Rn,
(HISABATI KATIKA UCHUMI)

Mtengano wa Vector

Mtengano wa Vector A ndani ya vipengele - operesheni ya uingizwaji wa vector A vekta zingine kadhaa ab a2, a3, n.k., ambazo zinapoongezwa huunda vekta ya awali A; katika kesi hii, vectors db a2, a3, nk huitwa vipengele vya vector A. Kwa maneno mengine, mtengano wa yoyote ...
(FIZIA)

Msingi na kiwango cha mfumo wa vector

Fikiria mfumo wa vekta (1.18) Mfumo mdogo wa kujitegemea wa mfumo wa vector(1.I8) ni seti ya sehemu ya vekta za mfumo huu ambayo inakidhi masharti mawili: 1) vekta za seti hii ni huru kwa mstari; 2) vekta yoyote ya mfumo (1.18) inaonyeshwa kwa mstari kupitia vekta za seti hii....
(HISABATI KATIKA UCHUMI)

Uwakilishi wa Vekta ndani mifumo tofauti kuratibu

Wacha tuchunguze mifumo miwili ya kuratibu ya mstatili wa orthogonal na seti za vekta za kitengo (i, j, k) na (i j", k") na kuwakilisha vekta ndani yao. Wacha tufikirie kawaida kuwa veta za kitengo zilizo na primes zinahusiana mifumo mipya e kuratibu, na bila viboko - zamani. Wacha tufikirie vekta katika mfumo wa upanuzi kando ya shoka za mifumo ya zamani na mpya ...

Mtengano wa vekta katika msingi wa orthogonal

Fikiria msingi wa nafasi Rn, ambayo kila vector ni orthogonal kwa vectors nyingine msingi: Misingi ya Orthogonal inajulikana na inawakilishwa vizuri kwenye ndege na katika nafasi (Mchoro 1.6). Misingi ya aina hii ni rahisi kimsingi kwa sababu kuratibu za upanuzi wa vekta ya kiholela imedhamiriwa ...
(HISABATI KATIKA UCHUMI)

Vekta na uwakilishi wao katika mifumo ya kuratibu

Dhana ya vector inahusishwa na fulani kiasi cha kimwili, ambazo zinajulikana na ukubwa wao (ukubwa) na mwelekeo katika nafasi. Kiasi kama hicho ni, kwa mfano, nguvu inayofanya kazi kwenye mwili wa nyenzo, kasi uhakika fulani ya mwili huu, kuongeza kasi ya chembe nyenzo ...
(MITAMBO ENDELEVU: NADHARIA YA STRESS NA MIFANO YA MSINGI)

Protozoa maoni ya uchambuzi kazi ya elliptic ya kiholela

Uwakilishi wa kitendakazi cha duaradufu kama jumla ya vipengele rahisi zaidi. Acha / (z) ni kazi ya duaradufu ya mpangilio s yenye miti rahisi jjt, $s, amelazwa katika usawa wa vipindi. Kuashiria kwa Bk kutoa chaguo la kukokotoa kwa heshima na nguzo, tunayo 2 ?l = 0 (§ 1, aya ya 3, nadharia...
(UTANGULIZI WA NADHARIA YA KAZI ZA KIGEUZI TATA)

Utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari vekta.
Msingi wa vectors. Mfumo wa kuratibu wa Affine

Kuna mkokoteni ulio na chokoleti kwenye ukumbi, na kila mgeni leo atapata wanandoa watamu - jiometri ya uchanganuzi na algebra ya mstari. Nakala hii itashughulikia sehemu mbili mara moja. hisabati ya juu, na tutaona jinsi wanavyopatana katika kanga moja. Pumzika, kula Twix! ...jamani, ni upuuzi ulioje. Ingawa, sawa, sitafunga, mwishowe, unapaswa kuwa na mtazamo mzuri kuelekea kusoma.

Utegemezi wa mstari wa vekta, linear vector uhuru, msingi wa vekta na maneno mengine sio tu tafsiri ya kijiometri, lakini, juu ya yote, maana ya algebraic. Wazo lenyewe la "vekta" kutoka kwa mtazamo wa algebra ya mstari sio kila wakati vekta "ya kawaida" ambayo tunaweza kuonyesha kwenye ndege au angani. Huna haja ya kuangalia mbali kwa uthibitisho, jaribu kuchora vector ya nafasi ya tano-dimensional . Au vector ya hali ya hewa, ambayo nilikwenda tu kwa Gismeteo kwa: - joto na Shinikizo la anga kwa mtiririko huo. Mfano, kwa kweli, sio sahihi kutoka kwa mtazamo wa mali ya nafasi ya vekta, lakini, hata hivyo, hakuna mtu anayekataza kurasimisha vigezo hivi kama vekta. Pumzi ya vuli ...

Hapana, sitakuchosha na nadharia, nafasi za vekta za mstari, kazi ni kufanya kuelewa ufafanuzi na nadharia. Masharti mapya (utegemezi wa mstari, uhuru, mchanganyiko wa mstari, msingi, nk.) hutumika kwa vekta zote kutoka kwa mtazamo wa aljebra, lakini mifano ya kijiometri itatolewa. Hivyo, kila kitu ni rahisi, kupatikana na wazi. Mbali na matatizo ya jiometri ya uchambuzi, tutazingatia pia baadhi kazi za kawaida algebra Ili kujua nyenzo, inashauriwa kujijulisha na masomo Vectors kwa dummies Na Jinsi ya kuhesabu kiashiria?

Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta za ndege.
Msingi wa ndege na mfumo wa kuratibu wa ushirika

Hebu fikiria ndege ya dawati la kompyuta yako (meza tu, meza ya kitanda, sakafu, dari, chochote unachopenda). Kazi itakuwa na vitendo vifuatavyo:

1) Chagua msingi wa ndege. Kwa kusema, meza ya meza ina urefu na upana, kwa hivyo ni angavu kwamba vekta mbili zitahitajika kuunda msingi. Vekta moja haitoshi, vekta tatu ni nyingi sana.

