Mfumo wa kuratibu wa mstatili. Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege

Mfumo wa mstatili kuratibu kwenye ndege hutolewa na mistari miwili ya moja kwa moja ya pande zote. Mistari iliyonyooka inaitwa shoka za kuratibu (au shoka za kuratibu). Sehemu ya makutano ya mistari hii inaitwa asili na imeteuliwa na herufi O.

Kawaida moja ya mistari ni ya usawa, nyingine ni ya wima. Mstari wa mlalo huteuliwa kama mhimili wa x (au Ox) na huitwa mhimili wa abscissa, mstari wa wima ni mhimili wa y (Oy), unaoitwa mhimili wa kuratibu. Mfumo mzima wa kuratibu umeteuliwa xOy.

Pointi O inagawanya kila shoka katika shoka mbili za nusu, moja ambayo inachukuliwa kuwa chanya (iliyoonyeshwa na mshale), nyingine - hasi.

Kila hatua F ya ndege imepewa jozi ya nambari (x;y) - kuratibu zake.

Uratibu wa x unaitwa abscissa. Ni sawa na Ng'ombe, iliyochukuliwa na ishara inayofaa.

Uratibu wa y unaitwa kuratibu na ni sawa na umbali kutoka kwa uhakika F hadi mhimili wa Oy (pamoja na ishara inayofaa).

Umbali wa ekseli kawaida (lakini si mara zote) hupimwa kwa kipimo sawa cha urefu.

Pointi zilizo upande wa kulia wa mhimili y zina abscissas chanya. Pointi ambazo ziko upande wa kushoto wa mhimili wa kuratibu zina abscissas hasi. Kwa hatua yoyote iliyo kwenye mhimili wa Oy, uratibu wake wa x ni sifuri.

Pointi zilizo na mpangilio chanya ziko juu ya mhimili wa x, na pointi zilizo na uanishi hasi ziko chini. Ikiwa nukta iko kwenye mhimili wa Ox, uratibu wake wa y ni sifuri.

Axes za kuratibu hugawanya ndege katika sehemu nne, ambazo huitwa kuratibu robo (au kuratibu pembe au quadrants).

1 kuratibu robo iko upande wa kulia kona ya juu kuratibu ndege xOy. Kuratibu zote mbili za pointi ziko katika robo ya kwanza ni chanya.

Mpito kutoka robo moja hadi nyingine hufanyika kinyume na saa.

2 kuratibu robo iko kwenye kona ya juu kushoto. Pointi zilizo katika robo ya pili zina abscissa hasi na mpangilio mzuri.

3 kuratibu robo iko katika roboduara ya chini kushoto ya ndege ya xOy. Viwianishi vyote viwili vya pointi zinazomilikiwa na pembe ya III ya kuratibu ni hasi.

4 kuratibu robo ni kona ya chini ya kulia ya ndege ya kuratibu. Hatua yoyote kutoka kwa robo ya IV ina uratibu mzuri wa kwanza na pili hasi.

Mfano wa eneo la pointi katika mfumo wa kuratibu wa mstatili:

1. Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege

Mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege huundwa na axes mbili za kuratibu za perpendicular X"X Na Y"Y O, ambayo inaitwa asili, mwelekeo mzuri huchaguliwa kwenye kila mhimili. KATIKA upande wa kulia mfumo wa kuratibu, mwelekeo mzuri wa axes huchaguliwa ili wakati mhimili unaelekezwa Y"Y juu, mhimili X"X akatazama kulia.

Pembe nne (I, II, III, IV) zinazoundwa na shoka za kuratibu X"X Na Y"Y, huitwa pembe za kuratibu au quadrants (angalia Mchoro 1).

Msimamo wa uhakika A kwenye ndege imedhamiriwa na kuratibu mbili x Na y. Kuratibu x sawa na urefu wa sehemu O.B., kuratibu y- urefu wa sehemu O.C. katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu O.B. Na O.C. huamuliwa na mistari iliyochorwa kutoka kwa uhakika A sambamba na shoka Y"Y Na X"X kwa mtiririko huo. Kuratibu x kuitwa abscissa pointi A, kuratibu y - kuratibu pointi A. Andika kama hii: A ( x, y)

Ikiwa uhakika A amelala ndani kuratibu angle Mimi basi uhakika A ina abscissa chanya na kuratibu. Ikiwa uhakika A iko katika kuratibu angle II, kisha uhakika A ina abscissa hasi na kuratibu chanya. Ikiwa uhakika A iko katika pembe ya kuratibu III, kisha uhakika A ina abscissa hasi na kuratibu. Ikiwa uhakika A iko katika kuratibu angle IV, kisha uhakika A ina abscissa chanya na kuratibu hasi.

2. Kuratibu za polar.

Gridi ya polar ambayo pembe kadhaa zimepangwa, alama kwa digrii.

Mfumo wa polar kuratibu- mfumo wa kuratibu mbili-dimensional ambayo kila hatua kwenye ndege inaelezwa na namba mbili - angle na umbali. Mfumo wa kuratibu wa polar ni muhimu hasa katika kesi ambapo mahusiano kati ya pointi yanawakilishwa kwa urahisi zaidi kwa suala la umbali na pembe; katika mfumo wa kawaida wa kuratibu wa Cartesian au mstatili, uhusiano kama huo unaweza tu kuanzishwa kwa kutumia milinganyo ya trigonometric.

Mfumo wa kuratibu wa polar hufafanuliwa na ray, ambayo inaitwa mhimili wa sifuri au polar. Hatua ambayo ray hii inatoka inaitwa asili au pole. Hatua yoyote kwenye ndege inaelezwa na kuratibu mbili za polar: radial na angular. Uratibu wa radi (kawaida huashiria r) inalingana na umbali kutoka kwa uhakika hadi asili. Uratibu wa angular, pia huitwa pembe ya polar au azimuth na inaashiria φ, ni sawa na angle ambayo mhimili wa polar lazima uzungushwe kinyume na saa ili kufikia hatua hiyo.

Uratibu wa radial uliofafanuliwa kwa njia hii unaweza kuchukua maadili kutoka sifuri hadi infinity, na uratibu wa angular hutofautiana kutoka 0 ° hadi 360 °. Walakini, kwa urahisi, anuwai uratibu wa polar inaweza kupanuliwa zaidi pembe kamili, na pia kumruhusu kuchukua maadili hasi, ambayo inalingana na mzunguko wa saa ya mhimili wa polar.

3. Kugawanya sehemu katika katika suala hili.

Inahitajika kugawanya sehemu ya AB viunga vya kuunganisha A(x1;y1) na B(x2;y2) katika uwiano uliotolewa λ > 0, yaani..jpg" align="left" width="84 height=84" height= "84">

Suluhisho: Hebu tuwatambulishe vekta https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src=">, yaani na i.e..

