoro 26e);

e) mistari ya moja kwa moja huingiliana, mzunguko karibu na asili kwa 90 saa na kuonyesha ulinganifu kuhusiana na mhimili wa x (Mchoro 26e).

III. Kazi ya kujitegemea elimu katika asili.

(wanafunzi wanapewa kadi "Kazi ya kujitegemea" na "Jedwali la Ripoti ya matokeo ya kazi ya kujitegemea", ambayo wanafunzi huandika majibu yao na, baada ya kujipima, kutathmini kazi kulingana na mpango uliopendekezwa) Kiambatisho 4 ..

I. chaguo.

a) 5x 3 -3x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2(x + y).

a) x 3 + y 3 -5x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x 2 -y 2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Taja kuratibu za kituo cha duara na radius yake.

6. Je, hyperbola y = inapaswa kuhamishwaje kwenye ndege ya kuratibu ili equation yake ichukue fomu x 2 - y 2 = 16?

Angalia jibu lako kwa kuchora kwa kutumia Agrapher.

7. Jinsi gani parabola y = x 2 inapaswa kusongezwa kwenye ndege ya kuratibu ili mlinganyo wake uchukue fomu x = y 2 - 1

Chaguo II.

1. Bainisha kiwango cha mlinganyo:

a)3xy = (y-x 3) (x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Je, jozi ya nambari (-2;3) ni suluhisho la mlinganyo:

a) x 2 -y 2 -3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Tafuta seti ya suluhu za mlinganyo:

x 2 + y 2 -2x – 8y + 17 = 0.

4. Ni aina gani ya curve (hyperbola, duara, parabola) ni seti ya pointi ikiwa equation ya curve hii ina fomu:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 =1

c) x = y 2 - 1.

(angalia na programu ya Agrapher kwamba kazi ilikamilishwa kwa usahihi)

5. Kwa kutumia programu ya Agrapher, panga mlinganyo:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Je, hyperbola y = inapaswa kuhamishwaje kwenye ndege ya kuratibu ili equation yake ichukue fomu x 2 - y 2 = 28?

7. Jinsi gani parabola y = x 2 inapaswa kusongezwa kwenye ndege ya kuratibu ili mlingano wake uchukue fomu x = y 2 + 9.

I ) Suluhisho la picha mlinganyo wa quadratic:

Zingatia mlinganyo wa quadratic uliotolewa: x2+px+q=0;

Hebu tuiandike upya hivi: x2=-px-q.(1)

Wacha tujenge grafu za utegemezi: y=x2 na y=-px-q.

Tunajua grafu ya utegemezi wa kwanza, ni parabola; pili utegemezi - linear; grafu yake ni mstari ulionyooka. Kutoka kwa equation (1) ni wazi kwamba katika kesi wakati x ni suluhisho lake, kuratibu za pointi za grafu zote mbili ni sawa kwa kila mmoja. Hii ina maana kwamba thamani iliyotolewa x inalingana na hatua sawa kwenye parabola na mstari wa moja kwa moja, yaani, parabola na mstari wa moja kwa moja huingiliana kwa uhakika na abscissa ya x.

Kwa hivyo inayofuata njia ya mchoro suluhu za mlingano wa quadratic: chora parabola y=x2, chora (kwa pointi) mstari wa moja kwa moja y=-px-q.

Ikiwa mstari wa moja kwa moja na parabola huingiliana, basi abscissas ya pointi za makutano ni mizizi ya equation ya quadratic. Njia hii ni rahisi ikiwa usahihi mkubwa hauhitajiki.

1. Tatua mlingano: 4x2-12x+7=0

Wacha tuifikirie katika fomu x2=3x-7/4.

Wacha tutengeneze parabola y=x2 na mstari wa moja kwa moja y=3x-7/4.

Picha 1.

Ili kuunda mstari ulionyooka, unaweza kuchukua, kwa mfano, pointi (0;-7/4) na (2;17/4) Parabola na mstari wa moja kwa moja hukatiza kwa pointi mbili na abscissas x1=0.8 na x2= 2.2 (angalia Mchoro 1).

2.Tatua mlingano: x2-x+1=0.

Wacha tuandike mlingano katika fomu: x2=x-1.

Baada ya kuunda parabola y=x2 na mstari wa moja kwa moja y=x-1, tunaona kwamba haziingiliani (Kielelezo 2), ambayo ina maana kwamba mlinganyo hauna mizizi.

Kielelezo cha 2.

Hebu tuangalie. Wacha tuhesabu ubaguzi:

D=(-1)2-4=-3<0,

Na kwa hivyo equation haina mizizi.

3. Tatua mlingano: x2-2x+1=0

Kielelezo cha 3.