2) Kulingana na msingi uliochaguliwa weka mfumo wa kuratibu(kuratibu gridi ya taifa) kugawa viwianishi kwa vitu vyote vilivyo kwenye jedwali.

Usistaajabu, kwa mara ya kwanza maelezo yatakuwa kwenye vidole. Zaidi ya hayo, juu yako. Tafadhali weka kidole cha shahada cha kushoto kwenye makali ya meza ya meza ili aangalie kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Sasa mahali kidole kidogo mkono wa kulia kwenye makali ya meza kwa njia ile ile - ili ielekezwe kwenye skrini ya kufuatilia. Hii itakuwa vekta. Tabasamu, unaonekana mzuri! Tunaweza kusema nini kuhusu vekta? Vekta za data colinear, inamaanisha mstari walionyesha kupitia kila mmoja:
, vizuri, au kinyume chake: , nambari fulani iko wapi tofauti na sifuri.

Unaweza kuona picha ya kitendo hiki darasani. Vectors kwa dummies, ambapo nilielezea sheria ya kuzidisha vekta kwa nambari.

Je! vidole vyako vitaweka msingi kwenye ndege ya dawati la kompyuta? Ni wazi sivyo. Vekta za Collinear husafiri na kurudi kote peke yake mwelekeo, na ndege ina urefu na upana.

Vectors vile huitwa tegemezi kwa mstari.

Rejeleo: Maneno "mstari", "mstari" yanaashiria ukweli kwamba katika milinganyo ya hisabati, misemo haina miraba, cubes, nguvu nyingine, logarithms, sines, nk. Kuna maneno na vitegemezi vya mstari (shahada ya 1).

Vekta mbili za ndege tegemezi kwa mstari ikiwa na tu ikiwa ni colinear.

Vunja vidole vyako kwenye meza ili kuwe na pembe yoyote kati yao isipokuwa digrii 0 au 180. Vekta mbili za ndegemstari Sivyo tegemezi ikiwa na tu ikiwa sio collinear. Kwa hivyo, msingi unapatikana. Hakuna haja ya kuwa na aibu kwamba msingi uligeuka kuwa "kupotoshwa" na vectors zisizo za perpendicular za urefu tofauti. Hivi karibuni tutaona kwamba sio tu pembe ya digrii 90 inafaa kwa ajili ya ujenzi wake, na si tu vekta za kitengo cha urefu sawa.

Yoyote vekta ya ndege njia pekee Inapanuliwa kulingana na msingi:
, nambari halisi ziko wapi. Nambari zinaitwa kuratibu za vector katika msingi huu.

Pia inasemekana kuwa vektailiyowasilishwa kama mchanganyiko wa mstari vekta za msingi. Hiyo ni, usemi unaitwa mtengano wa vektakwa msingi au mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.

Kwa mfano, tunaweza kusema kwamba vekta imetenganishwa kwa msingi wa kawaida wa ndege, au tunaweza kusema kuwa inawakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta.

Hebu tutengeneze ufafanuzi wa msingi rasmi: Msingi wa ndege inaitwa jozi ya vekta zinazojitegemea (zisizo za collinear), , ambapo yoyote vekta ya ndege ni mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi.

Jambo muhimu la ufafanuzi ni ukweli kwamba vekta huchukuliwa kwa utaratibu fulani. Misingi - hizi ni mbili kabisa misingi tofauti! Kama wanasema, huwezi kuchukua nafasi ya kidole kidogo cha mkono wako wa kushoto badala ya kidole kidogo cha mkono wako wa kulia.

Tumegundua msingi, lakini haitoshi kuweka gridi ya kuratibu na kugawa kuratibu kwa kila kitu kwenye dawati la kompyuta yako. Kwa nini haitoshi? Vekta ni bure na hutangatanga katika ndege nzima. Kwa hivyo unagawaje viwianishi kwa sehemu hizo ndogo chafu kwenye meza zilizosalia kutoka wikendi ya porini? Hatua ya kuanzia inahitajika. Na alama kama hiyo ni jambo linalojulikana kwa kila mtu - asili ya kuratibu. Wacha tuelewe mfumo wa kuratibu:

Nitaanza na mfumo wa "shule". Tayari katika somo la utangulizi Vectors kwa dummies Niliangazia tofauti kadhaa kati ya mfumo wa kuratibu wa mstatili na msingi wa kawaida. Hapa kuna picha ya kawaida:

Wanapozungumza mfumo wa kuratibu wa mstatili, basi mara nyingi wanamaanisha asili ya kuratibu, kuratibu shoka na kupima kando ya shoka. Jaribu kuandika "mfumo wa kuratibu wa mstatili" kwenye injini ya utafutaji, na utaona kwamba vyanzo vingi vitakuambia kuhusu shoka za kuratibu zinazojulikana kutoka daraja la 5-6 na jinsi ya kupanga pointi kwenye ndege.

Kwa upande mwingine, inaonekana hivyo mfumo wa mstatili kuratibu zinaweza kuamuliwa kabisa kupitia msingi wa kawaida. Na hiyo ni karibu kweli. Maneno ni kama ifuatavyo:

asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu ndege ya mstatili wa Cartesian . Hiyo ni, mfumo wa kuratibu wa mstatili hakika inafafanuliwa na nukta moja na vekta mbili za othogonal za kitengo. Ndio maana unaona mchoro ambao nilitoa hapo juu - ndani matatizo ya kijiometri Mara nyingi (lakini sio kila wakati) vekta zote mbili na shoka za kuratibu huchorwa.