Equation (9.1) inachukua fomu

Kwa kuzingatia hilo vectors sawa kuwa na kuratibu sawa, tunapata:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) na

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Fomula (9.2) na (9.3) zinaitwa fomula za kugawa sehemu katika suala hili. Hasa, kwa λ = 1, yaani.gif" width="54" height="29 src=">. Katika hali hii, uhakika M(x;y) ni katikati ya sehemu AB.

Maoni:

Ikiwa λ = 0, basi hii inamaanisha kuwa alama A na M zinapatana ikiwa λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ nje, kwa sababu vinginevyo, yaani AM + MB = 0, yaani AB = 0).

4. Umbali kati ya pointi.

Inahitajika kupata umbali d kati ya pointi A(x1;y1) na B(x2;y2) za ndege.

Suluhisho: Umbali unaohitajika d ni sawa na urefu wa vector, i.e.

5. Mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili.

Ikiwa kwenye mstari wa moja kwa moja katika nafasi tunaweka alama mbili pointi holela M1(x1, y1, z1) na M2(x2, y2, z2), basi viwianishi vya vidokezo hivi lazima vikidhi mlingano wa mstari ulionyooka uliopatikana hapo juu:

Kwa kuongeza, kwa uhakika M1 tunaweza kuandika:

Kutatua hesabu hizi pamoja, tunapata:

Huu ni mlinganyo wa mstari unaopita pointi mbili katika nafasi.

6. Maamuzi ya agizo la 2.

Thamani ya kibainishi cha mpangilio wa 2 huhesabiwa kwa urahisi kwa ufafanuzi kwa kutumia fomula.

7. Maamuzi ya agizo la 3.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> mpango wa kukokotoa kiazi kwa kutumia mbinu ya pembetatu, yaani:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Kutatua SLE kwa kutumia mbinu ya Cramer.

Nadharia ya Cramer: Mfumo wa milinganyo ya N yenye N zisizojulikana, Kiangazio ambacho ni nonzero, huwa na suluhu, na la kipekee. Inapatikana kama ifuatavyo: thamani ya kila kitu kisichojulikana ni sawa na sehemu, dhehebu ambalo ni kiashiria cha mfumo, na nambari hupatikana kutoka kwa kiashiria cha mfumo kwa kuchukua nafasi ya safu ya mgawo kwa haijulikani. haijulikani na safu ya masharti yanayohitajika.

Mfumo huu wa equations utakuwa na suluhisho la kipekee tu wakati kibainishi kinachoundwa na mgawo wa X1 - n si sawa na sifuri. Wacha tuonyeshe kiashiria hiki kwa ishara - Δ. Ikiwa kiashiria hiki si sawa na sifuri, basi tunatatua zaidi. Kisha kila Xi = Δi / Δ, ambapo Δi ni kiashiria kinachoundwa na coefficients kwa X1 - n, tu maadili ya coefficients katika safu ya i -th hubadilishwa na maadili baada ya ishara sawa katika mfumo wa milinganyo, na Δ ndicho kibainishi kikuu

Mfumo wa agizo la Nth https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" width="112" height="46"> .gif" width="79" height="46">.gif" width="264" height="48">.gif" width="120" height="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Kutatua SLE kwa kutumia mbinu ya matrix.

Matrices hufanya iwezekanavyo kuandika kwa ufupi mfumo milinganyo ya mstari. Wacha mfumo wa milinganyo 3 na vitu vitatu visivyojulikana upewe:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> na safu wima za matrices za wanachama wasiojulikana na wasiolipishwa

Hebu tutafute kazi

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> au mfupi zaidi A∙X=B.

Hapa kuna matrices A Na B wanajulikana, na tumbo X haijulikani. Ni muhimu kuipata, kwa sababu vipengele vyake ni suluhisho la mfumo huu. Equation hii inaitwa mlinganyo wa matrix.

Acha kibainishi cha matrix kiwe tofauti na sifuri | A| ≠ 0. Kisha mlinganyo wa matrix inatatuliwa kama ifuatavyo. Zidisha pande zote mbili za mlinganyo upande wa kushoto kwa matriki A-1, kinyume cha matrix A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Amua njia ya matrix mfumo ufuatao milinganyo:

Tahadhari: Zero huonekana ikiwa kutofautiana moja haipo, yaani, kwa mfano, ikiwa X3 haijatolewa katika hali hiyo, basi ni moja kwa moja sawa na sifuri. Sawa na X1 na X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" width="56 height=54" height="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" width="160 height=51" height="51">

Jibu:

# a) Kwa kuzingatia:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" width="59 height=16" height="16"> Jibu:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Wacha tupate matrix ya kinyume.

Ondoa mstari wa 1 kutoka kwa mistari yote iliyo chini yake. Kitendo hiki hakipingani mabadiliko ya msingi matrices.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Ondoa mstari wa 3 kutoka kwa mistari yote iliyo juu yake. Kitendo hiki hakipingani na mabadiliko ya msingi ya matriki.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Hebu tupunguze coefficients zote kwenye diagonal kuu ya matrix hadi 1. Gawanya kila safu ya matrix kwa mgawo wa safu hii iko kwenye diagonal kuu, ikiwa si sawa na 1. Matrix ya mraba inayogeuka kulia. ya kitengo cha kwanza ni kinyume cha moja kuu.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Vekta. Ongezeko la Vector.

http://www. bigpi. *****/encicl/makala/15/1001553/1001553A. htm

Vekta taja idadi iliyoainishwa thamani ya nambari, mwelekeo katika nafasi na kuongeza hadi nyingine, kiasi sawa kijiometri.

Kwa mchoro, vekta zinaonyeshwa kama sehemu zilizoelekezwa zilizonyooka za urefu fulani, kama vile https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> au DIV_ADBLOCK254 ">

Ongezeko la Vekta: Jumla ya vekta a(a1; a2) na b(b1; b2) ni vekta c(a1+b1; a2+b2). Kwa vekta zozote a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) usawa ni halali:

Nadharia: Bila kujali pointi tatu A, B na C, kuna usawa wa vekta https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

Wakati wa kuongeza mbili vekta mara nyingi hutumia kinachojulikana kama " kanuni ya parallelogram" Katika kesi hii, parallelogram inajengwa kwa kutumia vekta za muhtasari kama zake pande za karibu. Ulalo wa parallelogram inayotolewa kutoka mahali ambapo mwanzo wa vectors huunganisha ni jumla inayohitajika (Mchoro 4, kushoto).

Ni rahisi kuona (Mchoro 4, kulia) kwamba sheria hii inaongoza kwa matokeo sawa na njia hapo juu. Wakati wa kuongeza vekta zaidi ya mbili " kanuni ya parallelogram»haitumiki kwa sababu ya ugumu wa ujenzi. Nyongeza ya vekta ni ya kubadilisha, yaani,
A + b = b + A.