Ikiwa tutachora kwa uangalifu parabola y=x2 na mstari wa moja kwa moja y=2x-1, tutaona kwamba zina sehemu moja ya kawaida (mstari wa moja kwa moja unagusa parabola, ona Mchoro 3), x=1, y=1; the equation ina mzizi mmoja x=1 (hakikisha uangalie hii kwa hesabu).

II ) Mifumo ya milinganyo.

Grafu ya equation yenye vigeu viwili ni seti ya pointi kwenye ndege ya kuratibu ambayo viwianishi hugeuza mlinganyo kuwa usawa wa kweli. Grafu za equations katika vigezo viwili ni tofauti kabisa. Kwa mfano, grafu ya equation 2x+3y=15 ni mstari wa moja kwa moja, equation y=0.5x2 -2 ni parabola, equation x2 +y2=4 ni duara, nk.

Kiwango cha equation nzima na vigezo viwili imedhamiriwa kwa njia sawa na kiwango cha equation nzima na kutofautiana moja. Ikiwa upande wa kushoto wa equation na vigezo viwili ni polynomial ya fomu ya kawaida, na upande wa kulia ni namba 0, basi kiwango cha equation kinachukuliwa kuwa sawa na shahada ya polynomial. Ili kujua ni kiwango gani cha equation yoyote iliyo na vigezo viwili ni, inabadilishwa na equation sawa, upande wa kushoto ambao ni polynomial ya fomu ya kawaida, na upande wa kulia ni sifuri. Wacha tuangalie suluhisho la picha.

Mfano 1: suluhisha mfumo ⌠ x2 +y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Wacha tutengeneze grafu za milinganyo katika mfumo mmoja wa kuratibu (Mchoro 4):

Wacha tujenge grafu katika mfumo mmoja wa kuratibu)

x2 +y2=25 na y=-x2+2x+5

Kuratibu za hatua yoyote ya mduara uliojengwa ni suluhisho la equation 1, na kuratibu za hatua yoyote ya parabola ni suluhisho la equation 2. Hii ina maana kwamba kuratibu za kila sehemu ya makutano ya mduara na parabola hukidhi. wote equation ya kwanza ya mfumo na ya pili, i.e. ni suluhisho kwa mfumo unaozingatiwa. Kutumia takwimu, tunapata maadili ya takriban ya kuratibu za sehemu za makutano ya grafu: A(-2.2; -4.5), B(0;5), C(2.2;4.5), D(4;- 3) Kwa hivyo, mfumo wa milinganyo una masuluhisho manne:

x1≈-2.2, y1≈-4.5; x2≈0, y2≈5;

x3≈2.2, y3≈4.5; x4≈4, y4≈-3.

Kwa kubadilisha maadili yaliyopatikana katika hesabu za mfumo, unaweza kuhakikisha kuwa ya pili na ya nne ya suluhisho hizi ni sawa, na ya kwanza na ya tatu ni takriban.

III) Milinganyo ya Trigonometric:

Milinganyo ya trigonometriki hutatuliwa kiuchanganuzi na kimchoro. Wacha tuangalie suluhisho la picha kwa kutumia mfano.

Kielelezo5.

Mfano1: sinx+cosx=1. Hebu tupange mipangilio ya utendakazi y=sinx u y=1-cosx. (Mchoro 5)

Kutoka kwenye grafu ni wazi kwamba equation ina ufumbuzi 2: x = 2πп, ambapo nЄZ na x = π/2+2πk, ambapo kЄZ (Hakikisha uangalie hili kwa mahesabu). Kielelezo cha 6.

Mfano wa 2: Tatua mlingano: tg2x+tgx=0. Tutasuluhisha equation hii kulingana na kanuni ya kutatua uliopita. Kwanza, hebu tutengeneze grafu (Ona Mchoro 6) wa vitendakazi: y=tg2x u y=-tgx. Grafu inaonyesha kwamba mlinganyo una suluhu 2: x=πп, пЄZ u x=2πk/3, ambapo kЄZ. (Angalia hii kwa hesabu)

Utumiaji wa grafu katika kutatua usawa.

1) Kutokuwepo kwa usawa na moduli.

Tatua ukosefu wa usawa |x-1|+|x+1|<4.

Kwenye muunganisho (-1;-∞), kwa ufafanuzi wa moduli, tuna |x-1|=-x+1,|x+1|=-x-1, na, kwa hivyo, juu ya hili muhimu ukosefu wa usawa. ni sawa na usawa wa mstari -2x<4,которое справедливо при х>-2. Kwa hivyo, seti ya suluhu ni pamoja na zile muhimu (-2,-1) Kwenye sehemu [-1,1] ukosefu wa usawa wa asili ni sawa na usawa sahihi wa nambari 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решний.