Nadhani kila mtu anaelewa hilo kwa kutumia nukta (asili) na msingi wa kawaida POINT YOYOTE kwenye ndege na VECTOR YOYOTE kwenye ndege kuratibu zinaweza kupewa. Kwa njia ya kitamathali, “kila kitu kwenye ndege kinaweza kuhesabiwa.”

Je, vekta za kuratibu zinahitajika kuwa kitengo? Hapana, zinaweza kuwa na urefu wa kiholela usio na sifuri. Fikiria hoja na vekta mbili za orthogonal za urefu wa kiholela usio na sifuri:

Msingi kama huo unaitwa ya orthogonal. Asili ya kuratibu na vectors hufafanuliwa na gridi ya kuratibu, na hatua yoyote kwenye ndege, vector yoyote ina kuratibu zake kwa msingi fulani. Kwa mfano, au. Usumbufu dhahiri ni kwamba kuratibu vekta V kesi ya jumla kuwa na urefu tofauti tofauti na umoja. Ikiwa urefu ni sawa na umoja, basi msingi wa kawaida wa kawaida unapatikana.

! Kumbuka : kwa msingi wa orthogonal, na pia chini ndani misingi ya kushikamana vitengo vya ndege na nafasi kando ya shoka vinazingatiwa YENYE MASHARTI. Kwa mfano, kitengo kimoja kando ya mhimili wa x kina 4 cm, kitengo kimoja kando ya mhimili wa kuratibu kina cm 2. Taarifa hii inatosha, ikiwa ni lazima, kubadilisha kuratibu "zisizo za kawaida" kuwa "sentimita zetu za kawaida".

Na swali la pili, ambalo tayari limejibiwa, ni ikiwa pembe kati ya vekta za msingi lazima iwe sawa na digrii 90? Hapana! Kama ufafanuzi unavyosema, veta za msingi lazima ziwe tu isiyo ya collinear. Ipasavyo, pembe inaweza kuwa chochote isipokuwa digrii 0 na 180.

Hoja kwenye ndege iliita asili, Na yasiyo ya collinear vekta, , seti mfumo wa kuratibu ndege :

Wakati mwingine mfumo kama huo wa kuratibu huitwa oblique mfumo. Kama mifano, mchoro unaonyesha alama na vekta:

Kama unavyoelewa, mfumo wa kuratibu wa ushirika sio rahisi sana; fomula za urefu wa vekta na sehemu, ambazo tulijadili katika sehemu ya pili ya somo, hazifanyi kazi ndani yake. Vectors kwa dummies, fomula nyingi za kupendeza zinazohusiana na bidhaa ya scalar ya vekta. Lakini sheria za kuongeza vekta na kuzidisha vekta kwa nambari, fomula za kugawa sehemu katika uhusiano huu, na pia aina zingine za shida ambazo tutazingatia hivi karibuni ni halali.

Na hitimisho ni kwamba kesi maalum inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika ni mfumo wa mstatili wa Cartesian. Ndio maana mara nyingi lazima umwone, mpendwa wangu. ...Hata hivyo, kila kitu katika maisha haya ni jamaa - kuna hali nyingi ambazo angle ya oblique (au nyingine, kwa mfano, polar) mfumo wa kuratibu. Na humanoids inaweza kupenda mifumo kama hii =)

Wacha tuendelee kwenye sehemu ya vitendo. Kazi zote somo hili halali kwa mfumo wa kuratibu wa mstatili na kwa kesi ya jumla ya ushirika. Hakuna chochote ngumu hapa; nyenzo zote zinapatikana hata kwa mtoto wa shule.

Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za ndege?

Jambo la kawaida. Ili kwa vectors mbili za ndege walikuwa collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao sambamba ziwe sawia Kimsingi, hii ni maelezo ya kuratibu-na-kuratibu ya uhusiano dhahiri.

Mfano 1

a) Angalia ikiwa vekta ni collinear .
b) Je, vekta huunda msingi? ?

Suluhisho:
a) Wacha tujue ikiwa kuna vekta mgawo wa uwiano, ili kwamba usawa utimizwe:

Kwa hakika nitakuambia kuhusu toleo la "foppish" la kutumia sheria hii, ambayo inafanya kazi vizuri kabisa katika mazoezi. Wazo ni kutengeneza sehemu hiyo mara moja na kuona ikiwa ni sahihi:

Wacha tufanye sehemu kutoka kwa uwiano wa kuratibu zinazolingana za veta:

Hebu tufupishe:
, kwa hivyo viwianishi vinavyolingana ni sawia, kwa hivyo,

Uhusiano unaweza kufanywa kwa njia nyingine kote; hii ni chaguo sawa:

Kwa mtihani wa kujitegemea, unaweza kutumia ukweli kwamba vekta za collinear linearly walionyesha kwa kila mmoja. KATIKA kwa kesi hii kuna usawa . Uhalali wao unaweza kuthibitishwa kwa urahisi kupitia shughuli za kimsingi na vekta:

b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea mstari). Tunachunguza vekta kwa collinearity . Wacha tutengeneze mfumo:

Kutoka kwa equation ya kwanza inafuata kwamba , kutoka kwa equation ya pili inafuata kwamba , ambayo ina maana mfumo hauendani(hakuna masuluhisho). Kwa hivyo, kuratibu zinazofanana za vekta sio sawia.

Hitimisho: vekta zinajitegemea kwa mstari na huunda msingi.

Toleo lililorahisishwa la suluhisho linaonekana kama hii:

Wacha tufanye sehemu kutoka kwa kuratibu zinazolingana za veta :
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi zinajitegemea kimstari na huunda msingi.

Kawaida chaguo hili halijakataliwa na wakaguzi, lakini shida hutokea katika hali ambapo baadhi ya kuratibu ni sawa na sifuri. Kama hii: . Au kama hii: . Au kama hii: . Jinsi ya kufanya kazi kwa uwiano hapa? (kwa kweli, huwezi kugawanya kwa sifuri). Ni kwa sababu hii kwamba niliita suluhisho lililorahisishwa "foppish".