Na bado, jumla ya idadi fulani ya vekta haitegemei mpangilio ambao wameongezwa, ambayo ni, ( A + b) + d = a + (b + d) Katika kesi hiyo, wanasema kwamba kuongeza ya vectors ni associative, yaani, sheria ya mchanganyiko imeridhika kwa ajili yake.

12. Bidhaa ya dot ya vekta.

http://www. dpva. maelezo/Mwongozo/Mwongozo Hisabati/linearAlgebra/ScalarVectorsMultiplication/

Bidhaa ya dot ya vekta ni operesheni kwenye vekta mbili ambayo husababisha nambari (sio vekta).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" width="86" height="23">

Kwa maneno mengine, bidhaa ya scalar ya vectors ni sawa na bidhaa ya urefu wa vectors hizi na cosine ya angle kati yao. Ikumbukwe kwamba angle kati ya vectors mbili ni angle ambayo huunda ikiwa ni kuweka kando kutoka kwa hatua moja, yaani, asili ya vectors lazima sanjari.

Sifa zifuatazo rahisi hufuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi:

1. Bidhaa ya Scalar vekta ya kiholela lakini kwa ajili yako mwenyewe (mraba mwembamba wa vekta a) daima sio hasi, na ni sawa na mraba wa urefu wa vekta hii. Zaidi ya hayo, mraba wa scalar wa vekta ni sawa na sifuri ikiwa na ikiwa tu vector iliyotolewa- sufuri.

2. Dot bidhaa yoyote vectors perpendicular a na b ni sawa na sufuri.

3. Bidhaa ya scalar ya vectors mbili ni sifuri ikiwa na tu ikiwa ni perpendicular au angalau moja yao ni sifuri.

4. Bidhaa ya scalar ya vekta mbili a na b ni chanya ikiwa na tu ikiwa kuna pembe ya papo hapo kati yao.

5. Bidhaa ya scalar ya vekta mbili a na b ni hasi ikiwa na tu ikiwa kuna pembe ya obtuse kati yao.

Ufafanuzi mbadala bidhaa ya nukta, au kuhesabu bidhaa ya scalar ya vekta mbili zilizobainishwa na viwianishi vyao.

(Kuhesabu kuratibu za vekta ikiwa kuratibu za mwanzo na mwisho wake zimepewa ni rahisi sana.:

Hebu kuwe na vector AB, A - mwanzo wa vector, B - mwisho, na kuratibu za pointi hizi.

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Kisha kuratibu za vector AB ni:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Vile vile katika nafasi ya pande mbili - hakuna kuratibu za tatu)

Kwa hivyo, wacha vekta mbili zipewe, zilizofafanuliwa na seti ya kuratibu zao:

a) Katika nafasi ya pande mbili (kwenye ndege)..gif" width="49" height="19 src=">

Kisha bidhaa zao za scalar zinaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula:

b) Katika nafasi ya pande tatu: ;

Sawa na kesi ya pande mbili, bidhaa zao za scalar huhesabiwa kwa kutumia formula:

DIV_ADBLOCK257">

Kwa hivyo, tuwe na vekta mbili: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Na tunahitaji kupata pembe kati yao. Kutumia kuratibu zao, tunapata urefu wao, na kisha tu sawa na kanuni mbili za bidhaa ya scalar. Kwa njia hii tunapata cosine ya pembe inayotaka.

Urefu wa Vector A imekokotolewa kama mzizi wa mraba wa kivekta A, ambayo tunahesabu kwa kutumia fomula ya bidhaa ya scalar ya vekta zilizoainishwa na kuratibu:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" width="365" height="23">

Ina maana, ,

Pembe inayohitajika imepatikana.

13. Mchoro wa Vector.

http://www. dpva. maelezo/Mwongozo/Mwongozo Hisabati/linearAljebra/vectorVectorsMultiplication/

Bidhaa mtambuka ya vekta mbili A na b ni operesheni juu yao, hufafanuliwa tu katika nafasi tatu-dimensional, matokeo yake ni vekta na sifa zifuatazo:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, ambapo a Na b.

3) Vekta inaelekezwa kwa njia ambayo ukileta vekta https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> kwa vekta itakuwa COUNTER COCKWISE.

Kwa uwazi zaidi, hebu tupe mfano - katika takwimu upande wa kulia, vector ni bidhaa ya vector ya vectors a na b. Kama ilivyoelezwa katika ufafanuzi, tumepunguza vekta zote tatu kuwa mwanzo wa jumla, na kisha, ikiwa unatazama vectors a na b kutoka mwisho wa vector, zamu fupi zaidi kutoka kwa vector hadi vector b itakuwa kinyume cha saa.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" width="76" height="25">

Pia, moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba kwa sababu yoyote ya scalar k (nambari) ifuatayo ni kweli:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Kupata Maamuzi ya Matrix ya Agizo la 3 kwa kutumia Kanuni ya Pembetatu

DIV_ADBLOCK261">

Kila kipengele cha Matrix ya mraba (mpangilio ambao ni mkubwa kuliko au sawa na tatu) unaweza kuhusishwa na nambari mbili zinazoitwa MINOR au ALGEBRAIC COMPLEMENT. Kipengele kidogo cha Aij cha Matrix A ya mraba (ya mpangilio wowote) inaitwa DETERMINANT OF THE MATRIX, iliyopatikana kutoka kwa Matrix A kwa kufuta safu na safu kwenye makutano ambayo kipengele cha Aij kinasimama. Ishara M ni jina la Ndogo.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">.gif" width="35" height="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" width="96 height=82" height="82">

VIPENGELE

Ndogo

Nyongeza ya Aljebra

Acha A = Matrix ya mpangilio wa tatu, basi kibainishi cha matrix A ni sawa na:

Kumbuka: Kiamuzi kinaweza kuhesabiwa kutoka kwa vipengele yoyote masharti au yoyote safu ya Matrix hii.

# Tafuta kiamua cha Matrix na vitu vya safu ya kwanza na safu ya kwanza:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 Agizo la Nth MATRIX DETERMINANT

Acha A - matrix ya mraba agizo la nth. Halafu, Maamuzi ya Matrix ya agizo la nth itaonekana kama hii:

Baada ya kutenganisha vitu vya safu 1, pata vitu vya Matrix A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1

6. MALI ZA MSINGI ZA KIAMUZI

1. Kiamuzi hakitabadilika ikiwa safu mlalo zake zitabadilishwa na safu wima zinazolingana (transpose)

2. Wakati wa kupanga upya safu mbili au safu, Ufafanuzi utabadilisha ishara yake kwa kinyume.

3. Sababu ya kawaida ya vipengele vyote vya safu mlalo (safu wima) inaweza kuchukuliwa zaidi ya ishara ya kiambishi.

4. Kiamuzi chenye safu mlalo au safu wima mbili zinazofanana daima ni sawa na sufuri.

5. Ikiwa vipengele vya safu mbili (safu) za kibainishi ni sawia, basi kibainishi ni sawa na sifuri.

6. Ikiwa katika safu fulani au safu ya kiashiria tunaongeza, kwa mtiririko huo, vipengele vya safu nyingine au safu, iliyozidishwa na nambari sawa, basi kiashiria hakitabadilisha thamani yake.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12"> nk.