Kwenye kiungo (1;+∞) tunapata tena usawa wa mstari 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Hata hivyo, matokeo sawa yanaweza kupatikana kutoka kwa kuona na wakati huo huo kuzingatia kali za kijiometri. Kielelezo cha 7 kinaonyesha grafu za kukokotoa: y=f(x)=|x-1|+|x+1| na y=4.

Kielelezo cha 7.

Kwenye kiungo (-2;2), grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) iko chini ya grafu ya chaguo za kukokotoa y=4, ambayo ina maana kwamba ukosefu wa usawa f(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II) Kutokuwepo kwa usawa na vigezo.

Kutatua kukosekana kwa usawa na vigezo moja au zaidi ni, kama sheria, kazi ngumu zaidi ikilinganishwa na shida ambayo hakuna vigezo.

Kwa mfano, ukosefu wa usawa √a+x+√a-x>4, ulio na kigezo a, kwa kawaida huhitaji juhudi zaidi kutatua kuliko ukosefu wa usawa √1+x + √1-x>1.

Inamaanisha nini kusuluhisha ukosefu wa usawa huu wa kwanza? Hii, kwa asili, inamaanisha kutatua sio usawa mmoja tu, lakini darasa zima, seti nzima ya usawa ambayo hupatikana ikiwa tunatoa parameter maadili maalum ya nambari. Ya pili ya kukosekana kwa usawa iliyoandikwa ni kesi maalum ya kwanza, kwani inapatikana kutoka kwake na thamani a = 1.

Kwa hivyo, kusuluhisha usawa ulio na vigezo inamaanisha kuamua ni maadili gani ya vigezo ambayo usawa una suluhisho na kwa maadili yote kama haya kupata suluhisho zote.

Tatua ukosefu wa usawa|x-a|+|x+a| 0.

Ili kutatua usawa huu na vigezo viwili aub, tunatumia masuala ya kijiometri. Kielelezo 8 na 9 kinaonyesha grafu za kazi.

Y=f(x)=|x-a|+|x+a| uy=b.

Ni wazi, kwa b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, kisha mstari ulionyooka y=b unakatiza grafu ya chaguo za kukokotoa y=f(x) katika nukta mbili (-b/2;b) u (b/2;b) (Mchoro 6) na ukosefu wa usawa. katika kesi hii ni halali kwa - b/2

Jibu: Ikiwa b<=2|a| , то решений нет,

Ikiwa b>2|a|, basi x €(-b/2;b/2).

III ) Ukosefu wa usawa wa trigonometric:

Wakati wa kutatua usawa na kazi za trigonometric, upimaji wa kazi hizi na monotonicity yao kwenye vipindi vinavyolingana hutumiwa kimsingi. Ukosefu wa usawa rahisi zaidi wa trigonometric. Kazi ya sinx ina kipindi chanya cha 2π. Kwa hivyo, usawa wa fomu: sinx>a, sinx>=a,

dhambi x

Inatosha kutatua kwanza kwenye sehemu fulani ya mstari wa 2π. Tunapata seti ya suluhisho zote kwa kuongeza nambari za fomu 2πп, пЄZ kwa kila moja ya suluhisho zinazopatikana kwenye sehemu hii.

Mfano 1: Tatua ukosefu wa usawa sinx> -1/2. (Mchoro 10)

Kwanza, hebu tusuluhishe ukosefu huu wa usawa kwa muda [-π/2;3π/2]. Hebu tuzingatie upande wake wa kushoto - sehemu [-π/2;3π/2] Hapa equation sinx=-1/2 ina suluhu moja x=-π/6; na kazi sinx huongezeka monotonically. Hii ina maana kwamba kama -π/2<=x<= -π/6, то sinx<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sinx>dhambi(-π/6) = -1/2. Thamani hizi zote za x sio suluhisho la ukosefu wa usawa.

Kwenye sehemu iliyobaki [π/2;3π/2], kazi ya sinx hupungua monotonically na equation sinx = -1/2 ina suluhisho moja x=7π/6. Kwa hivyo, ikiwa π/2<=x<7π/, то sinx>dhambi(7π/6)=-1/2, i.e. maadili haya yote ya x ni suluhisho la ukosefu wa usawa. Kwa x Є tuna sinx<= sin(7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

Kwa sababu ya muda wa kazi ya sinx yenye kipindi cha 2π, thamani za x kutoka kwa kiungo chochote cha fomu: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn), nЄZ, pia ni suluhu za ukosefu wa usawa. . Hakuna maadili mengine ya x ni suluhisho la usawa huu.

Jibu: -π/6+2πn

Kielelezo cha 10.