Jibu: a) b) fomu.

Ndogo mfano wa ubunifu Kwa uamuzi wa kujitegemea:

Mfano 2

Kwa thamani gani ya parameta ni vekta watakuwa colinear?

Katika suluhisho la sampuli, parameter hupatikana kwa njia ya uwiano.

Kuna njia maridadi ya aljebra ya kuangalia vekta kwa collinearity. Hebu tupange maarifa yetu na tuyaongeze kama nukta ya tano:

Kwa vekta mbili za ndege taarifa zifuatazo ni sawa:

2) vectors huunda msingi;
3) vectors si collinear;

+ 5) kiambishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta hizi ni nonzero.

Kwa mtiririko huo, kauli zifuatazo kinyume ni sawa:
1) vekta hutegemea mstari;
2) vectors hazifanyi msingi;
3) vectors ni collinear;
4) vekta zinaweza kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
+ 5) kiambishi kinachojumuisha kuratibu za vekta hizi ni sawa na sifuri.

Ninatumai sana kuwa kwa sasa tayari umeelewa masharti na taarifa zote ambazo umekutana nazo.

Wacha tuangalie kwa karibu nukta mpya, ya tano: vekta mbili za ndege ni collinear ikiwa na tu ikiwa kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta zilizopewa ni sawa na sifuri.:. Ili kutumia kipengele hiki, bila shaka, unahitaji kuwa na uwezo tafuta viashiria.

Hebu tuamue Mfano 1 kwa njia ya pili:

a) Wacha tuhesabu kiashiria kinachoundwa na kuratibu za vekta :
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear.

b) Vekta mbili za ndege huunda msingi ikiwa sio collinear (zinazojitegemea mstari). Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta :
, ambayo inamaanisha kuwa vekta zinajitegemea kimstari na huunda msingi.

Jibu: a) b) fomu.

Inaonekana kuwa ngumu zaidi na nzuri zaidi kuliko suluhisho na idadi.

Kwa msaada wa nyenzo zinazozingatiwa, inawezekana kuanzisha sio tu collinearity ya vectors, lakini pia kuthibitisha usawa wa makundi na mistari ya moja kwa moja. Hebu fikiria matatizo kadhaa na maumbo maalum ya kijiometri.

Mfano 3

Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kwamba quadrilateral ni parallelogram.

Ushahidi: Hakuna haja ya kuunda mchoro kwenye shida, kwani suluhisho litakuwa la uchambuzi tu. Hebu tukumbuke ufafanuzi wa parallelogram:
Parallelogram Upande wa nne ambao pande zake kinyume ni sambamba katika jozi inaitwa.

Kwa hivyo, ni muhimu kuthibitisha:
1) usawa wa pande tofauti na;
2) usawa wa pande tofauti na.

Tunathibitisha:

1) Tafuta vekta:

2) Tafuta vekta:

Matokeo yake ni vekta sawa ("mtindo wa shule" - vectors sawa) Collinearity ni dhahiri kabisa, lakini ni bora kurasimisha uamuzi wazi, kwa mpangilio. Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta:
, ambayo ina maana kwamba vekta hizi ni collinear, na .

Hitimisho: Pande zinazopingana quadrilaterals ni sambamba katika jozi, ambayo ina maana kwamba ni paralelogram kwa ufafanuzi. Q.E.D.

Takwimu nzuri zaidi na tofauti:

Mfano 4

Vipeo vya quadrilateral vinatolewa. Thibitisha kuwa quadrilateral ni trapezoid.

Kwa uundaji mkali zaidi wa uthibitisho, ni bora, bila shaka, kupata ufafanuzi wa trapezoid, lakini inatosha kukumbuka tu jinsi inavyoonekana.

Hii ni kazi kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili mwishoni mwa somo.

Na sasa ni wakati wa kuondoka polepole kutoka kwa ndege kwenda angani:

Jinsi ya kuamua collinearity ya veta za nafasi?

Kanuni inafanana sana. Ili vekta mbili za nafasi ziwe collinear, ni muhimu na ya kutosha kwamba kuratibu zao zinazolingana ziwe sawia..

Mfano 5

Jua ikiwa vekta za nafasi zifuatazo ni collinear:

A);
b)
V)

Suluhisho:
a) Wacha tuangalie ikiwa kuna mgawo wa uwiano wa kuratibu zinazolingana za vekta:

Mfumo hauna suluhisho, ambayo inamaanisha kuwa vekta sio collinear.

"Kilichorahisishwa" kinarasimishwa kwa kuangalia uwiano. Kwa kesi hii:
- viwianishi vinavyolingana havilingani, ambayo inamaanisha kuwa vekta sio collinear.

Jibu: vekta si collinear.

b-c) Hizi ni hoja za uamuzi huru. Jaribu kwa njia mbili.

Kuna njia ya kuangalia vekta za anga kwa collinearity kupitia kibainishi cha mpangilio wa tatu, njia hii kufunikwa katika makala Bidhaa ya Vector ya vekta.

Sawa na kesi ya ndege, zana zinazozingatiwa zinaweza kutumika kujifunza usawa wa sehemu za anga na mistari ya moja kwa moja.

Karibu katika sehemu ya pili:

Utegemezi wa mstari na uhuru wa vekta katika nafasi ya tatu-dimensional.
Msingi wa anga na mfumo wa kuratibu wa ushirika

Miundo mingi ambayo tulichunguza kwenye ndege itakuwa halali kwa nafasi. Nilijaribu kupunguza maelezo ya nadharia, kwani sehemu kubwa ya habari tayari imetafunwa. Walakini, ninapendekeza usome sehemu ya utangulizi kwa uangalifu, kwani maneno na dhana mpya zitaonekana.