Kiamuzi cha pembetatu- hii ndio kiashiria ambacho vitu vyote vilivyo juu (au chini) diagonal kuu ni sifuri, sawa na bidhaa vipengele vya diagonal kuu.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Ikiwa Matrix A inverse ipo, basi Matrix inaitwa INVERTIBLE. Kupata Matrix ya Mraba ina umuhimu mkubwa wakati wa kutatua milinganyo ya mstari wa mfumo.

17. Matrix ya kinyume.

http://www. hisabati. *****/kitabu1/matrix. htm

1. Tafuta Kiamuzi cha Matiritsa A

2. Tafuta ukamilishaji wa aljebra wa vipengele vyote vya Matrix A (Aij) na uandike Matrix mpya.

3. Transpose Matrix mpya

4. Zidisha Matrix iliyopitishwa kwa kinyume cha kibainishi. (Kwa mfano: kwa nambari 6 kiashiria kinyume kutakuwa na nambari)

Hebu tuonyeshe ∆ =det A. Ili Matrix A ya mraba iwe na kinyume, ni muhimu na ya kutosha kwamba Matrix isiwe ya kuharibika (isiyo ya sifuri). Matrix, matrix kinyume A, inayoashiria A-1, hivyo B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - ndege ya kawaida multiplier, ishara ambayo imechaguliwa ishara kinyume D, ikiwa ni kiholela, ikiwa D=0.

21. Curves ya 2 (equation ya mduara).

Ufafanuzi 11.1.Mikondo ya mpangilio wa pili kwenye ndege huitwa mistari ya makutano ya koni ya mviringo na ndege ambazo hazipiti kupitia vertex yake.

Ikiwa ndege kama hiyo inaingiliana na jenereta zote za cavity moja ya koni, basi katika sehemu hiyo inageuka. duaradufu, katika makutano ya jenereta za mashimo yote mawili - hyperbola, na ikiwa ndege ya kukata ni sawa na jenereta yoyote, basi sehemu ya koni ni parabola.

Maoni. Mikondo yote ya mpangilio wa pili hubainishwa na milinganyo ya shahada ya pili katika vigeu viwili.

Uainishaji wa curves za utaratibu wa pili

Mikondo isiyoharibika

yasiyo ya kuzorota, ikiwa chaguzi zifuatazo zinaweza kutokea:

Curve isiyoharibika utaratibu wa pili unaitwa kati ikiwa

· duaradufu - zinazotolewa D> 0 na Δ I < 0;

kesi maalum ya duaradufu - duara - zinazotolewa I 2 = 4D au a 11 = a 22,a 12 = 0;

duaradufu ya kufikirika (sio nukta moja halisi) - chini ya Δ I > 0;

· hyperbole - zinazotolewa D < 0;

Mviringo usioharibika wa mpangilio wa pili unaitwa isiyo ya kati ikiwa Δ I = 0

parabola - zinazotolewa D = 0.

Mikondo iliyoharibika: Curve ya utaratibu wa pili inaitwa kuzorota, ikiwa Δ = 0. Chaguzi zifuatazo zinaweza kutokea:

· uhakika halisi katika makutano ya mistari miwili ya kufikirika (duaradufu iliyoharibika) - iliyotolewa D > 0;

· jozi ya mistari halisi ya kukatiza (haipabola iliyoharibika) - zinazotolewa D < 0;

· degenerate parabola - zinazotolewa D = 0:

· jozi ya mistari halisi sambamba - zinazotolewa B < 0;

· mstari mmoja halisi (mistari miwili iliyounganishwa sambamba) - iliyotolewa B = 0;

· jozi ya mistari sambamba ya kufikirika (sio nukta moja halisi) - iliyotolewa B > 0.

22. Ellipse na equation yake.

Ufafanuzi 11.2.Ellipse ni seti ya pointi katika ndege ambayo jumla ya umbali kwa pointi mbili za kudumu ni F 1 na F 2 ya ndege hii, inayoitwa mbinu, ni thamani ya kudumu.

Maoni. Wakati pointi zinalingana F 1 na F 2 duaradufu hugeuka kuwa duara.

Mwalimu mkuu Di duaradufu sambamba na lengo Fi, inaitwa mstari wa moja kwa moja ulio katika nusu-ndege sawa na Fi kuhusiana na mhimili OU perpendicular kwa mhimili Oh kwa umbali a/e kutoka asili.

Maoni. Kwa chaguo tofauti la mfumo wa kuratibu, duaradufu inaweza isibainishwe mlinganyo wa kisheria(11.1), lakini mlingano wa shahada ya pili wa aina tofauti.

Tabia ya Ellipse:

1) duaradufu ina shoka mbili za ulinganifu (shoka kuu za duaradufu) na kituo cha ulinganifu (katikati ya duaradufu). Ikiwa duaradufu inatolewa na equation ya kisheria, basi shoka zake kuu ni shoka za kuratibu, na kituo chake ni asili. Kwa kuwa urefu wa sehemu zinazoundwa na makutano ya duaradufu na shoka kuu ni sawa na 2. A na 2 b (2a>2b), basi mhimili mkuu unaopita kwenye foci unaitwa mhimili mkuu wa duaradufu, na mhimili mkuu wa pili unaitwa mhimili mdogo.

Kisha https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Wacha tupate mlingano wa kisheria wa hyperbola kwa mlinganisho na utoleo wa mlinganyo wa duaradufu, kwa kutumia nukuu sawa.

|r1 - r2 | = 2a, wapi. Ikiwa tunateua b² = c² - a², kutoka hapa unaweza kupata https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 src="> , (11.3`)

ambayo mhimili halisi na wa kufikirika hubadilishwa wakati wa kudumisha asymptoti sawa.

4) Eccentricity ya hyperbola e> 1.

5) Uwiano wa umbali ri kutoka hatua ya hyperbola hadi kuzingatia Fi kwa umbali di kutoka hatua hii hadi directrix sambamba na lengo ni sawa na eccentricity ya hyperbola.

Uthibitisho unaweza kufanywa kwa njia sawa na kwa duaradufu.

23. Parabola.

Ufafanuzi 11.8.Parabola ni seti ya pointi kwenye ndege ambayo umbali wa uhakika fulani ni F ndege hii ni sawa na umbali wa mstari fulani uliowekwa sawa. Nukta F kuitwa kuzingatia parabolas, na mstari wa moja kwa moja ni wake mwalimu mkuu.