Sasa, badala ya ndege ya dawati la kompyuta, tunachunguza nafasi ya tatu-dimensional. Kwanza, hebu tujenge msingi wake. Mtu sasa yuko ndani ya nyumba, mtu yuko nje, lakini kwa hali yoyote, hatuwezi kuepuka vipimo vitatu: upana, urefu na urefu. Kwa hiyo, ili kujenga msingi, vectors tatu za anga zitahitajika. Vector moja au mbili haitoshi, ya nne ni superfluous.

Na tena tuna joto kwenye vidole vyetu. Tafadhali inua mkono wako juu na kuutandaza pande tofauti kidole gumba, index na kidole cha kati. Hizi zitakuwa vectors, zinaonekana kwa mwelekeo tofauti, zina urefu tofauti na zina pembe tofauti kati yao wenyewe. Hongera, msingi wa nafasi ya tatu-dimensional iko tayari! Kwa njia, hakuna haja ya kuonyesha hii kwa waalimu, haijalishi unapotosha vidole vyako kwa bidii, lakini hakuna kutoroka kutoka kwa ufafanuzi =)

Ifuatayo, tuulize suala muhimu, fanya vekta tatu ziwe msingi nafasi tatu-dimensional ? Tafadhali bonyeza vidole vitatu kwa nguvu kwenye sehemu ya juu ya dawati la kompyuta. Nini kimetokea? Vectors tatu ziko katika ndege moja, na, takribani kusema, tumepoteza moja ya vipimo - urefu. Vectors vile ni coplanar na, ni dhahiri kabisa kwamba msingi wa nafasi tatu-dimensional haijaundwa.

Ikumbukwe kwamba vekta za coplanar sio lazima zilala kwenye ndege moja; zinaweza kuwa ndani. ndege sambamba(tu usifanye hivi kwa vidole vyako, Salvador Dali pekee ndiye aliyeondoa njia hii =)).

Ufafanuzi: vekta huitwa coplanar, ikiwa kuna ndege ambayo wao ni sambamba. Ni busara kuongeza hapa kwamba ikiwa ndege kama hiyo haipo, basi vekta hazitakuwa coplanar.

Vekta tatu za coplanar daima hutegemea mstari, yaani, zinaonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja. Kwa unyenyekevu, hebu tufikirie tena kwamba wamelala katika ndege moja. Kwanza, vekta sio coplanar tu, zinaweza pia kuwa collinear, basi vekta yoyote inaweza kuonyeshwa kupitia vekta yoyote. Katika kesi ya pili, ikiwa, kwa mfano, veta sio collinear, basi vekta ya tatu inaonyeshwa kupitia kwao kwa njia ya kipekee: (na kwa nini ni rahisi kukisia kutoka kwa nyenzo katika sehemu iliyopita).

Mazungumzo pia ni kweli: vekta tatu zisizo za coplanar huwa huru kila wakati, yaani, hazionyeshwa kwa njia yoyote kupitia kila mmoja. Na, ni wazi, vectors vile tu wanaweza kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

Ufafanuzi: Msingi wa nafasi tatu-dimensional inaitwa mara tatu ya vekta huru (zisizo za coplanar) kwa mstari, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, na vekta yoyote ya nafasi njia pekee hutengana kwa msingi fulani, wapi kuratibu za vekta katika msingi huu

Napenda kukukumbusha kwamba tunaweza pia kusema kwamba vector inawakilishwa katika fomu mchanganyiko wa mstari vekta za msingi.

Wazo la mfumo wa kuratibu huletwa kwa njia sawa na kwa kesi gorofa, pointi moja na tatu zozote kwa mstari zinatosha vectors huru:

asili, Na yasiyo ya coplanar vekta, kuchukuliwa kwa utaratibu fulani, seti affine kuratibu mfumo wa nafasi tatu-dimensional :

Kwa kweli, gridi ya kuratibu ni "oblique" na haifai, lakini, hata hivyo, mfumo wa kuratibu uliojengwa huturuhusu. hakika kuamua kuratibu za vector yoyote na kuratibu za hatua yoyote katika nafasi. Sawa na ndege, baadhi ya fomula ambazo tayari nimetaja hazitafanya kazi katika mfumo wa kuratibu wa nafasi.

Kesi maalum inayojulikana zaidi na inayofaa zaidi ya mfumo wa kuratibu wa ushirika, kama kila mtu anavyokisia, ni mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili:

Hatua katika nafasi inayoitwa asili, Na ya kawaida msingi umewekwa Mfumo wa kuratibu nafasi ya mstatili wa Cartesian . Picha inayojulikana:

Kabla ya kuendelea na kazi za vitendo, wacha tupange tena habari:

Kwa vekta tatu nafasi kauli zifuatazo ni sawa:
1) veta ni huru kwa mstari;
2) vectors huunda msingi;
3) vectors si coplanar;
4) vekta haziwezi kuonyeshwa kwa mstari kupitia kila mmoja;
5) kiashiria, kilichojumuishwa na kuratibu za vekta hizi, ni tofauti na sifuri.

Nadhani kauli za kinyume zinaeleweka.

Utegemezi wa mstari/uhuru wa vekta za anga huangaliwa kimila kwa kutumia kiangazio (alama 5). Iliyosalia kazi za vitendo itakuwa na herufi iliyotamkwa ya aljebra. Ni wakati wa kuning'iniza kijiti cha jiometri na kutumia popo ya besiboli ya algebra ya mstari:

Veta tatu za nafasi ni coplanar ikiwa na tu ikiwa kibainishi kinachojumuisha kuratibu za vekta zilizopewa ni sawa na sifuri: .