Ili kupata equation ya parabola, tunachagua mfumo wa kuratibu wa Cartesian ili asili yake iwe katikati ya perpendicular. FD, iliyopunguzwa kutoka kwa kuzingatia hadi kwenye mstari wa moja kwa moja, na axes za kuratibu ziko sambamba na perpendicular kwa directrix. Acha urefu wa sehemu FD

D O F x ni sawa na R. Kisha kutoka kwa usawa r = d inafuata kwamba https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Kwa kutumia mabadiliko ya algebraic, equation hii inaweza kupunguzwa kwa fomu:

y² = 2 px, (11.4) kuitwa mlinganyo wa kanuni za parabola.

Ukubwa R kuitwa kigezo parabolas.

Tabia za parabola :

1) Parabola ina mhimili wa ulinganifu (mhimili wa parabola). Mahali ambapo parabola huingilia mhimili inaitwa vertex ya parabola. Ikiwa parabola inatolewa na equation ya kisheria, basi mhimili wake ni mhimili Oh, na kipeo ndio chimbuko la viwianishi.

2) Parabola nzima iko katika nusu-ndege ya kulia ya ndege Ooh.

Maoni. Kutumia sifa za mielekeo ya duaradufu na hyperbola na ufafanuzi wa parabola, tunaweza kudhibitisha taarifa ifuatayo:

seti ya pointi kwenye ndege ambayo uhusiano e umbali wa uhakika fulani hadi umbali wa mstari fulani ulionyooka ni thamani ya mara kwa mara, ni duaradufu (na e<1), гиперболу (при e>1) au parabola (na e=1).

Kupunguza mlingano wa mpangilio wa pili kuwa fomu ya kisheria.

Ufafanuzi 11.9. Mstari umefafanuliwa mlingano wa jumla utaratibu wa pili

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> unaweza kuweka matrix

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (ikizingatiwa kuwa λ .

Katika tukio ambalo mmoja wa eigenvalues matrices A sawa na 0, mlinganyo (11.5) kama matokeo ya mabadiliko mawili ya kuratibu yanaweza kupunguzwa hadi fomu: , (11.8) ambayo ni mlinganyo wa kisheria wa parabola.

24. Kuratibu za mstatili katika nafasi.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili katika nafasi inayoundwa na shoka tatu za kuratibu zenye kuheshimiana OX, OY Na OZ. Axes za kuratibu hukatiza kwenye hatua O, ambayo inaitwa asili ya kuratibu, kwenye kila mhimili mwelekeo mzuri huchaguliwa, unaonyeshwa na mishale, na kitengo cha kipimo kwa makundi kwenye axes. Vitengo kawaida ni sawa kwa shoka zote (ambayo sio lazima). OX- mhimili wa abscissa, OY- mhimili wa kuratibu, OZ- mhimili wa mwombaji.

Kama kidole gumba mkono wa kulia kuchukua kwa mwelekeo X, akionyesha mwelekeo Y, na wastani wa mwelekeo Z, basi inaundwa haki mfumo wa kuratibu. Vidole sawa vya mkono wa kushoto huunda mfumo wa kuratibu wa kushoto. Kwa maneno mengine, mwelekeo mzuri wa axes huchaguliwa ili wakati mhimili unapozunguka OX kinyume cha saa kwa 90 ° mwelekeo wake mzuri unafanana na mwelekeo mzuri wa mhimili OY, ikiwa mzunguko huu unazingatiwa kutoka kwa mwelekeo mzuri wa mhimili OZ. Haiwezekani kuchanganya mifumo ya kuratibu ya kulia na ya kushoto ili axes sambamba sanjari (angalia Mchoro 2).

Msimamo wa uhakika A katika nafasi imedhamiriwa na kuratibu tatu x, y Na z. Kuratibu x sawa na urefu wa sehemu O.B., kuratibu y- urefu wa sehemu O.C., kuratibu z- urefu wa sehemu O.D. katika vitengo vilivyochaguliwa vya kipimo. Sehemu O.B., O.C. Na O.D. imedhamiriwa na ndege zinazotolewa kutoka kwa uhakika A sambamba na ndege YOZ, XOZ Na XOY kwa mtiririko huo. Kuratibu x inayoitwa abscissa ya uhakika A, kuratibu y- mratibu wa hatua A, kuratibu z- hatua ya maombi A. Iandike kama hii:.

Ikiwa kupitia hatua O kwenye nafasi tunachora mistari mitatu ya moja kwa moja ya perpendicular, tunawaita, unawapeleka kulia. Ikiwa tunateua kupunguzwa kwa mtu binafsi, basi tunapata. mfumo wa mstatili co-or-di-nat katika nafasi. Mihimili ya co-or-di-nat imepewa jina kama hii: Ox - ab-ciss mhimili, Oy - or-di-nat mhimili na Oz - mhimili wa up-pli-paka. Mfumo mzima wa co-or-di-nat unamaanisha Oxyz. Kwa hivyo, kunaonekana tatu co-or-di-nat-ndege: Oxy, Oxz, Oyz.

Hapa ni mfano wa ujenzi wa uhakika B (4;3;5) katika mfumo wa mstatili wa co-or-di-nat (angalia Mchoro 1).

Mchele. 1. Ujenzi wa uhakika B katika nafasi

Sehemu ya kwanza ya co-or-di-to-ta B ni 4, ndiyo maana kutoka-kla-dy-va-em kwenye Ox 4, twende moja kwa moja kwa pa-ral-lel-lakini mhimili Oy hadi inaingiliana na iliyonyooka. mstari kupita y = 3. Kwa hivyo, tunapata uhakika K. Hatua hii iko kwenye ndege ya Oxy na ina kuratibu K (4;3;0). Sasa unahitaji kufanya sambamba moja kwa moja na mhimili wa Oz. Na mstari wa moja kwa moja, ambao hupitia hatua na up-pli-ka-toy 5 na pa-ral-lel-na dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram -ma katika ndege ya Oxy. Kwenye re-se-se-che-nii yao tunapata nukta inayohitajika B.

Fikiria eneo la pointi ambazo coefficients moja au mbili ni sawa na 0 (angalia Mchoro 2).

Kwa mfano, nukta A(3;-1;0). Unahitaji kuendelea na mhimili wa Oy upande wa kushoto hadi thamani -1, pata hatua ya 3 kwenye mhimili wa Ox, na kwenye makutano ya mistari inayopita kupitia maadili haya Hebu tupate uhakika A. Hatua hii ina thamani ya takriban 0, ambayo inamaanisha kuwa iko kwenye ndege ya Oxy.

Pointi C(0;2;0) ina abs-cis-su na up-pli-ka-tu 0 - sio kutoka-me-cha-em. Or-di-na-ta ni sawa na 2, ambayo ina maana kwamba pointi C iko tu kwenye mhimili wa Oy, ambayo si kukaa gorofa Oxy na Oyz.