Ningependa kuteka mawazo yako kwa nuance ndogo ya kiufundi: kuratibu za vectors zinaweza kuandikwa si tu katika safu, lakini pia katika safu (thamani ya determinant haitabadilika kwa sababu ya hili - tazama mali ya viashiria). Lakini ni bora zaidi katika safu, kwa kuwa ni manufaa zaidi kwa kutatua matatizo fulani ya vitendo.

Kwa wale wasomaji ambao wamesahau kidogo mbinu za kuhesabu viambishi, au labda wana uelewa mdogo juu yao kabisa, ninapendekeza mojawapo ya masomo yangu ya zamani zaidi: Jinsi ya kuhesabu kiashiria?

Mfano 6

Angalia ikiwa vekta zifuatazo zinaunda msingi wa nafasi ya pande tatu:

Suluhisho: Kwa kweli, suluhu nzima inakuja kwenye kukokotoa kiambishi.

a) Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na viwianishi vya vekta (kibainishi kinaonyeshwa kwenye mstari wa kwanza):

, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly kujitegemea (si coplanar) na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

Jibu: vekta hizi huunda msingi

b) Hili ni suala la uamuzi huru. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.

Kutana na kazi za ubunifu:

Mfano 7

Je, veta zitakuwa coplanar kwa thamani gani ya parameta?

Suluhisho: Vekta ni coplanar ikiwa na ikiwa tu kibainishi kinachojumuisha viwianishi vya vekta hizi ni sawa na sufuri:

Kimsingi, unahitaji kutatua equation na kibainishi. Tunaruka kwa sufuri kama kite kwenye jerboa - ni bora kufungua kiashiria kwenye safu ya pili na uondoe minuses mara moja:

Tunafanya kurahisisha zaidi na kupunguza jambo hilo kuwa rahisi zaidi mlinganyo wa mstari:

Jibu: katika

Ni rahisi kuangalia hapa; ili kufanya hivi, unahitaji kubadilisha thamani inayotokana na kibainishi asili na uhakikishe kuwa , kuifungua tena.

Kwa kumalizia, wacha tuangalie moja zaidi kazi ya kawaida, ambayo ina asili ya aljebra zaidi na imejumuishwa jadi katika mwendo wa aljebra ya mstari. Ni ya kawaida sana kwamba inastahili mada yake mwenyewe:

Thibitisha kwamba vekta 3 huunda msingi wa nafasi ya tatu-dimensional
na upate kuratibu za vekta ya 4 katika msingi huu

Mfano 8

Vectors hutolewa. Onyesha kwamba vekta huunda msingi katika nafasi ya pande tatu na upate kuratibu za vekta katika msingi huu.

Suluhisho: Kwanza, hebu tushughulikie hali hiyo. Kwa hali, vekta nne hupewa, na, kama unaweza kuona, tayari wana kuratibu kwa msingi fulani. Nini msingi huu sio wa kupendeza kwetu. Na jambo lifuatalo ni la kupendeza: vekta tatu zinaweza kuunda msingi mpya. Na hatua ya kwanza inalingana kabisa na suluhisho la Mfano wa 6; inahitajika kuangalia ikiwa veta zinajitegemea kwa usawa:

Wacha tuhesabu kibainishi kinachoundwa na kuratibu za vekta:

, ambayo ina maana kwamba vectors ni linearly huru na kuunda msingi wa nafasi tatu-dimensional.

! Muhimu : viwianishi vya vekta Lazima andika chini kwenye safu determinant, si katika masharti. Vinginevyo, kutakuwa na machafuko katika algorithm ya suluhisho zaidi.

Msingi(Kigiriki cha kale βασις, msingi) - seti ya vectors vile katika nafasi ya vekta kwamba vekta yoyote ya nafasi hii inaweza kuwakilishwa kipekee kama mchanganyiko wa mstari wa vekta kutoka kwa seti hii - vekta za msingi

Msingi katika nafasi Rn ni mfumo wowote kutoka n-vekta zinazojitegemea zenye mstari. Kila vekta kutoka kwa R n isiyojumuishwa katika msingi inaweza kuwakilishwa kama mchanganyiko wa mstari wa vekta za msingi, i.e. kuenea juu ya msingi.
Hebu iwe msingi wa nafasi R n na. Halafu kuna nambari λ 1, λ 2, ..., λ n vile .
Coefficients ya upanuzi λ 1, λ 2, ..., λ n huitwa kuratibu za vector katika msingi B. Ikiwa msingi hutolewa, basi coefficients ya vector imedhamiriwa kipekee.

Maoni. Katika kila n-nafasi ya vekta ya dimensional unaweza kuchagua isitoshe misingi tofauti. Katika besi tofauti, vector sawa ina kuratibu tofauti, lakini pekee katika msingi uliochaguliwa. Mfano. Panua vector katika msingi wake.
Suluhisho. . Wacha tubadilishe kuratibu za veta zote na tufanye vitendo juu yao:

Kusawazisha kuratibu, tunapata mfumo wa equations:

Wacha tuitatue: .
Kwa hivyo, tunapata mtengano: .
Kwa msingi, vekta ina kuratibu.

Mwisho wa kazi -

Mada hii ni ya sehemu:

Dhana ya Vector. Uendeshaji wa mstari kwenye vekta

Vekta ni sehemu iliyoelekezwa yenye urefu fulani, yaani, sehemu urefu fulani ambayo ina moja ya sehemu zake za kuzuia.. urefu wa vekta huitwa moduli yake na inaonyeshwa na moduli ya ishara ya vekta.. vekta inaitwa sifuri, inayoashiria ikiwa mwanzo na mwisho wake unalingana; vekta sifuri haina mahususi. thamani..

Ikiwa unahitaji nyenzo za ziada juu ya mada hii, au haukupata ulichokuwa unatafuta, tunapendekeza kutumia utaftaji kwenye hifadhidata yetu ya kazi:

Tutafanya nini na nyenzo zilizopokelewa:

Ikiwa nyenzo hii ilikuwa muhimu kwako, unaweza kuihifadhi kwenye ukurasa wako kwenye mitandao ya kijamii:

Katika calculus vector na matumizi yake umuhimu mkubwa ina kazi ya mtengano inayojumuisha kuwakilisha vekta fulani kama jumla ya vekta kadhaa zinazoitwa vipengele vya fulani.

vekta. Tatizo hili, ambalo kwa ujumla lina idadi isiyo na kikomo ya ufumbuzi, hufafanuliwa kabisa ikiwa tunataja baadhi ya vipengele vya vectors ya sehemu.

2. Mifano ya mtengano.

Wacha tuchunguze kesi kadhaa za kawaida za mtengano.

1. Tengeneza vekta c uliyopewa ndani ya vekta mbili za sehemu ambayo moja, kwa mfano a, imetolewa kwa ukubwa na mwelekeo.

Shida inakuja kuamua tofauti kati ya vekta mbili. Hakika, ikiwa vekta ni vipengele vya vector c, basi usawa lazima utimizwe

Kutoka hapa vector ya sehemu ya pili imedhamiriwa

2. Tengeneza vekta c uliyopewa katika sehemu mbili, moja ambayo lazima iwe ndani kupewa ndege na ya pili lazima ilale kwenye mstari uliotolewa a.

Kuamua vectors ya sehemu, tunasonga vector c ili mwanzo wake ufanane na hatua ya makutano ya mstari wa moja kwa moja uliopewa na ndege (kumweka O - tazama Mchoro 18). Kutoka mwisho wa vector c (kumweka C) tunatoa mstari wa moja kwa moja kwa

makutano na ndege (B ndio mahali pa makutano), na kisha kutoka kwa hatua C tunachora mstari wa moja kwa moja sambamba.

Vectors na zitakuwa zinazohitajika, yaani, kwa kawaida, upanuzi ulioonyeshwa unawezekana ikiwa mstari wa moja kwa moja a na ndege hazifanani.

3. Kutokana na vekta tatu za coplanar a, b na c, na vectors si collinear. Inahitajika kutenganisha vekta c ndani ya vekta

Hebu tuorodheshe zote tatu vekta zilizopewa kwa hatua moja O. Kisha, kutokana na ushirikiano wao, watakuwa iko katika ndege moja. Washa vector iliyotolewa na jinsi kwenye diagonal tutajenga parallelogram, ambayo pande zake ni sawa na mistari ya hatua ya vectors (Mchoro 19). Ujenzi huu unawezekana kila wakati (isipokuwa vekta ni collinear) na ya kipekee. Kutoka Mtini. 19 ni wazi kwamba

L. 2-1 Dhana za msingi za algebra ya vekta. Uendeshaji wa mstari kwenye vekta.

Mtengano wa vekta kwa msingi.

Dhana za kimsingi za algebra ya vekta

Vekta ni seti ya sehemu zote zilizoelekezwa urefu sawa na mwelekeo
.

Sifa:

Operesheni za mstari juu ya vekta

1.

Kanuni ya parallelogram:

NA ummah vekta mbili Na inayoitwa vekta , kutoka kwa asili yao ya kawaida na kuwa diagonal ya parallelogram iliyojengwa kwenye vectors Na pande zote mbili.

Kanuni ya poligoni:

Ili kuunda jumla ya idadi yoyote ya veta, unahitaji kuweka mwanzo wa 2 mwishoni mwa muhula wa 1 wa vector, mwisho wa 2 - mwanzo wa 3, nk. Vector ambayo inafunga matokeo mstari uliovunjika, ni jumla. Mwanzo wake unaendana na mwanzo wa 1, na mwisho wake na mwisho wa mwisho.

Sifa:

2.

Bidhaa ya vector kwa nambari , ni vekta ambayo inakidhi masharti:
.

Sifa:

3.

Kwa tofauti vekta Na inayoitwa vekta , sawa na jumla ya vekta na vekta kinyume na vekta , i.e.
.

- sheria ya kipengele kinyume (vector).

Mtengano wa vekta katika msingi

Jumla ya vekta imedhamiriwa kwa njia ya kipekee
(lakini tu ) Uendeshaji wa nyuma, mtengano wa vekta katika vipengele kadhaa, ni utata: Ili kuifanya iwe wazi, ni muhimu kuonyesha mwelekeo ambao vekta inayohusika imeharibiwa, au, kama wanasema, ni muhimu kuonyesha. msingi.

Wakati wa kuamua msingi, mahitaji ya mashirika yasiyo ya coplanarity na yasiyo ya collinearity ya vectors ni muhimu. Ili kuelewa maana ya hitaji hili, ni muhimu kuzingatia dhana ya utegemezi wa mstari na uhuru wa mstari wa vekta.

Usemi wa kiholela wa fomu:, inaitwa mchanganyiko wa mstari vekta
.

Mchanganyiko wa mstari wa vekta kadhaa huitwa yasiyo na maana, ikiwa mgawo wake wote ni sawa na sifuri.

Vekta
zinaitwa tegemezi kwa mstari, ikiwa kuna mchanganyiko wa mstari usio wa maana wa vekta hizi sawa na sifuri:
(1), zinazotolewa
. Ikiwa usawa (1) unashikilia tu kwa wote
wakati huo huo sawa na sifuri, kisha vekta zisizo sifuri
mapenzi kujitegemea linearly.

Rahisi kuthibitisha: vekta zozote mbili za collinear zinategemea mstari, na vekta zozote mbili zisizo za collinear zinajitegemea kimstari..

Tuanze uthibitisho na kauli ya kwanza.

Wacha veta Na colinear. Wacha tuonyeshe kuwa wanategemea mstari. Hakika, ikiwa ni collinear, basi hutofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa sababu ya nambari, i.e.
, kwa hivyo
. Kwa kuwa mchanganyiko wa mstari unaosababishwa ni wazi sio mdogo na ni sawa na "0", basi vectors Na tegemezi kwa mstari.