Ili kusogeza uhakika D(-4;0;3) tunapanua mhimili wa Ox nyuma zaidi ya mwanzo hadi uhakika -4. Sasa tunarejesha kutoka kwa hatua hii per-pen-di-ku-lyar - Oz iliyonyooka, sambamba-mhimili hadi per-re-se-che-niy na mhimili ulionyooka, sambamba na Ng'ombe na kupita thamani ya 3 kwenye Oz. mhimili. Tunapata D ya sasa (-4;0;3). Kwa kuwa mpangilio wa nukta ni sawa na 0, hii inamaanisha kuwa hatua D iko kwenye ndege ya Oxz.

Hatua inayofuata E(0;5;-3). Or-di-na-ta pointi 5, a-pli-ka-ta -3, mistari iliyonyooka ya pro-vo-dim inayopitia maadili haya kwenye shoka za mawasiliano, na kwenye makutano yao tunapata uhakika E (0 ;5;-3). Hatua hii ina uratibu wa kwanza wa 0, ambayo inamaanisha kuwa iko kwenye ndege ya Oyz.

2. Vector kuratibu

Hebu tuangalie mfumo wa mstatili wa co-or-di-nat katika nafasi ya Oxyz. Hebu tuunde mfumo wa mstatili katika nafasi, co-or-di-nat Oxyz. Kwenye kila shoka za mstari kuna vekta moja, i.e. vekta, urefu wa kitu ni sawa na moja. Tunaashiria vector ya kitengo cha mhimili wa ab-ciss, vector ya kitengo cha mhimili wa or-di-nat, na vector ya kitengo cha mhimili wa up-pl-cat (ona Mchoro 1). Kope hizi zimepangwa kwa shoka za mkono wa kulia, zina urefu mmoja na ziko au-to-go-nal-ny - katika jozi -lakini per-pen-di-ku-lyar-ny. Karne kama hizo zinaitwa ko-or-di-nat-ny-mi karne-kwa-ra-mi au ba-zi-som.

Mchele. 1. Kugawanya kope katika kope tatu za co-or-di-nat

Chukua vekta ya meme, uiweke kwenye na-cha-lo co-or-di-nat, na utenganishe vekta hii katika zile tatu zenye mpangilio-uongo -chim katika ndege tofauti - karne-kwa-fremu. Ili kufanya hivyo, hebu tupunguze makadirio ya uhakika M kwenye ndege ya Oxy, na tupate uratibu wa vectors, na. Wacha tule:. Tunaangalia kila moja ya karne hizi tofauti. Vekta iko kwenye mhimili wa Ox, ambayo inamaanisha, kulingana na sifa ya kuzidisha vekta kwa nambari, inaweza kuwakilishwa kama nambari fulani x mke-kwa-ko-au-di-nat-ny vekta. , na urefu wa kope ni kubwa mara x haswa kuliko urefu. Tunafanya vivyo hivyo na kope na, na tunagawanya kope katika kope tatu za co-or-di-nat -to-ram:

Mgawo wa usambazaji huu wa x, y na z unaitwa ko-or-di-na-ta-mi karne-ra angani.

Fikiria kanuni za awali, ambazo huweka-in-la-yut kulingana na ushirikiano au-di-on-hapo wa mitaro ya karne zilizopewa ili kupata co-or-di-na- wewe ni hesabu na tofauti zao, kama pamoja na co-or-di-na-you pro-iz-ve-de-niya ya karne iliyotolewa kwa nambari fulani.

1) Nyongeza:

2) Wewe-chi-ta-nie:

3) Kuzidisha kwa nambari: ,

Vekta, na-cha-lo ko-ro-go inapatana na na-cha-lom ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya eneo-karne-rum.(Mchoro 2). Vector - ra-di-us-vector, ambapo x, y na z ni coefficients ya usambazaji wa vector hii kulingana na ushirikiano au -di-nat-nym karne-to-ram , , . Katika kesi hii, x ni ushirikiano wa kwanza wa pointi A kwenye mhimili wa Ox, y ni ushirikiano au wa uhakika B kwenye mhimili wa Oy, z ni co-op -di-na-ta uhakika C kwenye mhimili wa Oz. . Ni wazi kutoka kwenye picha kwamba ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra-mara moja-lakini-bado-sya ko-or-di -on-that-mi pointi M.

Chukua hatua A(x1;y1;z1) na uhakika B(x2;y2;z2) (ona Mchoro 3). Tunafikiria vekta kama tofauti kati ya karne na karne. Zaidi ya hayo, na - ra-di-us-vek-ry, na ushirikiano wao au-di-na-wewe hushirikiana na ushirikiano au-di-na-ta-mi con- tsov wa karne hizi. Kisha tunaweza kuwasilisha karne ya ushirikiano au-di-na-you kama tofauti kati ya karne za co-or-di-nat na : . Kwa njia hii, co-or-di-na-you karne-to-ra, tunaweza kuendeleza kupitia co-or-di-na-you end na na-cha-la century-to-ra .

Hebu tuangalie mifano, inayoonyesha sifa za karne na kujieleza kwao kupitia co-or-di-na-you. Chukua meme ya karne,,. Tunaulizwa kwa karne. Katika kesi hii, kupata hii ina maana ya kupata karne ya ushirikiano au-di-on-wewe, ambayo huamua kabisa. Kuiweka mahali pamoja badala ya karne mia za uwajibikaji wa ushirikiano wao au-di-na-you. Wacha tule:

Sasa tunazidisha nambari 3 kwa kila co-or-di-on-hiyo kwenye mabano, na fanya vivyo hivyo na 2:

Tumepata jumla ya karne tatu, tunazihifadhi kulingana na mali iliyosomwa hapo juu:

Jibu:

Mfano Nambari 2.

Imetolewa: Pembetatu pi-ra-mi-da AOBC (ona Mchoro 4). Ndege AOB, AOC na OCB ziko katika jozi lakini per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - kijivu C.B.

Tafuta: ,,,,,,,,.

Suluhisho: Hebu tuanzishe mfumo wa mstatili wa co-or-di-nat Oxyz na mahali pa kuanzia kwenye sehemu O. Kwa hali, tunajua pointi A, B na C kwenye shoka na kingo za se-re-di-ny za pi-ra-mi-dy - M, P na N. Kulingana na takwimu -di-na-you vert-shin pi-ra-mi-dy: A(3;0;0), B(0;7; 0), C(0;0;4).

Wakati wa kuanzisha mfumo wa kuratibu kwenye ndege au katika nafasi ya tatu-dimensional, fursa ya kipekee ya kuelezea. maumbo ya kijiometri na mali zao kwa kutumia milinganyo na usawa. Hii ina jina lingine - njia za algebra.

Nakala hii itakusaidia kuelewa ufafanuzi wa mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili na uamuzi wa kuratibu za pointi. Picha iliyo wazi zaidi na ya kina inapatikana katika vielelezo vya picha.

Ili kuanzisha mfumo wa kuratibu kwenye ndege, unahitaji kuteka mistari miwili ya perpendicular kwenye ndege. Chagua mwelekeo chanya, iliyoonyeshwa kwa mshale. Lazima uchague mizani. Wacha tuite mahali pa makutano ya mistari herufi O. Anazingatiwa pa kuanzia. Hii inaitwa mfumo wa kuratibu wa mstatili juu ya uso.

Mistari yenye asili ya O yenye mwelekeo na mizani inaitwa mstari wa kuratibu au mhimili wa kuratibu.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili umeashiria O x y. Axes za kuratibu zinaitwa O x na O y, zinazoitwa kwa mtiririko huo mhimili wa abscissa Na mhimili wa kuratibu.

Picha ya mfumo wa kuratibu wa mstatili kwenye ndege.

Mishoka ya abscissa na ya kuratibu ina kitengo sawa cha mabadiliko na kiwango, ambacho kinaonyeshwa kama msingi katika asili ya shoka za kuratibu. Mwelekeo wa kawaida wa O x ni kutoka kushoto kwenda kulia, na O y ni kutoka chini hadi juu. Wakati mwingine mzunguko mbadala kwenye pembe inayohitajika hutumiwa.

Mfumo wa kuratibu wa mstatili uliitwa Cartesian kwa heshima ya mvumbuzi wake Rene Descartes. Mara nyingi unaweza kupata jina kama mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili.

Nafasi ya Euclidean yenye sura tatu ina mfumo sawa, tu haina mbili, lakini ya shoka tatu za Ox, Oy, Oz. Hizi ni mistari mitatu ya pande zote, ambapo O z inaitwa mhimili wa mwombaji

Kulingana na mwelekeo wa axes za kuratibu, zimegawanywa katika mifumo ya kuratibu ya mstatili wa kulia na wa kushoto nafasi tatu-dimensional.

Mihimili ya kuratibu hukatiza katika hatua O, inayoitwa asili. Kila mhimili una mwelekeo mzuri, ambao unaonyeshwa na mishale kwenye shoka. Ikiwa, wakati O x inapozungushwa kinyume cha saa na 90 °, mwelekeo wake mzuri unafanana na O y chanya, basi hii inatumika kwa mwelekeo mzuri wa O z. Mfumo kama huo unazingatiwa haki. Kwa maneno mengine, ikiwa unalinganisha mwelekeo wa X na kidole gumba mikono, basi faharisi inawajibika kwa Y, na katikati kwa Z.

Mfumo wa kuratibu wa kushoto unaundwa kwa njia sawa. Haiwezekani kuchanganya mifumo yote miwili, kwani axes zinazofanana hazitafanana.

Kuanza, wacha tupange panga M kwenye mhimili wa kuratibu wa O x. Nambari yoyote halisi x M ni sawa na nukta M pekee iliyo kwenye mstari fulani. Ikiwa hatua iko kwenye mstari wa kuratibu kwa umbali wa 2 kutoka kwa asili katika mwelekeo mzuri, basi ni sawa na 2, ikiwa - 3, basi umbali unaofanana ni 3. Sifuri ndio asili ya mistari ya kuratibu.

Kwa maneno mengine, kila nukta M iliyoko kwenye O x ni sawa na nambari halisi x M . Nambari hii halisi ni sifuri ikiwa nukta M iko kwenye asili, yaani, kwenye makutano ya O x na O y. Nambari ya urefu wa sehemu daima ni chanya ikiwa hatua imeondolewa kwa mwelekeo mzuri na kinyume chake.

Nambari inayopatikana x M inaitwa kuratibu weka alama M kwenye mstari uliopeanwa wa kuratibu.

Wacha tuchukue hoja hiyo kama makadirio ya nukta M x kwenye O x, na kama makadirio ya uhakika M y kwenye O y. Hii ina maana kwamba kwa njia ya uhakika M tunaweza kuchora mistari ya moja kwa moja perpendicular kwa O x na O y axes, ambapo sisi kupata sambamba intersection pointi M x na M y.

Kisha hatua M x kwenye mhimili wa O x ina nambari inayolingana x M, na M y kwenye O y - y M. Washa kuratibu shoka inaonekana kama hii:

Kila pointi M juu kupewa ndege katika mstatili Mfumo wa Cartesian kuratibu kuna jozi moja ya nambari zinazolingana (x M, y M), inayoitwa yake kuratibu. Abscissa M- hii ni x M, kuratibu M- huyu ni y M.

Mazungumzo pia ni kweli: kila jozi iliyoagizwa (x M, y M) ina sehemu inayolingana iliyofafanuliwa kwenye ndege.

Uamuzi wa uhakika M katika nafasi ya tatu-dimensional. Hebu kuwe na M x, M y, M z, ambayo ni makadirio ya uhakika M kwenye shoka zinazolingana O x, O y, O z. Kisha maadili ya pointi hizi kwenye shoka za O x, O y, O z zitachukua maadili x M, y M, z M. Wacha tuonyeshe hii kwenye mistari ya kuratibu.

Ili kupata makadirio ya uhakika M, ni muhimu kuongeza mistari ya moja kwa moja ya perpendicular O x, O y, O z, kuendelea na kuwaonyesha kwa namna ya ndege zinazopitia M. Kwa hivyo, ndege zitaingiliana kwenye M x , M y , M z

Kila nukta katika nafasi ya pande tatu ina data yake (x M, y M, z M), ambayo huitwa. kuratibu za uhakika M, x M, y M, z M - hizi ni namba zinazoitwa abscissa, kuratibu Na maombi amepewa point M. Kwa pendekezo hili, taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: kila kuamuru mara tatu nambari za kweli(x M, y M, z M) katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili una sehemu moja inayolingana ya M ya nafasi ya tatu-dimensional.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Njia ya kuratibu ni, bila shaka, nzuri sana, lakini katika matatizo halisi ya C2 hakuna kuratibu au vectors. Kwa hiyo watalazimika kutambulishwa. Ndio, ndio, ichukue kama hii na uiingize: onyesha asili, sehemu ya kitengo na mwelekeo wa shoka za x, y na z.

Mali ya ajabu zaidi ya njia hii ni kwamba haijalishi jinsi mfumo wa kuratibu umeingia. Ikiwa mahesabu yote ni sahihi, basi jibu litakuwa sahihi.

Kuratibu za mchemraba

Ikiwa shida C2 ina mchemraba, fikiria kuwa una bahati. Hii ndiyo polyhedron rahisi zaidi, ndiyo yote pembe za dihedral ambayo ni sawa na 90 °.

Mfumo wa kuratibu pia ni rahisi sana kuingia:

Asili ya kuratibu iko kwenye hatua A;
Mara nyingi, makali ya mchemraba hayajaonyeshwa, kwa hivyo tunaichukua kama sehemu ya kitengo;
Mhimili wa x umeelekezwa kando ya AB, y - kando ya AD, na mhimili wa z - kando ya AA 1.