Wacha sasa tuzingatie vekta mbili zisizo za collinear Na . Wacha tuthibitishe kuwa wanajitegemea kimkakati. Tunaunda uthibitisho kwa kupingana.

Wacha tufikirie kuwa zinategemea mstari. Kisha lazima kuwe na mchanganyiko wa mstari usio na maana
. Hebu kujifanya hivyo
, Kisha
. usawa kusababisha ina maana kwamba vectors Na ni collinear, kinyume na dhana yetu ya awali.

Vile vile tunaweza kuthibitisha: vekta zozote tatu za coplanar zinategemea mstari, na vekta zozote mbili zisizo za coplanar zinajitegemea kimstari..

Kurudi kwa wazo la msingi na shida ya kuoza vekta kwa msingi fulani, tunaweza kusema hivyo. msingi juu ya ndege na katika nafasi ni sumu kutoka seti ya linearly vectors huru. Dhana hii ya msingi ni ya jumla, kwa sababu inatumika kwa nafasi ya idadi yoyote ya vipimo.

Usemi kama:
, inaitwa mtengano wa vekta kwa vekta ,…,.

Ikiwa tunazingatia msingi katika nafasi ya tatu-dimensional, basi mtengano wa vector kwa msingi
mapenzi
, Wapi
-kuratibu za vector.

Katika shida ya kuoza vekta ya kiholela kwa msingi fulani, taarifa ifuatayo ni muhimu sana: vekta yoyoteinaweza kupanuliwa kipekee katika msingi fulani
. Kwa maneno mengine, kuratibu
kwa vector yoyote kuhusiana na msingi
imedhamiriwa bila utata.

Kuanzishwa kwa msingi katika nafasi na kwenye ndege inatuwezesha kugawa kila vector nambari tatu zilizoagizwa (jozi) - kuratibu zake. Matokeo haya muhimu sana, ambayo inatuwezesha kuanzisha uhusiano kati ya vitu vya kijiometri na namba, inafanya uwezekano wa kuelezea uchambuzi na kujifunza nafasi na harakati za vitu vya kimwili.

Seti ya hatua na msingi inaitwa mfumo wa kuratibu.

Ikiwa vectors zinazounda msingi ni kitengo na pairwise perpendicular, basi mfumo wa kuratibu unaitwa mstatili, na msingi ya kawaida.

L. 2-2 Bidhaa ya vectors

Mtengano wa vekta katika msingi

Fikiria vekta
, iliyotolewa na kuratibu zake:
.

- vipengele vya vector pamoja na maelekezo ya vectors msingi
.

Udhihirisho wa fomu
inayoitwa mtengano wa vekta kwa msingi
.

Kwa njia sawa tunaweza kuoza kwa msingi
vekta
:

.

Cosines za pembe zinazoundwa na vector inayozingatiwa na vekta za msingi
zinaitwa mwelekeo cosines

;
;
.

Bidhaa ya dot ya vekta.

Bidhaa ya dot ya vekta mbili Na ni nambari sawa na bidhaa ya moduli ya vekta hizi na cosine ya pembe kati yao

Bidhaa ya scalar ya vekta mbili inaweza kuzingatiwa kama bidhaa ya moduli ya moja ya vekta hizi na makadirio ya othogonal ya vekta nyingine kuelekea mwelekeo wa kwanza.
.

Sifa:

Ikiwa kuratibu za vekta zinajulikana
Na
, basi, baada ya kutenganisha veta kwenye msingi
:
Na
, tupate

, kwa sababu
,
, Hiyo

.

.

Masharti ya vekta kuwa perpendicular:
.

Masharti ya ushirikiano wa rekta:
.

Bidhaa ya Vector ya vekta

au

Bidhaa ya Vector kwa vector kwa vekta vector vile inaitwa
, ambayo inakidhi masharti:

Sifa:

Sifa za aljebra zinazozingatiwa huturuhusu kupata usemi wa uchanganuzi wa bidhaa ya vekta kupitia viwianishi vya vekta za vijenzi katika misingi ya kawaida.

Imetolewa:
Na
.

kwa sababu ,
,
,
,
,
,
, Hiyo

. Fomula hii inaweza kuandikwa kwa ufupi zaidi, kwa namna ya kibainishi cha mpangilio wa tatu:

.

Mchanganyiko wa bidhaa za vekta

Bidhaa iliyochanganywa ya vekta tatu ,Na ni nambari sawa na bidhaa ya vekta
, iliyozidishwa na kivekta .

Usawa ufuatao ni kweli:
, hivyo bidhaa iliyochanganywa imeandikwa
.

Kama ifuatavyo kutoka kwa ufafanuzi, matokeo ya mchanganyiko bidhaa tatu vekta ni nambari. Nambari hii ina maana wazi ya kijiometri:

Moduli ya bidhaa iliyochanganywa
sawa na kiasi cha parallelepiped iliyojengwa juu ya kupunguzwa kwa mwanzo wa jumla vekta ,Na .

Tabia ya mchanganyiko wa bidhaa:

Ikiwa vekta ,,iliyoainishwa katika misingi ya kawaida
na kuratibu zake, bidhaa iliyochanganywa huhesabiwa kwa kutumia formula

.

Kweli, ikiwa
, Hiyo

;
;
, Kisha
.

Ikiwa vekta ,,ni coplanar, basi bidhaa ya vector
perpendicular kwa vector . Na kinyume chake, ikiwa
, basi kiasi cha parallelepiped ni sifuri, na hii inawezekana tu ikiwa vectors ni coplanar (tegemezi linearly).

Kwa hivyo, vekta tatu ni coplanar ikiwa na tu ikiwa bidhaa zao zilizochanganywa ni sifuri.