Tafadhali kumbuka: mhimili wa z unaelekea juu! Baada ya mfumo wa kuratibu wa pande mbili, hii ni ya kawaida, lakini kwa kweli ni mantiki sana.

Kwa hivyo sasa kila vertex ya mchemraba ina kuratibu. Wacha tukusanye kwenye meza - kando kwa ndege ya chini ya mchemraba:

Ni rahisi kutambua kwamba pointi za ndege ya juu hutofautiana na pointi zinazofanana za ndege ya chini tu katika kuratibu z. Kwa mfano, B = (1; 0; 0), B 1 = (1; 0; 1). Jambo kuu sio kuchanganyikiwa!

Prism tayari ni furaha zaidi. Kwa mbinu sahihi, inatosha kujua kuratibu za msingi wa chini tu - moja ya juu itahesabiwa moja kwa moja.

Katika shida C2, tunakutana na prisms za kawaida za trihedral (prisms moja kwa moja, ambayo msingi wake upo. pembetatu ya kawaida) Kwao, mfumo wa kuratibu huletwa kwa karibu sawa na kwa mchemraba. Kwa njia, ikiwa mtu hajui, mchemraba pia ni prism, tetrahedral tu.

Kwa hiyo, twende! Tunaanzisha mfumo wa kuratibu:

Asili ya kuratibu iko kwenye hatua A;
Tunachukua upande wa prism kama sehemu moja, isipokuwa kama imeonyeshwa vinginevyo katika taarifa ya tatizo;
Tunaelekeza mhimili wa x kando ya AB, z - kando ya AA 1, na kuweka mhimili y ili ndege ya OXY ifanane na ndege ya msingi ABC.

Ufafanuzi fulani unahitajika hapa. Ukweli ni kwamba mhimili wa y HAUENDANA na makali ya AC, kama watu wengi wanavyoamini. Kwa nini hailingani? Fikiria mwenyewe: pembetatu ABC ni ya usawa, pembe zote ndani yake ni 60 °. Na pembe kati ya shoka za kuratibu zinapaswa kuwa 90 °, kwa hivyo picha hapo juu itaonekana kama hii:

Natumai sasa ni wazi kwa nini mhimili wa y hautaenda pamoja na AC. Wacha tuchore urefu wa CH katika pembetatu hii. Triangle ACH ni pembetatu ya kulia, na AC = 1, hivyo AH = 1 · cos A = cos 60 °; CH = 1 dhambi A = dhambi 60 °. Mambo haya yanahitajika ili kukokotoa viwianishi vya nukta C.

Sasa hebu tuangalie prism nzima pamoja na mfumo wa kuratibu uliojengwa:

Tunapata kuratibu zifuatazo za pointi:

Kama tunavyoona, vidokezo vya msingi wa juu wa prism tena hutofautiana na alama zinazolingana za ile ya chini tu na kuratibu z. Shida kuu ni alama C na C 1. Wana viwianishi visivyo na mantiki ambavyo unahitaji tu kukumbuka. Kweli, au kuelewa walikotoka.

Kuratibu za prism za hexagonal

Prism ya hexagonal ni "cloned" ya pembetatu. Unaweza kuelewa jinsi hii inatokea ikiwa utaangalia msingi wa chini - wacha tuite ABCDEF. Wacha tufanye ujenzi wa ziada: sehemu za AD, BE na CF. Matokeo yake ni pembetatu sita, ambayo kila moja (kwa mfano, pembetatu ABO) ni msingi wa prism ya trihedral.

Sasa hebu tuanzishe mfumo wa kuratibu yenyewe. Asili ya kuratibu - hatua O - itawekwa katikati ya ulinganifu wa hexagon ABCDEF. Mhimili wa x utaenda pamoja na FC, na mhimili y utapitia sehemu za kati za sehemu za AB na DE. Tunapata picha hii:

Tafadhali kumbuka: asili HAIFANA sanjari na kipeo cha polihedroni! Kwa kweli, wakati wa kutatua matatizo halisi, utapata kwamba hii ni rahisi sana kwa sababu inaweza kupunguza kiasi kikubwa cha mahesabu.

Kilichobaki ni kuongeza mhimili wa z. Kulingana na mila, tunaichora kwa usawa kwa ndege ya OXY na kuielekeza kwa wima juu. Tunapata picha ya mwisho:

Hebu sasa tuandike kuratibu za pointi. Wacha tuchukue kwamba kingo zote za prism yetu ya kawaida ya hexagonal ni sawa na 1. Kwa hivyo, kuratibu za msingi wa chini ni:

Kuratibu za msingi wa juu hubadilishwa na moja kando ya mhimili wa z:

Piramidi kwa ujumla ni kali sana. Tutachambua kesi rahisi tu - piramidi ya kawaida ya quadrangular, kingo zote ambazo ni sawa na moja. Walakini, katika shida halisi C2 urefu wa kingo unaweza kutofautiana, kwa hivyo hapa chini ni mpango wa jumla kuratibu mahesabu.

Hivyo, sahihi piramidi ya quadrangular. Hii ni sawa na Cheops, ndogo tu. Wacha tuiashiria SABCD, ambapo S ni kipeo. Wacha tuanzishe mfumo wa kuratibu: asili iko kwenye hatua A, sehemu ya kitengo AB = 1, mhimili wa x unaelekezwa kando ya AB, mhimili wa y unaelekezwa kando ya AD, na mhimili wa z unaelekezwa juu, sawa na ndege ya OXY. . Kwa mahesabu zaidi, tunahitaji urefu wa SH - kwa hivyo tutaijenga. Tunapata picha ifuatayo:

Sasa hebu tupate kuratibu za pointi. Kwanza, hebu tuangalie ndege ya OXY. Kila kitu ni rahisi hapa: msingi ni mraba, kuratibu zake zinajulikana. Matatizo hutokea kwa uhakika S. Kwa kuwa SH ni urefu wa ndege ya OXY, pointi S na H hutofautiana tu katika kuratibu z. Kweli, urefu wa sehemu SH ni z kuratibu kwa uhakika S, tangu H = (0.5; 0.5; 0).

taarifa, hiyo pembetatu ABC na ASC ni sawa kwa pande tatu (AS = CS = AB = CB = 1, na upande wa AC ni wa kawaida). Kwa hiyo SH = BH. Lakini BH ni nusu ya diagonal ya ABCD ya mraba, i.e. BH = AB dhambi 45 °. Tunapata kuratibu za pointi zote:

Hiyo yote ni pamoja na kuratibu za piramidi. Lakini si kwa kuratibu kabisa. Tuliangalia tu polihedra ya kawaida, lakini mifano hii ni ya kutosha kwa kujitegemea kuhesabu kuratibu za takwimu nyingine yoyote. Kwa hivyo, tunaweza kuendelea, kwa kweli, kwa njia za kutatua shida maalum C2.